Este documento describe las funciones proposicionales y los cuantificadores. Una función proposicional es un enunciado abierto con una variable que se convierte en una proposición al especificar el valor de la variable. Los cuantificadores son expresiones como "para todo" o "algunos" que se anteponen a funciones proposicionales para convertirlas en proposiciones universales o existenciales. Existen dos tipos de cuantificadores: el universal, que es verdadero si todos los valores de la variable son verdaderos, y el existencial, que es

1. FUNCIÓN
PROPOSICIONAL
Y
CUANTIFICADORES
Autor: Luis Rolando Pacheco Huarotto

2. FUNCIÓN PROPOSICIONAL
Una función proposicional es un enunciado abierto
P(x), en la que figura la variable “x” como sujeto u
objeto directo; la cual se convierte en una
proposición para cada especificación de “X”.
Ejemplos:
a) P (x): X es impar
P ( - 4 ): - 4 es impar ( F ) P ( 5 ): 5 es impar ( V )
b) P ( x, y): X es divisor de Y
P ( -2,6): - 2 es divisor de 6 (V)
p (10,2): 10 es divisor de 2 ( F )
Nota.- Al conjunto de todos los valores convenidos para “x”, se denomina
DOMINIO DE LA VARIABLE.
c) P(x): x+1 < 9. Si x Є Z, entonces p(x) es una función proposicional
cuyo dominio son los Números enteros.
p (-2): -2 + 1 < 9 (V) P(10): 10 + 1 < 9 (F)

3. CUANTIFICADORES
Son expresiones “PARA TODO” o “ALGUNOS”, etc.; que
se anteponen a un enunciado abierto para convertirlo en
proposición. Estas proposiciones indican dos opciones:
que todos los elementos intervienen o que algunos
elementos intervienen.
Se utilizan en el lenguaje cotidiano y también en el
lenguaje matemático.
Ejemplos:
a) Todos los Iqueños son Peruanos
b) Algunos números enteros son naturales
c) Todas las ciudades son bellas
d) Algunas pruebas se quedaron en casa
Nota.- A través de la Cuantificación, también se pueden
crear proposiciones desde una función proposicional.

4. CLASES DE CUANTIFICADORES
Entre ellos tenemos el Cuantificador Universal y el Cuantificador
Existencial.
1.- CUANTIFICADOR UNIVERSAL: Es una generalización de la
Conjunción. Por ello es Verdadero cuando todos los valores de
“x” que pertenecen al Dominio de A son Verdaderos.
Se denota:
∀x ; p(x) Se lee: “Para Todo x”, “Para cada x”,
“Todos (as) las x”, “Todo (a) x”; etc.
2.- CUANTIFICADOR EXISTENCIAL: Es una generalización de la
Disyunción Inclusiva. Por ello, es Verdadero cuando al menos
un valor de “x” perteneciente al Dominio de A, es Verdadero.
Se denota;
∃ x / P (x) Se lee: “Existe al menos un x”, “Algunos x”,
“ Hay x”, “Existe un x”, etc.

5. EJEMPLOS:
1.- Formaliza las siguientes proposiciones:
a) Todo número natural , es mayor o igual que uno
R: ∀x Є N; x ≥ 1
b) Existe al menos un número entero, cuya raíz cuadrada es
un número irracional.
R: ∃ x Є Z / Є I
2.- Sea A = { 1, 2, 3, 4, 5 }. Determine el valor de
verdad de cada uno de los enunciados siguientes:
a) ∃ x ∈ A/ x+3 =10 ……………. Es ( F )
Porque, ningún número de A es una solución de x + 3 = 10
b) ∀ x ∈ A: x+3 < 10 ………….. Es ( V )
Porque, cualquier número de A cumple que x + 3 < 10.

6. NEGACIÓN DE LOS CUANTIFICADORES
La negación de cualquiera de los cuantificadores, se realiza
negando la proposición p(x) y cambiando el cuantificador
universal por el cuantificador existencial, o viceversa. Así:
 ~ [ ∀x ; p(x) ] Ξ ∃ x / ~ P (x)
 ~ [∃ x / P (x)] Ξ ∀x ; ~ p(x)
Ejemplos:
1.- Simboliza y Niega las siguientes proposiciones:
a) Todos los números enteros son impares
Sea el Dominio Z y la función Proposicional p(x): x es un
número
impar.
Simbolicamente: ∀x Є Z ; p(x)
Negamos: ~ [ ∀x Є Z ; p(x) ] Ξ ∃ x Є Z / ~ P (x)
Interpretamos: Existe al menos un número entero que no es
impar

7. b) Algunos estudiantes aprobaron el
examen
Simbolizamos: ∃ x / P (x)
Negamos: Todos los estudiantes no
aprobaron el examen ( ∀x ; ~ p(x) )
c) Todos los gatos maullan : ∀x ; p(x)
Algunos gatos no maulla : ∃ x / ~ P (x)
d) Algunos triángulos son equiláteros
Todos los triángulos no son equiláteros
e) Todo número entero es negativo
Algunos números enteros no son
negativos

8. EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Simboliza las proposiciones considerando como universo el
conjunto de estudiantes de tu aula.
a) Todos llegaron a tiempo
b) Algunos estudian
c) Hay pocos que son aplicados
d) Todos estudian aunque algunos no aprueban
2.- Sea A ⁼ { x/x Є N, x<10} y las funciones proposicionales P(x): x≤9,
Q(x): x>9 y R(x): x<5
a) Utiliza Cuantificadores y convierte las funciones en proposiciones.
b) Determina su valor de verdad
3.- Expresa la negación de:
a) Algunos números primos no son impares
b) Todos los metales son buenos conductores de calor
c) El doble de todo número entero positivo es un número par
4.- Decodifica las notaciones y exprésalas en lenguaje verbal
a) ∀ x ∈ N: x+3 < 10 c) ∀ x ∈ Z: x ≥ 0
b) ∃ x ∈ Z/ 2x es par d) ∃ x ∈ N/ x ≤ 0
Docente: Luis Rolando Pacheco Huarotto