Dokumen tersebut membahas tentang konsep limit fungsi dalam kalkulus. Secara singkat, limit fungsi menjelaskan perilaku fungsi ketika nilai variabelnya mendekati suatu nilai tertentu tanpa harus sama dengan nilai tersebut. Dokumen ini juga menjelaskan beberapa teorema dan contoh perhitungan limit fungsi sederhana beserta penjelasan metode penyelesaiannya.

1. Kalkulus I
5 LIMIT FUNGSI
5.1 PENDAHULUAN LIMIT
• Untuk sebuah fungsi y = f(x), bagaimana perilaku dari f(x) jika x mendekati c, akan tetapi x
tidak sama dengan c (x≠c).
x2 +1
• Contoh, kita ambil fungsi f(x)= x+1 dan g(x) = dan akan kita cari berapa nilai
x −1
fungsinya jika nilai x mendekati (atau menuju) 1. Untuk itu kita buat tabel nilai f(x) dan
g(x) untuk berbagai nilai x sebagai berikut.
x2 +1
x f(x) = x+1 x g(x) =
x −1
0.9 1.9 0.9 1.9
0.95 1.95 0.95 1.95
0.99 1.99 0.99 1.99
0.999 1.999 0.999 1.999
1 ? 1 ?
1.001 2.001 1.001 2.001
1.01 2.01 1.01 2.01
1.1 2.1 1.1 2.1
• Dari kedua tabel di atas terlihat bahwa nilai f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1 dan nilai
g(x) mendekati 2 jika x mendekati 1.
• Dapat dikatakan bahwa “limit dari f(x) adalah 2 jika x mendekati 1 “ dan “ limit dari
g(x) adalah 2 jika x mendekati 1”, masing-masing ditulis:
x2 +1
lim (x + 1) = 2 dan lim =2
x →1 x →1 x −1
• Secara umum dapat dinyatakan bahwa:
lim f(x) = L
x→ c
jika x mendekati c maka f (x) mendekati L dan f(c) tidak perlu ada serta x tidak perlu sama
dengan c.
Lukmanulhakim Almamalik V‐ 1

2. Kalkulus I
• Jika ditulis lim f(x) = L maka mengandung arti bahwa x mendekati fungsi f(x) dari dua
x →c
arah, yaitu x mendekati c dari kanan dan juga x mendekati c dari kiri.
• Bentuk limit untuk “ x → ∞ “ dinamai limit di tak berhingga.
lim x = ∞ dan lim 1 = 0
x →∞ x →∞ x
5.2 TEOREMA LIMIT
• Jika lim f ( x) dan lim g ( x) keduanya ada dan k ∈ R maka berlaku pernyataan-
x→ c x→ c
pernyataan berikut:
a. lim A = A , A, c ∈ R .
x →c
b. lim x = c .
x →c
c. lim { f ( x) ± g ( x)} = lim f ( x) ± lim g ( x)
x →c x →c x →c
d. lim kf ( x) = k lim f ( x)
x →c x →c
e. lim f ( x) g ( x) = lim f ( x). lim g ( x)
x →c x →c x →c
lim f ( x)
f ( x) x → c
f. lim = , asalkan lim g ( x) ≠ 0
x → c g ( x) lim g ( x) x →c
x →c
Contoh 5.1
2 2
a. lim (2x − 7x + 6) = lim 2x − lim 7x + lim 6
x →2 x →2 x →2 x →2
2
= 2 lim x − 7 lim x + lim 6
x →2 x →2 x →2
( )
x →2
2
= 2 lim x − 7 lim x + lim 6
x →2 x →2
2
= 2.2 − 7.2 + 6 = 0
b. lim 7x 2x − 1 = lim 7x. lim 2x − 1
x →1 x →1 x →1
( )
= 7 lim x lim (2x − 1) = (7.1) 2.1 − 1 = 7
x →1 x →1
2x + 3 lim (2x + 3) 2.(−1) + 3 1
c. lim = x →−1 = =
x →−1 5x + 2 lim (5x + 2) 5.(−1) + 2 − 3
x →−1
d. lim x + 2 x − 4 = (−1) 2 + 2(−1) − 4 = −5
2
x →−1
Lukmanulhakim Almamalik V‐ 2

3. Kalkulus I
e.
f.
g. lim (2 – 3x + 4x2 – x3 ) = lim 2 - lim 3x + lim 4 x2 - lim x3
x → −1 x → −1 x → −1 x → −1 x → −1
= 2 – (-3) +4(-1)2 – ( -1)3 = 10
Contoh 5.2
x 2 − 3x + 2
Hitung lim .
x →2 x2 − 4
Penyelesaian:
Karena limit di atas mempunyai penyebut sama dengan 0, atau hasilnya adalah 0/0, maka kita
memerlukan teknik lain untuk menyelesaikannya. Akan tetapi hal ini bukan berarti limit di atas
tidak ada. Pada contoh soal 5.2, yang akan dihitung adalah nilai limit untuk x mendekati 2, dan
bukan nilai untuk x sama dengan 2. Oleh karena itu, dengan memanfaatkan teknik-teknik
aljabar, untuk x ≠ 2 diperoleh:
x 2 − 3x + 2 (x − 2)(x − 1) x − 1
= =
x2 − 4 (x − 2)(x + 2) x + 2
Sehingga:
x 2 − 3x + 2 x −1 2 −1 1
nilai lim = lim = =
x→2 2
x −4 x→2 x + 2 2+2 4
Contoh 5.3
x −1
Tentukan lim .
x →1 x− 1
Penyelesaian:
Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk
menyelesaikannya.
Lukmanulhakim Almamalik V‐ 3

4. Kalkulus I
lim
x −1
= lim
( )(
x −1 x +1 ) = lim ( )
x +1 = 1 + 1 = 2 .
x →1 x −1 x→1 x −1 x →1
Contoh 5.4
x3 + 8
Tentukan lim 4 .
x→−2 x − 16
Penyelesaian:
x3 + 8
= lim 4
x 3 − ( −2) 3
= lim
(x − (−2) ) x 2 + x.(−2) + (−2) 2 ( )
lim 4
x → −2 x − 16 x → −2 x − ( −2) 4 (
x → −2 ( x − ( −2) ) x 3 + x 2 .( −2) + x.( −2) 2 + ( −2) 3 )
= lim
(x 2
− 2x + 4
=
4+4+4 ) 3
=− .
x → −2 (x − 2x + 4x − 8 − 8 − 8 − 8 − 8
3 2
)8
Contoh 5.5
Hitung
Penyelesaian:
Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk
menyelesaikannya.
Kita faktorkan fungsi kuadratnya
Contoh 5.6
Hitung limit berikut
Penyelesaian:
Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk
menyelesaikannya.
Lukmanulhakim Almamalik V‐ 4

5. Kalkulus I
Contoh 5.7
Tentukan limit berikut
Penyelesaian:
Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk
menyelesaikannya.
Contoh 5.8
Tentukan limit berikut
Penyelesaian:
Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk
menyelesaikannya.
Lukmanulhakim Almamalik V‐ 5

6. Kalkulus I
Contoh 5.9
x −1 − 2
Hitung lim
x →5 x−5
Penyelesaian :
x −1 − 2 x −1 − 2 x −1 + 2
= .
x−5 x−5 x −1 + 2
1
=
x −1 + 2
x −1 − 2 1 1
Maka lim = lim =
x →5 x−5 x →5 x −1 + 2 4
Latihan 5.1
Untuk soal 1 – 6, Berapa nilai limit berikut.
1 2
1. lim ( x + 2) 2. lim 3. lim x
x →1 x→2 x x → −1
x+2 x2 −1
4. lim 5. lim x 6. lim
x →0 x −1 x→4 x →1 x −1
Untuk soal 7 – 17, hitunglah masing-masing limit jika ada.
2 x+2
8. lim ( x + 3x + 1) 9. lim
2
7. lim ( x − 20)
x →5 x → −2 x −3
x →0
x 2 + 2x − 8 x −1 x 6 − 64
10. lim 11. lim 12. lim
x →2 x2 − 4 x →1 x −1 x →2 x 3 − 8
32
s4 −1 u −1 2 − x2 + 3
13. lim 14. lim 15. lim
s → −1 s3 + 1 u →1 1− u x → −1 1− x2
x2 − 4 3
1+ x −1
16. lim 17. lim
x →2
3− x +5 2 x →0 x
Lukmanulhakim Almamalik V‐ 6

7. Kalkulus I
5.3 LIMIT SATU SISI (LIMIT SEPIHAK)
• Limit Satu Sisi (Limit-kanan dan limit-kiri) adalah ide untuk melihat apa yang terjadi
terhadap sebuah fungsi ketika kita dekati dari suatu nilai x tertentu dari suatu arah tertentu
(kiri atau kanan).
Limit Kanan
• Jika ditulis lim+ f ( x ) = L maka mengandung arti bahwa x mendekati c dari dari kanan.
x →c
Limit Kiri
• Jika ditulis lim− f ( x ) = L maka mengandung arti bahwa x mendekati c dari dari kiri.
x →c
Contoh 5.10
a. lim+ x = 0 (x didekati dari kanan)
x →0
b. lim− x tidak ada. (x didekati dari kiri)
x →0
c. Untuk bilangan bulat n
lim+ [x ] = n dan lim− [x ] = n − 1
x →n x →n
Contoh 5.11
Diberikan fungsi
⎧2x − 1, x <1
⎪
f (x) = ⎨
⎪ x3, x >1
⎩
Karena untuk x < 1 adalah fungsi f ( x ) = 2 x − 1 , maka
lim f ( x ) = lim− ( 2 x − 1) = 1 .
x →1− x →1
Secara sama, untuk x > 1, kita gunakan fungsi
lim+ f ( x ) = lim+ x 3 = 1 .
x →1 x →1
Selanjutnya, karena nilai lim f ( x ) = 1 = lim f ( x ) maka lim f ( x ) = 1 .
−
x →1 +
x →1 x →1
Lukmanulhakim Almamalik V‐ 7

8. Kalkulus I
Contoh 5.12
Tentukan lim f ( x) jika diketahui:
x→ 2
⎧ x, x≤2
⎪
f (x) = ⎨
⎪[x ], x>2
⎩
Penyelesaian:
Jika x didekati dari kiri maka lim− f ( x) = lim− x = 2
x→2 x→2
Jika x didekati dari kanan maka lim+ f ( x ) = lim+ [x ] = 2
x→2 x→2
Karena limit kiri = limit kanan, maka lim f ( x ) = 2 .
x→ 2
Contoh 5.13
Diberikan fungsi berikut
Hitung limit
Penyelesaian:
a.
b. dan
Latihan 5.2
Evaluasi apakah limit berikut ada!
1. dimana
Lukmanulhakim Almamalik V‐ 8