2. La Distribución de Poisson
La Distribución de Poisson es una distribución
de probabilidad discreta que expresa, a partir
de una frecuencia de ocurrencia media, la
probabilidad que ocurra un determinado
número de eventos durante cierto periodo de
tiempo.
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3. La Distribución de Poisson
La
distribución de Poisson se aplica a varios fenómenos
discretos de la naturaleza (esto es, aquellos fenómenos que
ocurren 0, 1, 2, 3,... veces durante un periodo definido de
tiempo o en un área determinada) cuando la probabilidad de
ocurrencia del fenómeno es constante en el tiempo o el
espacio. Ejemplos de estos eventos que pueden ser modelados
por la distribución de Poisson incluyen:
4. La Distribución de Poisson
El
número de autos que pasan a través de un cierto punto en
una ruta (suficientemente distantes de los semáforos) durante
un periodo definido de tiempo.
El número de errores de ortografía que uno comete al escribir
una única página.
El número de llamadas telefónicas en una central telefónica
por minuto.
El número de animales muertos encontrados por unidad de
longitud de ruta.
El número de mutaciones de determinada cadena de ADN
después de cierta cantidad de radiación.
5. Utilidad
La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son
impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de
posibles resultados.
Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado
discreto.
Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de exitos
p es pequeña.
Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro
de un segmento n dado como por ejemplo distancia, área, volumen o tiempo
definido.
6. Ejemplos de la
utilidad
La llegada de un cliente al negocio durante una hora.
Las llamadas telefónicas que se reciben en un día.
Los defectos en manufactura de papel por cada metro producido.
Los envases llenados fuera de los límites por cada 100 galones de
producto terminado.
La distribución de Poisson se emplea
para describir procesos con un elemento
en común, pueden ser descritos por una
variable aleatoria discreta.
7. Propiedades de un
proceso de Poisson
1.
La probabilidad de observar exactamente un éxito en el
segmento o tamaño de muestra n es constante.
2.
El evento debe considerarse un suceso raro.
3.
El evento debe ser aleatorio e independiente de otros eventos.
Si repetimos el experimento n veces
podemos obtener resultados para la
construcción de la distribución de
Poisson.
8. La distribución de Poisson
•
La distribución de probabilidad de Poisson es un ejemplo de
distribución de probabilidad discreta.
•
La distribución de Poisson parte de la distribución binomial.
•
Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento
muchas veces, la muestra n es grande y la probabilidad de éxito p
en cada ensayo es baja, es aquí donde aplica el modelo de
distribución de Poisson.
Se tiene que cumplir que:
p < 0.10
p * n < 10
9. La función P (x =k)
A continuación veremos la función de probabilidad de la
distribución de Poisson.
Donde:
P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma
un valor finito k.
λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo, volumen, área,
etc.). Es igual a p por el segmento dado. La constante e tiene un valor
aproximado de 2.711828
K es el número de éxitos por unidad
10. Ejemplo1 de la funci ón
F (x =k )
La probabilidad de que haya un accidente en una compañía de manufactura
es de 0.02 por cada día de trabajo. Si se trabajan 300 días al año, ¿cuál es la
probabilidad de tener 3 accidentes?
Como la probabilidad p es menor que 0.1, y el producto n * p es menor que
10 (300 * 0.02 = 6), entonces, aplicamos el modelo de distribución de
Poisson:
Al realizar el cómputo tenemos que P(x = 3) = 0.0892
Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes laborales en 300 días de
trabajo es de 8.9%.
11. Ejemplo 2 de la funci ón
F(x =k )
La probabilidad de que un producto salga defectuoso es de 0.012. ¿Cuál es
la probabilidad de que entre 800 productos ya fabricados hayan 5
defectuosos?
En este ejemplo vemos nuevamente la probabilidad p menor que 0.1, y el
producto n * p menor que 10, por lo que aplicamos el modelo de
distribución de Poisson:
El resultado es P (x = 5) = 0.04602
Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 productos defectuosos entre 800
recién producidos es de 4.6%.
12. Tabla s de probabilidad de
Poisson
Utilizando la tabla de probabilidad de Poisson se pueden resolver los ejemplos
anteriores.
Para esto, usted debe saber los valores X y λ.
X es el número de éxitos que buscamos. Este es el valor K.
λ es el número promedio de ocurrencias por unidad (tiempo, volumen, área, etc.).
Se consigue multiplicando a p por el segmento dado n.
Del ejemplo 1:
λ = 0.02 * 300 = 6
Del ejemplo 2:
λ = 0.012 * 800 = 9.6
16. La Distribución de Poisson
La Distribución de Poisson tiene una propiedad
cuyas consecuencias son muy importantes
para el Control Estadístico de Procesos.
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17. La Distribución de Poisson
Supongamos que se tienen m variables aleatorias
de Poisson:
Variable
x1
λ1
x2
λ2
x3
Parámetro
λ3
...
xm
λm
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18. La Distribución de Poisson
Si w es una combinación lineal de tales
variables:
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19. La Distribución de Poisson
Entonces w es una variable aleatoria de Poisson
con parámetro:
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20. La Distribución de Poisson
Esto es muy importante porque podemos
imaginar el producto fabricado por un proceso
(Una licuadora, una computadora, un televisor,
etc.) como una superficie en la que se pueden
producir múltiples defectos, y donde el número
de cada tipo de defecto es una variable aleatoria
de Poisson.
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21. La Distribución de Poisson
Entonces, la propiedad mencionada nos permite
tratar la suma de todos los tipos de defectos
como una variable aleatoria de Poisson. Esto se
utiliza para el control del Número de Defectos
en un producto.
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22. La Distribución de Poisson
Supongamos ahora que tenemos un gran lote de
artefactos, por ejemplo licuadoras. Tomamos una
muestra de m = 5 unidades y medimos el número
total de defectos en las 5 unidades.
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23. La Distribución de Poisson
Si obtuvimos x1, x2, x3, ... xm defectos en cada
unidad, el número total de defectos será:
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24. La Distribución de Poisson
El número promedio de defectos por unidad
será:
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25. La Distribución de Poisson
y es una variable aleatoria discreta que puede
tomar valores 0, 1/m, 2/m, 3/m, ..., etc. ¿Cuál
es la varianza de y?
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29. La Distribución de Poisson
Este es un importante resultado que se utilizará
para calcular la varianza en los Graficos U.
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30. Referencias
Recopilado el 25 de mayo 2012 de Guerriero V.. Power Law Distribution: Method of
Multi-scale Inferential Statistics». J. Mod. Math. Fr.
Recopilado el 10 de junio 2012 de htt://www.itch.edu.mx/academic
/industrial/sabaticorita/_private/05Distr%20Poisson.htm
Recopilado el 10 de junio 2012 de www1.uprh.edu/.../La%20distribucion%20Poisson
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