Movimiento Rectilíneo uniformemente variado, teoría y práctica

1. “Forjando Generaciones con Fe, Conocimiento y Servicio para hoy y para el futuro” 1
INTRODUCCIÓN:
“MRUV”: Consideremos las siguientes situaciones:
1. Un automóvil que se mueve a lo largo de una pista
rectilínea de gran longitud; pasa por un punto A con
5m/s y luego pasa por B con 15m/s tal como se
muestra:
5m/s 15m/s
A B
Nos damos cuenta que el módulo de la velocidad
está cambiando; pero no su dirección.
2. Un automóvil que se desplaza por la carretera
mostrada; pasa por P y Q con 25m/s.
25m/sP
Q
25m/s
Nos damos cuenta que es la dirección de la
velocidad está cambiando; pero no el módulo.
3. Un automóvil que se desplaza por la carretera
mostrada; pasa por M con 8m/s y luego por N con 12
m/s.
M
N
8m/s
12m/s
Nos percatamos que tanto el módulo como la
dirección de la velocidad está cambiando.
Examinando las situaciones anteriores; nos damos
cuenta que la velocidad está cambiando; ya sea en su:
módulo; en su dirección o ambos a la vez; y esto es lo
que ocurre o que se presenta en la naturaleza. Para
caracterizar estos cambios en la velocidad, usaremos
una magnitud vectorial denominada Aceleración Media:
m(a ); la cual nos mide la rapidez con que un cuerpo
cambia su velocidad; su unidad de medida en el S.I. es
el: m/s2.
Ahora analizaremos el movimiento de un cuerpo en
los siguientes casos:
PRIMER CASO:
1s 3s 6s 2s
3 m/s 8 m/s 20 m/s 26 m/s14 m/s
A B C D E
Características
 La trayectoria descrita por el cuerpo es una línea
recta; por tanto describe un Movimiento Rectilíneo.
 El cuerpo experimenta los mismos cambios o
para diferentes intervalos de tiempo; por tanto el
movimiento descrito por el cuerpo es Variado.
 El cuerpo presenta una aceleración ya que el módulo
de la velocidad está ¡CAMBIANDO!.
SEGUNDO CASO:
1s
A B C D E
2 m/s 8 m/s 14 m/s 20 m/s 26 m/s
1s 1s 1s
Características
 La trayectoria descrita por el cuerpo es una línea
recta; por tanto el cuerpo describe un Movimiento
Rectilíneo.
 El cuerpo experimenta los mismos cambios o
variaciones en el módulo de la velocida
para los mismos intervalos de tiempo; por tanto el
movimiento descrito por el cuerpo es Uniforme
Variado.
 El cuerpo presenta una aceleración ya que el módulo
de la velocidad está ¡Cambiando! y como estos
cambios son iguales para los mismos tiempos, la
ACELERACIÓN ES CONSTANTE.
Al movimiento descrito con estas características se
denomina: MOVIMIENTO RECTILÍNEO
UNIFORMEMENTE VARIADO: M.R.U.V.
Lic. Manuel Manay FernándezMódulo 02-2014

2. “Forjando Generaciones con Fe, Conocimiento y Servicio para hoy y para el futuro” 2
Siendo la aceleración una magnitud vectorial su
módulo se determinará con la siguiente fórmula cuando
el cuerpo desarrolla un M.R.U.V.
t
vv F0
 
Variación en elmódulo
de la velocidad
Módulo de la Aceleración
Tiempo
 
 
 
En forma abreviada:
F 0v v – v
a
t t

 
 
vF : Módulo de la velocidad final.
v0 : Módulo de la velocidad inicial.
La dirección de la aceleración se determinará
según, si el módulo de la velocidad Aumenta o
Disminuye en una dirección determinada; por ejemplo:
7m/s 15m/s
a
Cuando Aumenta el módulo de la velocidad el
movimiento es Acelerado y la dirección de la
aceleración coincide con la dirección del movimiento del
cuerpo.
18m/s 2m/s
a
Cuando Disminuye el módulo de la velocidad, el
movimiento es Desacelerado y la dirección de la
aceleración NO coincide con la dirección del
movimiento del cuerpo.
¿Qué significa que un cuerpo desarrolle un M.R.U.V.
con 4 m/s2?
Rpta.: Nos indica que en cada 1s, el módulo de la
velocidad del cuerpo está variando (ya sea aumentando
o disminuyendo) en 4 m/s.
• Cuando “aumenta” el módulo de la velocidad:
A B C D
2 m/s 6 m/s 10 m/s 14 m/s
1s 1s 1s
• Cuando “disminuye” el módulo de la velocidad:
P Q R S
16 m/s 12 m/s 4 m/s
1s 1s
8 m/s
1s
FÓRMULAS DEL M.R.U.V.
0 F
t a
d
v v
Fórmula para hallar la aceleración:
Formulas:
;
;
Fórmula para hallar la distancia en un intervalo de tiempo:
)12(
2
0  n
a
Vdn
Tiempo de alcance Tiempo de encuentro
21
2
aa
d
Talc

 ; 21 aa 
21
2
aa
d
Tenc


Nota:
(+) Movimiento Acelerado
(-) Movimiento Desacelerado
t
VV
a 0f 

aTVV 0f  2
aT
TVe
2
0 
2aeVV 2
0
2
f  t
2
VV
e 0f





 

2
aT
TVe
2
0 

3. “Forjando Generaciones con Fe, Conocimiento y Servicio para hoy y para el futuro” 3
GRÁFICAS DEL M.R.U.V.:
Posición V.S. Tiempo:
Muestra gráficamente la relación, entre la posición (e) de una
partícula en cada instante de tiempo (t), veamos:
Grafica del
movimiento
Acelerado
e (m)
A
Tangente
Grafica del
movimiento
Desacelerado
t (s)
θ
Características:
 Como: e = V0 t 
2
2
t
; la gráfica será una parábola (Geometría
analítica).
 La pendiente (tangente), de la recta tangente trazada a la
curva, es igual a la velocidad de la partícula en un instante de
tiempo, o sea:
Velocidad V.S. Tiempo:
Muestra gráficamente la relación, entre la velocidad que tiene la
partícula, en cada instante de tiempo, veamos:
Características:
 La pendiente de la recta, es numéricamente igual a
la aceleración de la partícula:
 La recta o gráfica, corta al eje de ordenadas (y) en
un punto (e0) que nos indica la posición inicial de la
partícula.
 Muestra gráficamente la relación entre la velocidad
que tiene la partícula en cada instante de tiempo.
A
Recta o
Grafica
V (m/s)
t (s)0 1t 2t
Movimiento Acelerado
A
V (m/s)
t (s)0 1t 2t
α
0V Movimiento Desacelerado
 El área (A) de la superficie sombreada, bajo la recta,
es numéricamente igual al espacio recorrido por la
partícula en un intervalo de tiempo.
 En todos los casos, el área de la superficie bajo la
recta, es numéricamente igual al cambio de posición
que experimenta la partícula, en un intervalo de
tiempo.
Aceleración V.S. Tiempo:
Muestra gráficamente la relación, entre la aceleración
que tiene la partícula en cada instante de tiempo,
veamos:
(+ A)
(- A)
1t 2t t (s)0
a (m/s )2
Movimiento Acelerado
Movimiento Retardado
Características
 Si l aceleración (a) es constante, la recta es paralela
al eje temporal (t).
 El área de la superficie bajo la recta, es igual al
cambio de velocidad que experimenta la partícula en
un intervalo de tiempo, veamos:
2
t
atVe
2
0

V = Tg θ
a = Tg θ
a = -Tg 
A = e2 – e1
A = Vf – Vi
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78

4. “Forjando Generaciones con Fe, Conocimiento y Servicio para hoy y para el futuro” 4
PROBLEMAS DE APLICACIÓN:
1. Si el siguiente movimiento es un MRUV, halle
las velocidades en “C, D y E”. Y la aceleración
del móvil.
VC = ________________________
VD = ________________________
VE = ________________________
2. En la figura halle la distancia “d”.
a) 10 m
b) 15
c) 20
d) 23
e) 24
3. En la figura hallar “d”.
a) 36 m
b) 24
c) 15
d) 22
e) 48
4. Un móvil parte del reposo y con una aceleración
de 6m/s² ¿Qué distancia recorre luego de 4
segundos?
a) 48 m
b) 36
c) 24
d) 15
e) 32
5. En la figura, si el móvil partió del reposo, el
valor de “t” es:
a) 1s
b) 2
c) 4
d) 6
e) 3
6. En la figura halle “x”.
a) 1m
b) 4
c) 5
d) 2
e) 3
7. En la figura, hallar “V”.
2m/s
1s
5m/s
1s 2s 3s
A B C D E
3m/s
1s
5m/s
3s
d4m
18m/s
4s
24m/s
2s
d
t
a = 4m/s²
d = 32m
16m/s
3s
1s
30m x
t = 8s
12m/s
d = 180m
V

5. “Forjando Generaciones con Fe, Conocimiento y Servicio para hoy y para el futuro” 5
a) 45m/s
b) 32
c) 43
d) 33
e) 23
8. Un móvil parte del reposo con M.R.U.V, si luego
de 4 seg. a recorrido 160 m ¿cuál era su
aceleración?
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 20
9. Un móvil parte con una velocidad de 15 m/s y
una aceleración de 2,5 m/s2
, calcular al cabo de
que tiempo alcanzará 9 m/s.
a) 1 seg
b) 2
c) 3
d) 4
e) 2,5
10. Un automóvil que se desplaza a 36 km/h comienza a
aumentar su velocidad. En el primer segundo de
aceleración avanza 11m. se desea saber:
a) Cuál es su velocidad después de 10 seg de
aceleración?
b) Su velocidad final, sí durante la aceleración
recorrió la distancia de 300 m.
Dar como respuesta la suma de dichas
velocidades:
a) 66 m/s
b) 70,03
c) 76,05
d) 74,08
e) 80
11. Un ratón se dirige a su hueco en línea recta con una
velocidad constante de 2 m/s, cuando le faltan 5
metros para llegar, pasa por el lado de un gato que se
encuentra en reposo. Si el gato acelera a razón de 2
m/seg2
en dirección del ratón. Logrará alcanzarlo y si
lo hace a qué distancia del agujero.
a) 5m
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
12. El policía Dick Dick, observa a un delincuente que se
encuentra a 6 m. de él, en ese instante el delincuente
se da a la fuga con una velocidad de 1m/seg. De
inmediato el policía parte acelerando a razón de
2 m/seg2
en su persecución. Después de que tiempo
será atrapado el delincuente.
a) 5seg
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
13. Se tiene la siguiente gráfica posición-tiempo de un
móvil. Con los datos señalados, calcular:
a) El módulo del desplazamiento entre los instantes
t= 5 s y t= 8 s.
b) El módulo de la velocidad media en dicho
intervalo de tiempo

6. “Forjando Generaciones con Fe, Conocimiento y Servicio para hoy y para el futuro” 6
14. Un móvil se desplaza según la siguiente gráfica
velocidad – tiempo. Calcular el valor de la
aceleración en los intervalos:
a) entre t= 0 y t= 5 s
b) entre t= 5 s y t= 15 s
15. Si una partícula se desplaza según la gráfica
mostrada, determinar la distancia recorrida y el valor
del desplazamiento en los 17 primeros segundos de su
movimiento.
16. La aceleración de un móvil con MRUV varía según
la gráfica. Si su velocidad inicial es vi = -12 m/s,
calcular su velocidad en el instante t=8 s.
PROBLEMAS PROPUESTOS:
1. De la figura si se trata de un MRUV, halle las
velocidades en A, B y E.
VA = ________________________
VB = ________________________
VE = ________________________
2. Del ejercicio anterior, el valor de la aceleración es:
a) 1 m/s² b) 2 c) 3
d) 5 e) 6
3. Un avión parte del reposo con MRUV y cambia de
velocidad a razón de 8 m/s2
logrando despegar
luego de recorrer 1600 m. ¿Con qué velocidad en
m/s despega?
a) 100 b) 520 c) 160
d) 200 e) 250
4. Durante qué segundo un móvil que parte del reposo
y tiene un MRUV recorrerá el triple del espacio
recorrido durante el quinto segundo.
a) 9º b) 5º c) 14º
d) 12º e) 18º
5. El móvil “A” tiene V = 6 m/s constante y el móvil
“B” parte del reposo con a = 2 m/s2
. Determinar el
tiempo de encuentro.
a) 5 s b) 7 c) 10
d) 12 e) 15
6. Un auto está esperando que cambie la luz roja.
Cuando la luz cambia a verde, el auto acelera
uniformemente durante 6 segundos a razón de 2
m/s2
, después de lo cual se mueve con velocidad
constante. En el instante que el auto comienza a
moverse, un camión que se mueve en la misma
dirección con movimiento uniforme de 10 m/s lo
pasa. ¿En qué tiempo se encontrarán nuevamente el
auto y el camión?
a) 16 s b) 17 c) 18
d) 19 e) 20
160m
A B
16m/s
1s
18m/s
3s 1s 2s
A B C D E

7. “Forjando Generaciones con Fe, Conocimiento y Servicio para hoy y para el futuro” 7
7. Un esquiador parte del reposo y se desliza 9 m hacia
abajo, por una pendiente en 3 s. ¿Cuánto tiempo
después del inicio, el esquiador habrá adquirido una
velocidad de 24 m/s? considérese la aceleración
constante.
a) 10 s b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
8. En la figura, determine el tiempo de alcance, si
ambos móviles parten del reposo.
a) 15s b) 10 c) 12
d) 14 e) 2
9. Un patrullero persigue a un automóvil de ladrones.
El patrullero desarrolla una velocidad constante de
150 km / h mientras que los ladrones viajan a 132 km
/ h. si el patrullero se encuentra a 200 metros de los
ladrones. En cuanto tiempo lo alcanzara.
a) 25s b) 30 c) 40
d) 45 e) 50
10. Un camión de carga de 5m de largo y que se mueve
con M.R.U.V., ingresa a un túnel de 35m de largo tal
como se indica. Si sale completamente del túnel con
rapidez de 16ms. ¿Cuál es módulo de su
aceleración?
a) 1m/s2
b) 2 c) 3
d) 5 e) 6
11. El movimiento de una partícula está dada por la
ley: 2
x 2t t 5    , donde x esta en (m) y t en (s).
Halle el espacio entre [ 0 , 1 ]s.
a) 0,25 b) 1,5 c) 1,25
d) 2 e) 2,25
12. La grafica representa la velocidad de una
partícula, en función del tiempo. ¿Qué fracción de
su recorrido total efectúa en los últimos 4
segundos de su movimiento?
a) 56%
b) 45%
c) 32%
d) 28%
e) 16%
PROBLEMAS PRE U:
01. Dos trenes de 200 m y 400 m de longitud
avanzan en vías paralelas y sentidos
opuestos. Cuando sus velocidades son 12 y
18 m/s sus aceleraciones constante son
iguales a 3 m/s2
. Hallar el tiempo que demoran
los trenes en cruzarse completamente.
a) 10 s b) 12 c) 6
d) 18 e) 24
02. Un ciclista se desplaza con una velocidad de
90km/s aplica los frenos y empieza a acelerar
uniformemente durante 6s hasta detenerse.
Hallar la distancia que recorre en ese tiempo.
a) 25m b) 30m
d) 75m e) 100m
03. Un móvil parte del reposo y recorre una
trayectoria rectilínea con M.R.U.V. de tal
manera que durante los dos primeros segundos
se desplaza 16m. determinar la distancia que
recorre el móvil durante su noveno segundo de
movimiento
a) 34m b) 43m c) 86m
d) 68m e)34m
04. Dos móviles parten del reposo estando
separados 180m. y se observa que se
encuentran 10s después de tal modo que la
relación de las distancias recorridas por los
móviles es como 5 a 4. hallar la aceleración
mayor
a) 1,6m/s2
b) 2m/s2
c) 1m/s2
d) 0,8m/s2
e) 1,4m/s2
05. Haciendo uso de la gráfica a – Vs – t establézcase la velocidad para el
instante t = 15s, si en t = 2s la velocidad era de 3m/s.
A) 143m/s
B) 153m/s
C) 163m/s
D) 173m/s
E) 183m/s
RECUERDA:
“La vida es muy peligrosa. No por las personas que
hacen el mal, sino por las que se sientan a ver lo que
pasa.”
Albert Einstein
d = 100 m
a1 = 6m/s2
a2 = 4m/s2

8. “Forjando Generaciones con Fe, Conocimiento y Servicio para hoy y para el futuro” 8