Systeme-parabolique-non-lineaire-issu-dun-modele-biologique (1)

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientiﬁque
Université Abou Bekr Belkaid Tlemcen
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
Mémoire de Master
Spécialité : Modélisation Mathématique des Systèmes
complexes
présenté par
MENACER Youssaf Ammar
Soutenu le : 04 Juin 2016
Système parabolique non-linéaire issu
d’un modèle biologique : Existence et
Comportement asymptotique
Soutenue devant le jury composé de :
M. Moussaoui Ali Professeur, Université de Tlemcen Président
M. Touaoula Mohamed Tarik Professeur, Université de Tlemcen Examinateur
M. Miri Sofiane M.C.A. Université de Tlemcen Examinateur
M. Abdellaoui Boumediene Professeur, Université de Tlemcen Encadreur
Année Universitaire : 2015-2016

ii
Département de Mathématiques
Faculté des sciences
BP 119 Tlemcen
Email : amaramenacer@yahoo.com
aaaaaaaa

A ma chère mère en témoignage de ma profonde
gratitude et de mon incontestable reconnaissance, pour
tous les sacrifices qu’elle me contente, toute la
confiance qu’elle m’accordent et tout l’amour dont elle
m’entoure.
A mon cher père qui est le plus bon père dans ce
monde, grâce à son encouragement, sa confiance et son
soutien moral et matériel et pour son amour infini en
exprimant mes gratitudes, mon profond amour et ma
passion.
A mes chers frères Mouhammed, Imad et à mes soeurs
Assia et Youssra.
"Vivre avec l’espoir est une vie qui en
vaut bien d’autres." Philosophe :
Blaise Pascal.

Remerciements
Je remercie d’abord et avant tout le bon Dieu qui m’a donné le courage et la
patience pour réaliser ce travail.
Je tiens à exprimer ma profonde gratitude et mes remerciements les plus
sincères à mon encadreur Monsieur le Professeur Abdellaoui. B. Il m’a fait l’hon-
neur d’accepter de diriger mon mémoire. Ses conseils, ses critiques et sa rigueur
scientiﬁque m’ont permis de mener ce travail à son terme.
J’adresse tout particulièrement mes remerciements à Monsieur le Professeur
Moussaoui.A, pour tous les eﬀorts déployés pour notre formation pendant les
deux années écoulées ; aussi je le remercie vivement d’avoir accepté de présider
le jury.
Un grand merci aussi à Monsieur le Professeur Touaoula M.T, pour avoir
accepté de faire partie du jury. Je lui témoigne ma profonde reconnaissance pour
son aide et son soutien.
Mes plus vifs remerciements à Monsieur Miri.S, pour le temps qui’il a consa-
cré à examiner ce mémoire, et aussi d’avoir bien voulu faire partie du jury.
Je remercie également : M.Attar.A et M.Bentifour.R, qui m’ont facilité d’in-
tégrer leur groupe de recherche et aussi pour leur soutien et encouragements tout
au long de ce mémoire.

vi
Mes remerciements chaleureux : à Monsieur le Professeur Dib.H, j’ai beau-
coup appris à son contact. Je remercie en lui la personne qui m’a donné des
conseils avisés et des indications fructueuses.
Enﬁn je remercie tous ceux qui de près ou de loin ont contribué à la réalisation
de ce mémoire.

Table des matières
Notations 1
Introduction 3
1 Préliminaires 5
1.1 Quelques outils dans les espaces de Lebesgue . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Quelques outils dans les espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Quelques outils dans les espaces de Sobolev paraboliques . . . . . 12
2 La méthode de monotonie 19
2.1 La méthode de monotonie pour les problèmes paraboliques . . . . 20
2.2 Méthode de monotonie pour les systèmes parabolique couplés . . 30
3 Applications 51
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Existence et unicité de problème parabolique . . . . . . . . . . . 53
3.3 Existence d’une solution de coexistence . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Le comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5 Simulations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Bibliographie 81

Notations
Notation Déﬁnition
x = (x1, x2, ..., xN ) Elément de IRN
r = |x| = (x2
1 + x2
2 + · · · + x2
N ) Module de x
Du = u =
∂u
∂x1
,
∂u
∂x2
, . . . ,
∂u
∂xN
Gradient de u
∆u Laplacien de u
p Exposent conjugué de p,
1
p
+
1
p
= 1
p∗
=
Np
(N − p)
Exposent critique de Sobolev
∂Ω Frontière de Ω
∂pΩT Le bord parabolique de ΩT
supp (u) Support de la fonction u
meas(A) = |A| Mesure de Lebesgue de A ⊂ IRN
· s Norme dans l’espace Ls
(Ω)
· X Norme dans l’espace X
BR Boule de IRN
de rayon R centrée à l’origine
BR(x0) Boule de IRN
de rayon R centrée en x0 ∈ IRN

2 Notations
Notation Définition
X Espace dual de X
·, · Produit scalaire dans IRN
/ crochet de dualité X, X
Différence d’ensemble
Ω ⊂⊂ Ω Ω sous ensemble ouvert de Ω avec Ω ⊂ Ω
p.p Presque partout
V +
Partie positive de la fonction V , V +
= max(V, 0)
V −
Partie negative de la fonction V , V −
= max(−V, 0)
C(Ω) ouC0
(Ω) Espace des fonctions continues sur Ω
C0(Ω) Espace des fonctions continues sur Ω à support compact
C0,β
(Ω) Espace des fonctions Hölderiennes sur Ω
Ck
(Ω) Espace des fonctions de classe k dans Ω
Ck,β
(Ω) Espace des fonctions Hölderiennes de classe k sur Ω
Ck
0 (Ω) Espace des fonctions de Ck
(Ω) à support compact
C∞
(Ω) Espace des fonctions indéfiniment dérivable Ω
C∞
0 (Ω) = D(Ω) Espace des fonctions de C∞
(Ω) à support compact
D+
(Ω) Espace des fonctions de D(Ω) positives
D (Ω) Espace dual de C∞
0 (Ω), c’est à dire espace des distributions
Cα,β
(Ω × (0, T)) Espace des fonctions de classe α dans Ω par rapport à x,
et de classe β dans (0, T) par rapport à t.
Lp
(Ω) {u : Ω → IR | u mesurable, Ω |u|p
< ∞}, 1 ≤ p < ∞
L∞
(Ω) {u : Ω → IR | u mesurable ∃C tal que |u(x)| ≤ C en
p.p. x ∈ Ω }
Lp
(Ω) Espace dual de Lp
(Ω)
Wk,p
(Ω) Espace de Sobolev, à dérivée jusqu’à l’ordre k
dans Lp
(Ω)
Wk,p
0 (Ω) Espace de Sobolev avec trace nulle
Hk
(Ω) Wk,2
(Ω)
Hk
0 (Ω) Wk,2
0 (Ω)

Introduction
La théorie des systèmes d’équations aux dérivées partielles non linéaires a
connu récemment un très grand avancement théorique et pratique, cette évolution
a été motivée par des applications des systèmes EDP en physique, biologie, chimie
et d’autre sciences.
Notre but dans ce mémoire est de considérer une classe de systèmes elliptiques
et paraboliques non linéaires couplés qui modélisent un événement d’interaction
entre deux populations biologiques.
Les termes non linéaires intègrent les interactions entre les deux espèces occu-
pant un domaine commun. Les cas de concurrence (compétition), de coopération
ou relation proie-prédateur sont couvertes par le modèle proposé.
Plus précisément, on considère le système parabolique suivant



∂u1
∂t
− σ1∆u1 = f1 (u1, u2) , (x, t) ∈ QT = Ω × (0, T)
∂u2
∂t
− σ2∆u2 = f2 (u1, u2) , (x, t) ∈ QT
u1(x, t) = g1(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
u2(x, t) = g2(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
(1)
Où Ω ∈ RN
est un domaine borné avec ∂Ω ∈ C2,α
, fi ∈ Cα
(R2
), et gi ∈ C2+α,1+α
2 (QT )
avec un certain 0 < α < 1 pour chaque i = 1, 2. Ainsi que le cas stationnaire
associé



−σ1∆u1 = f1 (u1, u2) , x ∈ Ω,
−σ2∆u2 = f2 (u1, u2) , x ∈ Ω,
u1 = 0 x ∈ ∂Ω,
u2 = 0 x ∈ ∂Ω.
(2)

4 Introduction
L’existence d’une solution pour le système parabolique (1) peut être démontré
en utilisant la théorie des semi-groupes. Dans ce mémoire on va développer la
méthode de monotonie pour prouver l’existence des solutions positives pour les
deux systèmes (elliptique et parabolique).
L’avantage de cette méthode est quelle peut être appliquée à une classe très
grande de systèmes non linéaires une fois qu’on a un principe de comparaison.
On peut couvrir même le cas où l’operateur principal n’est pas linéaires (de type
p-laplacien,...,).
A l’aide de cette méthode on va analyser aussi le comportement asymptotique
de la solution de système parabolique. L’idée consiste à utiliser un argument
d’encadrement et de passer à la limite dans le temps.
L’exemple typique qu’on va analyser en détail est le suivant :
f1(u, v) = u(a − bu − cv), f2(u, v) = v(e − gv − du).
Il est clair que cet exemple généralise le modèle logistique pour deux populations
distincts. Suivant les valeurs des paramètres a, b, c, d, e et g, on va couvrir les
trois cas importants : Concurrence, coopération ou relation proie-prédateur.
Le mémoire est divisé en trois chapitres : Le premier chapitre est dédié a
présenter des outils d’analyse non linéaire nécessaire pour étudier nos systèmes
et présenter d’une manière complète la méthode de monotonie.
Dans le chapitre deux on présente la méthode de monotonie (connue aussi
sous le nom de méthode de sous-sur solutions) dans un cadre général. Notons
que la situation est différente en comparant avec le cas d’une équation unique.
Suivant des hypothèses naturelles sur les fonctions f1 et f2, on va classifier le
problème en trois grandes catégories : Quasi-monotone-croissante, décroissante
ou mixte. Le but du chapitre est de démontrer l’existence d’une solution sous la
condition d’existence d’une sous et sur solution ordonnées.
Enfin dans le dernier chapitre on applique notre étude théorique pour traiter
le système (1).

Chapitre 1
Préliminaires
Nous présentons quelques outils d’analyse non-linéaire qui seront utilisés au
cours de ce mémoire. Notons qu’on va étudier deux types de problèmes "éllip-
tiques et paraboliques", nous allons donc subdiviser ce chapitre en trois parties :
Dans la première partie nous faisons appel à des résultats de base, comme les
notions des espaces de Lebesgue et quelques résultats de compacité d’usage im-
portant comme le théorème de Rellich-Kondrachov.
La deuxième partie est consacrée à présenter les outils nécessaires dans les es-
paces de Sobolev pour étudier les problèmes elliptiques.
Enfin dans la dernière section nous présentons les notions et les propositions
nécessaires dans les espaces de Sobolev paraboliques pour étudier les problèmes
paraboliques associés.
1.1 Quelques outils dans les espaces de Lebesgue
Dans toute la suite Ω désigne un ouvert de RN
muni de la mesure de Lebesgue
dx. Voici quelques définitions de base dans les espaces de Lebesgue :
Définition 1.1. Soit p ∈ R avec 1 ≤ p < ∞ ; on pose
Lp
(Ω) = f : Ω → R ; f mesurable et ||f||Lp < ∞ .
On note
||f||Lp =
Ω
|f(x)|p
dx
1/p

6 Chapitre 1. Préliminaires
C’est la norme dans l’espace de Lebesgue Lp
.
Définition 1.2. On pose
L∞
(Ω) = f : Ω → R ; f mesurable et ∃ une constante C tell que |f(x)| ≤ C p.p. surΩ .
On note ||f||L∞ = inf {C; |f(x)| ≤ C p.p.sur Ω}
Définition 1.3. Soit 1 ≤ p ≤ ∞ ; on dit qu’une fonction f : Ω → R appartient
à Lp
loc(Ω) si
f1K ∈ Lp
(Ω) pour tout compact K ⊂ Ω.
Notation On désigne par Ck
0 (Ω) l’espace des fonctions de Ck
sur Ω à support
compact, ∀k ∈ N
C’est-à-dire Ck
0 (Ω) = f ∈ Ck
; f(x) = 0 ∀x ∈ Ω K où K ⊂ Ω est un compact et ∀k ∈ N .
Théorème 1.1. Soit f ∈ L1
loc(Ω) tel que
fu = 0 ∀ u ∈ C0(Ω).
Alors f = 0 p.p. sur Ω
Remarque 1.1. Soit 1 ≤ p ≤ ∞ ; on désigne par q l’exposant conjugué de p
i.e. 1
p
+ 1
q
= 1.
On représente maintenant l’inégalité de Young qui sera un outil puissant pour
la démonstration de l’inégalité de Hölder (voir [4]) :
Théorème 1.2. (Inégalité de Young)
Soient p et q sont deux exposants conjugués, alors on a
ab ≤
ap
p
+
bq
q
∀ a ≥ 0, ∀ b ≥ 0.
Théorème 1.3. (Inégalité de Hölder)
Soient f ∈ Lp
et g ∈ Lq
avec 1 ≤ p ≤ ∞ deux exposants conjugués.
Alors f.g ∈ L1
et
|fg| ≤ ||f||Lp ||g||Lq .

1.1. Quelques outils dans les espaces de Lebesgue 7
Le théorème suivant donne un sens à la norme || . ||Lp , pour la démonstration
voir [4].
Théorème 1.4. Lp
est un espace vectoriel et || . ||Lp est une norme pour tout
1 ≤ p ≤ ∞.
Théorème 1.5. (Fischer-Riesz)
Lp
est un espace de Banach pour tout 1 ≤ p ≤ ∞.
Pour la preuve de ce théorème il est conseillé de voir [4]. Voici quelques
outils fondamentaux pour montrer la convergence d’une suite mesurable dans les
espaces LP
:
Théorème 1.6. (Théorème de convergence monotone de Beppo Levi)
Soit {fn} une suite croissante de fonctions de L1
telle que Sup
n
fn < ∞.
Alors fn(x) converge p.p. sur Ω vers une limite ﬁnie notée f(x) ; de plus f ∈ L1
et ||fn − f||L1 → 0.
Théorème 1.7. (Théorème de convergence dominée de Lebesgue)
Soit {fn} une suite de fonctions de L1
. On suppose que
a) fn(x) → f(x) p.p. sur Ω.
b) Il existe une fonction g ∈ L1
telle que pour chaque n, |fn(x)| ≤ g(x) p.p. sur
Ω.
Alors f ∈ L1
(Ω) et ||fn − f||L1 → 0.
Lemme 1.1. (Lemme de Fatou)
Soit {fn} une suite de fonctions de L1
telle que
(1) Pour chaque n, fn(x) ≥ 0 p.p. sur Ω
(2) Sup
n
fn < ∞.
Pour chaque x ∈ Ω on pose f(x) = limn→∞
inf fn(x).
Alors f ∈ L1
(Ω) et
f ≤ limn→∞
inf fn
.
Le lemme suivant est l’une des versions de lemme de Fatou :

Lemme 1.2. (Brézis-Lieb)(Correction de lemme de Fatou)
Pour 1 ≤ p < ∞, soit {fn} ⊂ Lp
(Ω) bornée telle que
fn → f p.p., alors f ∈ Lp
(Ω) et
lim
n→∞
|fn(x)|p
− |f(x)|p
− |fn(x) − f(x)|p
dµ = 0
⇔ |fn − f|p
= |fn|p
− |f|p
+ o(1)
On présente ici le lemme suivant qui sera trés utile pour montrer les résultats
d’existence.
Lemme 1.3. (Lemme de Vitali)
Soit Ω un demaine borné de RN
, µ(Ω) < ∞ avec
fn → f p.p. dans Ω et ||fn||Lp ≤ C, pour 1 ≤ p ≤ ∞
Si ∀ε > 0 ; ∃η > 0 telle que
∀E ⊂ Ω un ensemble mesurable avec µ(E) < η ⇒
E
|fn|p
dµ ≤ ε
Alors ||fn − f||Lp → 0.
Pour plus de détails sur les espaces de Lebesgue voir [4] et [7].
1.2 Quelques outils dans les espaces de Sobolev
Nous allons présenter dans cette section quelques définitions utiles qui seront
utilisées pour étudier les problèmes elliptiques.
Définition 1.4. Soit Ω un ouvert de IRN
, et soit 1 ≤ p ≤ +∞. L’espace de
Sobolev W1,p
(Ω) est défini par
W1,p
(Ω) ≡ u ∈ Lp
(Ω); tels que
∂u
∂xi
∈ Lp
(Ω) pour tout i = 1...N .
L’espace W1,p
(Ω) est muni de la norme suivante :
u W1,p(Ω) = u Lp(Ω) +
N
i=1
∂u
∂xi Lp(Ω)
,

1.2. Quelques outils dans les espaces de Sobolev 9
ou bien de la norme équivalente :
u W1,p(Ω) = u p
Lp(Ω) + u p
Lp(Ω)
1/p
(si 1 ≤ p < +∞)
Si p = +∞, la norme de l’espace W1,∞
(Ω) est donnée par
u W1,∞(Ω) := sup
Ω
|u| + sup
Ω
| u| .
En particulier pour p = 2, on note W1,p
= H1
est un espace de Hilbert muni du
produit scalaire
(u, v)H1 = (u, v)L2 +
N
i=1
∂u
∂xi
,
∂v
∂xi L2
, pour tout u, v ∈ H1
.
Et la norme associée
||u||H1 =

||u||2
L2 +
N
i=1
∂u
∂xi
2
L2


1
2
est une norme équivalente à celle de W1,2
.
La proposition suivante représente les proriétés fondamentales de l’espace W1,p
,
pour la preuve on renvoie le lecteur à la référence [4] :
Proposition 1.1. L’espace W1,p
est un espace de Banach pour 1 ≤ p ≤ ∞ ;
W1,p
est réﬂexif pour 1 < p < ∞ et séparable pour 1 ≤ p < ∞.
L’espace H1
est un espace de Hilbert séparable.
Voici un premier résultat de densité :
Théorème 1.8. (Friedrichs).
Soit u ∈ W1,p
(Ω) avec 1 ≤ p < ∞. Alors il existe une suite {un}n∈N de C∞
0 (RN
)
telle que
(1) un|Ω → u dans Lp
(Ω).
(2) un|ω → u|ω dans (Lp
(ω))N
pour tout ω ⊂⊂ Ω.
(Nous rappelons que la notation ω ⊂⊂ Ω signiﬁe que ω est un ouvert tel que
¯ω ⊂ Ω et ¯ω est un compact).

Pour la démonstration il est conseillé de voir [4].
Remarque 1.2. L’espace C1
0 (RN
) est dense dans l’espace W1,p
(RN
)
i.e C1
0 (RN) = W1,p
(RN
).
Nous présentons maintenant un théorème important qui affirme que si
1 ≤ p < ∞ alors W1,p
(Ω) ⊂ Lp∗
(Ω), et on prend Ω = RN
.
Théorème 1.9. (Inégalité de Sobolev) Soit 1 ≤ p < ∞, alors
W1,p
(RN
) ⊂ Lp∗
(RN
) où p∗
est donné par p∗
= Np
N−p
,
Et il existe une constante C = C(p, N) telle que
||u||Lp∗ ≤ C|| u||Lp ∀u ∈ W1,p
(RN
).
La preuve de ce théorème se trouve dans [4].
Définition 1.5. Soit 1 ≤ p < ∞, l’espace W1,p
0 (Ω) désigne la fermeture de C1
0 (Ω)
dans W1,p
(Ω). L’espace W1,p
0 (Ω) muni de la norme induite par W1,p
(Ω) est un
espace de Banach séparable, il est de plus réflexif si 1 < p < ∞.
Remarque 1.3. D’aprés la remarque (1.2), on a
W1,p
0 (RN
) = W1,p
(RN
).
Mais dans le cas général i.e pour Ω ⊂ RN
on a
W1,p
0 (Ω) = W1,p
(Ω).
Remarque 1.4. Une fonction v ∈ Lp
loc(Ω) alors v ∈ W1,p
loc (Ω), si pour tout
K ⊂⊂ Ω (compact) , v ∈ W1,p
(K).
Lemme 1.4. Soit u ∈ W1,p
(Ω), 1 ≤ p < ∞, avec Supp u compact inclus dans
Ω, alors u ∈ W1,p
0 (Ω).
Le corollaire suivant représente un résultat trés important dans les espaces
H1
0 .

1.2. Quelques outils dans les espaces de Sobolev 11
Corollaire 1.1. (Inégalié de Poincaré) on suppose que Ω est un ouvert borné.
Alors il existe une constante C (dépendant de Ω et p) telle que
||u||Lp ≤ C|| u||Lp (1 ≤ p < ∞).
L’expression || u||Lp est une norme sur W1,p
0 (Ω) qui est équivalente à la norme
||u||W1,p(Ω) ; sur H1
0 (Ω) l’expression
Ω
u v est un produit scalaire qui induit
la norme || u||L2 équivalente à la norme ||u||H1 .
Remarque 1.5. L’inégalié de Poincaré reste valable si Ω est de mesure finie, ou
bien si Ω est borné dans une direction.
Maitenant on présente le théorème de Rellich-Kondrachov qui est un ré-
sultat très important dans l’étude des EDP elliptiques, parce que il montre l’in-
jection entre les espaces de Sobolev W1,p
0 (Ω) et certains espaces de Lebesgues Lp
,
ce résultat de compacité est un outil fort dans l’étude des EDP qui nous permet
de passer d’un espace de Sobolev à un espace de Lebesgue.
Théorème 1.10 (Rellich-Kondrachov). Soit Ω un domaine borné de IRN
tel
que Ω est de classe C1
,
– Si p < N alors W1,p
(Ω) → Lq
(Ω), ∀q ∈ [1, p∗
[ avec p∗
= pN
N−p
.
– Si p = N alors W1,p
(Ω) → Lq
(Ω), ∀q ∈ [1, +∞[.
– Si p > N alors W1,p
(Ω) → C(¯Ω).
Si on remplace l’espace W1,p
(Ω) par W1,p
0 (Ω) alors les injections précédente sont
vérifiées indépendament de la régularité du domaine Ω.
Nous recueillons ici un théorème qui sera d’un usage fréquent dans ce qui
suit, c’est l’inégalité de Gagliardo-Niremberg.
Théorème 1.11. (Gagliardo-Niremberg)
Soit v ∈ W1,p
0 (Ω), p ≥ 1. Pour tout nombre fixé s ≥ 1, il existe une constante C
qui dépend uniquement de N, p et s telle que :
||v||Lq(Ω) ≤ C|| v||α
Lp(Ω)||v||1−α
Ls(Ω) (1.1)

Où α ∈ [0, 1] , p, q ≥ 1 vérifie :
α =
1
s
−
1
q
1
N
−
1
p
+
1
s
−1
(1.2)
Et valable si :
(1.1.i) Si N = 1, q ∈ [s, +∞], α ∈ 0, p
p+s(p−1)
(1.1.ii) Si 1 ≤ p < N, α ∈ [0, 1] et q ∈ s, Np
N−p
si s ≤ Np
N−p
q ∈
Np
N − p
, s si s ≥
Np
N − p
(1.1.iii) Si p ≥ N > 1 , q ∈ [s, +∞) et α ∈ 0, Np
Np+s(p−N)
.
Il est conseillé de voir [1], [4] et [6] pour avoir plus sur les espaces de Sobolev
1.3 Quelques outils dans les espaces de Sobolev
paraboliques
De même que dans la section précedente, on va présenter dans cette section
quelques outils qui seront utilisés pour étudier les problèmes paraboliques.
1.3.1 Quelque notations
Soit Ω un domaine borné dans RN
de frontiére ∂Ω et pour 0 < T < ∞ on
note ΩT = Ω × (0, T] c’est le domaine cylindrique.
Et aussi soit ST ≡ ∂Ω × (0, T],Γ ≡ ST ∪ (Ω × {0}) indiquent le bord latéral et le
bord parabolique de ΩT respectivement.
Nous itroduisons des espaces de fonctions de (x, t) ∈ ΩT , qui présentent une
régularité différente dans les variables d’espaces et de temps.
1.3.2 Quelques définitions et propriétés fondamentales
Définition 1.6. Soient q, r ≥ 1, f est une fonction définie et mesurable, elle
appartient à Lq,r
(ΩT ) ≡ Lr
(0, T; Lq
(Ω)) si :

1.3. Quelques outils dans les espaces de Sobolev paraboliques 13
||f||Lq,r(ΩT ) =
T
0
||f(., t)||r
Lq(Ω)dt
1
r
=
T
0 Ω
|f(x, t)|q
dx
r
q
dt
1
r
< ∞
En général pour X un espace de Banach 1 ≤ q ≤ ∞
f ∈ Lq
(0, T; X) ssi
T
0
||f(., t)||q
X
1
q
< ∞.
Déﬁnition 1.7.
On dit que f ∈ Lq,r
loc(ΩT ) si f ∈ Lq,r
(K) tell que K ⊂⊂ ΩT (un compact).
Remarque 1.6. Si q = r ceci implique que
||f||Lq,r(ΩT ) =
T
0
||f(., t)||q
Lq(Ω)dt
1
q
= ||f||Lq(ΩT )
D’où Lq,r
(ΩT ) ≡ Lq
(ΩT ), de même pour Lq,r
loc(ΩT ) ≡ Lq
loc(ΩT ).
Déﬁnition 1.8.
Soient m, p ≥ 1 et on considére les espaces de Banach.
V m,p
(ΩT ) ≡ L∞
(0, T; Lm
(Ω)) ∩ Lp
0, T; W1,p
(Ω)
Et
V m,p
0 (ΩT ) ≡ L∞
(0, T; Lm
(Ω)) ∩ Lp
0, T; W1,p
0 (Ω)
Et muni de la norme, pour v ∈ V m,p
(ΩT ) on a :
||v||V m,p
0 (ΩT ) ≡ ||v||L∞(0,T;Lm(Ω)) + ||v||Lp
(0,T;W1,p
0 (Ω))
D’autre part on a
||v||Lp
(0,T;W1,p
0 (Ω)) =
T
0
||v(., t)||p
W1,p
0 (Ω)
dt
1
p
Et on a
T
0
|| v(., t)||p
Lp(Ω)dt
1
p
=
T
0 Ω
| v(x, t)|p
dxdt
1
p
=
ΩT
| v(x, t)|p
dxdt
1
p
= || v||Lp(ΩT )

Par conséquence ||v||V m,p(ΩT ) ≡ supess
0<t<T
||v(., t)||Lm(Ω) +|| v||Lp(ΩT ), est une norme
pour les deux espaces ci-dessus.
Quand m = p, on a 


V p,p
0 (ΩT ) ≡ V p
0 (ΩT )
Et
V p,p
(ΩT ) ≡ V p
(ΩT )
La proposition suivante montre l’injection continue de V m,p
(ΩT ) dans Lq
(ΩT ) :
Proposition 1.2. Il existe une constante γ qui dépend uniquement de N, p
et m telle que :
ΩT
|v(x, t)|q
dxdt ≤ γp
ΩT
| v(x, t)|p
dxdt Supess
0<t<T Ω
|v(x, t)|m
dx
p
N
(1.3)
Où q = pN+m
N
De plus
||v||Lq(ΩT ) ≤ γ||v||V m,p(ΩT ) (1.4)
Démonstration. On suppose que N(p − m) + mp > 0
Pour q = pN+m
N
= p + pm
N
On a
Ω
|v(x, t)|q
dx =
Ω
|v(x, t)|p
|v(x, t)|
pm
N dx
=
Ω
|v(x, t)|
pN
N−p
N−p
N
(|v(x, t)|m
)
p
N dx
D’aprés l’inégalité de H¨older
≤
Ω
|v(x, t)|
pN
N−p dx
N−p
N
Ω
|v(x, t)|m
dx
p
N
Et d’aprés l’inégalité de Sobolev on a :
Ω
|v|
Np
N−p
N−p
Np
≤ γ
Ω
| v|p
1
p
Ceci implique
Ω
|v|
Np
N−p
N−p
N
≤ γp
Ω
| v|p

Donc
Ω
|v(x, t)|q
dx ≤ γp
Ω
| v|p
Ω
|v(x, t)|m
dx
p
N
pour 0 < t < T
On sait que v ∈ L∞
(0, T; Lm
(Ω)), d’où
Ω
|v|m
dx ≤ Supess
0<t<T Ω
|v(x, t)|m
dx
Ceci nous donne
Ω
|v(x, t)|q
dx ≤ γp
Ω
| v|p
Supess
0<t<T Ω
|v(x, t)|m
dx
p
N
, pour 0 < t < T
Et par suite, on intégre sur (0, T) i.e.
ΩT
|v(x, t)|q
dxdt ≤ γp
ΩT
| v|p
Supess
0<t<T Ω
|v(x, t)|m
dx
p
N
d’où (1.3)
Pour montrer (1.4) on réecrit (1.3) sous la forme
||v||Lq(ΩT ) =
T
0
||v(., t)||q
Lq(Ω)dt
1
q
=
T
0 Ω
|v(x, t)|q
dxdt
1
q
Ceci est équivalent à
||v||Lq(ΩT ) ≤ γ
p
q
ΩT
| v|p
dxdt
1
q
Supess
0<t<T Ω
|v(x, t)|m
dx
p
qN
≤ γ|| v||
p
q
Lq(ΩT ) Supess
0<t<T Ω
|v(x, t)|m
dx
p
qN
Et par suite
||v||Lq(ΩT ) ≤ γ|| v||
p
q
Lq(ΩT ) Supess
0<t<T
||v(., t)||Lm(Ω)
mp
qN
On a q = p + pm
N
⇔ p
q
+ pm
qN
= 1 ⇔ pm
qN
= 1 − p
q

On applique l’inégalité de Young, on aura donc
||v||Lq(ΩT ) ≤ γ









|| v||
p
q
Lq(ΩT )
q
p
q
p
+
Supess
0<t<T
||v(., t)||Lm(Ω)
mp
qN
1−
p
q
1
1−p
q









Alors
||v||Lq(ΩT ) ≤ Mγ

|| v||Lp(ΩT )+ Supess
0<t<T
||v(., t)||Lm(Ω)


≤ γ

|| v||Lp(ΩT )+ Supess
0<t<T
||v(., t)||Lm(Ω)


telle que M = max p
q
, 1 − p
q
< 1
D’où
||v||Lq(ΩT ) ≤ γ||v||V m,p(ΩT ) , ∀ v ∈ V m,p
(ΩT )
Par conséquence v ∈ Lq
(ΩT ) c-à-d V m,p
(ΩT ) → Lq
(ΩT ) (c’est l’injection conti-
nue de V m,p
(ΩT ) dans Lq
(ΩT )), d’où (1.4).
Un résultat important pour le cas où p = m et par l’utilisation du théorème
1.11 c’est la proposition suivante :
Proposition 1.3. Il existe une constante γ qui dépend uniquement de N et p,
telle que pour tout v ∈ V p
0 (ΩT ) :
||v||Lr(0,T;Lq(Ω)) ≤ γ||v||V p(ΩT ) (1.5)
Où les nombres q, r ≥ 1, sont reliés par :
1
r
+
N
pq
=
N
p2
(1.6)
Et valable si :



q ∈ (p, ∞), r ∈ [p2
, ∞); si N = 1
q ∈ p, Np
N−p
, r ∈ [p, ∞]; si 1 ≤ p < N
q ∈ [p, ∞), r ∈ p2
N
, ∞ ; si 1 < N ≤ p
(1.7)

Démonstration.
Soit v ∈ V p
0 (ΩT ) et soit r ≥ 1 choisi à partir du théorème 1.11 pour s = p
Il en résulte que :
||v(., t)||Lq(Ω) ≤ β|| v(., t)||α
Lp(Ω)||v(., t)||1−α
Lp(Ω)
Ceci veut dire
T
0
||v(., t)||r
Lq(ΩT )dt
1
r
≤ β
T
0
|| v(., t)||αr
Lp(Ω)||v(., t)||
(1−α)r
Lp(Ω) dt
1
r
≤ βSupess
0<t<T
||v(., t)||1−α
Lp(Ω)
T
0
|| v(., t)||αr
Lp(Ω)dt
1
r
On choisit αr = p, ceci nous donne
T
0
||v(., t)||r
Lq(ΩT )dt
1
r
≤ βSupess
0<t<T
||v(., t)||1−α
Lp(Ω)
T
0
|| v(., t)||p
Lp(Ω)dt
1
r
D’où
||v||Lr(0,T;Lq(Ω)) ≤ β Supess
0<t<T
||v(., t)||Lp(Ω)
1−p
r
|| v||
p
r
Lp(ΩT )
On applique l’inégalité de Young encore une fois on obtient
T
0
||v(., t)||r
Lq(ΩT )dt
1
r
≤ γ||v||V p(ΩT ) , où γ = βmax 1 −
p
r
,
p
r
.
On a p
r
= N 1
p
− 1
q
, d’où
γ = βmax 1 − N
1
p
−
1
q
, N
1
p
−
1
q
.
D’où (1.5).
Et (1.2), (1.1.i), (1.1.ii) et (1.1.iii) donnent (1.6), (1.7).
La proposition suivante est valable pour les fonctions v ∈ V p
(ΩT ) non nécés-
sairement nulles sur le bord latéral de ΩT .

Proposition 1.4. Il existe une constante γ qui dépend uniquement de N, p, m,
et la structure de ∂Ω, telle que pour tout v ∈ V p
(ΩT ) :
||v||Lr(0,T;Lq(Ω)) ≤ γ 1 +
T
|Ω|
p
N
1
r
||v||V p(ΩT ) (1.8)
Où q et r satisfassent (1.6) et (1.7).
Définition 1.9. (Moyennes de Steklov)
Soit v est une fonction dans L1
(ΩT ) et pour 0 < h < T, on introduit les moyennes
de Steklov :
vh(., t) est défini pour tout 0 < h < T par
vh ≡



1
h
t+h
t
v(., τ)dτ, si t ∈ (0, T − h)
0, si t > T − h
v¯h ≡



1
h
t
t−h
v(., τ)dτ, si t ∈ (h, T]
0, si t < h
Voici le lemme suivant qui utilise les les moyennes de Steklov, et pour sa
démonstration il suffit d’utiliser les propriétés des espaces Lp
.
Lemme 1.5.
Soit v ∈ Lq,r
(ΩT ), alors
vh −→
h→0
v dans Lq,r
(ΩT− ), ∀ ∈ (0, T).
Si v ∈ C (0, T; Lq
(Ω)), alors
vh(., t) −→
h→0
v(., t) dans Lq
(Ω), ∀t ∈ (0, T − ), ∀ ∈ (0, T).
Et on refait les mêmes démarches pour v¯h.
Pour plus de détails voir [5].

Chapitre 2
La méthode de monotonie
La méthode de sous et sur-solutions est un outil puissant pour établir des
résultats d’existence pour les équations diﬀérentielles. De plus, cette méthode
peut également être appliquée à des systèmes. L’idée de base de cette méthode
est d’utiliser une sous-solution ou une sur-solution comme une itération initiale
dans un processus itératif approprié, de sorte que la suite résultante d’itérations
soit monotone et converge vers une solution de ce problème.
Dans ce chapitre, la méthode de sous et sur-solutions et de son itération monotone
associée sont introduites pour une équation de la chaleur scalaire et un système
d’équations de chaleur couplées. Similairement cette méthode peut être appliquée
à des équations et des systèmes paraboliques dans une forme plus générale et
également à des équations et des systèmes elliptiques.
Nous faisons appel à un théorème nécessaire pour la suite :
Théorème 2.1. (Le principe du maximum :le cas elliptique )
et u ∈ W1,2
(Ω), alors si :



−∆u ≥ 0 dans Ω
u ≥ 0 dans ∂Ω
(2.1)
Ceci implique que u ≥ 0 dans Ω.
Et de même pour le cas parabolique :

20 Chapitre 2. La méthode de monotonie
Théorème 2.2. (Le principe du maximum : le cas parabolique )
et u ∈ L2
(0, T; W1,2
(Ω)) ∩ C ([0, T]; L2
(Ω)), si



ut − ∆u ≥ 0, (x, t) ∈ Ω × (0, T) = QT
u(x, 0) ≥ 0, (x, t) ∈ Ω × {0}
u(x, t) ≥ 0, (x, t) ∈ ∂Ω × (0, T)
(2.2)
Alors u ≥ 0 dans QT .En plus si u = 0, alors u > 0 dans QT .
Par conséquence on obtient le principe du comparaison suivant :
Théorème 2.3. (Principe du comparaison)
Soit u, v ∈ C2,1
(QT ) tels que



∂u
∂t
− ∆u ≥ ∂v
∂t
− ∆v, (x, t) ∈ Ω × (0, T) = QT
u ≥ v, (x, t) ∈ ∂pQT
(2.3)
alors u ≥ v dans QT . En plus si u(x0, t0) = v(x0, t0) pour (x0, t0) ∈ QT , alors
u = v dans QT .
Voir [9].
2.1 La méthode de monotonie pour les problèmes
paraboliques
Nous consiérons le problème parabolique non-linéaire



ut − ∆u = f(u), (x, t) ∈ Ω × (0, T) = QT
u(x, t) = g(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
(2.4)
Où Ω ⊂ RN
est un domaine borné, avec ∂Ω ∈ C2,α
, f ∈ Cα
(R) et g ∈ C2+α,1+α
2 (QT )
pour un certain 0 < α < 1.
Notre objectif dans ce chapitre est d’avoir des solutions classiques dans
C2,1
(QT ) ∩ C(QT ).

2.1. La méthode de monotonie pour les problèmes paraboliques21
2.1.1 Définition de sous et sur-solution
Définition 2.1. Une fonction u ∈ C2,1
(QT ) ∩ C(QT ) est dite sur-solution du
problème (2.4), si



ut − ∆u ≥ f(u), (x, t) ∈ QT
u(x, t) ≥ g(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
(2.5)
De même, une fonction u ∈ C2,1
(QT )∩C(QT ) est dite sous-solution du problème
(2.4), si 


u
t
− ∆u ≤ f(u), (x, t) ∈ QT
u ≤ g(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
(2.6)
u, u sont dites ordonnées si u(x, t) ≤ u(x, t), (x, t) ∈ QT .
Définition 2.2. Pour toute sous et sur-solution ordonnées nous définissons le
secteur u, u comme un intervalle fonctionnel :
u, u = u ∈ C(QT ); u(x, t) ≤ u(x, t) ≤ u(x, t), (x, t) ∈ QT
2.1.2 Itération et la propriété de monotonie
Il est clair que toute solution du problème (2.4) dans C2,1
(QT )∩C(QT ) est une
sous-solution ainsi qu’une sur-solution. Donc, des sous et sur-solutions existent
à moins que le problème n’a pas de solution dans C2,1
(QT ) ∩ C(QT )(c-à-d c’est
une condition nécessaire ).
Afin d’assurer l’existence d’une solution il est nécessaire de poser plus de condi-
tions sur la fonction de réaction f. Une hypothèse de base est la condition de
Lipschitz unilatéral suivante :
f(u1) − f(u2) ≥ −c(u1 − u2), u ≤ u2 ≤ u1 ≤ u (2.7)
Où c est une constante de Lipschitz et u, u sont des sous et sur-solution ordonnées
Si c = 0, la condition précédente est vérifiée si f est monotone (croissante) dans
R.

A partir de (2.7) la fonction F(u) = cu + f(u) est croissante en u pour
u ∈ u, u .
On ajoute cu dans les deux côtés de la première équation de (2.4), et en choisissant
une itération initiale appropriée u(0)
∈ C2,1
(QT ) ∩ C(QT ), nous construisons une
suite u(k)
∞
k=0
à partir du processus d’itération



u
(k)
t − ∆u(k)
+ cu(k)
= f(u(k−1)
) + cu(k−1)
= F(u(k−1)
), (x, t) ∈ QT
u(k)
(x, t) = g(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
(2.8)
Etant donné que pour chaque k ≥ 1, le côté droit de la première équation de
(2.8) est connu, la théorie de L2
et le principe du maximum nous garantissent
que la suite u(k)
∞
k=0
est bien déﬁnie. De la régularité des solutions des équations
de la chaleur
u(1)
∈ Cα, α
2 (QT ), u(k)
∈ C2+α,1+α
2 (QT ), k = 2, 3, ...
Un choix naturel de u(0)
est u(0)
= u et u(0)
= u. Notons les suites déﬁnies pour
(2.8) avec u(0)
= u et u(0)
= u par
u(k) ∞
k=0
, u(k) ∞
k=0
respectivement la suite supérieure et la suite inférieure de (2.8).
Le lemme suivant présente la propriété de monotonie de ces deux suites.
Lemme 2.1. Soient u, u des sous et sur-solution ordonnées du problème (2.4)
et f satisfait (2.7). Alors les suites u(k)
∞
k=0
et u(k)
∞
k=0
possèdent la propriété
de monotonie :
u(x, t) = u(0)
(x, t) ≤ u(k)
(x, t) ≤ u(k+1)
(x, t) (2.9)
≤ u(k+1)
(x, t) ≤ u(k)
(x, t) ≤ u(x, t) = u(0)
(x, t), (x, t) ∈ QT , k = 1, 2, ...
Démonstration.
Soit w(x, t) = u(0)
(x, t) − u(1)
(x, t) = u(x, t) − u(1)
(x, t), (x, t) ∈ QT

Alors w ∈ C2,1
(QT ) ∩ C(QT ), et vériﬁe



wt − ∆w + cw ≥ 0, (x, t) ∈ QT
w ≥ 0, (x, t) ∈ ∂pQT
Alors d’après le principe du maximum w ≥ 0 dans QT .
Ceci implique u(1)
(x, t) ≤ u(0)
(x, t), (x, t) ∈ QT .
De même u(x, t) = u(0)
(x, t) ≤ u(1)
(x, t), (x, t) ∈ QT .
Maintenant soit w(1)
(x, t) = u(1)
(x, t) − u(1)
(x, t), (x, t) ∈ QT
Alors w(1)
∈ C2,1
(QT ) ∩ C(QT ), et il vériﬁe



w
(1)
t − ∆w(1)
+ cw(1)
≥ F(u) − F(u) ≥ 0, (x, t) ∈ QT
w(1)
≥ g(x, t) − g(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂pQT
Et encore par le principe du maximum w(1)
≥ 0, dans QT
Alors nous avons
u(x, t) = u(0)
(x, t) ≤ u(1)
(x, t) ≤ u(1)
(x, t) ≤ u(0)
(x, t) = u(x, t), (x, t) ∈ QT .
On Suppose que
u(k−1)
(x, t) ≤ u(k)
(x, t) ≤ u(k)
(x, t) ≤ u(k−1)
(x, t), (x, t) ∈ QT , pour k ≥ 1.
Pour certains k ≥ 1 , la fonction
w(k)
(x, t) = u(k)
(x, t) − u(k+1)
(x, t), (x, t) ∈ QT .
Satisfait



w
(k)
t − ∆w(k)
+ cw(k)
= F(u(k−1)
) − F(u(k)
) ≥ 0, (x, t) ∈ QT
w(k)
≥ g(x, t) − g(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂pQT
Le principe du maximum implique w(k)
≥ 0, (x, t) ∈ QT

i.e.
u(k+1)
(x, t) ≤ u(k)
(x, t), (x, t) ∈ QT .
Un raisonnement similaire donne :
u(k)
(x, t) ≤ u(k+1)
(x, t), u(k+1)
(x, t) ≤ u(k+1)
(x, t), (x, t) ∈ QT .
D’où par récurrence on a (2.9) est bien démontré.
2.1.3 Résultats d’existence
La relation (2.9) implique que la suite supérieure u(k)
∞
k=0
est une suite
décroissante et minorée, et la suite inférieure u(k)
∞
k=0
est une suite croissante
et majorée donc elles convergent, d’où les limites
lim
k→∞
u(k)
(x, t) = u(x, t) et lim
k→∞
u(k)
(x, t) = u(x, t), (x, t) ∈ QT . (2.10)
Existent et satisfont
u(x, t) ≤ u(x, t) ≤ u(x, t) ≤ u(x, t), (x, t) ∈ QT .
Nous allons montrer que tous les deux u, u sont des solutions du problème (2.4).
Par ailleurs, si il existe une constante c ≤ c telle que
f(u1) − f(u2) ≤ −c(u1 − u2), u ≤ u2 ≤ u1 ≤ u, (2.11)
alors la solution est aussi unique dans u, u .
Nous présentons un lemme très important pour la suite de cette section, c’est le
lemme de l’estimation de Schauder.
Lemme 2.2.
Soient f ∈ Cα
(QT ), g ∈ C2+α,1+α
2 (QT ), pour 0 < α < 1, et c(x, t) ≤ 0, non
identiquement nulle

u est une solution du problème



ut − ∆u + cu = f, (x, t) ∈ QT
u(x, t) = g(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
Alors, il exist C > 0, tell que
||u||C2+α,1+ α
2
≤ C ||f||Cα + ||g||C2+α,1+ α
2
Pour plus de détails voir [10]. Le théorème suivant montre l’unicité de la
solution du problème (2.4) :
Théorème 2.4.
Soient u, u est une sous-solution et une sur-solution ordonnées du problème (2.4)
et f satisfait (2.7), alors :
i) La suite supérieure u(k)
∞
k=0
converge de façon monotone vers une solution u,
et la suite inférieure u(k)
∞
k=0
converge vers une solution u, et on a
u(x, t) ≥ u(x, t), (x, t) ∈ QT .
ii) Toute solution u∗
∈ u, u du problème (2.4) satisfait :
u(x, t) ≤ u∗
(x, t) ≤ u(x, t), (x, t) ∈ QT .
iii) Si en plus, la condition (2.11) est vériﬁée, alors u = u et est l’unique solution
dans u, u .
Démonstration.
On pose u(k)
∞
k=0
comme étant soit u(k)
∞
k=0
ou u(k)
∞
k=0
, et u comme étant
soit u ou u repectivement.
On a f ∈ Cα
(R), d’où F ∈ Cα
(R) où F est déﬁnie précédemment.
Comme u(k)
∞
k=0
converge de manière monotone vers u, de même F u(k)
∞
k=0
converge
de manière monotone vers F(u) (car F est continue ).
Comme il est indiqué plus haut, nous avons

u(1)
∈ Cα, α
2 (QT ), u(k)
∈ C2+α,1+α
2 (QT ), k = 2, 3, ...
De plus, il résulte de principe du maximum et l’estimation de Schauder
||u(k)
||C2+α,1+ α
2 (QT )
≤ C ||g||C2+α,1+ α
2 (QT )
+ ||u(k−1)
||C(QT ) , k = 2, 3, ...
De la propriété de monotonie (2.9)
u ≤ u(k)
≤ u, ∀k ≥ 0
Donc u(k)
∞
k=0
est uniformément bornée dans C2+α,1+α
2 (QT ), alors u ∈ C2+α,1+α
2 (QT )
est une solution du problème(2.4).
D’aprés (2.8) on a
u(k)
≤ u(j)
∀k, j
Alors quand k → ∞
u ≤ u(j)
∀j
De même quand j → ∞
u ≤ u d’où i)
Pour ii), si u∗
∈ u, u une solution du (2.4), alors u, u∗
sont une sous-solution
et une sur-solution (respectivement) du (2.4), d’après i) on a
u ≤ u∗
.
D’autre part on considère u∗
, u comme une sous-solution et une sur-solution
(respectivement) du (2.4) de même on a
u∗
≤ u, ceci implique le ii).
Enﬁn pour montrer iii), il suﬃt de démontrer que :
u(x, t) ≤ u(x, t), (x, t) ∈ QT .

On pose w(x, t) = u(x, t) − u(x, t), (x, t) ∈ QT .
On prend en compte c ≥ 0, d’où w satisfait



wt − ∆w = f(u) − f(u) ≥ −c(u − u) ≥ 0, (x, t) ∈ QT
w = g(x, t) − g(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂pQT
Alors par (2.11), le principe du maximum assure que w ≥ 0 i.e. u ≤ u, d’où
iii).
Remarque 2.1.
− Dans les conditions (2.7), (2.11) ; c, c ne sont pas nécessairement positives
En eﬀet d’après la démonstration précédante



wt − ∆w = f(u) − f(u) ≥ −c(u − u) = −cw, (x, t) ∈ QT
w = 0, (x, t) ∈ ∂pQT
Il est équivalent à



ect
w
t
− ∆ ect
w ≥ 0, (x, t) ∈ QT
ect
w = 0, (x, t) ∈ ∂pQT
On pose v = ect
w, d’où par le principe du maximum v = ect
w ≥ 0, ceci implique
w ≥ 0 .
−Encore une fois pour les conditions : (2.7) et (2.11)
Quand f ∈ C1
dans u, u , nous pouvons prendre ces constantes
c = − min f (u); u ∈ u, u
et
c = −max f (u); u ∈ u, u
Si f est lipschitzienne continue dans u, u , il existe une constante k ≥ 0
telle que
|f(u1) − f(u2)| ≤ k|u1 − u2|, u1, u2 ∈ u, u , u2 ≤ u1

donc nous pouvons prendre
c = k, c = −k.
Corollaire 2.1.
Soient u, u est une sous-solution et une sur-solution ordonnées du problème (2.4),
f ∈ C1
sur u, u , alors d’après le théorème 2.4 le problème (2.4) a une solution
unique dans u, u . De plus cette solution est la limite de la suite définie par
(2.8) avec u(0)
= u ou u(0)
= u. Si f est lipschitzienne continue dans u, u , on a
le même résultat.
Si f et g sont des fonctions positives alors d’après le principe du maximum la
fonction triviale u = 0 est une sous solution du problème (2.4). Alors l’existence
des solutions est possible si il existe une sur-solution positive. Une condition
suffisante est :
Pour certains ρ ≥ 0,
f(ρ) ≤ 0, ρ ≥ g(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT . (2.12)
Ceci implique à partir de (2.5) que u = ρ est une sur-solution du problème (2.4).
Par l’application du théorème 2.4 nous avons la conclusion suivante, qui est trés
utile dans les applications.
Théorème 2.5.
Soit u est une sur-solution du problème (2.4) et f est une fonction de C1
sur
0, u
Si
f(0) ≥ 0, g(x, t) ≥ 0, (x, t) ∈ ∂pQT .
Alors il existe une unique solution du problème (2.4) dans 0, u . Si (2.12) est
vérifiée donc pour certains ρ ≥ 0, alors u = ρ est une sur-solution positive.
Pour établir le théorème 2.4, l’existence d’une sous solution et une sur-solution
ordonnées est nécessaire. Dans la suite, nous allons démontrer que sous les condi-
tions (2.7) et (2.11) toute sous-solution et sur-solution sont ordonnées et u(k)
, u(k)
sont des sous-solution et sur-solution ordonnées pour k = 1, 2, ....

Théorème 2.6.
Soient u, u sont des sous-solution et sur-solution du problème (2.4) respective-
ment. Supposons que f vérifie (2.7) et (2.11) pour tout u1 et u2 entre u et u avec
u2 ≤ u1 Alors
u(k)
et u(k)
sont des sous-solution et sur-solution ordonnées du problème (2.4) pour
k = 1, 2, ...
Démonstration.
Soient
c∗
= max {| c|, |c|}, w(x, t) = u(x, t) − u(x, t), (x, t) ∈ QT .
Où c et c sont les constantes dans (2.7) et (2.11). On définit
c(x, t) = c∗
sgnw(x, t), où sgn est la fonction signe, définie par
sgn(x) =



1 si, x > 0
0 si, x = 0
−1 si, x < 0
Alors
wt − ∆w = f(u) − f(u) ≥ −cw, (x, t) ∈ QT
Puisque c est bornée dans QT , le principe du maximum implique
w ≥ 0 dans QT .
i.e.
u(x, t) ≤ u(x, t), (x, t) ∈ QT .
Pour toute k = 1, 2, ..., par (2.8)
u
(k)
t − ∆u(k)
= −cu(k)
+ F(u(k−1)
) = c u(k−1)
− u(k)
+ f(u(k−1)
) − f(u(k)
)
+f(u(k)
)
≥ f(u(k)
),

pour (x, t) ∈ QT . Et
u
(k)
t − ∆u(k)
= −c u(k)
+ F(u(k−1)
) = c u(k−1)
− u(k)
+ f(u(k−1)
) − f(u(k)
) +
f(u(k)
)
≤ f(u(k)
),
pour (x, t) ∈ QT .
D’autre part, (2.8) et (2.9) impliquent
u(k)
(x, t) ≥ g(x, t), u(k)
(x, t) ≤ g(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
Et
u(k)
(x, t) ≥ u(k)
(x, t), (x, t) ∈ QT
D’où u(k)
, u(k)
sont des sous-solution et sur-solution ordonnées.
Voir [10].
2.2 Méthode de monotonie pour les systèmes
parabolique couplés
La méthode de monotonie et sa sous-solution et sur-solution associée pour
les équations scalaires, discutée dans la section précédente, peut être étendue à
des systèmes d’équations couplés paraboliques et elliptiques. Toutefois, pour les
systèmes couplés d’équations, la déﬁnition des sous-solutions et sur-solutions et la
construction de suites monotones dépendent de la propriété de quasi-monotone
des fonctions de réaction dans le système. Pour illustrer l’idée de base de la
méthode, nous considérons un système couplé de deux équations paraboliques
de la forme :



∂u1
∂t
− ∆u1 = f1 (u1, u2) , (x, t) ∈ QT = Ω × (0, T)
∂u2
∂t
− ∆u2 = f2 (u1, u2) , (x, t) ∈ QT
u1(x, t) = g1(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
u2(x, t) = g2(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
(2.13)

2.2. Méthode de monotonie pour les systèmes parabolique
couplés 31
Où Ω ∈ RN
est un domaine borné avec ∂Ω ∈ C2,α
, fi ∈ Cα
(R2
), et gi ∈
C2+α,1+α
2 (QT ) pour un certain 0 < α < 1 pour chaque i = 1, 2.
2.2.1 Fonctions de réaction quasi-monotone
Soit Ji, i = 1, 2 des ensembles ouverts de R.
Définition 2.3. Une fonction fi = fi(u1, u2), i = 1, 2 est dite quasi-monotone
croissante (resp décroissante ) dans J1 × J2, si pour toute ui ∈ Ji fixée, fi est
croissante (resp décroissante) par rapport uj ∈ Jj pour i = j.
Définition 2.4. Une fonction vectorielle f = (f1, f2) est dite quasi-monotone
croissante (resp décroissante) dans J1×J2 si les f1, f2 sont quasi-monotones crois-
santes (resp décroissantes). Si l’une des composantes de f est quasi-monotone
croissante et l’autre est quasi-monotone décroissante, alors f est dite quasi-
monotone mixte.
La fonction f est dite quasi-monotone dans J1 × J2 si elle a une des propriétés
quasi-monotone ci-dessus.
Nous disons que f est une fonction de Cγ
, 0 ≤ γ ≤ 1 dans J1 × J2 si f1, f2 ∈ Cγ
.
Si f1(u1, .) est continûment différentiable dans J2, pour toute u1 ∈ J1 et f2(., u2)
est continûment différentiable dans J1, pour toute u2 ∈ J2 et, alors nous appelons
f = (f1, f2) une quasi-fonction de C1
dans J1 × J2 .
Si f = (f1, f2) est réguliere, alors les trois types de fonctions quasi-monotones
dans la définition précédente correspondent à
∂f1
∂u2
≥ 0, ∂f2
∂u1
≥ 0; (u1, u2) ∈ J1 × J2
∂f1
∂u2
≤ 0, ∂f2
∂u1
≤ 0; (u1, u2) ∈ J1 × J2
∂f1
∂u2
≤ 0, ∂f2
∂u1
≥ 0; (u1, u2) ∈ J1 × J2
2.2.2 Définition de sous-solution et sur-solution
Supposons la fonction de réaction f = (f1, f2) définie dans R2
possède les pro-
priétés quasi-monotone décrites en définition (2.4). Alors, nous pouvons étendre
la méthode de monotonie pour des équations scalaires du systéme couplés (2.13)
en utilisant une sous-solution et une sur-solution comme des itérations initiales.

La sous-solution et la sur-solution, notées par u = u
1
, u
2
et u = u1, u2 ,
respectivement sont nécessaires pour satisfaire l’inégalité,
u(x, t) ≤ g(x, t) ≤ u(x, t); (x, t) ∈ ∂pQT . (2.14)
Où g = (g1, g2). L’inégalité u = (u1, u2) ≥ v = (v1, v2) signifie que u1 ≥ v1 et
u2 ≥ v2.
Semblables à des problèmes scalaires la sous-solution u et la sur-solution u sont
définies par des inégalités différentielles. Cependant, la forme d’inégalités diffé-
rentielles pour u et u dépendent des différentes propriétés quasi-monotones de f.
Nous considérons toujours le cas où f1 est quasi-monotone décroissante et f2 est
quasi-monotone croissante quand f est quasi-monotone mixte.
Définition 2.5. Une paire de fonctions u = u
1
, u
2
et u = u1, u2 dans
C2,1
(QT )∩C(QT ) sont appelées sous -solution et sur-solution du problème (2.13),
si ils vérifient
u(x, t) ≤ u(x, t) ; (x, t) ∈ QT
et l’inégalité(2.14), et si



u1
t
− ∆u1 − f1 u1, u2 ≥ 0 ≥ u
1 t
− ∆u
1
− f1 u
1
, u
2
, (x, t) ∈ QT
u2
t
− ∆u2 − f2 u1, u2 ≥ 0 ≥ u
2 t
− ∆u
2
− f2 u
1
, u
2
,
(2.15)
Quand (f1, f2) est quasi-monotone croissante.



u1
t
− ∆u1 − f1 u1, u
2
≥ 0 ≥ u
1 t
− ∆u
1
− f1 u
1
, u2 , (x, t) ∈ QT
u2
t
− ∆u2 − f2 u
1
, u2 ≥ 0 ≥ u
2 t
− ∆u
2
− f2 u1, u
2
,
(2.16)
Quand (f1, f2) est quasi-monotone décroissante.



u1
t
− ∆u1 − f1 u1, u
2
≥ 0 ≥ u
1 t
− ∆u
1
− f1 u
1
, u2 , (x, t) ∈ QT
u2
t
− ∆u2 − f2 u1, u2 ≥ 0 ≥ u
2 t
− ∆u
2
− f2 u
1
, u
2
,
(2.17)

couplés 33
Quand (f1, f2) est quasi-monotone mixte.
Remarque 2.2.
On voit d’après cette définition que lorsque (f1, f2) est quasi-monotone crois-
sante, nous pouvons utiliser la première et la troisième inégalités dans (2.15)
pour déterminer u et utiliser la deuxième et la quatrième inégalités dans (2.15)
pour déterminer u de façon indépendante ; quand (f1, f2) est quasi-monotone
décroissante, nous pouvons utiliser la première et la quatrième inégalités dans
(2.16) pour déterminer u1, u
2
et utiliser la deuxième et la troisième inégali-
tés dans (2.16) pour déterminer u
1
, u2 de façon indépendante. Ainsi, quand
(f1, f2) est quasi-monotone mixte, alors u1, u2, u
1
, u
2
doivent être déterminés
simultanément par l’ensemble des quatre inégalités de (2.17).
Définition 2.6. Pour toutes sous-solution u = u
1
, u
2
et sur-solution
u = u1, u2 ordonnées, nous définissons le secteur fonctionnel
u, u = u = (u1, u2) ∈ C(QT ); u(x, t) ≤ u(x, t) ≤ u(x, t), (x, t) ∈ QT .
2.2.3 Suites monotones
Supposons pour un type donné de la fonction de réaction quasi-monotone il
existe une paire de sous-solution u = u
1
, u
2
et sur-solution
u = u1, u2 .
Dans la discussion qui suit, nous considérons chacun des trois types de fonctions
de réaction du secteur u, u . De plus, nous supposons qu’il existe des constantes
ci, i = 1, 2 sachant que pour tous (u1, u2), (v1, v2) ∈ u, u , (f1, f2) satisfait la
condition de Lipschitz unilatéral (pour assurer l’existence des solutions )



f1(u1, u2) − f1(v1, u2) ≥ −c1(u1 − v1), v1 ≤ u1
f2(u1, u2) − f2(u1, v2) ≥ −c2(u2 − v2), v2 ≤ u2
(2.18)
Afin d’assurer l’unicité de la solution, nous supposons également qu’il existe une
constante ci ≤ ci, i = 1, 2, sachant que pour tous (u1, u2), (v1, v2) ∈ u, u

avec (u1, u2) ≥ (v1, v2),



f1(u1, u2) − f1(v1, v2) ≤ −c1 ((u1 − v1) + (u2 − v2)) ,
f2(u1, u2) − f2(v1, v2) ≤ −c2 ((u1 − v1) + (u2 − v2)) ,
(2.19)
Il est clair que s’il existe des constantes Ki ≥ 0, i = 1, 2 sachant que f = (f1, f2)
satisfait la condition de Lipschitz
|fi(u1, u2) − fi(v1, v2)| ≤ Ki (|u1 − v1| + |u2 − v2|) ,
(u1, u2), (v1, v2) ∈ u, u , i = 1, 2.
Puis les deux conditions (2.18), (2.19) sont vérifiées pour ci = Ki, ci = −Ki. En
particulier, si (f1, f2) ∈ C1
dans u, u , alors les conditions (2.18) et (2.19) sont
vérifiées.
Soit Fi(u1, u2) = ciui + fi(u1, u2), (u1, u2) ∈ u, u , i = 1, 2.
Remarque 2.3. la condition (2.18) est équivalente à celle Fi est monotone crois-
sante en ui, pour i = 1, 2 .
En effet,
Pour i = 1,u1 ≥ v1, u2 ≥ v2
F1(u1, u2) − F1(v1, u2) = c1(u1 − v1) + f1(u1, u2) − f1(v1, u2) ≥ 0
De même pour F2.
A partir d’une itération initiale appropriée u(0)
= u
(0)
1 , u
(0)
2 ∈ C2,1
(QT ) ∩
C(QT ), nous construisons une suite u(k)
∞
k=0
= (u
(k)
1 , u
(k)
2 )
∞
k=0
du processus
d’itération



∂u
(k)
1
∂t
− ∆u
(k)
1 + c1u
(k)
1 = F1 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 , (x, t) ∈ QT
∂u
(k)
2
∂t
− ∆u
(k)
2 + c2u
(k)
2 = F2 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 , (x, t) ∈ QT
u
(k)
1 (x, t) = g1(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
u
(k)
2 (x, t) = g2(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
(2.20)
Il est clair que pour chaque k = 1, 2, ..., le système ci-dessus se compose de deux
problèmes linéaires découplées, et par conséquent l’existence de u(k)
= u
(k)
1 , u
(k)
2

couplés 35
est garanti par la théorie de L2
et le principe du maximum.
De plus, à partir de la régularité des solutions d’équations de la chaleur,
u
(1)
i ∈ Cα, α
2 (QT ), u
(k)
i ∈ C2+α,1+α
2 (QT ), i = 1, 2, k = 2, 3, ...
Comme dans le cas scalaire, aﬁn d’assurer que cette suite est monotone
et converge vers une solution du problème (2.13), il est nécessaire de choisir une
itération initiale appropriée. Le choix de cette fonction dépend du type de la
propriété quasi-monotone de f = (f1, f2).
Alors, pour les fonctions quasi-monotone croissantes, il suﬃt de prendre soit
u
(0)
1 , u
(0)
2 = u
1
, u
2
ou u
(0)
1 , u
(0)
2 = u1, u2 . Désignons ces deux suites par
(u
(k)
1 , u
(k)
2 )
∞
k=0
, et (u
(k)
1 , u
(k)
2 )
∞
k=0
, respectivement. Le lemme suivant présente
la propriété de monotonie de ces deux suites.
Lemme 2.3. Pour f = (f1, f2) quasi-monotone croissante, les deux suites (u
(k)
1 , u
(k)
2 )
∞
k=0
,
et (u
(k)
1 , u
(k)
2 )
∞
k=0
possèdent la propriété de monotonie
u(k)
(x, t) ≤ u(k+1)
(x, t) ≤ u(k+1)
(x, t) ≤ u(k)
(x, t), (x, t) ∈ QT k = 0, 1, 2, ...
(2.21)
Démonstration.
Soit w
(0)
i (x, t) = u
(0)
i (x, t) − u
(1)
i (x, t) = ui(x, t) − u
(1)
i (x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2
Par (2.14), (2.15) et (2.20),



∂w
(0)
i
∂t
− ∆w
(0)
i + ciw
(0)
i ≥ Fi u1, u2 − Fi u
(0)
1 , u
(0)
2 = 0, (x, t) ∈ QT
w
(0)
i (x, t) ≥ gi(x, t) − gi(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂pQT
Le principe du maximum implique w
(0)
i ≥ 0 dans QT , i.e.
u
(1)
i (x, t) ≤ u
(0)
i (x, t) = ui(x, t), (x, t) ∈ QT (i = 1, 2)
De même
u
i
(x, t) = u
(0)
i (x, t) ≤ u
(1)
i (x, t), (x, t) ∈ QT (i = 1, 2)

Soit w
(1)
i (x, t) = u
(1)
i (x, t) − u
(1)
i (x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2
Alors, d’aprés (2.20) et la monotonie de Fi, i = 1, 2



∂w
(1)
i
∂t
− ∆w
(1)
i + c1w
(1)
i ≥ Fi u
(0)
1 , u
(0)
2 − Fi u
(0)
1 , u
(0)
2 ≥ 0, (x, t) ∈ QT
w
(1)
i (x, t) = gi(x, t) − gi(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂pQT
Encore une fois le principe du maximum donne w
(1)
i ≥ 0 dans QT (i = 1, 2)
Alors, nous avons
u
(0)
i (x, t) ≤ u
(1)
i (x, t) ≤ u
(1)
i (x, t) ≤ u
(0)
i (x, t), (x, t) ∈ QT , (i = 1, 2).
Supposons que
u
(k−1)
i (x, t) ≤ u
(k)
i (x, t) ≤ u
(k)
i (x, t) ≤ u
(k−1)
i (x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2
Pour certains k ≥ 1. Alors d’aprés (2.20) et la monotonie de Fi, i = 1, 2, la
fonction
w
(k)
i (x, t) = u
(k)
i (x, t) − u
(k+1)
i (x, t), satisfait la relation



∂w
(k)
i
∂t
− ∆w
(k)
i + c1w
(k)
i ≥ Fi u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 − Fi u
(k)
1 , u
(k)
2 ≥ 0, (x, t) ∈ QT
w
(k)
i (x, t) = gi(x, t) − gi(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂pQT
D’où
u
(k+1)
i (x, t) ≤ u
(k)
i (x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2
Un argument similaire donne
u
(k)
i (x, t) ≤ u
(k+1)
i (x, t), u
(k+1)
i (x, t) ≤ u
(k+1)
i (x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2
D’où par récurrence on a (2.21).
Remarque 2.4.
Quand la fonction de réaction f = (f1, f2)est quasi-monotone décroissante, nous
choisissons u1, u
2
ou u
1
, u2 comme une itération initiale (u
(0)
1 , u
(0)
2 ) dans le
processus d’itération (2.20), et on obtient le processus monotone d’itération pour

couplés 37
cet cas :



∂u
(k)
1
∂t
− ∆u
(k)
1 + c1u
(k)
1 = F1 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 , (x, t) ∈ QT
∂u
(k)
2
∂t
− ∆u
(k)
2 + c2u
(k)
2 = F2 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 , (x, t) ∈ QT
∂u
(k)
1
∂t
− ∆u
(k)
1 + c1u
(k)
1 = F1 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 , (x, t) ∈ QT
∂u
(k)
2
∂t
− ∆u
(k)
2 + c2u
(k)
2 = F2 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 , (x, t) ∈ QT
u
(k)
1 (x, t) = u
(k)
1 (x, t) = g1(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
u
(k)
2 (x, t) = u
(k)
2 (x, t) = g2(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
(2.22)
et on note les suites correspondantes par (u
(k)
1 , u
(k)
2 )
∞
k=0
, (u
(k)
1 , u
(k)
2 )
∞
k=0
, res-
pectivement. Le lemme suivant présente la propriété de monotonie de ces deux
suites.
Lemme 2.4. Pour f = (f1, f2) quasi-monotone décroissante, les deux suites
(u
(k)
1 , u
(k)
2 )
∞
k=0
, et (u
(k)
1 , u
(k)
2 )
∞
k=0
possèdent la propriété de monotonie (2.21).
Démonstration.
Soit w
(0)
i (x, t) = u
(0)
i (x, t) − u
(1)
i (x, t) = ui(x, t) − u
(1)
i (x, t), (x, t) ∈ QT ,
i = 1, 2
Par (2.14), (2.16) et (2.22) et pour i = 1,



∂w
(0)
1
∂t
− ∆w
(0)
1 + c1w
(0)
1 ≥ F1 u1, u
2
− F1 u
(0)
1 , u
(0)
2 = 0, (x, t) ∈ QT
w
(0)
1 (x, t) ≥ g1(x, t) − g1(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂pQT
(0)
1 ≥ 0 dans QT , i.e.
De même pour i = 2 i.e
w
(0)
2 ≥ 0
dans QT
C-à-d
u
(1)
i (x, t) ≤ u
(0)
i (x, t) = ui(x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2
De même
u
i
(x, t) = u
(0)
i (x, t) ≤ u
(1)
i (x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2

Soit w
(1)
i (x, t) = u
(1)
i (x, t) − u
(1)
i (x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2
Alors, d’aprés (2.18) et (2.22), et pour i = 1



∂w
(1)
1
∂t
− ∆w
(1)
1 + c1w
(1)
1 ≥ F1 u1, u
2
− F1 u
1
, u2 , (x, t) ∈ QT
= c1 u1 − u
1
+ f1 u1, u
2
− f1 u
1
, u
2
+f1 u
1
, u
2
− f1 u
1
, u2 ≥ 0
w
(1)
1 (x, t) = g1(x, t) − g1(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂pQT
Encore une fois le principe du maximum donne w
(1)
1 ≥ 0 dans QT i = 1, 2
De même pour i = 2 i.e
w
(1)
i ≥ 0, dans QT , i = 1, 2
C-à-d, nous avons
u
(0)
i (x, t) ≤ u
(1)
i (x, t) ≤ u
(1)
i (x, t) ≤ u
(0)
i (x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2.
Supposons que
u
(k−1)
i (x, t) ≤ u
(k)
i (x, t) ≤ u
(k)
i (x, t) ≤ u
(k−1)
i (x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2
Pour certains k ≥ 1. Alors, d’aprés (2.18) et (2.22), i = 1, 2, la fonction
w
(k)
i (x, t) = u
(k)
i (x, t) − u
(k+1)
i (x, t)
satisfait la relation pour i = 1



∂w
(k)
1
∂t
− ∆w
(k)
1 + c1w
(k)
1 ≥ F1 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 − F1 u
(k)
1 , u
(k)
2 , (x, t) ∈ QT
= c1 u
(k−1)
1 − u
(k)
1 + f1 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 − f1 u
(k)
1 , u
(k−1)
2
+f1 u
(k)
1 , u
(k−1)
2 − f1 u
(k)
1 , u
(k)
2 ≥ 0
w
(k)
1 (x, t) = g1(x, t) − g1(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂pQT

couplés 39
Alors le principe du maximum donne w
(k)
1 (x, t) ≥ 0, de même pour i = 2 i.e
u
(k+1)
i (x, t) ≤ u
(k)
i (x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2
u
(k)
i (x, t) ≤ u
(k+1)
i (x, t), u
(k+1)
i (x, t) ≤ u
(k+1)
i (x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2
Remarque 2.5.
La construction de suites monotones pour les fonctions quasi-monotones mixtes
nécessite l’utilisation simultanée des deux sous-solution et sur-solution. Lorsque
f1 est quasi-monotone décroissante et f2 est quasi-monotone croissante, le pro-
cessus monotone d’itération est donné par



∂u
(k)
1
∂t
− ∆u
(k)
1 + c1u
(k)
1 = F1 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 , (x, t) ∈ QT
∂u
(k)
2
∂t
− ∆u
(k)
2 + c2u
(k)
2 = F2 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 , (x, t) ∈ QT
∂u
(k)
1
∂t
− ∆u
(k)
1 + c1u
(k)
1 = F1 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 , (x, t) ∈ QT
∂u
(k)
2
∂t
− ∆u
(k)
2 + c2u
(k)
2 = F2 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 , (x, t) ∈ QT
u
(k)
1 (x, t) = u
(k)
1 (x, t) = g1(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
u
(k)
2 (x, t) = u
(k)
2 (x, t) = g2(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
(2.23)
Et
u
(0)
1 , u
(0)
2 = u
1
, u
2
, u
(0)
1 , u
(0)
2 = u1, u2 . (2.24)
L’idée de cette construction est d’obtenir la propriété de monotonie des suites
présentées dans le lemme suivant.
Lemme 2.5. Pour f = (f1, f2) quasi-monotone mixte, les deux suites (u
(k)
1 , u
(k)
2 )
∞
k=0
,et (u
(k)
1 , u
(k)
2 )
∞
k=0
données par (2.23) et (2.24) possèdent la propriété monotone
(2.21).
Démonstration.
Soit w
(0)
i (x, t) = u
(0)
i (x, t) − u
(1)
i (x, t) = ui(x, t) − u
(1)
i (x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2

Par (2.17), (2.23) et (2.24)



∂w
(0)
1
∂t
− ∆w
(0)
1 + c1w
(0)
1 ≥ F1 u1, u
2
− F1 u
(0)
1 , u
(0)
2 = 0, (x, t) ∈ QT
∂w
(0)
2
∂t
− ∆w
(0)
2 + c2w
(0)
2 ≥ F2 u1, u2 − F2 u
(0)
1 , u
(0)
2 = 0, (x, t) ∈ QT
w
(0)
1 (x, t) ≥ g1(x, t) − g1(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂pQT
w
(0)
2 (x, t) ≥ g2(x, t) − g2(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂pQT
(0)
i ≥ 0 dans QT , i.e.
u
(1)
i (x, t) ≤ u
(0)
i (x, t) = ui(x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2
De même
u
i
(x, t) = u
(0)
i (x, t) ≤ u
(1)
i (x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2
Soit w
(1)
i (x, t) = u
(1)
i (x, t) − u
(1)
i (x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2
Alors, d’aprés (2.23), (2.24) et la monotonie de Fi, i = 1, 2
∂w
(1)
1
∂t
− ∆w
(1)
1 + c1w
(1)
1 = F1 u
(0)
1 , u
(0)
2 − F1 u
(0)
1 , u
(0)
2
= F1 u1, u
2
− F1 u
1
, u2
= c1 u1 − u
1
+ f1 u1, u
2
− f1 u
1
, u
2
+ f1 u
1
, u
2
− f1 u
1
, u2 ≥ 0,
∂w
(1)
2
∂t
− ∆w
(1)
2 + c2w
(1)
2 = F2 u
(0)
1 , u
(0)
2 − F2 u
(0)
1 , u
(0)
2 ,
= F2 u1, u2 − F2 u
1
, u
2
,
= c2 u2 − u
2
+ f2 u1, u2 − f2 u1, u
2
+ f2 u1, u
2
− f2 u
1
, u
2
≥ 0,
(x, t) ∈ QT
w
(1)
1 (x, t) = g1(x, t) − g1(x, t) = 0,
w
(1)
2 (x, t) = g2(x, t) − g2(x, t) = 0,
(x, t) ∈ ∂pQT .
En utilisant le principe du maximum donne w
(1)
i ≥ 0, dans QT , i = 1, 2
Alors, nous avons
u
(0)
i (x, t) ≤ u
(1)
i (x, t) ≤ u
(1)
i (x, t) ≤ u
(0)
i (x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2.

couplés 41
Supposons que
u
(k−1)
i (x, t) ≤ u
(k)
i (x, t) ≤ u
(k)
i (x, t) ≤ u
(k−1)
i (x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2
Pour certains k ≥ 1. Alors, d’aprés (2.23), (2.24) et la monotonie de Fi, i = 1, 2,
la fonction
w
(k)
i (x, t) = u
(k)
i (x, t) − u
(k+1)
i (x, t), satisfait la relation
∂w
(k)
1
∂t
− ∆w
(k)
1 + c1w
(k)
1 ≥ F1 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 − F1 u
(k)
1 , u
(k)
2
= c1 u
(k−1)
1 − u
(k)
1 + f1 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 − f1 u
(k)
1 , u
(k−1)
2 +
f1 u
(k)
1 , u
(k−1)
2 − f1 u
(k)
1 , u
(k)
2
≥ 0, (x, t) ∈ QT
∂w
(k)
2
∂t
− ∆w
(k)
2 + c2w
(k)
2 ≥ F2 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 − F2 u
(k)
1 , u
(k)
2
= c2 u
(k−1)
2 − u
(k)
2 + f2 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 − f2 u
(k−1)
1 , u
(k)
2 +
f2 u
(k−1)
1 , u
(k)
2 − f2 u
(k)
1 , u
(k)
2
≥ 0, (x, t) ∈ QT
w
(k)
1 (x, t) = g1(x, t) − g1(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂pQT
w
(k)
2 (x, t) = g2(x, t) − g2(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂pQT
D’où par l’utilisation de principe du maximum
u
(k+1)
i (x, t) ≤ u
(k)
i (x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2
u
(k)
i (x, t) ≤ u
(k+1)
i (x, t), u
(k+1)
i (x, t) ≤ u
(k+1)
i (x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2
Le lemme suivant montre que la construction ci-dessus des suites monotones
donne une suite de sous-solution et sur-solution ordonnées pour le problème
(2.13).

Lemme 2.6.
Soient u
1
, u
2
, u1, u2 est une sous-solution et une sur-solution ordonnées du
problème (2.13), et (f1, f2) quasi-monotone et satisfait (2.18). D’où, pour chaque
(f1, f2) quasi-monotone, les itérations correspondantes (u
(k)
1 , u
(k)
2 )
∞
k=0
,
et (u
(k)
1 , u
(k)
2 )
∞
k=0
, k = 1, 2, ... , donné par lemmes 2.3- 2.5 sont une sous et
sur-solution ordonnées.
Démonstration.
Considérons d’abord le cas où f = (f1, f2) est une fonction quasi-monotone
croissante. Alors par (2.18) et(2.20), nous avons pour k = 1, 2, ...
∂u
(k)
1
∂t
− ∆u
(k)
1 = −c1u
(k)
1 + F1 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2
= c1(u
(k−1)
1 − u
(k)
1 ) + f1(u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 ) − f1(u
(k)
1 , u
(k−1)
2 ) + f1(u
(k)
1 , u
(k−1)
2 )−
f1(u
(k)
1 , u
(k)
2 ) + f1(u
(k)
1 , u
(k)
2 )
≥ f1(u
(k)
1 , u
(k)
2 ), (x, t) ∈ QT
∂u
(k)
2
∂t
− ∆u
(k)
2 = −c2u
(k)
2 + F2 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2
= c2(u
(k−1)
2 − u
(k)
2 ) + f2(u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 ) − f2(u
(k−1)
1 , u
(k)
2 ) + f2(u
(k−1)
1 , u
(k)
2 )−
f2(u
(k)
1 , u
(k)
2 ) + f2(u
(k)
1 , u
(k)
2 )
≥ f2(u
(k)
1 , u
(k)
2 ), (x, t) ∈ QT
u
(k)
1 (x, t) = g1(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
u
(k)
2 (x, t) = g2(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
ce qui montre que (u
(k)
1 , u
(k)
2 ) est une sur-solution du notre problème. La preuve
de la sous-solution est similaire.
pour le cas quasi monotone décroissante. De même, d’aprés (2.18) et(2.22), nous
avons pour k = 1, 2, ... Nous commençons par u
(k)
1 , u
(k)
1
∂u
(k)
1
∂t
− ∆u
(k)
1 = −c1u
(k)
1 + F1 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2
= c1(u
(k−1)
1 − u
(k)
1 ) + f1(u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 ) − f1(u
(k)
1 , u
(k−1)
2 ) + f1(u
(k)
1 , u
(k−1)
2 )−
f1(u
(k)
1 , u
(k)
2 ) + f1(u
(k)
1 , u
(k)
2 )
≥ f1(u
(k)
1 , u
(k)
2 ), (x, t) ∈ QT

couplés 43
∂u
(k)
2
∂t
− ∆u
(k)
2 = −c2u
(k)
2 + F2 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2
= c2(u
(k−1)
2 − u
(k)
2 ) + f2(u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 ) − f2(u
(k−1)
1 , u
(k)
2 ) + f2(u
(k−1)
1 , u
(k)
2 )−
f2(u
(k)
1 , u
(k)
2 ) + f2(u
(k)
1 , u
(k)
2 )
≤ f2(u
(k)
1 , u
(k)
2 ), (x, t) ∈ QT
u
(k)
1 (x, t) = g1(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
u
(k)
2 (x, t) = g2(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
Et aprés pour u
(k)
1 , u
(k)
1 , on aura
∂u
(k)
1
∂t
− ∆u
(k)
1 = −c1u
(k)
1 + F1 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2
= c1(u
(k−1)
1 − u
(k)
1 ) + f1(u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 ) − f1(u
(k)
1 , u
(k−1)
2 ) + f1(u
(k)
1 , u
(k−1)
2 )−
f1(u
(k)
1 , u
(k)
2 ) + f1(u
(k)
1 , u
(k)
2 )
≤ f1(u
(k)
1 , u
(k)
2 ), (x, t) ∈ QT
∂u
(k)
2
∂t
− ∆u
(k)
2 = −c2u
(k)
2 + F2 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2
= c2(u
(k−1)
2 − u
(k)
2 ) + f2(u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 ) − f2(u
(k−1)
1 , u
(k)
2 ) + f2(u
(k−1)
1 , u
(k)
2 )−
f2(u
(k)
1 , u
(k)
2 ) + f2(u
(k)
1 , u
(k)
2 )
≥ f2(u
(k)
1 , u
(k)
2 ), (x, t) ∈ QT
u
(k)
1 (x, t) = g1(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
u
(k)
2 (x, t) = g2(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
ce qui montre que (u
(k)
1 , u
(k)
2 ) et (u
(k)
1 , u
(k)
2 ) sont des sous et sur-solutions du notre
problème pour chaque itération k.
Et enﬁn pour le dernier cas c’est le cas où f = (f1, f2) est une fonction quasi-
monotone mixte. Alors par (2.18) et(2.23), nous avons pour k = 1, 2, ... tout
d’abord, nous commençons par (u
(k)
1 , u
(k)
2 )
∂u
(k)
1
∂t
− ∆u
(k)
1 = −c1u
(k)
1 + F1 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2
= c1(u
(k−1)
1 − u
(k)
1 ) + f1(u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 ) − f1(u
(k)
1 , u
(k−1)
2 ) + f1(u
(k)
1 , u
(k−1)
2 )−
f1(u
(k)
1 , u
(k)
2 ) + f1(u
(k)
1 , u
(k)
2 )
≥ f1(u
(k)
1 , u
(k)
2 ), (x, t) ∈ QT

∂u
(k)
2
∂t
− ∆u
(k)
2 = −c2u
(k)
2 + F2 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2
= c2(u
(k−1)
2 − u
(k)
2 ) + f2(u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 ) − f2(u
(k−1)
1 , u
(k)
2 ) + f2(u
(k−1)
1 , u
(k)
2 )−
f2(u
(k)
1 , u
(k)
2 ) + f2(u
(k)
1 , u
(k)
2 )
≥ f2(u
(k)
1 , u
(k)
2 ), (x, t) ∈ QT
u
(k)
1 (x, t) = g1(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
u
(k)
2 (x, t) = g2(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
Et aprés pour (u
(k)
1 , u
(k)
2 ), nous aurons
∂u
(k)
1
∂t
− ∆u
(k)
1 = −c1u
(k)
1 + F1 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2
= c1(u
(k−1)
1 − u
(k)
1 ) + f1(u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 ) − f1(u
(k)
1 , u
(k−1)
2 ) + f1(u
(k)
1 , u
(k−1)
2 )−
f1(u
(k)
1 , u
(k)
2 ) + f1(u
(k)
1 , u
(k)
2 )
≤ f1(u
(k)
1 , u
(k)
2 ), (x, t) ∈ QT
∂u
(k)
2
∂t
− ∆u
(k)
2 = −c2u
(k)
2 + F2 u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2
= c2(u
(k−1)
2 − u
(k)
2 ) + f2(u
(k−1)
1 , u
(k−1)
2 ) − f2(u
(k−1)
1 , u
(k)
2 ) + f2(u
(k−1)
1 , u
(k)
2 )−
f2(u
(k)
1 , u
(k)
2 ) + f2(u
(k)
1 , u
(k)
2 )
≤ f2(u
(k)
1 , u
(k)
2 ), (x, t) ∈ QT
u
(k)
1 (x, t) = g1(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
u
(k)
2 (x, t) = g2(x, t), (x, t) ∈ ∂pQT
Et de même il résulte que (u
(k)
1 , u
(k)
2 ) et (u
(k)
1 , u
(k)
2 ) sont des sous et sur-solutions
de notre problème pour chaque itération k.
2.2.4 Résultats d’existence
Les lemmes 2.3 à 2.5 impliquent que, pour chacun des trois types des fonctions
quasi-monotones, la suite correspondante obtenue à partir de (2.20),(2.22) et
(2.21) converge de façon monotone. La même chose est vraie pour la suite donnée
par (2.23). Déﬁnir
lim
k→∞
u
(k)
i (x, t) = ui(x, t) et lim
k→∞
u
(k)
i (x, t) = ui(x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2. (2.25)

couplés 45
En suivant le même raisonnement que dans la démonstration du théorème 2.4,
nous allons montrer que sous les conditions (2.18), (2.19)
ui(x, t) = u(x, t) = ui(x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2.
Et u = (u1, u2) est l’unique solution de problème (2.13), pour chacun des trois
types de fonctions de réaction quasi-monotones.
Nous allons montrer maintenant l’unicité de la solution de problème (2.13)
pour le cas quasi-monotone croissante :
Théorème 2.7.
Soient u
1
, u
2
problème (2.13), et soit (f1, f2) quasi-monotone croissante dans u, u et vériﬁant
les conditions (2.18) et (2.19). Alors le problème (2.13) a une solution unique
u = (u1, u2) dans u, u .
De plus, les suites (u
(k)
1 , u
(k)
2 )
∞
k=0
, et (u
(k)
1 , u
(k)
2 )
∞
k=0
, obtenues à partir de (2.20)
avec
(u
(0)
1 , u
(0)
2 ) = u
1
, u
2
et (u
(0)
1 , u
(0)
2 ) = u1, u2 ,
convergent de façon monotone vers (u1, u2) et vériﬁent la relation
u
1
, u
2
≤ (u
(k)
1 , u
(k)
2 ) ≤ (u1, u2) ≤ (u
(k)
1 , u
(k)
2 ) ≤ u1, u2 , dans QT , k = 1, 2, ...
(2.26)
Démonstration.
On pose u(k)
∞
k=0
étre soit u(k)
∞
k=0
ou u(k)
∞
k=0
. Par le lemme 2.3 cette suite
converge de façon monotone dans une certaine limite (u1, u2)
quand k → ∞, la propriété de continuité et de monotonie de Fi implique que
Fi(u
(k)
1 , u
(k)
2 ) converge de façon monotone vers Fi(u1, u2), pour i = 1, 2. De la
régularité des solutions d’équations de la chaleur,
u
(1)
i ∈ Cα, α
2 (QT ), u
(k)
i ∈ C2+α,1+α
2 (QT ), k = 2, 3, ..., i = 1, 2.

||u
(k)
i ||C2+α,1+ α
2 (QT ) ≤ C ||g||C2+α,1+ α
2 (QT ) + ||u
(k−1)
1 ||C0(QT ) + ||u
(k−1)
2 ||C0(QT ) , k = 2, 3, ...,
Où i = 1, 2, C > 0 est une constante dépendant uniquement de α, Ω, T, et fi
mais indépendante de k. De la propriété de monotonie 2.21, u
(k)
i
∞
k=0
est uni-
formément bornée dans C2+α,1+α
2 (QT ). Donc, ui ∈ C2+α,1+α
2 (QT ), i = 1, 2 est
une solution du problème (2.13). Et (2.26) résulte de la propriété de monotonie
(2.21).
Maintenant, nous montrons que
ui(x, t) = ui(x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2. (2.27)
Soit wi(x, t) = ui(x, t) − ui(x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2.
Puis, à partir de la propriété de monotonie 2.21, on a
wi(x, t) ≤ 0, (x, t) ∈ QT , i = 1, 2. (2.28)
Par (2.13) et la condition (2.19), wi ∈ C2,1
(QT ) ∩ C(QT ) , i = 1, 2. satisfait
∂wi
∂t
− ∆wi = fi (u1, u2) − fi (u1, u2)
≥ ci ((u1 − u1) + (u2 − u2)) = −ci(w1 + w2), (x, t) ∈ QT ,
wi(x, t) = gi(x, t) − gi(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂pQT .
Donc w1 + w2 vérifie la relation
∂(w1 + w2)
∂t
− ∆(w1 + w2) ≥ −(c1 + c2)(w1 + w2), (x, t) ∈ QT
(w1 + w2)(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂pQT .
Le principe du maximum garantit que (w1 + w2)(x, t) ≥ 0, (x, t) ∈ QT
Ceci et (2.28) conduisent à (2.27).
De (2.27), pour montrer l’unicité de la solution du problème (2.13) dans
u, u , il suffit de vérifier que toute solution u∗
∈ u, u satisfait la relation
u(x, t) ≤ u∗
(x, t) ≤ u(x, t), (x, t) ∈ QT .

couplés 47
Cela peut être prouvé par le même argument que dans la démonstration du
théorème 2.4-ii).
Maintenant nous allons discuter sur le cas quasi-monotone décroissante .
Théorème 2.8.
Soient u
1
, u
2
problème (2.13), et soit (f1, f2) quasi-monotone décroissante dans u, u et vé-
riﬁant les conditions (2.18) et (2.19). Alors le problème (2.13) a une solution
unique u = (u1, u2) dans u, u .
(k)
1 , u
(k)
2 )
∞
k=0
, et (u
(k)
1 , u
(k)
2 )
∞
k=0
avec
(u
(0)
1 , u
(0)
2 ) = u1, u
2
et (u
(0)
1 , u
(0)
2 ) = u
1
, u2 ,
convergent de façon monotone vers (u1, u2) et vériﬁent la relation (2.26).
Démonstration.
On pose u(k)
∞
k=0
étre soit u(k)
∞
k=0
ou u(k)
∞
k=0
. D’aprés le lemme 2.4 cette
suite converge de façon monotone vers une certaine limite (u1, u2)
quand k → ∞, la propriété de continuité et de monotonicité de Fi implique que
Fi(u
(k)
1 , u
(k)
2 ) converge de façon monotone vers Fi(u1, u2), pour i = 1, 2. De la
régularité des solutions d’équations de la chaleur,
u
(1)
i ∈ Cα, α
2 (QT ), u
(k)
i ∈ C2+α,1+α
2 (QT ), k = 2, 3, ..., i = 1, 2.
De plus, il résulte du l’estimation de Schauder
||u
(k)
i ||C2+α,1+ α
2 (QT ) ≤ C ||g||C2+α,1+ α
2 (QT ) + ||u
(k−1)
1 ||C0(QT ) + ||u
(k−1)
2 ||C0(QT ) , k = 2, 3, ...,
Où i = 1, 2, C > 0 est une constante dépendant uniquement de α, Ω, T, et fi
mais indépendante de k . De la propriété de monotonie (2.21), u
(k)
i
∞
k=0
est
uniformément bornée dans C2+α,1+α
2 (QT ) . Donc, ui ∈ C2+α,1+α
2 (QT ), i = 1, 2 est
une solution du problème (2.13). Et (2.26) résulte de la propriété de monotonie

2.21 .
Maintenant, nous montrons que
ui(x, t) = ui(x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2. (2.29)
Soit wi(x, t) = ui(x, t) − ui(x, t), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2.
Puis, à partir de la propriété de monotonie (2.21), on a
wi(x, t) ≤ 0, (x, t) ∈ QT , i = 1, 2. (2.30)
Par (2.22) et les conditions (2.19) et (2.18), wi ∈ C2,1
(QT ) ∩ C(QT ), i = 1, 2.
On a
∂w1
∂t
− ∆w1 = f1(u1, u2) − f1(u1, u2)
≥ −c1w1 − c1w2
∂w2
∂t
− ∆w2 = f2(u1, u2) − f1(u1, u2)
≥ −c2w1 − c2w2
D’où pour w = w1 + w2 et σ1 = σ2 = σ on aura



∂w
∂t
− ∆w ≥ −(c1 + c2)w1 − (c1 + c2)w2 = −(c1 + c2)w, (x, t) ∈ QT
w ≥ 0, (x, t) ∈ ∂QT
Le principe du maximum garantit que (w1 + w2)(x, t) ≥ 0, (x, t) ∈ QT .
Ceci et (2.30) conduisent à (2.29) .
De (2.29), pour montrer l’unicité de la solution du problème (2.13) dans
u, u , il suﬃt de vériﬁer que toute solution u∗
∈ u, u satisfait la relation
u(x, t) ≤ u∗
(x, t) ≤ u(x, t), (x, t) ∈ QT .
Cela peut être prouvé par le même argument que dans la démonstration du
théorème 2.4-ii).
Le théorème suivant représente le dernier cas c’est à dire le cas où la fonction
f = (f1, f2) est une fonction quasi-monotone mixte, et pour la démonstration de
ce théorème, il est conseillé de voir [10].

couplés 49
Théorème 2.9.
Soient u
1
, u
2
problème (2.13), et soit (f1, f2) quasi-monotone mixte dans u, u et vériﬁer les
conditions (2.18) et (2.19). Alors le problème (2.13) a une solution unique
u = (u1, u2) dans u, u .
(k)
1 , u
(k)
2 )
∞
k=0
, et (u
(k)
1 , u
(k)
2 )
∞
k=0
avec
(u
(0)
1 , u
(0)
2 ) = u
1
, u
2
et (u
(0)
1 , u
(0)
2 ) = u1, u2 ,
convergent de façon monotone vers (u1, u2) et vériﬁent la relation (2.26).

Chapitre 3
Applications
3.1 Introduction
Dans ce chapitre, nous considérons un système de deux équations aux dérivées
partielles décrivant deux espèces de population en interaction. Chaque espèce
ayant une diﬀusion à partir de l’emplacement de plus de concentration vers de
plus faible concentration, et ils interagissent les uns avec les autres dans un
modèle proie-prédateur, compétition ou relation de coopération . Nous insistons
sur la situation dans laquelle l’espèce doit avoir une concentration nulle sur le
bord de l’environnement. Ceux-ci sont connus comme les équations de réaction-
diﬀusion avec condition de Dirichlet homogène. Nous considérons la possibilité
d’équilibre de coexistence positive pour le cas de proie-prédateur dans la sous-
section 3.3.1, espèces en compétition dans la sous-section 3.3.2, et espèces en
coopération dans la sous-section 3.3.3. Ils sont alors des systèmes d’équations
aux dérivées partielles elliptiques de la forme :



−σ1∆u = u(a1 + h1(u, v)) = f1(u, v),
x ∈ Ω
−σ2∆v = v(a2 + h2(u, v)) = f2(u, v),
u = v = 0 x ∈ ∂Ω
(3.1)

52 Chapitre 3. Applications
Dans ce chapitre, nous supposons toujours que Ω est un domaine borné dans
RN
, N ≥ 2.
Les constantes a1, a2 sont respectivement les taux de croissance des espèces dont
la concentration de population à la position x sont indiquées par u = u(x) et v =
v(x). Les paramètres σ1 et σ2 sont des constantes dites coefficient de diffusion
positifs. Les fonctions de réaction f1(u, v), f2(u, v) correspondent aux interactions
entre les populations et dépendent des effectifs des deux populations.
Dans ce chapitre les fonctions h1 et h2 sont exprimées par les expressions
h1(u, v) = −bu + k1(v), h2(u, v) = −gv + k2(u). Les signes des fonctions k1(v) et
k2(u) rendent compte de ce caractère favorable ou non à la croissance. Plusieurs
cas sont possibles :
1. (+, −) ou (−, +) : une population a un effet positif sur la croissance de
l’autre mais on a l’effet inverse dans l’autre sens. Il s’agit par exemple des
relations proie-prédateur ou encore hôte-parasite.
2. (−, −) : chaque population exerce un effet négatif sur la croissance de
l’autre. C’est le cas de la compétition interspécifique.
3. (+, +) : chaque population favorise la croissance de l’autre population.
C’est le cas du mutualisme ou encore de la symbiose.
Nous allons étudier ces paramètres afin que les états de coexistence soient
possibles. Nous allons utiliser la méthode de monotonie étudiée au chapitre pré-
cédent. Nous considérons le système parabolique associé au système (3.1) :



ut − σ1∆u = u(a1 + h1(u, v)),
(x, t) ∈ Q = Ω × (0, ∞)
vt − σ2∆v = v(a2 + h2(u, v)),
u(x, 0) = g1(x), x ∈ Ω
v(x, 0) = g2(x), x ∈ Ω
u = v = 0, x ∈ ∂Ω × (0, ∞)
(3.2)
Nous commençons par l’étude de l’existence et l’unicité de la solution de problème
(3.2).

3.2. Existence et unicité de problème parabolique 53
3.2 Existence et unicité de problème parabo-
lique
Nous considérons les expressions des fonctions h1 et h2 comme
h1(u, v) = −bu + αv et h2(u, v) = −gv + βu
et a1 = a et a2 = e, alors (3.2) devient



ut − σ1∆u = u(a − bu + αv) = f1(u, v),
(x, t) ∈ Q
vt − σ2∆v = v(e − gv + βu) = f2(u, v),
u(x, 0) = g1(x), x ∈ Ω
v(x, 0) = g2(x), x ∈ Ω
u = v = 0, (x, t) ∈ ∂Ω × (0, ∞)
(3.3)
Où a, b, e, g, σ1 et σ2 sont des constantes strictement positives.
Et nous identifions ces paramétres :
1. a, e : representent les taux de croissance des espèces dont la concentra-
tion de population à la position x et à l’instant t sont indiquées par
u = u(x, t) et v = v(x, t).
2. σi : pour i = 1, 2 sont des constantes dites coefficient de diffusion positifs.
3. Pour b, g : sont des constantes représentent l’interaction entre deux indivi-
dus de même espèce. Il est clair ici que la croissance des deux espèces est
une croissance logistique avec des capacités limites K1 = a
b
, K2 = e
g
de u et
v respectivement
4. Et si :
(a) cas 01 :α = −c, β = d, on obtient un modèle proie-prédateur, d’où
c rend compte de l’efficacité des prédateurs dans leurs attaques, et
d = δc telle que δ est appelé couramment le rendement de conversion

de la biomasse proie en biomasse prédateur.
(b) cas 02 :α = −c, β = −d, d’où on a un modèle de compétition, donc c
et d caractérisent la force de compétition exercée par une population
sur l’autre
(c) cas 03 : α = c, β = d, dans ce cas on a un modèle de coopération (par
exemple le modéle de mutialisme ), et de même c et d caractérisent
l’eﬀet positif de chaque espèce sur l’autre
Où c et d sont des constantes strictement positives.
Nous utilisons la méthode de monotonie pour montrer l’existence et l’unicité de
la solution dans les trois cas précédents, tout d’abord il faut voir les signes de
∂f1
∂v
et ∂f2
∂u
, où f1, f2 ∈ C1
(R+ × R+) dans les trois cas possibles.
– cas 01 : α = −c, β = d,
∂f1
∂v
= −cu ≤ 0, ∀u ≥ 0 et ∂f2
∂u
= dv ≥ 0, ∀v ≥ 0., d’où f1 est quasi-
monotone décroissante par rapport à v et f2 est quasi-monotone croissante
par à rapport u, donc nous sommes dans le cas quasi-monotone mixte.
– cas 02 : α = −c, β = −d,
∂f1
∂v
= −cu ≤ 0, ∀u ≥ 0 et ∂f2
∂u
= −dv ≤ 0, ∀v ≥ 0., d’où f1 est quasi-
monotone décroissante par rapport à v et f2 est aussi quasi-monotone dé-
croissante par à rapport u, donc nous sommes dans le cas quasi-monotone
décroissant.
– cas 03 :α = c, β = d,
∂f1
∂v
= cu ≥ 0, ∀u ≥ 0 et ∂f2
∂u
= dv ≥ 0, ∀v ≥ 0 , d’où f1 est quasi-monotone
croissante par rapport à v et de même f2 est quasi-monotone croissante par
à rapport u, donc nous sommes dans le cas quasi-monotone croissant .
Et aprés on cherche les sous et les sur-solutions du problème (3.3) dans les trois
cas possibles.
Pour la sous-solution on pose u, v = (0, 0) pour les trois cas et suivant des
conditions sur f1 et f2 pour chaque cas, d’autre part pour la sur-solution on
cherche une sur-solution sous forme des constantes i.e.
u, v = (ρ1, ρ2), telle que ρi > 0 , i = 1, 2.

3.2. Existence et unicité de problème parabolique 55
1. Pour le premier cas : (i.e. F = (f1, f2) est quasi-monotone mixte), et par
l’utilisation de (2.17)
u, v = (0, 0), u, v = (ρ1, ρ2) sont une sous-solution et une sur-solution
du problème (3.3) (respectivement ), ssi
ρ1 ≥ a
b
, ρ2 ≥ 1
g
e + da
b
, et 0 ≤ gi(x) ≤ ρi, i = 1, 2, x ∈ Ω
On peut choisir par exemple u, v = a
b
, 1
g
e + da
b
, alors on applique
le théorème 2.9 pour σ1 = σ2, donc le problème (3.3) admet une solution
unique dans
u, v , u, v .
2. La même démarche peut étre appliquée pour le deuxième cas i.e F =
(f1, f2) est quasi-monotone décroissante, nous utilisons (2.16)
u, v = (0, 0), u, v = (ρ1, ρ2) sont une sous-solution et une sur-solution
du problème (3.3) (respectivement ), ssi
f1(0, ρ2) ≥ 0, f2(ρ1, 0) ≥ 0 et gi(x) ≥ 0, i = 1, 2, x ∈ Ω, ceci est bien vériﬁé
car f1(0, ρ2) = f2(ρ1, 0) = 0. et gi(x) ≥ 0, i = 1, 2, x ∈ Ω.
D’autre part il suﬃt que
f1(ρ1, 0), f2(0, ρ2) ≤ 0, et gi(x) ≤ ρi, i = 1, 2, x ∈ Ω,
Ceci implique qu’il faut choisir ρ1 ≥ a
b
et ρ2 ≥ e
g
.
Alors sous ces conditions et par l’application de théorème 2.8 pour
σ1 = σ2 le problème (3.3) admet une solution unique dans u, v , u, v .
3. Finalement pour le dernier cas (F = (f1, f2) est quasi-monotone croissante
).
Alors d’aprés (2.15) u, v = (0, 0) est une sous-solution du problème
(3.3) ssi
fi(0, 0) ≥ 0, gi(x) ≥ 0,
et ceci est bien clair.
De même u, v = (ρ1, ρ2) telle que ρi > 0, i = 1, 2 est une sur-solution du

problème (3.3) ssi
fi(ρ1, ρ2) ≤ 0 et gi(x) ≤ ρi, i = 1, 2
on a 


f1(ρ1, ρ2) ≤ 0
f2(ρ1, ρ2) ≤ 0
Ceci implique 


ρ1(a − bρ1 + cρ2) ≤ 0
ρ2(e − gρ2 + dρ1) ≤ 0
Pour ρi > 0 , i = 1, 2, alors on a



a − bρ1 + cρ2 ≤ 0
e − gρ2 + dρ1 ≤ 0
Il suﬃt de résoudre le système



a − bρ1 + cρ2 = 0
e + dρ1 − gρ2 = 0
Ceci donne ρ1 = 1
b
(a + cρ2) et ρ2 = be+ad
gb−cd
, existent ssi gb − cd = 0.
Et ρ1 = 1
b
a + cbe+ad
gb−cd
Alors pour (ρ1, ρ2) ≤ 1
b
a + cbe+ad
gb−cd
, be+ad
gb−cd
les inégalités précédentes sont
bien vériﬁées, on prend par exemple (ρ1, ρ2) = a
b
, e
g
D’où u, v = (0, 0), u, v = a
b
, e
g
, pour gb > cd et gi(x) ≤ ρi, i = 1, 2
sont une sous et une sur-solution du problème (3.3) (respectivement ). On
applique le théorème 2.7 pour σ1 = σ2, et par conséquence le problème a
une solution unique dans u, v , u, v .
Maintenant nous cherchons à montrer la positivité de la solution stationnaire du
problème (3.3) (c’est une solution du problème elliptique associé au problème
(3.3) )pour chaque cas parmi les trois cas pécédents .

3.3. Existence d’une solution de coexistence 57
3.3 Existence d’une solution de coexistence
On sait qu’une solution stationnaire du problème (3.3) est une solution du
problème elliptique (3.1).
On discute suivant les trois cas possible pour les deux fonctions f1 et f2.
Remarque 3.1.
Soit λ1 la valeur propre principale associée à la fonction propre
w ∈ C2
(Ω) ∩ C(Ω) telle que le couple (λ1, w) vériﬁe



−∆w = λ1w, x ∈ Ω
w = 0, x ∈ ∂Ω
(3.4)
Et w > 0 dans Ω.
3.3.1 La positivité de la solution de coexistence pour le
cas proie-prédateur
Dans ce cas la fonction F = (f1, f2) est une fonction quasi-monotone mixte,
et on a le problème elliptique associé au problème (3.3)



−σ1∆u = u(a − bu − cv) = f1(u, v),
x ∈ Ω
−σ2∆v = v(e − gv + du) = f2(u, v),
u = v = 0 x ∈ ∂Ω
(3.5)
Le théorème suivant concernant la coexistance des deux espaces (proie-prédateur)peut
étre facilement déduite par la méthode des sous-et sur-solutions pour un système
des équations elliptiques.

Théorème 3.1. Sous les hypothèses :



a > σ1λ1, e > σ2λ1
cd < gb
a > σ1gb
gb−cd
(λ1 + ce
gσ1
)
(3.6)
le problème (3.5) a une solution (u, v) avec chaque composante strictement po-
sitive dans Ω.
Et λ1 est la valeur propre déﬁnie dans (3.4).
Démonstration. 1. Tout d’abord on cherche une sur-solution du problème
(3.5) sous forme des constantes, on pose u, v = (γ1, γ2) > (0, 0), donc
d’aprés (2.17) on a



−σ1∆u ≥ f1 u, v ,
x ∈ Ω
−σ2∆v ≥ f2 u, v ,
u, v ≥ 0, x ∈ ∂Ω
donc
f1 u, v ≤ 0,
f2 u, v ≤ 0.
C-à-d
u a − bu − cv ≤ 0,
v e − gv + du ≤ 0.
Puisque u, v > (0, 0), alors
a − bu − cv ≤ 0,
e − gv + du ≤ 0,
On remarque que u = a
b
> 0 vériﬁe l’inégalité pour v ≥ 0, alors la deuxiéme
donne v ≥ 1
g
e + f a
b
On peut prendre u, v = a
b
, 1
g
e + f a
b

2. Maintenant on cherche une sous-solution du problème sous la forme
u, v = (δ1w, δ2w), δi > 0 pour i = 1, 2.
On sait d’aprés (2.17) que u, v vériﬁe



−σ1∆u ≤ f1 u, v ,
x ∈ Ω
−σ2∆v ≤ f2 u, v ,
u, v ≤ 0, x ∈ ∂Ω
D’où
−σ1∆u = σ1δ1(−∆w) ≤ δ1w a − bδ1w − c
g
e + a
b
d
D’aprés (3.4) on aura λ1σ1 ≤ a − bδ1w − c
g
e + a
b
d
Pour δ1 << 1,λ1σ1 ≤ a − c
g
e + a
b
d
D’où il faut
a > λ1σ1 +
c
g
e +
a
b
d
Et a > a 1 − cd
gb
> λ1σ1 + ec
g
> λ1σ1
pour gb > cd ... (c1) et a > σ1λ1 ... (c2), il faut que a > σ1gb
gb−cd
λ1 + ec
σ1g
... (c3)
pour v on a
−σ2∆v ≤ f2 u, v
Par la même démarche on trouve
λ1σ2 ≤ e − gδ2w + dδ1w
pour δi << 1, i = 1, 2 il faut que λ1σ2 < e, ... (c4), donc sous les hypothèses
(c1), (c2), (c3) et (c4) et pour δi << 1, i = 1, 2 u, v = (δ1w, δ2w) > (0, 0)
est une sous-solution du problème (3.5).
Et on ajoute cette condition (γ1, γ2) ≥ (δ1, δ2)||w||∞ pour assurer l’ordre de
sous et sur-solution, alors on applique le théorème 2.9 pour σ1 = σ2 (pour
assurer l’unicité de la solution ), et par conséquence le problème (3.5) admet
une solution unique strictement positive dans u, v , u, v .

cas compétition
Dans ce cas la fonction F = (f1, f2) est une fonction quasi-monotone décrois-
sante, et on a le problème elliptique associé au problème (3.3)



−σ1∆u = u(a − bu − cv) = f1(u, v),
x ∈ Ω
−σ2∆v = v(e − gv − du) = f2(u, v),
u = v = 0 x ∈ ∂Ω
(3.7)
Par la méthode des sous-et sur-solutions pour un système des équations ellip-
tiques on peut déduire la coexistance des deux espaces en compétition.
Théorème 3.2. On suppose qu’il existe k1 et k2 deux constantes strictement
positives, sachant que 


k1 > a
b
,
e > σ2λ1 + dk1,
k2 > e
g
,
a > σ1λ1 + ck2,
(3.8)
sont vérifiées, alors le problème (3.7) a une solution strictement positive dans Ω.
Démonstration. 1. D’abord on cherche u, v , d’aprés (2.16) u, v vérifie



−σ1∆u ≥ f1 u, v ,
x ∈ Ω
−σ2∆v ≤ f2 u, v ,
u ≥ 0, x ∈ ∂Ω
v ≤ 0, x ∈ ∂Ω
telles que on cherche u sous forme constante i.e. u = k1 > 0, et v = r2w
telle que w définie par (3.4).
Donc f1(k1, r2w) ≤ 0 ceci implique k1(a − bk1 − cr2w) ≤ 0

Pour k1 > 0, alors a − bk1 − cr2w ≤ 0, pour r2 << 1 il faut choisir
k1 > a
b
... (c1)
Et −σ2∆v ≤ f2(u, v)
Ceci est équivalent à σ2r2(−∆w) ≤ r2w(e − gr2w − dk1)
Donc, pour r2 << 1, σ2λ1 < e − dk1
Alors il faut prendre σ2λ1 + dk1 < e ... (c2)
2. En suite on cherche u, v , d’aprés (2.16) u, v vériﬁe



−σ1∆u ≤ f1 u, v ,
x ∈ Ω
−σ2∆v ≥ f2 u, v ,
u ≤ 0, x ∈ ∂Ω
v ≥ 0, x ∈ ∂Ω
telles que u = r1w, r1 > 0 et v = k2 = cst > 0
D’où
−σ1∆u ≤ f1 u, v = u a − bu − cv
−σ1∆(r1w) ≤ r1w(a − br1w − ck2)
D’où λ1σ1 ≤ a − br1w − ck2
Pour r1 << 1, on a λ1σ1 < a − ck2
Donc
a > λ1σ1 + ck2 ... (c3)
Et 0 = −σ2∆v ≥ f2 u, v = k2(e − r1w − gk2)
Puisque k2 > 0, alors e − r1w − gk2 ≤ 0
pour r1 << 1, on a k2 > e
g
, ... (c4) .
Donc suivant les conditions (c1), (c2), (c3) et (c4) : (r1w, k1) et (r2w, k2) sont
des sous et sur-solutions du problème (3.7).
De plus on ajoute la condition (k1, k2) > (r1, r2)||w||∞ pour assurer l’ordre
des sous et sur-solutions. On applique le théorème 2.8 pour σ1 = σ2 (
pour assurer l’unicité de la solution ), et par conséquence le problème (3.7)

admet une solution unique strictement positive dans u, v , u, v .
cas coopératif
Maintenant nous avons la fonction F = (f1, f2) est une fonction quasi-
monotone croissante, et on a le problème elliptique associé au problème (3.3)



−σ1∆u = u(a − bu + cv) = f1(u, v),
x ∈ Ω
−σ2∆v = v(e − gv + du) = f2(u, v),
u = v = 0 x ∈ ∂Ω
(3.9)
La méthode des sous-et sur-solutions nous permet de conclure la coexistance des
deux espèces en coopération pour un système d’équations elliptiques.
Théorème 3.3. On suppose que



a > σ1λ1, e > σ2λ1,
et,
cd < bg .
(3.10)
Alors le problème (3.9) a une solution strictement positive dans Ω.
Démonstration. 1. On cherche tout d’abord une sous-solution du problème
(3.9) sous la forme u, v = (µ1w, µ2w), µi > 0 pour i = 1, 2.
On sait d’aprés (2.15) que u, v vériﬁe



−σ1∆u ≤ f1 u, v ,
x ∈ Ω
−σ2∆v ≤ f2 u, v ,
u, v ≤ 0, x ∈ ∂Ω

Ceci implique



σ1µ1λ1w ≤ µ1w(a − bµ1w + cµ2w),
σ2µ2λ1w ≤ µ2w(e − gµ2w + dµ1w),
C-à-d 


σ1λ1 ≤ a − bµ1w + cµ2w,
σ2λ1 ≤ e − gµ2w + dµ1w,
Alors pour µi << 1, pour i = 1, 2, il faut que σ1λ1 < a ... (c1)
et σ2λ1 < e ... (c2).
2. Maintenant on cherche une sur-solution du problème (3.9) sous la forme
(u, v) = (θ1, θ2) , θi > 0, i = 1, 2., alors d’après (2.15) (u, v) vériﬁe



0 = −σ1∆u ≥ f1 u, v ,
x ∈ Ω
0 = −σ2∆v ≥ f2 u, v ,
u, v ≥ 0, x ∈ ∂Ω
Donc il faut résoudre le système des deux inéquations suivantes



f1(θ1, θ2) ≤ 0,
f2(θ1, θ2) ≤ 0,
Et d’aprés la preuve dans le cas parabollique (3), il suﬃt de prendre
u, v) ≤ 1
b
a + cbe+ad
gb−cd
, be+ad
gb−cd
ceci est possible ssi cd < gb ... (c3). Alors
sous les conditions (c1), (c2) et (c3) (µ1w, µ2w) et (θ1, θ2) sont des sous et
sur-soltuions du problème (3.9).
Et pour assurer que les sous et sur-solutions sont ordonnées on ajoute la
condition (θ1, θ2) > (µ1, µ2)||w||∞.
On applique le théorème 2.7 pour σ1 = σ2 (pour assurer l’unicité de la
solution ), et par conséquence le problème (3.9) admet une solution unique
strictement positive dans u, v , u, v .

3.4 Le comportement asymptotique
Nous allons ensuite discuter sur un résultat de stabilité pour le cas des espèces
en compétition et nous considérons le système (3.2) avec les conditions initiales :
u(x, 0) = u0(x), v(x, 0) = v0(x), pour x ∈ Ω. (3.11)
Nous supposons que les fonctions hi ont des dérivées partielles qui possédent
la propriété de continuité höldérienne dans des ensembles compacts, i = 1, 2 ;
a1, a2, σ1 et σ2 sont des constantes strictement positives.
(3.12)
De plus 


hi(0, 0) = 0, i = 1, 2;
∂hi
∂u
, ∂hi
∂v
< 0, i = 1, 2 , pour, (u, v) > (0, 0).
(3.13)
Sous des conditions appropriées, nous allons prouver la stabilité locale des états
stationnaires par la méthode de monotonie pour le problème parabolique corres-
pondant .
Théorème 3.4. Stabilité asymptotique
On considère le problème (3.2), (3.11), sous les hypothèse (3.12), (3.13) et
σ1 = σ2, ai > σiλ1, i = 1, 2. (3.14)
Supposons que (u, v) = (u1(x), u2(x)) est une solution stationnaire de (3.2) avec
chaque ui ∈ C2+α
(Ω), ui > 0 dans Ω, ∂ui
∂ν
< 0 dans ∂Ω, pour i = 1, 2
et ,
sup
x∈Ω
ui(x)∂hj
∂ui
(u1(x), u2(x))
uj(x)∂hj
∂uj
(u1(x), u2(x))
< inf
x∈Ω
ui(x)∂hi
∂ui
(u1(x), u2(x))
uj(x)∂hi
∂uj
(u1(x), u2(x))
< ∞
(3.15)

3.4. Le comportement asymptotique 65
Pour chaque 1 ≤ i, j ≤ 2, i = j alors u1(x), u2(x) est asymptotiquement stable
Ici asymptotiquement stable signiﬁe que si (u, v) = (u1(x, t), u2(x, t)) est une
solution du (3.2), (3.11) avec ui ∈ C2+α,1+α
2 Ω × [0, T] , T > 0, i = 1, 2 alors
ui(x, t) → ui(x) uniformément quand t → ∞, i = 1, 2, dans Ω, à condition que
(u1(x, 0), u2(x, 0)) = (u0(x), v0(x)) et ses premières dérivées partielles sont assez
proches de celle de ui(x) respectivement pour tout x ∈ Ω, i = 1, 2.
Démonstration. 1. Pour notre modéle de compétition i.e on considère le pro-
blème (3.3) , (3.11) pour α = −c, β = −d
L’hypothèse (3.15) dans ce cas implique qu’il existe des constantes ρ1, ρ2
assez proches de 1, avec ρ1 < 1 < ρ2 sachant que pour tout x ∈ Ω,
0 <
ui(x) max
ρ1≤s,τ≤ρ2
∂hj
∂ui
(su1(x), τu2(x))
uj(x) min
ρ1≤s≤1
∂hj
∂uj
(su1(x), u2(x))
< inf
x∈Ω
ui(x)
uj(x)



min
ρ1≤s,τ≤ρ2
∂hi
∂ui
(su1(x), τu2(x))
max
ρ1≤s≤1
∂hi
∂uj
(su1(x), u2(x))



−
1 < ∞
(3.16)
C-à-d
pour i = 1, j = 2
0 <
u1(x)
u2(x)
d
g
< inf
x∈Ω
u1(x)
u2(x)
b
c
− 1 < ∞
pour i = 2, j = 1
0 <
u2(x)
u1(x)
c
b
< inf
x∈Ω
u2(x)
u1(x)
g
d
− 1 < ∞
où 1 est un nombre assez petit.
On pose
G(x) =
u2(x)
u1(x)
g
d
, ∀x ∈ Ω,
tell que
pour 1 < α < ρ2 et (1 − ρ1) > (α − 1)inf
x∈Ω
G(x)
Nous allons construire des sous et sur-solutions vi, wi appropriées.

Définir
w2(x, t) = p(x, t)u2(x) = 1 + (α − 1 − 4u2(x)) e−mt
u2(x),
Où 4 et m sont des constantes positives avec 4 vérifie 4max
x∈Ω
u2(x) < α−1.
D’autre part, on définit
v1(x, t) = q(x, t)u1(x) = 1 − (1 − β(x)) e−mt
u1(x)
Où β(x) = 1 − (α − 1)inf
x∈Ω
G(x) + 2(α − 1) + 3(α − 1)u1(x), 2 et 3 sont
des constantes assez petites vérifiant :
2 + 3max
x∈Ω
u1(x) < 1 < inf
x∈Ω
G(x).
On remarque que ρ1 < β(x) < 1 car nous avons choisi
(1 − ρ1) > (α1 − 1)inf
x∈Ω
G(x), et 2 + 3max
x∈Ω
u1(x) < inf
x∈Ω
G(x).
Nous avons
σ2∆w2+w2 [e + h2(v1, w2)]−∂w2
∂t
= σ2 (∆pu2 + p∆u2 + 2 p u2)+w2 [e + h2(v1, w2)]+
me−mt
(α − 1 − 4u2) u2
On a σ2∆u2p = −pu2 [e + h2(u1, u2)] = −w2 [e + h2(u1, u2)]
D’où
σ2∆w2 +w2 [e + h2(v1, w2)]− ∂w2
∂t
= w2 [h2(v1, w2) − h2(u1, u2)]+e−mt
Λm, 4
= pu2 [g(u2 − w2) + d(u1 − v1)] + e−mt
Λm, 4
= pu2 [gu2( 4u2 + 1 − α)e−mt
+ du1e−mt
(1 − β(x))] + e−mt
Λm, 4
= pu2e−mt
−gu2(α − 1 − 4u2) + du1(α − 1)(inf
x∈Ω
G(x) − 2 − 3u1) + e−mt
Λm, 4
= pu2e−mt
−gu2(α − 1 − 4u2) + du1(1 − ˆβ − (α − 1) 3u1) + e−mt
Λm, 4
Où Λm, 4 = m(α − 1 − 4u2)u2 − u2σ2 4∆u2 − 2σ2 4
n
i=1(u2 xi
)2
,
et ˆβ = 1 − (α − 1)inf
x∈Ω
G(x) + 2(α − 1).
(3.17)

3.4. Le comportement asymptotique 67
Et on a
|pu2 [−g (− 4u2
2e−mt
) − d 3(α − 1)u2
1e−mt
] + e−mt
[m(α − 1 − 4u2)u2 − u2σ2 4∆u2]|
≤ e−mt
4u2 |δ [gu2
2 − d(α − 1)u2
1] + α − 1 − 4u2 + u2(e − gu2 − du1)|
≤ e−mt
4u2K1, tell que K1 > 0.
Avec 3 = 4 = m, |p(x, t)| ≤ δ, où δ > 1 . Dans un voisinage U de ∂Ω
dans Ω nous avons :
−2σ2 4
n
i=1
(u2 xi
)2
e−mt
+ 4u2e−mt
K1 < 0,
Car u2(x) = 0, pour x ∈ ∂Ω, ∀t ≥ 0.
On a
−g(α − 1)u2 + d(1 − ˆβ)u1 = −g(α − 1)u2 + du1 (α − 1)inf
x∈Ω
G(x) − 2(α − 1)
≤ −g(α − 1)u2 + du1 ((α − 1)G(x) − 2(α − 1))
Par déﬁnition de G(x), on a G(x) = u2(x)
u1(x)
g
d
, d’où
−g(α − 1)u2 + d(1 − ˆβ)u1 ≤ −g(α − 1)u2 + g(α − 1)u2 − 2(α − 1)du1
= − 2(α − 1)du1 < 0, ∀(x, t) ∈ Ω × [0, ∞)
Par conséquence, nous avons σ2∆w2 + w2 [e + h2(v1, w2)] − ∂w2
∂t
< 0
i.e
∂w2
∂t
− σ2∆w2 ≥ w2 [e + h2(v1, w2)] , ∀(x, t) ∈ U × [0, ∞).
Pour x ∈ Ω U,deux termes dans (3.17) vériﬁent
p(x, t)u2 −gu2(α − 1) + du1(1 − ˆβ)u1 e−mt
≤ p(x, t)u2e−mt
[− 2(α − 1)du1]
On a p(x, t) = 1 + (α − 1 − 4u2(x)) e−mt
> 1, car 4max
x∈Ω
u2(x) < α − 1,
alors −p(x, t) < −1, donc on aura
p(x, t)u2 −gu2(α − 1) + du1(1 − ˆβ)u1 e−mt
≤ − 2(α−1)e−mt
η = − 2e−mt
K2,
telle que 0 < η ≤ du1u2 et K2 = (α − 1)η.
Pour le reste des termes dans (3.17), on a

|p(x, t)u2e−mt
[g 4u2
2 − d 3(α − 1)u2
1] + e−mt
Λm, 4 |
≤ e−mt
|p(x, t)u2 [g 4u2
2 − d 3(α − 1)u2
1] + m(α − 1 − 4u2)u2|
≤ e−mt
|−p(x, t)u2d 3(α − 1)u2
1 + m(α − 1)u2|
≤ me−mt
(α − 1)u2 ≤ me−mt
(α − 1)||u2||
≤ 2
2
e−mt
K2, pour m ≤ 2η
2||u2||
, 3 << 1.
(3.18)
D’où
σ2∆w2+w2 [e + h2(v1, w2)]−∂w2
∂t
= pu2 [g(u2 − w2) + d(u1 − v1)]+e−mt
Λm, 4
= pu2 [gu2( 4u2 + 1 − α)e−mt
+ du1e−mt
(1 − β(x))] + e−mt
Λm, 4
< − 2e−mt
K2 + 2
2
e−mt
K2 = − 2
2
e−mt
K2 < 0.
Pour tout (x, t) ∈ Ω × [0, ∞), alors w2(x, t) est une sur-solution .
Pour v1, nous avons
σ1∆v1 + v1 [a + h1(v1, w2)] − ∂v1
∂t
= σ1 [q∆u1 + u1e−mt
∆β + 2 u1 q] +
qu1 [a + h1(v1, w2)] − mu1(1 − β)e−mt
Et puisque σ1∆u1q = −qu1 (a1 + h1(u1, u2))
Alors
σ1∆v1 + v1[a + h1(v1, w2)] −
∂v1
∂t
= qu1 [h1(v1, w2) − h1(u1, u2)] +
e−mt
−m(1 − β)u1 + u1σ1 3(α − 1)∆u1 + 2σ1 3(α − 1)
n
i=1
(u1 xi
)2
= qu1 [−(bv1 + cw2) + (bu1 + cu2)] + e−mt
Πm, 3
= qu1 [bu1(1 − q) + cu2(1 − p)] + e−mt
Πm, 3
= qu1 −cu2(α − 1 − 4u2)e−mt
+ bu1e−mt
(1 − ˆβ − 3(α − 1)u1) +e−mt
Πm, 3
Où Πm, 3 = −m(1 − β)u1 + u1σ1 3(α − 1)∆u1 + 2σ1 3(α − 1) n
i=1(u1 xi
)2
.
(3.19)

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