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Cours Statistique descriptive pr Falloul
1.
HORIZONÂź - CIPE
/ Tous Droits Réservés diapo 1 Statistique descriptive Pr. FALLOUL My El Mehdi Semestre 1 Année universitaire: 2016/2017
2.
HORIZONÂź - CIPE
/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 2 ï§ Familiariser l'Ă©tudiant avec les principaux outils de la statistique descriptive et lui fournir les outils et techniques nĂ©cessaires pour rĂ©soudre les problĂšmes statistiques requĂ©rant la connaissance des mathĂ©matiques. http://www.slideshare.net/MahdiFalloul/cours-statistique- descriptive-pr-falloul Objectifs du cours
3.
HORIZONÂź - CIPE
/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 3 1. Introduction gĂ©nĂ©rale 2. Les tableaux statistiques 3. Les reprĂ©sentations graphiques 4. La rĂ©duction des donnĂ©es 5. RĂ©duction des donnĂ©es (sĂ©ries bidimensionnelles) 6. Les indices statistiques 7. Notion dâajustement et de corrĂ©lation 8. Notion des sĂ©ries chronologiques Plan du cours
4.
HORIZONÂź - CIPE
/ Tous Droits Réservés diapo 4 Chapitre 1 Introduction générale
5.
HORIZONÂź - CIPE
/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 5 1.1 DĂ©finition âą La statistique (est une science) dĂ©signe lâensemble des mĂ©thodes scientifiques qui permettent dâanalyser quantitativement un ensemble dâinformations cohĂ©rent. âą La statistique au sens large comprend deux branches : ïŒ La statistique descriptive, qui est un ensemble de mĂ©thodes permettant de dĂ©crire et dâanalyser quantitativement des unitĂ©s statistiques dâune population. ïŒ La statistique mathĂ©matique (infĂ©rentielle) dont l'objet est de formuler des lois Ă partir de l'observation d'Ă©chantillons, c'est-Ă - dire de tirages limitĂ©s effectuĂ©s au sein dâune population. Elle intervient dans les enquĂȘtes et les sondages. Elle s'appuie sur la statistique descriptive, mais aussi sur le calcul des probabilitĂ©s.
6.
HORIZONÂź - CIPE
/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 6 1.2 Vocabulaire âą Population statistique: est lâensemble des Ă©lĂ©ments sur lesquels porte lâĂ©tude. Les Ă©lĂ©ments de la population sont appelĂ©s individus statistiques (ou unitĂ©s statistiques). Un Ă©chantillon de taille n est un sous-ensemble formĂ© de n individus de la population (n <=N). âą EnquĂȘte: câest lâensemble des opĂ©rations qui ont pour but de collecter de façon organisĂ©e des informations relatives Ă une population. âą Recensement: Lors sâune enquĂȘte, si toutes les unitĂ©s statistiques de la population sont observĂ©es individuellement, lâenquĂȘte est dite complĂšte ou exhaustive. On parle aussi de recensement ( exemple recensement de la population dâun pays). âą Sondage: câest lâĂ©tude dâune partie de la population, câest ce quâon appelle enquĂȘte partielle ou par Ă©chantillonnage(ou sondage).
7.
HORIZONÂź - CIPE
/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 7 1.2 Vocabulaire (suite) âą Variable statistique ou caractĂšre: est la chose que l'on Ă©tudie et qui est commune Ă tous les individus de la population de rĂ©fĂ©rence. L'ensemble des rĂ©sultats s'appelle sĂ©rie statistique. âą CaractĂšre qualitatif (non mesurable): câest lorsque les modalitĂ©s dâun caractĂšre ne peuvent pas sâexprimer par des nombres. Exe( le caractĂšre couleur a pour modalitĂ©: vert, jaune, bleu). âą On parle de caractĂšre qualitatif ordinal quand les modalitĂ©s peuvent ĂȘtre ordonnĂ©es (hiĂ©rarchisĂ©es). Exemples : niveau dâĂ©tudes, classe sociale, grade, etc. Dans le cas contraire, on parle de caractĂšre qualitatif nominal. (Ex: couleur des yeux, Ă©tat civil, sexe, lieu de rĂ©sidence, etc.)
8.
HORIZONÂź - CIPE
/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 8 1.2 Vocabulaire (suite 1) âą Une variable quantitative est dite discrĂšte si elle ne prend que des valeurs isolĂ©es. (exe: Un Ăąge, une note arrondie etc). Une variable quantitative est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs comprises entre 2 nombres(exe: distance entre la maison et la facultĂ©), âą ModalitĂ©s: chaque caractĂšre (variable statistique) possĂšde deux ou plusieurs modalitĂ©s. Ce sont les diffĂ©rentes situations ou les unitĂ©s statistiques peuvent se trouver Ă lâĂ©gard du caractĂšre considĂ©rĂ©. (exe1: le caractĂšre « nationalitĂ© » peut avoir comme modalitĂ©s: marocaine, algĂ©rienne, tunisienne. Exe2: le caractĂšre « nombre dâenfants par famille » peut avoir comme modalitĂ©s; 0,1,2). âą Nomenclature: câest la liste de toutes les modalitĂ©s dans un caractĂšre qualitatif, exemple ( sexe: fĂ©minin, masculin)
9.
HORIZONÂź - CIPE
/ Tous Droits Réservés diapo 9 1.2 Vocabulaire (suite 1)
10.
HORIZONÂź - CIPE
/ Tous Droits Réservés diapo 10 1.2 Vocabulaire (suite 2)
11.
HORIZONÂź - CIPE
/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 11 1.3 Indices de sommation âą Soit 1+2+3+4+...+n on peut Ă©crire ; âą RĂšgles de calcul đ=1 đ đ = 1â€đâ€đ đ a a na i n i n 1 1ïŁ ïŁ ïœ ï„ ï„ïœ ïœ a a n a i n i n 0 0 1 ïŁ ïŁ ïœ ï„ ï„ïœ ïœ ï«( ) ( . )a u a ui i n i i n ïœ ïœ ï„ ï„ïœ 1 1 ( )u v u vi i i i i n i n i n ï« ïœ ï« ïœïœïœ ï„ï„ï„ 111 ( ).( ) ( . )u v u vi i n j j p i j i n j p ïœ ïœ ïŁ ïŁ ïŁ ïŁ ï„ ï„ ï„ïœ 1 1 1 1
12.
HORIZONÂź - CIPE
/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 12 1.4 indice du produit âą Soit , on peut Ă©crire , on peut Ă©crire âą RĂšgles de calcul ; ... n facteurs a a aïŽ ïŽ ïŽ1 4 2 4 3 1 1 n n i n i a a a ïŁ ïŁ ïœ ïœ ïœï ï 1 2 3 ... nïŽ ïŽ ïŽ ïŽ 1 1 ! n i i n i i n ïœ ïŁ ïŁ ïœ ïœï ï a a i n n ïœ ï ïœ 1 a a i n n ïœ ï« ï ïœ 0 1 ( . ) ( ).( )u v u vi i i n i i n i i n ïœ ïœ ïœ ï ï ïïœ 1 1 1
13.
HORIZONÂź - CIPE
/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 13 1.3 Exemples âą Exemple 1: On a procĂ©dĂ© au recensement des 50 salariĂ©s de la sociĂ©tĂ© STM en relevant les salaires horaires perçus: ïŒ UnitĂ© statistique: un salariĂ© de la sociĂ©tĂ© STM ïŒ Population: lâensemble des 50 salariĂ©s de la sociĂ©tĂ© STM ïŒ CaractĂšre: le salaire horaire ïŒ Type de caractĂšre: caractĂšre quantitatif ou variable statistique âą Exemple 2: une enquĂȘte sur la nationalitĂ© des touristes visitant le Maroc a concernĂ© un Ă©chantillon de 500 touristes. ïŒ UnitĂ© statistique: un touriste ïŒ Population: lâensemble des touriste visitant le Maroc ïŒ CaractĂšre: nationalitĂ© ïŒ Type de caractĂšre: qualitatif
14.
HORIZONÂź - CIPE
/ Tous Droits Réservés diapo 14 Chapitre 2: Les tableaux statistiques
15.
HORIZONÂź - CIPE
/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 15 2.1 DonnĂ©es brutes âą on appelle donnĂ©es brutes des donnĂ©es quâon rassemble sans se soucier de la notion dâordre. Exemple : On a procĂ©dĂ© au recensement des 50 salariĂ©s de la sociĂ©tĂ© STM en relevant les salaires horaires perçus: 34 36 45 62 43 63 26 55 57 61 87 78 77 75 74 25 15 18 20 44 96 94 103 110 88 116 125 47 85 74 14 19 17 87 92 88 75 48 95 74 45 48 98 75 45 74 85 75 47 26
16.
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 16 2.2 SĂ©rie statistique âą Une sĂ©rie statistique est une simple Ă©numĂ©ration des observations âą Ces observations Ă©tant rangĂ©es par ordre croissant: âą n est le nombre total des observations appelĂ© aussi effectif. Une mĂȘme observation peut se rĂ©pĂ©ter plusieurs fois. La diffĂ©rence entre la valeur la plus grande et la valeur la plus petite est appelĂ©e Ă©tendue. đ„1, đ„2, đ„3, . . . . . . . , đ„đ, . . . . . , đ„ đ đ„1 †đ„2 †đ„3 â€. . . . . . . †đ„đ â€. . . . . †đ„ đ đžđĄđđđđąđ = đmax â đmin
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 17 2.3 Distribution des frĂ©quences 2.3.1 Cas dâun caractĂšre qualitatif âą Lorsque les observations sont nombreuses, il est nĂ©cessaire de les condenser sous forme dâun tableau statistique appelĂ© distribution des frĂ©quences sous la forme suivante: ModalitĂ©s FrĂ©quences absolues ni FrĂ©quences relatives fi M1 M2 . . Mi . . Mk n1 n2 . . ni . . nk f1 f2 . . fi . . fk Total n 1
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 18 âą RĂšgles de calcul: est la proportion de la modalitĂ© Mi. Elle est dite la frĂ©quence relative , elle est souvent exprimĂ© en pourcentage. La somme des frĂ©quences relatives est toujours Ă©gale Ă 1 đ1 + đ2+. . . . . +đ đ = đ đ đđ = đ đđ = đđ đ đđ = đđ đ â 100% đ=1 đ đđ = đ1 + đ2+. . . . +đđ +. . . +đđ = đ1 + đ2+. . . +đđ+. . . đ đ đ = đ đ = 1
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 19 Exemple 1: une enquĂȘte sur la nationalitĂ© des touristes visitant le Maroc a concernĂ© un Ă©chantillon de 500 touristes. Les rĂ©sultats sont condensĂ©s dans la distribution des frĂ©quences suivantes: NationalitĂ© Nombre de touristes (frĂ©quence absolue) Pourcentage des touristes (frĂ©quence relative) Française Allemande Italienne Hollandaise Belge AmĂ©ricaine Autres nationalitĂ©s 85 106 62 44 40 70 93 17% 21,2% 12,4% 8,8% 8% 14,0% 18,6% Total 500 100%
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 20 2.3 Distribution des frĂ©quences 2.3.2 Cas dâune variable statistique discrĂšte valeurs de la variable Xi Effectif ni FrĂ©quences relatives fi ECC ECD FCC FCD V1 V2 . . Vi . . Vk n1 n2 . . ni . . nk f1 f2 . . fi . . fk n1 n1+n2 . . n1+n2..+ni . . n n n-n1 . . n-n1..-ni-1 . . nk f1 f1+f2 . . f1+f2..+fi . . 1 1 1-f1 . . 1-f1-f2..-fi-1 . . fk Total n 1 âą On dĂ©finit les frĂ©quences absolues (ni) et les frĂ©quences relatives fi. En plus, on peut ajouter les effectifs cumulĂ©s croissant (ECC) et dĂ©croissants (ECD), frĂ©quences cumulĂ©s croissants (FCC) et dĂ©croissant (FCD).
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 21 âą Une enquĂȘte chez 1000 commerçants porte sur le nombre dâemployĂ©s ï Le nombre de commerçants employant au plus 5 employĂ©s ( au maximum 5 employĂ©s) est 780 soit 78% des commerçants. ï Le nombre de commerçants employant au moins 3 employĂ©s (au minimum 3 employĂ©s) est 650 soit 65% des commerçants. nombre dâemployĂ©s Nombre de commerçants ni FrĂ©quences relatives fi ECC ECD FCC FCD 0 1 2 3 4 5 6 7 50 100 200 150 120 160 130 90 5% 10% 20% 15% 12% 16% 13% 9% 50 150 350 500 620 780 910 1000 1000 950 850 650 500 380 220 90 5% 150% 625% 35% % 78% 91% 100% 100% 95% 85% 65% 50% 38% 22% 9% Total 1000 100%
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 22 2.3 Distribution des frĂ©quences 2.3.3 Cas dâune variable statistique continu ï§ MĂ©thode pour construire une distribution de frĂ©quence Ă partir des donnĂ©es brutes : 1) On calcule lâĂ©tendue de la sĂ©rie; 2) On partage lâĂ©tendue en classes de mĂȘme amplitude ( lorsque câest impossible, on considĂšre des classes dâamplitudes variables), en pratique le nombre de classes est entre 5 et 20 (selon les donnĂ©es), de prĂ©fĂ©rence ( les points centraux doivent coĂŻncider avec les donnĂ©es observĂ©es); 3) Pour chaque classe on dĂ©termine le nombre dâobservations (comptage des donnĂ©es appartenant Ă chaque classe; Exemple: On a mesurĂ© le poids en kilogramme de 80 personnes. ï Les donnĂ©es brutes sont comme suit :
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 23 ï§ La plus grande valeur est : 97 ï§ La plus petite valeur est : 53 ï§ LâĂ©tendue est : 97-53= 44 ï§ En fixant le nombre de classes Ă 10, lâamplitude constante des classes est 44/10= 4,4 soit Ă©quivaut Ă une amplitude de 4
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 24 ï§ Le nombre de personnes pesant au moins 70 kg (au moins 70 kg ou plus de 69 kg) est 56 soit 70% des personnes pesĂ©es; ï§ Le nombre de personnes pesant au plus 84kg ( au maximum 84 ou moins de 85 kg) est 63 soit 78,75% des personnes pesĂ©es.
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 25 2.4 Distribution des frĂ©quences Ă deux variables 2.4.1 SĂ©rie statistique double ï§ La statistique descriptive Ă 2 dimensions a pour but de caractĂ©riser les relations qui existent entre deux sĂ©ries dâobservations considĂ©rĂ©es simultanĂ©ment qui peuvent ĂȘtre de nature (qualitative, quantitative, continue ou discontinue). ï§ Une sĂ©rie statistique double est une simple Ă©numĂ©ration des observations de deux variables statistiques X et Y. ï Les observations correspondent Ă un couple de valeurs (xi,yi) ï n est le nombre total dâobservations, appelĂ© aussi effectif đ„1, đ„2, đ„3, . . . . . , đ„đ, . . . . , đ„ đ đŠ1, đŠ2, đŠ3, . . . . , đŠđ, . . . . , đŠđ
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 26 Exemple ï§ On a relevĂ© les notes de mathĂ©matiques et de statistiques obtenus par 12 Ă©tudiants dans un examen final. ïŒ UnitĂ© statistique: un Ă©tudiant; ïŒ Population: 12 Ă©tudiants; ïŒ Premier caractĂšre: note de mathĂ©matique, câest une variable statistique continue; ïŒ DeuxiĂšme caractĂšre: note de statistique, câest une variable statistique continue. ï La sĂ©rie statistique double est NumĂ©ro Ă©tudiant 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Note Math 11 14 9 12 10 6 15 12 10 10 8 13 Note statistiques 10 15 11 11 9 8 14 13 11 12 10 12
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 27 2.4.2 Tableaux de contingence ï§ nij est le nombre dâindividus qui reprĂ©sente Ă la fois la modalitĂ© xi et la modalitĂ© xj, câest la frĂ©quence absolue conjointe: ï§ Fij est la frĂ©quence relative conjointe, câest la proportion des individus qui reprĂ©sente Ă la fois la modalitĂ© xi et x y y1 y2 y3 ⊠yj ⊠yp ni. x1 n11 n12 n13 ⊠n1j ⊠n1p n1. x2 n21 n22 n23 ⊠n2j ⊠n2p n2. x3 n31 n32 n33 ⊠n3j ⊠n3p n3. ⊠⊠⊠⊠⊠⊠⊠⊠... Xi ni1 ni2 ni3 ⊠nij ⊠nip ni. ⊠⊠⊠⊠⊠⊠⊠⊠⊠xk nk1 nik nik ⊠nij ⊠nip nk. n.j n.1 n.2 n.3 ⊠n.j ⊠n.p n 1 1 pk i j i j n n ïœ ïœ ïœ ï„ï„
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 28 2.4.2 Tableaux de contingence ï§ fij est la proportion dâindividus qui reprĂ©sente Ă la fois la modalitĂ© xi et la modalitĂ© xj, câest la frĂ©quence relative conjointe: ï§ ni. est le nombre dâindividus qui possĂšdent la modalitĂ© X quelque soit la modalitĂ© de Y: ï§ n.j est le nombre dâindividus qui possĂšdent la modalitĂ© Y quelque soit la modalitĂ© X. ij ij n f n ïœ . 1 2 1 ... ... p i i i i j ip j n n n n n nij ïœ ïœ ï« ï« ï« ï« ï« ïœ ï„ đ.đ = đ1đ + đ2đ+. . . +đđđ+. . . đ đđ = đ=1 đ đđđ . . 1 1 1 1 p pk k ij i j i j i j n n n n ïœ ïœ ïœ ïœ ïœ ïœ ïœï„ï„ ï„ ï„
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 29 Exemple La rĂ©partition de 300 salariĂ©s dâune entreprise selon lâĂąge et la situation familiale est reprĂ©sentĂ©e dans le tableau de contingence suivant: ï§ Parmi les 300 salariĂ©s de cette entreprise, il y a 38 salariĂ©s cĂ©libataires 20 Ă 30 ans, soit une proportion de 12,7% de lâensemble des salariĂ©s de cette entreprise. Age 20 - 30 30-40 40-50 50-60 Total Situation familiale nij fij % nij fij% nij fij% nij fij% nij fij% CĂ©libataire 38 12,7 31 10,3 10 3,3 5 1,7 84 28 MariĂ© 13 4,3 35 11,7 56 18,7 41 13,6 145 48,3 DivorcĂ© 8 2,7 12 4 8 2,7 8 2,7 36 12,1 Veuf 4 1,3 6 2 13 4,3 12 4 35 11,6 Total 63 21 84 28 87 29 66 22 300 100
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/ Tous Droits Réservés diapo 30 2.4.3 Distributions marginales ⹠La distribution marginale du caractÚre X est la distribution à une dimension des individus de la population qui présentent une modalité de X quelque soit la modalité de Y. ⹠La distribution marginale du caractÚre Y est la distribution à une dimension des individus de la population qui présentent une modalité de Y quelque soit la modalité de X. distribution marginale de x distribution marginale de y X ni. fi. X1 X2 X3 ⊠Xi ⊠Xk n1. n2. n3. ⊠ni. ⊠nk. f1. f2. f3. ⊠fi. ⊠fk. n 1 X n.j fi. Y1 Y2 Y3 ⊠Yj ⊠Yp n.1 n.2 n.3 ⊠n.j ⊠n.p f1. f2. f3. ⊠fj. ⊠f.p n 1
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 31 Exemple 1 âą La distribution marginale de la situation familiale ï Parmi les 300 salariĂ©s de lâentreprise: 145 sont mariĂ©s, 84 sont cĂ©libataires, 36 sont divorcĂ©s, et 35 sont veufs, ce qui reprĂ©sentent respectivement, 48,3%, 28%, 12,1%, et 11, 6 % sont veufs. Situation familiale nij fij CĂ©libataire 84 28% MariĂ© 145 48,3% DivorcĂ© 36 12,1% Veuf 35 11,6% Total 300 100%
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 32 Exemple 2 âą La distribution marginale de lâĂąge des salariĂ©s: ï 63 salariĂ©s de lâentreprise sont ĂągĂ© entre 20 et 30 ans : 84 sont ĂągĂ©s entre 30 et 40 ans, 87 sont ĂągĂ©s entre 40 et 50 ans et 66 sont ĂągĂ© entre 50 et 60 ans avec des proportions respectives de 21%, 28%, 29% et 22%. Situation familiale nij fij 20 Ă 30 ans 63 21% 30 Ă 40 ans 84 28% 40 Ă 50 ans 87 29% 50 Ă 60 ans 66 22% Total 63 100%
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/ Tous Droits Réservés diapo 33 2.4.4 Distributions conditionnelles ⹠La distribution marginale du caractÚre X est la distribution à une dimension des individus de la population qui présentent une modalité de X quelque soit la modalité de Y. ⹠distribution conditionnelle de X/ Y=yi distribution conditionnelle de y/X=xi X ni. fi. X1 X2 X3 ⊠Xi ⊠Xk n1. n2. n3. ⊠ni. ⊠nk. f1. f2. f3. ⊠fi. ⊠fk. n 1 X n.j fi. Y1 Y2 Y3 ⊠Yj ⊠Yp n.1 n.2 n.3 ⊠n.j ⊠n.p f1. f2. f3. ⊠fj. ⊠f.p n 1
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 34 Exemple 1 âą La distribution conditionnelle de la situation familiale des salariĂ©s ĂągĂ©s entre 20 a 30 ans: ï Parmi les 63 salariĂ©s de lâentreprise ĂągĂ© de 20 Ă 30 ans : 13 sont mariĂ©s, 8 sont divorcĂ©s, et 4 sont veufs, ce qui reprĂ©sentent respectivement, 60%, 21%, 13%, et 6 % des salariĂ©s ĂągĂ©s de 20 Ă 30 ans. Situation familiale nij fij CĂ©libataire 38 60% MariĂ© 13 21% DivorcĂ© 8 13% Veuf 4 6% Total 63 100%
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 35 Exemple 2 âą La distribution conditionnelle de lâĂąge des couples mariĂ©s ï 13 salariĂ©s mariĂ©s de cette entreprise sont ĂągĂ© entre 20 et 30 ce qui reprĂ©sente une proportion de 9%, 35 salariĂ©s mariĂ©s sont ĂągĂ© entre 30 et 40 ans ce qui reprĂ©sente une proportion de 24%. Age nij fij 20 Ă 30 ans 13 9% 30 Ă 40 ans 35 24% 40 Ă 50 ans 56 39% 50 Ă 60 ans 41 28% Total 145 100%
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/ Tous Droits Réservés diapo 36 Chapitre 3 Les représentations graphiques
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/ Tous Droits Réservés diapo 37 3.2 Présentation ⹠La représentation dépend de la nature du caractÚre étudié
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 38 3.3 cas dâun caractĂšre qualitatif (tuyaux dâorgue) Dernier diplĂŽme obtenu Effectif BAC 4 DUT 11 DEUG 14 BTS 9 Licence 12 Total 50
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 39 3.4 cas dâun caractĂšre qualitatif (secteurs) Etat civil ni fi degrĂ© (l'angle au centre) C 9 0,45 162° M 7 0,35 126° V 2 0,1 36° D 2 0,1 36° Total 20 1 360
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 40 3.5 cas dâun caractĂšre quantitatif discret (diagramme en bĂątons ) Nombres de cadres Effectif ni FrĂ©quences fi 0 30 0,3 1 40 0,4 2 20 0,2 3 10 0,1 Total 100 1
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 41 3.6 cas dâun caractĂšre quantitatif discret (diagramme en bĂątons et polygone de frĂ©quences )
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 42 3.7 cas dâun caractĂšre quantitatif discret (Fonction de rĂ©partition ) ï§ La fonction de rĂ©partition F(X) est reprĂ©sentĂ©e par la courbe cumulative des frĂ©quences (effectifs): Exemple Nb dâenfants Effectifs FrĂ©quences % F(X) Moins de F(X) Plus de 0 8 20% 20% 100% 1 7 17,5% 37,5% 80% 2 12 30% 60,5% 62,5% 3 6 15% 82,5% 32,5% 4 3 7,5% 90% 17,5% 5 4 10% 100% 10% Total 40 100 - -
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 43 3.8 cas dâun caractĂšre quantitatif discret (Courbe cumulative croissante) ï§ La fonction de rĂ©partition F(X) est dĂ©finie sur {0,1,2,3,4,5}, on commence par reprĂ©senter les points dont on connait les coordonnĂ©es.
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 44 3.9 cas dâun caractĂšre quantitatif discret (Courbe cumulative dĂ©croissante) ï§ La fonction de rĂ©partition F(X) est dĂ©finie sur {0,1,2,3,4,5}, on commence par reprĂ©senter les points dont on connait les coordonnĂ©es.
45.
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 45 3.10 cas dâun caractĂšre quantitatif continu (lâhistogramme cas des classes dâamplitudes Ă©gales) ï§ Exemple : on souhaite Ă©tudier le salaires de 50 employĂ©s de la sociĂ©tĂ© STM Salaires FrĂ©quences absolus ni FrĂ©quences relatives fi Amplitudes ai 6000-7000 12 24% 1000 7000-8000 10 20% 1000 8000-9000 15 30% 1000 9000-10000 8 16% 1000 10000-11000 5 10% 1000 Total 50 100%
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 46 3.10 cas dâun caractĂšre quantitatif continu (lâhistogramme cas des classes dâamplitudes Ă©gales)
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 47 3.11 cas dâun caractĂšre quantitatif continu (lâhistogramme cas des classes dâamplitudes inĂ©gales) ï§ Exemple : on souhaite Ă©tudier le salaires de 50 employĂ©s de la sociĂ©tĂ© ABC Salaires FrĂ©quences absolus ni FrĂ©quences relatives fi Amplitudes ai fi/ai 6000-7000 12 24% 1000 0,024 7000-8000 10 20% 1000 0,02 8000-1000 23 46% 2000 0,023 10000-11000 5 10% 1000 0,01 Total 50 100% - -
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 48 3.11 cas dâun caractĂšre quantitatif continu (lâhistogramme cas des classes dâamplitudes inĂ©gales)
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 49 3.12 ReprĂ©sentation de caractĂšre Ă deux dimensions ï§ Exemple : La variable sexe conditionnement Ă la variable groupe Groupe Sexe A B C Total F 83% 20% 25% 47% G 17% 80% 75% 53% Total 100% 100% 100% 100%
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 50 3.12 ReprĂ©sentation de caractĂšre Ă deux dimensions ï§ Diagramme des frĂ©quences de la variable sexe conditionnellement Ă la variable Ăąge
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 51 3.12 ReprĂ©sentation de caractĂšre Ă deux dimensions ï§ Pyramid des Ăąges de la population Marocain au 1 er Juillet 2000
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 52 3.13 ReprĂ©sentation logarithmique âą Jusque lĂ : on a vu des reprĂ©sentations arithmĂ©tiques uniquement. Ces reprĂ©sentations ont deux inconvĂ©nients : âą 1/ On ne peut pas juxtaposer des grandeurs (ou distributions) Ă Ă©chelles trĂšs diffĂ©rentes : Exemple : Projeter indice des prix Ă lâimportation dans le temps avec le volume biens importĂ©s âą 2/ On ne peut pas comparer les variations AnnĂ©e indice (1990 base 100) variation indice des prix importations variation Importations 1990 100 75000 1991 125 25 65000 -10000 1992 135 10 58000 -7000 1993 150 15 48000 -10000 1994 178 28 32000 -16000 1995 200 22 24000 -8000 1996 120 -80 48000 24000 1997 101 -19 67000 19000 1998 76 -25 85000 18000 1999 54 -22 102000 17000
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 53 3.13 ReprĂ©sentation logarithmique AnnĂ©e Log (indice prix (1990 base 100)) Log (importations) Dlog(indice Prix) Dlog(Importations) 1990 2 4,87 0,09 -0,062 1991 2,09 4,81 0,03 -0,04 1992 2,13 4,76 0,045 -0,08 1993 2,17 4,68 0,07 -0,17 1994 2,25 4,50 0,05 -0,12 1995 2,30 4,38 -0,22 0,30 1996 2,07 4,68 -0,07 0,14 1997 2,01 4,82 -0,12 0,10 1998 1,88 4,92 -0,14 0,07 1999 1,73 5,01 -1,73 -5,01 âą Les variations des logs sont comparables Ă des taux de croissance des variables (pour des petites variations) : âą DĂ©monstration : Soit x une variable quelconque (taux de croissance) DĂ©monstration : Soit x une variable quelconque x dx xfxd ïœïœ )(')(log
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/ Tous Droits Réservés diapo 54 3.13 Représentation logarithmique
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/ Tous Droits Réservés diapo 55 Chapitre 4 La réduction des données
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 56 4.1 tendance centrale univariĂ© 4.1.1 Le mode (variable discrĂšte) âą DĂ©finition : Le mode est la valeur de la variable associĂ©e au plus grand nombre dâeffectif (ou encore Ă la plus grande frĂ©quence). Salaire Effectif frĂ©quence Mode 1000 25 0,25 1800 45 0,45 1800 (mode) 2200 30 0,3
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 57 4.1 tendance centrale univariĂ© 4.1.2 Le mode (variable continu) âą Classe Ă amplitude Ă©gale âą Classe Ă amplitude Ă©gale: (cc = petite amplitude /ai)*fi Salaires Effectif frĂ©quence Classe modale âModeâ estimĂ© [1000-2000[ 25 0,25 [2000-3000[ 45 0,45 [2000-3000[ 2500 [3000-4000[ 30 0,3 Salaires Effectif ni FrĂ©quence fi Amplitude ai FrĂ©quence AjustĂ©e fi*cc Classe modale âModeâ estimĂ© [1000-2000[ 25 0,25 1000 0.125 [2000-4500[ 55 0,55 2500 0.11 [4500-5000[ 20 0,2 500 0.2 [4500-5000[ 4750
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 58 4.1 tendance centrale univariĂ© 4.1.3 La mĂ©diane (variable discrĂšte) âą DĂ©finition : La mĂ©diane est la valeur dâune sĂ©rie ordonnĂ©e partageant celle-ci en deux sous ensembles Ă taille Ă©gale. ïŒ Chaque valeur observĂ©e est unique dans la sĂ©rie: âą SĂ©rie Ă nombre dâobservations impairs : [3, 5, 7, 9, 10 ,11, 12]. MĂ©=9 âą SĂ©rie Ă nombre dâobservations pairs : [3, 5, 7, 9, 10, 11,12, 13]. ï Intervalle MĂ©dian=[9,10], on peut lâestimer Ă 9.5 (mĂ©diane) ïŒ Chaque valeur observĂ©e plusieurs fois dans la sĂ©rie: âą Exemple simple: [3, 5, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 10 ,11,12]. âą La mĂ©diane ici est 9 : car la valeur qui coupe lâĂ©chantillon en 2 Ă©chantillons Ă©gales est 9. âą Remarque: ceci Ă©tant dit, plus de 50% des observations ont une valeur infĂ©rieure ou Ă©gale Ă neuf (8/11=72% des valeurs â<â ou â=â 9) !
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 59 4.1 tendance centrale univariĂ© 4.1.3 La mĂ©diane (variable discrĂšte) âą Exemple plus gĂ©nĂ©ral : grille de salaire (3 rĂ©munĂ©rations fixes) pour 101 personnes âą 70% sont rĂ©munĂ©rĂ©s dâune valeur infĂ©rieure ou Ă©gale Ă 1800. âą Mais, en ordonnant lâĂ©chantillon (plus petite Ă la plus grande valeur) : de la 26Ăšme personne observĂ©e Ă la 70Ăšme personne observĂ©e : salaire donnĂ© 1800. Donc, la 51Ăšme personne observĂ©e (ou lâobservation qui coupe lâĂ©chantillon en deux) est 1800. âą MĂ©=1800 âą (mais on ne peut pas dire que 50% gagnent au plus (ou au moins) 1800 ) Salaire Effectif FrĂ©quence F cumulĂ©e 1000 25 0,25 0.25 1800 (mĂ©diane) 45 0,45 0.70 2200 30 0,3 1
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/ Tous Droits Réservés diapo 60 4.1 tendance centrale univarié 4.1.4 La médiane (variable continue) ⹠Méthode de détermination de la médiane (graphique): - On trace la fonction de répartition F - On localise la valeur sur la fonction F pour laquelle 50% de la population est associée - Cette valeur est la médiane
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 61 Rappel (interpolation linĂ©aire) âą Rappel de lâinterpolation linĂ©aire ( ThĂ©orĂšme de Thales) ïŒ ABC est un triangle. M se trouve sur le segment [AB] et N sur le segment [AC]. D'aprĂšs le thĂ©orĂšme de ThalĂšs, si les droites (BC) et (MN) sont parallĂšles, alors on a l'Ă©galitĂ©:
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 62 4.1 tendance centrale univariĂ© 4.1.4 La mĂ©diane (variable continue) âą MĂ©thode de dĂ©termination de la mĂ©diane (interpolation linĂ©aire) âą Exemple : Distribution des Salaires observĂ©s en continu âą La classe ou se trouve la mĂ©diane est 2000-4000 Salaires Effectif FrĂ©quence (fi) F cumulĂ©e (RĂ©partition) [1000-2000[ 20 0,20 0.20 [2000-4000[ 50 0,50 0.70 [4000-6000[ 30 0,30 1 0.2 â 2000 0.5 â đđ 0.7 â 7000 đĂ© = 2000 + 4000 â 2000 0.7 â 0.2 [0.5 â 0.2] = 3200
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 63 4.2 Les quartiles « ntiles » âą DĂ©finition : Valeur de la variable qui partage la sĂ©rie en plusieurs (ou encore ânâ) sous-groupes Ă©gaux.
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 64 4.2 Les quartiles « ntiles » âą Exemple : Soit une population de 80 salariĂ©s classĂ©s dâaprĂšs le niveau de leur salaire journalier :
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 65 4.2 Les quartiles « ntiles » âą Exemple : Soit une population de 80 salariĂ©s classĂ©s dâaprĂšs le niveau de leur salaire journalier : ïŒ Les quartiles : âą n/4 = 20 se trouve dans la classe [110, 120[ âą Q1 = 110 + (120-110).[(20-14)/(30-14)] = 113,75 âą Me = Q2 =120 + (130 -120).[(40-30)/(55-30)] = 124 âą Q3 = 130 + (140-130).[60-55)/(68-55)] = 133,85 ï Lâintervalle interquartile est (133,85-113,75), il contient 80% des observations. ïŒ Les dĂ©ciles : âą F(D1) = 0,1 nc(D1) = n/10 âą F(D2) = 0,2 nc(D2) = 2n/10 âą âŠâŠ. Lâintervalle D9 â D1 sâappelle intervalle interdĂ©cile ; il contient 80% des observations. ïŒ Les centiles : âą F(C1) = 0,01 nc(C1) = n/100 âŠ..
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 66 4.3 Graphique « Box Plot » âą DĂ©finition : Câest un graphique qui permet de reprĂ©senter, la plupart des statistiques Ă©tudiĂ©es jusque-lĂ : mĂ©diane, quartiles, dĂ©ciles. Aussi, il rend compte du niveau dâasymĂ©trie, de la dispersion et des valeurs extrĂȘmes de la distribution. Exemple : Etude sur deux distributions de salaires dans le secteur privĂ© et le secteur public en France.
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 67 4.4 La moyenne 4.4.1 La moyenne arithmĂ©tique ïŒ La moyenne arithmĂ©tique simple : DĂ©finition : câest le rapport entre somme des valeurs observĂ©es et le nombre dâobservations. ïŒ La moyenne arithmĂ©tique pondĂ©rĂ©e : DĂ©finition : somme des valeurs observĂ©es, pondĂ©rĂ©es par leur poids (ou frĂ©quence dâapparition) La moyenne arithmĂ©tique pondĂ©rĂ©e ( variable continue): avec ï„ïœ i ix n x 1 ï„ï„ï„ ïœïœïœ i ii i i i i ii xfx n n xwx . 1 i c i i x n x n ïœ ï„ 2 1 iic i xx x ï« ïœ ï«
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/ Tous Droits Réservés diapo 68 4.4 La moyenne 4.4.2 généralisation de la moyenne
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 69 4.4 La moyenne 4.4.3 gĂ©nĂ©ralisation de la moyenne ïŒ PropriĂ©tĂ©s: âą G : Moyenne gĂ©omĂ©trique utilisĂ©e pour calculer des moyennes de taux de croissance. Exemple : Un prĂȘt Ă 3% Ă la date 1, 5% date 2 et 7% date 3. Calculer taux dâintĂ©rĂȘt annuel Moyen: âą H: Moyenne Harmonique: Pour faire la moyenne de vitesses lorsque la distance sur laquelle chaque vitesse pratiquĂ©e est la mĂȘme. Exemple: Une voiture parcourt un trajet Ă 100 km/h de moyenne et le retour Ă 40 km/h. La vitesse moyenne de l'aller-retour : QxGh ïŒïŒïŒ 2 . Ghx ïœ PropriĂ©tĂ©s : et que : ï ï 3/1 )07.1)(05.1)(03.1(1 ïœï«i đđ(đ») = 2 1 100 + 1 40 = 57.14
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 70 4.4 La moyenne 4.4.3 gĂ©nĂ©ralisation de la moyenne âą q: Moyenne quadratique: Prenons un rapide exemple : âą considĂ©rons les nombre suivants {-2, 5, -8, 9, -4 } Nous pouvons en calculer la moyenne arithmĂ©tique avec l'inconvĂ©nient de voir se neutraliser les valeurs positives et nĂ©gatives et d'aboutir Ă un rĂ©sultat nul sans que cela ne nous apprenne quoi que ce soit. En effet,. âą Le calcul de la moyenne quadratique pour la mĂȘme sĂ©rie donne . PropriĂ©tĂ©s : et que : đđ(đ) = đ=1 đ đŠđ 2 đ = 6.16
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 71 4.5 La dispersion 4.5.1 LâĂ©tendue , lâintervalle interquartile, lâĂ©cart absolu moyen ïŒ LâĂ©tendue: est la diffĂ©rence entre la plus grande et la plus petite valeur des observations de la sĂ©rie statistique : (idĂ©e sur la dispersion). (idĂ©e souvent fausse du fait des valeurs extrĂȘmes). ïŒ Les intervalles interquantiles: (Q3-Q1;D9-D1) (bon indicateur de dispersion cependant reste vague par rapport Ă lâĂ©cart type). ïŒ LâĂ©cart absolu moyen: lâĂ©cart absolu moyen est la moyenne arithmĂ©tique des Ă©carts par rapport Ă la tendance centrale, exprimĂ©e en valeur absolue. âą Cet indicateur ne se prĂȘte pas facilement au calcul algĂ©brique. PropriĂ©tĂ©s : max minR X Xïœ ï xxn n E iix ïïœ ï„ 1
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 72 4.5 La dispersion 4.5.2 LâĂ©cart absolu moyen (exemple) âą Exemple: Soit sept tempĂ©ratures relevĂ©es dans les salles de production dâune unitĂ© de filature Ă la mĂȘme heure: âą LâĂ©cart absolu moyen = 1/7 x 12 = 1,71 âą Les tempĂ©ratures sâĂ©cartent en moyenne de 1,71° par rapport Ă leur moyenne arithmĂ©tique. PropriĂ©tĂ©s : et que :
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 73 4.5 La dispersion 4.5.3 La variance et lâĂ©cart type ïŒ La variance: est la moyenne des Ă©carts (par rapport Ă la moyenne) au carrĂ©s (variance pondĂ©rĂ©e) ïŒ LâĂ©cart-type: est la Racine carrĂ©e de la variance ou encore, la moyenne quadratique des Ă©carts (Ă la moyenne) ïŒ Exemple: Soit sept tempĂ©ratures relevĂ©es dans les salles de production dâune unitĂ© de filature Ă la mĂȘme heure: 21 ( ) ( )i i i V x n x x n ïœ ïï„đ(đ„) = 1 đ đ đ„đ â đ„ 2 22/1 2/1 2 )()()( 1 xVxVxxn n i i i ïœïœï· ïž ï¶ ï§ ïš ïŠ ïïœ ï„ïł
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/ Tous Droits Réservés diapo 74 4.5 La dispersion Exemple 1 Propriétés : et que : Xi degrés Tempe 12 -2 4 16 2 4 11 -3 9 14 0 0 13 -1 1 17 3 9 15 1 1
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 75 4.5 La dispersion Exemple 2 PropriĂ©tĂ©s : Classes ni xi nixi (xi - đ„ â )2 ni (xi - đ„ â )2 [3 ; 4[ 26 3,5 91 2,496 64,896 [4 ; 5[ 33 4,5 148,5 0,336 11,088 [5 ; 6[ 64 5,5 352 0,176 11,264 [6 ; 7[ 7 6,5 45,5 2,016 14,112 [7 ; 8[ 10 7,5 75 5,856 58,56 Total 140 712 159,92 )đ(đ„ = 1.14 = 1.067 inc i x c ii xn )( xxc i ï
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 76 4.5 La dispersion 4.5.4 Formule dĂ©veloppĂ©e de la variance ïŒ La formule dĂ©veloppĂ©e de la variance (thĂ©orĂšme de Koenig) Donc on obtient PropriĂ©tĂ©s : et que :
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 77 4.5 La dispersion 4.5.5 sĂ©rie distribuĂ© normalement âą Autre propriĂ©tĂ© : Quand utilise loi normale sâapplique), on peut utiliser l'Ă©cart-type parallĂšlement Ă la moyenne pour calculer des intervalles de donnĂ©es. Si ”= moyenne=mĂ©diane, = Ă©cart-type et x = une valeur incluse dans l'ensemble de donnĂ©es, alors PropriĂ©tĂ©s : et que : ïł
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 78 4.5 La dispersion 4.5.6 Formule de dĂ©composition de la variance ïŒ La formule de dĂ©composition de la variance PropriĂ©tĂ©s : Soit une population P composĂ©e de plusieurs sous populations (P1,..Pp). Soit ; ï· x moyenne âglobaleâ et V(x) variance âglobaleâ de la population ; ï· ï„ ï ïœ pi pipi p p xn n x ,, 1 la moyenne âlocaleâ au sein de chaque sous-population p ï· et ïș ï» ïč ïȘ ï« ï© ïïœ ï„ ï 2 ,, )( 1 )( pi ppipi p p xxn n xV la variance âlocaleâ au sein de chaque sous- population p. Proposition : La variance âglobaleâ est la somme de : ï· la moyenne des variances âlocalesâ (variance intra-population) ï· et de la variance des moyennes âlocalesâ (variance interpopulation) 2 21 1 1 1 ( ) ( var. Intra-population) ( )( inter-population) 2 , , 1... ( ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) i P P P P V x V x Variance i p p i p p p P p n n n n V x V x V x x x x x n n n n V x n V x n x x n nïœ ï© ïč ï© ïč ïœ ï« ï« ï« ï ï« ï« ïïȘ ïș ïȘ ïșï« ï» ï« ï» ïœ ï« ïï„ ï„ 1 4 4 4 4 2 4 4 4 4 3 1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 3
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 79 4.5 La dispersion 4.5.7 Coefficient de variation âą DĂ©finition : Le coefficient de variation est une mesure de la dispersion relative (Ă©cart type par rapport Ă la moyenne) dâune sĂ©rie. Pour le besoin de comparer des dispersions de diffĂ©rentes sĂ©ries. âą Exemple: Demande dâimportation sur une pĂ©riode de 30 ans âą La demande dâimportation est plus dispersĂ©e au Canada et en France PropriĂ©tĂ©s : et que : CV x ïł ïœ
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 80 4.5 La dispersion 4.5.8 Les moments ïŒ DĂ©finition : mr, le moment dâordre r par rapport Ă a, est dĂ©fini comme la moyenne des Ă©carts par rapport Ă a de x, Ă©levĂ©s Ă la puissance r. En pratique, seuls certains moments sont utilisĂ©s et donc calculĂ©s, on distingue : ïŒ Les moments simples (par rapport Ă 0) : avec ïŒ Les moments centrĂ©s (par rapport Ă la moyenne) : avec k r j j j 1 (x a) .frm ïœ ïœ ïï„ k r j j j 1 x .frm ïœ ïœ ï„ 2 2 0 1 21 ; ;m m x m xïłïœ ïœ ïœ ï« k r j j j 1 (x x) .frï ïœ ïœ ïï„ 2 2 0 1 2 2 11 ; 0 ; m mï ï ï ïłïœ ïœ ïœ ï ïœ đ3 = đ3 â 3đ2. đ1 + 2 đ1 3
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 81 4.6 Les caractĂ©ristiques de forme 4.6.1 La forme dâune distribution (comparaison des tendances centrales et coefficient dâasymĂ©trie ïŒ Comparaison de tendances centrales: âą Si Mo=MĂ©=Moyenne alors la sĂ©rie est symĂ©trique âą Si Mo>MĂ© alors la distribution est Ă©talĂ©e vers la gauche âą Si Mo<MĂ© alors la distribution est Ă©talĂ©e vers la droite
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 82 4.6 Les caractĂ©ristiques de forme 4.6.1 La forme dâune distribution (comparaison des tendances centrales et coefficient dâasymĂ©trie et dâaplatissement ïŒ Calcul du coefficient dâasymĂ©trie: 1) Coefficient de Yule: âą Si s=0, alors il y a symĂ©trie âą Si s>0, alors la courbe des frĂ©quences Ă©talĂ©e Ă gauche âą Si s<0, alors sĂ©rie est Ă©talĂ©e Ă droite 2) Coefficient de Pearson: âą Si p=0, la sĂ©rie est symĂ©trique âą Si p>0 la sĂ©rie est Ă©talĂ©e Ă droite âą Si p<0 la sĂ©rie est Ă©talĂ©e Ă gauche )1()3( )1()3( QMĂ©MĂ©Q QMĂ©MĂ©Q s ïï«ï ïïï ïœ ïł Moxp ïïœ
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 83 4.6 Les caractĂ©ristiques de forme 4.6.1 La forme dâune distribution (comparaison des tendances centrales et coefficient dâasymĂ©trie et dâaplatissement ïŒ Calcul du coefficient dâaplatissement: 1) Coefficient de Pearson: 2 4 4 2 2 4 ï ï ïą ï ïł ïœ ïœ avec iï
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 84 4.6 Les caractĂ©ristiques de concentration 4.6.2 Comparaison des mĂ©dianes et indice de Gini ïŒ DĂ©finition : La concentration est la comparaison deux sĂ©ries de frĂ©quences cumulĂ©es. (câest un moyen de mesurer lâinĂ©galitĂ© dâune distribution, ex lâinĂ©galitĂ© des salaires etcâŠ). ïŒ Comparaison des mĂ©dianes ( mĂ©diane et mĂ©diale) Exemple : On Ă©tudie les salaires des salariĂ©s dans une entreprise PropriĂ©tĂ©s : Salaires ci Effectif ni fi% fi Fcc % nici f(nici) % F(nixc) Fcc % 0-10 5 16 20 20 80 4,00 4 10-20 15 30 37,5 57,5 450 21,00 25 20-40 30 18 22,5 80 540 25,00 50 40-70 55 10 12,5 92,5 550 25,00 75 70-100 85 6 7,5 100 510 25,00 100 Total 80 1,000 2130
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 85 4.6 Les caractĂ©ristiques de concentration 4.6.2 Comparaison des mĂ©dianes et indice de Gini âą Si C sâapproche de 0 il y a faible concentration âą Si C sâapproche de 1 il y a forte concentration Et puisque Me = 18 ce qui donne PropriĂ©tĂ©s : MĂ© Ml C Intervalle Variation ï ïœ 20 40 20 40 0.5 0.25 0.5 0.25 Ml Ml ï ï ïœ ïź ïœ ï ï 40 18 24.44% 100( ) C Ă©tendue ï ïœ ïœ
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 86 4.6 Les caractĂ©ristiques de concentration 4.6.2 Comparaison des mĂ©dianes et indice de Gini ïŒ Calcul de lâindice de concentration (indice de gini): 1) On trace la courbe de Lorentz 2) On mesure la concentration grĂące Ă la courbe de Lorentz or lâaire du triangle OAB =1/2 DâoĂč 3) On calcul la surface totale (triangle + trapĂšzes) 4) 5) Enfin PropriĂ©tĂ©s : concentration Aire du triangle Aire G ïœ 2* concentrationG Aireïœ 1 1 2 ( )( ) 2 2 n j j j J b B hb h S ïœ ï« ïœ ï« ï„ đđđđđđđĄđđđĄđđđ = đŽđđđ đđđđđđđđ â đđąđđđđđ đĄđđĄđđđ = 1 2 â đđąđđđđđ đĄđđĄđđđđŽđđđ 2* concentrationG Aireïœ
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 87 4.6 Les caractĂ©ristiques de concentration 4.6.2 Comparaison des mĂ©dianes et indice de Gini PropriĂ©tĂ©s : đ = 4 â 20) + (29 â 37.5) + (75 â 22.5) + (125 â 12.5) + (176 â 7.5 2 = 2875 đ¶đđđđđđĄđđđĄđđđ = 5000 â 2875 = 2125 đș = 2125 5000 = 42.5%
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/ Tous Droits Réservés diapo 88 Chapitre 5 La réduction des données (séries bivariées)
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 89 y(j) y1 y2 y3 y4 (7) ni. (8) ni.xi (9) ni.xi 2 (10) đŽ nijyj (11) đŽ nijyj 2 (12) đŽ nijxiyjx(i) x1 n11 n12 n13 n14 n1. n1.x1 n1.x1 2 đŽn1jyj đŽn1jyj 2 đŽ n1jx1yj x2 n21 n22 n23 n24 n2. n2.x2 n2.x2 2 đŽn2jyj đŽn2jyj 2 đŽ n2jx2yj x3 n31 n32 n33 n34 n3. n3.x3 n3.x3 2 đŽn3jyj đŽn3jyj 2 đŽ n3jx3iyj x4 n41 n42 n43 n44 n4. n4.x4 n4.x4 2 đŽn4jyj đŽn4jyj 2 đŽ n4jx4yj x5 n51 n52 n53 n54 n5. n5.x5 n5.x5 2 đŽn5jyj đŽn5jyj 2 đŽ n5jx5yj (1) n.j n.1 n.2 n.3 n.4 n.. đŽ = đŽ = đŽđŽ = (2) n.jyj n.1y1 n.2y2 n.3y3 n.4y4 đŽn.jyj (3) n.jyj 2 n.1y1 2 n.2y2 2 n.3y3 2 n.4y4 2 đŽ n.jyj 2 (4) đŽ nijxi đŽni1xi đŽni2xi đŽni3xi đŽni4xi 2 2 2 2
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 90 Exemple 1 90 âą Gg 2 4 6 ni. ni.xi ni.xi 2 đŽnijyj đŽnijyj 2 đŽnijxiyj 2 0 1 1 2 4 8 đŽn1jyj = 10 đŽn1jyj 2 = 52 đŽn1jx1yj = 20 4 2 3 0 5 20 80 đŽn2jyj = 16 đŽn2jyj 2 = 56 đŽn2jx2yj = 64 6 1 1 1 3 18 108 đŽn3jyj = 12 đŽn3jyj 2 = 56 đŽn3jx3yj = 72 n.j 3 5 2 đŽ= 10 đŽ= 42 đŽ= 196 đŽđŽ = 156 n.jyj 6 20 12 đŽ = 38 n.jyj 2 12 80 72 đŽ= 164 đŽnijxi đŽni1xi = 14 đŽni2xi = 20 đŽni3xi = 8 đŽ nijxi 2 đŽni1xi 2 = 68 đŽni2xi 2 = 88 đŽni3xi 2 = 40 đŽnijxiyj đŽ ni1xiy1 = 28 đŽni2xiy2 = 80 đŽni3xiy3 = 48 đŽ đŽ= 156 0 16 12 24 48 8 12 0 36
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 91 5.1 ParamĂštres dâune sĂ©rie bivariĂ©e 5.1.1 ParamĂštres marginales de X et Y Ou Ou PropriĂ©tĂ©s : Min
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 92 5.1 ParamĂštres dâune sĂ©rie bivariĂ©e 5.1.2 ParamĂštres conditionnels de X et Y PropriĂ©tĂ©s : Min
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 93 5.1 ParamĂštres dâune sĂ©rie bivariĂ©e 5.1.2 ParamĂštres conditionnels de X et Y PropriĂ©tĂ©s : Min
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 94 5.1 ParamĂštres dâune sĂ©rie bivariĂ©e 5.1.3 Covariance par changement de variable Soit Par soustraction Par consĂ©quent PropriĂ©tĂ©s : Min
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/ Tous Droits Réservés diapo 95 Chapitre 6 Les indices statistiques
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 96 6.1 Les indices statistiques 6.1.1 Les indices simples ï± PropriĂ©tĂ©s des indices Ă©lĂ©mentaires: 1) La circularitĂ©: âą La circularitĂ© est une propriĂ©tĂ© fondamentale qui permet de comparer non seulement les dates 0 et t dâune part, 0 et tâ dâautre part mais Ă©galement t et tâ: 2) La rĂ©versibilitĂ©: âą La rĂ©versibilitĂ© est importante surtout lorsquâon se rĂ©fĂšre Ă un autre critĂšre autre que le temps. Exemple comparer la mĂȘme grandeur dans deux espaces diffĂ©rents. 3) Lâenchainement: âą On obtient ainsi lâindice de la date t par rapport Ă la date 0 en faisant le produit des indices intermĂ©diaires dâune date par rapport Ă la date prĂ©cĂ©dente. PropriĂ©tĂ©s :12095/2000 ïœI 130/ ïœIdFBavI
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 97 6.1 Les indices statistiques 6.1.2 Les indices synthĂ©tiques âą DĂ©finition : Un indice synthĂ©tique est une grandeur composite qui rĂ©sume un ensemble dâindices simples basĂ©s sur des grandeurs hĂ©tĂ©rogĂšnes (i.e. ne pouvant pas ĂȘtre additionnĂ©es). Exemple : Lâindice des prix Ă la production agrĂ©gĂ©. ïŒ Soit une grandeur G composĂ© de plusieurs Ă©lĂ©ments (ex: indice des prix): ïŒ Les indices Ă©lĂ©mentaires sont dĂ©finis par: ïŒ Les indices synthĂ©tiques Ă©lĂ©mentaires pondĂ©rĂ©es par les coefficients: ï§ : Lâimportance relative du constituant i dans la grandeur G Ă la date de base 0. ï§ : : Lâimportance relative du constituant i dans la grandeur G Ă la date courante: t. PropriĂ©tĂ©s :12095/2000 ïœI 130/ ïœIdFBavI
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 98 6.1 Les indices statistiques 6.1.2 Les indices synthĂ©tiques 1) Lâindice Lapeyre: âą Lâindice de Laspeyres est la moyenne arithmĂ©tique pondĂ©rĂ©e des indices Ă©lĂ©mentaires par les coefficients w de la date de rĂ©fĂ©rence (date de base: 0): dâoĂč 2) Lâindice Paashe : âą Lâindice de Paasche est la moyenne harmonique des indices Ă©lĂ©mentaires pondĂ©rĂ©e par les coefficients W Ă la date courante (date : t) 3) Lâindice de Fisher: âą Lâindice de Fisher est la moyenne gĂ©omĂ©trique simple des indices de Laspeyres et de Paasche. PropriĂ©tĂ©s :12095/2000 ïœI 130/ ïœIdFBavI
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 99 6.1 Les indices statistiques 6.1.2 Les indices synthĂ©tiques ï§ Exemple: Le tableau suivant prĂ©sente des donnĂ©es observĂ©es sur les importations du Maroc en matiĂšres premiĂšres pendant les trois derniĂšres annĂ©es dans le secteur du textile: 1) Indices Ă©lĂ©mentaires des matiĂšres premiĂšres de 2011 par rapport Ă 2010: Fil ( augmentation de 20%) Tissu (augment de 50%) Fournitures PropriĂ©tĂ©s :12095/2000 ïœI 130/ ïœIdFBavI
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 100 6.1 Les indices statistiques 6.1.2 Les indices synthĂ©tiques 1) Indice Paashe: ï§ Les coefficients sont ceux de la date courante : 2011 (une augmentation des importation de 34,83%) 2) Indice Lapeyre: coefficients date de rĂ©fĂ©rence 2010 (une augmentation des importation de 34,91%) 2) Indice Fisher: PropriĂ©tĂ©s :12095/2000 ïœI 130/ ïœIdFBavI
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/ Tous Droits Réservés diapo 101 Chapitre 7 Relations entre variables : régressions et corrélations
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 102 7.1 RĂ©gression et corrĂ©lation 7.1.1 Introduction ïŒ DĂ©finition Les courbes de rĂ©gressions (ajustements) sont un moyen graphique de synthĂ©tiser la liaison existante entre deux variables (ou le nuage de points formĂ© par ces deux variables). (Ex quelques ajustements) PropriĂ©tĂ©s :
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 103 7.1 RĂ©gression et corrĂ©lation 7.1.2 La mĂ©thode des moindres carrĂ©es (MCO) ïŒ DĂ©finition: la mĂ©thode linĂ©aire des moindres carrĂ©s un nuage de points par deux droites possibles qui lient y Ă x, tel que la distance entre le nuage de points et chaque droite est minimale. PropriĂ©tĂ©s :
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 104 7.1 RĂ©gression et corrĂ©lation 7.1.2 La mĂ©thode des moindres carrĂ©es (MCO) ïŒ DĂ©monstration pour Dy/x (la dĂ©mo pour sâobtient symĂ©triquement): ïŒ Objectif: Choisir une droite qui minimise les Ă©carts des observations Ă cette droite (droite passant par le milieu du nuage de points). DĂ©river / b: PropriĂ©tĂ©s : Min =
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/ Tous Droits Réservés diapo 105 7.1 Régression et corrélation 7.1.2 La méthode des moindres carrées (MCO) Dériver / a: Propriétés : Min
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 106 7.1 RĂ©gression et corrĂ©lation 7.1.2 La mĂ©thode des moindres carrĂ©es (MCO) DĂ©river / a: ïŒ Le coefficient de corrĂ©lation : (-1< = r < = 1) - si r est proche de 0, il n'y a pas de relation linĂ©aire entre X et Y - si r est proche de -1, il existe une forte relation linĂ©aire nĂ©gative entre X et Y - si r est proche de 1, il existe une forte relation linĂ©aire positive entre X et Y PropriĂ©tĂ©s : Min Ainsi: ï· TracĂ© de xyD / correspond Ă la droite: bxay ii ËËË ï«ïœ avec )( ),( Ë xVar yxCov aïœ et xayb ËË ïïœ ï· Par dĂ©monstration symĂ©trique: TracĂ© de yxD / correspond Ă 'Ë'ËË byax jj ï«ïœ (ou encore : 'Ë 1 'Ë 1 b x a y ij ï«ïœ ) avec )( ),( 'Ë yVar yxCov aïœ et yaxb 'Ë'Ë ïïœ
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 107 7.1 RĂ©gression et corrĂ©lation 7.1.2 La mĂ©thode des moindres carrĂ©es (MCO) ïŒ Le coefficient de corrĂ©lation : (0<= r < = 1) PropriĂ©tĂ©s : Min
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/ Tous Droits Réservés diapo 108 Chapitre 8: Les séries chronologiques
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 109 8.1 Les sĂ©ries chronologiques 8.1 Introduction ïŒ DĂ©finition : On appelle « sĂ©rie chronologique » toutes suite temporelle dâobservations chiffrĂ©es, les observation sont effectuĂ©es Ă des intervalles de temps rĂ©guliers (annĂ©es, mois, jours,âŠ). ïŒ Une SC comporte quartes composantes (mouvements): - Une composante Extra saisonniĂšre : il sâagit dâun mouvement Ă long terme qualifiĂ© par trend de la sĂ©rie chronologique (Ti) - Une composante cyclique oĂč lâamplitude dâun mouvement est variable pouvant dĂ©passer lâannĂ©e (Ci) - Une composante saisonniĂšre : des fluctuations pĂ©riodiques peuvent apparaĂźtre Ă lâintĂ©rieur de lâannĂ©e et qui peuvent se rĂ©pĂ©ter chaque annĂ©e Ă la mĂȘme pĂ©riode (Si) - - Une composante alĂ©atoire ou imprĂ©visible oĂč lâintensitĂ© de variation est rĂ©duite. ( Ai). ïŒ Il existe 2 mĂ©thode dâune chronique: ï Le modĂšle additif : Yi= Ti + Ci + Si + Ai ï Le modĂšle multiplicatif : Yi= Ti * Ci * Si *Ai (plus frĂ©quent) PropriĂ©tĂ©s : Min =
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 110 8.1 Les sĂ©ries chronologiques 8.1.2 Les types de modĂšles de la SC ï Les modĂšles additif et multiplicatif
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 111 8.1 Les sĂ©ries chronologiques 8.1.2 PĂ©riodicitĂ© ïŒ Une SC peut ĂȘtre ( journaliĂšres, mensuelles, trimestriellesâŠ) PropriĂ©tĂ©s : Min =
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 112 8.1 Les sĂ©ries chronologiques 8.1.3 DĂ©termination de la tendance dâune SC ïŒ DĂ©termination par rĂ©gression linĂ©aire (MC0): Exemple: soit la SC suivante repĂ©rĂ© par lâindice t PropriĂ©tĂ©s : Min =
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 113 8.1 Les sĂ©ries chronologiques 8.1.3 DĂ©termination de la tendance dâune SC PropriĂ©tĂ©s : Min =
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 114 8.1 Les sĂ©ries chronologiques 8.1.3 DĂ©termination de la tendance dâune SC ïŒ Exemple les deux moyens mobiles dâordre 2 PropriĂ©tĂ©s : Min =
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 115 8.1 Les sĂ©ries chronologiques 8.1.3 DĂ©termination de la tendance dâune SC ïŒ DĂ©termination par la mĂ©thode des moyennes mobiles: PropriĂ©tĂ©s : Min =
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 116 8.1 Les sĂ©ries chronologiques 8.1.3 DĂ©termination de la tendance dâune SC ïŒ Exemple des deux moyens mobiles dâordre 2 ïŒ Exemple des deux moyens mobiles dâordre 3 PropriĂ©tĂ©s : Min =
117.
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 117 8.1 Les sĂ©ries chronologiques 8.1.3 DĂ©termination de la tendance dâune SC PropriĂ©tĂ©s : Min =
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 118 8.1 Les sĂ©ries chronologiques 8.1.4 DĂ©termination des coefficients saisonniers ïŒ Exemple: on dispose des ventes trimestrielles de 4 annĂ©es dâun magasin de vente de piĂšces mĂ©caniques: ï§ La droite d'ajustement est de la forme Y = 3,22.X + 3265.75 ï§ coefficients saisonniers (CS) sont les moyennes arithmĂ©tiques des rapport au trend ( Y /Y') par pĂ©riode (trimestre, mois...) PropriĂ©tĂ©s : Min = Les ventes historiques (en Trimestres) les annĂ©es 1 2 3 4 2003 3200 3250 3640 3100 2004 3150 3350 3100 3250 2005 3250 3450 3500 3250 2006 3150 3450 3350 3250 Les valeurs ajustĂ©s Y' (Trend) les annĂ©es 1 2 3 4 2003 3268,97 3281,85 3294,74 3307,62 2004 3272,19 3285,07 3297,96 3310,84 2005 3275,41 3288,29 3301,18 3314,06 2006 3278,63 3291,51 3304,40 3317,28
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/ Tous Droits Réservés diapo 119 8.1 Les séries chronologiques 8.1.4 Détermination des coefficients saisonniers Propriétés : Min = Valeurs réels valeurs ajustée les années 1 2 3 4 2003 0,98 0,99 1,10 0,94 2004 0,96 1,02 0,94 0,98 2005 0,99 1,05 1,06 0,98 2006 0,96 1,05 1,01 0,98 Somme 3.98 4.11 4.11 3.88 Coefficients saisonniers 0.995 1.0275 1.0275 0.97 série corrigée des variations saisonniÚres Y' /CS les années 1 2 3 4 2003 3284.42 3194,01 3206,56 3409,92 2004 3288.63 3197,15 3209,69 3413,24 2005 3291.86 3200,28 3212,83 3416,56 2006 3278,63 3203,42 3215,96 3419,88 Les prévisions des ventes de l'année 2007 Eléments 1 2 3 4 prévisions 3320,49 3323,71 3326,93 3330,15 Prévisions corrigés Des effets saisonniers 3303.88 3415.11 3418.42 3230.24
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/ Tous Droits RĂ©servĂ©s diapo 120 Bibliographie (indicative) âą Adil El Marhoum et Adil El Abassi, Statistiques descriptives, UniversitĂ© Cadi Ayyad, 2000 âą Bernard Grais, Statistique descriptive, Dunod, 2000. âą Bernard Py, Statistique descriptive, Economica, 2009. âą J. Hubler, Statistiques appliquĂ©es Ă lâĂ©conomie, BrĂ©al, 1996. âą Alain Piller, Statistique descriptive, Premium Editeur, 2004.
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