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Gráficas polares de las rectas, los círculos, los caracoles, las rosas y la lemniscata.
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Temas de Matemáticas Inc. Coordenadas Polares, Vectores y Números Complejos Gráficas Polares 1
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Temas de Matemáticas Inc. Objetivos Identificar la gráfica de una ecuación polar. Simetría de las gráficas de ecuaciones polares. Desarrollar los modelos de las gráficas polares. Espiral Rectas Circunferencias Caracoles Rosas Lemniscata Describir la gráfica de una ecuación polar. Graficar ecuaciones polares utilizando modelos. 2
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Temas de Matemáticas Inc. Una ecuación cuyas variables están en coordenadas polares es una ecuación polar. La gráfica de una ecuación polar consiste de todos los puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación. A la derecha se presenta un ejemplo de una gráfica polar. 𝜋 2 eje polar Ejemplo: La ecuación polar de una circunferencia es 𝑟 = −5𝑐𝑜𝑠 𝜃 Gráficas Polares 3
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Temas de Matemáticas Inc. Pruebas de simetría Simetría con el eje polar: La gráfica de 𝑟 = 𝑓(𝜃) es simétrica con respecto al eje polar si la sustitución de −𝜃 por 𝜃 nos lleva a una ecuación equivalente. Simetría de las gráficas 4 de ecuaciones polares Simetría con la recta 𝜃 = 𝜋 2 : La gráfica de 𝑟 = 𝑓(𝜃) es simétrica con respecto a la recta vertical 𝜃 = 𝜋 2 si la sustitución de π − 𝜃 por 𝜃 o – 𝑟 por 𝑟 y −𝜃 por 𝜃 nos lleva a una ecuación equivalente. Simetría con el polo: La gráfica de 𝑟 = 𝑓(𝜃) es simétrica con respecto al polo si la sustitución de π + 𝜃 por 𝜃 o – 𝑟 por 𝑟 nos lleva a una ecuación equivalente. 𝜋 2 eje polar 𝜃 −𝜃 𝑟, −𝜃 𝑟, 𝜃 𝜋 2 eje polar−𝜃 𝜃 𝑟, 𝜃 𝑟, 𝜋 − 𝜃 o −𝑟, −𝜃 𝜋 2 eje polar 𝑟, 𝜃 𝜃 −𝑟, 𝜃 o 𝑟, 𝜃 + 𝜋
5.
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Determine si la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠 3𝜃 tiene simetría con el eje polar, la recta 𝜃 = 𝜋 2 o el polo. Simetría de las gráficas 5 de ecuaciones polares Solución: Simetría con el eje polar: Se sustituye el punto 𝑟, −𝜃 en la ecuación. Luego se simplifica la expresión trigonométrica utilizando identidades, si es necesario. La ecuación es equivalente a la ecuación original por lo tanto, tiene simetría con el eje polar. expresión trigonométrica utilizando identidades, si es necesario. La ecuación que se obtiene no es equivalente, por lo tanto, no tiene simetría con la recta 𝜃 = 𝜋 2 . Simetría con recta 𝜃 = 𝜋 2 : Se sustituye el punto 𝑟, 𝜋 − 𝜃 en la ecuación. Después se simplifica la Simetría con el polo: Se sustituye el punto 𝑟, 𝜋 + 𝜃 en la ecuación. Luego se simplifica la expresión trigonométrica utilizando identidades, si es necesario. La ecuación no es equivalente, por lo tanto, no tiene simetría con el polo.
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Temas de Matemáticas Inc. 𝜋 2 eje polar Llamada espiral de Arquímedes. Es una ecuación polar en la que el radio crece según aumenta el ángulo. Su ecuación es de la forma 𝑟 = 𝜃. Gráficas Polares Ecuaciones de espiral 6
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Temas de Matemáticas Inc. Se dibuja el ángulo 𝛼 y luego se dibuja una línea con la inclinación de este ángulo. Recta inclinada Es una recta que pasa por el polo formando un ángulo 𝛼 con el eje polar. Ecuaciones de la recta Gráficas Polares 𝜋 2 eje polar 7 𝛼 Ecuación polar 𝜃 = 𝛼
8.
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Temas de Matemáticas Inc. Gráficas Polares Ecuaciones de la recta Recta vertical Es una recta vertical que está 𝑎 unidades a la derecha o izquierda del polo. Esta línea está 𝑎 unidades a la derecha del polo si 𝑎 > 0 y está 𝑎 unidades a la izquierda del polo si 𝑎 < 0. 𝜋 2 eje polar Ecuación polar 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 𝑎 𝑎 8
9.
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Temas de Matemáticas Inc. Esta línea está 𝑏 unidades hacia arriba del polo si 𝑏 > 0 y está 𝑏 unidades hacia abajo del polo si 𝑏 < 0. Ecuación polar 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑏 Recta horizontal Es una recta horizontal que está 𝑏 unidades abajo o arriba del polo. Ecuaciones de la recta Gráficas Polares 𝜋 2 eje polar 𝑏 9
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 4. Gráficas Polares Ecuaciones de la recta 10
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 = −3. Gráficas Polares Ecuaciones de la recta 11
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 = −3. Gráficas Polares Ecuaciones de la recta 11 La ecuación 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 = −3 es el modelo de la gráfica de una recta vertical. Esta recta se dibuja paralela a la recta 𝜃 = 𝜋 2 a 3 unidades a la izquierda de esta. 𝜋 2 eje polar Solución: 3
14.
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Temas de Matemáticas Inc. 12 PrácticaBuscar el Manual de Práctica Hacer los ejercicios de la página 1
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Temas de Matemáticas Inc. Gráficas Polares Ecuaciones de la recta 13 𝜋 2 eje polar 𝜋 2 eje polar Práctica: Dibujar las siguientes ecuaciones polares. 1. 𝜃 = 2𝜋 3 2. 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃 = −3
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Temas de Matemáticas Inc. Ecuación polar 𝑟 = 𝑎 donde, 𝑎 > 0 Se identifica el radio 𝑎 y se dibuja la circunferencia. Circunferencia con centro en el polo Es una circunferencia con centro en el polo y radio 𝑎. Gráficas Polares Ecuaciones de la circunferencia 14 𝜋 2 eje polar 𝑎
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Temas de Matemáticas Inc. Circunferencia con centro en el eje polar. Es una circunferencia que pasa por el polo, es tangente con la recta 𝜃 = 𝜋 2 , tiene centro en el eje polar y radio 𝑎. Gráficas Polares Ecuaciones de la circunferencia 15 𝜋 2 eje polar 2𝑎 𝑎 Se dibuja 2𝑎 y se identifica el radio 𝑎. Luego se dibuja la circunferencia. Ecuación polar 𝑟 = ±2𝑎𝑐𝑜𝑠 𝜃 donde, 𝑎 > 0
18.
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Temas de Matemáticas Inc. Circunferencia con centro en recta 𝜃 = 𝜋 2 . Es una circunferencia que pasa por el polo, es tangente con el eje polar, tiene centro en la recta 𝜃 = 𝜋 2 y radio 𝑎. Ecuaciones de la circunferencia Gráficas Polares 16 𝜋 2 eje polar 2𝑎 𝑎 Se dibuja 2𝑎 y se identifica el radio 𝑎. Luego se dibuja la circunferencia. Ecuación polar 𝑟 = ±2𝑎𝑠𝑒𝑛 𝜃 donde, 𝑎 > 0
19.
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛 𝜃 . Gráficas Polares 17 Ecuaciones de la circunferencia
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛 𝜃 . Gráficas Polares 17 Ecuaciones de la circunferencia 𝜋 2 eje polar Solución: 2 4 La ecuación 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛𝜃 es el modelo de la gráfica de una circunferencia con centro en la recta 𝜃 = 𝜋 2 que pasa por el polo. Esta circunferencia tiene un diámetro de 4 unidades y el centro está a la mitad de los puntos 0,0 y 4, 𝜋 2 . Dibujar la circunferencia de radio 2 pasando por estos puntos.
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = −4𝑐𝑜𝑠 𝜃 . Gráficas Polares 18 Ecuaciones de la circunferencia
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = −4𝑐𝑜𝑠 𝜃 . Gráficas Polares 18 Ecuaciones de la circunferencia 𝜋 2 eje polar Solución: 24 La ecuación 𝑟 = −4𝑐𝑜𝑠𝜃 es el modelo de la gráfica de una circunferencia con centro en el eje polar que pasa por el polo. Esta circunferencia tiene un diámetro de 4 unidades y el centro está a la mitad de los puntos 0, 𝜋 2 y −4,0 . Dibujar la circunferencia de radio 2 pasando por estos puntos.
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Temas de Matemáticas Inc. PrácticaBuscar el Manual de Práctica Hacer los ejercicios de la página 1 19
24.
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Temas de Matemáticas Inc. Ecuaciones de la circunferencia Práctica: Dibujar las siguientes ecuaciones polares. 1. 𝑟 = −5𝑠𝑒𝑛 𝜃 2. 𝑟 = 4 Gráficas Polares 𝜋 2 eje polar 𝜋 2 eje polar 20
25.
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Temas de Matemáticas Inc. Palabra francesa que proviene del latín “limax” y que significa caracol (o limacon) es la gráfica de una ecuación polar de la forma: 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑐𝑜𝑠 𝜃 o 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝜃 , donde 𝑎 > 0 y 𝑏 > 0 . Existen cuatro tipos de caracoles, que dependen de la razón 𝒂 𝒃 . Caracol (Limaςon) Ecuaciones de caracoles Gráficas Polares 21
26.
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Temas de Matemáticas Inc. Palabra francesa que proviene del latín “limax” y que significa caracol (o limacon) es la gráfica de una ecuación polar de la forma: 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑐𝑜𝑠 𝜃 o 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝜃 , donde 𝑎 > 0 y 𝑏 > 0 . Existen cuatro tipos de caracoles, que dependen de la razón 𝒂 𝒃 . Cardiode 𝒂 𝒃 = 𝟏 𝜋 2 eje polar Caracol (Limaςon) Gráficas Polares Ecuaciones de caracoles 21
27.
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Temas de Matemáticas Inc. Palabra francesa que proviene del latín “limax” y que significa caracol (o limacon) es la gráfica de una ecuación polar de la forma: 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑐𝑜𝑠 𝜃 o 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝜃 , donde 𝑎 > 0 y 𝑏 > 0 . Existen cuatro tipos de caracoles, que dependen de la razón 𝒂 𝒃 . Cardiode 𝒂 𝒃 = 𝟏 Caracol con un lazo 𝒂 𝒃 < 𝟏 Caracol (Limaςon) Gráficas Polares 𝜋 2 eje polar Ecuaciones de caracoles 21
28.
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Temas de Matemáticas Inc. Palabra francesa que proviene del latín “limax” y que significa caracol (o limacon) es la gráfica de una ecuación polar de la forma: 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑐𝑜𝑠 𝜃 o 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝜃 , donde 𝑎 > 0 y 𝑏 > 0 . Existen cuatro tipos de caracoles, que dependen de la razón 𝒂 𝒃 . Cardiode 𝒂 𝒃 = 𝟏 Caracol con un lazo 𝒂 𝒃 < 𝟏 Caracol con hendidura 1< 𝒂 𝒃 < 𝟐 Caracol (Limaςon) Gráficas Polares 𝜋 2 eje polar Ecuaciones de caracoles 21
29.
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Temas de Matemáticas Inc. Palabra francesa que proviene del latín “limax” y que significa caracol (o limacon) es la gráfica de una ecuación polar de la forma: 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑐𝑜𝑠 𝜃 o 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝜃 , donde 𝑎 > 0 y 𝑏 > 0 . Existen cuatro tipos de caracoles, que dependen de la razón 𝒂 𝒃 . Cardiode 𝒂 𝒃 = 𝟏 Caracol con un lazo 𝒂 𝒃 < 𝟏 Caracol con hendidura 1< 𝒂 𝒃 < 𝟐 Caracol convexo 𝒂 𝒃 ≥ 𝟐 Caracol (Limaςon) 𝜋 2 eje polar Gráficas Polares Ecuaciones de caracoles 21
30.
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Temas de Matemáticas Inc. Cardiode Es una epicicloide con sólo un vértice, es decir, es una curva descrita por un punto de un círculo que gira sin deslizar sobre otro círculo fijo del mismo radio. Gráficas Polares 𝜋 2 eje polar 𝑎, 𝜋 2 𝑎, 3𝜋 2 2𝑎,0 Se dibujan los puntos que estan en el eje polar y la recta 𝜃 = 𝜋 2 . Luego se dibuja la gráfica del cardiode. Operación + cardiode hacia la derecha Operación − cardiode hacia la izquierda Ecuaciones de caracoles 22 Ecuación polar 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑐𝑜𝑠 𝜃 donde, 𝑎 𝑏 = 1
31.
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Temas de Matemáticas Inc. Cardiode Es una epicicloide con sólo un vértice, es decir, es una curva descrita por un punto de un círculo que gira sin deslizar sobre otro círculo fijo del mismo radio. Gráficas Polares 𝜋 2 eje polar𝑎, 0𝑎, 𝜋 2𝑎, 𝜋 2 Se dibujan los puntos que estan en el eje polar y la recta 𝜃 = 𝜋 2 . Luego se dibuja la gráfica del cardiode. Operación + cardiode hacia arriba Operación − cardiode hacia abajo Ecuaciones de caracoles 23 Ecuación polar 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝜃 donde, 𝑎 𝑏 = 1
32.
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 2 − 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 . Gráficas Polares 24 Ecuaciones de caracoles
33.
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 2 − 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 . Gráficas Polares 24 𝜋 2 eje polar Solución: Ecuaciones de caracoles La ecuación 𝑟 = 2 − 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 es el modelo de la gráfica de un cardiode hacia la izquierda. Se evalúa la función para los ángulos 0 , 𝜋 2 , 𝜋 , 3𝜋 2 y 2𝜋 . Se obtienen los radios 0, 2 y 4. Dibujar el cardiode pasando por estos puntos. 2, 𝜋 2 2, 3𝜋 2 4, 𝜋 0,0 Se localizan los puntos en el sistema polar.
34.
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 2 + 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 . Gráficas Polares 25 Ecuaciones de caracoles
35.
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 2 + 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 . Gráficas Polares 25 𝜋 2 eje polar Solución: Ecuaciones de caracoles La ecuación 𝑟 = 2 + 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 es el modelo de la gráfica de un cardiode hacia arriba. Se evalúa la función para los ángulos 0 , 𝜋 2 , 𝜋 , 3𝜋 2 y 2𝜋 . Se obtienen los radios 0, 2 y 4. Dibujar el cardiode pasando por estos puntos. 4, 𝜋 2 0, 3𝜋 2 2, 𝜋 2,0 Se localizan los puntos en el sistema polar.
36.
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Temas de Matemáticas Inc. PrácticaBuscar el Manual de Práctica Hacer los ejercicios de la página 2 26
37.
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Temas de Matemáticas Inc. Gráficas Polares Práctica: Graficar las siguientes ecuaciones polares. 1. 𝑟 = 3 + 3𝑐𝑜𝑠 𝜃 2. 𝑟 = 2 − 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 Ecuaciones de caracoles 𝜋 2 eje polar 𝜋 2 eje polar 27
38.
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Temas de Matemáticas Inc. Caracol con lazo Es un caracol hacia la derecha o izquierda que pasa por el polo. Ecuaciones de caracoles Gráficas Polares 𝜋 2 eje polar 𝑎 + 𝑏, 0 𝑎 − 𝑏, 𝜋 𝑎, 𝜋 2 𝑎, 3𝜋 2 Se dibujan los puntos que estan en el eje polar y la recta 𝜃 = 𝜋 2 . Luego se dibuja la gráfica del caracol con lazo. Operación + caracol hacia la derecha Operación − caracol hacia la izquierda 28 Ecuación polar 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑐𝑜𝑠 𝜃 donde, 𝑎 𝑏 < 1 𝑎 + 𝑏, 0 𝑎 − 𝑏, 𝜋
39.
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Temas de Matemáticas Inc. Caracol con lazo Es un caracol hacia arriba o abajo que pasa por el polo. Ecuaciones de caracoles Gráficas Polares 𝜋 2 eje polar 𝑎, 0𝑎, ߨ 𝑎 + 𝑏, 𝜋 2 𝑎 − 𝑏, 3𝜋 2 29 Se dibujan los puntos que estan en el eje polar y la recta 𝜃 = 𝜋 2 . Luego se dibuja la gráfica del caracol con lazo. Operación + caracol hacia arriba Operación − caracol hacia abajo Ecuación polar 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝜃 donde, 𝑎 𝑏 < 1 𝑎 + 𝑏, 3𝜋 2 𝑎 − 𝑏, 𝜋 2
40.
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 2 − 3𝑐𝑜𝑠 𝜃 . Gráficas Polares 30 Ecuaciones de caracoles
41.
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 2 − 3𝑐𝑜𝑠 𝜃 . Gráficas Polares 30 𝜋 2 eje polar Solución: Ecuaciones de caracoles La ecuación 𝑟 = 2 − 3𝑐𝑜𝑠 𝜃 es el modelo de la gráfica de un caracol con lazo hacia la izquierda. Se evalúa la función para los ángulos 0 , 𝜋 2 , 𝜋 , 3𝜋 2 y 2𝜋 . Se obtienen los radios −1, 0, 2 y 5. Dibujar el caracol con lazo pasando por estos puntos. 2, 𝜋 2 2, 3𝜋 2 5, 𝜋 −1,0 Se localizan los puntos en el sistema polar.
42.
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 2 + 3𝑠𝑒𝑛 𝜃 . Gráficas Polares 31 Ecuaciones de caracoles
43.
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 2 + 3𝑠𝑒𝑛 𝜃 . Gráficas Polares 31 𝜋 2 eje polar Solución: Ecuaciones de caracoles La ecuación 𝑟 = 2 + 3𝑠𝑒𝑛 𝜃 es el modelo de la gráfica de un caracol con lazo hacia arriba. Se evalúa la función para los ángulos 0 , 𝜋 2 , 𝜋 , 3𝜋 2 y 2𝜋 . Se obtienen los radios −1, 0, 2 y 5. Dibujar el caracol con lazo pasando por estos puntos. 5, 𝜋 2 −1, 3𝜋 2 2, 𝜋 2,0 Se localizan los puntos en el sistema polar.
44.
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Temas de Matemáticas Inc. Buscar el Manual de Práctica Hacer los ejercicios de la página 3 Práctica 32
45.
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Temas de Matemáticas Inc. Práctica: Graficar las siguientes ecuaciones polares. 1. 𝑟 = 1 + 3𝑐𝑜𝑠 𝜃 2. 𝑟 = 2 − 3𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜋 2 eje polar Gráficas Polares Ecuaciones de caracoles 𝜋 2 eje polar 33
46.
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Temas de Matemáticas Inc. Caracol con hendidura (sin lazo) Es un caracol hacia la derecha o izquierda que no pasa por el polo. Gráficas Polares Ecuaciones de caracoles 𝜋 2 eje polar 𝑎 + 𝑏, 0 𝑎 − 𝑏, 𝜋 𝑎, 𝜋 2 𝑎, 3𝜋 2 34 Se dibujan los puntos que estan en el eje polar y la recta 𝜃 = 𝜋 2 . Luego se dibuja la gráfica del caracol sin lazo. Operación + caracol hacia la derecha Operación − caracol hacia la izquierda Ecuación polar 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑐𝑜𝑠 𝜃 donde, 1 < 𝑎 𝑏 < 2
47.
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Temas de Matemáticas Inc. Caracol con hendidura (sin lazo) Gráficas Polares Ecuaciones de caracoles 𝜋 2 eje polar Es un caracol hacia la arriba o abajo que no pasa por el polo. 𝑎, 0𝑎, 𝜋 𝑎 + 𝑏, 𝜋 2 𝑎 − 𝑏, 3𝜋 2 35 Se dibujan los puntos que estan en el eje polar y la recta 𝜃 = 𝜋 2 . Luego se dibuja la gráfica del caracol sin lazo. Operación + caracol hacia arriba Operación − caracol hacia abajo Ecuación polar 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝜃 donde, 1 < 𝑎 𝑏 < 2𝑎 + 𝑏, 3𝜋 2 𝑎 − 𝑏, 𝜋 2
48.
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 3 − 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 . Gráficas Polares 36 Ecuaciones de caracoles
49.
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 3 − 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 . Gráficas Polares 36 𝜋 2 eje polar Solución: Ecuaciones de caracoles La ecuación 𝑟 = 3 − 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 es el modelo de la gráfica de un caracol con hendidura hacia la izquierda. Se evalúa la función para los ángulos 0 , 𝜋 2 , 𝜋 , 3𝜋 2 y 2𝜋 . Se obtienen los radios 1, 3 y 5. Dibujar el caracol sin lazo pasando por estos puntos. 3, 𝜋 2 3, 3𝜋 2 5, 𝜋 1,0 Se localizan los puntos en el sistema polar.
50.
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 3 + 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 . Gráficas Polares 37 Ecuaciones de caracoles
51.
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 3 + 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 . Gráficas Polares 37 𝜋 2 eje polar Solución: Ecuaciones de caracoles La ecuación 𝑟 = 3 + 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 es el modelo de la gráfica de un caracol con hendidura hacia arriba. Se evalúa la función para los ángulos 0 , 𝜋 2 , 𝜋 , 3𝜋 2 y 2𝜋 . Se obtienen los radios 1, 3 y 5. Dibujar el caracol sin lazo pasando por estos puntos. 5, 𝜋 2 1, 3𝜋 2 3, 𝜋 3,0 Se localizan los puntos en el sistema polar.
52.
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Temas de Matemáticas Inc. Buscar el Manual de Práctica Hacer los ejercicios de la página 4 Práctica 38
53.
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Temas de Matemáticas Inc. 𝜋 2 eje polar Gráficas Polares Ecuaciones de caracoles 𝜋 2 eje polar Práctica: Graficar las siguientes ecuaciones polares. 1. 𝑟 = 3 + 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 2. 𝑟 = 3 − 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 39
54.
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Temas de Matemáticas Inc. Caracol convexo (sin lazo) Es un caracol hacia la derecha o izquierda que no pasa por el polo. 𝜋 2 eje polar 𝑎 + 𝑏, 0 𝑎 − 𝑏, 𝜋 𝑎, 𝜋 2 𝑎, 3𝜋 2 Gráficas Polares Ecuaciones de caracoles 40 Se dibujan los puntos que estan en el eje polar y la recta 𝜃 = 𝜋 2 . Luego se dibuja la gráfica del caracol sin lazo. Operación + caracol hacia la derecha Operación − caracol hacia la izquierda Ecuación polar 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑐𝑜𝑠 𝜃 donde, 𝑎 𝑏 ≥ 2 𝑎 + 𝑏, 𝜋 𝑎 − 𝑏, 0
55.
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Temas de Matemáticas Inc. Caracol convexo (sin lazo) Es un caracol hacia arriba o abajo que no pasa por el polo. 𝜋 2 eje polar Gráficas Polares Ecuaciones de caracoles 𝑎, 0𝑎, 𝜋 𝑎 + 𝑏, 𝜋 2 𝑎 − 𝑏, 3𝜋 2 41 Se dibujan los puntos que estan en el eje polar y la recta 𝜃 = 𝜋 2 . Luego se dibuja la gráfica del caracol sin lazo. Operación + caracol hacia arriba Operación − caracol hacia abajo Ecuación polar 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝜃 donde, 𝑎 𝑏 ≥ 2 𝑎 − 𝑏, 𝜋 2 𝑎 + 𝑏, 3𝜋 2
56.
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4 + 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 . Gráficas Polares 42 Ecuaciones de caracoles
57.
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4 + 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 . Gráficas Polares 42 𝜋 2 eje polar Solución: Ecuaciones de caracoles La ecuación 𝑟 = 3 + 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 es el modelo de la gráfica de un caracol convexo hacia la derecha. Se evalúa la función para los ángulos 0 , 𝜋 2 , 𝜋 , 3𝜋 2 y 2𝜋 . Se obtienen los radios 2, 4 y 6. Dibujar el caracol sin lazo pasando por estos puntos. 4, 𝜋 2 4, 3𝜋 2 2, 𝜋 6,0 Se localizan los puntos en el sistema polar.
58.
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 2 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 . Gráficas Polares 43 Ecuaciones de caracoles
59.
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 2 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 . Gráficas Polares 43 𝜋 2 eje polar Solución: Ecuaciones de caracoles La ecuación 𝑟 = 2 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 es el modelo de la gráfica de un caracol convexo hacia abajo. Se evalúa la función para los ángulos 0 , 𝜋 2 , 𝜋 , 3𝜋 2 y 2𝜋 . Se obtienen los radios 1, 2 y 3. Dibujar el caracol sin lazo pasando por estos puntos. 1, 𝜋 2 3, 3𝜋 2 2, 𝜋 2,0 Se localizan los puntos en el sistema polar.
60.
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Temas de Matemáticas Inc. Buscar el Manual de Práctica Hacer los ejercicios de la página 5 Práctica 44
61.
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Temas de Matemáticas Inc. Práctica: Graficar las siguientes ecuaciones polares. 1. 𝑟 = 4 − 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 2. 𝑟 = 4 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃 45 Gráficas Polares 𝜋 2 eje polar 𝜋 2 eje polar Ecuaciones de caracoles
62.
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Temas de Matemáticas Inc. Rosas de 𝑛 pétalos Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar. Gráficas Polares Ecuaciones de rosas 𝜋 2 eje polar Ecuación polar 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 Posición del primer pétalo Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 dividir 𝜋 2 por 𝑛 46
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Temas de Matemáticas Inc. Rosas de 𝑛 pétalos Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar. Gráficas Polares Ecuaciones de rosas Ecuación polar 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 Posición del primer pétalo Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 dividir 𝜋 2 por 𝑛 Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 dividir 0 por 𝑛 𝜋 2 eje polar El ángulo entre los pétalos es 2𝜋 dividido por el número de pétalos (𝑛) y cada uno mide 𝑎 unidades. 𝑎, 0 𝑎, 2𝜋 3 −𝑎, 𝜋 3 46
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Temas de Matemáticas Inc. Rosas de 2𝑛 pétalos Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par. 𝜋 2 eje polar Ecuación polar 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 Gráficas Polares Ecuaciones de rosas Posición del primer pétalo Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 dividir 𝜋 2 por 𝑛 47
65.
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Temas de Matemáticas Inc. Rosas de 2𝑛 pétalos Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par. 𝜋 2 eje polar Ecuación polar 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 Gráficas Polares Ecuaciones de rosas Posición del primer pétalo Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 dividir 𝜋 2 por 𝑛 Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 dividir 0 por 𝑛 La distancia entre los pétalos es 2𝜋 entre el número de pétalos (2𝑛) y cada uno mide 𝑎 unidades. 𝑎, 𝜋 −𝑎, 𝜋 2 𝑎, 0 −𝑎, 3𝜋 2 47
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠 2𝜃 . Gráficas Polares 48 Ecuaciones de rosas
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠 2𝜃 . Gráficas Polares 48 𝜋 2 eje polar Solución: La ecuación 𝑟 = 4cos(2𝜃) es el modelo de la gráfica de una rosa de cuatro pétalos (2𝑛) = 4 . La posición del primer pétalo está donde 2𝜃 = 0. La distancia entre pétalos es 𝜋 2 , se obtiene dividiendo 2𝜋 entre el número de pétalos. Dibujar la rosa con pétalos de 4 unidades de largo. −4, 3𝜋 2 −4, 𝜋 2 4,04, 𝜋 Ecuaciones de rosas
68.
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 5𝑠𝑒𝑛 3𝜃 . Gráficas Polares 49 Ecuaciones de rosas
69.
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 5𝑠𝑒𝑛 3𝜃 . Gráficas Polares 49 𝜋 2 eje polar Solución: La ecuación 𝑟 = 5sen(3𝜃) es el modelo de la gráfica de una rosa de tres pétalos 𝑛 = 3. La posición del primer pétalo está donde 3𝜃 = 𝜋 2 . La distancia entre pétalos es 2𝜋 3 , se obtiene dividiendo 2𝜋 entre el número de pétalos. Dibujar la rosa con pétalos de 5 unidades de largo. 5, 𝜋 65, 5𝜋 6 5, 3𝜋 2 Ecuaciones de rosas
70.
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Temas de Matemáticas Inc. PrácticaBuscar el Manual de Práctica Hacer los ejercicios de la página 6 50
71.
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Temas de Matemáticas Inc. Gráficas Polares Ecuaciones de rosas Práctica: Graficar las siguientes ecuaciones polares. 1. 𝑟 = 6𝑐𝑜𝑠 5𝜃 2. 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝜋 2 eje polar 𝜋 2 eje polar 51
72.
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Temas de Matemáticas Inc. Es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación polar: 𝑟2 = 𝑎2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝜋 2 eje polar 𝑎, 𝜋 4 𝑎, 5𝜋 4 Nota: La longitud de cada hoja es 𝑎. La posición depende de la ecuación polar. En la ecuación 𝑟2 = 𝑎2 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 está donde el cos 2𝜃 = 1. Gráficas Polares Ecuaciones de lemniscata 52 𝜋 2 eje polar 𝑎, 0 𝑎, 𝜋 𝑟2 = 𝑎2 𝑐𝑜𝑠 2𝜃
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟2 = 16𝑐𝑜𝑠 2𝜃 . Gráficas Polares 53 Ecuaciones de lemniscata
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟2 = 16𝑐𝑜𝑠 2𝜃 . Gráficas Polares 53 𝜋 2 eje polar Solución: Los puntos principales se obtienen al evaluar la función para 0, 𝜋 4 y 𝜋. Estos son ±4,0 , 0, 𝜋 4 y ±4, 𝜋 . Dibujar la lemniscata pasando por estos puntos. Ecuaciones de lemniscata 4,04, 𝜋 La ecuación 𝑟2 = 16𝑐𝑜𝑠 2𝜃 es el modelo de la gráfica de una lemniscata en 𝜃 = 0 de 4 unidades de largo.
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟2 = 25𝑠𝑒𝑛 2𝜃 . Gráficas Polares 54 Ecuaciones de lemniscata
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Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟2 = 25𝑠𝑒𝑛 2𝜃 . Gráficas Polares 54 𝜋 2 eje polar Solución: Los puntos principales se obtienen al evaluar la función para 0, 𝜋 4 y 5𝜋 4 . Estos son 0,0 , ±5, 𝜋 4 y ±5, 5𝜋 4 . Dibujar la lemniscata pasando por estos puntos. Ecuaciones de lemniscata 5, 𝜋 4 5, 5𝜋 4 La ecuación 𝑟2 = 25𝑠𝑒𝑛 2𝜃 es el modelo de la gráfica de una lemniscata en 𝜃 = 𝜋 4 de 4 unidades de largo.
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Temas de Matemáticas Inc. PrácticaBuscar el Manual de Práctica Hacer los ejercicios de la página 7 55
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Temas de Matemáticas Inc. Práctica: Graficar las siguientes ecuaciones polares. 1. 𝑟2 = 36𝑠𝑒𝑛 2𝜃 2. 𝑟2 = 25𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝜋 2 eje polar 𝜋 2 eje polar Gráficas Polares Ecuaciones de lemniscata 56
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Temas de Matemáticas Inc. Comenzar Gráficas de espiral Gráficas de rectas Simetría en coordenadas Polares Gráficas de caracoles Gráficas de circunferencias Terminar Presentación Coordenadas Polares 57 Gráficas de rosas