Presentación que ayuda a dibujar las graficas de las ecuaciones polares de rosas.

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Coordenadas
Polares, Vectores
y Números Complejos
• Gráficas Rosas
1

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Rosas de 𝑛 pétalos
Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar.
Gráficas Ecuaciones de Rosas
46

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Gráficas Ecuaciones de Rosas
La gráfica de la izquierda es una
rosa de tres pétalos.
46
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Rosas de 𝑛 pétalos
Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar.

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Gráficas Ecuaciones de Rosas
Ecuación polar
𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
46
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Rosas de 𝑛 pétalos
Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar.

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Gráficas Ecuaciones de Rosas
Ecuación polar
𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
Posición del primer pétalo
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃
dividir
𝜋
2
por 𝑛
46
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Rosas de 𝑛 pétalos
Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar.

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Gráficas Ecuaciones de Rosas
Ecuación polar
𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
Posición del primer pétalo
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃
dividir
𝜋
2
por 𝑛
46
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Rosas de 𝑛 pétalos
Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar.

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Gráficas Ecuaciones de Rosas
Ecuación polar
𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
Posición del primer pétalo
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃
dividir
𝜋
2
por 𝑛
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃
dividir 0 por 𝑛
46
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Rosas de 𝑛 pétalos
Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar.

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Gráficas Ecuaciones de Rosas
Ecuación polar
𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
Posición del primer pétalo
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃
dividir
𝜋
2
por 𝑛
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃
dividir 0 por 𝑛
46
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Rosas de 𝑛 pétalos
Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar.

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Gráficas Ecuaciones de Rosas
Ecuación polar
𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
Posición del primer pétalo
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃
dividir
𝜋
2
por 𝑛
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃
dividir 0 por 𝑛
El ángulo entre los pétalos es 2𝜋
dividido por el número de pétalos (𝑛).
46
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Rosas de 𝑛 pétalos
Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar.

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Gráficas Ecuaciones de Rosas
Ecuación polar
𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
Posición del primer pétalo
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃
dividir
𝜋
2
por 𝑛
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃
dividir 0 por 𝑛
El ángulo entre los pétalos es 2𝜋
dividido por el número de pétalos (𝑛) y
cada uno mide 𝑎 unidades.
46
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋 𝑎, 0
𝑎, 2𝜋
3
−𝑎, 𝜋
3
Rosas de 𝑛 pétalos
Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar.

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Gráficas Ecuaciones de Rosas
Ecuación polar
𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
Posición del primer pétalo
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃
dividir
𝜋
2
por 𝑛
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃
dividir 0 por 𝑛
El ángulo entre los pétalos es 2𝜋
dividido por el número de pétalos (𝑛) y
cada uno mide 𝑎 unidades.
46
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋 𝑎, 0
𝑎, 2𝜋
3
−𝑎, 𝜋
3
𝑎, 𝜋
6
𝑎, 5𝜋
6
−𝑎, 𝜋
2
Rosas de 𝑛 pétalos
Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar.

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Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par.
Gráficas Ecuaciones de Rosas
47
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Rosas de 2𝑛 pétalos

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La gráfica de la izquierda es una
rosa de cuatro pétalos.
Gráficas Ecuaciones de Rosas
47
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par.
Rosas de 2𝑛 pétalos

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Ecuación polar
𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
Gráficas Ecuaciones de Rosas
47
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par.
Rosas de 2𝑛 pétalos

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Ecuación polar
𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
Gráficas Ecuaciones de Rosas
Posición del primer pétalo
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃
dividir
𝜋
2
por 𝑛
47
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par.
Rosas de 2𝑛 pétalos

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Ecuación polar
𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
Gráficas Ecuaciones de Rosas
Posición del primer pétalo
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃
dividir
𝜋
2
por 𝑛
47
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par.
Rosas de 2𝑛 pétalos

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Ecuación polar
𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
Gráficas Ecuaciones de Rosas
Posición del primer pétalo
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃
dividir
𝜋
2
por 𝑛
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃
dividir 0 por 𝑛
47
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par.
Rosas de 2𝑛 pétalos

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Ecuación polar
𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
Gráficas Ecuaciones de Rosas
Posición del primer pétalo
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃
dividir
𝜋
2
por 𝑛
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃
dividir 0 por 𝑛
47
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par.
Rosas de 2𝑛 pétalos

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Ecuación polar
𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
Gráficas Ecuaciones de Rosas
Posición del primer pétalo
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃
dividir
𝜋
2
por 𝑛
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃
dividir 0 por 𝑛
La distancia entre los pétalos es 2𝜋
entre el número de pétalos (2𝑛).
47
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par.
Rosas de 2𝑛 pétalos

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Ecuación polar
𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
Gráficas Ecuaciones de Rosas
Posición del primer pétalo
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃
dividir
𝜋
2
por 𝑛
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃
dividir 0 por 𝑛
47
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
𝑎, 𝜋
−𝑎, 𝜋
2
𝑎, 0
−𝑎, 3𝜋
2
La distancia entre los pétalos es 2𝜋
entre el número de pétalos (2𝑛) y cada
uno mide 𝑎 unidades.
Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par.
Rosas de 2𝑛 pétalos

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Ecuación polar
𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
Gráficas Ecuaciones de Rosas
Posición del primer pétalo
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃
dividir
𝜋
2
por 𝑛
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃
dividir 0 por 𝑛
47
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
𝑎, 𝜋
−𝑎, 𝜋
2
𝑎, 0
−𝑎, 3𝜋
2
La distancia entre los pétalos es 2𝜋
entre el número de pétalos (2𝑛) y cada
uno mide 𝑎 unidades.
𝑎,
5𝜋
4
−𝑎, 7𝜋
4 𝑎,
𝜋
4
−𝑎, 3𝜋
4
Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par.
Rosas de 2𝑛 pétalos

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Gráficas Ecuaciones de Rosas
48
Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠 2𝜃 .

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Gráficas Ecuaciones de Rosas
48
Solución:
La ecuación 𝑟 = 4cos(2𝜃) es el
modelo de la gráfica de una rosa
de cuatro pétalos (2𝑛) = 4 . La
posición del primer pétalo está
donde 2𝜃 = 0.
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠 2𝜃 .

24. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares
Gráficas Ecuaciones de Rosas
48
Solución:
La ecuación 𝑟 = 4cos(2𝜃) es el
modelo de la gráfica de una rosa
de cuatro pétalos (2𝑛) = 4 . La
posición del primer pétalo está
donde 2𝜃 = 0.
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠 2𝜃 .

25. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares
Gráficas Ecuaciones de Rosas
48
Solución:
La ecuación 𝑟 = 4cos(2𝜃) es el
modelo de la gráfica de una rosa
de cuatro pétalos (2𝑛) = 4 . La
posición del primer pétalo está
donde 2𝜃 = 0.
La distancia entre pétalos es 𝜋
2
, se
obtiene dividiendo 2𝜋 entre el
número de pétalos.
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠 2𝜃 .

26. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares
Gráficas Ecuaciones de Rosas
48
Solución:
La ecuación 𝑟 = 4cos(2𝜃) es el
modelo de la gráfica de una rosa
de cuatro pétalos (2𝑛) = 4 . La
posición del primer pétalo está
donde 2𝜃 = 0.
La distancia entre pétalos es 𝜋
2
, se
obtiene dividiendo 2𝜋 entre el
número de pétalos.
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠 2𝜃 .

27. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares
Gráficas Ecuaciones de Rosas
48
Solución:
La ecuación 𝑟 = 4cos(2𝜃) es el
modelo de la gráfica de una rosa
de cuatro pétalos (2𝑛) = 4 . La
posición del primer pétalo está
donde 2𝜃 = 0.
La distancia entre pétalos es 𝜋
2
, se
obtiene dividiendo 2𝜋 entre el
número de pétalos.
Dibujar la rosa con pétalos de
4 unidades de largo.
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
−4, 3𝜋
2
−4, 𝜋
2
4,04, 𝜋
Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠 2𝜃 .

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Gráficas Ecuaciones de Rosas
49
Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 5𝑠𝑒𝑛 3𝜃 .

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Gráficas Ecuaciones de Rosas
49
Solución:
La ecuación 𝑟 = 5sen(3𝜃)es el modelo
de la gráfica de una rosa de tres
pétalos 𝑛 = 3. La posición del primer
pétalo está donde 3𝜃 = 𝜋
2
.
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 5𝑠𝑒𝑛 3𝜃 .

30. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares
Gráficas Ecuaciones de Rosas
49
Solución:
La ecuación 𝑟 = 5sen(3𝜃)es el modelo
de la gráfica de una rosa de tres
pétalos 𝑛 = 3. La posición del primer
pétalo está donde 3𝜃 = 𝜋
2
.
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 5𝑠𝑒𝑛 3𝜃 .

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Gráficas Ecuaciones de Rosas
49
Solución:
La distancia entre pétalos es 2𝜋
3
, se
obtiene dividiendo 2𝜋 entre el número
de pétalos.
La ecuación 𝑟 = 5sen(3𝜃)es el modelo
de la gráfica de una rosa de tres
pétalos 𝑛 = 3. La posición del primer
pétalo está donde 3𝜃 = 𝜋
2
.
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 5𝑠𝑒𝑛 3𝜃 .

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Gráficas Ecuaciones de Rosas
49
Solución:
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋 La distancia entre pétalos es 2𝜋
3
, se
obtiene dividiendo 2𝜋 entre el número
de pétalos.
La ecuación 𝑟 = 5sen(3𝜃)es el modelo
de la gráfica de una rosa de tres
pétalos 𝑛 = 3. La posición del primer
pétalo está donde 3𝜃 = 𝜋
2
.
Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 5𝑠𝑒𝑛 3𝜃 .

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Gráficas Ecuaciones de Rosas
49
Solución:
Dibujar la rosa con pétalos de 5
unidades de largo.
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋 La distancia entre pétalos es 2𝜋
3
, se
obtiene dividiendo 2𝜋 entre el número
de pétalos.
La ecuación 𝑟 = 5sen(3𝜃)es el modelo
de la gráfica de una rosa de tres
pétalos 𝑛 = 3. La posición del primer
pétalo está donde 3𝜃 = 𝜋
2
.5, 𝜋
6
5, 5𝜋
6
5, 3𝜋
2
Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 5𝑠𝑒𝑛 3𝜃 .

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PrácticaBuscar el Manual de Práctica
Hacer los ejercicios de la página 6
50

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Gráficas Ecuaciones de Rosas
Práctica:
Graficar las siguientes ecuaciones polares.
1. 𝑟 = 6𝑐𝑜𝑠 5𝜃 2. 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛 2𝜃
51
1 2 3 4 5 6eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
1 2 3 4 5 6eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋

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Gráficas Ecuaciones de Rosas
51
1 2 3 4 5 6eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
1 2 3 4 5 6eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Rosa de 5 pétalos de longitud 6.
Primer pétalo en 0 y cada uno a 2𝜋
5
.
6,0
6, 6𝜋
5
6, 4𝜋
5
6, 8𝜋
5
6, 2𝜋
5
Práctica:
Graficar las siguientes ecuaciones polares.
1. 𝑟 = 6𝑐𝑜𝑠 5𝜃 2. 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛 2𝜃

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Gráficas Ecuaciones de Rosas
51
1 2 3 4 5 6eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
1 2 3 4 5 6eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Rosa de 5 pétalos de longitud 6.
Primer pétalo en 0 y cada uno a 2𝜋
5
.
6,0
6, 6𝜋
5
6, 4𝜋
5
6, 8𝜋
5
6, 2𝜋
5
Rosa de 4 pétalos de longitud 4.
Primer pétalo en 𝜋
4
y cada uno a 𝜋
2
.
4, 𝜋
4
4, 5𝜋
4
−4, 7𝜋
4
−4, 3𝜋
4
Práctica:
Graficar las siguientes ecuaciones polares.
1. 𝑟 = 6𝑐𝑜𝑠 5𝜃 2. 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛 2𝜃

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Mapa Gráficas Polares
57
Simetría de las Gráficas Polares
•Polo
•Eje Polar
•Recta 𝜃 =
𝜋
2
Gráficas Rectas
•Recta inclinada
•Recta Paralela al Eje Polar
•Recta Paralela a 𝜃 =
𝜋
2
Gráficas Círculos
•Circulo con centro en el polo
•Circulo con centro en el eje polar
•Circulo con centro en la recta 𝜃 =
𝜋
2
Gráficas Caracoles
• Cardiode
• Caracol con Lazo
• Caracol sin Lazo
Gráficas Rosas
• Rosas de N Pétalos
• Rosas de 2N Pétalos
• Gráfica Lemniscata
• Gráfica de Espiral
Gráficas de Ecuaciones Polares