Decisões sob Risco

Avaliação de alternativas
sob risco
Prof. Dr. Mauricio Uriona Maldonado
EPS 7009 – Teoria da Decisão
Departamentode Engenharia de Produçãoe Sistemas

Processo Decisório
Situação
Inicial
Decisão
Ciclo da Análise de Decisões
Avaliar a
situação
Elicitar as
alternativas
Avaliar as
alternativas
Plano da
Implantação
Definir o
marco
decisório
Análise
Determinista
Análise
Probabilística
Avaliação
Parnell, G. S. et. al. (2013). Handbook of Decision Analysis (Vol. 6). John Wiley & Sons. Cap 05.
Estamos na etapa ‘avaliar as alternativas’
Sub-etapa ‘análise probabilistica’

Matriz de Resultados + Probabilidades
Estados da Natureza
Alternativas: a1, a2,...,an
Estados: s1, s2,..., sm
Decisão s1 s2
a1 Payoff a1s1 Payoff a1s2
a2 Payoff a2s1 Payoff a2s2
Probabilidades : Ps1, Ps2,..., Psm

Exemplo
Decisão Mercado Bom Mercado Ruim
Apartamento VPL = R$ 50k VPL = R$ 30k
Sala Comercial VPL = R$ 100k VPL = - R$ 40k
Depósito VPL = R$ 30k VPL = R$ 10k
Estados da Natureza
Qual é a melhor decisão?
p1 = 0,60 p2 = 0,40

Exemplo
Apartamento VPL = R$ 50k VPL = R$ 30k
Sala Comercial VPL = R$ 100k VPL = - R$ 40k
Depósito VPL = R$ 30k VPL = R$ 10k
Estados da Natureza
p = 0,60 1-p = 0,40
Valor Monetário Esperadode cada decisão:
E(Apartamento) = $50.000(.6) + $30.000(.4) = $42.000
E(Sala Com.) = $100.000(.6) – $40.000(.4) = $44.000
E(Depósito) = $30.000(.6) + $10.000(.4) = $22.000

Exemplo
Apartamento -50k 0
Sala Comercial 0 -70k
Depósito -70k -20k
Estados da Natureza
p = 0,60 1-p = 0,40
Valor Esperado do Arrependimento de cada decisão:
E(Apartamento) = -$50.000(.6) + $0(.4) = -$30.000
E(Sala Com.) = $0(.6) – $70.000(.4) = -$28.000
E(Depósito) = -$70.000(.6) - $20.000(.4) = -$50.000

Análise de Sensibilidade
Valor Esperado de cada decisão:
E(Apartamento) = $50.000(p) + $30.000(1-p) = 20.000p + 30.000
E(Sala Com.) = $100.000(p) – $40.000(1-p) = 140.000p – 40.000
E(Depósito) = $30.000(p) + $10.000(1-p) = 20.000p +10.000

Análise de Sensibilidade
p=0 p=1.0
De p=0 a p= 0,44
à Apartamento
De p=0,45 a p= 0,54
à Apartamento
p > 0,55 à Sala

Árvores de Decisão
Árvores de decisão são estruturas mais flexíveis
para problemas mais complexos e são
comumente usadas pelos tomadores de decisão
para obter uma melhor representação visual
das alternativas de decisão e suas possíveis
consequências.

Apartamento R$ 50k R$ 30k
Sala Comercial R$ 100k - R$ 40k
Depósito R$ 30k R$ 10k
Estados da Natureza
p = 0,60 1-p = 0,40

Decisões/
Alternativas
Estados da
Natureza
Resultado
/Payoff

§ Uma estrutura em árvore de quadrados, círculos, arcos e
números
§ Nó quadrado: uma decisão
§ Um círculo: Um evento do estado da natureza
§ Um arco: um resultado de uma decisão ou um evento,
indicando a precedência de decisões e eventos
§ Números: a probabilidade de um evento, o pagamento de um
resultado de um evento, ou a suposição de retorno esperado
de uma decisão (ou de uma sequência de decisões)

Decisões/
Alternativas
Estados da
Natureza
Resultado
/Payoff
42M
44M
22M

§ Uma árvore de decisão sequencial é usada para
ilustrar uma situação que exige uma sequência de
decisões.
§ Normalmente é cronológica e respeita uma ordem
lógica.
§ Usado onde uma matriz de resultados, não pode
ser usada.
§ Exemplo de investimento imobiliário modificado
para abranger um período de dez anos em que
várias decisões devem ser tomadas:

Valor Esperado da
Informação Perfeita

Valor Esperado da Informação
Perfeita
§ O valor esperado da informação perfeita(VEIP) é o
montante máximo que um tomador de decisão deve
pagar para obter informações adicionais.
§ VEIP é igual ao valor esperado dado que se possui a
informação perfeita (informações privilegiadas) menos o
valor esperado calculado sem a informação perfeita
§ VEIP é igual ao valor esperado da perda oportunidade
(EPO) para a melhor decisão.

Perfeita
Estados da Natureza
p = 0,60 1-p = 0,40
• Se soubessemos certamente, que o mercado bom iria prevalecer,
escolheriamos a Sala Comercial (R$ 100.000);
• Se soubessemos certamente, que o mercado ruim iria prevalecer,
escolheriamos o Apartamento (R$ 30.000);

Perfeita
Valor Esperado da decisão com informaçãoperfeita (VEcIP):
$100,000(.60) + $30,000(.40) = $72,000
Estados da Natureza
p = 0,60 1-p = 0,40

Perfeita
Relembrando, o Valor Monetário Esperado de cada decisão:
E(Apartamento) = $50.000(.6) + $30.000(.4) = $42.000
E(Sala Com.) = $100.000(.6) – $40.000(.4) = $44.000
E(Depósito) = $30.000(.6) + $10.000(.4) = $22.000
VEIP = $72.000 – $44.000 = $ 28.000
O VEIP é o montante máximo que um tomador de
decisão deve pagar para obter informações adicionais
(por exemplo, por meio de uma pesquisa de mercado).

Análise de decisões com Informação
Adicional
§ Informação perfeita (completa) é impossívelde se obter;
§ Porém, podemos obter informaçãoadicional;
§ Quando se têm informações adicionais por meio de testes,
pesquisas, experimentos, entre outros, podemos aprimorar
o cálculo das probabilidades dos Estados da Natureza;
§ Portanto, podemos aprimorar nosso processo de decisão.
Para isto, utilizamos o Teorema de Bayes

Teorema de Bayes
P(E ∩C) = P(E /C)× P(C) = P(C / E)× P(E)
O Teorema de Bayes mostra a relação entre:
E, portanto:
P(E /C) =
P(E ∩C)
P(C)
P(C / E) =
P(E ∩C)
P(E)
e
Onde:
Ei = Probabilidadea Priori que o Estado verdadeiro da
Natureza é o Estado i, para i=1,2,…,n;
Cj = Constatação a partir de uma experimentação (valor
possível de uma constatação j);
(1) (2)

Teorema de Bayes
A partir de:
P(Ei /Cj ) =
P(Ei ∩Cj )
P(Cj )
Podemos determinar:
P(Ei ∩Cj ) = P(Cj / Ei )× P(Ei )
P(Cj ) = P(Ek ∩Cj )
k=1
n
∑
(1)
(3)
(4)

Teorema de Bayes
Substituindo (3) e (4) em (2), temos:
(5)P(Ei /Cj ) =
P(Cj / Ei )× P(Ei )
P(Cj / Ek )× P(Ek )
k=1
n
∑
Onde:
P(Ei) = Prob. Do Estado da natureza i
P(Ek) = Prob. Do Estado da natureza k

Teorema de Bayes: Exemplo
Estados da Natureza
P(b) = 0,60 P(r) = 0,40
VE(Sala Com.) = R$100.000(.6) – R$40.000(.4) = R$44.000
VEIP = R$72.000 – R$44.000 = R$ 28.000

§ Assumimos, agora, que o investidor decidiu contratar um
analista econômico que ajudará com informações adicionais
sobre o mercado futuro;
§ O custo da análise é de R$10.000,00
§ O analista apresentará um relatório, o qual pode prever
condições de mercado boas mais prováveis, ou, condições
de mercado ruins mais prováveis;
§ Com base no histórico de assertividade na previsão de
condições econômicas, o investidor consegue determinar as
probabilidades condicionais dos diferentes possíveis
resultados do relatório;

§ As possíveis condições são:
§ b = condições do mercado boas;
§ r = condições do mercado ruins;
§ P = relatório econômico positivo;
§ N = relatório econômico negativo;
§ As probabilidades condicionais, de cada resultado
possível do relatório, são:
§ P(P/b) = 0,80
§ P (N/b) = 0.20
§ P (P/r) = 0,10
§ P (N/r) = 0,90
Por exemplo, se as condições futuras
do mercado fossem, de fato, boas, a
probabilidade de que o relatório, do
analista, tenha sido positivo é P(P/b)
= 0,80.

• Por sua vez, sabemos que as probabilidades prévias
são:
o P(b) = 0,60;
o P(r) = 0,40;
• Dadas as probabilidades prévias, podemos calcular as
probabilidades posteriores, utilizando o Teorema de
Bayes;
• Ou seja, como conhecemos a probabilidade
condicional P(P/b), podemos determinar a
probabilidade de mercado bom, dado um relatório

Substituindo em (5):
P(b / P) =
P(P / b)× P(b)
P(P / b)× P(b)+ P(P / r)× P(r)
P(b / P) =
(0,80)×(0,60)
(0,80)×(0,60)+(0,10)×(0,40)
P(b / P) = 0,923

• A probabilidade prévia de ter condições econômicas de
mercado boas é P(b) = 0,60;
• Contudo, ao se obterem informações adicionais, a partir do
relatório positivo do analista econômico, a nova
probabilidade posterior para condições de mercado boas é
0,923;
• As outras probabilidades posteriores são:
o P(b/N) = 0,250
o P (r/P) = 0,077
o P (r/N) = 0,750

Exercicio
§ A probabilidade de uma mulher de 40 anos ter
câncer de mama é 1%;
§ A probabilidade que a doença seja detectada
por uma mamografia é de 80%;
§ A probabilidade de que o resultado da
mamografia apresente um “falso positivo” é de
9,6%;
§ Se uma mulher de 40 anos é testada e o
resultado é positivo, qual é a probabilidade dela
apresentar, efetivamente, a doença?

Incluindo as probabilidades
posteriores em

Árvores de Decisão + Prob Posteriores
• E o custo dos R$ 10.000 do relatório de pesquisa?
• Podemos incluir esse custo no nosso cálculo do valor
esperado;
• Desta forma, podemos identificar a estratégia de decisão:
ESTRATÉGIA DE DECISÃO Alternativa
ótima
Valor Esperado
(excluindo custo
de pesquisa)
Valor Esperado
(incluindo o
custo da
pesquisa)
Se o Relatório Econômico for
Positivo (mercado bom)
Comprar Sala
Comercial
R$89.220,00 R$ 79.220,00
Se o Relatório Econômico for
Negativo (mercado ruim)
Comprar
Apartamento
R$35.000,00 R$ 25.000,00

Valor Esperado da
Informação Adicional
VEIA

Valor Esperado da Informação Adicional
• Relembrando, o valor esperado da informação
perfeita (VEIP) é o montante máximo que um tomador
de decisão deve pagar para obter informações
adicionais.
• O valor esperado da informação adicional (VEIA),
também conhecido como valor esperado da
experimentação, é igual ao montante esperado que
um decisor deve pagar para obter informações
adicionais;
• Em outras palavras, o VEIA responde à pergunta: Vale a
pena pagar para obter informações adicionais do meu
problema decisório?

!"#" = %&(# = #()×" +,-.///#1
(
VEIA = VECE – VE
Onde:
VECE = Valor Esperado com experimentação
VE = Valor Esperado
VEIA = Valor Esperado da informação adicional

!"#" = %&(# = #()×" +,-.///#1
(
VEIA = VECE – VE
Para nosso exemplo:
VECE = P(P)*VE(P) + P(N)*VE(N)
VE(P) = R$ 89.220,00P(P) = 0,52
P(N) = 0,48 VE(N) = R$ 35.000,00
VECE = R$ 63.194,40Portanto: e VE = R$ 44.000,00
VEIA = R$ 19.194,40

§ O valor de R$ 19.194,40 representao valor
potencial da informação adicional (da
experimentação);
§ Ao compararmos este valor com os R$ 10.000,00
de custo do relatório (pesquisa com analista
econômico), percebemos que vale a pena realizar
o estudo e pagar por ele, pois:
§ VEIA > Custo da experimentação

§ Ao relacionarmos o VEIP e o VEIA podemos obter uma
medida de eficiência.
§ Um índice de 100% representaria informação perfeita;
§ Portanto, o valor da eficiência terá como limite inferior
“0” e como limite superior “1”
Eficiência =
VEIA
VEIP
= 0,6855
§ Índices altos podem indicar que a informação é “tão
boa” quanto a informação perfeita e que informações
adicionais não levarão a melhores resultados.

Teoria da Utilidade
• Embora a regra de decisão do VE seja amplamente utilizada, às
vezes a alternativa com o VE mais alto não é a alternativa mais
preferida pelo tomador de decisão;
• Por exemplo, suponha que o custo de dois investimentos fosse
exatamente o mesmo, e que os resultados (payoffs) fossem:
Decisão Estado 1 Estado 2
Investimento A R$ 150k - R$ 30k
Investimento B R$ 70k R$ 40k
P(b) = 0,50 P(r) = 0,50

Teoria da Utilidade
VE(A) = R$60.000
VE(B) = R$ 55.000
Decisão Estado 1 Estado 2
Investimento A R$ 150k - R$ 30k
Investimento B R$ 70k R$ 40k
P(b) = 0,50 P(r) = 0,50

Teoria da Utilidade
• De acordo com a regra de decisão de VE, deveríamos
realizar o investimento A, porque ela tem o maior VE;
• No entanto, o investimento A representaum
investimentomuito mais arriscado que o investimento
B;
• Embora o investimento A geraria o maior VE a longo
prazo, podemosnão ter os recursos financeiros para
suportar as potenciais perdas de R$ 30.000 por ano, o
que poderia ocorrer a curto prazo com essa alternativa;
• A Teoria da Utilidade oferece uma maneira de incorporar
as preferências do tomador de decisão em relação ao
risco, de forma a identificar a alternativa mais desejável.

Função de Utilidade
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
Utilidade
Resultado/Payoff ($)
Avesso ao
Risco
Neutro
Propenso ao
Risco

Por ex. este indivíduo
valoriza obter $30.000
duas vezes mais do que
obter $10.000

• Para incorporar a função de utilidade num
problema de decisão sob risco é necessário,
inicialmente, construir a função, a partir da
modelagem de preferências do decisor;
• Portanto, cada decisor terá (ou poderá ter)
uma função de utilidade diferente.
• Como construir a função de utilidade?

• Relembrandonosso exemplo anterior:
• Atribua o valor de utilidade 0 para o pior resultado e 1 para
o melhor:
• U(-30k)=0 e U(150k)=1

• Para encontrarmos a utilidade associada ao valor de
$70,000, identifique qual o valor da probabilidade p
que torna o decisor indiferente entre:
• Alternativa 1: Receber $70k com certeza;
• Alternativa 2: Receber $150k com probabilidade p e
perder $30k com probabilidade (1-p);
• Ou seja, qual valor de p faria com que ambas
alternativas fossem indiferentes?
• Assumimos que, por exemplo, um valor de p = 0,9
faria ambas as alternativas indiferentes.

• De acordo com o método da loteria
equivalente, um valor de p pode ser
utilizado para estimar o valor de U(M);
• Ou seja:
• Se p = 0.9, o valor de U(70k) = 0.9
• Continuamos este procedimento para
identificar os outros pontos da curva de
utilidade

• Agora, identificamos o valor para U(40k);
• Fazemos a pergunta: qual seria o valor de p que
faria com que ambas as alternativas fossem
indiferentes:
• Alternativa 1: Receber $40.000 com certeza;
• Alternativa 2: Receber $150.000 com probabilidade
p ou perder $30.000 com probabilidade (1-p)
• Assumimos, que por exemplo, um valor de p = 0.65
faria ambas as alternativas indiferentes;
• Portanto, de acordo ao método da LE, o valor de
U(40k) = 0.65.

Retorno/Payoff
Utilidade

Matriz de Resultados - Utilidades
• Agora, substituimosos valores das utilidades na matrix de
decisão anterior.
Decisão 1 2
A 1 0
B 0.90 0.65
Estados da Natureza
p = 0,50 1-p = 0,50
Valor Esperadode cada decisão:
E(B) = (0.5*0.9) + (0.5*0.65) = 0.775
E(A) = (1*0.5) + (0*0.5) = 0.5
Agora B oferece a maior utilidade

Função Utilidade
Utilidade Exponencial

Função Utilidade Exponencial
• Em um problema de decisão complicado com
vários valores de retorno possíveis, pode ser
difícil e demorado para um tomador de decisão
determinar os valores diferentes para p* que
são necessários para determinar a utilidade de
cada retorno.
• Por exemplo, se o tomador de decisão for
avesso ao risco, a função utilidade exponencial
pode ser usada como uma aproximação da
função utilidade real do tomador de decisão;
• Esta função representa um comportamento
clássico de aversão ao risco.

U(M) =1− e
−M
R
Onde:
R = Tolerância ao risco, por parte do
tomador de decisão
M = Valor monetário do retorno (resultado
ou payoff)

• Para isto, é preciso determinar um valor razoável para
o parâmetro de tolerância ao risco R.
• Um método usado para fazer isso envolve a
determinação do valor máximo de R, pelo qual o
tomador de decisão está disposto a participar de um
jogo de azar com os seguintes resultados possíveis:
• Ganhar $ R com probabilidade 0.5;
• Perder $ R/2 com probablidade 0.5
• Portanto, um tomador de decisão disposto a aceitar
esse risco apenas com valores muito pequenos de R é
avesso ao risco.

• Para o exemplo anterior, assumimos um valor de R =
$60.000;
• Aplicandoa função de utilidadeexponencial:

Decisão 1 2
A 0.92 -0.65
B 0.69 0.49
Estados da Natureza
p = 0,50 1-p = 0,50
Valor Esperadode cada decisão:
E(A) = (0.5*0.92) - (0.5*0.65) = 0.13
E(B) = (.69*0.5) + (0.49*0.5) = 0.59
A alternativa B continua oferecendoo melhor resultado
Matriz de Resultados
Utilidades com função Exponencial

Exercício
§ Utilize a a função exponencial da utilidade para calcular a
melhor alternativa, com base na árvore de decisão;
§ Assuma um valor R = 22000.
Estados da Natureza
P(b) = 0,60 P(r) = 0,40

Exercício
• Utilize a
árvore de
decisão:

Bibliografia
1. Ragsdale, Cliff T. (2015). Modelagem de Planilha e
Análise de Decisão: Uma introdução prática a
business analytics. Cengage Learning. 616p. Cap.
14. Análise de Decisão.
2. Hillier, F.S.; Lieberman, G.J. (2015). Introduction to
operations research. 10th ed. Cap16. Decision
Analysis, p. 682-730.

Bibliografia
3. Taylor, B. W. (2013). Introduction to management
science. Prentice Hall. Cap12. Decision Analysis,
p.545-560 (Decision under risk).
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-
NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

Prof. Dr. Mauricio Uriona Maldonado
EPS 7009 – Teoria da Decisão
Departamentode Engenharia de Produçãoe Sistemas
Avaliação de alternativas
sob risco

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