Mata Kuliah Persamaan Diferensial 2

1. PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE-N TAK HOMOGEN
DENGAN KOEFISIEN KONSTAN
Bentuk umum persamaan diferensial tak homogeny orde-n adalah sebagai berikut :
𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 −1 𝑦 𝑛−1 + 𝐴 𝑛 −2 𝑦 𝑛−2 + ⋯ + 𝐴1 𝑦 ′ + 𝐴0 𝑦 = 𝑟(𝑥)
Solusi umum 𝑦(𝑥) akan didapatkan bila solusi umum 𝑦 𝑕 𝑥 dari Persamaan Diferensial
Homogen diketahui, dimana
Bentuk umum persamaan diferensial homogeny orde-n adalah sebagai berikut :
𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 −1 𝑦 𝑛−1 + 𝐴 𝑛 −2 𝑦 𝑛−2 + ⋯ + 𝐴1 𝑦 ′ + 𝐴0 𝑦 = 0
Kemudian 𝑦(𝑥) dibentuk dengan penambahan 𝑦 𝑕 𝑥 sembarang solusi 𝑦 termasuk konstanta
tak tetapnya.
Sehingga,
𝑦 𝑥 = 𝑦 𝑕 (𝑥) + ỹ(𝑥)
Theorema 1:
𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 dan 𝑟 𝑥 merupakan fungsi kontinu pada interval l. 𝑦 𝑥 merupakan solusi dari
Persamaan Diferensial di atas yang berisikan konstanta yang tetap. 𝑦 𝑥 dibentuk oleh 2
konstanta. Konstanta pertama, berubah-ubah, terdapat pada solusi umum (homogeny) 𝑦 𝑕 (𝑥).
Konstanta kedua, tetap, terdapat pada fungsi ỹ(𝑥), yaitu sembarang solusi Persamaan
Diferensial pada interval l.
Theorema 2:
Solusi umum dari Persamaan Diferensial seperti di atas adalah penjumlahan solusi persamaan
homogeny 𝑦 𝑕 (𝑥) dengan solusi particular yang tetap (tak berubah-ubah) 𝑦 𝑝 (𝑥).
Sehingga,
𝑦 𝑥 = 𝑦 𝑕 𝑥 + 𝑦 𝑝 (𝑥)
1

2. Mengingat teorema solusi umum persamaan diferensial tak homogeny, tugas kita disini
hanyalah mencari satu solusi particular dari persamaan diferensial tak homogeny.
Terdapat tiga metode:
1. Metode koefisien tak tentu
Ide dasar dari metode koefisien tak tentu adalah menduga dengan cerdas solusi 𝑦 𝑝
(solusi ansatz) berdasarkan bentuk fungsi 𝑟 𝑥 di ruas kanan.
Bentuk persamaan umum:
𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 −1 𝑦 𝑛−1 + 𝐴 𝑛 −2 𝑦 𝑛−2 + ⋯ + 𝐴1 𝑦 ′ + 𝐴0 𝑦 = 𝑟(𝑥)
 Fungsi 𝑟(𝑥) yang merupakan bentuk solusi pertikular 𝑦 𝑝 (𝑥) diperoleh dengan
cara menebak, seperti misalnya: fungsi cos, fungsi sin, fungsi exponensial atau
jumlah dari beberpa fungsi
 𝑟(𝑥) berisikan koefisien tak tentu
 Turunkan 𝑦 𝑝 sesuai persamaan umum di atas
 Subtitusikan 𝑦 𝑝 dan seluruh turunannya ke dalam persamaan
Tabel Metode Koefisian Tak Tentu
Aturan:
 Bila 𝑟(𝑥) meupakan salah satu fungsi seperti dalam table, maka pilih bentuk 𝑦 𝑝
yang sesuai dan merupakan kombinasi linier dengan konstanta tak tantu. Turunan
𝑟(𝑥) harus bebas linier pula.
 Bila 𝑟(𝑥) merupakan penjumlahan, maka pilih𝑦 𝑝 yang merupakan penjumlahan
fungsi yang sesuai.
2

3.  Bila 𝑟(𝑥) adalah solusi dari persamaan homogeny, maka pilihan dapat
dimodifikasi seperti berikut
Aturan Modifikasi
Kalikan pilihan pada kolom 2 dengan 𝑥 atau 𝑥 2 tergantung dari apakah pada kolom 3
berupa akar tunggal atau akar-akar ganda dari persamaan homogeny.
Contoh Soal
1) Selesaikan persamaan berikut:
𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 3𝑦 = 10𝑒 −2𝑥
Jawab:
 Mencari jawaban homogeny 𝑦 𝑕
𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 3𝑦 = 10𝑒 −2𝑥
𝜆2 − 4𝜆 + 3 = 10𝑒 −2𝑥
𝜆−3 𝜆−1
𝜆 1 = 3 dan 𝜆 2 = 1
Maka,
2
𝑦𝑕 = 𝐶𝑖𝑒 𝑟𝑖𝑥
𝑖=1
𝑦 𝑕 = 𝐶1 𝑒 3𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥
 Mencari jawaban particular 𝑦 𝑝
Turunan 𝑒 −2𝑥 adalah 𝐶𝑒 −2𝑥
Maka, 𝑦 𝑝 = C𝑒 −2𝑥
𝑦 𝑝 ′ = −2C𝑒 −2𝑥 dan 𝑦 𝑝 ′′ = 4C𝑒 −2𝑥
4C𝑒 −2𝑥 − 4(−2C𝑒 −2𝑥 ) + 3(C𝑒 −2𝑥 ) = 10𝑒 −2𝑥
C𝑒 −2𝑥 4 + 8 + 3 = 10𝑒 −2𝑥
15 C𝑒 −2𝑥 = 10𝑒 −2𝑥
10𝑒 −2𝑥
C=
15𝑒 −2𝑥
2
C=
3
2
Maka, 𝑦 𝑝 = 𝑒 −2𝑥
3
3

4.  Solusi Umum
𝑦 = 𝑦 𝑕 + 𝑦𝑝
2 −2𝑥
𝑦 = 𝐶1 𝑒 3𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥 + 𝑒
3
2) Selesaikan 𝑦 ′′ + 4𝑦 = 8𝑥 2
Jawab:
 Mencari jawaban homogeny 𝑦 𝑕
𝑦 ′′ + 4𝑦 = 8𝑥 2
𝜆2 + 4 = 0
𝜆 1 = 𝑝 + 𝑗𝑞 = +𝑗2 ; 𝜆 2 = 𝑝 − 𝑗𝑞 = −𝑗2; 𝑝 = 0
Maka, solusi homogeny untuk D<0:
𝑦 𝑕 = 𝑒 𝑝𝑥 [𝐴 cos 𝑞𝑥 + 𝐵 sin 𝑞𝑥]
𝑦 𝑕 = [𝐴 cos 2𝑥 + 𝐵 sin 2𝑥
 Mencari jawaban particular 𝑦 𝑝
Misal 1 : 𝑦 = 𝐶𝑥 2 ; 𝑦′′ = 2𝐶
2𝐶 + 4𝐶𝑥 2 = 8𝑥 2 ; 2𝐶 = 0 ; 4𝐶 = 8
Gagal, tidak konsisten.
Misal 2 : 𝑦 𝑝 = 𝐶𝑥 2 + 𝐿𝑥 + 𝑚 ; 𝑦′′ = 2𝐶
2𝐶 + 4(𝐶𝑥 2 + 𝐿𝑥 + 𝑚) = 8𝑥 2
4𝐶𝑥 2 + 4𝐿𝑥 + (2𝐶 + 4𝑚) = 8𝑥 2
Dengan metode identifikasi:
𝐶 =2; 𝐿 =0; 𝑀 =1
Maka, 𝑦 𝑝 = 2𝑥 2 + 1
 Solusi Umum
𝑦 = 𝑦𝑝 + 𝑦 𝑕
𝑦 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝐵 sin 2𝑥 + 2𝑥 2 + 1
3) Selesaikan 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ − 2𝑦 = 10 cos 𝑥
Jawab:
 Mencari jawaban homogeny 𝑦 𝑕
𝑦 ′′ − 𝑦 ′ − 2𝑦 = 10 cos 𝑥
𝜆2 − 𝑦 − 2 = 0
4

5. 𝜆−1 𝜆+1 = 0
𝜆 1 = 1 dan 𝜆 2 = −1
Maka,
2
𝑦𝑕 = 𝐶𝑖𝑒 𝑟𝑖𝑥
𝑖=1
𝑦 𝑕 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥
 Mencari jawaban particular 𝑦 𝑝
𝑦 𝑝 = 𝑘 cos 𝑥 + 𝑚 sin 𝑥
𝑦 ′𝑝 = −𝑘 sin 𝑥 + 𝑚 cos 𝑥
𝑦 ′′ = −𝑘 cos 𝑥 − 𝑚 sin 𝑥
𝑝
Masukan ke persamaan:
𝑦 ′′ − 𝑦 ′ − 2𝑦 = 10 cos 𝑥
−𝑘 cos 𝑥 − 𝑚 sin 𝑥 − −𝑘 sin 𝑥 + 𝑚 cos 𝑥 − 2 𝑘 cos 𝑥 + 𝑚 sin 𝑥
= 10 cos 𝑥
−3𝑚 − 𝑚 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑘 − 3𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 10 𝑐𝑜𝑠𝑥
−3𝑚 − 𝑚 = 10 ; 𝑘 − 3𝑚 = 0
𝑘 = −3 ; 𝑚 = −1
𝑦 𝑝 = −3𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥
 Solusi Umum
𝑦 = 𝑦𝑝 + 𝑦 𝑕
𝑦 = −3𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥
4) Selesaikan: 𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 4𝑥 + 𝑒 3𝑥
Jawab:
 Mencari jawaban homogeny 𝑦 𝑕
𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 4𝑥 + 𝑒 3𝑥
𝜆2 − 3𝑦 + 2 = 0
𝜆−2 𝜆−1 = 0
𝜆 1 = 2 dan 𝜆 2 = 1
Maka,
2
𝑦𝑕 = 𝐶𝑖𝑒 𝑟𝑖𝑥
𝑖=1
5

6. 𝑦 𝑕 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥
 Mencari jawaban particular 𝑦 𝑝
𝑦 𝑝 = 𝑘1 𝑥 + 𝑘0 + 𝐶𝑒 3𝑥
𝑦 ′𝑝 = 𝑘1 + 3𝐶𝑒 3𝑥
𝑦 ′′ = 9𝐶𝑒 3𝑥
𝑝
Masukan ke persamaan:
𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 4𝑥 + 𝑒 3𝑥
9𝐶𝑒 3𝑥 − 3 𝑘1 + 3𝐶𝑒 3𝑥 + 2 𝑘1 𝑥 + 𝑘0 + 𝐶𝑒 3𝑥 = 4𝑥 + 𝑒 3𝑥
1
𝑘1 = 2 ; 𝑘0 = 3 ; 𝐶 = (2)
1
𝑦 𝑝 = 2𝑥 + 3 + ( )𝐶𝑒 3𝑥
2
 Solusi Umum
𝑦 = 𝑦𝑝 + 𝑦 𝑕
1
𝑦 = 2𝑥 + 3 + ( )𝐶𝑒 3𝑥 + 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥
2
2. Metode Kompleks
Bentuk umumnya seperti persamaan 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 −1 𝑦 𝑛−1 + 𝐴 𝑛 −2 𝑦 𝑛−2 + ⋯ +
𝐴1 𝑦 ′ + 𝐴0 𝑦 = 𝑟(𝑥).
Contoh:
Ϊ + İ + 2I = 6 cos 𝑡
Dengan metode koefisien tak tentu akan diperoleh:
𝐼 𝑃 𝑡 = 3 cos 𝑡 + 3 sin 𝑡
Menurut hokum Euler, ruas kanan persamaan Ϊ + İ + 2I = 6 cos 𝑡, 6 cos 𝑡 adalah
komponen nyata (real) karena:
6𝑒 𝑖𝑡 = 6 (cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡)
6

7. Sehingga persamaan Ϊ + İ + 2I = 6 cos 𝑡 dapat ditulis dengan:
Ϊ + İ + 2I = 6𝑒 𝑖𝑡
Solusi particular kompleks dapat di buat dalam bentuk:
𝐼𝑝∗ (𝑡) = 𝑘𝑒 𝑖𝑡
dan İ 𝑝∗ = 𝑖𝑘𝑒 𝑖𝑡 Ϊ 𝑝∗ = −𝑖𝑘𝑒 𝑖𝑡
bila disubtitusikan ke dalam persamaan Ϊ + İ + 2I = 6𝑒 𝑖𝑡 :
(−1 + 𝐼 + 2)𝑘𝑒 𝑖𝑡 = 6𝑒 𝑖𝑡
6
𝑘= = 3 − 𝑖3
1+ 𝑖
Sehingga solusi umum persamaan Ϊ + İ + 2I = 6𝑒 𝑖𝑡 adalah:
İ 𝑝∗ (𝑡) = 3 − 𝑖3 𝑒𝑖𝑡 = 3 − 𝑖3 (cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡)
Dan komponen nyatanya adalah:
İ 𝑝 𝑡 = 3 cos 𝑡 + 3 sin 𝑡
3. Metode Umum
Bentuk umum Persamaan Diferensial Tak Homogen
𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 −1 𝑦 𝑛−1 + 𝐴 𝑛 −2 𝑦 𝑛−2 + ⋯ + 𝐴1 𝑦 ′ + 𝐴0 𝑦 = 𝑟(𝑥)
Sedangkan bentuk umum Persamaan Diferensial Homogen :
𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 −1 𝑦 𝑛−1 + 𝐴 𝑛 −2 𝑦 𝑛−2 + ⋯ + 𝐴1 𝑦 ′ + 𝐴0 𝑦 = 0
7

8. Maka solusi umumnya 𝑦 𝑕 (𝑥) pada interval terbuka I berbentuk:
𝑦 𝑕 𝑥 = 𝑐1 𝑦1 𝑥 + 𝑐2 𝑦2 𝑥
Bila 𝑐1 dan 𝑐2 diganti dengan u(x) dan v(x) maka diperoleh solusi pertikular pada
interval terbuka I, sbb:
𝑦 𝑝 𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑦1 𝑥 + 𝑣(𝑥)𝑦2 𝑥
Jika persamaan di atas diturunkan, hasilnya:
′
𝑦 ′𝑝 = 𝑢′ 𝑦1 + 𝑢𝑦1 + 𝑣 ′ 𝑦2 + 𝑣𝑦2 ′
Karena u(x) dan v(x) adalah pengganti 𝑐1 dan 𝑐2 , maka:
𝑢′ 𝑦1 + 𝑣 ′ 𝑦2 = 0
Sehingga 𝑦 ′𝑝 menjadi:
𝑦 ′𝑝 = 𝑢𝑦1 ′ + 𝑣𝑦2 ′
Bila persamaan 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 −1 𝑦 𝑛−1 + 𝐴 𝑛 −2 𝑦 𝑛−2 + ⋯ + 𝐴1 𝑦 ′ + 𝐴0 𝑦 = 𝑟(𝑥)
diturunkan hasilnya:
′ ′′
𝑦 ′𝑝 = 𝑢′ 𝑦1 + 𝑢𝑦1 + 𝑣 ′ 𝑦2 ′ + 𝑣𝑦2 ′′
′
Persamaan 𝑦 𝑝 𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑦1 𝑥 + 𝑣 𝑥 𝑦2 (𝑥), 𝑦 ′𝑝 = 𝑢𝑦1 ′ + 𝑣𝑦2 ′, dan 𝑦 ′𝑝 = 𝑢′ 𝑦1 +
′′
𝑢𝑦1 + 𝑣 ′ 𝑦2 ′ + 𝑣𝑦2 ′′ disubtitusikan ke dalam persamaan 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛−1 𝑦 𝑛−1 +
𝐴 𝑛 −2 𝑦 𝑛−2 + ⋯ + 𝐴1 𝑦 ′ + 𝐴0 𝑦 = 𝑟(𝑥), dan mengumpulkan komponen yang
mengandung u dan v:
8

9. Bila 𝑦1 dan 𝑦2 merupakan solusi homogeny dari persamaan 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛−1 𝑦 𝑛−1 +
𝐴 𝑛 −2 𝑦 𝑛−2 + ⋯ + 𝐴1 𝑦 ′ + 𝐴0 𝑦 = 0, sehingga terjadi penyederhanaan persamaan,
menjadi:
Persamaan 𝑢′ 𝑦1 + 𝑣 ′ 𝑦2 = 0
Sebuah system dari 2 persamaan aljabar linier dengan 2 fungsi u’ dan v’ yang tak
diketahui.
Penyelesaian selanjutnya dengan memakai aturan Cramer, sehingga:
W = Bilangan Wronskian dari 𝑦1 dan 𝑦2
Dengan integrasi diperoleh:
Subtitusikan hasil ini ke dalam persamaan 𝑦 𝑝 𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑦1 𝑥 + 𝑣 𝑥 𝑦2 (𝑥),
sehingga didapatkan :
9

10. Contoh:
Selesaikan Persamaan Diferensial berikut ini: 𝑦 ′′ + 𝑦 = sec 𝑥
Jawab:
Misalkan 𝑦1 = cos 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑦2 = sin x
 Mencari jawaban homogeny 𝑦 𝑕
Bilangan Wronskian:
𝑊 𝑦1 , 𝑦2 = cos 𝑥 cos 𝑥 − (− sin 𝑥) sin 𝑥 = 1
 Mencari jawaban particular 𝑦 𝑝
𝑦 𝑝 = cos 𝑥 𝐿𝑛 | cos 𝑥| + 𝑥 sin 𝑥
 Solusi Umum
𝑦 = 𝑦𝑝 + 𝑦 𝑕
10