Διακριτά Μαθηματικά Ι: Εισαγωγή στη Λογική

1. ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Ι. Εισαγωγή στη Λογική
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης
Μάθημα 2ου Εξαμήνου
Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών
Επικοινωνία: mboudour@upatras.gr
Φεβρουάριος 2014
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

2. Περιεχόμενα Ενότητας Εισαγωγής στη Λογική
Προτάσεις και Πίνακες Αληθείας
Ασκήσεις
Μέθοδοι Αποδείξεων
Ασκήσεις
Λογική Αποδείξεων
Ασκήσεις
Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα
Ασκήσεις
Επαγωγή
Ασκήσεις
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

3. Προτάσεις και Πίνακες Αληθείας
Τι εννοούμε ως ‘‘πρόταση’’
Ονομάζουμε πρόταση οποιαδήποτε εκπεφρασμένη (και
γραμματικά σωστή) δήλωση, που μπορεί να είναι είτε
αληθής ή ψευδής, αλλά όχι και τα δυο.
Παραδείγματα
1 Ο ποταμός Πηνειός περνά από την Βέροια. (Ψευδής.)
2 2 + 2 = 4. (Αληθής.)
3 2 + 3 = 7. (Ψευδής.)
4 Το 4 είναι ένας θετικός αριθμός και το 3 αρνητικός αριθμός. (Ψευδής.)
5 Αν ένα σύνολο έχει n στοιχεία, τότε περιέχει 2n υποσύνολα. (Αληθής.)
6 Υπάρχουν άπειρα πολλά n, για τα οποία το 2n + n είναι πρώτος
αριθμός. (´Αγνωστο αν ισχύει ή όχι.)
7 Κάθε άρτιος ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 2 είναι το άθροισμα
δυο πρώτων αριθμών. (Εικασία του Goldbach.)
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

4. ´Αλλα παραδείγματα
1 x + y = y + x, για κάθε x,y ∈ R. (Αληθής.)
2 2n = n2, για κάποια n ∈ N. (Αληθής.)
3 ∆εν είναι αληθές ότι το 3 είναι άρτιος αριθμός ή ότι το 7 είναι πρώτος
αριθμός. (Σύνθετη.)
4 Αν ο κόσμος είναι επίπεδος, τότε 2 + 2 = 4. (Παράδοξη.)
5 x − y = y − x. (Ασαφής.)
6 A2 = 0 συνεπάγεται ότι A = 0, για όλα τα A. (Ασαφής.)
Σύνθετες προτάσεις παραγόμενες από τη σύνδεση απλών
Συμβολισμοί λογικών συνδέσμων:
¬: ‘‘μη’’ ή ‘‘όχι’’ ή άρνηση,
∧: ‘‘και’’ ,
∨: ‘‘ή’’ (συμπεριλαμβανομένου του ‘‘και’’ ),
−→: ‘‘συνεπάγεται’’ ή ‘‘αν ... και’’ ή ικανή συνθήκη,
←→: ‘‘αν και μόνον αν’’ ή ικανή και αναγκαία συνθήκη.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

5. Αντιστοίχιση Λογικών Συνδέσμων με
Συνολοθεωρητικούς Τελεστές
Παρατήρηση
∆οθέντων δυο συνόλων A και B, οι συνοθεωρητικοί
τελεστές της ένωσης, τομής και συμπληρώματος
σχετίζονται με τους λογικούς συνδέσμους ∨,∧ και ¬ ως
εξής:
A ∪ B = {x: (x ανήκει στο A) ∨ (x ανήκει στο B)},
A ∩ B = {x: (x ανήκει στο A) ∧ (x ανήκει στο B)},
Ac = {x: ¬(x ανήκει στο A)}.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

6. Πίνακες Αληθείας
Τιμές αληθείας μιας πρότασης
1: Αληθής
0: Ψευδής
p ¬p
0 1
1 0
p q p ∧ q p ∨ q p −→ q p ⇐⇒ q
0 0 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

7. ∆υο ακόμη λογικοί σύνδεσμοι
⊕: ‘‘ή διαζευκτικά’’ (‘‘ή’’ χωρίς το ‘‘και’’ ) ή ‘‘XOR’’,
|: ‘‘άρνηση του και’’ ή ‘‘NAND’’ ή σύνδεσμος του
Sheffer.
Πίνακας αληθείας των ⊕ και |
p q p ⊕ q p|q
0 0 0 1
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 0
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

8. ´Ενα παράδειγμα
Ο πίνακας αλήθειας της πρότασης (p ∧ q) ∨ ¬(p −→ q)
p q p ∧ q p −→ q ¬(p −→ q) (p ∧ q) ∨ ¬(p −→ q)
0 0 0 1 0 0
0 1 0 1 0 0
1 0 0 0 1 1
1 1 1 1 0 1
´Ενα άλλο παράδειγμα
Ο πίνακας αλήθειας της πρότασης (p −→ q) ∧ [(q ∧ ¬r) −→ (p ∨ r)] = P
Θέτοντας Q = (q ∧ ¬r) −→ (p ∨ r), έχουμε P = (p −→ q) ∧ Q
p q r ¬r p −→ q q ∧ ¬r (p −→ q) ∧ (q ∧ ¬r) p ∨ r Q P
0 0 0 1 1 0 0 0 1 1
0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1 0 0 0
0 1 1 0 1 0 0 1 1 1
1 0 0 1 0 0 0 1 1 0
1 0 1 0 0 0 0 1 1 0
1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 1 0 0 1 1 1
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

9. Ταυτολογία και Αντίφαση
Ορισμοί 1
´Εστω P μια σύνθετη πρόταση.
Η P λέγεται ότι αποτελεί μια ταυτολογία όταν
είναι αληθής, για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρους
απλών προτάσεων που περιλαμβάνει η P.
Με άλλα λόγια, μια σύνθετη πρόταση είναι ταυτολογία
αν και μόνον αν η στήλη της πρότασης αυτής στον
πίνακα αληθείας περιλαμβάνει μόνο την τιμή 1.
Η P λέγεται ότι αποτελεί μια αντίφαση αν και
μόνον αν η ¬P είναι ταυτολογία.
Με άλλα λόγια, η P είναι αντίφαση, όταν είναι ψευδής,
για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρους απλών
προτάσεων που περιλαμβάνει, δηλαδή, αν και μόνον αν
η στήλη της πρότασης αυτής στον πίνακα αληθείας
περιλαμβάνει μόνο την τιμή 0.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

10. ´Ενα παράδειγμα ταυτολογίας
Η πρόταση [p ∧ (p −→ q)] −→ q είναι ταυτολογία, διότι:
p q p −→ q p ∧ (p −→ q) [p ∧ (p −→ q)] −→ q
0 0 1 0 1
0 1 1 0 1
1 0 0 0 1
1 1 1 1 1
´Ενα παράδειγμα τετριμμένης αντίφασης
Η πρόταση p ∧ ¬p είναι προφανώς αντίφαση, διότι
p ¬p p ∧ ¬p
0 1 0
1 0 0
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

11. Λογική Ισοδυναμία
Ορισμός 2
´Εστω P και Q δυο σύνθετες προτάσεις. Λέμε ότι οι P
και Q είναι λογικά ισοδύναμες και γράφουμε P ⇐⇒ Q
αν και μόνο αν η σχέση P ←→ Q είναι μια ταυτολογία.
Με άλλα λόγια, P ⇐⇒ Q αν και μόνο αν οι δυο αυτές
σύνθετες προτάσεις παίρνουν ακριβώς τις ίδιες τιμές
αληθείας, για κάθε τιμή αληθείας των επιμέρους απλών
προτάσεων που περιλαμβάνουν.
´Ενα παράδειγμα λογικής ισοδυναμίας
Οι προτάσεις ¬(p ∨ q) και ¬p ∧ ¬q είναι λογικά ισοδύναμες (κανόνας De
Morgan), διότι (γράφοντας το μισό πίνακα κατά αντίστροφη φορά):
p q p ∨ q ¬(p ∨ q) ¬p ∧ ¬q ¬q ¬p
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 0 1
1 0 1 0 0 1 0
1 1 1 0 0 0 0
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

12. Κύριες Λογικές Ισοδυναμίες
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

13. Λογική Συνεπαγωγή
Ορισμός 3
´Εστω P και Q δυο σύνθετες προτάσεις. Λέμε ότι η P
συνεπάγεται λογικά την Q και γράφουμε P =⇒ Q αν
και μόνο αν η πρόταση P −→ Q είναι μια ταυτολογία.
Παρατήρηση
Για να αποδείξουμε τη λογική συνεπαγωγή P =⇒ Q
αρκεί μόνο να ελέξουμε τις γραμμές του πίνακα
αληθείας, στις οποίες η P είναι αληθής και η Q είναι
ψευδής.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

14. ´Ενα παράδειγμα λογικής συνεπαγωγής
´Εστω οι προτάσεις A = (p −→ q) ∧ (r −→ s) και
B = (p ∨ r) −→ (q ∨ s). Τότε θα δείξουμε ότι ισχύει η λογική
συνεπαγωγή A =⇒ B.
Για τον σκοπό αυτό, αρκεί να ασχοληθούμε μόνο με τις
περιπτώσεις που η B είναι ψευδής, δηλαδή, αρκεί μόνο να
υποθέσουμε ότι και η q και η s είναι ψευδείς, και να
δείξουμε, στη συνέχεια, ότι η P = A −→ B είναι ταυτολογία.
p q r s p −→ q r −→ s A P B q ∨ s p ∨ r
0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0
0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1
1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

15. Κύριες Λογικές Συνεπαγωγές
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

16. Ασκήσεις
1 Βρείτε τους πίνακες αληθείας για τις παρακάτω
προτάσεις:
1 p ⊕ q,(p ⊕ q) ⊕ r,(p ⊕ p) ⊕ p,
2 (p −→ q) −→ [(p ∨ ¬q) −→ (p ∨ q)],
3 [(p ∨ q) ∧ r] −→ (p ∧ ¬q),
4 [(p ←→ q) ∨ (p −→ r)] −→ (¬q ∧ p),
5 ¬((p ∨ q) −→ r).
2 ∆είξτε ότι:
1 p ⊕ q ⇐⇒ ¬(p ←→ q),
2 p|q ⇐⇒ ¬(p ∧ q),
3 ¬p ⇐⇒ p|p,
4 p ∨ q ⇐⇒ (p|p)|(qIq),
5 Χρησιμοποιώντας μόνο το σύνδεσμο Sheffer, βρείτε
τις προτάσεις που είναι ισοδύναμες με τις
p ∨ q,p −→ q και p ⊕ q.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

17. 3 Αποδείξτε ή ανταποδείξτε την ισχύ των παρακάτω
προτάσεων:
1 [p −→ (q −→ r)] ⇐⇒ [(p −→ q) −→ (p −→ r)],
2 [p ⊕ (q −→ r)] ⇐⇒ [(p ⊕ q) −→ (p ⊕ r)],
3 [(p −→ q) −→ r] ⇐⇒ [p −→ (q −→ r)],
4 [(p ←→ q) ←→ r] ⇐⇒ [p ←→ (q ←→ r)],
5 (p ⊕ q) ⊕ r ⇐⇒ p ⊕ (q ⊕ r),
6 (q −→ p) ⇐⇒ (p ∧ q),
7 (p ∧ ¬q) =⇒ (p −→ q).
4 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις:
1 Αν A =⇒ B και B =⇒ C, τότε A =⇒ C.
2 Αν P ⇐⇒ Q,Q =⇒ R και R ⇐⇒ S, τότε P =⇒ S.
3 Αν P =⇒ Q,Q =⇒ R και R =⇒ P, τότε P ⇐⇒ Q.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

18. Μέθοδοι Αποδείξεων
Αποδεικτικές μέθοδοι1
1 ´Αμεση απόδειξη
2 ´Αμεση απόδειξη κατά περιπτώσεις
3 ´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή
4 ´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση (εις άτοπον
απαγωγή)
5 Αδιάφορα αληθής συνεπαγωγή
6 Τετριμμένα αληθής συνεπαγωγή
7 Κατασκευαστική απόδειξη
8 Μη κατασκευαστική απόδειξη
1
Πιο κάτω θα δούμε μια ακόμη αποδεικτική μεθοδολογία, την απόδειξη
με επαγωγή.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

19. ´Αμεση Απόδειξη
Η συνεπαγωγή P =⇒ Q αποδεικνύεται απευθείας ως
εξής:
υποθέτοντας ότι (‘‘αν’’ ) η P είναι αληθής,
αποδεικνύεται ότι (‘‘τότε’’ ) και η Q είναι αληθής.
Παράδειγμα: Το τετράγωνο ενός άρτιου αριθμού είναι άρτιος αριθμός.
´Αμεση απόδειξη: ´Εστω n ∈ N άρτιος. Αυτό σημαίνει ότι n = 2k, για κάποιο
k ∈ N. ´Αρα, n2 = 4k2 = 2(2k2), δηλαδή, n2 άρτιος.
Παράδειγμα: n
i=1 i = 1
2 n(n + 1).
´Αμεση απόδειξη: ´Εστω x = n
i=1 i, δηλαδή, x = 1 + 2 + 3 + ... + n. Λόγω
αντιμεταθετικότητας, x = n + (n − 1) + (n − 2) + ... + 1. Προσθέτοντας τα δυο
τελευταία αθροίσματα, παίρνουμε 2x = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ...
+(n + 1) = n(n + 1) και, άρα, x = 1
2 n(n + 1).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

20. Απόδειξη κατά Περιπτώσεις
Η συνεπαγωγή P1 ∧ P2 ∧ · · · ∧ Pn =⇒ Q αποδεικνύεται
κατά περιπτώσεις αν και μόνον αποδειχθούν
ξεχωριστά οι n (επιμέρους) προτάσεις:
(P1 =⇒ Q) ∧ (P2 =⇒ Q) ∧ · · · ∧ (Pn =⇒ Q).
Παράδειγμα: Για κάθε n ∈ N, το n3 + n είναι άρτιος.
Απόδειξη κατά περιπτώσεις: Περίπτωση (i). ´Εστω n ∈ N
άρτιος, δηλαδή, n = 2k, για κάποιο k ∈ N, οπότε n3 + n =
8k3 + 2k = 2(4k3 + k), που είναι άρτιος.
Περίπτωση (ii). ´Εστω n ∈ N περιττός, δηλαδή, n = 2k + 1, για
κάποιο k ∈ N, οπότε n3 + n = (8k3 + 12k2 + 6k + 1) + (2k + 1) =
2(4k3 + 6k2 + 4k + 1), που είναι πάλι άρτιος.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

21. Παράδειγμα: Για κάθε x,y ∈ R,|x + y| ≤ |x| + |y|.
Απόδειξη κατά περιπτώσεις: Περίπτωση (i). ´Εστω x,y ≥ 0,
οπότε x + y ≥ 0 και, άρα, |x + y| = x + y = |x| + |y|.
Περίπτωση (ii). ´Εστω x ≥ 0 και y <0, οπότε
x + y <x + 0 = |x| ≤ |x| + |y| και −(x + y) = −x + (−y) <
0 + (−y) = |y| ≤ |x| + |y|. Καθόσον όμως, είτε |x + y| = x + y ή
|x + y| = −(x + y), έπεται το ζητούμενο.
Περίπτωση (iii). ´Οταν x <0 και y ≥ 0, όπως στην Περί-
πτωση (ii).
Περίπτωση (iv). ´Οταν x,y ≤ 0, τότε x + y <0 και, άρα,
|x + y| = −(x + y) = −x + (−y) = |x| + |y|.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

22. ´Εμμεση Απόδειξη με Αντιστροφοαντίθεση
Η συνεπαγωγή P1 ∧ P2 ∧ · · · ∧ Pn =⇒ Q αποδεικνύεται
έμμεσα μέσω αντιθετοαντιστροφής αν και μόνον
αποδειχθεί η αντιθετοαντίστροφη (contrapositive)
συνεπαγωγή:
¬Q =⇒ ¬(P1 ∧ P2 ∧ · · · ∧ Pn).
Παράδειγμα: Αν το γινόμενο δυο αριθμών είναι άρτιο, τότε τουλάχιστον
ένας από τους αριθμούς είναι άρτιος.
´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή: ´Εστω n,m ∈ N τέτοιοι ώστε nm
άρτιος. Αν και οι δυο n και m ήσαν περιττοί, τότε και nm θα ήταν
περιττός, κάτι που είναι το αντίθετο της υπόθεσης.
Παράδειγμα: Αν, για n >0, το 4n − 1 είναι πρώτος αριθμός, τότε το n είναι
περιττός αριθμός.
´Εμμεση απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή: Υποθέτουμε ότι το n είναι άρτιο,
δηλαδή, n = 2k, για κάποιο k ∈ N. Τότε 4n − 1 = 42k − 1 = (4k − 1)(4k + 1),
που σημαίνει ότι το 4n − 1 δεν μπορεί να είναι πρώτος, δηλαδή,
καταλήξαμε στο αντίθετο της υπόθεσης.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

23. ´Εμμεση Απόδειξη με Αντίφαση
Η συνεπαγωγή P1 ∧ P2 ∧ · · · ∧ Pn =⇒ Q αποδεικνύεται
έμμεσα με αντίφαση (ή με ‘‘εις άτοπον απαγωγή’’ ) αν
και μόνον αποδειχθεί η εξής συνεπαγωγή:
(P1 ∧ P2 ∧ · · · ∧ Pn) ∧ ¬Q =⇒ αντίφαση.
Παράδειγμα: Υπάρχουν άπειρα πολλοί πρώτοι αριθμοί (Θεώρημα
Ευκλείδη).
´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση: Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο ένα
πεπερασμένο πλήθος πρώτων αριθμών, οι p1,p2,...,pn. Θεωρούμε τον
αριθμό q = p1p2 · · · pn + 1, ο οποίος δεν διαιρείται με κανέναν από τους
πρώτους, οπότε είναι πρώτος, αλλά δεν ανήκει και στο σύνολό τους, που
είναι μια αντίφαση.
Παράδειγμα: Η διαφορά μεταξύ ενός ρητού κι ενός άρρητου αριθμού είναι
άρρητος αριθμός.
´Εμμεση απόδειξη με αντίφαση: ´Εστω x ∈ Q, y /∈ Q. Ας υποθέσουμε ότι
x − y ∈ Q. Θέτοντας x =
p
q ,x − y = r
s , για κάποιους p,q,r,s ∈ N,q = 0,s = 0,
βρίσκουμε ότι y =
p
q − r
s =
ps−qr
qs , δηλαδή, y ∈ Q, που είναι μια αντίφαση.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

24. Αδιάφορα Αληθής Συνεπαγωγή
Η συνεπαγωγή P =⇒ Q λέγεται αδιάφορα αληθής
συνεπαγωγή (vacuously true implication) όταν η
προκείμενη πρόταση P είναι οπωσδήποτε ψευδής
(ανεξάρτητα από το αν το συμπέρασμα Q είναι αληθής
ή ψευδής πρόταση).
Παράδειγμα: ´Εστω x ∈ R. Αν x2 + 1 <0, τότε x ≥ 4.
Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής: Προφανώς, η προκείμενη
πρόταση ‘‘x2 + 1 <0’’ είναι ψευδής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
´Αρα, το συμπέρασμα ‘‘x ≥ 4’’ της συνεπαγωγής είναι αληθές (ανεξάρτητα του
περιορισμού των τιμών που επιβάλλει η αλήθεια της πρότασης ‘‘x ≥ 4’’ ).
Παράδειγμα: Αν ο αριθμός 4 είναι πρώτος, τότε 3 <2.
Απόδειξη αδιάφορα αληθούς συνεπαγωγής: Προφανώς, η προκείμενη
πρόταση ‘‘το 4 είναι πρώτος αριθμός’’ είναι ψευδής. ´Αρα, το συμπέρασμα
‘‘3 <2’’ της συνεπαγωγής αυτής είναι αληθές (παρότι το ‘‘3 <2’’ είναι ψευδές
ως πρόταση).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

25. Τετριμμένα Αληθής Συνεπαγωγή
Η συνεπαγωγή P =⇒ Q λέγεται τετριμμένα αληθής
συνεπαγωγή (trivially true implication) όταν το συμπέ-
ρασμα Q είναι αληθής πρόταση (ανεξάρτητα από το
αν η προκείμενη πρόταση P είναι αληθής ή ψευδής).
Παράδειγμα: Αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια, τότε 52 = 25.
Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής: Προφανώς, το συμπέρασμα
‘‘52 = 25’’ είναι αληθής πρόταση, ανεξάρτητα από την ισχύ της προκείμενης
πρότασης ‘‘αν ο Πηνειός ποταμός περνά από την Βέροια’’ , που φυσικά δεν
ισχύει.
Παράδειγμα: ´Εστω x ∈ R. Αν x >0, τότε x2 + 2 >0.
Απόδειξη τετριμμένα αληθούς συνεπαγωγής: Προφανώς, το συμπέρασμα
‘‘x2 + 2 >0’’ είναι αληθής πρόταση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών,
ανεξάρτητα από τον περιορισμό της προκείμενης πρότασης ‘‘x >0’’ .
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

26. Κατασκευαστική Απόδειξη
Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται κατασκευαστική
(constructive proof) όταν αποδεικνύεται, σε αυτήν, η
ύπαρξη ενός αντικειμένου που ικανοποιεί τους όρους
της πρότασης.
Παράδειγμα: Αν x,y ∈ R είναι τέτοια ώστε x <y, τότε υπάρχει z ∈ R τέτοιο
ώστε x <z <y.
Κατασκευαστική απόδειξη: Προφανώς, ένα τέτοιο z είναι το z =
x+y
2 .
Παράδειγμα: Υπάρχουν m,n ∈ N τέτοια ώστε 2m + 3n = 12.
Κατασκευαστική απόδειξη: Προφανώς, τα m = 3 και n = 2 ικανοποιούν τη
ζητούμενη σχέση.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

27. Μη Κατασκευαστική Απόδειξη
Η απόδειξη μιας πρότασης λέγεται μη κατασκευαστική
(nonconstructive proof) όταν η πρόταση αποδεικνύεται
χωρίς τον προσδιορισμό της ύπαρξης ενός αντικειμένου
που ικανοποιεί τους όρους της πρότασης.
Παράδειγμα: Αν f : [0,1] → [0,1] είναι συνεχής, τότε υπάρχει κάποιο
x ∈ [0,1] τέτοιο ώστε f(x) = x.
Μη κατασκευαστική απόδειξη: Το επονομαζόμενο Θεώρημα Σταθερού
Σημείου του Luitzen Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός τέτοιου x, του
οποίου (σταθερού σημείου) η κατασκευή δεν είναι εφικτή για αυθαίρετη
συνεχή συνάρτηση.
Παράδειγμα: Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί a,b τέτοιοι ώστε το ab να είναι
ρητό.
Μη κατασκευαστική απόδειξη:Θεωρούμε τον αριθμό
√
2
√
2
. Αν ο αριθμός
αυτός είναι ρητός, διαλέγουμε a = b =
√
2, ενώ διαφορετικά παίρνουμε
a =
√
2
√
2
,b =
√
2, οπότε, στην δεύτερη περίπτωση, ab = (
√
2)(
√
2×
√
2) =
(
√
2)2 = 2. Επομένως, αποδεικνύεται η πρόταση, χωρίς να βρούμε ποιο
ακριβώς είναι το ab.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

28. Ασκήσεις
1 Αποδείξτε απευθείας (ή ενδεχομένως με ανάλυση σε
περιπτώσεις) τις παρακάτω προτάσεις:
1 Αν n ∈ Z περιττός, τότε και n2 + 3n + 5 περιττός.
2 Αν m,n ∈ Z και m|n, τότε m2|n2 (‘‘|’’ σημαίνει
‘‘διαιρεί’’ ).
3 Αν m,n,r,s ∈ Z και m|n και r|s, τότε mr|ns.
4 Αν x,y ∈ R και x2 + 5y = y2 + 5x, τότε x = y ή
x + y = 5.
5 Αν n ∈ Z, τότε n2 + 3n + 4 άρτιο.
6 Αν n ∈ Z και n|n2, τότε n ∈ {−1,0,1}.
2 Αποδείξτε εμμέσως με αντιθετοαντιστροφή (ή
απευθείας, αν είναι ευκολότερο) τις παρακάτω
προτάσεις:
1 Αν m,n ∈ Z και m2(n2 − 2n) περιττός, τότε m και n
περιττοί.
2 Αν x ∈ R και x2 + 5x <0, τότε x <0.
3 Αν m,n ∈ Z και mn,m+ n άρτιοι, τότε m και n άρτιοι.
4 Αν n ∈ Z και 3 n2, τότε 3 n (‘‘ ’’ σημαίνει ‘‘δεν
διαιρεί’’ ).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

29. 2 5 Αν m,n ∈ Z και m2(n + 3) άρτιος, τότε m άρτιος ή n
περιττός.
6 Αν x ∈ R και x5 + 7x3 + 5x ≥ x4 + x2 + 8, τότε x ≥ 0.
7 Αν n ∈ Z και n3 − 1 άρτιος, τότε n περιττός.
8 Αν n ∈ Z περιττός, τότε 8|(n2 − 1).
9 Για κάθε a,b ∈ Z, ισχύει ότι (a + b)3 ≡ a3 + b3
(mod 3).
10 ´Εστω a,b ∈ Z και n ∈ N. Αν a ≡ b (mod n), τότε
a3 ≡ b3 (mod n).
11 ´Εστω a,b,c ∈ Z και n ∈ N. Αν a ≡ b (mod n), τότε
ca ≡ cb (mod n).
12 Αν n ∈ N και 2n − 1 πρώτος, τότε και n πρώτος.
3 Αποδείξτε εμμέσως με αντίφαση τις παρακάτω
προτάσεις:
1
3
√
2 άρρητος.
2 Αν a,b ∈ Z, τότε a2 − 4b − 3 = 0.
3 Αν a,b,c ∈ Z και a2 + b2 = c2, τότε a ή b άρτιο.
4 ∆εν υπάρχουν ακέραιοι a,b τέτοιοι ώστε
18a + 6b = 1.
5 Για κάθε x ∈ [π/2,π], sinx − cosx ≥ 1.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

30. 4 Αποδείξτε αν οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν ή
όχι:
1 Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείται
με 3.
2 Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιων
διαιρείται με 4.
3 Το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακέραιων διαιρείται
με 5.
5 Αν x,y ∈ R, τότε |xy| = |x| · |y|.
6 Υπάρχουν δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί που
έχουν τα ίδια 6 τελευταία ψηφία (στη δεκαδική
μορφή).
7 Υπάρχουν n διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοί
που δεν είναι πρώτοι.
8 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αδιάφορα
αληθείς συνεπαγωγές και ποιες τετριμμένα αληθείς
συνεπαγωγές;
1 Αν x ≥ 0, τότε (1 + x)n ≥ 1 + nx.
2 Αν xn = 0, τότε x = 0.
3 Αν n άρτιος, τότε xn ≥ 0.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

31. Λογική Αποδείξεων
´Οπως είδαμε πιο πριν, η εγκυρότητα μιας λογικής συνεπαγωγής
απορρέει από το κατά πόσο αυτή αποτελεί μια ταυτολογία, κάτι που
ελέχεται μέσω του πίνακα αληθείας.
´Ενας δεύτερος τρόπος διερεύνησης της εγκυρότητας μιας συνεπαγωγής
βασίζεται στο κατά πόσο αυτή αποτελεί ένα έγκυρο επιχείρημα.
Στη λογική, ονομάζουμε επιχείρημα οποιαδήποτε σειρά
προτάσεων.
Λέμε ότι μια λογική συνεπαγωγή διατυπώνεται ώς ένα
έγκυρο επιχείρημα, όταν οι προτάσεις του επιχειρήματος
χωρίζονται σε δυο μέρη:
πρώτα, παρατίθενται (η μια μετά την άλλη) οι
προκείμενες προτάσεις (ή υποθέσεις) κι, αμέσως
μετά,
ακολουθεί η συνεπαγόμενη πρόταση (ή
συμπέρασμα).
Λέμε επίσης ότι οι προτάσεις ενός έγκυρου
επιχειρήματος αποτελούν τους κανόνες συναγωγής (rules
of inference) της αντίστοιχης συνεπαγωγής.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

32. Ο τρόπος που συμβολίζεται το έγκυρο επιχείρημα της
λογικής συνεπαγωγής H1 ∧ H2 ∧ · · · ∧ Hn =⇒ C, δηλαδή,
το επιχείρημα που από τις υποθέσεις H1,H2,· · · ,Hn
καταλήγει (λογικά) στο συμπέρασμα C, είναι:
γράφοντας τις υποθέσεις την κάθε μια σε
διαφορετική σειρά (χωρίς να έχει σημασία η σειρά
γραφής των υποθέσεων),
προσθέτοντας μια ευθεία γραμμή στο τέλος των
υποθέσων
και παραθέτοντας τελευταίο το συμπέρασμα στην
τελική γραμμή βάζοντας μπροστά του το σύμβολο
‘‘∴’’ (που σημαίνει ‘‘επομένως’’ ), δηλαδή:
H1
H2
...
Hn
∴ C
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

33. Κύριοι Κανόνες Συναγωγής (Inference)
1 Προσθήκη: p =⇒ (p ∨ q)
p
∴ p ∨ q
2 Απλοποίηση: (p ∧ q) =⇒ p
p ∧ q
∴ p
3 Τοποθέτηση (modus ponens): [p ∧ (p −→ q)] =⇒ q
p
p −→ q
∴ q
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

34. 4 ∆ιάψευση (modus tollens): [(p −→ q) ∧ ¬q] =⇒ ¬p
p −→ q
¬ q
∴ ¬ p
5 ∆ιαζευκτικός συλλογισμός: [(p ∨ q) ∧ ¬p] =⇒ q
p ∨ q
¬ p
∴ q
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

35. 6 Υποθετικός συλλογισμός:
[(p −→ q) ∧ (q −→ r)] =⇒ (p −→ r)
p −→ q
q −→ r
∴ p −→ r
7 Σύζευξη: [(p) ∧ (q)] =⇒ (p ∧ q)
p
q
∴ p ∧ q
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

36. Σύνθετοι Κανόνες Συναγωγής
Παράδειγμα: [(p −→ q) ∧ (q −→ r) ∧ ¬r] =⇒ ¬p
p −→ q
q −→ r
¬ r
∴ ¬ p
Απόδειξη Αιτιολόγηση
1. p −→ q υπόθεση
2. q −→ r υπόθεση
3. p −→ r υποθετικός συλλογισμός
4. ¬r υπόθεση
5. ∴ ¬p διάψευση (modus tollens)
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

37. Παράδειγμα: [(p −→ (q −→ r)) ∧ (p ∨ ¬s) ∧ q] =⇒ (s −→ r)
p −→ (q −→ r)
p ∨ ¬s
q
∴ s −→ r
Απόδειξη Αιτιολόγηση
1. p −→ (q −→ r) υπόθεση
2. p ∨ ¬s υπόθεση
3. q υπόθεση
4. ¬s ∨ p αντιμεταθετικότητα
5. s −→ p συνεπαγωγή (implication)
6. s −→ (q −→ r) υποθετικός συλλογισμός
7. (s ∧ q) −→ r κανόνας εξαγωγής (exportation)
8. q −→ [s −→ (q ∧ s)] κανόνας 22 λογικών συμπερασμών
9. s −→ (q ∧ s) τοποθέτηση (modus ponens)
10. s −→ (s ∧ q) αντιμεταθετικότητα
11. s −→ r υποθετικός συλλογισμός
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

38. Ορισμοί 4
´Εστω H ένα σύνολο υποθέσεων και C ένα συμπέρασμα.
Μια τυπική απόδειξη του συμπεράσματος C από
τις υποθέσεις H αποτελείται από μια αλυσίδα
προτάσεων P1,P2,...,Pn,C, οι οποίες είναι τέτοιες
ώστε κάθε πρόταση Pi να είναι είτε
μια υπόθεση ή
μια ταυτολογία ή
ένα συμπέρασμα των προηγουμένων μελών της
αλυσίδας, που απορρέει μέσω κάποιου επιτρεπτού
κανόνα συναγωγής (inference).
´Ενα επιχείρημα (δηλαδή, μια σειρά προτάσεων)
λέγεται ότι είναι μια πλάνη (fallacy), όταν δεν
πληρεί τους όρους για να είναι τυπική απόδειξη.
´Ενα θεώρημα είναι μια δήλωση της μορφής ‘‘αν H,
τότε C.’’ Για το λόγο αυτό, η τυπική απόδειξη του
C από τις H ονομάζεται τυπική απόδειξη του
θεωρήματος.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

39. Οι κανόνες συναγωγής (rules of inference) ή λογικοί
κανόνες, που είναι επιτρεπτοί να χρησιμοποιηθούν
σε τυπικές αποδείξεις, είναι κανόνες βασισμένοι σε
λογικές συνεπαγωγές (implications) της μορφής
H1 ∧ H2 ∧ · · · ∧ Hm =⇒ Q. Επομένως, όλοι οι κανόνες
συναγωγής που είδαμε ως τώρα μπορούν να
χρησιμοποιηθούν σε τυπικές αποδείξεις. Αν οι
προτάσεις H1 ∧ H2 ∧ · · · ∧ Hm έχουν ήδη εμφανισθεί
μέσα στην προτασιακή αλυσίδα μιας απόδειξης κι
αν η συνεπαγωγή H1 ∧ H2 ∧ · · · ∧ Hm =⇒ Q είναι
αληθής, τότε η πρόταση Q μπορεί να προστεθεί
στην προτασιακή αλυσίδα αυτή.
Μερικές φορές, οι (τυπικοί ή άτυποι) κανόνες
συναγωγής λέγονται έγκυρες συναγωγές (valid
inferences) και οι (τυπικές ή άτυπες) αποδείξεις
λέγονται έγκυρες αποδείξεις.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

40. Κανόνες Αντικατάστασης
∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης, ονομάζουμε
(προτασιακή) μεταβλητή κάθε απλή πρόταση που
υπεισέρχεται στη σύνθετη πρόταση.
Πρώτος Κανόνας Αντικατάστασης
∆οθείσης μιας ταυτολογίας, αν μια μεταβλητή,
οπουδήποτε εμφανίζεται, αντικατασταθεί από την ίδια
(ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση, τότε προκύπτει πάλι
μια ταυτολογία.
∆εύτερος Κανόνας Αντικατάστασης
∆οθείσης μιας σύνθετης πρότασης P, η οποία περιέχει
την (ενδεχομένως σύνθετη) πρόταση Q, αν η Q
αντικατασταθεί με μια λογικά ισοδύναμη πρόταση,
τότε προκύπτει πάλι μια σύνθετη πρόταση που είναι
λογικά ισοδύναμη με την P.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

41. Παράδειγμα: ¬[(r ∧ s) ∨ (t −→ u)] ⇐⇒ [¬(r ∧ s) ∧ ¬(t −→ u)]
Αντικαθιστώντας την t −→ u με την q, παίρνουμε
¬[(r ∧ s) ∨ q] ⇐⇒ [¬(r ∧ s) ∧ ¬q], όπου, αντικαθιστώντας την r ∧ s
με την p, καταλήγουμε στον (ισχύοντα) κανόνα De Morgan
¬(p ∨ q) ⇐⇒ ¬p ∧ ¬q.
Παράδειγμα: [(r −→ s) ∧ [(r −→ s) −→ (¬t ∨ u)]] =⇒ (¬t ∨ u)
Αντικαθιστώντας την r −→ s με την p και την ¬t ∨ u με την q,
παίρνουμε [p ∧ (p −→ q)] =⇒ q, που είναι μια ταυτολογία.
Παράδειγμα:
´Εστω P = [(p −→ q) −→ r]. Επειδή ισχύει η λογική
ισοδυναμία p −→ q ⇐⇒ ¬p ∨ q, έπεται ότι P ⇐⇒ Q, όπου
Q = [(¬p ∨ q) −→ r].
Παράδειγμα:
´Εστω P = [p −→ (p ∨ q)] (ταυτολογία). Επειδή ισχύει η
λογική ισοδυναμία ¬¬p ⇐⇒ p, έπεται, από την
αντικατάσταση της ισοδυναμίας αυτής (μόνο) στη δεύτερη
εμφάνιση της p, ότι P ⇐⇒ Q, όπου Q = [p −→ (¬¬p ∨ q)].
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

42. Παράδειγμα: (p −→ q) ∧ (p ∨ q) ⇐⇒ (¬p ∨ q) ∧ (¬¬p ∨ q)
Απόδειξη =⇒:
Απόδειξη Αιτιολόγηση
1. (p −→ q) ∧ (p ∨ q) υπόθεση
2. p −→ q απλούστευση
3. ¬p ∨ q κανόνας 10α
4. p ∨ q υπόθεση
5. ¬¬(p ∨ q) κανόνας 1
6. ¬¬p ∨ ¬¬q κανόνας De Morgan (2 φορές)
7. ¬¬p ∨ q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης
8. (¬p ∨ q) ∧ (¬¬p ∨ q) σύζευξη 4. και 7.
Απόδειξη ⇐=:
Απόδειξη Αιτιολόγηση
1. (¬p ∨ q) ∧ (¬¬p ∨ q) υπόθεση
2. ¬p ∨ q απλούστευση
3. p −→ q κανόνας 10α
4. ¬¬p ∨ q απλούστευση
5. ¬¬p ∨ ¬¬q δεύτερος κανόνας αντικατάστασης
6. ¬¬(p ∨ q) κανόνας De Morgan (2 φορές)
7. p ∨ q κανόνας 1
8. (p −→ q) ∧ (p ∨ q) σύζευξη 3. και 7.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

43. Συχνά Συναντώμενες Πλάνες
Επιβεβαίωση συμπεράσματος:
[(p −→ q) ∧ q] =⇒ p
´Αρνηση υπόθεσης:
[(p −→ q) ∧ ¬p] =⇒ ¬q
Κυκλική αιτιολόγηση: ´Οταν θεωρούμε αληθές κάτι
που θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι είναι αληθές.
Π.χ., για την απόδειξη της πρότασης ‘‘n2 άρτιο =⇒ n άρτιο,’’ αν
κάποιος επιχειρηματολογούσε λέγοντας ότι ‘‘n2 άρτιο =⇒ n2 = 2k,
για κάποιο ακέραιο k,’’ οπότε ‘‘n = 2l, για κάποιο ακέραιο l,’’ η
απόδειξη αυτή θα αποτελούσε μια πλάνη.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

44. Ασκήσεις
1 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις:
1 (p ∨ q) ∧ s ⇐⇒ (q ∨ p) ∧ s
2 s −→ (¬(p ∨ q)) ⇐⇒ [s −→ [(¬p) ∧ (¬q)]]
3 (p −→ q) ∨ (¬s −→ t) ⇐⇒ [p −→ (s ∨ t)]
4 [t ∧ (s ∨ p)] ⇐⇒ [t ∧ (p ∨ s)]
2 Με ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι η
πρόταση (p −→ s) ∨ (¬s −→ t) λογικά ισοδύναμη;
1 (¬p ∨ s) ∨ (s ∨ t)
2 [(¬p ∨ s) ∨ s] ∨ t
3 [¬p ∨ (s ∨ s)] ∨ t
4 (¬p ∨ s) ∨ t
5 ¬p ∨ (s ∨ t)
6 p −→ (s ∨ t)
3 Επαναλάβετε το προηγούμενο για την λογική
ισοδυναμία της πρότασης [(a ∧ p) ∨ p] −→ p με τις
παρακάτω:
1 ¬[(a ∧ p) ∨ p] ∨ p
2 [¬(a ∧ p) ∧ ¬p] ∨ p
3 [(¬a ∨ ¬p) ∧ ¬p] ∨ p
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

45. 3 4 p ∨ [(¬a ∨ ¬p) ∧ ¬p]
5 [p ∨ (¬a ∨ ¬p)] ∧ (p ∨ ¬p)
6 [(¬a ∨ ¬p) ∨ p] ∧ 1 (το 1 συμβολίζει ταυτολογία)
7 (¬a ∨ ¬p) ∨ p
8 ¬a ∨ (¬p ∨ p)
9 ¬a ∨ t
10 t
4 Μέσω του δεύτερου κανόνα αντικατάστασης
(αντικαθιστώντας την q με την p −→ q), δείξτε ότι η
παρακάτω συνεπαγωγές είναι ταυτολογίες:
1 ¬q −→ (q −→ p)
2 [p ∧ (p −→ q)] −→ q
3 p ∨ ¬p
4 (p ∨ q) ←→ [(¬q) −→ p]
5 ´Εστω P η πρόταση [p ∧ (q ∨ r)] ∨ ¬[p ∨ (q ∨ r)].
Αντικαθιστώντας τις εμφανίσεις του q ∨ r με q ∧ r,
προκύπτει η πρόταση P∗ = [p ∧ (q ∧ r)] ∨ ¬[p ∨ (q ∧ r)].
Επειδή q ∧ r =⇒ q ∨ r, θα μπορούσε κανείς να
υποθέσει ότι είτε P =⇒ P∗ ή P∗ =⇒ P. ∆είξτε ότι και
τα δυο είναι λάθος.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

46. 6 1 ∆είξτε ότι, αν η A είναι ταυτολογία και αν υπάρχει
μια τυπική απόδειξη της C από την A, τότε υπάρχει
μια απόδειξη της C χωρίς καθόλου υποθέσεις.
2 ∆είξτε ότι, αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη της C
από την B, τότε υπάρχει μια απόδειξη της λογικής
συνεπαγωγής B −→ C χωρίς καθόλου υποθέσεις.
7 1 ∆είξτε ότι οι p ∨ q και p ∧ q είναι λογικά ισοδύναμες
με προτάσεις, στις οποίες υπεισέρχονται μόνο οι
σύνδεσμοι ¬ και −→.
2 ∆είξτε ότι οι p ∨ q και p −→ q είναι λογικά
ισοδύναμες με προτάσεις, στις οποίες υπεισέρχονται
μόνο οι σύνδεσμοι ¬ και −→.
3 Είναι η p −→ q λογικά ισοδύναμη με μια πρόταση,
στην οποία υπεισέρχονται μόνο οι σύνδεσμοι ∧ και
∨; Εξηγείστε.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

47. 8 ∆είξτε ότι κάθε μια από τις παρακάτω
συνεπαγωγές είτε ότι είναι αληθής, αποδεικνύοντάς
την, ή ότι είναι ψευδής, επιδεικνύοντας την
κατάλληλη σειρά του πίνακα αληθείας:
1 Αν (q ∧ r) −→ p και q −→ ¬r, τότε ισχύει η p
2 Αν q ∨ ¬r και ¬(r −→ q) −→ ¬p, τότε ισχύει η p.
3 Αν p −→ (q ∨ r),q −→ s και r −→ ¬p, τότε ισχύει η
p −→ s.
9 ∆ώστε τυπικές αποδείξεις για τα παρακάτω:
1 Αν A −→ P και A ∧ ¬B, τότε P ∧ ¬B.
2 Αν H ∧ ¬R και (H ∧ N) −→ R, τότε ¬N.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

48. Ποσοδείκτες και Κατηγορήματα
Ορισμοί 5
´Εστω U ένα (μη κενό) σύνολο, PROP το σύνολο όλων των δυνατών
(λογικών) προτάσεων και p: U → PROP μια προτασιακή απεικόνιση (ή
συνάρτηση). Το σύνολο U ονομάζεται συνήθως βασικό σύνολο
(universe/domain of discourse) της προτασιακής απεικόνισης p.
Καθώς μια προτασιακή απεικόνιση μπορεί να ειδοθεί ως ιδιότητα η
οποία ικανοποιείται (ή δεν ικανοποιείται) από τα στοιχεία του
βασικού της συνόλου, η p ονομάζεται συνήθως κατηγόρημα (predicate)
και ο όρος ποσοδείκτες (quantifiers) αναφέρεται στα στοιχεία του
βασικού συνόλου που ικανοποιούν (ή δεν ικανοποιούν) την ιδιότητα p.
Γενικώς, ένα στοιχείο x του βασικού συνόλου U ονομάζεται ελεύθερη
μεταβλητή (free variable), όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)
μπορεί να είναι είτε αληθές ή ψευδές, ενώ το x ονομάζεται δεσμευμένη
μεταβλητή (bound variable), όταν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα) p(x)
πρέπει οπωσδήποτε να είναι αληθές.
Το σύνολο Tp = {x ∈ U: p(x) αληθής}, δηλαδή, το σύνολο των
στοιχείων του βασικού συνόλου, για τα οποία το p ικανοποιείται,
ονομάζεται συνήθως σύνολο αληθείας του κατηγορήματος p.
´Οταν το βασικό σύνολο U είναι σύνολο γινομένου U1 × U2 × · · · × Un,
το p ονομάζεται κατηγόρημα n ορισμάτων (n–place predicate).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

49. Ορισμοί 6
´Εστω το κατηγόρημα p ορισμένο στο βασικό σύνολο
U.
Με την έκφραση ‘‘∀x p(x)’’ εννοούμε μια πρόταση,
που είναι αληθής αν το κατηγόρημα (ή ιδιότητα)
p(x) είναι αληθές, για κάθε (δηλαδή, για όλα τα)
x ∈ U. Με άλλα λόγια, ‘‘∀x p(x)’’ αν και μόνον αν
Tp = U. Επιπλέον, η έκφραση ‘‘∀x p(x)’’ ονομάζεται
ολικός ποσοδείκτης (universal quantifier).
Με την έκφραση ‘‘∃x p(x)’’ εννοούμε μια πρόταση,
που είναι αληθής αν το κατηγόρημα p(x) είναι
αληθές για τουλάχιστον ένα (ή εφόσον υπάρχει
τουλάχιστον ένα) x ∈ U. Με άλλα λόγια,
‘‘∃x p(x)’’ αν και μόνον αν Tp = ∅. Επιπλέον, η
έκφραση ‘‘∃x p(x)’’ ονομάζεται υπαρξιακός
ποσοδείκτης (existential quantifier).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

50. Παράδειγμα: ´Εστω στο βασικό σύνολο N το
κατηγόρημα p(m,n) = ‘‘m <n,’’ για m,n ∈ N.
1 Στην έκφραση p(m,n), και οι δυο μεταβλητές m,n
είναι ελεύθερες, δηλαδή, για κάποια m,n, έχουμε
m <n (οπότε p αληθής), ενώ για άλλα, m >n (οπότε
p ψευδής).
2 Στην έκφραση ∃m p(m,n), η μεταβλητή m είναι
δεσμευμένη, αλλά η μεταβλητή n είναι ελεύθερη.
∆ηλαδή, για κάποια n, υπάρχουν m τέτοια ώστε
m <n, οπότε p αληθής (π.χ., όταν n = 1, το m = 0),
ενώ, για κάποια άλλα n, δεν υπάρχουν τέτοια m,
οπότε πάντα τότε η p είναι ψευδής (π.χ., όταν
n = 0, κανένα m ∈ N δεν επαληθεύει την m <0).
3 Στην έκφραση ∀m p(m,n), η p είναι πάντα ψευδής,
αφού, για όλες τις τιμές της δεσμευμένης
μεταβλητής m, υπάρχουν τιμές της ελεύθερης
μεταβλητής n που διαψεύδουν την m <n.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

51. 4 Εφαρμόζοντας τους 2 ποσοδείκτες στις 2
μεταβλητές, παίρνουμε 8 περιπτώσεις:
∀m ∀n,∀n ∀m,∃m ∃n,∃n ∃m,∀m ∃n,∃n ∀m,∀n ∃m,∃m ∀n.
Στις ∀m ∀n p(m,n) και ∀n ∀m p(m,n) (που, όπως θα
δούμε πιο κάτω, είναι λογικά ισοδύναμες με την
∀(m,n) p(m,n)), η p είναι πάντοτε ψευδής (όπως
στην (3)).
Στις ∃m ∃n p(m,n) και ∃n ∃m p(m,n) (που είναι
λογικά ισοδύναμες με την ∃(m,n) p(m,n)), η p είναι
άλλοτε αληθές και άλλοτε ψευδής (όπως στην (1)).
Στην ∀n ∃m p(m,n), η p είναι πάντοτε ψευδής.
Στην ∃m ∀n p(m,n), η p είναι πάντοτε ψευδής.
Στην ∀m ∃n p(m,n), η p είναι πάντοτε αληθής
(συγκεκριμένα, για n = m + 1).
Στην ∃n ∀m p(m,n), η p είναι πάντοτε ψευδής.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

52. Παράδειγμα: ´Εστω p(m,n) = ‘‘n >2m,’’ για m,n ∈ N. Θα
αναλύσουμε τις δυο εκφράσεις:
∀m ∃n [n >2m](= ∀m [∃n [n >2m]]) και
∃n ∀m [n >2m](= ∃n [∀m [n >2m]]),
στις οποίες και οι 2 μεταβλητές m,n είναι δεσμευμένες.
1 ´Εχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε μια
αυθαίρετη τιμή, επειδή τότε η ∃n [n >2m] αληθεύει
για τουλάχιστον κάποια n (π.χ., για n = 2m + 1),
έπεται ότι η ∀m ∃n [n >2m] είναι αληθής.
2 Παρόμοια, έχοντας πρώτα σταθεροποιήσει το m σε
μια αυθαίρετη τιμή, επειδή τότε η ∀m [n >2m] δεν
ισχύει για όλα τα n, η ∃n ∀m [n >2m] είναι ψευδής.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

53. Σύνθετα Κατηγορήματα και Σύνθετες
Κατηγορηματικές Προτάσεις
Στο πλαίσιο της κατηγορηματικής λογικής:
Η σύνδεση (απλών) κατηγορημάτων μέσω των
λογικών συνδέσμων ¬,∨,∧,−→,←→ παράγει τα
σύνθετα κατηγορήματα.
´Ενα σύνθετο κατηγόρημα χωρίς ελεύθερες
μεταβλητές ονομάζεται σύνθετη κατηγορηματική
πρόταση.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

54. Πίνακας Λογικών Σχέσεις μεταξύ Συνθέτων
Κατηγορηματικών Προτάσεων
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

55. Ασκήσεις
1 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτω
προτάσεων, ως προς το βασικό σύνολο N:
1 ∀m ∃n [2n = m]
2 ∃n ∀m [2m = n]
3 ∀m ∃n [2m = n]
4 ∃n ∀m [2n = m]
5 ∀m ∀n [¬[2n = m]]
2 Προσδιορίστε τις τιμές αληθείας των παρακάτω
προτάσεων, ως προς το βασικό σύνολο R:
1 ∀x ∃y [xy = 1]
2 ∃y ∀x [xy = 1]
3 ∃x ∃y [xy = 1]
4 ∀x ∀y [(x + y)2 = x2 + y2]
5 ∀x ∃y [(x + y)2 = x2 + y2]
6 ∃y ∀x [(x + y)2 = x2 + y2]
7 ∃x ∃y [(x + y = 4) ∧ (2x − y = 2)]
8 ∃x ∃y [x2 + y2 + 1 = 2xy]
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

56. 3 Προσδιορίστε τις ελεύθερες και τις δεσμευμένες
μεταβλητές των παρακάτω εκφράσεων:
1 ∀x ∃z [sin(x + y) = cos(z − y)]
2 ∃x [xy = xz −→ z]
3 ∃x ∃z [x2 + z2 = y]
4 ´Ενας άλλος χρήσιμος ποσοδείκτης είναι το ∃!, όπου
το ∃!x p(x) διαβάζεται ως ‘‘υπάρχει μοναδικό x
τέτοιο ώστε να ισχύει η p(x).’’ Στη σύνθετη αυτή
πρόταση εκχωρείται η τιμή αληθείας αληθές, όταν
η p(x) είναι αληθής, για ακριβώς μια τιμή του x
στο βασικό σύνολο, ενώ, αλλιώς, η p(x) είναι
ψευδής. Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις με τον
συμβολισμό της λογικής:
1 Υπάρχει μοναδικό x στο R τέτοιο ώστε x + y = y,
για όλα τα y ∈ R.
2 Η εξίσωση x2 = x έχει μια μοναδική λύση.
3 Αν f: A −→ B, τότε, για κάθε a ∈ A, υπάρχει
ακριβώς ένα b ∈ B τέτοιο ώστε f(a) = b.
4 Αν η f: A −→ B είναι απεικόνιση ένα–προς–ένα,
τότε, για κάθε b ∈ B, υπάρχει ακριβώς ένα a ∈ A
τέτοιο ώστε f(a) = b.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

57. 5 ´Εστω A = {0,2,4,6,8,10} και το βασικό σύνολο N.
Βρείτε αν τα παρακάτω είναι αληθή ή ψευδή:
1 Το A είναι το σύνολο στο N των άρτιων ακέραιων
που είναι μικρότεροι του 12.
2 A = {0,2,4,6,...}
3 A = {n ∈ N: 2n <24}
4 A = {n ∈ N: ∀m [(2m = n) −→ (m <6)}
5 A = {n ∈ N: ∀m [(2m = n) ∧ (m <6)}
6 A = {n ∈ N: ∃m [(2m = n) −→ (m <6)}
7 A = {n ∈ N: ∃m [(2m = n) ∧ (m <6)}
8 A = {n ∈ N: ∃!m [(2m = n) ∧ (m <6)}
9 A = {n ∈ N: n άρτιος και n2 ≤ 100}
10 ∀n [(n ∈ A) −→ (n ≤ 10)]
11 (3 ∈ A) −→ (3 <10)
12 (12 ∈ A) −→ (12 <10)
13 (8 ∈ A) −→ (8 <10)
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

58. Επαγωγή
Μέθοδος της Απλής (ή Ασθενούς) Επαγωγής
Για να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0),P(n0 + 1),
P(n0 + 2),..., για κάποιο n0 ∈ N, δηλαδή, για να
αποδείξουμε ότι ‘‘∀n P(n)’’ στο βασικό σύνολο
U = {n ∈ N: n ≥ n0}, προχωρούμε σε 2 βήματα:
Πρώτο Βήμα: Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0).
∆εύτερο Βήμα: Αποδεικνύουμε ότι, δοθέντος οποιου-
δήποτε n ≥ n0, αν ισχύει η P(n), τότε ισχύει
και η P(n + 1), δηλαδή, αποδεικνύουμε στο
U ότι
∀n [P(n) =⇒ P(n + 1)].
Το πρώτο βήμα ονομάζεται αρχικό βήμα ή βασική
περίπτωση, ενώ το δεύτερο βήμα ονομάζεται
επαγωγικό βήμα. Η υπόθεση P(n) στο επαγωγικό βήμα
ονομάζεται επαγωγική υπόθεση.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

59. Πρώτο παράδειγμα απλής επαγωγής
Για κάθε θετικό ακέραιο n, ισχύει:
1 + 2 + · · · + n =
1
2
n(n + 1).
Αρχικό βήμα: Ισχύει, αφού 1 = 1
21(1 + 1).
Επαγωγικό βήμα: Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η
1 + 2 + · · · + n = 1
2n(n + 1), για κάποιο θετικό ακέραιο n.
Προσθέτοντας το n + 1 στο δεξιό και το αριστερό μέλος
της επαγωγικής υπόθεσης, παίρνουμε 1 + 2 + · · · + n
+(n + 1) = 1
2n(n + 1) + (n + 1) = 1
2(n + 1)(n + 2) και, άρα, η
πρόταση ισχύει, για κάθε θετικό ακέραιο n.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

60. ∆εύτερο παράδειγμα απλής επαγωγής
Για κάθε θετικό ακέραιο n, ισχύει:
12 + 22 + · · · + n2 =
1
6
n(n + 1)(2n + 1).
Αρχικό βήμα: Ισχύει, αφού 11 = 1 = 1
61(1 + 1)(2 + 1).
Επαγωγικό βήμα: Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει η
12 + 22 + · · · + n2 = 1
6n(n + 1)(2n + 1), για κάποιο θετικό
ακέραιο n. Προσθέτοντας το (n + 1)2 στο δεξιό και το
αριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης, παίρνουμε
12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2 = 1
6n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2
= 1
6(n+ 1)(2n2 + n+ 6n+ 6) = 1
6(n+ 1)[2n(n+ 2) + 3(n+ 2)]
= 1
6(n + 1)(n + 2)(2n + 3) και, άρα, η πρόταση ισχύει,
για κάθε θετικό ακέραιο n.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

61. Τρίτο παράδειγμα απλής επαγωγής
Αν f(n) είναι το μέγιστο πλήθος περιοχών, στις οποίες n
(διακριτές) ευθείες γραμμές διαιρούν το επίπεδο, τότε
f(n) = 1
2n(n + 1) + 1.
Αρχικό βήμα: Ισχύει, αφού f(1) = 2 = 1
2 1(1 + 1) + 1.
Επαγωγικό βήμα: Υποθέτουμε τώρα ότι f(n) = 1
2 n(n + 1) + 1, για n ≥ 2
ευθείες, και θεωρούμε μια επιπλέον ευθεία, την s, έτσι ώστε να έχουμε n + 1
ευθείες πάνω στο επίπεδο, για τις οποίες θέλουμε να εκτιμήσουμε το
μέγιστο πλήθος περιοχών, που αυτές διαιρούν το επίπεδο. ´Εστω ότι η
ευθεία s τέμνει k από τις αρχικές n ευθείες, όπου φυσικά k ≤ n.
Ισχυρισμός: Αν μια ευθεία τέμνει άλλες k ευθείες πάνω στο επίπεδο, τότε
σχηματίζονται (το πολύ) f(k) + k + 1 περιοχές του επιπέδου.
Απόδειξη του ισχυρισμού: ´Εστω ότι η ευθεία s τέμνει τις άλλες k ευθείες με
την διαδοχική σειρά t1,t2,...,tk και έστω ότι οι k ευθείες t1,t2,...,tk
διαιρούν το επίπεδο σε f(k) περιοχές. Τότε σχηματίζονται οι εξής επιπλέον
(των f(k)) περιοχές: k − 1 περιοχές που περιβάλλονται από τις τρεις ευθείες
s,tj και tj+1, για j = 1,2,...,k − 1, μια περιοχή που περιβάλλεται από τις
δυο ευθείες s και t1 και μια περιοχή που περιβάλλεται από τις δυο ευθείες s
και tk, δηλαδή, συνολικά σχηματίζονται τότε k − 2 + 1 + 1 = k + 1 περιοχές.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

62. Συνέχεια της επαγωγής: Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις, ο
ισχυρισμός συνεπάγεται ότι f(n + 1) = f(k) + k + 1 ≤ f(n) + n + 1, όπου η
ισότητα ισχύει αν και μόνον αν η s τέμνει όλες τις (αρχικές) n ευθείες.
Επειδή όμως το f(n) ορίσθηκε ως το μέγιστο πλήθος περιοχών, σε
οποιαδήποτε περίπτωση θα έχουμε f(n + 1) = f(n) + n + 1. Επιπλέον, από
το επαγωγικό βήμα f(n) = 1
2 n(n + 1) + 1, οπότε παίρνουμε
f(n + 1) = f(n) + n + 1 = 1
2 n(n + 1) + 1 + n + 1 = 1
2 (n + 1)(n + 2) + 1, που
ολοκληρώνει την απόδειξη.
Τέταρτο παράδειγμα απλής επαγωγής
´Εστω ότι η ακολουθία {an} ορίζεται αναδρομικά ως εξής:
a1 = 1,
an+1 = 3an + 1, για n ≥ 1.
Βρείτε την έκφραση (τον τύπο) της {an} και αποδείξτε
επαγωγικά την ισχύ του.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

63. Εύρεση της ακολουθίας: Αρχίζοντας με οποιοδήποτε n ≥ 1, μπορούμε να
υπολογίζουμε κάθε όρο της ακολουθίας από τον προηγούμενο μέχρι να
φτάσουμε στον γνωστό πρώτο όρο της:
an = 3an−1 + 1 = 3(3an−2 + 1) + 1
= 32an−2 + 31 + 30 = 32(3an−3 + 1) + 31 + 30
= 33an−3 + 32 + 31 + 30 = 33(3an−4 + 1) + 32 + 31 + 30
...
= 3kan−k +
k−1
i=0
3i,
οπότε, για n − k = 1, παίρνουμε (λαμβάνοντας υπόψη ότι a1 = 1):
an = 3n−1 +
n−2
i=0
3i =
n−1
i=0
3i =
1 − 3n
1 − 3
=
1
2
(3n − 1).
Επαγωγική απόδειξη του τύπου της ακολουθίας: Τώρα, θα δείξουμε
επαγωγικά ότι, για κάθε n ≥ 1, an = 1
2 (3n − 1). Παρατηρούμε ότι το αρχικό
βήμα για n = 1 ισχύει, αφού a1 = 1
2 (3 − 1) = 1. Αν ισχύει ο τύπος αυτός
για κάποιο n >1, τότε ο αναδρομικός ορισμός μας δίνει ότι
an+1 = 3an + 1 = 3
2 (3n − 1) + 1 = 1
2 (3n+1 − 1) και η απόδειξη ολοκληρώνεται.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

64. Συμβολισμοί
Για κάθε θετικό ακέραιο n, συμβολίζουμε με [n] το
(πεπερασμένο) σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 ως
n, δηλαδή, [n] = {1,2,3,...,n}.
Για κάθε σύνολο X, συμβολίζουμε με |X| το πλήθος των
στοιχείων του X.
Για κάθε σύνολο X, συμβολίζουμε με 2X το σύνολο
(συλλογή) όλων των υποσυνόλων του X.
Θεώρημα 7
Για κάθε θετικό ακέραιο n, το πλήθος όλων των
υποσυνόλων του [n] είναι 2n, δηλαδή, |2[n]| = 2n.
Επαγωγική απόδειξη: Επειδή, για n = 1, το σύνολο [1] = {1} έχει μόνο
δυο υποσύνολα, το ∅ και το {1}, ισχύει το αρχικό βήμα. Στη συνέχεια,
υποθέτουμε ότι |2[n]| = 2n, για κάποιο n ≥ 2, και θα δείξουμε την αντίστοιχη
σχέση για n + 1. Για το σκοπό αυτό, ας διαιρέσουμε τα υποσύνολα του
[n + 1] σε δυο κλάσεις:
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

65. την κλάση των υποσυνόλων του [n + 1] που δεν περιέχουν το
στοιχείο n + 1 και
την κλάση των υποσυνόλων του [n + 1] που περιέχουν το στοιχείο
n + 1.
Προφανώς, όλα τα υποσύνολα της πρώτης κλάσης ταυτίζονται με τα
υποσύνολα του [n] και, άρα, από την επαγωγική υπόθεση, το πλήθος των
υποσυνόλων της πρώτης κλάσης είναι 2n. Από την άλλη μεριά, κάθε
υποσύνολο της δεύτερης κλάσης περιέχει το n + 1 μαζί με τα στοιχεία
οποιουδήποτε υποσυνόλου του [n] και, άρα, το πλήθος των υποσυνόλων
της πρώτης κλάσης υποχρεωτικά είναι πάλι 2n. Επομένως, συνολικά και για
τις δυο κλάσεις, |2[n+1]| = 2n + 2n = 2n+1, που αποδεικνύει το θεώρημα.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

66. Μέθοδος της Ισχυρούς Επαγωγής
Για να αποδείξουμε τις προτάσεις P(n0),P(n0 + 1),
P(n0 + 2),..., για κάποιο n0 ∈ N, δηλαδή, για να
αποδείξουμε ότι ‘‘∀n P(n)’’ στο βασικό σύνολο
U = {n ∈ N: n ≥ n0}, προχωρούμε σε 2 βήματα:
Πρώτο Βήμα: Αποδεικνύουμε ότι ισχύει η P(n0).
∆εύτερο Βήμα: Αποδεικνύουμε ότι, δοθέντος οποιου-
δήποτε n ≥ n0, αν ισχύουν οι P(n0),P(n0 + 1),
...,P(n − 1),P(n), τότε ισχύει και η P(n + 1),
δηλαδή, αποδεικνύουμε στο U ότι
∀n [P(n0) ∧ P(n0 + 1) ∧ · · · ∧ P(n) =⇒ P(n + 1)].
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

67. Πρώτο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής
´Εστω ότι η ακολουθία {an} ορίζεται αναδρομικά ως εξής:
a0 = 0,
an+1 =
n
i=0
ai + n + 1, για n ≥ 1.
∆είξτε ότι, για κάθε n ∈ N, ισχύει an = 2n − 1.
Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή: Καθώς a0 = 0, ισχύει το αρχικό βήμα. Ας
υποθέσουμε τώρα ότι ak = 2k − 1, για κάθε θετικό ακέραιο k που είναι
μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n ∈ N. Τότε, η αναδρομική σχέση που
ορίζει την {an} συνεπάγεται ότι an+1 = (20 − 1) + (21 − 1) + · · · + (2n − 1)
+n + 1 = n
i=0 2i = n−1
i=0 2i + 2n = 1−2n
1−2 + 2n = 2n − 1 + 2n = 2n+1 − 1, που
ολοκληρώνει την απόδειξη.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

68. ∆εύτερο παράδειγμα ισχυρούς επαγωγής
´Εστω ότι f: N −→ N μια συνάρτηση τέτοια ώστε
f(n + m) = f(n) + f(m), για κάθε n,m ∈ N. ∆είξτε ότι υπάρχει
μια σταθερά c τέτοια ώστε f(n) = cn, για κάθε n ∈ N.
Απόδειξη με ισχυρή επαγωγή: Επειδή, για m = 0 κι οποιοδήποτε n, έχουμε
f(n) = f(n + 0) = f(n) + f(0) = 0, έπεται ότι f(0) = 0 = c0, δηλαδή, ισχύει το
αρχικό βήμα. Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(k) = ck, για κάθε θετικό ακέραιο k
που είναι μικρότερος ή ίσος ενός αυθαίρετου n ∈ N. ´Ετσι, μεταξύ άλλων, ως
ειδικές περιπτώσεις του επαγωγικού βήματος, παίρνουμε f(1) = c και
f(n) = cn. Επομένως, βρίσκουμε ότι f(n + 1) = f(n) + f(1) = cn + c = c(n + 1),
που ολοκληρώνει την απόδειξη.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

69. Ασκήσεις
1 ´Εστω p(k) πολυώνυμο βαθμού d. Αποδείξτε ότι το
q(n) = n
k=1 p(k) είναι πολυώνυμο βαθμού d + 1
τέτοιο ώστε q(0) = 0.
2 Αποδείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω τύποι για
αθροίσματα, για κάθε θετικό ακέραιο n:
1
n
k=1 k3 =
n
k=1 k 2
.
2 2 n
k=1 k 4
=
n
k=1 k5 +
n
k=1 k7.
3 Αποδείξτε τις παρακάτω διαιρετεότητες, για κάθε
θετικό ακέραιο n:
1 του n3 + 11n με το 6.
2 του 8n − 14n + 27 με το 7.
4 Αποδείξτε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι διαιρετέος
με το 3 αν και μόνον αν το άθροισμα των ψηφίων
του είναι διαιρετέο με το 3.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

70. 5 Για τις παρακάτω ακολουθίες, που ορίζονται
αναδρομικά, βρείτε την ρητή έκφραση (τύπο) τους
κι αποδείξτε την ισχύ του επαγωγικά:
1 a0 = 1,an+1 = 10an − 3, για n ≥ 1.
2 a0 = 1,an+1 = 2 n
i=0 ai, για n ≥ 1.
6 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 3an + 2, για n ≥ 1.
Αποδείξτε ότι an = 2 · 3n − 1, για όλα τα n ≥ 1.
7 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 4an − 1, για n ≥ 1.
Αποδείξτε ότι an = 1
3(2 · 4n + 1), για όλα τα n ≥ 1.
8 ´Εστω a0 = 1 και an+1 = 10an − 1, για n ≥ 1.
Αποδείξτε ότι an = 1
9(8· 10n + 1), για όλα τα n ≥ 1.
9 Αποδείξτε ότι, για κάθε ακέραιο n ≥ 8, ισχύει η
ανισότητα 3n >n4.
10 Αποδείξτε ότι, για κάθε θετικό ακέραιο n, ισχύει η
ανισότητα n! > nn
3n (όπου n! = 1 · 2· · · n).
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική

71. 11 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος N
τέτοιος ώστε, για κάθε θετικό ακέραιο n >N, να
ισχύει η ανισότητα n! < nn
(2.5)n .
12 ´Εστω a0 = 3 και an+1 = an + 7, για n ≥ 1.
Αποδείξτε ότι 3 <an <4, για όλα τα n ≥ 1.
13 ´Εστω a0 = 0,a1 = 1 και an+2 = 6an+1 − 9an, για
n ≥ 0. Αποδείξτε ότι an = n· 3n−1, για όλα τα n ≥ 0.
14 ´Εστω a0 = a1 = 1 και an+2 = an+1 + 5an, για n ≥ 0.
Αποδείξτε ότι an ≤ 3n, για όλα τα n ≥ 0.
15 ´Εστω a1 = 5 και an+1 = a2
n, για n ≥ 1. Αποδείξτε
ότι τα τελευταία n ψηφία του an είναι τα ίδια με
τα τελευταία n ψηφία του an+1.
16 Αποδείξτε ότι αν n είναι ακέραιος αριθμός
μεγαλύτερος του 2, τότε το n μπορεί να γραφεί ως
γινόμενο πρώτων αριθμών.
Μωυσής Α. Μπουντουρίδης ∆ΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Ι. Εισαγωγή στη Λογική