Penulis: Muh. Alfiansyah, Suharyadi Suwakbur, Iwan Setiawan, Asmaun, darwan & Fitri Nur Aningsih

1. 1
TUGAS MATRIKULASI
ALJABAR LINEAR
MERENTANG (SPANNING)
(Disusun dalam rangka memenuhi tugas akhir matrikulasi mata kuliah
Aljabar Linear di Universitas Negeri Makassar)
Disusun Oleh:
Kelompok I
Kelas E/05
1. MUH. ALFIANSYAH
2. SUHARYADI SUWAKBUR
3. IWAN SETIAWAN
4. ASMAUN
5. DARWAN
6. FITRI NUR ANINGSIH
PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
MAKASSAR
2016

2. 2
MERENTANG (SPANNING)
A. Definisi
Definisi 1
Misalkan adalah ruang vektor di dan adalah subset dari .
merentang suatu himpunan di jika setiap vektor di dapat ditulis sebagai
kombinasi linear dari vektor-vektor di . Hal ini disebut merentang ( spans
.
Definisi 2
Misalkan adalah ruang vektor di dan adalah subset dari .
Ruang yang direntang dari adalah himpunan semua kombinasi linear dari
vektor-vektor di (misalkan himpunan tersebut adalah ).
(
1. Rentang dinotasikan oleh ( atau
2. Jika ( maka dikatakan sebagai ruang yang direntang oleh
atau merentang .
Definisi 3
Jika adalah himpunan vektor-vektor pada suatu ruang vektor
, maka subruang dari yang terdiri dari semua kombinasi linear vektor-
vektor pada disebut sebagai ruang yang direntang (space spanned) oleh
, dan merentang (span) . Untuk menyatakan adalah
ruang yang direntang oleh vektor-vektor pada himpunan di
kita menuliskan:
(

3. 3
B. Contoh
1. Himpunan vektor yang merentang di
Contoh soal:
a. ( (
b. ( (
Solusi:
a. Misalkan ̅ ( ̅ (
Misalkan ̅ ̅
Ambil sebarang skalar
Ambil sebarang ̅
Pandang ̅ (
Akan dibuktikan merentang
Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa ̅ ̅
̅ ̅ membentuk kombinasi linear.
Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen-
komponennya diperoleh:
( ( (
( ( (
Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh
... (i)
... (ii)
 Dari persamaan (ii) diperoleh
 Subtitusi ke persamaan (i)
(
Diperoleh dan ( tunggal atau konsisten,
sedemikian sehingga
( ( [ ( ] (
Membentuk kombinasi liner, artinya merentang

4. 4
b. Misalkan ̅ ( ̅ (
Misalkan ̅ ̅
Ambil sebarang skalar
Ambil sebarang ̅
Pandang ̅ (
Akan dibuktikan merentang
Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa ̅ ̅
̅ ̅ membentuk kombinasi linear.
Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen-
komponennya diperoleh:
( ( (
( ( (
Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh
... (i)
... (ii)
 Dari persamaan (ii) diperoleh ... (iii)
 Subtitusi ke persamaan (i)
(
(
 Subtitusi ( ke persamaan (iii)
[ ( ]
Diperoleh dan ( tunggal atau
konsisten, sedemikian sehingga
( ( ) ( [ ( ] (
Membentuk kombinasi liner, artinya merentang

5. 5
2. Himpunan vektor yang merentang di
Contoh soal:
a. (1,0,0), (2,2,0), (3,3,3)
b. (3,1,-4), (2,5,6), (7,4,8)
Solusi:
a. Misalkan ̅ ( ̅ ( ̅ (
Misalkan ̅ ̅ ̅
Ambil sebarang skalar
Ambil sebarang ̅
Pandang ̅ (
Akan dibuktikan merentang
Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa ̅ ̅
̅ ̅ membentuk kombinasi linear.
Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen-
komponennya diperoleh:
( ( ( (
( ( ( (
Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh
... (i)
... (ii)
... (iii)
 Dari persamaan (iii) diperoleh
 Subtitusi ke persamaan (ii)
( )
(
 Subtitusi ( dan ke persamaan (i)
[ ( ] [ ]

6. 6
Diperoleh , ( dan tunggal atau
konsisten, sedemikian sehingga
( ( ( [ ( ] ( ( ) (
Membentuk kombinasi liner, artinya merentang
b. Misalkan ̅ ( ̅ ( ̅ (
Misalkan ̅ ̅ ̅
Ambil sebarang skalar
Ambil sebarang ̅
Pandang ̅ (
Akan dibuktikan merentang
Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa ̅ ̅
̅ ̅ membentuk kombinasi linear.
Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen-
komponennya diperoleh:
( ( ( (
( ( ( (
Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh
... (i)
... (ii)
... (iii)
Akan diselesaikan menggunakan OBE (eliminasi gauss)
( ) ( )
( )
Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh
... (i)
... (ii)
... (iii)

7. 7
 Dari persamaan (iii) diperoleh
 Subtitusi ke persamaan (ii)
( )
 Subtitusi dan ke
persamaan (i)
( ) ( )
Diperoleh , dan
tunggal atau konsisten, sedemikian sehingga
( ( ) (
( ) ( ( ) (
Membentuk kombinasi liner, artinya merentang
3. Himpunan polinomial yang merentang di
Contoh soal:
a.
b.
Solusi:
a. Misalkan ̅ ̅ ̅
Misalkan ̅ ̅ ̅
Ambil sebarang skalar
Ambil sebarang ̅
Pandang ̅
Akan dibuktikan merentang

8. 8
Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa ̅ ̅
̅ ̅ membentuk kombinasi linear.
Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen-
komponennya diperoleh:
( ( ( (
( ( ( (
Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh
... (i)
... (ii)
... (iii)
 Dari persamaan (i) diperoleh
 Subtitusi ke persamaan (ii)
 Subtitusi dan ke persamaan (iii)
Diperoleh , dan tunggal atau konsisten,
sedemikian sehingga
( ( ( ( ( (
Membentuk kombinasi liner, artinya merentang
4. Matriks yang merentang
Contoh Soal:
( ) ( ) ( ) ( )
Solusi:
Misalkan: ( ) ( ) ( ) ( )
Misalkan
Ambil sebarang skalar
Ambil sebarang

9. 9
Pandang ( )
Akan dibuktikan merentang
Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa
membentuk kombinasi linear.
Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen-komponennya
diperoleh:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh
... (i)
... (ii)
... (iii)
... (iv)
Akan diselesaikan menggunakan OBE
( ) ( )
( )
( )
Diperoleh:
... (i)
... (ii)
... (iii)
... (iv)
 Dari persamaan (iii) diperoleh (

10. 10
 Dari persamaan (iv) diperoleh (
 Subtitusi ( & ( ke persamaan (ii)
[ ( ] [ ( ]
 Subtitusi ( ke persamaan (i)
(
Diperoleh , ,
( dan ( tunggal atau konsisten, sedemikian
sehingga
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Membentuk kombinasi liner, artinya merentang
C. Bukan Contoh
1. Himpunan vektor yang tidak merentang di
Contoh soal:
a. ( (
b. ( (
Solusi:
2. Himpunan vektor yang tidak merentang di
Contoh soal:
a. (2,-3,1), (4,1,1), (0,-7,1)
b. (1,6,4), (2,4,-1), (-1,2,5)
Solusi:
3. Himpunan polinomial yang tidak merentang di
Contoh soal:
a.

11. 11
b.
Solusi:
b. Misalkan ̅ ̅ ̅
Misalkan ̅ ̅ ̅
Ambil sebarang skalar
Ambil sebarang ̅
Pandang ̅
Akan dibuktikan merentang
Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa ̅ ̅
̅ ̅ membentuk kombinasi linear.
Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen-
komponennya diperoleh:
( ( ( (
( ( ( (
Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh
... (i)
... (ii)
... (iii)
matriks koefisiennya adalah ( )
Akan ditentukan determinannya menggunakan OBE
| | | | ( ( (
Diperoleh determinan matriks koefisiennya adalah 0 akibatnya tidak
merentang di .
4. Matriks yang tidak merentang
Contoh Soal:
( ) ( ) ( )
Solusi:

12. 12
D. Teorema
Jika dan adalah dua himpunan vektor-
vektor pada suatu ruang vektor , maka
Jika dan hanya jika setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari
vektor-vektor pada dan setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari
vektor-vektor pada .
Proof:
Diketahui: ruang vektor, dan
dan
sehinggga
akan ditunjukkkan adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada dan
setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari
vektor-vektor pada .
Bukti :
Berdasarkan definisi merentang yakni:
karena
maka
akibatnya
(
Hal tersebut menunjukkan bahwa setiap vektor pada dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linear dari vektor-vektor pada .

13. 13
Begitupun sebaliknya
(
Hal tersebut menunjukkan bahwa setiap vektor pada dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linear dari vektor-vektor pada .
Jadi, Jika maka
setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada dan
setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada ....
terbukti.
Diketahui: ruang vektor, dan
dan
sehinggga adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada dan setiap
vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada .
akan ditunjukkkan
Bukti :
Jika setiap vektor adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada maka
( (
dan setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada .
Maka
( (
dan akibatnya
( (
Akan ditunjukkan menggunakan kontradiksi
Misalkan setiap vektor di tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear
dari vektor-vektor di , sedemikian sehinggga
Jika
maka ( tetapi ( akibatnya ( (
oleh sebab itu jika

14. 14
maka harus ( dan ( sedemikian sehingga (
(
begitupun sebaliknya
Misalkan setiap vektor di tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear
dari vektor-vektor di , sedemikian sehinggga
Jika
maka ( tetapi ( akibatnya ( (
oleh sebab itu jika
maka harus ( dan ( sedemikian sehingga (
( .
Jadi, jika setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-
vektor pada dan setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari
vektor-vektor pada maka
.... terbukti.
Jadi, Jika dan adalah dua himpunan
vektor-vektor pada suatu ruang vektor , maka
Jika dan hanya jika setiap vektor pada adalah suatu
kombinasi linear dari vektor-vektor pada dan setiap vektor pada adalah suatu
kombinasi linear dari vektor-vektor pada .