1. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton
NhÞ thøc newton vµ øng dông
I - NhÞ thøc newton
1 - C«ng thøc nhÞ thøc Newton:
Víi mäi cÆp sè a, -b vµ mäi sè nguyªn d¬ng ta cã:
(a + b)n
= co
n an + c1
n an – 1
b + c2
n c1
n – 2
b2
+ … + cn
n-1
abn – 1
+ cn
n
bn
(*)kkn
n
nk
k
n baC −
=
∑=
2 - C¸c nhËn xÐt vÒ c«ng thøc khai triÓn:
+ Sè c¸c sè h¹ng ë bªn ph¶i cña c«ng thøc (*) b»ng n + 1, n lµ sè mò cña
nhÞ thøc ë vÕ tr¸i.
+ Tæng c¸c sè mò cña a, b trong mçi sè h¹ng b»ng n.
+ C¸c hÖ sè cña khai triÓn lÇn lît lµ:
C0
n; C1
n; C2
n; … Cn-1
n; Cn
n;
Víi chó ý: Ck
n = Cn
n
–k
0 < k < n.
3 - Mét sè d¹ng ®Æc biÖt:
+ D¹ng 1: Thay a = 1 vµ b = x vµo (*) ta ®îc
(1 + x)n
= C0
n + C1
n x + C2
n x2
+ …+ Cn-1
n xn-1
+ Cn
n xn
+ D¹ng 2: Thay a = 1 vµ b = -x vµo (*) ta ®îc (2)
(1 - x)n
= C0
n - C2
n x+ C2
nx2
+ …(-1) k
Ck
n xk
+ …+ (-1)n
Cn
n xn
(3)
4 - Mét sè hÖ thøc gi÷a c¸c hÖ sè nhÞ thøc
+ Thay x = 1 vµo (2) ta ®îc
C0
n + C1
n x + C2
n + …+ Cn
n = 2n
+ Thay x = -1 vµo (3) ta ®îc:
C0
n - C1
n x + C2
n - …+ (-1)n
Cn
n = 0
A - ¸p dông
I. ViÕt khai triÓn vµ tÝnh cña c¸c biÓu thøc sö dông khai triÓn ®ã:
Bµi 1: Thùc hiÖn khai triÓn:
(3x – 4)5
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang1
11 −+−
= k
n
k
n C
k
kn
C

2. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton
CT: Ta cã (3x – 4)5 kk
k
k
xC )4.()3( 5
5
0
5 −= −
=
∑
= 35
. C0
5 . x5
+ 4.34
C1
5 x4 + … + 45
C5
5
Trong khai triÓn ®ã
+ Cã 6 sè h¹ng.
+ C¸c hÖ sè cã tÝnh ®èi xøng nhau
+ Ta cã c¸c hÖ sè cña 3 hÖ sè ®Çu cña c«ng thøc khai triÓn ®ã lµ c¸c hÖ
sè
C0
5 = 1 C1
5 = 5 C2
5 = 10
VËy (3x – 4)5
= 243x5
– 1620 x4
+ 4320 x3
– 5760 x2
+ 3840 x – 1024
Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:
a: S1 = C0
6 + C1
6 + C2
6 + … + C6
6
b: S2 = C0
5 + 2C1
5 + 22
C2
5 + … +25
C5
5
c: S3 = 317
. C0
17 – 41
. 316
. C1
17 + 42
. 315
. C2
17 – 43
.314
. C3
7 + …-417
.C17
17
d: S4 = C6
11 + C7
11 + C8
11 + C9
11 + C10
11 + C11
11
e:
0
1
2001
2002
2001
20022002
2000
2001
1
2002
2001
2002
0
20024 ...... CCCCCCCCS k
k
k
+++++= −
−
Gi¶i:a ta cã
S1 = C0
6 + C1
6 + C2
6 + … + C6
6 = (1 + 1)6
= 26
= 64
b:Ta cã (1 + x)5 k
k
k
xC∑=
=
5
0
5 (1)
Thay x = 2 vµo (1) ta ®îc:
S2 = C0
5 + 2C1
5 + 22
. C2
5 + … +25
C5
5 = 35
= 243
c:Ta cã:
S3 = 317
. C0
17 – 41
. 316
. C1
17 + 42
. 315
. C2
17 – 43
.314
. C3
7 + …-417
.C17
17
= C0
17.317
+ C117.316
(-4)1
+ C2
17 315
(-4)2
+ C3
17 314
(-4) + …+ C17
17
(-14)17
= (3 – 4)17
= (3 – 4)17
= -1
d: Ta cã (1 + 1)11
= C0
11 + C1
11 + C2
11 + … + C6
11 + C2
11 +…+ C11
11
MÆt kh¸c Ck
11 = C11
11-k
víi k ∈ (0,1,2,…11)
Do vËy: (1 + 1)11
= 2 (C6
11 + C7
11 + C8
11 + C9
11 + C10
11 + C11
11) = 2S4
→S4 = 210
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang2

3. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton
e: Ta cã
k
k
k
k
C
kk
k
k
kk
CC
2001
2001
20022002
2002
)!2001(!
!2002!2002
)!2001(
)!2002(
.
)!2002(!
!2002
....
=
−
=
−
−
−
=−
−
Tõ ®ã: S5 = 2002 (
20012001
2001
1
2001
0
2001 )11(2002)... +=+++ CCC
Bµi 3: T×m sè nguyªn d¬ng n sao cho:
Co
n + 2 C1
n + 4 C2
n + … + 2n
Cn
n = 243 (1)
Gi¶i: Ta cã
Co
n + 2 C1
n + 2 C2
n + … + 2n
Cn
n = (1 + 2)n
= 3n
VËy (1) ⇔ 3n
= 243 = 35
⇔ n = 5
Bµi tËp t¬ng tù
Bµi 4: ViÕt khai triÓn (3x – 1)16
vµ chøng minh r»ng
316
. Co
16 – 315
C1
16 + … + C16
16 = 216
.
Bµi 5: TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau:
a: S1 = 2n
C0
n + 2n-2
C2
n + 2n-4
C4
n + … + Cn
n
b: S2 = 2n-1
C1
n + 2n-3
C3
n + 2n-5
C5
n + … +Cn
n
c: S3 = C6
10 C7
10 + C8
10 + C9
10 + C10
10
Bµi 6: TÝnh tæng
S =
2000
2000
2
2000
1
2000
0
2000 2001...3. CCCC ++++
II. T×m hÖ sè (t×m sè h¹ng) trong khai triÓn
Ph¬ng ph¸p: Víi c¸c yªu cÇu vÒ hÖ sè trong khai triÓn NEWTON, ta cÇn lu
ý:
1 – Ta cã: (a + b)n
=
Do ®ã hÖ sè cña sè h¹ng thø i lµ Ci
n, vµ sè h¹ng thø i: Ci
n an-i
bi
2 – Ta cã
Do ®ã: HÖ sè xk
trong khai triÓn trªn lµ Ci
n víi i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
α ( n – i) +β i = k
§Æc biÖt khi k = 0 ®ã chÝnh lµ sè h¹ng kh«ng phô thuéc x.
VÝ dô 1: Cho biÕt hÖ sè cña sè h¹ng thø 3 cña kiÕn thøc nhÞ thøc.
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang3
iin
n
n
i
baC −
=
∑ 1
0
∑∑ =
+−
−
=
==+
n
i
ini
n
i
inn
i
i
n
n
xCxxCbx
0
)(
0
)()()( βαβαβα
( ) ∑=
−−−
=+=








+
n
i
ni
n
n
xxCxx
x
x
xx
0
3/212/53/22/52
)()(

4. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton
Tõ ®ã, hÖ sè cña sè h¹ng thø 3 , cña khai triÓn nhÞ thøc lµ:
VËy thø h¹ng thø 7 ®îc cho bëi
VÝ dô 2: Trong khai triÓn nhÞ thøc h·y t×m sè h¹ng kh«ng
phô thuéc vµo x biÕt.
Cn
n + Cn-1
n + Cn-2
n = 79
Gi¶i: + XÐt PT: Cn
n + Cn-1
n + Cn-2
n = 79 (1)
Ta cã PT (1)
(do n ∈ N)
Khi ®ã:
Sè h¹ng thø k + 1 kh«ng phô thuéc x trong khai triÓn.
T/m
VËy hÖ sè kh«ng phô thuéc x b»ng C5
12
VÝ dô 3: Cho biÕt ba sè h¹ng ®Çu tiªn cña KT
Cã c¸c hÖ sè h¹ng liªn tiÕp cña mét cÊp sè céng. T×m tÊt c¶ c¸c h¹ng tö
h÷u tû cña khai triÓn ®ã ®· cho.
Gi¶i: Ta cã:
Ta cã ba hµng tö ®Çu tiªn cña khai triÓn cã c¸c hÖ sè lµ:
c0
n; c1
n 2-1
; c2
n 2-2
;
Ba hÖ sè liªn tiÕp theo thø tù lËp thµnh mét cÊp sè céng ⇔
C0
n + C2
n 2-2
= 2C1
n 2-1
⇔
a) Víi n = 1 ta ®îc kh«ng cã h¹ng tö h÷u tû
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang4
9
072
72)1(36
)2(!2
!
36
2
2
=⇔
=−−⇔
=−⇔=
−
⇔=
n
nn
nn
n
n
Cn
2/763/232/56
9 84)()( xxxC =−
( )n
xxx 15/283 −
+
12
015679
2
)1(
1 2
=⇔
=−+⇔=
−
++⇔
n
nn
nn
n
∑ =
−−−
=+
12
0
5/28123/41215/283 )()() k
kkk
n xxCxxx
15
28
3
)12(412
0
12
kk
C
k
k
−
−
= ∑=
50
15
28
3
)12(4
=⇔=−
−
k
kk
n
x
x )
2
1
( 4
+
nknk
n
n
k
nn
xxCxx
x
x )2()()2()
2
1
( 4/112/1
0
4/112/1
4
−−−
=
−−
∑=+=+
4
32
0
2
kn
k
n
k
x
=
−
=
∑=
089
8
)1(
1 2
=+−⇔=
−
+ nnn
nn



=
=
⇔
8
1
n
n






+ 4
2
1
x
x

5. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton
b) n = 8 ta ®îc:
Sè h¹ng thø k + 1 lµ hÖ sè h÷u tû ⇔ ( 16 – 3k)/4 ∈N, 0 < k < 8
⇔ ⇔
Víi k = 0 ⇔ h¹ng tö h÷u tû: Co
8 20
x4
= x4
k = 4 h¹ng tö h÷u tû: C4
8 2-4
VÝ dô 4: T×m hÖ sè lín nhÊt trong khai triÓn (1 + x)n
CT: Ta cã (1 + x)n
=
- C¸c hÖ sè trong khai triÓn lµ:
Co
n; C1
n…; Cn
n.
Ta cã ∀ n, k nguyªn, kh«ng ©m vµ k < n ta cã:
&
Ta cã:
Tøc lµ: Ck
n t¨ng khi k t¨ng vµ
Ck
n gi¶m khi k gi¶m vµ
VËy n lÎ th× Ck
n ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i
Víi n lÎ th× Ck
n ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i k = n/2
VÝ dô 5: T×m hÖ sè cã gi¸ trÞ lín nhÊt cña khai triÓn (a + b)n
biÕt r»ng
tæng c¸c hÖ sè b»ng 4096
CT : Tæng c¸c hÖ sè trong khai triÓn (a + b)n
b»ng:
Co
n + C1
n + C2
n + … + Cn
n = 2n
= 4096 ⇔ n = 12
⇒ Ta ®i t×m gi¸ trÞ lín nhÊt trong c¸c gi¸ trÞ:
Co
12; C1
12; …, C12
12
Thùc hiÖn so s¸nh Ck
12 vµ C12
k-1
b»ng c¸ch xÐt;
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang5
4
316
8
8
0
8
4
2
1
k
kk
k
xcc
x
x
−
−
=
∑=





+
16 – 3k = 4i; i ∈ N
0 < k < 8



=
=
4
0
k
k
xx
8
35
=
kk
n
n
k
xC∑=0
)!(!
!
knk
n
C k
n
−
=
1)1()!1(
!1
+−−
=−
knk
n
C k
n
2
1
11
1
11
1 +
<⇔>−
=
⇔>⇔< −
− n
k
k
n
C
C
CC k
n
k
nk
n
k
n
2
1
11
1
11
1 +
>⇔<−
=
⇔<⇔> −
− n
k
k
n
C
C
CC k
n
k
nk
n
k
n
2
1+
<
n
k
2
1+
>
n
k
2
1+
=
n
k
1
1313
)!13()!1(
!12
)!12(!
!12
1
12
12
−=
−
=
−−
−
=−
kk
k
kk
kk
C
C
k
k

6. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton
(1)
Tõ (1) suy ra
VËy Ck
12 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i k = 6 vµ C6
n = 924
VÝ dô 6: T×m sè h¹ng cã gi¸ trÞ lín nhÊt cña khai triÓn.
Gi¶i: Ta cã gäi tk lµ sè h¹ng thø k + 1 trong khai triÓn.
Ta cã = ∑=
8
0K
XÐt (1)
Tõ (1) suy ra:
tk – 1 < tk
tk – 1 > tk
Tøc lµ: Khi k ch¹y tõ 0 dÕn 8 th×:
tk t¨ng khi k t¨ng vµ k < 6
tk gi¶m khi k t¨ng vµ k > 6
VËy tk ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i k = 6 vµ cã gi¸ trÞ b»ng
VÝ dô 7: Khai triÓn ®a thøc . Px = ( 1 + 2x)12
Thµnh d¹ng P(x) = a0 + a1x + a2x2
+ … + a20x10
Max (a1 a2 … a12)
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang6
2
13
11
12
12
12
1
12 <⇔>⇔< −
−
k
C
C
CC k
k
kk
2
13
11
2
13
11
12
12
12
1
12 >⇔<−<⇔<⇔> −
−
kk
C
C
CC k
k
kk
8
3
2
3
1






+
8
3
2
3
1






+
k
k
C
C
t
t
kk
k
kk
k
k
k )9(2
3
2
3
1
3
2
3
1
19
1
8
8
8
1
−
=
























= −−
−
−
−
61
)9(2
1
1
<⇔>
−
⇔>⇔
−
k
k
k
t
t
k
k
61
)9(2
1
1
<⇔<
−
⇔<⇔
−
k
k
k
t
t
k
k
2187
1792
3
2
3
1
62
6
8 =











C
hk
k
C 











−
3
2
3
1
8
8

7. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton
Gi¶i: Ta cã (1 + 2x)12
=
Suy ra : ak = Ck
12 2k
víi k = 1,12
XÐt (1)
Tõ (1), suy ra:
ak + 1 < ak
ak + 1 > ak
VËy ak ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i k = 8 vµ cã gi¸ trÞ b»ng C8
12. 88
= 126720
VD 8: T×m n cña k khai triÓn biÕt h¹ng tö thø 9 cã hÖ sè lín nhÊt
Gi¶i: Ta cã
V× kh«ng thay ®æi nªn h/s trong khai triÓn thay ®æi phô thuéc vµo
(x+2)n
. XÐt khai triÓn (x+2)n
=
H¹ng tö thø 9 cã h.s lµ C8
n 28
lín nhÊt trong c¸c hÖ sè
VD9: Cho khai triÓn
1 – BiÕt tæng hai hÖ sè ®Çu vµ hai lÇn hÖ sè cña sè h¹ng thø 3 trong
khai triÓn b»ng . T×m hÖ sè lín nhÊt trong c¸c hÖ sè khi khai triÓn nhÞ
thøc trªn.
2 – BiÕt h¹ng tö thø 11 cã hÖ sè lín nhÊt. T×m n.
Gi¶i: Ta cã
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang7
kkk
k
kk
k
xCxC 2)2( 12
12
0
12
12
0
∑∑ ==
=
)12(2
1
)!11(!)1(
!122
)!12(!
!12
2
2
11
12
1 k
k
kk
kk
C
C
a
a
kk
n
kk
k
k
−
+
=
−+
−
−
== ++
+
3
23
1
)12(2
1
1
1
>⇔>
−
+
⇔>⇔
+
k
k
k
a
a
k
k
3
23
1
)12(2
1
1
1
<⇔<
−
+
⇔<⇔
+
k
k
k
a
a
k
k
nn
x
n
x
)2(
5
1
)
5
2
5
( +=+
n5
1
knkk
n
n
k
xC −
=
∑ 2
0
12
2
25
11
2
1
2
2
1
2
22
22
78
98
7
8
9
8
7788
9988
=⇒≤≤⇔




>
>
⇔














>
>
⇔
>
>
nn
CC
CC
C
C
C
C
CC
CC
nn
nn
n
n
n
n
nn
nn
n
x)
3
2
2
1
( +
n
2
1285
27
0115564161285
9
)1(16
3
4
1
2
1285
9
4
2
1
2
3
2
2
1
2
1
)
3
9
(...
9
4
2
1
3
2
2
1
2
1
)
3
2
2
1
(
2
2
2
1
10
2
2
2
1
10
=⇔
==−⇔=
−
++
=+++
+++++=+
−−
−−
n
nn
nn
CCC
xCxCxCCx
nnnnnnn
nnn
nnnnnnn
n
nx
)
5
2
5
( +

8. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton
Theo gt
⇔
(tho¶ m·n) hoÆc n = -26,75 (l)
VËy n = 7 ta cã khai triÓn :
HST9:
LËp tØ sè:
Do ®ã (ak) t¨ng khi 0 < k < 15 => (ak) max = a15
Do ®ã (ak) gi¶m khi 16 < k < 27 => (ak) max = a16
Mµ
Nªn (ak) max = a15 = C2723
. 3-15
.
2) KÕt qu¶: n ∈{17, 18, 19 }lµm t¬ng tù VD8
VD10: T×m c¸c h¹ng tö lµ sè nguyªn trong khi khai triÓn.
Gi¶i: ta cã
§Ó h¹ng tö lµ sè nguyªn th×
VËy c¸c h¹ng tö lµ sè nguyªn lµ C3
19 38
2; C9
19 35
23
; C15
19 32
25
VD11: BiÕt r»ng trong khai triÓn (x - )n
= C0
n x4
– C1
n xn-1
+ C2
n xn-2
HÖ sè cña h¹ng tö thø ba - …(1)n
Cn
n ( )n
Trong KT trªn lµ : C2
n = 5 
 n2
– n – 90 = 0  n = 10 hoÆc n = -9 (lo¹i)
Khi n = 10 th× khai triÓn (x - )10
sÏ cã 11 sè h¹ng.
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang8
kkkk
k
xCx )
3
2
()
2
1
()
3
2
2
1
( 27
27
27
0
27 −
=
∑=+
)270(32)
3
2
()
2
1
( 272
27
27
27 ≤≤== −−−
kCCa kkkkkk
k
1501
1
27
5
4
32
3.2
. 272
27
)1(27)1(2
1
27
1
≤≤⇔≥
+
−
== −−
+−−+
−+
k
k
k
C
C
a
a
kkk
kk
k
k
k
1516
15
16
1
16
1517
4
3
aa
a
a
==>=
−
=
nx
)
5
2
5
( +
32
19
19
19
0
319
19
19
0
193
23)2()3()23(
kk
k
k
kkk
k
CC
−
=
−
=
∑∑ ==+





=⇒=
=⇒=
=⇒=
⇔





∈
∈
−
≤≤
⇔







≤≤
∈
−
≤≤
∈
⇔







∈
−
=
≤≤
∈
⇔








∈
∈
−
≤≤
∈
155
95
31
2
319
60
1930
2
319
190
,
2
19
3
190
,
3
2
19
190
km
km
km
Nk
N
m
m
m
N
k
k
Nkm
N
k
mk
k
Nkm
N
k
N
k
k
Nk
3
1
3
1
9
1
3
1
9
1
90)1(45
)!2(!2
!
=−⇔=
−
nn
n
n
3
1

9. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton
Do ®ã sè h¹ng chÝnh gi÷a lµ sè h¹ng thø 6 ®ã lµ:
III – TÝnh c¸c tæng Ck
n vµ cm®t chøa Ck
n
Bµi 1: Víi n sè nguyªn d¬ng CMR
a) C1
n + 2 C2
n + … + (n – 1) Cn-1
n + n Cn
n = n. 2n-1
b) 2.1 C2
n + 3.2 C3
n + … + n (n – 1) Cn
n = n (n – 1) 2n-2
CM: Víi mäi x vµ n lµ sè nguyªn d¬ng ta cã;
(1 + x)n
= C0
n + C1
n x+ C2
n x2
+ … + Cn-1
n xn-1
+ Cn
n xn
(1)
LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) theo x ta ®îc.
n(1 + x)n-1
= C1
n + 2C2
n x + … + (n - 1) Cn-1
n. xn-2
+ n Cn
n xn-1
(2)
a) thay x = 1 vµo (2) ta ®îc.
n. 2n-1
= C1
n + 2 C2
n + … + (n – 1) Cn-1
n + n Cn
n (§PCM)
b) LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (2) theo x
Ta ®îc:
n(n –1) (1 + x)n-2
= 2.1 C2
n + 3 . 2 C2
n x + … + (n – 1) (n – 2) Cn-1
n
xn-3
+ n (n – 1) Cn
n xn-2
(3)
Thay x = 1 vµ (3) ta ®îc.
n(n –1) 2n-2
= 2.1 C2
n + 3 . 2 C2
n x + … + (n – 1) (n – 2) Cn-1
n +
+ n(n-1) Cn
n (§PCM).
* Chó ý:
(1) NÕu ph¶i tÝnh tæng cã d¹ng:
S1 = C1
n + 2C2
n ∝ + 3 C3
n ∝ + … + (n-1) Cn-1
n ∝n-2
+ n Cn
n ∝n-2
+ XÐt khai triÓn (1 + x)n
= (1)
+ LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) theo x ®îc:
n(1 + x)n-1
= (2)
+ Thay x = ∝ vµo (2) ⇒ kÕt qu¶.
+ NÕu ph¶i tÝnh tæng d¹ng.
S1 = 2. 1C2
n + 3.2C3
n ∝ + … + (n-1) (n-2) Cn
n-1
∝n-3
+ n (n-1)(n – 2)Cn
n-1
∝n-3
+
n(n-1) Cn
n ∝n-2
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang9
n
k
n
n
k
xC∑=0
1
0
−
=
∑ kk
n
n
k
xC
5355
10
27
28
)
3
1
( xxC −=−

10. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton
Ph¬ng ph¸p:
+ XÐt khai triÓn (1)
+ LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) theo x ®îc (2)
+ LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (2) theo x ®îc
n(n-1) (1+x)n-2
= (3)
Thay x = ∝ vµo (3) ⇒ kÕt qu¶
Ch¼ng h¹n tÝnh tæng:
C1
n + 22
C2
n 1 + 3 C3
n22
+ … + (n-1) Cn
n-1
cn-2
+ n Cn
n 2n-1
= n(1+ 2) n-2
= n3n-2
.
VD2: CM c¸c ®¼ng thøc sau:
C1
n3n-1
+ 2 C2
n. 3n-2
+ … + (n-1) Cn
n-1
3 + n Cn
n = n 4n-1
(1)
Híng dÉn:
C1: §Ó ý: k. Ck
n 3n-l
= k Ck
n. 3-k+1
. 3n-1
= k 3n-1
Ck
n
Tõ ®ã (1) ⇔ C1
n 3n-1
+ 2 C2
n 3n-1
+ … + (n – 1) Cn
n-1
n – 2
+ 3n-1
n Cn
n n-1 = n. 4n-2
⇔ C1
n + 2 C2
n + … + ( n – 1) Cn
n-1
( )n-2
+ n Cn
n k-1
= n ( )n-1
= n (1 + )n-1
⇒ Thay x = vµo (2) ta ®îc ®pcm
C¸ch 2:
§Ó ý : n. 4n-1
= n (3+ 1)n-1
⇒ XÐt khai triÓn (1)
+ LÊy ®/h 2 vÕ cña (1) theo biÕn x ta ®uîc.
(2)
+ Thay x = 1 vµo (2) ta ®îc.
n(3 + 1)n-1
= C1
n 3n-1
+ 2 C2
n 3n-2
+ … + n Cn
n 3n-1
⇔ ®iÒu ph¶i chøng minh
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang10
2
0
)1( −
=
−∑ kk
n
n
k
xCkk
1
3
1
−k
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
4
3
1
3
1
kknk
n
n
k
n
xCx −
=
∑=+ 3)3(
0
1
0
1
3)3( −−
=
−
∑=+ kknk
n
n
k
n
xCkx

11. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton
* Chó ý: TÝnh tæng cã d¹ng.
S3 = C1
n ∝n - 1
+ Cn
2
∝n-2
+… + (n-1) Cn
n-2
∝ + n Cn
n
C¸ch 1: + XÐt khai triÓn (∝ + x)n
(1)
+ LÊy ®/h 2 vÕ cña (1) theo biÕn x
Ta ®îc n(∝ + x)n-1
(2)
Trong (2) thay x = 1 vµo ta ®îc kÕt qu¶
VD3: CMR
2n-1
C1
n + 2n-1
C2
n + 3.2n-3
C3
n + 4. 2n-4
C4
n + … + n Cn
n = n. 3n-1
(lµm t¬ng tù VD2 víi ∝ =
VD4: 1. Chøng minh c¸c hÖ thøc sau:
Co
n + 2 C1
n + 3 C2
n + … + (n + 1) Cn
n = (n + 2) 2n-1
2) TÝnh tæng : S = 2 . 1 C1
n + 3. 2 C2
n + … + n (n – 1) Cn
n-1
+ (n + 1) n Cn
n.
Gi¶i:
a) C¸ch 1:
XÐt khai triÓn: (1 + x)n
= Co
n + C1
n + C2
n x2
… + Cn
n-1
xn-1
+ Cn
n cn
⇒ f(x) = x (1 + x)n
= Co
n x + C1
nx2
+ C2
n x3
+ … + Cn
n-1
- xn
+Cn
n xn+1
(1)
LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) ta ®îc.
(1 + x)n
+ xn (1 + x)n-1
= C0
nx + C1
nx2
+ C2
nx3
+…+n Cn
n-1
xn-1
+
+ n(n+1) Cn
n xn
(2)
Thay x = 1 vµo (2) ta ®îc.
2C1
n + 3 . 2 C2
n + … + n(n-1) Cn
n-1
+ (n + 1) n Cn
n = (2 + n) 2n-1
⇒ ®pcm.
b) LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (2) ta ®îc.
n(1+x)n-1
+ n (1+ x)n-1
+ n. x (n –1) (1 + x)n-2
= 2 C1
n + 3.2 C2
n x + … + n (n-1) Cn
n-1
cn-2
(n+1) n Cn
n xn-1
(3)
Thay x = 1 vµo (3) ta ®îc.
S = 2 C1
n + 3. 2 C2
n + … + n (n-1) Cn
n-1
+ (n+ 1) n Cn
n
= 2n . 2n-1
+ n (n-1) 2n-2
= n. 2 n-2
. (n + 1)
• Chó ý: TÝnh tæng:
(1) S4 = Co
n + 2 C1
n ∝ + 3 C2
n∝2
+ … + n Cn
n-1
∝n-1
+ (n+1) Cn
n ∝n
.
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang11
1
0
−−
=
∑= kknk
n
n
k
xCk α
1
0
−−
=
∑= kknk
n
n
k
xCk α
2
1

12. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton
Ph¬ng ph¸p:
-XÐt khai triÓn:
(1 + x)n
(1)
+ Nh©n 2 vÕ cña (1) víi x ta ®îc.
x (1 + x)n
(2)
LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (2) theo biÕn x ta ®îc
(1 + x)n
+ nx (1 + x)n-1
(3)
Thay x = ∝ vµo (3) ⇒ kÕt qu¶ tæng S4.
(2) S5 = 2. 1 C1
n + 3. 2 C2
n∝ + … + n (n – 1) Cn
n-1
∝n-2
+ (n + 1) n Cn
n ∝n-1
Ph¬ng ph¸p: LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (3) sau ®ã thay x =∝ => kÕt qu¶.
VD5: TÝnh tæng.
S1 = 2 C1
n + 3. 22
C2
n + 4.3 C2
n 22
+…+ n (n-1) Cn
n-1
2n-2
+
+ (n+1) n Cn
n 2n-1
S2 = 12
C1
n + 22
C2
n + 33
C3
n 42
C4
n +…+ p2
Cp
n + …+ n2
Cn
n
HD : §Ó ý p2
Cp
n = p.p Cp
n = p [(p+1) –1] Cp
n
= p(p+1) Cp
n – p Cp
n.
⇒ S2 = [2 C1
n + 3. 2 C2
n + … + p (p+1) Cp
n + … + (n + 1) n Cn
n]
- [ C1
n + c2
n + … + pCp
n + … + n Cn
n ]
Gi¶i: XÐt f(x) = (1 + x)n
= Co
n + C1
nx + C2
n x2
+ C3
n x3
+ … + Cn
n xn
Vµ g(x) = x (1 + x)n
= Co
nx + C1
x x2
+ C2
n x3
+ C3
n x4
+ … + Cn
n xn+1
Ta cã f(x) = n (1 + x)n-1
= C1
n + 2 C2
nx + 3 C3
n x2
+ … + n Cn
n xn-1
.
⇒ f(1) = n. 2n-1
= C1
n + 2 C2
n + 3 C3
n + … + n Cn
n (1)
g’
(x) = (1+ x)n
+ nx (1 + x)n-1
= Co
n + 2 C1
nx + x C2
n x2
+ 4 C3
n x3
+ … + (p + 1) Cp
n xp
+ … + (n-1) Cn
n xn
.
g’’
(x) = 2n (1 + x)n-1
+ n (n – 1) x (1 + x) n-2
= 2 C1
n + 3 . 2 C2
n + 4 . 3 C3
n x2
+ … + (p + 1) p Cp
n xp-1
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang12
kk
n
n
k
xC∑=
=
0
1
0
+
=
∑= kk
n
n
k
xC
kk
n
n
k
xCk )1(
0
+= ∑=

13. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton
+ … + (n + 1) n Cn
n xn-2
⇒ g’’
(1) = 2n. 2n-1
+ n (n-1) 2n-2
.
= 2 C1
n+ 3. 2 C2
n + 4. 3 C3
n + … + (= + 1) p Cp
n + … + (n + 1) n Cn
n.
LÊy (2) – (1) ⇒ S2 = 2n. 2n-1
+ n ( n- 1)n-2
– n. 2n-1
= n. 2n – 2
(3n – 1).
VD6: Víi n nguyªn d¬ng h·y chøng minh.
(1) 4n
Co
n – 4n-1
C1
n + 4 n-2
C2
n + … + (-1)n
Cn
n.
= Co
n + 2 C1
n + … + n 2n-1
Cn
n + … + 2n
Cn
n.
(2) C1
n + 4 C2
n + … + n.2n-1
Cn
n = n. 4n-1
Co
n – (n-1) 4n-2
C1
n
+ (n-2) 4n-3
C2
n + … + (-1)n-1
Cn
n-1
.
Gi¶i (1) víi mäi x vµ n lµ sè nguyªn d¬ng ta cã.
(4 – x)n
= Co
n + 4n
– C1
n 4n-1
x + 4n-2
C2
n x2
+ … + (-1)n
Cn
n xn
(1)
Thay x = 1 vµ (1)
3n
= Co
n 4n
- C1
n 4n-1
+ C2
n 4n-2
+ … + (-1)n
Cn
n (*)
Víi mäi x vµ n lµ sè nguyªn d¬ng ta cã:
(1 + x)n
= Co
n + C1
n x + … + Cn
n xn
(2)
Thay x = 2 vµo (2) ta ®îc;
3n
= Co
n C1
n 2 + 22
C2
n + … + 2n
Cn
n (**)
Tõ (*) vµ (**) ⇒ ®pcm.
(2) víi mäi x vµ n lµ sè nguyªn d¬ng ta cã:
(1 + x)n
= Co
n + C1
nx + C2
n x2
+ … + Cn
n-1
xn-1
+ Cn
n xn
(1)
LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) theo biÕn x ta ®îc:
n (1 + x)n-1
= C1
n + 2 C2
n x + … + (n-1) Cn
n-1
xn-2
+ n Cn
n xn-1
(2)
Thay x = 2 vµo (2) ta ®îc.
n. 3n-1
= C1
n + 4 C2
n + … + ( n- 1) Cn
n-1
xn-2
+ n Cn
n xn-1
(3)
Víi mäi x vµ n nguyªn d¬ng ta cã
(x – 1)n
= Co
n xn
- C1
nxn-1
+ … + (-1)n
Cn
n (4)
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang13

14. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton
LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (4) theo biÕn x
(x – 1)n-1
= n Co
n xn-1
- (n-1)C0
n xn-2
+ … + (-1)n-1
Cn
n-1
(5)
Thay x = 4 vµo (5) ta ®îc.
n. 3n-1
= n. 4n-1
Co
n – (n-1) 4n-2
C1
n + (n-2) 4n-3
(C2
n + … +
(-1)n-1
Cn
n-1
(6)
Tõ (3) vµ (6) => ®iÒu ph¶i chøng minh.
Chó ý; Nh vËy ®Ó tÝnh tæng cã d¹ng hoÆc
Ta lÊy ®¹o hµm mét hoÆc hai lÇn cña nhÞ thøc Niu t¬n.
Bµi tËp luyÖn tËp: TÝnh c¸c tæng sau:
1) S1 = 2006. 32005
. C0
2006 + 2005. 32004
. C1
2006 + C2
2006 + … +
HDG: + XÐt khai triÓn (x + 1)2006
= x2006
C0
2006 + x2005
C1
2006 + …+ (1)
+ LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1)
2006. (x + 1)2005
= 2006.x2005
C0
2006 + 2005 x2004
C1
2006 + … + (2)
+ Thay x = 3 vµo (2) => S1 = 2006.42005
.
2) S2 = 52005
. C1
2006 + 2.52004
.4.C2
2006 + 3.52003
. 42
C3
2006 +…+2006.42005
HDG: + XÐt khai triÓn : (5 + x)2006
= (1)
+ LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) ta ®îc (2)
+ Thay x = 4 => S2 = 2006.92005
.
3) S3 = 99.398
C0
99 – 98 . 397
C1
99 + 97 . 396
C2
99 - … + C98
99
HDG: + XÐt KT (x + 1)99
=
+ LÊy ®¹o hµm 2 vÕ (1) theo x ®îc (2) = (x + 1)98
=
+ Thay x = -3 vµo (2) ®îc S3 = 99.298
4) S4 = C0
2006 + 2C1
2006 + 3C2
2006 + 4C3
2006 + …+ 2007
HDG: + T¸ch S4 = I + J; I = C0
2006 + C1
2006 + …+
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang14
k
n
n
k
Ck∑−=
=
0
k
n
n
k
Ckk )1(
0
−= ∑−=
2005
2006C
2005
2006C
2005
2006C
2005
2006C
kkk
k
xC −
=
∑ 2006
2006
2006
0
5.
12006
2006
2006
0
2005
5.)5(2006 −−
=
∑+ kkk
k
xCx
kk
k
xC −
=
∑ 99
99
99
0
.
kk
k
xkC −
=
−∑ 98
99
99
0
)99(
2006
2006C
2006
2006C

15. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton
Vµ J = C1
2006 +2C2
2006 + 3C3
2006 + …+ 2006
C2: Nh©n 2 vÕ khai triÓn (1 + x)2006
víi x lÊy ®/h 1 vÕ theo x sau ®ã thay x
= 1 => kÕt qu¶.
5) S5 = 3 C0
2006 + 4C1
2006 + 5C2
2006 + …+ 2009
HDG: + XÐt KT: (1 + x)2006
= (1)
+ Nh©n 2 vÕ (1) víi x3
: x3
(1 + x)2006
= (2)
+ LÊy ®/h 1 vÕ cña (2) theo x ®îc (3)
+ Chän k = 1 => kÕt qu¶ S5 = 22005
. 2012
6) S6 =4.53
C0
2007 + 5.54
C1
2007 + 6.55
C2
2007 +…+ 2011.52010
XÐt KT : x4
(1 + x)2007
lµm t¬ng tù VD5.
* NhËn xÐt: víi mäi x vµ n lµ sè nguyªn d¬ng ta cã:
(1)
LÊy tÝch ph©n theo x hai vÕ cña (1). Ta ®îc.
(2)
+ Thay t = 1 vµ (2) ta ®îc
Hay
Thay t = -1 vµo (2 ) ta ®îc
Hay :
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang15
k
n
k
k
n
n
xCx ∑=
=+
0
)1(
11
1)1(
11
)1(
)1(
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
+
=
+
−+
⇔
++
+
⇔
=+
+
=
+
+
=
+
=
∑
∫∑∫
∑∫∫
k
Ct
n
x
k
x
C
n
x
xCdxx
k
n
kn
k
n
k
k
n
n
k
n
kk
n
n
k
n
∑=
+
+
=
+
− n
k
k
n
n
k
C
n 0
1
11
12
1
13
1
2
...
3
2
2
2
2
11
2
3
1
2
0
+
−
=
+
++++
++
n
C
n
CCC
n
n
n
n
nnn
∑ ∑= =
+
+
−
=
+
⇔
+
−
=
+
− n
k
n
k
k
n
kk
n
k
k
C
nk
C
n 0 0
1
1
)1(
1
1
1
)1(
1
1
nn
CCC
C
n
nnn
n
n
+
=
+
−++
+
+
+
−
1
1
1
)1(...
2111
2
21
0
2006
2006C
2006
2006C
kk
k
xC .2006
2006
0
∑=
3
2006
2006
0
. +
=
∑ kk
k
xC
2007
2007C

16. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton
Thay t = 2 vµo (2) ta ®îc:
Hay
+ XÐt khai triÓn:
x = 1/3 vµo (1) ta ®îc
Ta cã
Tõ khai triÓn (1) ta cã:
(2)
MÆt kh¸c:
(3)
Tõ (2) vµ (3) ta cã ®¼ng thøc:
Chó ý: §Ó tÝnh tæng d¹ng
Ta lÊy tÝch ph©n 1 hoÆc 2 lÇn cña nhÞ thøc Niu t¬n.
VÝ dô 7: CM
Gi¶i:
XÐt: víi n∈ N
Ta x¸c ®Þnh tÝch ph©n In b»ng ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn, víi ®Æt:
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang16
∑=
+
+
=
+
− n
k
k
n
kn
k
C
n 0
1
1
2
1
13
1
13
1
2
...
3
2
2
2
2
11
2
3
1
2
0
+
−
=
+
++++
++
n
C
n
CCC
n
n
n
n
nnn
nnnkk
n
n
k
k
nnn
kk
n
kn
CxCxCxCCxCx )1()1(...)1(...)1()1( 1
0
2210
−++−+++−=−=− ∑=






−++++−=
−+++−=⇔
−+++−=





−
n
nn
n
nnnn
nn
n
n
n
nnnn
n
n
nn
n
nnn
n
CCCCC
CCCC
CCCC
3
1
)1(...
3
1
3
1
3
1
32
3
1
)1(...
3
1
3
1
3
2
3
1
)1(...
3
1
3
1
3
1
1
2
2
110
2
2
10
2
2
10
[ ]n
n
nn
n
x
xdxdxxI )1(1
1
1
11
)1(
)1()1()1(
2
0
1
2
0
2
0
−+
+
=
+
−
−=−−=−=
+
∫∫
n
n
n
k
nnn
k
k
n
k
n
k
kk
n
k
n
k
C
n
CCC
k
x
CxCI
123120
2
0
1
00
2
0
2
1
)1(
...
3
1
2
2
1
22
1
)1()1(
+
+
==
+
−
+++−=
+
−=−= ∑∑∫
[ ]nn
n
n
k
nnn
n
C
n
CCC )1(1
1
1
2
1
)1(
...
3
1
2
2
1
22 123120
−+
+
=
+
−
+++−= +
)2)(1(1 00 +++
= ∑∑ −=−= kk
C
k
C k
n
n
k
k
n
n
k
hoÆc
)12...(5.3
2...4.2
12
)1(
...
53
21
0
+
=
+
−
+−+−
n
n
n
CCC
C
n
n
n
nn
n
dxxI n
n )1( 2
1
0
−= ∫

17. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton



=
−−=
⇔



=
−= −
xv
dxxnxdu
dxdv
xu nn 122
)1(2)1(
Khi ®ã:
kk
n
k
n
k
n
kk
n
k
n
k
n
xCx
xCx
2
0
2
0
)1()1(
)1()1(
−=−
−=−
∑
∑
=
=
LÊy tÝch ph©n theo x hai vÕ cña (2), ta ®îc.
12
)1(
...
53
12
)1()1()1(
21
0
2
0
12
0
2
1
0
2
1
0
+
−
+−+−=
+
−=−=−
+
=
∑∫∫
n
CCC
C
k
x
CxCdxx
n
n
n
nn
n
k
k
n
k
n
k
kk
n
kn
Tõ (1) vµ (3) suy ra ®iÒu cÇn chøng minh.
VD 8: CM:
Ta tÝnh tÝch ph©n
Ta ®îc (1)
MÆt kh¸c ta cã ( 1 + x)n
= C 0
n + C1
n .x + C 2
n .x 2
+…+ C n
n . x n
LÊy TP ta cã dxxCdxxCdxxCdxCdxx nn
nnnn
n
.....)1(
1
0
1
0
2
1
0
2
1
0
1
1
0
0
∫∫∫∫∫ ++++=+
=
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang17
[ ]
)12...(5.3
2...4.2
)12...(5.3
2...4.2
3
2
....
12
)1(2
12
2
12
2
)(2)1()1(2
1)1()1(2)1(2)1(
1
0
01
1
12
1
0
2
1
0
22
1
0
2
1
2
1
0
1
0
2
+
=
+
=
−
−
+
=
+
=⇔
−−



 −−−−=
−−−−=−+−=
∫
∫∫
∫∫
−
−
−
−
n
n
dx
n
n
I
n
n
n
n
I
n
n
I
IIndxxdxxxn
dxxxndxxxnxxI
nn
nn
nn
n
n
n
(2)
(3)
Ta cã
Suy ra
1
12
1
...
2111
121
0
+
−
=
+
++
+
+
+
+
+
nn
CCC
C
nn
nnn
n
∫ +
1
0
)1( dxx n
1
12
)1(
1
1
0 +
−
=+
+
∫ n
dxx
n
n
1
1
1
)1(
...
4
1
3
1
2
1 3210
+
−
=
+
−
++−+−
nn
C
CCCC
n
n
n
nnnn
1
12
1
...
2111
121
0
+
−
=
+
++
+
+
+
+
+
nn
CCC
C
nn
nnn
n
(1)

18. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton
VD 9: CM
Ta tÝnh (1)
Ta cã:
VËy Tõ (1) vµ (2) => ®iÒu ph¶i chøng minh
VD 10: 1. - TÝnh tÝch ph©n
2 – CM
1- Ta cã:
(1)
2 – Theo khai triÓn nhÞ thøc Niu t¬n ta cã
= (2)
So s¸nh (1) vµ (2) => ®iÒu ph¶i chøng minh.
Bµi tËp:
Bµi 1: Chøng minh r»ng:
12
2
5
2
3
2
1
2
2
2
4
2
1
2
0
2 ...... −
++++=++++ n
nnnn
n
nnnn CCCCCCCC
Bµi 2: Chøng minh r»ng:
n
n
n
nnn CCCC 2
221
2
20
)(...)()( =+++
Bµi 3: Chøng minh:
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang18
1
1
)1(
1
0 +
−
=+= ∫
−
n
dxxI n
nn
nnnn
n
nn
nnnnn
n
xCdxxCxdxCdxCdxx
xCxCxCxCCx
∫∫∫∫∫
−−−−−
++++=+⇒
+++++=+
1
0
2
1
0
2
1
0
1
1
0
0
1
0
332210
...()1(
...)1(
)2(
1
)1(
...
3
1
2
1
1
...
32
)1(
1
210
1
0
1
1
0
3
21
0
2
11
0
0
1
0
n
n
n
nnn
n
n
nnnn
n
C
n
CCC
n
x
C
x
C
x
CxCdxx
+
−
++−+−=
+
++++=+
+
−
+
−−
−
∫
dxxxI n
)1( 2
1
0
−= ∫
)1(2
1
22
)1(
...
6
1
4
1
2
1 210
+
=
+
−
+++−
n
C
n
CCC n
n
n
nnn
)1(2
1
1
)21(
2
1
)1()1(
2
1
)1(
1
0
12
2
1
0
22
1
0
+
=
+
−
−=
−−−=−=
∫
∫∫
+
nn
xdxdxxxI
n
nn
1
0
12
11
0
4
11
0
22
1
0
1225130
2222210
22210
12
)1(...
42
1
)1(
)1(...)1(
)(...)()()1(
...)1(
+
−++−=−⇒
−+++−=−⇒
−++−+−−=+⇒
+++++=+
+
+
∫ n
x
C
x
Cxdxxx
CxCxCxxCxx
xCxCxCCx
xCxCCxCCx
n
n
nn
n
n
n
nn
nnn
n
nn
nnnn
n
nn
nnnnn
n
n
n
n
nnn C
n
CCC
22
)1(
...
6
1
4
1
2
1 210
+
−
+++−

19. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton
1
2
22
2
22
2
21
2
20
)1()(...)()()( n
nn
nnnn CCCCC −=+++
Bµi 4: Chøng minh r»ng:
(-1)n
C0
n + (-1)n-1
2C1
n + … + (-1)n-k
2k
Ck
n + 2n
Cn
n = 1
Bµi 5: Chøng minh r»ng:
C0
2n + C1
2n + C4
2n + … +
22
2 )( n
nC = 22n-1
Bµi 6: chøng minh r»ng:
Bµi 7: Chøng minh r»ng:
Bµi 8: Chøng minh r»ng víi c¸c sè k, n∈N vµ 5 < k < n ta cã
Bµi 9: TÝnh tÝch ph©n
Chøng minh r»ng:
Bµi 10: Cho n lµ mét sè tù nhiªn lín h¬n 2
a – TÝnh tÝch ph©n
b – Chøng minh r»ng
Bµi 11: TÝnh tÝch ph©n:
Rót gän tæng
Bµi 12: Cho f(x) = x (x + 1)2001
a – TÝnh f (x)
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang19
)1(3
12
33
1
...
6
1
3
1 1
10
+
−
=
+
++−
+
n
C
n
CC
n
n
nnn
)1(2
1
22
)1(
...
4
1
2
1 10
+
=
+
−
++−
n
C
n
CC n
n
n
nn
15
5
10
55 ...
5
1 −−
+ +++= k
n
k
n
k
n
k
n CCCCCCC
dxxxI n
)1( 2
1
0
−= ∫
)1(2
1
)1(2
)1(
...
6
1
4
1
2
1 210
+
=
+
−
+−+−
nn
C
CCC
n
n
n
nnn
dxxxI n
)1( 22
1
0
−= ∫
)1(3
12
33
1
...
9
1
6
1
3
1 1
210
+
−
=
+
++++
+
n
C
n
ccc
n
n
nnnn
dxxxI 19
1
0
)1( −=∫
19
19
18
19
2
19
1
19
0
19
21
1
20
1
...
4
1
3
1
2
1
CCCCCS −+−+−=

20. GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton
b – TÝnh tæng
Bµi 13: TÝnh tæng
Bµi 14: Chøng minh r»ng víi c¸c sè m, p, n nguyªn, d¬ng sao cho.
P< n vµ p < m ta cã
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang20
2001
2001
2000
2001
1
2001
0
2001 20022001...2 CCCCS ++++=
2005
2005
2004
2005
1
2005
0
2005 20062003...2 CCCCS ++++=
011110
... m
p
nn
p
n
p
mn
p
mn
p
mn CCCCCCCCC ++++= −−
+