1. Khóa học Chuyên đề Hình học 11 - ThầyTrần Viết Kính Quan hệ vuông góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -
a
a
a
a
O
A
B
D
C
S
Phần 1: Quan hệ vuông góc
Bài 1. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA vuông góc với
mp (ABCD) và SA = a; M là trung điểm cạnh SD.
a) Mặt phẳng (α) đi qua OM và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) cắt hình chóp SABCD theo thiết
diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a.
b) Gọi H là trung điểm của CM; I là điểm thay đổi trên SD. Chứng minh OH ⊥ (SCD); và hình chiếu
của O trên CI thuộc đường tròn cố định.
Giải:
a. Kẻ MQ//SA => ( ) ( ) ( )MQ ABCD MQOα⊥ ⇒ ≡
Thiết diện là hình thang vuông MNPQ (MN//PQ)
2
( ). 3
2 8
td
MN PQ MQ a
S
+
= = (đvdt)
b. : / / , ,AMC OH AM AM SD AM CD∆ ⊥ ⊥
( ) ( )AM SCD OH SCD⇒ ⊥ ⇒ ⊥
Gọi K là hình chiếu của O trên CI
, ( )OK CI OH CI CI OKH CI HK⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
Trong mp(SCD) : H, K cố định, góc HKC vuông
=> K thuộc đường tròn đg kính HC.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA
= SB = SC = a. Chứng minh rằng: SB vuông góc SD.
Giải:
+ Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình thoi
nên O là trung điểm của AC và BD
0
1
2
90
ABC ASC SO BO BD
BSD SB SD
+ ∆ = ∆ ⇒ = =
⇒ ∠ = ⇔ ⊥
QUAN HỆ VUÔNG GÓC
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: TRẦN VIẾT KÍNH
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo Chuyên đề Quan hệ vuông góc thuộc khóa học Chuyên đề
Hình học 11 – Thầy Trần Viết Kính tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được
giáo viên truyền đạt trong Chuyên đề Quan hệ vuông góc. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần làm trước bài tập sau đó so
sánh với đáp án.
O
Q
H
P
A D
B
C
S
I
M
N
I

2. Khóa học Chuyên đề Hình học 11 - ThầyTrần Viết Kính Quan hệ vuông góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -
O
A
B
D
C
S
H
K
I
N
K
I
O
D
A
C
B
S
M
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi H, K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD.
a. CMR: SC vuông góc mặt phẳng (AHK).
b. Gọi I là giao điểm của SC với mặt phẳng (AHK). CMR: HK vuông góc AI.
Giải:
a. Ta có:
( ) (1)
AH SB
AH SBC AH SC
AH BC
⊥ 
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥ 
( ) (2)
AK SD
AK SDC AK SC
AK DC
⊥ 
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥ 
Từ (1) và (2) ta suy ra ( )SC AHK⊥
b. Ta có:
v vSAB SAD SH SK∆ = ∆ ⇒ =
/ /
SH SK
HK BD
SB SD
⇒ = ⇒ ( Định lý Ta lét đảo)
( )
BD AC
BD SAC
BD SA
⊥ 
⇒ ⊥
⊥ 
/ /
( )
( )
HK BD
HK SAC HK AI
BD SAC

⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥ 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD.
a. Chứng minh rằng: ( )SO ABCD⊥
b. I, K lần lượt là trung điểm của BA và BC. Chứng minh rằng IK vuông góc SD.
c. Gọi (P) là mặt phẳng song song với SO chứa IK. Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (P).
Giải:
a. Ta có:
( )
SO AC
SO ABCD
SO BD
⊥ 
⇒ ⊥
⊥ 
b.
( )
( )
IK BD do AC BD
IK SBD IK SD
IK SO
⊥ ⊥ 
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥ 
c. + Gọi M là giao điểm của SB với mặt phẳng (P),
N là giao điểm của DB với mặt phẳng (P).
/ /( ), ( )
/ /
( ) ( )
/ /
( )
SO P SO SBD
SO MN
SBD P MN
SO BD
MN BD
MN SO
BD IK
BD P
BD MN
⊂ 
+ ⇒
∩ = 
⊥ 
+ ⇒ ⊥

⊥ 
+ ⇒ ⊥
⊥ 
Bài 5. Cho lặng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABC có AB = AD = a và góc 0
60BAD∠ = ,
3
AA'
2
a
= .
M, N lần lượt là trung điểm A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng: ' ( ).AC BDMN⊥

3. Khóa học Chuyên đề Hình học 11 - ThầyTrần Viết Kính Quan hệ vuông góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 -
Giải:
+ Gọi S BN DM= ∩ ⇒ M là trung điểm SD, N là trung điểm SB, A’ là trung điểm SA.
+ Gọi O = AC∩ BD
+ ∆ BAD đều
3
2 3 , '
2
a
AO AC AO a SA CC AO⇒ = ⇒ = = = =
+ Hai ∆ vuông SOA và ACC’ bằng nhau AS 'O CAC⇒ ∠ = ∠ .
Mà 0 0
AS 90 ' 90 'O SOA CAC SOA AC SO∠ + ∠ = ⇒ ∠ + ∠ = ⇒ ⊥
+
'
' ( )
'
AC BD
AC BDMN
AC SO
⊥ 
⇒ ⊥
⊥ 
Bài 6. Tứ diện SABC có ( ).SA mp ABC⊥ Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
a. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và ( ) ( )SAC BHK⊥
b. Chứng minh ( )HK SBC⊥ và ( ) ( ).SBC BHK⊥
Giải:
a. Vì H là trực tâm tam giác ABC BH AC∆ ⇒ ⊥ , theo giả thiết
( )SA mp ABC BH SA⊥ ⇒ ⊥ . Nên ( )BH mp SAC SC BH⊥ ⇒ ⊥
Do K là trực tâm SBC BK SC∆ ⇒ ⊥
Từ đó suy ra ( ) ( ) ( )SC mp BHK mp BHK mp SAC⊥ ⇒ ⊥ (đpcm)
b. Tương tự như trên ta cũng chứng minh được: ( )SB mp CHK SB HK⊥ ⇒ ⊥
Mà ( )SC mp BHK SC HK⊥ ⇒ ⊥ .
Do đó: ( ) ( ) ( )HK mp SBC mp SBC mp BHK⊥ ⇒ ⊥
Bài 7. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng
minh rằng BM vuông góc với B’C.
Giải:
Gọi I là tâm hình vuông BCC’B’ nên I là trung điểm của B’C.
M là trung điểm AA’ nên MC=MB’ suy ra tam giác MB’C cân tại M
B
S
C
A
H
K

4. Khóa học Chuyên đề Hình học 11 - ThầyTrần Viết Kính Quan hệ vuông góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 -
N M
D
S
A B
C
K
' ; ' ' ' .B C MI B C BC B C MB⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥
Phần 2: Góc
Bài 1: Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 vuông
góc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB. Tính góc giữa AC và SD
Giải:
Ta có : AB = 2 5 ,
Gọi M là trung điểm của BC ,ta có : DM = 1
SD = 2 2
30SA AD+ = ,
SC = 2 2
29SA AC+ =
SM = 2 2
33SC CM+ =
Ta có :
2 2 2
30 1 33 1
cos
2 . 2 30 30
SD MD SM
SDM
SD MD
+ − + −
∠ = = = − (*)
Góc ϕ giữa hai đường thẳng AC và SD là góc giữa hai đường thẳng DM và SD hay ϕ bù với góc
∠ SDM . Do đó : cosϕ =
1
30
Vậy ϕ = arcos
1
30
Bài 2: Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm BC, AD. Biết AB = CD = 2a, MN = 3a .
Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và CD
Giải:
Gọi P là trung điểm AC. Khi đó MP // AB, NP // CD và MP = NP = a
( , ) ( , )AB CD MP NP⇒ ∠ = ∠
Trong tam giác MPN ta có:
2 2 2 2 2
0
2 3 1
os MPN=
2 . 2 . 2
120
MP NP MN a a
c
MP NP a a
MPN
+ − −
∠ = = −
⇒ ∠ =
Vậy 0 0
( , ) 60 ( , ) 60MP NP AB CD∠ = ⇒ ∠ =
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD=DC=a, AB=2a. SA vuông góc
với AB và AD, SA=
2 3
3
a
. Tính góc giữa 2 đường thẳng:
a, DC và SB
A
A’
B
B’
C
C’
M
I

5. Khóa học Chuyên đề Hình học 11 - ThầyTrần Viết Kính Quan hệ vuông góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 -
b, SD và BC
Giải:
a. Do / / ( , ) ( , )DC AB DC SB AB SB α⇒ ∠ = ∠ =
Tam giác SAB vuông tại A nên α là góc nhọn, khi đó 0
2 3
33tan 30
2 3
a
SA
AB a
α α= = = ⇒ =
Vậy 0
( , ) 30DC SB∠ =
b. Gọi I là trung điểm AB, khi đó AI=a. Tứ giác ADCI là hình bình hành, lại có AI=AD=a nên là hình
thoi, mà góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a 2DI a⇒ =
Tứ giác BIDC là hình bình hành nên BC // DI
Khi đó ( , ) ( , )SD BC SD DI β∠ = ∠ =
Tam giác SAI vuông tại A nên
2
2 2 2 7
3
a
SI SA AI= + =
Tam giác SAD vuông tại A nên
2
2 2 2 7
3
a
SD SA AD= + =
Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác SDI:
2 2 2 2
2 3
os
2 . 21 42
. . 2
3
SD DI SI a
c SDI
SD DI a
a a
+ −
∠ = = = >0
Suy ra SDI∠ là góc nhọn và SDI∠ =arccos
3
42
Bài 4: Cho hình lăng trụ tam giác đều . ' ' 'ABC A B C có 1, ' ( 0).AB CC m m= = > Tìm m biết rằng góc
giữa hai đường thẳng 'AB và 'BC bằng 0
60 .
Giải:
- Kẻ / / ' ( ' ')BD AB D A B∈ 0
( ', ') ( , ') 60AB BC BD BC⇒ = =
0
' 60DBC⇒ ∠ = hoặc 0
' 120 .DBC∠ =
- Nếu 0
' 60DBC∠ =
Vì lăng trụ đều nên ' ( ' ' ').BB A B C⊥
Áp dụng định lý Pitago và định lý cosin ta có
2
' 1BD BC m= = + và ' 3.DC =
Kết hợp 0
' 60DBC∠ = ta suy ra 'BDC∆ đều.
Do đó 2
1 3 2.m m+ = ⇔ =
- Nếu 0
' 120DBC∠ =
Áp dụng định lý cosin cho 'BDC∆ suy ra 0m = (loại).
Vậy 2.m =
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 3a , SD= 7a và SA
⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
Giải:
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.

6. Thank you for evaluating AnyBizSoft PDF Password Remover.
With the trial version, only the first 5 pages of each file can be exported.
To get all the pages exported, you need to purchase the software from
http://www.anypdftools.com/buy/buy-pdf-password-remover.html