metodo-de-diferencias-divididas

1. DIFERENCIAS DIVIDIDAS
13 de julio
de 2011
UNIVERSIDAD JOSE
CARLOS MARIATEGUI
METODO DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS
El método de Newton de Diferencias Divididas es otra forma de obtener el
polinomio interpolador. En este método el polinomio interpolador se escribe de la
forma:
Pn(x) = a0 + (x x0)a1 +(x x0)(x x1)a2 ++(xx0)(x x1)(xxn1)an
Y el algoritmo proporciona una regla para obtener los coeficientes a0, a1, ««, an.
Imponiendo que el polinomio interpolador pase por los puntos de interpolación
obtenemos
De estas ecuaciones, es obvio que a0 depende solo de x0 y x1 y así sucesivamente.
Introducimos la nueva notación a0=f[x0], a1=f[x0,x1], y así sucesivamente, con
f[x0]=f(x0), como se ve de la primera ecuación. Restando las dos primeras
ecuaciones obtenemos
Restando las segunda y la terceraecuación obtenemos:
Podemos proceder de igual modo para demostrar que
Aunque la forma más cómoda es por inducción. Suponemos que la expresión vale
para an-1 y construimos el polinomio de grado n, Qn(x), definido por

2. DIFERENCIAS DIVIDIDAS
13 de julio
de 2011
UNIVERSIDAD JOSE
CARLOS MARIATEGUI
donde P·n-1(x) es el polinomio interpolador en x1,««, xn. Esta claro de la definición
de Qn(x)1
que para x1, x2,«.,xn-1, Qn(xi) = P·n-1(xi), ya que P·n-1(x) ² Pn-1(x) se anula en
estos puntos. También en xn se cumple que Q(xn) = P·n-1(xn). En x0 se cumple Qn(x0) =
P·n-1(xo) ² Pn-1(x0) = Pn-1(x0) = f(x0). Luego Qn(x) coincide con Pn(x), ya que el polinomio
interpolador es único, y su coeficiente en xn
es por lo tanto an. Como hemos
supuesto que la formula de diferencias divididas es valida para Pn-1(x) y P·n-1(x),
entonces tenemos, identificando potencias en xn
en ambos lados, que el coeficiente
en xn
de Qn(x) viene dado por:
Relación que es el origen del nombre de diferencias divididas para los coeficientes
an. Podemos por lo tanto escribir el polinomio interpolador como,
Y la fórmula de aproximación a f(x) con su término de error queda en la siguiente
forma:
El método de Newton permite obtener loscoeficientes del polinomio interpolador
fácilmente en forma de tabla, que damos abajo para el caso de 4 puntos.
El método de Newton es especialmente indicado en el caso de que deseemos
realizar muchas evaluaciones del polinomio interpolador, ya que da el polinomio
preparado para ser evaluado por el algoritmo de Horner. Otro aspecto
particularmente conveniente es que, si deseamos aumentar el orden del polinomio
interpolador, los coeficientes ak ya calculados permanecen inalterados, es decir,
no destruimos el trabajo ya realizado cuando deseamos aumentar el orden del
polinomio interpolador. Se dice en este caso que los coeficientes ak tienen la
propiedad de permanencia.

3. DIFERENCIAS DIVIDIDAS
13 de julio
de 2011
UNIVERSIDAD JOSE
CARLOS MARIATEGUI
En el caso de puntos igualmente espaciados, el polinomio de Newton toma una
forma especialmente conveniente. Supongamos que tenemos una red de puntos
espaciados un paso h, de forma que xn = x0 + nh. Tenemos que:
Si introducimos la notación de diferencias finitas¨ f0 = f1 - f0 , ¨2
f0 =¨ (¨ f0 ) =
f2 - f1 ²(f1 - f0 ) =f2 ² 2f +f0 llegamos fácilmente por inducción al resultado
Ya que
El polinomio interpolador adquiere una forma particularmentesimple en el caso de
puntos igualmente espaciados. Si denotamos un punto arbitrario x, comprendido
entre x0 y xn, como x0 + sh, tenemos que el término j del polinomio interpolador se
puede expresar como:
Con esta extensión de los números combinatorios a números reales, podemos
expresar el polinomio interpolador con su término de error en la siguiente forma
extraordinariamente compacta:

4. DIF
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RESULTADOS Y CONCLUSIONES
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5. DIFERENCIAS DIVIDIDAS
13 de jEFGH
de 2011
UNIVERSIDAD JOSE
CARLOS MARIATEGUI
OBJETIVOS:
1. Que
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TVWensible Vara los alumnos con un conocimiento
mínimo Xe matemáticas;
Y. Capacitar a los alumnos para
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ue practiquen los métodos numéricos en una
computadora;
3. Elaborar programas simples que puedan usarse de manera sencilla en
aplicaciones científicas;
a
. Proporcionar software que resulte fácil de comprender.

6. DIFERENCIAS DIVIDIDAS
13 de jbcde
de 2011
UNIVERSIDAD JOSE
CARLOS MARIATEGUI
APLICACIÓN A LA INGENIERIA
A lo largo de la profesión de un ingeniero, un físico, un matemático,
frecuentemente se presentan ocasiones en las que deben ajustar curvas a un
conjunto de datos representados por puntos. fas técnicas desarrolladas para este
fin pueden dividirse en dos categorías generales: interpolación y regresión.
Consideraremos aquí la primera de estas dos categorías. Más aún, como la teoría de
aproximación polinomial es más adecuada para un primer curso de cálculo numérico,
será la que consideraremos principalmente en este trabajo.
Aunque existen formas alternativas de expresar los polinomios de
interpolación, nos concentraremos fundamentalmente en las formas de
interpolación de Newton con diferencias divididas

7. DIFERENCIAS DIVIDIDAS
13 de jghip
de 2011
UNIVERSIDAD JOSE
CARLOS MARIATEGUI
INTRODUCCION
El propósito de este trabajo es introducir a los alumnos de Cálculo Numérico,
en el uso de la técnica de ajuste de curvas por medio de la interpolación en la
solución de problemas de ingeniería, utilizando el paquete MATLAB. Además de que
se espera que los alumnos asimilen y dominen los conceptos específicos impartidos
referidos a la interpolación, se pretende que comprueben lo indispensable de la
utilización de una computadora para resolver este tipo de problemas. También se
espera, a partir de las distintas actividades propuestas a realizar por los alumnos,
que observen y reconozcan cuándo la interpolación polinomial resulta apropiada
arribando así, a resultados satisfactorios.
Es decir que en esta primer instancia, se espera que los alumnos qayan
aprendido a valorar la confiabilidad de las respuestas y ser capaces de escoger el
mejor método ro métodos) para cualquier problema que deben afrontar
frecuentemente en la práctica de la ingeniería o en diferentes problemas
científicos o tecnológicos.
Además, como resultado del análisis y comprensión de las actividades
presentadas en este trabajo, se pretende introducir a los alumnos en el uso de la
técnica de ajuste de curvas por medio de la regresión, a fin de que comprendan la
diferencia entre interpolación y regresión, y que el confundirlos puede llevarlos a
resultados erróneos.

8. DIFERENCIAS DIVIDIDAS
13 de jstuv
de 2011
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CARLOS MARIATEGUI
EJERCICIO DE APLICACIÓN
PUNTOS 0 1 2 3 4 5
x -2 -1 0 2 3 6
f(x) -18 -5 -2 -2 7 142
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En Matlab:
x=input ('ingrese los parametros x: n');
y=input ('ingrese los parametros y: n');
for i=1:n-1
for j=n:-1:i+1
y(j)=(y(j)-y(j-1))/(x(j)-x(j-i));
fprintf ('%10.4f',y(j));
end
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end

9. DIFERENCIAS DIVIDIDAS
13 de jwxy€
de 2011
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ingrese los parametros x:
[-2 -1 0 2 3 6]
ingrese los parametros y:
[-18 -5 -2 -2 7 142]
45.0000 9.0000 0.0000 3.0000 13.0000
9.0000 3.0000 -1.0000 -5.0000
1.0000 1.0000 1.0000
0.0000 0.0000
0.0000