HISTÓRIA DAS GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS

1. CAMPUS DE NAPIPINE
Curso de Licenciatura em Ensino de Matemática
Disciplina de Matemática na História
TÓPICO. HISTÓRIA DAS GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS
Docente: MEd. António C. Assane

2. 1º- Postulado: Pode-se traçar uma recta ligando quaisquer dois pontos.
2º- Postulado: pode-se continuar qualquer recta finita continuadamente em uma recta.
3º- Postulado: pode-se traçar um círculo com qualquer centro e qualquer raio.
4º- Postulado: Todos os ângulos rectos são iguais.
5º- Postulado: Se uma recta corta duas outras, forma ângulos internos, no mesmo
lado, cuja soma é menor do que dois ângulos rectos, então as duas rectas, se
continuadas, encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor do
que dois ângulos rectos.

3. Entre os estudiosos de Euclides — que estudaram a questão das paralelas —,
vários procuraram eliminar a dificuldade contida no quinto postulado, procedendo de
forma a:
i) modificar a definição de rectas paralelas;
ii) procurar substituir o quinto postulado;
iii) tentar transformar o quinto postulado em teorema.
Esses procedimentos buscam modificar a definição número 23, do livro I, incluindo, por
exemplo, o facto de as rectas paralelas serem coplanares e equidistantes (i).
Tentam substituir o quinto postulado por outro mais evidente e de mais fácil aceitação
(ii). Por último, procuram demonstrá-lo a partir dos outros postulados ou proposições
(iii).

4. O primeiro matemático a mostrar as tentativas iniciais com o propósito de eliminar a
dificuldade relacionada ao quinto postulado é Proclo de Lícia (412—485), no texto
intitulado O Postulado das Paralelas. Segundo Proclo, o primeiro a tentar
enfrentar essa dificuldade é Possidônio (século I), que define rectas paralelas
como equidistantes no plano. Mas, no pressuposto de que existam rectas coplanares
e equidistantes, esconde-se a hipótese de que o lugar geométrico dos pontos
equidistantes a uma recta é, obviamente, uma outra recta — se conjugarmos a
definição 23 com a noção comum 9 e a proposição 33, verificaremos que o
pressuposto de rectas coplanares e equidistantes já existe em Euclides — o que,
objectivamente, equivale ao quinto postulado.

5. o segundo matemático a tentar superar a dificuldade é Cláudio Ptolomeu (127—
151), que acredita haver demonstrado o quinto postulado na obra Sobre o
encontro das retas prolongadas a partir dos ângulos menores que dois retos.
Lança mão de várias demonstrações de Euclides, procurando demonstrar o
quinto postulado como um lema. Parte da demonstração de que, se uma transversal
forma com duas retas ângulos internos iguais a dois retos, essas duas retas são
paralelas, isto é, não se encontram. Mais adiante, propõe que a recíproca dessa
afirmação também é verdadeira. A proposição de Ptolomeu baseia-se no fato de
que

6. (...) quando uma recta que incide sobre outras duas e forma ângulos
internos do mesmo lado, menores que dois rectos, as duas rectas não
só não são assintóticas (...) como o seu encontro se verifica do lado
em que os ângulos são menores e não maiores que dois rectos.
Proclo adverte contra o raciocínio empregado por Ptolomeu porque acredita que o
raciocínio deste, ao dizer que uma recta, ao incidir sobre outras duas, forma de um lado
ângulos menores ou maiores que a soma de dois recto não é um raciocínio correcto de
redução ao absurdo (um absurdo, por exemplo, seria resultar igual a quatro rectos).

7. Proclo recusa-se a admiti-lo como postulado, uma vez que sua inversa, a
proposição 17 — a soma das medidas de dois ângulos de um triângulo é menor que
dois rectos — é um teorema demonstrado por Euclides, não lhe parecendo
possível que uma proposição, cuja inversa é demonstrável, também não o seja.
Procura demonstrar o quinto postulado, apoiando-se na seguinte proposição:
(...) a distância entre dois pontos situados sobre duas rectas
concorrentes pode tomar-se tão grande quanto quisermos, se
prolongarmos convenientemente as rectas.
Essa proposição é apoiada na proposição aristotélica do infinito enquanto potência.
Proclo considera-a evidente, mas ela é demonstrada por Girolamo Saccheri
(1667—1773).

8. Outro matemático, Nassir-Eddin (1201—1274), traz uma contribuição, antepondo
explicitamente ao teorema sobre a soma dos ângulos internos de um triangulo. Eis
sua hipótese fundamental:
Se uma recta U é perpendicular a uma reta W em a e se a recta V é obliqua
a W em b, então as perpendiculares traçadas de U sobre V são menores
que ab do lado em que V faz um ângulo agudo com W e maiores do lado
em que V faz um ângulo obtuso com W.
Apoia-se na idéia de que, se dois segmentos de reta ab e a'b' são congruentes e
caem em uma mesma região, isto é, em um mesmo semiplano, caso os segmentos
sejam perpendiculares a aa’ se obtém um retângulo. Nassir-Eddin conclui então que
a soma dos ângulos internos de um triangulo é 180°. Anteriormente a Nassir-Eddin,
outros dois matemáticos islâmicos, ibn al-Haithan (965—1039) — conhecido no
Ocidente como Alhazen — e Omar Khayyam (1050—1122), tratam do problema
das paralelas.

9. Alhazen parte de um quadrilátero tri-retângulo (conhecido como quadrilátero de
Lambert) e julga ter provado que o outro ângulo é reto. Omar Khayyam parte de um
quadrilátero bi-retângulo com dois lados congruentes, perpendiculares à base,
conhecido como quadrilátero de Saccheri.
Quadrilátero de Lambert quadrilátero bi-retângulo

10. Com a tradução do texto de Proclo, a crítica ao quinto postulado surge por volta de
1550. A idéia central no Renascimento é o estudo do conceito de equidistância. Entre
os matemáticos mais destacados que estudam o quinto postulado no Renascimento,
surgem: Cristopher Clavius (1537—1612), Pietro António Cataldi (1548—1626),
Giovanni Alfonso Borelli (1608—1679).
J. Wallis (1616—1703), que abandona o conceito de equidistância e parte para uma
nova tentativa de demonstração do quinto postulado, baseando-se neste conceito
fundamental: Dada uma figura, existe outra semelhante, de magnitude arbitrária.
Justifica sua proposta no fato de que Euclides postulou a existência de um circulo e
raios arbitrários e, portanto, admitiu tacitamente o principio de semelhança para
círculos.

11. A grande contribuição de J. Wallis é mostrar a possibilidade de um sistema
geométrico no qual o quinto postulado não seja válido, mas o sejam os demais
postulados de Euclides; então, nesse sistema, não poderão existir figuras
semelhantes não congruentes, ligando a grandeza da figura à de seus ângulos.
trabalhos de Girolamo Saccheri (1667—1773), fica evidenciada a impossibilidade da
demonstração do quinto postulado, a partir dos postulados anteriores. Saccheri adota
as primeiras 28 proposições do livro I de Euclides, as quais independem do postulado
quinto. Tendo assumido como hipótese adicional a não validade desse, procura, entre
as consequências da nova hipótese, alguma proposição que conduza a
validade do postulado.

12. Seu ponto de partida é um quadrilátero plano bi-retângulo isósceles. Saccheri
demonstra que os ângulos D e C são congruentes e distingue, então, três casos:
i) esses ângulos são ambos rectos (hipótese do ângulo recto);
ii) esses ângulos são ambos agudos (hipótese do ângulo agudo);
iii) esses ângulos são ambos obtusos (hipótese do ângulo obtuso).

13. As hipóteses de Saccheri correspondente a três sistemas geométricos distintos,
todos logicamente correctos:
i) hipótese do ângulo recto — Geometria Euclidiana;
ii) hipótese do ângulo agudo — Geometria Hiperbólica na qual não é verificado o
postulado quinto de Euclides. Dentro dessa hipótese, Saccheri estuda
particularmente o comportamento mútuo de duas rectas coplanares. Estabelece,
então, que ou elas se encontram ou exibem comportamento assintótico;
iii) hipótese do ângulo obtuso - verificada numa região convenientemente limitada da
esfera, sendo a recta substituída pelo círculo máximo - Geometria Elíptica.

14. Saccheri mostra que cada uma das três hipóteses formuladas se verifica num só caso
particular, será válida em qualquer outro caso; e, em correspondência
respectivamente a cada uma das hipóteses, demonstra que a soma das medidas dos
ângulos de um triângulo qualquer é igual, menor, ou maior que dois rectos. Mas
Saccheri, acreditando, "a priori", na verdade da Geometria Euclidiana, julga
erroneamente poder demonstrar que as duas hipóteses adicionais — a do ângulo
agudo e a do ângulo obtuso — são absurdas.

15. No século XVIII, o ilustre matemático J.H.Lambert (1728—1777) toma como ponto de
partida um quadrângulo plano tri-retângulo, distinguindo as seguintes hipóteses em
relação ao quarto ângulo:
i) hipótese do ângulo reto;
ii) hipótese do ângulo obtuso;
iii) hipótese do ângulo agudo.

16. No caso da hipótese do ângulo reto, Lambert deduz facilmente o sistema euclidiano.
Na segunda hipótese, utiliza-se da figura acima, onde R e S são retas
perpendiculares a reta AB. A partir dos pontos 𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑁 de R, traça
perpendiculares à reta S, encontrando, então, os segmentos 𝐴𝐵, 𝐴1𝐵1, 𝐴2𝐵2 … 𝐴𝑁𝐵𝑁.
Demonstra primeiramente que os segmentos entre R e S –(𝐴𝐵, 𝐴1𝐵1, 𝐴2𝐵2 … 𝐴𝑁𝐵𝑁) -
decrescem a partir de 𝐴𝐵 em seguida, mostra que os decréscimos ocorrem
sucessivamente entre os segmentos. Encontra que:
𝑩𝑨 − 𝑩𝑵𝑨𝑵 > 𝑨𝑩 − 𝑩𝟏𝑨𝟏 . 𝑵

17. Pelo postulado de Eudóxio-Arquimedes para N suficientemente grande, o segundo
membro da desigualdade se torna tão grande quanto o queiramos;
contraditoriamente, o primeiro membro da desigualdade é sempre menor que 𝑩𝑨.
Por esse raciocínio, Lambert diz que a hipótese e falsa.

18. Geometria Elíptica

19. Na geometria elíptica postula-se que não existe nenhuma reta paralela. Porém, a
partir da não existência de retas paralelas entramos em contradição com a
geometria neutra, que garante a existência de retas paralelas como uma
consequência imediata do Teorema dos ângulos alternos e internos, juntamente
com o axioma de congruência. Assim a geometria elíptica vai mais além, fazendo
outras substituições nos axiomas.

20. Bernhard Riemann, que era um estudante de Gauss, teve a perspicácia mais
profunda na geometria, e não apenas a lógica. Riemann inventou o conceito de
uma superfície geométrica abstrata, que não precisa estar contida no espaço
tridimensional euclidiano, onde as “rectas” podem ser interpretadas como
geodésicas e a curvatura intrínseca da superfície pode ser definida com precisão. A
geometria elíptica, também chamada de geometria esférica, “existe” em tais
superfícies que têm curvatura positiva constante, enquanto a geometria hiperbólica
de Bolyai e Lobachevsky “existe” sobre uma tal superfície de curvatura constante
negativa.

21. Então, Coutinho (1989) afirma que na geometria elíptica de Riemann abandona-se a
noção de “estar entre” e a reta não é mais infinita, mas sim limitada. E, ainda, temos um
novo postulado:
Postulado de Riemann. Quaisquer duas rectas em um plano têm
um ponto em comum.
Um modelo para essa geometria seria a superfície esférica euclidiana, onde as retas
são os círculos máximos, chamados de geodésicas da superfície esférica (Figura 1).
O que acaba sendo uma excelente geometria para resolver problemas de navegação
no globo terrestre, onde podemos observar um conjunto de geodésicas com pontos
em comum nos polos norte e sul, os meridianos. Para uma exposição mais
detalhada, consulte Coutinho (1989), capítulo 8, A navegação marítima: uma
aplicação da geometria de Riemann.

22. Figura 17: Modelo para a geometria elíptica, a esfera euclidiana

23. Geometria Hiperbólica

24. Na geometria hiperbólica o postulado de Euclides é substituído pelo que afirma que, por
um ponto dado P, fora de uma recta r, existe mais de uma reta paralela a essa recta r.
Andrade (2013), geometria hiperbólica é, por definição, a geometria que você começa
assumindo todos os axiomas para a geometria neutra e substituindo o postulado das
paralelas de Hilbert por sua negação, o que vamos chamar de “axioma hiperbólico”.
Axioma Hiperbólico ou Postulado de Lobachevsky. Na geometria hiperbólica existe uma
recta l e um ponto P não pertencente a l de tal modo que existem, pelo menos, duas
rectas distintas paralelas a l que contém P.

25. Sendo assim, a geometria hiperbólica é, de certa forma, bastante parecida com a
geometria euclidiana, pois a diferença está em um único axioma. Vale enfatizar que
todos os teoremas da geometria neutra são verdadeiros tanto na geometria
euclidiana como na geometria hiperbólica.
Teorema 1. A soma das medidas dos ângulos de um triângulo é estritamente menor
que π (dois ângulos rectos, também chamado de ângulo raso). Se ∆ABC é um
triângulo qualquer, então π menos a soma angular de ∆ABC é um número positivo.
Este número é chamado o defeito do triângulo.

26. Demonstração.
Pela geometria neutra sabemos que a soma dos ângulos interno de um triângulo é
menor ou igual a π, (teorema 1). Caso exista algum triângulo cuja soma angular
interna seja igual a dois ângulos retos implicará no postulado das paralelas e a
recíproca é verdadeira (teorema 1). Ou seja, uma contradição com o axioma
Hiperbólico. Logo, na geometria hiperbólica, a soma das medidas angulares internas
de qualquer triângulo é menor que dois ângulos retos.

27. Corolário 1.
Todos os quadriláteros convexos têm soma angular inferior a dois ângulos rasos (2π).
Em particular, não existem rectângulos.
Demonstração.
Dado um quadrilátero convexo qualquer ABCD (Figura 2). Tome a diagonal AC e
considere os triângulos ∆ABC e ∆ACD; pelo teorema 1, esses triângulos têm soma
dos ângulos inferiores a π. A suposição de que ABCD é convexo implica que AC está
entre AB e AD e que CA está entre CB e CD, de modo que ∠BAC + ∠CAD = ∠BAD e
∠ACB + ∠ACD = ∠BCD. Ao adicionar todos os seis ângulos, vemos que a soma dos
ângulos internos de ABCD é menor que 2π, implicando, também, a não existência de
rectângulos.

28. Figura 2: Quadrilátero convexo
O Teorema Hiperbólico Universal, teorema 2, que é decorrência do corolário 1 do
teorema 1, garante a existência de pelo menos duas rectas paralelas a toda e
qualquer recta do plano hiperbólico.

29. Teorema 2 (Teorema Hiperbólico Universal). Sejam uma recta l e um ponto P, não
contido em l, existem, pelo menos, duas paralelas distintas a l passando por P.
Demonstração.
Trace uma perpendicular 𝑃𝑄 a reta l e trace uma recta m que passe por P, de modo
que seja perpendicular a 𝑃𝑄. Seja R outro ponto em l, erga uma perpendicular t para l
através de R, e baixe uma perpendicular 𝑃𝑆 para t (Figura 3). Agora 𝑃𝑆 é paralela a l,
uma vez que são ambos perpendiculares a t (teorema 4: Teorema dos ângulos
alternos internos. Se duas rectas são intersectadas por uma terceira recta de modo
que os ângulos alternos internos são congruentes, então as duas rectas não se
intersectam, ou seja, são paralelas).

30. Afirmamos que m e 𝑃𝑆 são rectas distintas. Suponha, por contradição, que S
encontra-se em m. Então PQRS é um rectângulo. Isso contradiz o corolário 1.
Logo para cada recta l e para cada ponto P, não contido em l, passam por P, pelo
menos, duas paralelas distintas para l.

31. Figura 3: Teorema Hiperbólico Universal

32. Corolário 2. Na geometria hiperbólica, para cada recta l e cada ponto P não contido
em l, há uma infinidade de paralelas a l através P.

34. Referencial Bibliografico
Santos, W. T. Dos., (2016). A história do quinto postulado, as geometrias
não-euclidianas e suas implicações no pensamento científico/ Wellington
Tavares dos Santos.
Baladão, P. de O., Geometrias não-Euclidianas: O Desenvolvimento da
Geometria Hiperbólica
Souza, A. C. C. De. (1993), Aspectos históricos das Geometrias não-
euclidianas, Bolema, Rio Claro-SP, v. 8, n. 9.