1. JUAN PABLO FERNANDEZ ZUÑIGA 11310120 B209
INGENIERÍA INDUSTRIAL
ECUACIONES DIFERENCIALES DE
CAUCHY-EULER

2. Las ecuaciones de EULER o CAUCHY-EULER son ecuaciones
lineales con coeficientes variables que pueden
transformarse, mediantes cambio de variables, en
ecuaciones con coeficientes constantes
La ecuación de CAUCHY-EULER de orden 𝑛 tiene la siguiente
forma general
𝑎𝑛𝑥𝑛
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
+ 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1
𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑥𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0𝑦
= 𝑔 𝑥
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎0, 𝑎1 … 𝑎𝑛 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

3. Este tipo de ecuaciones diferenciales se puede reducir
a una ecuación diferencial de coeficientes constantes,
si se realiza el siguiente cambio de variable
𝑥 = 𝑒𝑡
La solución de ecuaciones se deduce de una manera
análoga asimismo la ecuación no homogénea
𝑎𝑥2
𝑦′′
+ 𝑏𝑥𝑦′
+ 𝑐𝑦 = 𝑔 𝑥 se resuelve mediante
una variación de parámetros.

4. CASO 1
r1 ≠ r2 REALES y(t) = c1℮r1t + c2℮r2t
CASO 2
r1 = r2 DIFERENTES REALES y(t) = ℮r1t(c1 + c2t)
CASO 3
r1 ≠ r2 COMPLEJAS (t = α + βί) y(t) = ℮αt (c1cosβt + c2senβt)
MÉTODOS DE SOLUCIÓN

5. EJEMPLOS

6. EJEMPLO1
CASO 1
 3𝑥2
𝑦′′
− 4𝑥𝑦′
+ 2𝑦 = 0
 Para 𝑥 > 0 se hace 𝑥 = 𝑒𝑡
o 𝑡 = ln 𝑥
 𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑡
1
𝑥
∶ 𝑦′′
=
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
1
𝑥2 −
𝑑𝑦
𝑑𝑦
1
𝑥2
 En la ecuación diferencial
 3
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2 −
𝑑𝑦
𝑑𝑡
− 4
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 2𝑦 = 0 3
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2 − 7
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 2𝑦 = 0
 Ecuación característica
 3𝑟2 − 7𝑟 + 2 = 0 → 𝑟1 = 2, 𝑟2 = 1
3
 𝑦 𝑡 = 𝑐1𝑒2𝑡 + 𝑐2𝑒
𝑡
3
r1 ≠ r2 REALES
y(t) = c1℮r1t + c2℮r2t
SOLUCIÓN
x ≠ 0
𝑦 𝑥 = 𝑐1𝑥2
+ 𝑐2 𝑥
1
3

7. EJEMPLO 2
CASO 2
 𝑥2𝑦′′ + 3𝑥𝑦′ + 𝑦 = 0
 Para 𝑥 > 0 se hace 𝑥 = 𝑒𝑡 o 𝑡 = ln 𝑥

𝑑2𝑦
𝑑𝑡2 −
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 3
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑦 = 0
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2 + 2
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑦 =
0
 Ecuación característica
 𝑟2 + 2𝑟 + 1 = 0 → 𝑟1 = −1, 𝑟2 = −1
 𝑦 𝑡 = 𝑒−𝑡 𝑐1 + 𝑐2𝑡
r1 = r2 DIFERENTES REALES
y(t) = ℮r1t(c1 + c2t)
SOLUCIÓN
x ≠ 0
𝑦 𝑥 =
1
𝑥
𝑐1 + 𝑐2 ln 𝑥 𝑥 ≠ 0

8. EJEMPLO 3
CASO 3
 𝑥2
𝑦′′
+ 3𝑥𝑦′
+ 5𝑦 = 0
 Para 𝑥 > 0 se hace 𝑥 = 𝑒𝑡
o 𝑡 = ln 𝑥

𝑑2𝑦
𝑑𝑡2 −
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 3
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 5𝑦 = 0
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2 + 2
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 5𝑦 =
0
r1 ≠ r2 COMPLEJAS (t = α + βί)
y(t) = ℮αt (c1cosβt + c2senβt)
SOLUCIÓN
x > 0
𝑦 𝑥 =
1
𝑥
𝑐1 cos 2 ln 𝑥 + 𝑐2 sin 2 ln 𝑥
 Ecuación característica aquí se empleara la formula
general 𝑟 =
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
para obtener las raíces
resultantes
 𝑟2
+ 2𝑟 + 5 = 0 → 𝑅𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠: 𝑟 = −1 ± 2𝑖
 𝑦 𝑡 = 𝑒−𝑡
𝑐1 cos 2𝑡 + 𝑐2 sin 2𝑡

9.  http://es.scribd.com/doc/18121754/ECUACION-DE-CAUCHY
 http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Ecuacion_de_cauchy-euler
BIBLIOGRAFÍA