Este documento discute conceitos fundamentais sobre funções matemáticas. Define o que é uma função e seus elementos constituintes, como domínio, conjunto de chegada e correspondência entre elementos. Apresenta diferentes formas de representar funções, incluindo expressões algébricas, diagramas de setas, gráficos cartesianos e tabelas. Discutem-se propriedades e tipos de funções como injetivas, sobrejetivas e bijetivas.

1. Funções
Matemática A 10.º ANO

2. Revisões

3.  Uma função 𝑓 é uma correspondência de cada elemento de A com um e
um só elemento de B.
A função 𝑓 designa-se por: 𝑓: 𝐴 → 𝐵
 Os elementos de A são os objetos da função
 Os elementos de B são as imagens da função
Função (Aplicação de A em B)
Pedro Teixeira
A
a
b
c
B
α
𝛽
𝛾
𝜇
𝑓

4.  Dominio: conjunto de todos os objetos de 𝑓
 𝐷𝑓 = 𝐴 = 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜𝑠 = 𝑎, 𝑏, 𝑐
 Contradomínio corresponde às imagens de 𝑓
 𝐶𝐷𝑓 = 𝐷𝑓
′
= 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠 = 𝛼, 𝛽, 𝛾 = 𝐶
 Conjunto de chegada: corresponde ao conjunto B, que é um conjunto que
contém o contradomínio de 𝑓
 𝐶𝐶 = 𝐵 = {𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝜇}
 𝐶𝐷𝑓 ⊆ 𝐶𝐶
Pedro Teixeira
Domínio, contradomínio e
conjunto de chegada

5. Pedro Teixeira
Domínio, contradomínio e conjunto
de chegada
𝐷𝑓
𝐶𝐷𝑓
𝐶𝐶

6. 𝑓 = 𝑔
Se e somente se
 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥)
 𝐷𝑓 = 𝐷𝑔
Pedro Teixeira
Igualdade de funções
Expressão
algébrica de
𝑓
Expressão
algébrica de
𝑔

7.  Expressão algébrica 𝑓(𝑥)
 Diagrama de setas
 Gráfico cartesiano
 Gráfico
 Tabela
Pedro Teixeira
Formas de representar uma função
 Fixando um referencial cartesiano num
plano, o gráfico cartesiano de uma dada
função numérica 𝑓, de variável numérica,
é o conjunto constituído pelos pontos
do plano cuja ordenada é a imagem por
𝑓 da abcissa.
 O gráfico cartesiano de 𝑓 chama-se
gráfico de 𝑓 quando esta informação não
for ambígua

8.  O gráfico de uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é o conjunto de pares
ordenados (𝑥; 𝑦), onde 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑦 = 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵.
 Representa-se por:
𝐺𝑓 = { 𝑥; 𝑦 : 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝑓(𝑥)}
Pedro Teixeira
Gráfico de uma função

9. Pedro Teixeira
Teste da reta vertical

10. Função Afim

11. Representação gráfica de uma
função afim


12. Função identidade
• A representação gráfica da função identidade
corresponde à bissetriz dos quadrantes impares
x
y
y=x

13. Pedro Teixeira
Uma função só fica definida se se
conhecer o domínio, o conjunto de
chegada e a correspondência entre
os elementos do domínio e os
elementos do conjunto de chegada

14. Produto Cartesiano de
Conjuntos

15.  Dados os conjuntos A e B, o produto cartesiano de A por B, que se
representa por 𝐴 × 𝐵, é o conjunto dos pares ordenados (𝑎, 𝑏) tais que a
pertence a A e b pertence a B
𝐴 × 𝐵 = { 𝑎, 𝑏 : 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵}Pedro Teixeira
Produto cartesiano de dois
conjuntos

16.  Propriedade:
Se #A = m e #B = n , então #A*B= #A*#B=m*n
Se 𝐴 = 𝐵, então 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 × 𝐴 = 𝐴2
 Recordar:
𝐴 = ℝ
ℝ2
= { 𝑥, 𝑦 : 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ}
ℝ3 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 : 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ}
Pedro Teixeira
Produto cartesiano de dois
conjuntos

17. Generalização sobre
Funções

18. Função Real de Variável Real
ℝ
a
b
c
ℝ
α
𝛽
𝛾
𝜇
𝑓
𝐶𝐷𝑓

19. Caracterizar uma função
 Para caracterizar uma função 𝑓 é necessário saber o
seu domínio, 𝐷𝑓, o conjunto de chegada, 𝐶𝐶, e a
expressão analítica, 𝑓(𝑥)
𝑓: 𝐷𝑓 ⟶ 𝐶𝐶
𝑥 𝑓(𝑥)
Também
pode ser o
𝐶𝐷𝑓

20. Domínio de uma F.R.V.R.
 Quando uma função real de variável real é definida por meio de
uma expressão analítica, e nada é indicado em contrário,
considera-se que o domínio é o conjunto de todos os valores
reais que podemos atribuir à variável, de tal forma que a
expressão obtida tenha significado.
Relativamente ao domínio de uma função:
• O domínio de um radical de índice par são todos os valores não
negativos que o radicando pode tomar
• 𝑓 𝑥 = 𝑛
𝛼, com n par ⟹ 𝑫 𝒇 = {𝒙 ∈ ℝ: 𝜶 ≥ 𝟎}
• O domínio da divisão de polinómios corresponde a todos os
valores de 𝑥 em que o dominador não tome o valor de zero
• 𝑔 𝑥 =
𝑛 𝑥
𝑑 𝑥
⟹ 𝑫 𝒈= {𝒙 ∈ ℝ: 𝒅(𝒙) ≠ 𝟎}

21. Gráfico de uma Função
 Um conjunto 𝐺 ⊂ 𝐴 × 𝐵 é o gráfico de uma função de A em B quando
e apenas quando para todo o 𝑎 ∈ 𝐴 existir um e somente um elemento
𝑏 ∈ 𝐵, tais que 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺

22. Restrição de uma função

23. Conjunto de imagem de uma
Restrição

24. Composição de Funções

25.  Duas funções dizem-se permutáveis se e só se 𝑓 ∘ 𝑔=𝑔 ∘ 𝑓
 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥
 𝐷𝑓∘𝑔 = 𝐷𝑔∘𝑓
Pedro Teixeira
Funções permutáveis
Exemplo:
𝑓: 𝑥 ⟼ 𝑥2
𝑔: 𝑥 ⟼
1
𝑥

26. A composição de funções goza da propriedade
comutativa:
𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ = 𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ), para quaisquer três
funções reais de variável real, 𝑓, 𝑔 e ℎ.
Pedro Teixeira
Propriedade associativa da
composição de funções

27. Função injetiva
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓, 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑥2 ⟺ 𝑥1 = 𝑥2
O gráfico de uma função injetiva não pode conter pares
ordenados diferentes com a mesma ordenada.

28. Teste da Reta Horizontal

29. Teste da Reta Horizontal

30.  Uma função sobrejetiva é aquela que o contradomínio coincide
com o conjunto de chegada. 𝐶𝐷𝑓 = 𝐶𝐶
Pedro Teixeira
Função Sobrejetiva

31. Função Sobrejetiva
A função f é sobrejetiva A função g não é sobrejetiva

32. Função Bijetiva

33. Pedro Teixeira
Função inversa de uma
função bijetiva
Seja 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 uma função bijetiva.
Então para qualquer 𝑏 ∈ 𝐵 existe um e um só 𝑎 ∈ 𝐵 tal que
𝑓 𝑎 = 𝑏.
Função inversa
Dados conjuntos 𝐴 e 𝐵 e uma função bijetiva 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵, a
função inversa de 𝑓 é a função 𝑓−1: 𝐵 ⟶ 𝐴, tal que
∀𝑏 ∈ 𝐵, 𝑓−1
𝑏 = 𝑎 ⟺ 𝑓 𝑎 = 𝑏.
Definição

34. Sabe-se que:
 𝐷𝑓 = 𝐶𝐷 𝑓−1 = 𝐶𝐶𝑓−1
 𝐶𝐶𝑓 = 𝐷 𝑓−1
 Expressão analítica:
Pedro Teixeira
Caracterização de uma função
inversa
𝑓−1
: 𝐶𝐷𝑓 ⟶ 𝐷𝑓
𝑥 𝑓−1(𝑥)
↶

35. Gráfico da função inversa

36. Gráfico da função inversa
Se, de algum modo, o gráfico
de 𝑓 coincidir com o gráfico da
sua inversa, então esse ponto
pertence à reta 𝑦 = 𝑥 ⟹
𝑃 𝑥, 𝑥 𝑜𝑢 𝑃(𝑦, 𝑦)

37. Propriedade das funções inversas
𝑓𝑜𝑓−1 𝑥 = 𝑓−1 𝑜 𝑓 𝑥 = 𝑥
Composição da função com a sua inversa

38. Pedro Teixeira
Função Par
 Uma função é par quando para todo o x pertencente ao domínio
de f, 𝑓 𝑥 = 𝑓(−𝑥)
∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓: −𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∧ 𝑓 𝑥 = 𝑓(−𝑥)
Graficamente, a função tem um eixo de simetria em 𝑂𝑦

39.  Uma função é impar quando para todo o x
pertencente ao domínio de f, 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)
∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓: −𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∧ 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)
Graficamente, objetos simétricos apresentam imagens
simétricas. Esses dois pontos apresentam-se como
simétricos em relação à origem do referencial O.
Pedro Teixeira
Função Impar

40. Transformações do gráfico
de uma função

41. Translações
verticais
𝒈 𝒙 = 𝒇 𝒙 + 𝒄

42. Translações horizontais
𝒈 𝒙 = 𝒇 𝒙 − 𝒄

43. Translações associadas ao vetor
𝒖 = (𝒂, 𝒃)
𝒈 𝒙 = 𝒇 𝒙 − 𝒂 + 𝒃

44.  Dado um plano munindo de um referencial cartesiano, a
transformação 𝜑 do plano que ao ponto 𝑃(𝑥, 𝑦)associa o ponto
𝜑𝑃 = 𝑃′(𝑥, 𝑎𝑥) designa-se por:
 Contração vertical: 0 < 𝑎 < 1
 Dilatação vertical: 𝑎 > 1
Pedro Teixeira
Dilatação e contração vertical

45.  Dados um plano munido de um referencial cartesiano e uma
função real de variável real 𝑓, diz-se que o gráfico da função 𝑔
definida em 𝐷𝑔 = 𝐷𝑓 por 𝑔 𝑥 = 𝑎𝑓(𝑥) é a imagem go gráfico de
𝑓 por uma:
 Contração vertical de coeficiente 𝑎, se 0 < 𝑎 < 1
 Dilatação vertical de coeficiente 𝑎, se 𝑎 > 1
Pedro Teixeira
Dilatação e contração vertical do
gráfico de uma função

46.  Dado um plano munido de um referencial cartesiano, a
transformação 𝜑 do plano que ao ponto 𝑃(𝑥, 𝑦) associa o ponto
𝜑𝑃 = 𝑃′(𝑎𝑥, 𝑦) designa-se:
 Contração horizontal de coeficiente 𝑎 se 0 < 𝑎 < 1
 Dilatação horizontal de coeficiente 𝑎 se 0 < 𝑎 < 1
Pedro Teixeira
Dilatação ou contração horizontal

47.  Dados um plano munido de um referencial cartesiano e uma
função real de variável real 𝑓, diz-se que o gráfico da função 𝑔
definida em 𝐷𝑔 =
𝑥
𝑎
, 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 por 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑎𝑥) é a imagem do
gráfico de 𝑓 por uma:
 Dilatação horizontal de coeficiente 𝑎, se 0 < 𝑎 < 1
 Contração horizontal de coeficiente 𝑎, se 𝑎 > 1
Pedro Teixeira
Dilatação ou contração horizontal
do gráfico de uma função

48.  Reflexão de eixo Ox
Dado um plano munido de um
referencial cartesiano, o gráfico de uma
função 𝑔 definida em 𝐷𝑔 = 𝐷𝑓 por
𝑔 𝑥 = −𝑓 𝑥 é a imagem do gráfico de
𝑓 pela reflexão de eixo Ox
Pedro Teixeira
Reflexão de um gráfico de uma
função

49.  Reflexão de eixo Oy
Dado um plano munido de um referencial cartesiano, o gráfico de
uma função 𝑔 definida em 𝐷𝑔 = {−𝑥: 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓} por 𝑔 𝑥 = 𝑓 −𝑥 é a
imagem do gráfico de 𝑓 pela reflexão de eixo Oy
Pedro Teixeira
Reflexão de um gráfico de uma
função

50.  Considere a função 𝑓, de expressão algébrica que
sofreu transformações, tornando-se na função 𝑔, de
expressão algébrica
𝑔 𝑥 = 𝐴𝑓 𝐵 𝑥 − 𝐶 + 𝐷
 Descreve como cada fator faz variar a função
Pedro Teixeira
Revisão sobre transformação de
uma função

52. Monotonia e extremos de
uma função

53. Pedro Teixeira
Zeros de uma função

54. Pedro Teixeira
Sinal de uma função

55.  Dado uma função real de variável real 𝑓, 𝑓 é crescente num
intervalo A se para qualquer dois elementos 𝑥1 𝑒 𝑥2 pertencentes
a A,
Se 𝑥1 < 𝑥2, então 𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2)
Matematicamente,
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2
Se A= 𝐷𝑓 , então 𝑓 é estritamente crescente em todo o seu
domínio.
Pedro Teixeira
Função (estritamente) crescente

56.  Dado uma função real de variável real 𝑓, 𝑓 é crescente num
intervalo A se para qualquer dois elementos 𝑥1 𝑒 𝑥2 pertencentes
a A,
Se 𝑥1 < 𝑥2, então 𝑓 𝑥1 ≤ 𝑓(𝑥2)
Matematicamente,
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓 𝑥1 ≤ 𝑓 𝑥2
Se A=𝐷𝑓, então 𝑓 é crescente em sentido lato em todo o seu
domínio.
Pedro Teixeira
Função crescente em sentido lato

57. Função crescente
Estritamente crescente Crescente em sentido lato
Pedro Teixeira

58.  Dado uma função real de variável real 𝑓, 𝑓 é crescente num
intervalo A se para qualquer dois elementos 𝑥1 𝑒 𝑥2 pertencentes a
A,
Se 𝑥1 < 𝑥2, então 𝑓 𝑥1 > 𝑓(𝑥2)
Matematicamente,
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2
Se A=𝐷𝑓 , então 𝑓 é estritamente decrescente em todo o seu
domínio.
Pedro Teixeira
Função (estritamente) decrescente

59.  Dado uma função real de variável real 𝑓, 𝑓 é crescente num intervalo
A se para qualquer dois elementos 𝑥1 𝑒 𝑥2 pertencentes a A,
Se 𝑥1 < 𝑥2, então 𝑓 𝑥1 ≥ 𝑓(𝑥2)
Matematicamente,
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓 𝑥1 ≥ 𝑓 𝑥2
Se A=𝐷𝑓 , então 𝑓 é decrescente em sentido lato em todo o seu
domínio.
Pedro Teixeira
Função decrescente em sentido lato

60. Função decrescente
Estritamente decrescente Decrescente em sentido lato
Pedro Teixeira

61.  Dado uma função real de variável real 𝑓 e A⊂
𝐷𝑓, 𝑓 é monótona em A se é (só) crescente ou
(só) decrescente em A.
 Se A=D, diz-se que 𝑓 é monótona.
INTERVALO DE MONOTONIA
 Dada uma função real de variável real
𝑓e I⊂D diz que I é um intervalo de monotonia de 𝑓
se 𝑓 é monótona em I.
Função monótona

62.  Dada uma função real de variável real, f é constante em
A se para quaisquer elementos 𝑥1 e 𝑥2 de A, 𝑓 𝑥1 =
𝑓 𝑥2 .
 Se A=D, diz-se que f é constante
Matematicamente,
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⟹ 𝑓 𝑥1 = 𝑓(𝑥2)
Trata-se de uma função monótona em
sentido lato
Pedro Teixeira
Função constante

63.  A monotonia da função pode ser apresentada numa tabela de
variação.
 Também pode ser demonstrado por intervalos de monotonia
Estudo da monotonia de uma
função

64. Pedro Teixeira
Monotonia de uma função afim
Demonstração.

65. Pedro Teixeira
Monotonia de uma função
quadrática do tipo 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 𝟐
Demonstração.
∀𝑥1, 𝑥2 ∈] − ∞; 0], 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2)
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ [0; +∞[, 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ [0; +∞ , 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1 > 𝑓(𝑥2)
∀𝑥1, 𝑥2 ∈] − ∞; 0], 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)

66. Pedro Teixeira
Função majorada e minorada
 Uma função diz-se majorada, se apresentar o conjunto dos majorantes.
 O conjunto dos majorantes de 𝑓 são todos os valores maiores ou iguais a 𝑀
se ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓, 𝑓 𝑥 ≤ 𝑀
 Uma função diz-se minorada, se apresentar o conjunto dos minorantes.
 O conjunto dos minorantes de 𝑓 são todos os valores menores ou iguais a 𝑚
se ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓, 𝑓 𝑥 ≤ 𝑚
CC
f(x)
Minorantes Majorantes

67.  Uma função é majorada se for, simultaneamente, majorada e
minorada.
 Conjunto dos majorante: M = [1; +∞[
 Conjunto dos minorantes: 𝑚 = ] − ∞; −1] Pedro Teixeira
Função limitada
M
m

68. Pedro Teixeira

69. Pedro Teixeira
Extremo absoluto
Sendo 𝑓 𝑎 um extremo absoluto, então 𝑓(𝑎) pertence ao conjunto
dos minorantes / majorantes

71. Pedro Teixeira
Vizinhança 𝒓 de 𝒙 𝟎

72. Pedro Teixeira
Extremos relativos

73. Pedro Teixeira
Conclusões sobre os extremos
relativos

74. Pedro Teixeira
Concavidade do gráfico de uma
função

75. Concavidade do gráfico de uma
função

76. Pedro Teixeira
Critérios de concavidade

77.  O gráfico de uma função definida, em ℝ, por 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
, com 𝑎 ≠
0, tem, em todo o domínio, a concavidade:
 Voltada para cima se 𝑎 > 0
 Voltada para cima se 𝑎 < 0
Demonstra matematicamente
Concavidade do gráfico 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 𝟐

78. Função Quadrática. Função
Módulo.

79.  Expressões algébricas (𝑎 ≠ 0):
 𝑓 𝑥 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2), sendo 𝑥1 e 𝑥2 os zeros da função
 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2
+ 𝑘
 O gráfico da função quadrática é uma parábola de vértice 𝑉(ℎ; 𝑘) e de
eixo vertical (de simetria) 𝑥 = ℎ
Pedro Teixeira
Função Quadrada

80. Pedro Teixeira
Funções do tipo 𝒚 = 𝒂𝒙 𝟐
, 𝒂 ≠ 𝟎

81. Pedro Teixeira
Funções do tipo 𝒚 = 𝒂 𝒙 − 𝒉 𝟐
+ 𝒌, 𝒂 ≠ 𝟎

82. Pedro Teixeira

83.  Sabe-se que 𝑉(ℎ, 𝑘)
Sejam 𝑥1 e 𝑥2 os zeros da função, ℎ =
𝑥1+𝑥2
2
E 𝑘 = 𝑓 ℎ = 𝑓
𝑥1+𝑥2
2
Pedro Teixeira
Como determinar o vértice através
dos zeros da função

84.  Sabe-se que a partir do binómio discriminante, ∆= 𝑏2 −
4𝑎𝑐 (em 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐), é possível verificar o número de zeros da
função:
Pedro Teixeira
Inequações do segundo grau

85.  Passos a seguir para realizar uma inequação do segundo grau:
 Colocar a inequação na forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0
 Verificar a concavidade da função
𝑎 > 0 ∶ ↑
𝑎 < 0 ∶ ↓
 Determinar os zeros da função (formula resolvente)
 Fazer um esboço da função (faz-se unicamente o 𝑂𝑥)
 Determinar o conjunto solução
Pedro Teixeira
Inequações do segundo grau
Ou <; ≤; >

86. Pedro Teixeira

87.  As funções definida por ramos são as funções que têm uma
expressão algébrica diferente segundo o intervalo em que estão
definidas.
Pedro Teixeira
Funções definida por ramos

88. Pedro Teixeira
Gráfico de uma função módulo

89. Pedro Teixeira
Gráfico de uma função 𝒚 = |𝒇 𝒙 |

90.  A-> dilatação ou contração vertical
 C -> translação horizontal
 D -> translação vertical
 O vértice da função
módulo é 𝑉(𝑐; 𝑑).
Pedro Teixeira
Funções do tipo 𝒚 = 𝒂 𝒙 − 𝒄 + 𝒅

91.  𝑥 = 𝑘 ⟺ 𝑥 = 𝑘 ∨ 𝑥 = −𝑘, 𝑘 > 0
 𝑥 < 𝑘 ⟺ 𝑥 < 𝑘 ∧ 𝑥 > −𝑘
 𝑥 ≤ 𝑘 ⟺ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑥 ≥ −𝑘
 𝑥 > 𝑘 ⟺ 𝑥 > 𝑘 ∨ 𝑥 < −𝑘
 𝑥 ≥ 𝑘 ⟺ 𝑥 ≥ 𝑘 ∨ 𝑥 ≤ −𝑘
 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 = −𝑦
 * 𝑥 × 𝑦 = 𝑥 × |𝑦|
 * 𝑥 𝑛
= 𝑥 𝑛
, 𝑛 ∈ ℕ
 *
𝑥
𝑦
=
𝑥
𝑦
Pedro Teixeira
Resolução de equações e
inequações com ramos

92. Função raiz quadrada.
Função raiz cubica.
Operação com funções

93. Pedro Teixeira
Funções polinomiais

94. Pedro Teixeira
Estudo das funções polinomiais

95. Pedro Teixeira
Estudo das funções polinomiais

96. Pedro Teixeira
Estudo das funções polinomiais

97.  Trata-se da inversa da restrição da função quadrática em ℝ0
+
𝑔 𝑥 = 𝑥2
𝑔−1 𝑥 = 𝑥
Pedro Teixeira
Função raiz quadrada

98. Função raiz quadrada

99.  Trata-se da inversa da restrição da função cúbica em ℝ
𝑔 𝑥 = 𝑥3
𝑔−1 𝑥 = 3
𝑥
Pedro Teixeira
Função raiz cúbica

100. Pedro Teixeira
Função raiz cúbica

101. Pedro Teixeira
Equações irracionais

102. Pedro Teixeira
Inequações irracionais

103. Função soma e função produto
Dadas duas funções f: Df →IR e g: Dg →IR, as funções:
f + g: Df ∩Dg → IR e f × g: Df ∩Dg → IR
designam-se, respetivamente, por soma de f com g e produto
de f com g e são definidas pelas expressões:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
e
(fg)(x) = f(x) × g(x),
respetivamente.

104. Função quociente
Dadas duas funções f: Df →IR e g: Dg →IR, a função:
designa-se por quociente de f por g e é definida pela expressão:
   IRxgDgxDgDf
g
f
 0::
   
 xg
xf
x
g
f






.

105. Produto de uma função por um escalar
Dada uma função f: Df →IR e um número real α, a função:
designa-se por produto de f pelo escalar α e é definida pela expressão:
IRDff :
    xfxf  
.

106. Função potência de uma função
Dada uma função f: Df →IR e um número racional r, a função:
designa-se por potência de expoente r de f e é definida pela expressão:
.
Sendo o domínio de fr o conjunto de valores de x Df tais que a expressão
(f(x))r representa um número real.
IRDf r
f
r
:
    rr
xfxf 
