SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
Chứng minh ba điểm thẳng hàng và hai điểm trùng nhau
1. CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ HAI ĐIỂM
TRÙNG NHAU
Bài 1: Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
.Chứng minh B, A, C thẳng hàng.
𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ – 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
3 điểm B , A, C thẳng hàng
Bài 2 : Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD
lấy điểm K sao cho 𝐵𝐻 =
1
5
𝐵𝐶; 6𝐵𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Chứng minh A, K, H
thẳng hàng.
𝐵𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
5
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
5𝐵𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
5𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 5𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
5𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 5𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
5𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 5𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
5𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 5𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
6𝐵𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗
6𝐵𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2. 6𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 6𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
6𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 5𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
Từ (1) , (2)
5𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 6𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
6
5
𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗
A, H , K thẳng hàng
Bài 3: Cho I, J ,K lần lượt được xác định bởi
𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ = 2𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ ; 𝐽𝐶⃗⃗⃗⃗ = −1/2 𝐽𝐴⃗⃗⃗⃗ và 𝐾𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐾𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .Chứng minh I, J, K
thẳng hàng.
𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ = 2𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗
𝐾𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐾𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐾𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝐾𝐼⃗⃗⃗⃗⃗
− 𝐾𝐼⃗⃗⃗⃗ + 2𝐾𝐼⃗⃗⃗⃗ = 2𝐾𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐾𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐾𝐼⃗⃗⃗⃗ = 2𝐾𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐾𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
𝐽𝐶⃗⃗⃗⃗ = −1/2 𝐽𝐴⃗⃗⃗⃗
2𝐽𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = − 𝐽𝐴⃗⃗⃗⃗
2𝐾𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝐾𝐽⃗⃗⃗⃗ = −𝐾𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐾𝐽⃗⃗⃗⃗
−2𝐾𝐽⃗⃗⃗⃗ – 𝐾𝐽⃗⃗⃗⃗⃗ = − 𝐾𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝐾𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
3𝐾𝐽⃗⃗⃗⃗ = 𝐾𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐾𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
Từ (1), (2)
𝐾𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐾𝐽⃗⃗⃗⃗⃗
3. 3 điểm K, I . J thẳng hàng
Bài 4 :Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần
lượt lấy các điểm M, N, P sao cho 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑁𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ ;
𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
a) 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ¾ 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + ½ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ¾ 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ¾ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ½ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −
3
4
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
3
2
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ¾ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – ½ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
b) 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
−𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
2𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
𝑁𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗
4. 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
−𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 3𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −3𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗
4𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
Từ (1), (2)
2𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
P, M , N thẳng hàng
Bài 5 : Cho tam giác ABC. Hai điểm I, J được xác định bởi : 𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ +
3𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗ ; 𝐽𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐽𝐵⃗⃗⃗⃗ + 3𝐽𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗ . Chứng minh I, J, B thẳng hàng
𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ + 3𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
−4𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
4𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
𝐽𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐽𝐵⃗⃗⃗⃗ + 3𝐽𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
6𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
Từ (1), (2)
4𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ = 6𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ =
3
2
𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗⃗
I, J , B thẳng hàng
5. Bài 6 : Cho tam giác ABC.Hai điểm M,N lần lượt được xác định bởi
3𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗ ; 𝑁𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ . Chứng minh G, M, N thẳng
hàng với G là trọng tâm của tam giác ABC
3𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
3𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 4𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
7𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
𝑁𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
2𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
Từ (1) + (2)
7𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
7𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 ( 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
7𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −
2
7
𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗
G, M, N thẳng hàng với G là trọng tâm của tam giác ABC
Bài 7: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
0⃗⃗⃗ = 𝑁𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗ .
a) Tính vecto PM, PN theo AB, AC
b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng
𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – ½ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
6. 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ½ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ½ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2/3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ½ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ –
2
3
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +
2
3
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
2
3
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2/3 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – ½ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
b) 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
𝑁𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
3𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
Từ (1) , (2)
𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
P, M , N thẳng hàng
Bài 8:Cho tam giác ABC. Về phía ngoài tam giác vẽ các hình bình
hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh các tam giác RIP , JQS có
cùng trọng tâm.
Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác RIP, tam gíac JQS
7. Ta có : 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐽⃗⃗⃗ + 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗
= 𝑅𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺’𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐺⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺’𝐽⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺’𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐽⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Mà 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐼𝐽⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺⃗⃗⃗⃗⃗
0⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
Tam giác RIP và tam giác JQS có cùng trọng tâm
Bài 9 : Cho tam giác ABC,A’ là điểm đối xứng của A qua B, B’ là
điểm đối xứng của B qua C, C’ là điểm đối xứng của C qua A. Chứng
minh các tam giác ABC, A’B’C’ có chung trọng tâm.
Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, A’B’C’.
Ta có : 𝐴𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗
0⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
8. G là trọng tâm của tam giác A’B’C’
Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có chung trọng tâm
Bài 10: Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ là các điểm định bởi
2𝐴’𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐴’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗ ; 2𝐵′𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐵′𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗ ; 2𝐶′𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐶′𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗ .
Chứng minh các tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có cùng trọng
tâm.
Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, A’B’C’.
𝐴𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺’𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺’𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Mà 2𝐴’𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐴’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
2 ( 𝐴’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) + 3𝐴’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
2𝐴’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐴’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
5𝐴’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
5
𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
Cmtt ta được : 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
5
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
5
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (3)
Từ (1) + (2) + (3)
𝐶𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2/5 ( 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ )
3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2/5. 0⃗⃗⃗
𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
9. Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có cùng trọng tâm
Bài 11 : Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lấy các điểm
A’ , B’, C’ sao cho : 𝐴𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ / 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ /𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ /𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, tam giác
A’B’C’
Ta có : 𝐴𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
Đặt 𝐴𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ / 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ /𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ /𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘
𝐴𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘. 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘. 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
Từ (1) => 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑘. 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑘. 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
= 𝑘. ( 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )
= 𝑘. 0⃗ = 0⃗⃗⃗
Tam giác ABC và A’B’C’ có chung trọng tâm
Bài 12 :Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý .Gọi A’, B’, C’ lần
lượt là các điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các
cạnh BC, CA, AB.
a) Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy tại một
điểm
10. b) Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng MN luôn đi qua
trọng tâm G của tam giác ABC.
Xét tứ giác MCA’B có :
K là trung đểm BC
K là trung điểm MA’
MCA’B là hình bình hành
MC//BA’ và MC = BA’ (1)
Xét tứ giác AB’CM có :
I là trung điểm AC
I là trung điểm MB’
AB’CM là hình bình hành
AB’ // MC và AB’ = MC (2)
Từ (1) , (2)
AB’ // BA và AB’ = MC (2)
Từ (1) , (2)
AB’ //BA và AB’ = BA’
ABA’B là hình bình hành (4)
Cmtt AC’AC là hình bình hành (5)
Từ (4) , (5)
AA’, BB’ , CC’ đồng quy tại một điểm
Bài 14 : Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Các điểm M,N thỏa
mãn 3𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ = ½ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Chứng minh rằng
đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
3𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗
11. 3𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 4𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
7𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ = ½ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
Từ (1) + (2)
7𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= 3 ( 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
= 0⃗⃗⃗⃗
7𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −2/7 𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
G, M, N thẳng hàng
MN đi qua trọng tâm G của tam giác ABC
Bài 13 : Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hia
điểm sao cho 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
a) Chứng minh 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b) 𝑇í𝑛ℎ 𝐴𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ theo vecto AI. Suy ra ba
điểm A, I, S thẳng hàng.
a) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
12. 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ( giả thiết )
b) 𝐴𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ( 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )
𝐴𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2.2𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗
A, I, S thẳng hàng
Bài 15: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thỏa mãn 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
a) Tìm điểm I thỏa mãn 2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗
b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định
a) 2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗
2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 4𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗⃗
M, I, N thẳng hàng
b) 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐼𝑁⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ – 2𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗
𝐼𝑁⃗⃗⃗⃗ = 3𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
M, I, N thẳng hàng
I nằm giữa M, N
MN luôn đi qua 1 điểm cố định là I
13. Bài 16: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thỏa mãn . Tìm điểm I
sao cho 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
a) 2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗⃗
M, N, I thẳng hàng
b) 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐼𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ – 2𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐼𝑁⃗⃗⃗⃗ = −𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
MN luôn đi qua 1 điểm cố định
c) 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗
2𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑃𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
2𝐼𝑃⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
Từ (1), (2)
𝑀𝑃 = 2𝐼𝑃⃗⃗⃗⃗
MP luôn đi qua một điểm cố định