SlideShare a Scribd company logo
1 of 13
Download to read offline
CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ HAI ĐIỂM
TRÙNG NHAU
Bài 1: Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
.Chứng minh B, A, C thẳng hàng.
𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ – 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
 3 điểm B , A, C thẳng hàng
Bài 2 : Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD
lấy điểm K sao cho 𝐵𝐻 =
1
5
𝐵𝐶; 6𝐵𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Chứng minh A, K, H
thẳng hàng.
 𝐵𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
5
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
 5𝐵𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 5𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 5𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
 5𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 5𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 5𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 5𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
 5𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 5𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
 6𝐵𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 6𝐵𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 6𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 6𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
 6𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 5𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
Từ (1) , (2)
 5𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 6𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
6
5
𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗
 A, H , K thẳng hàng
Bài 3: Cho I, J ,K lần lượt được xác định bởi
𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ = 2𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ ; 𝐽𝐶⃗⃗⃗⃗ = −1/2 𝐽𝐴⃗⃗⃗⃗ và 𝐾𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐾𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .Chứng minh I, J, K
thẳng hàng.
 𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ = 2𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗
 𝐾𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐾𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐾𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝐾𝐼⃗⃗⃗⃗⃗
 − 𝐾𝐼⃗⃗⃗⃗ + 2𝐾𝐼⃗⃗⃗⃗ = 2𝐾𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐾𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐾𝐼⃗⃗⃗⃗ = 2𝐾𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐾𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
 𝐽𝐶⃗⃗⃗⃗ = −1/2 𝐽𝐴⃗⃗⃗⃗
 2𝐽𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = − 𝐽𝐴⃗⃗⃗⃗
 2𝐾𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝐾𝐽⃗⃗⃗⃗ = −𝐾𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐾𝐽⃗⃗⃗⃗
 −2𝐾𝐽⃗⃗⃗⃗ – 𝐾𝐽⃗⃗⃗⃗⃗ = − 𝐾𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝐾𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
 3𝐾𝐽⃗⃗⃗⃗ = 𝐾𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐾𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
Từ (1), (2)
 𝐾𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐾𝐽⃗⃗⃗⃗⃗
 3 điểm K, I . J thẳng hàng
Bài 4 :Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần
lượt lấy các điểm M, N, P sao cho 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑁𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ ;
𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
a) 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ¾ 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + ½ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ¾ 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ¾ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ½ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −
3
4
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
3
2
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ¾ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – ½ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
b) 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 −𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
 2𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
 𝑁𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
 −𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 3𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −3𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 4𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
Từ (1), (2)
 2𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 P, M , N thẳng hàng
Bài 5 : Cho tam giác ABC. Hai điểm I, J được xác định bởi : 𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ +
3𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗ ; 𝐽𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐽𝐵⃗⃗⃗⃗ + 3𝐽𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗ . Chứng minh I, J, B thẳng hàng
 𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ + 3𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
−4𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
4𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
 𝐽𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐽𝐵⃗⃗⃗⃗ + 3𝐽𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗
 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
 6𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
Từ (1), (2)
 4𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ = 6𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ =
3
2
𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗⃗
 I, J , B thẳng hàng
Bài 6 : Cho tam giác ABC.Hai điểm M,N lần lượt được xác định bởi
3𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗ ; 𝑁𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ . Chứng minh G, M, N thẳng
hàng với G là trọng tâm của tam giác ABC
 3𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
 3𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 4𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
 7𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
 𝑁𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
 2𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
Từ (1) + (2)
 7𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
 7𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 ( 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
 7𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
 𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −
2
7
𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 G, M, N thẳng hàng với G là trọng tâm của tam giác ABC
Bài 7: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
0⃗⃗⃗ = 𝑁𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗ .
a) Tính vecto PM, PN theo AB, AC
b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng
 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – ½ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ½ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ½ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2/3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ½ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ –
2
3
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +
2
3
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
2
3
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2/3 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – ½ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
 b) 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
 𝑁𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗
 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
 3𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
Từ (1) , (2)
 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 P, M , N thẳng hàng
Bài 8:Cho tam giác ABC. Về phía ngoài tam giác vẽ các hình bình
hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh các tam giác RIP , JQS có
cùng trọng tâm.
Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác RIP, tam gíac JQS
Ta có : 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐽⃗⃗⃗ + 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗
= 𝑅𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺’𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐺⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺’𝐽⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺’𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐽⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Mà 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐼𝐽⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺⃗⃗⃗⃗⃗
 0⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐺𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
 Tam giác RIP và tam giác JQS có cùng trọng tâm
Bài 9 : Cho tam giác ABC,A’ là điểm đối xứng của A qua B, B’ là
điểm đối xứng của B qua C, C’ là điểm đối xứng của C qua A. Chứng
minh các tam giác ABC, A’B’C’ có chung trọng tâm.
Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, A’B’C’.
Ta có : 𝐴𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 0⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
 G là trọng tâm của tam giác A’B’C’
 Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có chung trọng tâm
Bài 10: Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ là các điểm định bởi
2𝐴’𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐴’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗ ; 2𝐵′𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐵′𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗ ; 2𝐶′𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐶′𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗ .
Chứng minh các tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có cùng trọng
tâm.
 Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, A’B’C’.
𝐴𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺’𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺’𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Mà 2𝐴’𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐴’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
 2 ( 𝐴’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) + 3𝐴’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
 2𝐴’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐴’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
 5𝐴’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐶𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
5
𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
 Cmtt ta được : 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
5
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
5
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (3)
Từ (1) + (2) + (3)
 𝐶𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2/5 ( 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ )
 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2/5. 0⃗⃗⃗
 𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
 Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có cùng trọng tâm
Bài 11 : Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lấy các điểm
A’ , B’, C’ sao cho : 𝐴𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ / 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ /𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ /𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
 Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, tam giác
A’B’C’
Ta có : 𝐴𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
 Đặt 𝐴𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ / 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ /𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ /𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘
𝐴𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘. 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘. 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
Từ (1) => 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑘. 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑘. 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
= 𝑘. ( 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )
= 𝑘. 0⃗ = 0⃗⃗⃗
 Tam giác ABC và A’B’C’ có chung trọng tâm
Bài 12 :Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý .Gọi A’, B’, C’ lần
lượt là các điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các
cạnh BC, CA, AB.
a) Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy tại một
điểm
b) Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng MN luôn đi qua
trọng tâm G của tam giác ABC.
 Xét tứ giác MCA’B có :
K là trung đểm BC
K là trung điểm MA’
 MCA’B là hình bình hành
 MC//BA’ và MC = BA’ (1)
 Xét tứ giác AB’CM có :
I là trung điểm AC
I là trung điểm MB’
 AB’CM là hình bình hành
 AB’ // MC và AB’ = MC (2)
Từ (1) , (2)
 AB’ // BA và AB’ = MC (2)
Từ (1) , (2)
 AB’ //BA và AB’ = BA’
 ABA’B là hình bình hành (4)
Cmtt AC’AC là hình bình hành (5)
Từ (4) , (5)
 AA’, BB’ , CC’ đồng quy tại một điểm
 Bài 14 : Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Các điểm M,N thỏa
mãn 3𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ = ½ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Chứng minh rằng
đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
 3𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗
 3𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 4𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
 7𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
 𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ = ½ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 2𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 2𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
Từ (1) + (2)
 7𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= 3 ( 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
= 0⃗⃗⃗⃗
 7𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −2/7 𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 G, M, N thẳng hàng
 MN đi qua trọng tâm G của tam giác ABC
Bài 13 : Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hia
điểm sao cho 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
a) Chứng minh 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b) 𝑇í𝑛ℎ 𝐴𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ theo vecto AI. Suy ra ba
điểm A, I, S thẳng hàng.
a) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ( giả thiết )
b) 𝐴𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ( 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )
 𝐴𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2.2𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗
 A, I, S thẳng hàng
Bài 15: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thỏa mãn 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
a) Tìm điểm I thỏa mãn 2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗
b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định
a) 2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗
 2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 4𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 M, I, N thẳng hàng
b) 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐼𝑁⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ – 2𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐼𝑁⃗⃗⃗⃗ = 3𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 M, I, N thẳng hàng
 I nằm giữa M, N
 MN luôn đi qua 1 điểm cố định là I
Bài 16: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thỏa mãn . Tìm điểm I
sao cho 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
a) 2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
 2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 M, N, I thẳng hàng
b) 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐼𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ – 2𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐼𝑁⃗⃗⃗⃗ = −𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 MN luôn đi qua 1 điểm cố định
c) 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗
 2𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑃𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
 2𝐼𝑃⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
Từ (1), (2)
 𝑀𝑃 = 2𝐼𝑃⃗⃗⃗⃗
 MP luôn đi qua một điểm cố định

More Related Content

Viewers also liked

Tuyển tập các bài Toán Hình học lớp 9 ôn thi vào 10
Tuyển tập các bài Toán Hình học lớp 9 ôn thi vào 10Tuyển tập các bài Toán Hình học lớp 9 ôn thi vào 10
Tuyển tập các bài Toán Hình học lớp 9 ôn thi vào 10BOIDUONGTOAN.COM
 
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊNCHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊNBOIDUONGTOAN.COM
 
Bai tap-hinh-lop-7-hay-co-loi-giai
Bai tap-hinh-lop-7-hay-co-loi-giaiBai tap-hinh-lop-7-hay-co-loi-giai
Bai tap-hinh-lop-7-hay-co-loi-giaiSa Hong
 
9 hinh nang cao hk 1 dap an
9 hinh nang cao hk 1 dap an9 hinh nang cao hk 1 dap an
9 hinh nang cao hk 1 dap anHồng Quang
 
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊNCHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊNBOIDUONGTOAN.COM
 

Viewers also liked (8)

Tuyển tập các bài Toán Hình học lớp 9 ôn thi vào 10
Tuyển tập các bài Toán Hình học lớp 9 ôn thi vào 10Tuyển tập các bài Toán Hình học lớp 9 ôn thi vào 10
Tuyển tập các bài Toán Hình học lớp 9 ôn thi vào 10
 
Tuyển tập một số đề thi HSG môn Toán lớp 8 có đáp án - Toán Thầy Thích - Toan...
Tuyển tập một số đề thi HSG môn Toán lớp 8 có đáp án - Toán Thầy Thích - Toan...Tuyển tập một số đề thi HSG môn Toán lớp 8 có đáp án - Toán Thầy Thích - Toan...
Tuyển tập một số đề thi HSG môn Toán lớp 8 có đáp án - Toán Thầy Thích - Toan...
 
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊNCHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
 
Bai tap-hinh-lop-7-hay-co-loi-giai
Bai tap-hinh-lop-7-hay-co-loi-giaiBai tap-hinh-lop-7-hay-co-loi-giai
Bai tap-hinh-lop-7-hay-co-loi-giai
 
Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8
Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8
Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8
 
9 hinh nang cao hk 1 dap an
9 hinh nang cao hk 1 dap an9 hinh nang cao hk 1 dap an
9 hinh nang cao hk 1 dap an
 
77 đề thi vào lớp 10 chuyên năm 2014-2015
77 đề thi vào lớp 10 chuyên năm 2014-201577 đề thi vào lớp 10 chuyên năm 2014-2015
77 đề thi vào lớp 10 chuyên năm 2014-2015
 
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊNCHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
 

More from Jackson Linh

Phân tích bài mảnh trăng cuối rừng của Nguyễn Minh Châu,
Phân tích bài mảnh trăng cuối rừng của Nguyễn Minh Châu, Phân tích bài mảnh trăng cuối rừng của Nguyễn Minh Châu,
Phân tích bài mảnh trăng cuối rừng của Nguyễn Minh Châu, Jackson Linh
 
Chứng minh đẳng thức vectơ và phân tích vectơ
Chứng minh đẳng thức vectơ và phân tích vectơ Chứng minh đẳng thức vectơ và phân tích vectơ
Chứng minh đẳng thức vectơ và phân tích vectơ Jackson Linh
 
Thể loại văn học và sự phân loại tác phẩm văn học
Thể loại văn học và sự phân loại tác phẩm văn họcThể loại văn học và sự phân loại tác phẩm văn học
Thể loại văn học và sự phân loại tác phẩm văn họcJackson Linh
 
Vai trò của nhà văn đối với đời sống văn học.
Vai trò của nhà văn đối với đời sống văn học.Vai trò của nhà văn đối với đời sống văn học.
Vai trò của nhà văn đối với đời sống văn học.Jackson Linh
 
Nghĩ về hương lúa quê hương
Nghĩ về hương lúa quê hươngNghĩ về hương lúa quê hương
Nghĩ về hương lúa quê hươngJackson Linh
 
Mẫu đơn giới thiệu
Mẫu đơn giới thiệu Mẫu đơn giới thiệu
Mẫu đơn giới thiệu Jackson Linh
 
Nghị luận ta về ta tắm ao ta, dù trong dù đục ao nhà vẫn hơn
Nghị luận ta về ta tắm ao ta, dù trong dù đục ao nhà vẫn hơnNghị luận ta về ta tắm ao ta, dù trong dù đục ao nhà vẫn hơn
Nghị luận ta về ta tắm ao ta, dù trong dù đục ao nhà vẫn hơnJackson Linh
 
Tổng hợp các bài văn mẫu lớp 4
Tổng hợp các bài văn mẫu lớp 4 Tổng hợp các bài văn mẫu lớp 4
Tổng hợp các bài văn mẫu lớp 4 Jackson Linh
 
Tả cây phượng trường em
Tả cây phượng trường emTả cây phượng trường em
Tả cây phượng trường emJackson Linh
 
Nghị luận gần mực thì đen gần đèn thì sáng
Nghị luận gần mực thì đen gần đèn thì sángNghị luận gần mực thì đen gần đèn thì sáng
Nghị luận gần mực thì đen gần đèn thì sángJackson Linh
 
Nghị luận không thầy đố mày làm nên, học thầy không tày học bạn
Nghị luận không thầy đố mày làm nên, học thầy không tày học bạnNghị luận không thầy đố mày làm nên, học thầy không tày học bạn
Nghị luận không thầy đố mày làm nên, học thầy không tày học bạnJackson Linh
 
Phát biểu cảm nghĩ về bài văn Mẹ tôi của nhà văn Ét môn-đô đờ A-mi-xi
Phát biểu cảm nghĩ về bài văn Mẹ tôi của nhà văn Ét môn-đô đờ A-mi-xiPhát biểu cảm nghĩ về bài văn Mẹ tôi của nhà văn Ét môn-đô đờ A-mi-xi
Phát biểu cảm nghĩ về bài văn Mẹ tôi của nhà văn Ét môn-đô đờ A-mi-xiJackson Linh
 
Phân tích bài thơ Tây tiến của nhà thơ Quang Dũng
Phân tích bài thơ Tây tiến của nhà thơ Quang DũngPhân tích bài thơ Tây tiến của nhà thơ Quang Dũng
Phân tích bài thơ Tây tiến của nhà thơ Quang DũngJackson Linh
 
Em hãy tả cây đa làng em
Em hãy tả cây đa làng emEm hãy tả cây đa làng em
Em hãy tả cây đa làng emJackson Linh
 
Tổng hợp 1000 từ tiếng anh Word form thông dụng
Tổng hợp 1000 từ tiếng anh Word form thông dụng Tổng hợp 1000 từ tiếng anh Word form thông dụng
Tổng hợp 1000 từ tiếng anh Word form thông dụng Jackson Linh
 
đề thi chuyên tiếng anh đáp án đề thi chuyên tiếng anh thpt 2015 tphcm
đề thi chuyên tiếng anh đáp án đề thi chuyên tiếng anh thpt 2015 tphcm đề thi chuyên tiếng anh đáp án đề thi chuyên tiếng anh thpt 2015 tphcm
đề thi chuyên tiếng anh đáp án đề thi chuyên tiếng anh thpt 2015 tphcm Jackson Linh
 
Kinh- địa- tạng- bồ- tát- bổn- nguyện
Kinh- địa- tạng- bồ- tát- bổn- nguyệnKinh- địa- tạng- bồ- tát- bổn- nguyện
Kinh- địa- tạng- bồ- tát- bổn- nguyệnJackson Linh
 
Nghi thức ĐẠI BI THẬP CHÚ
Nghi thức ĐẠI BI THẬP CHÚ Nghi thức ĐẠI BI THẬP CHÚ
Nghi thức ĐẠI BI THẬP CHÚ Jackson Linh
 

More from Jackson Linh (20)

Phân tích bài mảnh trăng cuối rừng của Nguyễn Minh Châu,
Phân tích bài mảnh trăng cuối rừng của Nguyễn Minh Châu, Phân tích bài mảnh trăng cuối rừng của Nguyễn Minh Châu,
Phân tích bài mảnh trăng cuối rừng của Nguyễn Minh Châu,
 
Chứng minh đẳng thức vectơ và phân tích vectơ
Chứng minh đẳng thức vectơ và phân tích vectơ Chứng minh đẳng thức vectơ và phân tích vectơ
Chứng minh đẳng thức vectơ và phân tích vectơ
 
Thể loại văn học và sự phân loại tác phẩm văn học
Thể loại văn học và sự phân loại tác phẩm văn họcThể loại văn học và sự phân loại tác phẩm văn học
Thể loại văn học và sự phân loại tác phẩm văn học
 
Vai trò của nhà văn đối với đời sống văn học.
Vai trò của nhà văn đối với đời sống văn học.Vai trò của nhà văn đối với đời sống văn học.
Vai trò của nhà văn đối với đời sống văn học.
 
Nghĩ về hương lúa quê hương
Nghĩ về hương lúa quê hươngNghĩ về hương lúa quê hương
Nghĩ về hương lúa quê hương
 
Mẫu đơn giới thiệu
Mẫu đơn giới thiệu Mẫu đơn giới thiệu
Mẫu đơn giới thiệu
 
Nghị luận ta về ta tắm ao ta, dù trong dù đục ao nhà vẫn hơn
Nghị luận ta về ta tắm ao ta, dù trong dù đục ao nhà vẫn hơnNghị luận ta về ta tắm ao ta, dù trong dù đục ao nhà vẫn hơn
Nghị luận ta về ta tắm ao ta, dù trong dù đục ao nhà vẫn hơn
 
Tổng hợp các bài văn mẫu lớp 4
Tổng hợp các bài văn mẫu lớp 4 Tổng hợp các bài văn mẫu lớp 4
Tổng hợp các bài văn mẫu lớp 4
 
Tả cây phượng trường em
Tả cây phượng trường emTả cây phượng trường em
Tả cây phượng trường em
 
Nghị luận gần mực thì đen gần đèn thì sáng
Nghị luận gần mực thì đen gần đèn thì sángNghị luận gần mực thì đen gần đèn thì sáng
Nghị luận gần mực thì đen gần đèn thì sáng
 
Nghị luận không thầy đố mày làm nên, học thầy không tày học bạn
Nghị luận không thầy đố mày làm nên, học thầy không tày học bạnNghị luận không thầy đố mày làm nên, học thầy không tày học bạn
Nghị luận không thầy đố mày làm nên, học thầy không tày học bạn
 
Speaking test
Speaking test Speaking test
Speaking test
 
Phát biểu cảm nghĩ về bài văn Mẹ tôi của nhà văn Ét môn-đô đờ A-mi-xi
Phát biểu cảm nghĩ về bài văn Mẹ tôi của nhà văn Ét môn-đô đờ A-mi-xiPhát biểu cảm nghĩ về bài văn Mẹ tôi của nhà văn Ét môn-đô đờ A-mi-xi
Phát biểu cảm nghĩ về bài văn Mẹ tôi của nhà văn Ét môn-đô đờ A-mi-xi
 
Phân tích bài thơ Tây tiến của nhà thơ Quang Dũng
Phân tích bài thơ Tây tiến của nhà thơ Quang DũngPhân tích bài thơ Tây tiến của nhà thơ Quang Dũng
Phân tích bài thơ Tây tiến của nhà thơ Quang Dũng
 
Em hãy tả cây đa làng em
Em hãy tả cây đa làng emEm hãy tả cây đa làng em
Em hãy tả cây đa làng em
 
Tổng hợp 1000 từ tiếng anh Word form thông dụng
Tổng hợp 1000 từ tiếng anh Word form thông dụng Tổng hợp 1000 từ tiếng anh Word form thông dụng
Tổng hợp 1000 từ tiếng anh Word form thông dụng
 
đề thi chuyên tiếng anh đáp án đề thi chuyên tiếng anh thpt 2015 tphcm
đề thi chuyên tiếng anh đáp án đề thi chuyên tiếng anh thpt 2015 tphcm đề thi chuyên tiếng anh đáp án đề thi chuyên tiếng anh thpt 2015 tphcm
đề thi chuyên tiếng anh đáp án đề thi chuyên tiếng anh thpt 2015 tphcm
 
Kinh- địa- tạng- bồ- tát- bổn- nguyện
Kinh- địa- tạng- bồ- tát- bổn- nguyệnKinh- địa- tạng- bồ- tát- bổn- nguyện
Kinh- địa- tạng- bồ- tát- bổn- nguyện
 
Chú Đại Bi
Chú Đại Bi Chú Đại Bi
Chú Đại Bi
 
Nghi thức ĐẠI BI THẬP CHÚ
Nghi thức ĐẠI BI THẬP CHÚ Nghi thức ĐẠI BI THẬP CHÚ
Nghi thức ĐẠI BI THẬP CHÚ
 

Recently uploaded

BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...Nguyen Thanh Tu Collection
 
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.pptlịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.pptLinhPham480
 
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...Nguyen Thanh Tu Collection
 
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptxIELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptxNguynHn870045
 
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...Nguyen Thanh Tu Collection
 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...Nguyen Thanh Tu Collection
 
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...Nguyen Thanh Tu Collection
 
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...Nguyen Thanh Tu Collection
 
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...Nguyen Thanh Tu Collection
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...Nguyen Thanh Tu Collection
 
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptxDay tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptxngothevinhs6lite
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...Nguyen Thanh Tu Collection
 

Recently uploaded (17)

BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
 
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.pptlịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
 
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
 
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptxIELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
 
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
 
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
 
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
 
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
 
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
 
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
 
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
 
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptxDay tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
 
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
 

Chứng minh ba điểm thẳng hàng và hai điểm trùng nhau

  • 1. CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU Bài 1: Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ .Chứng minh B, A, C thẳng hàng. 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗  𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ – 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗  𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗  𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗  3 điểm B , A, C thẳng hàng Bài 2 : Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho 𝐵𝐻 = 1 5 𝐵𝐶; 6𝐵𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Chứng minh A, K, H thẳng hàng.  𝐵𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 5 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗  5𝐵𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗  5𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 5𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗  5𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 5𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗  5𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 5𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗  5𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 5𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (1)  6𝐵𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗  6𝐵𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗
  • 2.  6𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 6𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗  6𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 5𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (2) Từ (1) , (2)  5𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 6𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 6 5 𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗  A, H , K thẳng hàng Bài 3: Cho I, J ,K lần lượt được xác định bởi 𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ = 2𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ ; 𝐽𝐶⃗⃗⃗⃗ = −1/2 𝐽𝐴⃗⃗⃗⃗ và 𝐾𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐾𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .Chứng minh I, J, K thẳng hàng.  𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ = 2𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗  𝐾𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐾𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐾𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝐾𝐼⃗⃗⃗⃗⃗  − 𝐾𝐼⃗⃗⃗⃗ + 2𝐾𝐼⃗⃗⃗⃗ = 2𝐾𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐾𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝐾𝐼⃗⃗⃗⃗ = 2𝐾𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐾𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1)  𝐽𝐶⃗⃗⃗⃗ = −1/2 𝐽𝐴⃗⃗⃗⃗  2𝐽𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = − 𝐽𝐴⃗⃗⃗⃗  2𝐾𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝐾𝐽⃗⃗⃗⃗ = −𝐾𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐾𝐽⃗⃗⃗⃗  −2𝐾𝐽⃗⃗⃗⃗ – 𝐾𝐽⃗⃗⃗⃗⃗ = − 𝐾𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝐾𝐶⃗⃗⃗⃗⃗  3𝐾𝐽⃗⃗⃗⃗ = 𝐾𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐾𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (2) Từ (1), (2)  𝐾𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐾𝐽⃗⃗⃗⃗⃗
  • 3.  3 điểm K, I . J thẳng hàng Bài 4 :Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑁𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗ a) 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗  𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗  𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ¾ 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + ½ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗  𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ¾ 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ¾ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ½ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 3 4 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗  𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ¾ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – ½ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ b) 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗  −𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗  2𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (1)  𝑁𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗
  • 4.  𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗  −𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 3𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −3𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗  4𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ (2) Từ (1), (2)  2𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  P, M , N thẳng hàng Bài 5 : Cho tam giác ABC. Hai điểm I, J được xác định bởi : 𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ + 3𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗ ; 𝐽𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐽𝐵⃗⃗⃗⃗ + 3𝐽𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗ . Chứng minh I, J, B thẳng hàng  𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ + 3𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗ 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ −4𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ 4𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (1)  𝐽𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐽𝐵⃗⃗⃗⃗ + 3𝐽𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗  𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗  6𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (2) Từ (1), (2)  4𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ = 6𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗⃗  𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 2 𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗⃗  I, J , B thẳng hàng
  • 5. Bài 6 : Cho tam giác ABC.Hai điểm M,N lần lượt được xác định bởi 3𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗ ; 𝑁𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ . Chứng minh G, M, N thẳng hàng với G là trọng tâm của tam giác ABC  3𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗  3𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 4𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗  7𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ (1)  𝑁𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗  𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗  2𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (2) Từ (1) + (2)  7𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗  7𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 ( 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )  7𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗  𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 2 7 𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗  G, M, N thẳng hàng với G là trọng tâm của tam giác ABC Bài 7: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗ = 𝑁𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗ . a) Tính vecto PM, PN theo AB, AC b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng  𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – ½ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
  • 6.  𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ½ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ½ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2/3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ½ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 2 3 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 3 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗  𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 3 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗  𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2/3 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – ½ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗  b) 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗  𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗  𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (1)  𝑁𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗  𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗  3𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (2) Từ (1) , (2)  𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  P, M , N thẳng hàng Bài 8:Cho tam giác ABC. Về phía ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh các tam giác RIP , JQS có cùng trọng tâm. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác RIP, tam gíac JQS
  • 7. Ta có : 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐽⃗⃗⃗ + 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑅𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺’𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐺⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺’𝐽⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺’𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐽⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Mà 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝐽⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗  𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺⃗⃗⃗⃗⃗  𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺⃗⃗⃗⃗⃗  0⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺⃗⃗⃗⃗⃗  𝐺𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗  Tam giác RIP và tam giác JQS có cùng trọng tâm Bài 9 : Cho tam giác ABC,A’ là điểm đối xứng của A qua B, B’ là điểm đối xứng của B qua C, C’ là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC, A’B’C’ có chung trọng tâm. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, A’B’C’. Ta có : 𝐴𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗  0⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
  • 8.  G là trọng tâm của tam giác A’B’C’  Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có chung trọng tâm Bài 10: Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ là các điểm định bởi 2𝐴’𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐴’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗ ; 2𝐵′𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐵′𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗ ; 2𝐶′𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐶′𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗ . Chứng minh các tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có cùng trọng tâm.  Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, A’B’C’. 𝐴𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺’𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺’𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝐴𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Mà 2𝐴’𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐴’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗  2 ( 𝐴’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) + 3𝐴’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗  2𝐴’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐴’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗  5𝐴’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝐶𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 5 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (1)  Cmtt ta được : 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 5 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (2) 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 5 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (3) Từ (1) + (2) + (3)  𝐶𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2/5 ( 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ )  3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2/5. 0⃗⃗⃗  𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
  • 9.  Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có cùng trọng tâm Bài 11 : Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lấy các điểm A’ , B’, C’ sao cho : 𝐴𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ / 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ /𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ /𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗  Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, tam giác A’B’C’ Ta có : 𝐴𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1)  Đặt 𝐴𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ / 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ /𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ /𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘 𝐴𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘. 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐶’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘. 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ Từ (1) => 3𝐺𝐺’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑘. 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑘. 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘. ( 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝑘. 0⃗ = 0⃗⃗⃗  Tam giác ABC và A’B’C’ có chung trọng tâm Bài 12 :Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý .Gọi A’, B’, C’ lần lượt là các điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB. a) Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy tại một điểm
  • 10. b) Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.  Xét tứ giác MCA’B có : K là trung đểm BC K là trung điểm MA’  MCA’B là hình bình hành  MC//BA’ và MC = BA’ (1)  Xét tứ giác AB’CM có : I là trung điểm AC I là trung điểm MB’  AB’CM là hình bình hành  AB’ // MC và AB’ = MC (2) Từ (1) , (2)  AB’ // BA và AB’ = MC (2) Từ (1) , (2)  AB’ //BA và AB’ = BA’  ABA’B là hình bình hành (4) Cmtt AC’AC là hình bình hành (5) Từ (4) , (5)  AA’, BB’ , CC’ đồng quy tại một điểm  Bài 14 : Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Các điểm M,N thỏa mãn 3𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ = ½ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.  3𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗
  • 11.  3𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 4𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗  7𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (1)  𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ = ½ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗  2𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗  2𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (2) Từ (1) + (2)  7𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 ( 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0⃗⃗⃗⃗  7𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −2/7 𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  G, M, N thẳng hàng  MN đi qua trọng tâm G của tam giác ABC Bài 13 : Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hia điểm sao cho 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a) Chứng minh 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b) 𝑇í𝑛ℎ 𝐴𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ theo vecto AI. Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng. a) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
  • 12.  𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ( giả thiết ) b) 𝐴𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗  𝐴𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ( 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )  𝐴𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2.2𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗  A, I, S thẳng hàng Bài 15: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thỏa mãn 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a) Tìm điểm I thỏa mãn 2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗ b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định a) 2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗  2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗  𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 4𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗  𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗⃗  M, I, N thẳng hàng b) 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝐼𝑁⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ – 2𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ – 3𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗  𝐼𝑁⃗⃗⃗⃗ = 3𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗  M, I, N thẳng hàng  I nằm giữa M, N  MN luôn đi qua 1 điểm cố định là I
  • 13. Bài 16: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thỏa mãn . Tìm điểm I sao cho 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a) 2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗  2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗  𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗⃗  M, N, I thẳng hàng b) 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝐼𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ – 2𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝐼𝑁⃗⃗⃗⃗ = −𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  MN luôn đi qua 1 điểm cố định c) 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1) 2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ – 𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗⃗  2𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑃𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝑃𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗  2𝐼𝑃⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ (2) Từ (1), (2)  𝑀𝑃 = 2𝐼𝑃⃗⃗⃗⃗  MP luôn đi qua một điểm cố định