Chứng minh đẳng thức vectơ và phân tích vectơ , vecto, chứng minh vecto, các bài toán thông dụng về vecto, giải bài tập về vecto

1. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ- PHÂN TÍCH VECTƠ
Bài 1: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh:
a) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 2 : Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB và CD.
Chứng minh:
a) Nếu 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑡ℎì 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐼𝐽⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗ + 𝐽𝐷⃗⃗⃗⃗
= 𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐽⃗⃗⃗⃗
= 𝐼𝐽⃗⃗⃗ + 𝐼𝐽⃗⃗⃗ = 2𝐼𝐽⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗

2. = 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗ + 𝐽𝐶⃗⃗⃗⃗
= 𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗ + 𝐽𝐶⃗⃗⃗⃗
= 𝐼𝐽⃗⃗⃗ + 𝐼𝐽⃗⃗⃗ = 2𝐼𝐽⃗⃗⃗⃗⃗
c) Gọi G là trung điểm IJ. Chứng minh : 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
 2𝐼𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝐽⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
 0⃗ = 0⃗
Bài 3 : Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và
CD. Chứng minh : 2(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ + 𝐽𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 3𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ + 𝐽𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 3𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 2(𝐼𝐽⃗⃗⃗ + 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 3𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 2.
1
2
𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 3𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 4: Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành
ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh : 𝑅𝐽⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝑄⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝑆⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
𝑅𝐽⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝑄⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝑆⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
𝑅𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝑆⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
𝑆𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝑆⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ + 𝐽𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗

3. Bài 5: Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm AM.
a) 2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
 2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ + 2𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
 0⃗ = 0⃗
b) 2𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗
 2𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ = 4𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗
 4𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗ + 2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ + 2𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗
 4𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗ = 4𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗
Bài 6: Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC, G là trọng tâm, H là trực
tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh :
a) 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua O.
 Tứ giác BHCA’ là hình bình hành.
 M là trung điểm HA’
 Xét tam giác AA’H có :
là trung điểm của AA’
M là trung điểm của HA’
 OM là đường trung bình của tam giác AA’H
 OM // AH và OM = ½ AH
 AH = 2OM
 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b) 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐻𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐻𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐻𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗

4.  3𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 𝐻𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 7: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có các trọng tâm là G
và G’.
a) Chứng minh : 𝐴𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐵′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐶′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺′⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐺′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺′𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐺′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺′𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐺′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺′𝐶′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
3𝐺𝐺′⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 3𝐺𝐺′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺′⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 8: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC sao cho MB =
2MC. Chứng minh : 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
3
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +
2
3
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
Ta có :
𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ↑↓ 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=> −𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 2𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
 2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
 3𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
3
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
3
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 9: Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm
thuộcAC sao cho 𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑁𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .K là trung điểm MN. Chứng minh :

5. a) 𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
4
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
6
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
.
1
2
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
.
1
3
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
4
. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
6
. 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
b) 𝐾𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
4
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
3
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐾𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
𝐾𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
𝐾𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐾𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
(𝐾𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) +
1
2
(𝐾𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )
 𝐾𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐾𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐾𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −
1
4
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ −
1
6
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐾𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
3
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
4
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 10. Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và
OC. Chứng minh rằng :
a) 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
(𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) − 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗

6. b) 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
(𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) − 𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗
c) 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
(𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )
 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( Vì MN là đường trung bình của tam giác OCB =>
MN // BC và MN = ½ BC )
Bài 11. Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB,
AC. Chứng minh :
a) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = −
2
3
𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −
4
3
𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = −(
2
3
𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
4
3
𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
 −3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

7.  3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
b) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = −
4
3
𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −
2
3
𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = −(
4
3
𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
2
3
𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
 −3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 3𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
 3𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗
c) 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
3
𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −
1
3
𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 3𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 3𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 3𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
 3𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 12 : Cho tam giác ABC, có G là trọng tâm. Gọi H là điểm đối
xứng của B qua G. Chứng minh :
a) 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
3
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −
1
3
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
 Gọi M là trung điểm của BC
 Xét tam giác BHC có M là trung điểm của BC, G là trung điểm của
BH.
 MG là đường trung bình của tam giác BHC.

8.  MG // HC và MG = ½ HC
Mà MG = ½ AG
 AG // HC và AG = HC
 AHCG là hình bình hành.
 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
3
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −
1
3
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
 3𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
 3𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗
 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗
 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗
 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b) 𝐶𝐻⃗⃗⃗⃗⃗ = −
1
3
(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )
 −3𝐶𝐻⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
 3𝐻𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
 3𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
 3𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 3𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐻𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
 3𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗

9.  3𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗
c) 𝑀𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
6
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −
5
6
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
Ta có : 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
3
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −
1
3
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ −
1
2
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ −
1
2
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑀𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
6
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −
5
6
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 13: Cho hình bình hành ABCD, đặt 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎; 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏⃗ . Gọi I là
trung điểm của CD;G là trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích 𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗ ,
𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ theo 𝑎, 𝑏⃗ .
 𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗
 𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐼⃗⃗⃗⃗
 𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗ = −𝑎 + 𝑏⃗ +
1
2
𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗ = −𝑎 + 𝑏⃗ +
1
2
𝑎
 𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗ = −
1
2
𝑎 + 𝑏⃗
 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗
 Gọi K là trung điểm của IC
 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 +
2
3
𝐵𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 +
2
3
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +
2
3
𝐶𝐾⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 +
2
3
𝑏⃗ +
2
3
.
1
2
𝐶𝐼⃗⃗⃗⃗

10.  𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 +
2
3
𝑏⃗ +
2
3
.
1
2
.
1
2
𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 +
2
3
𝑏⃗ −
1
6
𝑎
 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ =
5
6
𝑎 +
2
3
𝑏⃗
Bài 14 : Cho lục giác ABCDEF. Phân tích các vec tơ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ theo các
vec tơ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ .
 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐷⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 15: Cho tam giác ABC. Gọi 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1 lần lượt là trung điểm của
BC, CA, AB. Chứng minh :
a) 𝐴𝐴1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐵1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐶1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
 Gọi G là giao điểm của ba đường trung tuyến
 G là trọng tâm của tam giác ABC

11.  𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 1 = 0⃗
 0⃗ +
1
2
(𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) +
1
2
(𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) +
1
2
(𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0⃗

1
2
. 2(𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0⃗
 0⃗ = 0⃗
Đặt 𝐵𝐵1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢⃗ , 𝐶𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 1 = 𝑣 . Tính 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐶𝐴,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ theo 𝑢⃗ , 𝑣.⃗⃗⃗
 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵11
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵1𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶11
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶11 𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 2/3 𝐵𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + 1/3 𝐵𝐵1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 1/3 𝐵𝐵1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 1/3 𝐶𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 1 – 𝐶𝐶1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2/3 𝐵𝐵1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 2/3 𝐶𝐶 1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2/3 𝑢⃗ – 2/3 𝑣
 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + 𝐶1 𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑣⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1
 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑣⃗⃗⃗ + 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1
 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑣 + 2/3 𝐵𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + 1/3 𝐶𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1
 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑣⃗⃗⃗ + 2/3 𝑢⃗ + 1/3 𝑣⃗⃗⃗
 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 4/3 𝑣⃗⃗⃗ + 2/3 𝑢⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐶1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶1 𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 4/3 𝑣⃗⃗⃗⃗ – 2/3 𝑢⃗⃗⃗⃗ + 𝑣 + 𝐶1 𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 4/3 𝑣⃗⃗⃗⃗ – 2/3 𝑢⃗ + 𝑣 − 1/3 𝐶𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 1 – 2/3 𝐵𝐵1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

12.  𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 4/3 𝑣⃗⃗⃗ – 2/3 𝑢⃗⃗⃗ + 𝑣 − 1/3𝑣⃗⃗⃗ – 2/3𝑢⃗
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = – 2/3𝑣 – 4/3 𝑢⃗
Bài 18 : Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2𝐶𝐼⃗⃗⃗⃗ = 3
𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗ . Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
Tính 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ theo 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
2
6
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +
2
6
( 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )
 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +
2
6
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ –
2
6
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
6
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
2
3
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
2
10
𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ –
1
5
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ –
1
5
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
5
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =
6
5
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ –
1
5
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

13. Bài 19 : Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của
G qua B. Chứng minh :
a) 𝐻𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 5𝐻𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐻𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
 𝐻𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 5𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 5𝐺𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐻𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
 2𝐻𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 5𝐺𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 5𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
 3𝐺𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 5𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
 6𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 5𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗⃗
 0⃗ = 0⃗⃗⃗
b) Đặt 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏.⃗⃗⃗ Tính 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ theo 𝑎,⃗⃗⃗ 𝑏⃗ .
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐻𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏⃗ + 𝐻𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ −
1
2
𝐻𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏⃗⃗ + 𝐻𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + ½ 𝐺𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏⃗⃗⃗ + 𝐻𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + ½ 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ½ 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏⃗⃗⃗ – ½ 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ½ 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏⃗⃗ – ½ 𝑏⃗⃗⃗ + ½ 𝑎⃗⃗⃗
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = ½ 𝑏⃗ + ½ 𝑎

14.  Gọi M là trung điểm của AC
 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2.
1
2
𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
𝐻𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
𝐻𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ½ 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 5/2 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – ½ 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 5/2 𝑎⃗⃗⃗ – ½ 𝑏⃗