[BTL] Kiểm tra tính ổn định của hệ thống liên tục

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
Trường Đại học Công Nghệ
BÀI TẬP LỚN
Môn: Lý thuyết điều khiển tự động
Đề bài: Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ
thống điều khiển liên tục
Hà Nội, 04/2014
GVHD: ThS Nguyễn Thị Cẩm Lai
Nhóm sinh viên thực hiện: Nhóm 3

Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.
Nhóm 3 Page 1
Lời mở đầu
Ngày nay, tự động hóa đã trở thành một vẫn đề thiết yếu trong ngành công nghiệp. Những
ứng dụng từ lĩnh vực này đã và đang len lỏi vào cuộc sống của con người, giúp cho con người có
một cuộc sống được tiện nghi và thoải mãi hơn. Chúng ta có thể tìm thấy rất nhiều thứ có ứng
dụng của lĩnh vực điều khiển tự động cả trong đời sống hàng ngày cũng như là trong sản xuất
công nghiệp như những cơ cấu điều khiển quạt điện tự quay, hay những dây chuyền công nghiệp
hiện đại, phức tạp. Ngành điều khiển tự động có cơ sở từ cuối thế kỳ XIX tới đầu thế kỷ XX và
thực sự phát triển mạnh vào nửa cuối thế kỷ XX và có xu thế ngày càng phát triển hơn nữa với
những kỹ thuật mới, những thuật toán điều khiển mới. Ngày nay, hệ thống điều khiển tự động đã
phổ biến trong hầu hết các lĩnh vực công nghệ và phát triển song song với các kỹ thuật tiên tiến
như điện tử và máy tính. Với nhiều công nghệ mới ra đời, nhiều hệ thống tự động phức tạp đã
được thiết kế và đưa vào sử dụng như kỹ thuật mạng không dây, kỹ thuật vô tuyến, …
Kỹ thuật điều khiển tự động đã được ứng dụng vào nhiều ngành khác nhau và nhiều hệ
thống điều khiển chuyên nghiệp khác nhau đã được ra đời. Có thể liệt kê một số những ứng dụng
chính như: các hệ thống điều khiển của các nhà máy nhiệt điện, thuỷ điện; hệ thống tự động
trong các nhà máy sản xuất thực phẩm như cocacola, sữa, đường,… các nhà máy lắp ráp ôtô,
robot; các nhà máy sản xuất vật liệu xây dựng như xi măng, sản xuất kính, gạch men; các hệ
thống điều khiển trong ngành hàng không và vũ trụ, hệ thống điều khiển điện tử nhúng dùng
trong công nghiệp chế tạo và trong đời sống hàng ngày, hệ thống điều khiển phương tiện giao
thông trên mặt đất, ứng dụng trong y học, điều khiển tên lửa, điều khiển phương tiện trên biển,
điều khiển các quá trình sản xuất trong công nghiệp, rô bốt và cơ điện tử, hệ thống sản xuất trong
lĩnh vực công nghệ cao như sản xuất, lắp ráp các hệ thống vi mạch v..v..
Một hệ thống điều khiển tự động có một số đặc tính cần phát phân tích như tính điều khiển
được, tính quan sát được, tính ổn đinh, … những đặc tính này đóng vai trò quyết định hành vi
của hệ thống. Trong đó tính ổn định của hệ thống đóng vai trò rất quan trọng. Có thể thấy khi hệ
thống không ổn định sẽ gây ra những bất lợi nhất định làm sai lệch trong quá trình vận hành,
thậm chí gây hỏng hóc, hoặc tai nạn, … Một ví dụ về hệ thống mất ổn định là khi biên độ trạng
thái của hệ tăng lên đến vô cùng mặc dù đầu vào đã được khống chế, điều này rất nguy hiểm bới
có thể gây ra cháy, nổ, hỏng hóc thiết bị, … Do đó công việc đầu tiên cần làm của người kỹ sư
thiết kế hệ thống điều khiển là xem xét sự ổn định của hệ thống. Khi ổn định hệ thống được đảm
bảo thì mới xét đến các yếu tố khác của hệ thống như thời gian đáp ứng, tốc độ đáp ứng, …
Với một hệ thống điều khiển tự động vòng kín, tính ổn định của hệ thống cũng như chất
lượng của quá trình quá độ đều có thể được khảo sát thông qua sự thay đổi của đại lượng cần
điều chỉnh y hoặc giá trị sai lệch e khi có tác động của nhiễu đặt trước u hoặc nhiễu D.

Nhóm 3 Page 2
Với đề tài được giao: “Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển tự
động liên tục” bài làm của nhóm 3 gồm có các phần sau:
I. Giới thiệu khái quát về hệ thống điều khiển tự động.
II. Sơ lược về tính ổn định của hệ thống điều khiển rời rạc.
III. Tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động liên tục.
IV. Kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động liên tục.
V. Ứng dụng Matlab trong kiểm tra tính ổn định của hệ thống.
VI. Một số bài tập áp dụng.

Nhóm 3 Page 3
Danh sách nhóm:
STT Họ và Tên MSSV Lớp
1 Nguyễn Văn Việt 12020441 K57M
2 Phạm Trần Hoàng 12020162 K57M
3 Đỗ Văn Lực 12020244 K57M
4 Trần Bá Vương 12020449 K57M
5 Nguyễn Sỹ Trung 12020396 K57M
6 Nguyễn Viết Bình 12020525 K57M
7 Nguyễn Thị Phương 12020296 K57M
8 Mai Trọng Linh 12020222 K57M
9 Vũ Đình Ngọc 12020271 K57M
10 Nguyễn Minh Lý 12020246 K57M

Nhóm 3 Page 4
Phần I. Giới thiệu khái quát về hệ thống điều khiển tự động.
I. Khái niệm về hệ thống điều khiển tự động liên tục.
1. Giới thiệu mở đầu.
Điều khiển là quá trình thu thập thông tin, xử lý thông tin và tác động lên hệ thống để
đáp ứng của thệ thống gần với mục đích định trước.
Điều khiển tự động là ứng dụng của lý thuyết điều khiển tự động vào việc điều khiển các
quá trình khác nhau mà không cần tới sự can thiệp của con người.
Ổn định là điều kiện cần thiết đầu tiên của một hệ thống điều khiển tự động. Hệ thống
điều khiển tự động được được gọi là ổn định nếu sau khi có nhiễu tác động làm thay đổi trạng
thái cân bằng của nó thì nó tự hiệu chỉnh để trở lại trạng thái cân bằng. Hoặc nếu tín hiệu vào bị
chặn thì đáp ứng của hệ thống cũng bị chặn thì hệ thống đó được gọi là ở trạng thái ổn định.
Nếu hệ thống không trở lại trạng thái cân bằng mà tín hiệu ra tiến tới vô cùng thì hệ thống
sẽ không ổn định. Trạng thái trung gian giữa ổn định và không ổn định được gọi là biên giới ổn
định. Trong trường hợp này tín hiệu ra của hệ thống là một dao động có biên độ không đổi.
2. Phân loại hệ thống tự động
2.1.1. Hệ thống điều khiển tuyến tính
Một hệ thống được gọi là tuyến tính nếu có thể áp dụng nguyên lý xếp chồng.
Nguyên lý xếp chồng phát biểu rằng đáp ứng tạo ra bởi những kích thích đồng thời là
tổng của các đáp ứng riêng lẻ. Vì thế với hệ thống tuyến tính, đáp ứng với nhiều cửa vào có thể
được xác định bằng cách xét đáp ứng của từng cửa vào sau đó cộng các đáp ứng lại với nhau.
Nguyên lý này cho phép tìm nghiệm phức của phương trinh vi phân tuyến tính từ các nghiệm
đơn giản. Trong nghiên cứu thực nghiệm một hệ thống động lực, nếu quan hệ giữa nguyên nhân
và kết quả là tỷ lệ thì nguyên lý xếp chồng là hiệu lực, lúc đó hệ thống được xem là tuyến tính.
Hệ tuyến tính còn là những hệ thống đảm bảo tính đồng nhất (homogeneity) và tính cộng
thêm (additive) thì được gọi là hệ thống tuyến tính.
Tính đồng nhất hay còn gọi là quy tắc vô hướng, luật co giãn (scalar rule) có nghĩa là khi
độ lớn đầu vào của hệ thống tăng lên (scaled) thì độ lớn đầu ra từ hệ thống cũng sẽ tăng lên
tương ứng.
Tính cộng (Additive) là tính chất mà output của hệ thống có thể được tính như là tổng của
kết quả phản hồi từ mỗi tín hiệu vào input đơn lẻ.
Nếu dữ liệu vào có thể được phân rã như là tổng của các dữ liệu, tín hiệu đơn vị đã được
trong số hóa thì đầu ra của một hệ thống tuyến tính sẽ như sau:
( ) ( )i i i i
t t
c x t HTLT c y t
 
 
  
Ví dụ: Kiểm tra phương trình sau xem có phải là phương trình mô tả hệ thống liên tục hay
không?
1
( ) ( )
2
y t x t

Nhóm 3 Page 5
Giải
1 2 1 2 1 2
1 2
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
( ) ( )
y t ax t bx t ax t bx t a x t b x t
ay t by t
       
 
Vậy hàm trên mô tả hệ thống liên tục.
2.1.2. Hệ thống điều khiển phi tuyến
Các quá trình trong công nghiệp như robotic và công nghiệp không gian thường có động
lực phi tuyến lớn. Trong lý thuyết điều khiển đôi khi có thể tuyến tính hóa thành các lớp trong hệ
thống và áp dụng các kỹ thuật tuyến tính, nhưng trong nhiều trường hợp cần phải nghĩ ra từ các
lý thuyết cho phép điều khiển cho hệ thống phi tuyến. Ví dụ phản hồi tuyến tính hóa,
backstepping, điều khiển chế độ trượt, quỹ đạo điều khiển tuyến tính hóa thường sử dụng sự tiện
lợi của kết quả dựa trên thuyết Lyapunov. Hình học vi phân đã được sử dụng rộng rãi như là một
công cụ điều khiển tuyến tính phổ biến nổi tiếng sử dụng trong điều khiển phi tuyến, cũng như
chỉ ra những tinh tế, càng làm cho vấn đề thêm thách thức.
Ví dụ: Kiểm tra hàm sau có mô tả hệ thống phi tuyến hay không:
( )
( ) x t
y t e
Giải
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
( ) . ( ) ( )
ax t bx t ax t bx t
y t e e e ay t by t
  
   
Vậy hàm trên thỏa mãn là hàm mô tả hệ thống phi tuyến.
2.1.3. Hệ thống điều khiển phân tán
Khi một hệ thống được điều khiển bởi nhiều bộ điều khiển, vấn đề là một trong các điều
khiển phân tán. Sự phân tán hóa thì hữu ích trên nhiều phương diện, chẳng hạn như nó giúp điều
khiển hệ thống vận hành trong một khu vực địa lý rộng lớn. Các nhánh trong các hệ thống điều
khiển phân tán có thể tương tác với nhau bằng cách sử dụng các kênh liên lạc và phối hợp các
hoạt động của chúng với nhau.
2.1.4. Hệ thống bất biến theo thời gian
Một hệ thống là bất biến theo thời gian khi một khoảng dịch thời gian trong tín hiệu đầu
vào cũng gây ta một độ dịch tương ứng trong tín hiệu đầu ra.
2.1.5. Hệ thống biến đổi theo thời gian
Hệ thống gọi là biến đổi theo thời gian nếu tín hiệu đầu ra tại bất kỳ thời điểm nào đều
phụ thuộc vào giá trị tín hiệu đầu vào.
3. Điều kiện ổn định của hệ thống điều khiển tự động.

Nhóm 3 Page 6
Một hệ thống điều khiển tự động được gọi là ổn định nếu nó thỏa mãn điều kiện ràng
buộc sau:
0
lim (t) 0
(1.1)
lim ( ) 0
t
t
e
e t


 



4. Các yêu cầu với hệ thống tự động
Hệ thống phải giữ được trạng thái ổn định khi chịu tác động của tín hiệu vào và chịu ảnh
hưởng của nhiễu lên hệ thống.
Hệ phi tuyến có thể ổn định trong phạm vi hẹp khi độ lệch ban đầu nhỏ và không ổn định
trong phạm vi rộng nếu độ lệch ban đầu là lớn.
Đối với hệ tuyến tính, đặc thù của quá trình quá độ không phụ thuộc vào giá trị tác động
kích thích. Tính ổn định của hệ tuyến tính không phụ thuộc vào thể loại và giá trị của tín hiệu
vào và trong hệ tuyến tính chỉ tồn tại một trạng thái cân bằng nhất định.
II. Các trạng thái cân bằng của hệ thống tự động.
Có 3 dạng trạng thái cân bằng:
- Cân bằng ổn định
- Cân bằng ở biên giới ổn định
- Cân bằng không ổn định.
Xét phương trình (1.1):
- Nếu lim ( ) 0e t khi t   thì hệ thống ổn định.
- Nếu lim ( )e t khi t    thì hệ thống không ổn định.
- Nếu lim ( )e t  dao động có biên độ không đổi khi t   thì hệ thống sẽ ở biên giới
ổn định.
Ví dụ 1: Các trạng thái cân bằng của một viên bi ở các vị trí được mô tả như trong hình:
Trên hình vẽ ta thấy nếu thay đổi nhỏ trạng thái cân bằng của quả cầu, chẳng hạn cho nó
một vận tốc nhỏ ban đầu đủ bé thì quả cầu sẽ tiến tới một trạng thái cân bằng mới (vị trí a), hoặc
sẽ dao động quanh vị trí cân bằng (vị trí b) và (vị trí d), hoặc sẽ không về trạng thái ban đầu (vị
trí c). Trong ba trường hợp thì khi quả cầu ở vị trí a là vị trí quả cầu có cân bằng ở biên giới ổn

Nhóm 3 Page 7
định; quả cầu ở vị trí b và d là vị trí quả cầu có cân bằng ổn định; quả cầu ở vị trí c là vị trí quả
cầu có cân bằng không ổn định.
Ở vị trí b và vị trí d, nếu quả cầu với độ lệch ban đầu lớn thì cũng sẽ không trở về trạng
thái ban đầu được – hai trạng thái b và d chỉ ổn định trong phạm vi hẹp mà không ổn định trong
phạm vi rộng. Trong trường hợp này, việc khảo sát tính ổn định được giới hạn cho các hệ tuyến
tính bất biến theo thời gian. Đó là những hệ thông mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ
số hằng và có thể áp dụng được nguyên lý xếp chồng.
Ví dụ 2: Đồ thị các trạng thái cân bằng của hệ thống tự động:
Ví dụ 3: Mô tả trạng các trạng thái cân bằng của hệ thống:

Nhóm 3 Page 8
Phần II. Sơ lược về tính ổn định của hệ thống điều khiển rời rạc.
Hệ thống rời rạc là hệ thống có phương trình trạng thái được mô tả bằng phương trình sai
phân. Nếu một hệ thống liên tục được coi là ổn định khi các cực nằm bên trái mặt phẳng p thì thì
một hệ thống rời rạc được coi là ổn định nếu các cực nằm bên trong đường tròn đơn vị.
I. Giới thiệu chung
Điều kiện để một hệ thống điều khiển liên tục ổn định là tất cả các nghiệm của phương
trình đặc tính đều nằm bên trái mặt phẳng phức. Do quan hệ giữa biến z và biến s là
Ts
z e nên
s nằm bên trái mặt phẳng phức tương đương với z nằm bên trong vòng tròn đơn vị. Do đó hệ
thống điều khiển rời rạc ổn định nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính đều nằm bên
trong vòng tròn đơn vị.
Chú ý:
- Nếu một hệ thống rời rạc cho bởi sơ đồ khối:
Thì hệ thống đó có phương trình đặc tính là 1 ( ) 0GH z 
- Hệ thống rời rạc cho hệ phương trình biến trạng thái:
( 1) ( ) ( )
(2.1)
( ) ( )
d d
d
x k A x k B r k
c k C x k
   


Thì phương trình đặc tính là: det( ) 0d
zI A 

Nhóm 3 Page 9
II. Khảo sát tính ổn định của hệ thống rời rạc.
1. Ổn định của hệ thống rời rạc
Hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc có hai nguồn kích thích là trạng thái ban đầu 0
x và
tín hiệu vào ( )u k .
0
( 1) ( ) ( )
(2.2)
( ) ( ) ( ), (0)
x k Fx k gu k
y k cx k du k x x
   

  
Hệ thống gọi là ở trạng thái cân bằng 0
x = 0 khi cả hai trạng thái ban đầu và tín hiệu vào
bằng 0.
 Ổn định BIBO (Bounded Inputs – Bounded Outputs)
Khi cho 0
x = 0 với ( )u k bị chặn thì ( )y k cũng bị chặn, 0k  .
Điều kiện cần và đủ là đáp ứng xung ( )g k với ( ) ( )u k k thỏa mãn:
0
( ) (2.3)
k
g k


 
Chứng minh:
Tín hiệu vào ( )u k có thể viết là:
0
( ) (0) (k) (1) (k 1) (2) (k 2) ... ( ) ( )
n
u k u u u u n k n   


       
Trong đó:
1 0
( )
0 0
khi k
k
khi k

 
 

,
( )g k là đáp ứng ( )y k đối với tín hiệu vào ( )k , đối với tín hiệu vào bất kỳ ( )u k .
0 0 0
( ) (0) ( ) (1) ( 1) (2) ( 2) ...
( ) ( ) ( ) ( ) (k ) ( ), 0
k k
n n n
y k u g k u g k u g k
u n g k n u n g k n u n g n k

  
     
        
Áp dụng điều kiện (2.3) ta được:
0 0
0
( ) ( ) ( ) (k ) ( )
( ) ( ) ( )
n n
n
y k u n g k n u n g n
u k M y k M g n
 
 


   
  
 

Nếu điều kiện (2.3) thỏa mãn thì ( )y k hữu hạn. Mặt khác, điều kiện (2.3) cũng là điều
kiện cần.
Thí dụ khi xét tín hiệu vào bị chặn ( ) ( )u k j sign g j     thì:

Nhóm 3 Page 10
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
n n
y k u k n g n g n
 
 
   
Nếu điều kiện (2.3) không được thỏa mãn thì ( )y k không bị chặn.
 Đáp ứng xung
Là biến đổi Z đảo của ( )Y z phụ thuộc các cực của ( )Y z .
+ Giả sử ( )Y z có cực thật z a , bậc bội m:
     
1( ) 1( 1) 11
1
z z z
( ) ... (2.4)m m
m m
A A A
Y z
z az a z a


   
 
Trong đó:
     
1
!
1 ! 1 !
k m
m
z k a
k m mz a
 

  
Như vậy: Nếu 1a  thì mỗi thành phần của biến đổi Z đảo của (2.4) tiến về 0 khi
k   .
+ Trường hợp có nghiệm phức bậc bội mở j
re 
biến đổi Z đảo là tổng các thành phần
   
!cos( )
1 ! 1 !
km
m
k k
A r
k m m
 
  
Các thành phần tiến về 0 nếu 1r  .
Kết luận: Hệ thống ổn định BIBO nếu các cực của hệ thống nằm trong vòng tròn đơn vị
mặt phẳng z .
 Ổn định với tín hiệu vào zero ( 1) ( )x k Fx k 
Ta tính được ( ) (0) ( ) (0)
( )
z
X z x z x
zI F
  

với
 ( )
zI F z
z
zI F

 

,
1
( ) [ (z)] (0)x k Z x
 
Đa thức đặc trưng zI F có bậc n, ( )z có thể phân tích thành các tổng phân số
riêng, do đó ( ) 0x k  khi mọi nghiệm của đa thức đặc trưng (trị riêng của F ) nằm bên trong
đường tròn đơn vị.
Hệ thống ổn định nếu mọi nghiệm của đa thức đặc trưng nằm bên trong đường tròn đơn
vị.
Hệ thống ở biên giới ổn định nếu có nghiệm đơn trên đường tròn đơn vị, các nghiệm còn
lại bên trong đường tròn đơn vị.

Nhóm 3 Page 11
Hệ thống không ổn định nếu có nghiệm ngoài đường tròn đơn vị hay có nghiệm bội trên
đường tròn đơn vị.
 Ổn định tiệm cận Lyapunov
Nếu hệ thống bị rời khỏi trạng thái cân bằng do tác động nhiễn thì sau đó hệ thống có khả
năng quay trở lại trạng thái cân bằng.
Đa thức bậc n theo z có các nghiệm bên trong đường tròn đơn vị gọi là đa thức đường
tròn đơn vị.
Hệ tuyến tính rời rạc ( 1) ( )x k Fx k  ổn định toàn cục tiệm cận ở gốc nếu và chỉ nếu
cho ma trận đối xứng xác định dương Q có ma trận đối xứng xác định dương P thỏa mãn
phương trình Lyapunov rời rạc:
T
F PT P Q  
Tính ổn định của hệ thống theo Lyapunov:
Cho hệ tự trị với điểm cân bằng ở gốc:
+ Hệ thống là ổn định ở gốc nếu cho trước 0R  thì tìm được r > 0 sao cho nếu
(0)x r thì ( ) , 0x t R t   .
Trong đó:
2 2 2
1 2
... n
x x x x   
Nói cách khác là hệ thống ổn định ở gốc nếu ( )x t không ra khỏi hình cầu bán kính R.
+ Nếu hệ thống ổn định ở gốc và ( ) 0x t  thì ổn định tiệm cận.
+ Nếu hệ thống ổn định tiệm cận và ( ) (0) , , 0bt
x t a x e a b
  thì ta nói là hệ thống
ổn định theo hàm mũ với vận tốc b .
+ Nếu hệ thống ổn định với bất kỳ giá trị đầu (0)x thì gọi là hệ thống ổn định toàn cục.

Nhóm 3 Page 12
- Định lý tuyến tính hóa Lyapunov (xét cho hệ phi tuyến):
+ Nếu hệ tuyến tính hóa có mọi nghiệm riêng ở bên trái mặt phẳng phức thì hệ phi tuyến
là ổn định tiệm cận.
+ Nếu hệ tuyến tính hóa có nghiệm riêng ở bên phải mặt phẳng phức thì hệ phi tuyến là
không ổn định.
+ Trường hợp hệ tuyến tính hóa ở biên giới ổn định thì không có kết luận về hệ phi tuyến.
2. Tiêu chuẩn ổn định Routh – Hurwitz
Không thể sử dụng trực tiếp tiêu chuẩn Routh – Hurwitz để đánh giá tính ổn định của hệ
rời rạc vì miền ổn định của hệ rời rạc nằm bên trong đường tròn đơn vị.
Ổn định của một hệ thống dữ liệu lẫy mẫu có thể được phân tích bằng cách biến đổi
phương trình đặc tính của hệ thống sang mặt phẳng p rồi áp dụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz.
Khi đó, sử dụng phương pháp Tustin và z được thay thế như sau:
2
2
1 12 (2.5)
1
1
2
pT
pT
pT
pT
e w
z e
pT w
e

 
   


với
2
pT
w 
Khi đó phương trình đặc tính của hệ thống ở dạng w như sau:
1 2
1 2 1 0
( ) ... (2.6)n n n
n n n
F w b w b w b w b w b 
 
     
Bảng Routh - Hurwitz được thiết lập như sau:
n
w n
b 2n
b  4n
b 
…
1n
w 
1n
b  3n
b  5n
b 
…
2n
w 
1
c 2
c 3
c …
… … … … …
1
w 1
j
0
w 1
k
- Hai hàng đầu của dãy Routh - Hurwitz được xác định trực tiếp từ phương trình (2.6) còn
các hàng khác được tính như sau:

Nhóm 3 Page 13
1 2 3 1 3 1 2
1 1
1 1
1 4 5
1
1
1 6 7
1
1
n n n n n n n
n
n n n n
n
n n n n
n
b b b b c b b b
c d
b c
b b b b
c
b
b b b b
c
b
     

  

  

 
 




Tiêu chuẩn Routh - Hurwitz có nghĩa là số gốc của phương trình đặc tính ở bên phải mặt
phẳng p bằng số lần đổi dấu của các hệ số của cột đầu của dãy. Do đó, hệ được xem là ổn định
nếu tất cả các hệ số trong cột đầu phải cùng dấu.
 Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho phương trình đặc tính của một hệ thống điều khiển có dạng:
2
0,7 0z z  
Sử dụng tiêu chuẩn Routh - Hurwitz để xét tính ổn định của hệ thống.
Giải:
Phương trình đặc tính trong mặt phẳng z có thể được chuyển thành phương trình đặc
tính trong mặt phẳng w có dạng như sau:
2
21 1
0,7 0 2,7 0,6 0,7 0
1 1
w w
w w
w w
    
         
    
Thành lập bảng Routh – Hurwitz:
2
w 2,7 0,7
1
w 0,6 0
0
w 0,7

Nhóm 3 Page 14
Nhận thấy các hệ số ở cột đầu tiên cùng dấu do đó hệ ổn định.
Ví dụ 2: Một hệ thống điều khiển số có sơ đồ khối như trên hình. Sử dụng tiêu chuẩn
Routh – Hurwitz để xác định giá trị của k để hệ ổn định. Giả thiết 0k  và 1T s .
Giải:
Phương trình đặc tính của hệ thống: 1 ( ) 0G p  với
1
( )
( 1)
Tp
e k
G p
p p p




Biến đổi z của ( )G p có dạng như sau:
 1
2
( ) 1
( 1)
k
G z z Z
p p
  
   
 
hay
(0,368 0,264)
( ) 0
(z 1)(z 0,368)
k z
G z

 
 
Do vậy, phương trình đặc tính sẽ có dạng:
2(0,368 0,264)
1 0 (1,368 0,368 ) 0,368 0,264 0
(z 1)(z 0,368)
k z
z k z

       
 
Biến đổi phương trình đặc tính sang mặt phẳng w ta được:
2
2
1 1
(1,368 0,368 ) 0,632 0
1 1
(2,736 0,104 ) (1,264 0,528 ) 0,632 0
w w
k
w w
w k w k k
    
      
    
     
Thành lập bảng Routh – Hurwitz:
2
w 2,736 – 0,104k 0,632k
1
w 1,264 – 0,528k 0
0
w 0,632k
Để hệ thống ổn định thì các hệ số của cột thứ nhất phải cùng dấu
1,264 0,528 0 2,4k k   
3. Tiêu chuẩn ổn định Jury
Biểu diễn phương trình đặc tính bậc n của hệ thống như dạng sau:

Nhóm 3 Page 15
1
1 1 0
( ) ... , 0 (2.7)n n
n n n
F z a z a z a z a a

     
Thiết lập bảng Jury với các phần tử được định nghĩa như sau:
+ Các phần tử của mỗi hàng chẵn là các phần tử cuối của hàng trước viết theo thứ tự
ngược lại.
+ Các phần tử hàng lẻ được định nghĩa như sau:
0 0 1 0 2
1 2
, , , ...n k n k n k
k k k
n k n k n k
a a b b c c
b c d
a a b b c c
    
 
  
Như vậy bảng Jury có dạng như sau:
0
z 1
z 2
z … n k
z 
… 1n
z  n
z
0
a 1
a 2
a … n k
a 
… 1n
a  n
a
n
a 1n
a  2n
a 
… k
a … 1
a 0
a
0
b 1
b 2
b … n k
b 
… 1n
b 
1n
b  2n
b  3n
b 
… 1k
b 
… 0
b
0
c 1
c 2
c … n k
c 
…
2n
c  3n
c  4n
c 
… 2k
c 
…
… … … … …
… … … … …
0
l 1
l 2
l 3
l
3
l 2
l 1
l 0
l
0
m 1
m 2
m
Điều kiện cần và đủ để gốc của phương trình đặc tính nằm trong đường tròn đơn vị là:
0
(1) 0, ( 1) ( 1) 0, (2.8)n
n
F F a a    

Nhóm 3 Page 16
0 1
0 1
0 1
0 1
(2.9)
n
n
n
n
b b
c c
d d
m m




 






 

Tiêu chuẩn Jury sẽ trở lên phức tạp nếu bậc của hệ thống tăng lên. Đối với các hệ thống
bậc 2 và bậc 3 thì tiêu chuẩn Jury sẽ trở lên đơn giản hơn rất nhiều.
 Đối với hệ bậc 2, ta có phương trình đặc tính như sau:
2
0 1 2
( )F z a a z a a  
Gốc của phương trình đặc tính sẽ không nằm trên hoặc bên ngoài đường tròn đơn vị nếu:
0 2
(1) 0, ( 1) 0,F F a a   
 Đối với hệ bậc 3 ta có phương trình đặc tính như sau:
2 3
0 1 2 3 3
( ) , 0F z a a z a a a z a    
Gốc của phương trình đặc tính sẽ không nằm trên hoặc bên ngoài đường tròn đơn vị nếu :
0 3
0 3 0 1
3 0 3 2
(1) 0, ( 1) 0,
det det
F F a a
a a a a
a a a a
    

   
   
   
 Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho hàm truyền của một hệ thống có dạng như sau:
( ) ( )
( ) 1 ( )
y z G z
r z G z


trong đó 2
0,2 0,5
( )
1,2 0,2
z
G z
z z


 
.
Sử dụng tiêu chuẩn ổn định Jury để kiểm tra xem hệ thống có ổn định hay không.
Giải:
Phương trình đặc tính của hệ thống có dạng:
2
2
0,2 0,5
1 ( ) 1 0 0,7 0
1,2 0,2
z
G z z z
z z

       
 
Áp dụng tiêu chuẩn Jury ta có:
0 2
(1) 0,7 0, ( 1) 2,7 0, 0,7 1F F a a       
 Hệ thống không ổn định.

Nhóm 3 Page 17
Ví dụ 2: Cho phương trình đặc tính của một hệ thống có dạng như sau:
2
(0,2 0,5)
1 ( ) 1 0
1,2 0,2
k z
G z
z z

   
 
Xác định k để hệ thống ổn định.
Giải:
Phương trình đặc tính của hệ thống:
2
(0,2 1,2) 0,5 0,2z k z k   
Áp dụng tiêu chuẩn Jury ta có:
0 2
(1) 0,3 0, ( 1) 4,5 0, 0,1 1F F a a        
Vậy điều kiện thứ nhất của tiêu chuẩn Jury được thỏa mãn.
Mặt khác ta có:
0 3
3 0 0 3 0 1
3 0 3 20 1
3 2
0,1 1
det det 0,99 0,99
1 0,1
det det
0,1 1,4
det det 1,2 1,2
1 2
a a
a a a a a a
a a a aa a
a a
    
       
       
     
       
         
Điều này có nghĩa là điều kiện thứ hai của tiêu chuẩn Jury không được thỏa mãn, nên hệ
này không ổn định.
Ví dụ 3: Cho hệ thống rời rạc có phương trình đặc tính:
3 2
5 2 3 1 0z z z   
Xét tính ổn định của hệ thống được mô tả bởi phương trình trên.
Giải:
Thành lập bảng Jury:
Hàng 1 5 2 3 1
Hàng 2 1 3 2 5
Hàng 3
5 11
4,8
5 1 5

5 31
1,4
5 1 2

5 21
2,6
5 1 3

Hàng 4 2,6 1,4 4,8
Hàng 5
4,8 2,61
3,39
4,8 2,6 4,8

4,8 1,41
0,61
4,8 2,6 1,4


Nhóm 3 Page 18
Hàng 6 0,61 3,39
Hàng 7
3,39 0,611
3,28
3,39 0,61 3,39

Do các hệ số ở hàng lẻ cột 1 của bảng Jury đều dương nên hệ thống ổn định.

Nhóm 3 Page 19
Phần III. Tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động liên tục.
I. Ổn định của hệ thống tuyến tính
1. Điều kiện ổn định của hệ thống.
Hệ thống ổn định khi lim ( ) 0
t
e t

 hoặc một giá trị cố định.
Hệ thống không ổn định nếu lim ( )
t
e t

 
Hệ thống ở biên giới ổn định nếu lim ( )
t
e t

 dao động có biên độ không đổi.
Khảo sát tính ổn định của hệ thống chính là khảo sát hệ thống ở hai quá trình: quá trình
quá độ và quá trình xác lập. Xét sự ổn định của hệ thống chủ yếu là khảo sát hệ thống ở quá trình
quá độ.
2. Sự ổn định của hệ thống liên tục trong quá trình quá độ.
Một hệ thống tuyến tính liên tục được gọi là ổn định nếu quá trình quá độ của nó tắt dần
theo thời gian, không ổn định nếu quá trình quá độ của nó tăng dần theo thời gian và ở biên giới
ổn định nếu quá trình quá độ của nó dao động với biên độ không đổi hoặc bằng hằng số.
(1): Hệ thống ổn định và không dao động.
(2): Hệ thống ổn định và dao động
(3): Hệ thống không ổn định và không dao động
(4): Hệ thống không ổn định và dao động
(5): Hệ thống dao động với biên độ không đổi (biên giới ổn định).
Để biết hệ thống điều khiển tự động có ổn định hay không ta phải giải phương trình vi phân
mô tả quá trình động học của nó. Dạng tổng quát:
Mô tả các trạng thái quá
độ của hệ thống điều
khiển tự động.

Nhóm 3 Page 20
1 1
0 1 1 0 1 11 1
... ... (3.1)
n n m m
n n m mn n m m
d y d y dy d u d u du
a a a a y b b b b u
dt dtdt dt dt dt
 
  
        
Nghiệm của phương trình (3.1) gồm hai thành phần: 0
( ) ( ) ( )qd
y t y t y t 
Trong đó: ( )qd
y t là nghiệm tổng quát của (3.1), đặc trưng cho quá trình quá độ, ( )qd
y t
có được bằng cách giải phương trình vi phân đồng nhất:
1
0 1 11
... 0 (3.2)
n n
n nn n
d y d y dy
a a a a y
dtdt dt


    
0
( )y t là nghiệm riêng của (3.1) đặc trưng cho quá trình xác lập. Nghiệm riêng này phụ
thuộc vào tác động đầu vào, nếu tác động đầu vào cố định thì 0
( )y t cũng cố định, như vậy nó
không ảnh hưởng đến tính ổn định của hệ thống.
Tính ổn định của hệ thống được phản ánh qua nghiệm tổng quát, nghiệm này hoàn toàn
không chịu ảnh hưởng của tác động bên ngoài, vì vậy tính ổn định là tính chất bên trong của hệ
thống, là bản chất của hệ thống.
Để xác định ( )qd
y t ta phải tính nghiệm của phương trình đặc tính:
1
0 1 1
... 0 (3.3)n n
n n
a p a p a p a

    
Nghiệm tổng quát của ( )qd
y t là:
1
( ) (3.4)i
n
p t
qd i
i
y t c e

 
Trong đó i
c là các hằng số, nghiệm i
p có thể tồn tại một trong các dạng như sau:
+ Nghiệm thực: i i
p 
+ Nghiệm phức: i i i
p j  
+ Nghiệm thuần ảo: i i
p j
 Ảnh hưởng của các loại nghiệm đến tính chất của hệ thống:
Khi nghiệm của phương trình đặc tính là nghiệm thực (hệ không dao động):
0 0
lim
0
it i
t
i
khi
e
khi
 

 

  
Khi nghiệm của phương trình đặc tính là nghiệm phức:

Nhóm 3 Page 21
( ) 0 0
lim
0
i ij t i
t
i
khi
e
khi
  



 

  
Nếu nghiệm của phương trình đặc tính là nghiệm thuần ảo:
lim ij t
t
e


 dao động với biên độ không đổi.
Kết luận:
- Hệ thống điều khiển tự động ổn định ( lim ( ) 0
t
e t

 ) nếu tất cả các nghiệm của
phương trình đặc tính có phần thực âm (các nghiệm nằm ở nửa bên trái mặt phẳng phức).
- Hệ thống điều khiển tự động không ổn định ( lim ( )
t
e t

  ) nếu phương trình đặc tính
chỉ cần có một nghiệm có phần thực dương (nghiệm nằm ở nửa bên phải mặt phẳng phức).
- Hệ thống điều khiển tự động sẽ nằm ở biên giới ổn định nếu phương trình đặc tính chỉ
cần có một nghiệm có phần thực bằng 0 và các nghiệm còn lại có phần thực bé hớn 0 (có một
nghiệm nằm trên trục ảo, các nghiệm còn lại nằm bên trái mặt phẳng phức).
Phân
vùng
nghiệm
trên mặt
phẳng
phân bố
nghiệm
số.

Nhóm 3 Page 22
Phần IV. Kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.
I. Tiêu chuẩn ổn định đại số
1. Điều kiện cần
Điều kiện đầu tiên (mà có nó hệ thống mới được xét ổn định hay không, khi nó không tồn
tại thì kết luận ngay là hệ thống không ổn định) được gọi là điều kiện cần thiết. Khi không tồn tại
điều kiện ổn định cần thiết thì hệ thống được liệt vào loại có cấu trúc không ổn định và lúc đó
phải thay đổi cấu trúc của nó.
Giả sử hệ thống điều chỉnh tự động ổn định và có phương trình đặc tính:
1
0 1 1
... 0n n
n n
a p a p a p a

    
Như vậy phương trình đặc tính có hai loại nghiệm:
+ Nghiệm thực: i i
p   (giả sử có m nghiệm).
+ Nghiệm phức: k k k
p j    có
2
n m
nghiệm. với , ,i k k
   đều dương.
Phương trình đặc tính được chuyển sang dạng:
    
( )/2
0
1 1
. 0
n mm
i k k k k
i k
a p p j p j    

 
      
Suy ra:
   
( )/2
2 2
0
1 1
. 0 (4.1)
n mm
i k k
i k
a p p  

 
    
   
Khai triển vế trái của phương trình (4.1) ta sẽ được một đa thức gồm các hệ số dương.
Đây chính là điều kiện cần thiết của hệ thống ổn điều khiển tự động.
Như vậy điều kiện cần thiết để hệ thống ổn định là tất cả các hệ sổ của phương trình đặc
tính phải dương (mở rộng ra là các hệ số phải cùng dấu).
Ví dụ: Một hệ thống tự động có phương trình đặc tính:
3 2
0,2 3 0,1 5 0p p p    .
Ta thấy các hệ số 0, 1,3i
a i  nên hệ có thể ổn định. (Để biết hệ có ổn định hay
không thì cần phải xét đến các điều kiện đủ)
2. Tiêu chuẩn Routh
a. Phát biểu tiêu chuẩn Routh
Điều kiện cần và đủ để hệ thống tuyến tính ổn định là tất cả các số hàng trong cột thứ
nhất của bảng Routh dương.
b. Thành lập bảng Routh.
Giả sử hệ thống có phương trình đặc tính bậc n:
1
0 1 1
... 0 (4.2)n n
n n
a p a p a p a

    

Nhóm 3 Page 23
Dạng bảng Routh
0
a 2
a 4
a 6
a
1
a 3
a 5
a 7
a
0
b 2
b 4
b 6
b
1
b 3
b 5
b 7
b
0
z
1
z
Cách tính các hệ số của bảng Routh
0 2 0 4
0 2
1 3 1 5
1 3 1 5
0 0
0 2 0 4
a a a a
b b
a a a a
a a a a
b b
b b b b
   
   
Cách thành lập bảng
- Dòng đầu tiên của bảng Routh ghi các số hạng có chỉ số chẵn, dòng thứ hai ghi các số
hạng có chỉ số lẻ.
- Mỗi số hạng trong một hàng của bàng Routh là một số âm có giá trị là một định thức
bậc hai với cột thứ nhật là cột thứ nhất của hai hàng ngay sát trên hàng có số hạng đang tính; cột
thứ hai là hai hàng ngay sát trên và nằm bên phải hàng có số hàng đang tính.
- Bảng Routh sẽ kết thúc khi nào dòng cuối cùng chỉ còn một số hạng.
Tính chất của bảng Routh
- Có thể nhân hoặc chia các số hạng trên cùng một hàng của bảng Routh với một số
dương thì kết quả tính toán vẫn không thay đổi.
- Số lần đổi dấu của các số hạng trong cột đầu tiên của bảng Routh bằng số nghiệm của
phương trình đặc tính có phần thực dương.
- Nếu trị số gần cuối ở cột một bằng 0  1
0n
C  có nghĩa là nghiệm kép thuần ảo. Trị số
cuối cùng sẽ không được tính vì 1n
r 
  . Nếu trị số cuồi cùng bằng 0  1 1
0n
C 
 thì phương
trình đặc tính có một nghiệm bằng 0 vì 0n
a  .
- Nếu cột đầu tiên của bảng có một số hạng bằng 0 thì hệ cũng không ổn định.
- Nếu các hệ số của một hàng bằng 0, hệ có nghiệm phải hoặc cặp nghiệm nằm trên trục
ảo.
- Trường hợp hệ thống có khâu chậm trễn, có thể khai triển Fourier hàm mũ như sau:

Nhóm 3 Page 24
2
( ) ( )
1 ...
1! 2!
p p p
e     
   
- Tiêu chuẩn Routh có thể áp dụng cho cả hệ hở và hệ kín.
c. Một số ví dụ áp dụng.
Ví dụ 1: Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc tính:
5 4 3 2
12 6 18 6 6 1 0p p p p p      
Giải:
 Điều kiện cần
Ta nhận thấy 0, ( 0:5)i
a i  nên hệ thỏa mãn điều kiện cần để hệ thống ổn định.
 Điều kiện đủ
- Lập bảng Routh:
12 8 6
hay
2 3 1
6 6 1 6 6 1
0
b 2
b 0
b 2
b
1
b 3
b 1
b 3
b
0
c 0
c
1
c 1
c
(Vì các số hạng thuộc hàng 1 của bảng Routh đều chia hết cho 6).
- Ta có:
0 2 1 3
0 1
2 3 2 1 6 6 6 1
6, 4, 12, 6
6 6 6 1 6 4 6 0
6 4 12 6
12, 72
12 6 12 0
b b b b
c c
           
     
- Nhận thấy các số hạng thuộc cột đầu tiên của bảng Routh đều dương nên thỏa mãn điều
kiện ổn định. Vậy hệ thống được mô tả bằng phương trình cho là ổn định.
Ví dụ 2: Cho hệ thống có đối tượng điều khiển:
0 3 2
1
( )
5 8 4
W p
p p p

  
Bộ điều khiển có hàm truyền đạt: ( )C P D
W p K K p  (Bộ PD).

Nhóm 3 Page 25
Tìm khoảng hiệu chỉnh các tham số của bộ điều khiển. (Thực chất là bài toán tìm điều
kiện để hệ thống ổn định)
Giải:
 Tìm đa thức đặc trưng của hệ thống kín ( )A p .
Hàm truyền đạt của hệ thống hở:
0 3 2
1
( ) ( ). ( ) .( )
5 8 4h C P D
W p W p W p K K p
p p p
  
  
Hàm truyền đạt của hệ thống kín:
3 2
( )
( )
1 ( ) 5 (8 ) (4 )
h P D
k
h D P
W p K K p
W p
W p p p K p K

 
     
Phương trình đặc tính của hệ thống kín là:
3 2
( ) 5 (8 ) (4 ) 0D P
A p p p K p K      
Biểu diễn bằng hệ thống sơ đồ
 Xét tính ổn định.
- Điều kiện cần: Các hệ số 0, ( 0:3)i
a i 
8 0 8
4 0 4
D D
P P
K K
K K
    
  
    
Trên thực tế:
0
0
D
P
K
K
 


. Nếu 0D
K  ta có bộ điều khiển P (tỉ lệ).
- Điều kiện đủ: Xét ổn định theo tiêu chuẩn Routh:
1 8 D
K
5 4 P
K
0
b
1
b
Ta có:

Nhóm 3 Page 26
0
1 8
36 5
5 4
D
D P
P
K
b K K
K

    

, 1 0
0
5 4
(4 )b
0
P
P
K
b K
b

   
Điều kiện ổn định:
0
1
0 36 5 0 36 5
0 4 0 4
D P P D
P P
b K K K K
b K K
       
   
      
Kết hợp với điều kiện cần, ta có điều kiện để hệ thống ổn định là:
0
0
36 5
D
P
P D
K
K
K K
 


  
Vậy miền ổn định là vùng gạch chéo như ở hình dưới.
3. Tiêu chuẩn Hurwitz
a. Phát biểu
Điều kiện cần và đủ để hệ thống tuyến tính ổn định là hệ số 0
0a  và các định thức
Hurwitz dương.
b. Cách lập định thức Hurwitz
Giả sử hệ thống có phương trình đặc tính bậc n:
1
0 1 1
( ) ... 0 (4.3)n n
n n
A p a p a p a p a

     
Định thức Hurwitz bậc n:
1 3 5 7
0 2 4 6
1 3 5
0 2 4
0
0
0 0
0 0
0
n
n
a a a a
a a a a
a a a
a a a
a
 

Nhóm 3 Page 27
Đường chéo chính của n
 bắt đầu tử 1
a đến n
a . Trong cùng một cột, các số hạng thuộc
đường chéo chính có chỉ số tăng dần; các số hạng dưới số hạng thuộc đường chéo chính có chỉ số
giảm dần. Nếu chỉ số lớn hơn n hoặc nhỏ hơn 0 thì ghi 0. Có tất cả n định thức Hurwitz từ bậc 1
đến bậc n.
Tiêu chuẩn Hurwitz thường áp dụng cho hệ thống có phương trình đặc tính bậc thấp (
4n  ).
Tiêu chuẩn Hurwitz cũng được dùng để xét tính ổn định cho cả hệ hở và hệ kín.
c. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc tính bậc hai:
2
0 1 2
0a p a p a  
Giải
Điều kiện cần: 0 1 2
, , 0a a a 
Điều kiện ổn định theo tiêu chuẩn Hurwitz:
1 1
1
1
2 2
0 2
0
0
0
0 0
a
a
a
a
a a
   
 
 
   

Kết hợp cả hai điều kiện trên, ta có điều kiện cần và đủ để một hệ thống có phương trình
đặc tính bậc hai ổn định là 0 1 2
, , 0a a a  .
Nhận xét:
Các tiêu chuẩn ổn định đại số có thể được sử dụng để xét tính ổn định cho cả hệ thống hở
và hệ thống kín. Tuy nhiên, nếu xét về mức độ phức tạp thì việc tính toán các định thức Hurwitz
phức tạp hơn việc lập bảng Routh rất nhiều, nhất là đối với các phương trình đặc tính bậc cao. Vì
vậy, trong thực tế thường hay sử dụng tiêu chuẩn Routh để xét tính ổn định của hệ thống hơn.
Có thể dụng tiêu chuẩn Routh hoặc tiêu chuẩn Hurwitz để xét điều kiện ở biên giới ổn
định của hệ thống. Đối với tiêu chuẩn Routh: số hạng cuối cùng trong cột đầu tiên của bảng
Routh bằng 0 và các số hạng còn lại trong cột đầu tiên của bảng Routh dương. Đối với tiêu
chuẩn Hurwitz: định thức 1n
 bằng 0 còn giá trị các định thức khác phải xác định dương.
4. Tiêu chuẩn Lienard-Chipart
Thực chất, tiêu chuẩn Lienard – Chipart là một hệ quả của tiêu chuẩn Hurwitz. Nó giúp
cho người sử dụng giảm bớt đường số lượng tính các định thức det( ) 1, 2, ...,i i
D H i n 
phải tính khi kiểm tra tính ổn định của một hệ thống.
Xét đa thức: 1
0 1 1
(s) ... 0n n
n n
A a a s a s a s

      có 0 0:i
a i n  .

Nhóm 3 Page 28
Lập ma trận H theo (2.131). Vì 1n n n
D a D 
 nên khi đã có 1
0, 0n n
a D 
  thì chắc
chắn là 0n
D  . Do đó việc kiểm tra điều kiện tiếp theo 0n
D  có được thỏa mãn hay không là
không cần thiết.
Viết lại tiêu chuẩn Hurwitz cho các đa thức ( )A s với những bậc cụ thể:
1n  : ( )A s là Hurwitz  0 1
0a a 
2n  : ( )A s là Hurwitz  0 1 2
0a a a 
3n  : ( )A s là Hurwitz  0 1 2
1 2 0 3
0
0
a a a
a a a a
 

 
4n  : ( )A s là Hurwitz  0 1 2
2
3 1 2 0 3 1 4
0
( ) 0
a a a
a a a a a a a
 

  
Lienard – Chipart đã xây dựng được mối quan hệ tổng quát giữa 2i
H (ma trận có chỉ số
chẵn) và 2 1i
H 
(ma trận có chỉ số lẻ).
Định lý Lienard – Chipart:
Cho đa thức:
2
0 1 2 0
( ) ... , 0 (4.4)n
n
A s a a s a s a s a     
Đa thức (4.4) là đa thức Hurwitz khi và chỉ khi:
2
2 1
0, 0:
det( ) 0, 1, 2, ...
0, 0:
det( ) 0, 1, 2, ...
i
i
i
i
a i n
H i
a i n
H i
   
 
  
  
  
Như vậy ta thấy với tiêu chuẩn Lienard – Chipart, số lượng các phép tính phải thức hiện
chỉ bằng một nửa so với khi sử dụng trực tiếp tiêu chuẩn Hurwitz.
Ví dụ: Tìm điều kiện của tham số k để hệ có hàm truyền được ổn định:
2 3
1
( )
4 ( 3)
G s
ks k s s

   
Giải:
Áp dụng tiêu chuẩn Lienard – Chipart với
2 3
( ) 4 ( 3)A s ks k s s     ta có:
0, 3 0k k   (chỉ cần xét 2 2
det( )D H thay vì phải xét tất cả 1 2 3
, ,D D D )

Nhóm 3 Page 29
2
1 0
1
4 3 0
4 3
0 1
k
k
H k H
k
k
 
  
         
 
2
det( ) ( 3) 4 0H k k    
Vậy để hệ ổn định thì k phải thỏa mãn:
0
0
14
( 1)( 4) 0
1
k
k
kk
k k
k
 
  
     
     
II. Một số trường hợp đặc biệt của tiêu chuẩn Routh – Hurwitz.
Có hai trường hợp có thể xảy ra:
+ Xuất hiện toàn số 0 ở cột thứ nhật
+ Xuất hiện toàn số 0 ở trong một hàng.
1. Trường hợp xuất hiện toàn số 0 ở cột thứ nhất.
Nếu có số 0 ở cột thứ nhất thì việc tạo ra hàng tiếp theo sẽ chia cho số 0. Để tránh trường
hợp này, tá gán một giá trị để thay thế số 0. Sau đó dùng để tính toán và xét dấu cho  (  ).
Ví dụ: Xác định tính ổn định của hàm truyền hệ kín sau:
5 4 3 2
10
( )
2 3 6 5 3
T s
s s s s s

    
Giải:
Lập bảng Routh và xét dấu:
     
5
s 1 3 5 5
s 1 + +
4
s 2 6 3 4
s 2 + +
3
s 0 
7
2
0 3
s 0  + 
2
s
6 7


3 0 2
s
6 7


 +
1
s
2
6 42 42
12 14
  

  

0 0 1
s
2
6 42 42
12 14
  

  

+ +
0
s 3 0 0 0
s 3 + +

Nhóm 3 Page 30
Nhìn bảng xét dấu cả trong hai trường hợp   thì ở cột thứ nhất đổi dấu hai lần, có
nghĩa là phương trình đặc tính có hai nghiệm nằm bên phải trục ảo. Do đó hệ thống được mô tả
bằng phương trình như ở trên là không ổn định.
2. Trường hợp có một hàng chứa toàn số 0
Khi gặp trường hợp này ta đầu tiên quay lại hàng phía trên hàng có toàn số 0 và thành lập
một đa thức phụ mà sử dụng các giá trị của hàng đó làm hệ số. Đa thức bắt đầu với lũy thừa của
s ở cột ký hiệu s và bỏ biến tiếp theo và thực hiện hạ bậc đa thức phụ.
Ví dụ: Xác định số nghiệm nằm bên phải trục ảo của hệ kín sau:
5 4 3 2
10
( )
7 6 42 8 56
T s
s s s s s

    
Lập bảng Routh:
Đa thức phụ:
4 2
( ) 6 8P s s s  
Lấy vi phân đa thức trên ta được:
3( )
4 12 0 (4.5)
dP s
s s
ds
  
Sử dụng các hệ số trong đa thức (4.5) để thay thế hàng có toàn số 0, sau khi thay và tính
toán ta thấy cột đầu tiên các hệ số đều dương, do vậy không có điểm cực nào nằm bên phải trục
ảo.
3. Sử dụng tiêu chuẩn Routh – Nyquist để thiết kế tính ổn định của hệ thống
Cho hệ thống sau:

Nhóm 3 Page 31
Hệ thống có hệ số khuếch đại K chưa biết.
Tìm phạm vi của hệ số khuếch đại K để hệ thống ổn định, không ổn định hay ở biên giới
ổn định.
Giải:
Hàm truyền của hệ kín:
3 2
( )
18 77
K
T s
s s s K

  
Thành lập bảng Routh:
3
s 1 77
2
s 18 K
1
s
1386
18
K
0
s K
Giả thiết 0K  , các phần tử trong cột đầu tiên đều dương ngoại trừ 1
s . Giá trị có thể
dương, âm hay bằng 0 tùy thuộc vào giá trị của K .
Nếu 1386K  thì tất cả các phần tử của cột đầu tiên đều dương, không có sự đổi dấu do
vậy các điểm cực nằm bên trái trục ảo. Vậy hệ thống ổn định với 1386K  .
Nếu 1386K  thì phần tử ở hàng 1
s âm và trong cột đầu tiên có sự đổi dấu hai lần, do
vậy có hai nghiệm nằm bên phải trục ảo và một nghiệm nằm bên trái trục ảo. Điều này có nghĩa
là hệ thống không ổn định khi 1386K  .
Nếu 1386K  thì sẽ xuất hiện số 0 ở hàng 1
s và thay 1386K  sau đó lập đa thức
phụ:
2
( ) 18 1386P s s 
Lấy vi phân:
( )
36 0 (4.6)
dP s
s
ds
 
Thay các hệ số trong đa thức (4.6) vào bảng Routh:
Nhận xét:

Nhóm 3 Page 32
Các phần tử trong cột thứ nhất đều dương và không có sự đổi dấu. Đa thức ( 2
s ) có bậc
chẵn có hai nghiệm nằm bên phải trục ảo và nghiệm còn lại nằm bên trái trục ảo. Do vậy hệ
thống ở biên giới ổn định khi 1386K  .
Bài toán: Xét tính ổn định cho hệ có mô tả toán học dưới dạng mô hình trạng thái
Cho hệ thống có mô hình trạng thái như sau:
x Ax Bu
y Cx Du
 
 
Điều kiện cần và đủ để cho hệ thống ổn định là các giá trị riêng của ma trận A nằm bên
trái trục ảo của mặt phẳng phức.
Ví dụ: Cho hệ thống có mô hình trạng thái:
0 1 0
2 3 5
1 0
x x u
y x
   
    
    
   
Giải:
Ta có:
21 0 0 1 1
det( ) ( 3) 2 3 2 0
0 1 2 3 2 3
s
sI A s s s s s
s
    
             
     
Có hai nghiệm là 1 2
1 & 2s s    đây là các giá trị riêng của ma trận A. Vì các giá
trị riêng này đều nằm bên trái trục ảo cho nên hệ thống ổn định.
Ví dụ 2: Hệ thống được mô tả toán học như sau:
0 3 1 10
2 8 1 0
10 5 2 0
1 0 0
x x u
y x
   
   
    
        
   
Tìm xem có bao nhiêu điểm cực nằm trên, bên trái, bên phải trục ảo.
Giải:
Tính:

Nhóm 3 Page 33
3 2
1 0 0 0 3 1 3 1
det( ) 0 1 0 2 8 1 2 8 1
0 0 1 10 5 2 10 5 2
6 7 52 0
s
sI A s s
s
s s s
     
   
         
         
    
Lập bảng Routh:
Từ bảng Routh ta thấy trong cột đầu tiên đổi dấu một lần, hệ thống có một điểm cực nằm
bên phải và hai điểm cực nằm bên trái trục ảo nên hệ thống không ổn định.
III.Tiêu chuẩn ổn định tần số
1. Nguyên lý góc quay
Xét hệ thống bậc n có phương trình đặc tính hệ số hằng:
1
0 1 1
( ) ... 0 (4.7)n n
n n
A s a s a s a s a

     
Đa thức ( )A s được viết dưới dạng:
0 1 2
( ) ( )( )...( )n
A s a s p s p s p   
Với 1 2
, , ..., n
p p p là cực của hệ thống, là nghiệm của phương trình đặc tính.
Thay s j vào phương trình (4.7) ta có:
0 1 2
( ) ( )( )...( )n
A j a j p j p j p      
Giả sử phương trình (4.7) có m nghiệm phải (có phần thực dương), còn  n m nghiệm
trái có phần thực âm.

Nhóm 3 Page 34
Góc quay của vector đa thức đặc tính tần số ( )G j
1
arg ( ) arg( )
n
i
i
A j j p 

 
Khi tần số  thay đổi từ  đến thì sự thay đổi góc quay của vecto đa thức đặc tính
tần số ( )A j sẽ là:
1
arg ( ) arg( )
n
i
i
A j j p
 
 
   
  
Ký hiệu  chỉ sự thay đổi góc quay.
Nếu quy định chiều quay dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ thì ta có biểu thức sau
đối với nghiệm trái và nghiệm phải:
arg( ) , arg( )n m m
j p j p
 
   
   
      
Hệ có m nghiệm phải và  n m nghiệm trái:
arg( ) ( ) ( 2 )j n m m n m

   
 
     
Nguyên lý góc quay: Hệ thống bậc n có m nghiệm phải và (n – m) nghiệm trái có vecto
đa thức đặc tính tần số ( )A j sẽ quay một góc là
2
2
n m
vòng kín theo chiều ngược chiều kim
đồng hồ khi tần số  biến thiên từ  đến  .
2
arg ( ) .2
2
n m
A j

 
 
 
   
 
Vector đa thức đặc tính tần số ( )A j sẽ quay một góc bằng hiệu số nghiệm trái
 n m và nghiệm phải m nhân với  khi  biến thiên từ  đến .
2. Tiêu chuẩn Mikhailope
Dựa vào tính chất tần số của đa thức đặc tính để xét tính ổn định của hệ thống. Giả sử hệ
thống điều khiển tự động có phương trình đặc tính dạng:
1
0 1 1
( ) ... 0 (4.8)n n
n n

     
Có nghiệm là , 1:i
p i n thì đa thức đặc tính của nó có thể chuyển sang dạng:
 0
1
( ) (4.9)
n
i
i
A p a p p

 
Nếu xét trên mặt phẳng phức thì mỗi số hạng trong đa thức trên là một vector có chân tại
điểm i
p và đỉnh nằm trên trục ảo j .

Nhóm 3 Page 35
Vector i
j p  trên mặt phẳng phức.
+ Nếu i
p nằm bên trái trục ảo thì arg( )i
j p

 
 
   .
+ Nếu i
p nằm bên phải trục ảo thì arg( )i
j p

 
 
    .
(Vector quay theo chiều kim đồng hồ lấy dấu âm, còn ngược lại thì lấy dấu dương).
Biểu đồ vector đa thức đặc tính có thể biểu diễn như sau:
  1
arg( )
0 0
1 1
( ) . (4.10)
n
i
i
n n j j p
i i
i i
A p a p p a j p e

 

 

    
Vậy:
1
arg ( ) arg( ) ( ) ( 2 )
n
i
i
A j j p n k k n k

    
  
        
Với k là số nghiệm của phương trình đặc tính có phần thực dương. Hệ thống ổn định khi
k = 0 nên:
0
arg ( ) arg ( )
2
A j n hay A j n
 

  
   
    vì thường xét biến đổi từ 0 đến  .
Phát biểu tiêu chuẩn ổn định Mikhailope:
Hệ thống điều khiển tự động có đa thức đặc tính bậc n với các hệ số dương sẽ ổn định
nếu biểu đồ vector đa thức đặc tính ( )A j xuất phát từ một điểm trên phần dương trục thực
quay một góc bằng
2
n

quanh gốc tọa độ và ngược chiều kim đồng hồ khi thay đổi từ 0 đến
 .

Nhóm 3 Page 36
Các dạng biểu đồ vector đa thức đặc trưng
Biều đồ (a): biểu đồ vector đa thức đặc tính cho hệ thống ổn định.
Biều đồ (b): biểu đồ vector đa thức đặc tính cho hệ thống không ổn định.
3. Tiêu chuẩn Nyquist.
 Tiêu chuẩn Nyquist dùng để xét tính ổn định cho cả hệ hở và hệ kín dựa vào đặc tính tần
– biên - pha của hệ hở.
 Phát biểu tiêu chuẩn Nyquist: Nếu phương trình đặc tính của hệ hở có k nghiệm bên phải
trục ảo thì hệ thống kín sẽ ổn định nếu đặc tính tần biên pha (TBP) của hệ hở bao điểm
 1, 0j một góc bằng k khi thay đổi từ 0 đến  .
 Khái niệm đường cong bao một điểm:
Kẻ một vector có chân là điểm được bao còn đầu ở trên đường cong, sau đó cho đầu
vector trượt từ đầu đường cong đến cuối đường cong. Góc quay  của vector bằng bao nhiêu thì
ta nói đường cong bao điểm đã cho bấy nhiêu (vector quay theo chiều kim đồng hồ thì góc quay
lấy dấu âm còn quay ngược chiều kim đồng hồ thì góc quay lấy dấu dương).
Trong hình trên: Đường cong khép kín bao điểm 1
M một góc bằng 2 và không bao
điểm 2
M (góc bao 0  ).
Mô tả
góc
bao

Nhóm 3 Page 37
Chứng minh tiêu chuẩn Nyquist:
Giả sử hệ thống hở có hàm truyền đạt:
( )
( )
( )h
Q p
W p
P p

Trong đó ( )P p là đa thức đặc tính bậc n và ( )Q p là đa thức bậc m với m n . Giả
sử ( )P p có nghiệm k nằm bên phải trục ảo. Như vậy:
0
arg ( ) ( ) ( 2 ) (4.11)
2 2 2
P j n k k n k

  

 
     
Hàm truyền đạt của hệ thống kín:
( ) ( )
( ) (4.12)
1 ( ) ( ) ( )
h
k
h
W p Q p
W p
W p Q p P p
 
 
Đa thức đặc tính của hệ thống kín là ( ) ( )Q p P p . Theo tiêu chuẩn Mikhailope, hệ kín
sẽ ổn định nếu:
0
arg ( ) ( ) (3.12)
2
Q j P j n


 
 
    
Xét biểu thức
( ) ( )
( ) 1 ( )
( )h
Q j P j
J j W j
P j
 
 


  
       
0 0 0
arg arg arg (4.13)J j Q j P j P j
  
   
     
 
      
 
Khi hệ kín ổn định thì
 0
arg ( ) 2 (4.14)
2 2
J j n n k k

 
 
 
    
Như vậy khi  thay đổi từ 0 đến  , biểu đồ vector  J j sẽ bao tâm tọa độ một góc
bằng k . Biểu đồ  J j chính là do đặc tính tần biên pha của hệ thống hở chuyển sang bên
phải một đơn vị. Do đó, nếu  J j bao tâm tọa độ một góc bằng k thì đặc tính tần biên pha
của hệ hở cũng bao điểm  1, 0j một góc bằng k .

Nhóm 3 Page 38
Cách xét ổn định cho các đường đặc tính tần biên pha phức tạp.
 Trong thực tế thường gặp hệ hở ổn định hay ở biên giới ổn định ( 0k  ), lúc đó hệ kín
sẽ ổn định nếu đặc tính tần biên pha của hệ hở không bao điểm  1, 0j .
Trong nhiều trường hợp, hệ hở ổn định hay ở biên giới ổn định có đặc tính tần biên pha
rất phức tạp, nên việc xác định nó bao hay không bao điển  1, 0j rất khó khăn. Đối với
trường hợp này, ta có thể sử dụng số lần chuyển từ âm sang dương ( )C và từ dương sang âm
( )C của đặc tính tần biên pha của hệ hở trên nửa đường thẳng từ  đến 1 thuộc trục thực.
+ Nếu C C   thì hệ kín ổn định (đặc tính tần biên pha hệ hở không bao điểm
 1, 0j ).
+ Nếu C C   thì hệ kín không ổn định.
IV.Phương pháp quỹ đạo nghiệm số
1. Giới thiệu về phương pháp quỹ đạo nghiệm số.
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số dùng để phân miền ổn định của hệ thống điều khiển tự
động trong tọa độ thay đổi thông số của nó. Ứng với một giá trị cố định của thông số biến đổi, hệ
thống có một trạng thái ổn định nào đó. Nếu có thể biểu diễn trạng thái ổn định của hệ bằng vị trí
nghiệm số của phương trình đặc tính trên mặt phẳng phức thì khi giá trị thông số biến đổi cũng
làm vị trí nghiệm của phương trình đặc tính trên mặt phẳng phức thay đổi. Do sự thay đổi đó mà
vị trí các nghiệm số phương trình đặc tính sẽ tạo nên một số quỹ đọa nào đó trong mặt phẳng
phức.
Những đoạn quỹ đạo nghiệm số nằm bên trái trục ảo ứng với hệ thống ổn định; giao điểm
của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo cho ta trạng trái hệ thống ở biên giới ổn định và nếu quỹ đạo
nghiệm số nằm bên phải trục ảo thì hệ thống không ổn định.
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số thường dùng cho hệ thống có một thông số biến đổi
tuyến tính.
2. Phương pháp xây dựng quỹ đạo nghiệm số
Xét hệ thống có phương trình đặc tính bậc n:

Nhóm 3 Page 39
1
0 1 1
( ) ... 0 (4.15)n n
n n

     
Nếu trong hệ thống có một thông só  biến đổi thì phương trình đặc tính sẽ có dạng:
( ) ( ) ( ) 0 (4.16)A p N p M p  
Trong đó ( )N p là đa thức bậc n và M(p) là đa thức bậc m với m nhỏ hơn hoặc bằng n.
Từ (4.16) ta có:
( )
(4.17)
( )
N p
M p


 
Gọi:
"
( 1: )j
p j n là các nghiệm của phương trình ( ) 0M p  .
'
( 1: )i
p i n là các nghiệm của phương trình ( ) 0N p  .
( 1: )i
p i n là các nghiệm của phương trình ( ) 0A p  .
Ta có biểu diễn ( ), ( ), ( )M p N p A p thông qua dạng tích của các thừa số:
 
 
 
"
1
'
1
1
( )
( )
( )
m
j
j
n
i
i
m
i
i
M p p p
N p p p
A p p p



 
 
 



Khi đó (4.16) sẽ có dạng:
   ' "
1 1
( ) 0 (4.18)
n m
i j
i j
A p p p p p
 
     
Để xây dựng quỹ đạo nghiệm số ta cần xác định:
+ Điểm xuất phát và điểm kết thúc của quỹ đạo nghiệm số.
+ Số lượng quỹ đạo trên mặt phẳng nghiệm
+ Các đường tiệm cận của quỹ đạo
+ Hướng dịch chuyển của quỹ đạo và các điểm đặc biệt.
a. Xác định điểm xuất phát của quỹ đạo nghiệm số.
Ứng với giá trị 0  , theo (4.18) các nghiệm i
p của ( ) 0A p  cũng chính là nghiệm
'
i
p của ( ) 0N p  . Vì bậc của ( )A p bằng bậc của ( )N p nên quỹ đạo nghiệm số có n điểm
xuất phát từ '
i
p .
Vậy, ứng với giá trị 0  , quỹ đạo nghiệm số sẽ xuất phát từ n điểm là nghiệm '
i
p của
N(p) = 0.

Nhóm 3 Page 40
b. Xác định điểm kết thúc của quỹ đạo nghiệm số
Ứng với giá trị    , phương trình đặc tính có thể viết dưới dạng:
   ' "
1 1
1
( ) (4.19)
n m
i j
i j
A p p p p p
  
    
Khi    , theo (4.19) thì các nghiệm i
p của ( ) 0A p  cũng chính là nghiệm "
i
p của
( ) 0M p  .
Vậy ứng với giá trị    , quỹ đạo nghiệm số sẽ kết thúc ở m điểm là nghiệm "
i
p của
( ) 0M p  .
c. Xác định số lượng quỹ đạo nghiệm trên mặt phẳng nghiệm
Ứng với một giá trị  xác đinh, phương trình đặc tính ( )A p có n nghiệm sẽ được biểu
diễn tương ứng n vị trí trên mặt phẳng phức. Khi  biến đổi từ 0 đến  , các nghiệm i
p sẽ sẽ
biến đổi, do đó n nghiệm sẽ vạch lên n đường trên quỹ đạo nghiệm số.
Nếu m n , quỹ đạo nghiệm số có m đường khởi đầu từ n nghiệm '
i
p và kết thúc ở m
nghiệm "
i
p . Vì quỹ đạo nghiệm số có n đường nên sẽ có ( )n m đường khởi đầu từ ( )n m
nghiệm '
i
p nghiệm và tiến xa vô cùng.
Vì các nghiệm của ( ) 0A p  có thể có các nghiệm phức liên hợp nên các quỹ đạo
nghiệm số đó sẽ đối xứng qua trục thực.
d. Xác định các đường thẳng tiệm cận
Do có ( )n m đường tiến xa vô cùng nên ta phải tìm các đường thẳng tiệm cận cho
( )n m đường đó.
1 2 1
0
( 0: 1) (4.20)
k
j
n m n m
p e R k n m

 
    
Với :
' "
0
1 1
1
(4.21)
n m
i j
i j
R p p
n m  
 
  
  
 
Phương trình (4.20) là phương trình các đường thẳng tiệm cận của ( )n m quỹ đạo tiến
xa vô cùng.
Theo (4.20), với 0  thì 0
p R const  tức là khi đó ( )n m đường tiệm cận đều
đi qua một điểm (tâm) trên trục hoành có hoành độ 0
R . Các đường tiệm cận này tạo nên một
hình sao gồm ( )n m tia, mỗi tia của hình sao tạo với trục hoành một góc nghiêng có giá trị là:
2 1
( 0:n m 1) (4.22)k
k
k
n m
 

   


Nhóm 3 Page 41
Ví dụ:
+ Nếu 1n m  thì từ (4.22) ta có:
0
n m

  

Đường thẳng tiệm cận chính là một nửa trục hoành tiến ra xa vô cùng (hình a)
+ Nếu 2n m  thì từ (4.22) ta có hai đường tiệm cận:
0
1
( 0)
2
2 1 1 3
( 0)
2
k
n m
k
n m
 


 
  

 
  

Đường thẳng tiệm cận có dạng như trong hình (b).
+ Nếu 3n m  thì từ (4.22) ta có ba đường tiệm cận là:
0
1
2
( 0)
3
2 1 1
( 0)
2 2 1 5
( 0)
3
k
n m
k
n m
k
n m
 

  

 
  

 
  

 
  

Đường thẳng tiệm cận có dạng như trong hình (c).
e. Xác định hướng dịch chuyển của quỹ đạo nghiệm.
Từ phương trình đặc tính (4.16) ta viết lại thành:
( )
(4.23)
( )
N p
M p
 
Giả thiết p là số thực, xây dựng đồ thị hàm
( )
( )
( )
N p
f p
M p
 . Giao điểm của đường cong
( )f p với đường thẳng  sẽ xác định các nghiệm i
p của ( ) 0A p  ứng với các trị số  xác
định.

Nhóm 3 Page 42
Từ các điểm cực trị
( )
0
df p
dp
 ta sẽ xác định được các điểm tách khỏi trục thực của mặt
phẳng nghiệm.
Từ đồ thị ( )f p và đường thẳng  , tùy thuộc vào sự biến đổi của  mà ta xác định
được hướng dịch chuyển của quỹ đạo.
f. Xác định các giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo của mặt phẳng nghiệm.
Nghiệm nằm trên trục ảo có giá trị c
p j , khi đó phương trình đặc tính có dạng:
( ) ( ) ( ) 0 (4.24)A c A c
A j P jQ    
Trong (4.24) còn có thông số c
 chưa biết nên phối hợp giải hai hệ phương trình:
( ) 0
(4.25)
( ) 0
A c c
A c c
P
Q
 
 
 


Ta sẽ xác định được giá trị tần số c
 và c
 ở giao điểm quỹ đạo nghiệm số và trục ảo.
3. Trình tự xây dựng quỹ đạo nghiệm số.
a. Xác định các điểm đầu và điểm cuối của quỹ đạo
Viết phương trình đặc tính dạng: ( ) ( ) 0N p M p 
Điểm đầu của quỹ đạo ứng với n nghiệm của ( ) 0N p 
Điểm cuối của quỹ đạo ứng với m nghiệm của ( ) 0M p 
b. Xác định các đường thẳng tiệm cận của n-m quỹ đạo tiến ra xa vô cùng.
Tâm hình sao của các tia tiệm cận có hoành độ:
' "
0
1 1
1 n m
i j
i j
R p p
n m  
 
  
  
 
Góc tạo bởi các tia hình sao và trục hoành:
2 1
(0: 1)k
k
k n m
n m
 

   

c. Xác định điểm tách khỏi trục thực và hướng dịch chuyển của quỹ đạo
Vẽ đồ thị hàm để tìm hướng dịch chuyển của quỹ đạo.
Tính đạo hàm
( )
0
df p
dp
 để tìm các điểm tách khỏi trục thực.
Nếu có nhiều điểm cực đại, ta phải chọn điểm có 0  để phù hợp với phương trình
(4.23).

Nhóm 3 Page 43
d. Xác định giao điểm của trục ảo và quỹ đạo nghiệm.
Giải các phương trình (4.25) để tìm ra c
 và c

V. Tiêu chuẩn ổn đinh Bode
1. Giản đồ Bode
Tần số cắt biên c
 : tần số mà biên độ của đặc tính tần số bằng 1.
  1c
G j  hay  20lg 0c
G j dB 
Tần số cắt pha 

: tần số mà pha của đặc tính tần số bằng  .
  0
( ) 180G j 
 
 
Độ dự trữ biên hay biên dự trữ (BDT):
1
20lg ( )
( )
BDT hay BDT G j
G j 


 

  
Độ dự trữ pha (hay pha dự trữ (PDT)):
0
180 ( )c
PDT   
2. Tiêu chuẩn ổn định Bode:
Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như hình dưới.
Hệ thống kín ( )Gk s ổn định nếu hệ thống hở ( )G s có độ dự trữ biên và độ dự trữ pha
dương.
0
0
GM
M
 

 
hệ thống ổn định.
Ví dụ: Cho hệ thống hở có biều đồ Bode như hình vẽ. Hỏi hệ kín có ổn định hay không.

Nhóm 3 Page 44
Giải:
Trên biểu đồ Bode ta xác định được:
0 0 0 0
5,1 (rad/ sec), 2 (rad/ sec)
( ) 35 35
( ) 270 180 ( 270 ) 90
c
c
L dB GM dB
M


 

 


 
   
        
Do
0
0
GM
FM
 


nên hệ thống kin không ổn định.
VI.Độ dự trữ ổn định
Để đánh giá được chính xác quá trình quá độ ta phải biết chính xác nghiệm của phương
trình đặc tính, có nghĩa là phải được giải được phương trình đặc tính, nhưng việc này rất khó để
thực hiện. Tuy nhiên, có thể không cần giải phương trình đặc tính mà biết được vùng phân bố
nghiệm số của nó, trên nửa mặt phẳng nằm bên trái trục ảo. Ví dụ: ta có thể tìm được giá trị  là
giá trị phần thực của nghiệm số gần trục ảo nhất so với các nghiệm khác. Như vậy, vùng gạch
chéo trong hình bên dưới là vùng phân bố nghiệm số của phương trình đặc tính. Giá trị  được
gọi là hệ số tắt dần, mức độ ổn định hay độ dự trữ ổn định của hệ thống. Như vậy với độ dự trữ
nhỏ, hệ thống có thể từ ổn định trở lên mất ổn định khi thông số của nó vì một lý do nào đó mà
bị thay đổi một cách đáng kể. Bởi vậy, khi thiết kế cần phải lựa chon độ dự trữ ổn định có độ lớn
cần thiết

Nhóm 3 Page 45
Cũng có thể không cần giải phương trình đặc tính mà tìm được giá trị góc 2 , tương
ứng với phần gạch chéo trên hình. Giá trị cotm   được gọi là mức độ dao động của hệ
thống. Cả  và m đều là những chỉ tiêu gián tiếp đánh giá chất lượng của quá trình quá độ. Nếu
kết hợp  và m ta sẽ được sự phân bố nghiệm của phương trình đặc tính trong phần gạch chéo
như hình bên trên.
Ví dụ: Tìm k để hệ thống điều khiển tự động như hình dưới có hệ số tắt dần là 0,1  .
Giải:
 Hàm truyền đạt của hệ hở:
 
  2
2 1
( )
2 3 2 1 1
h
k p
W p
p p p p


  
 Hàm truyền đạt của hệ kín:
 
  2
2 1
( )
2 3 2 1 1 (2 1)
k
k p
W p
p p p p k p


    
 Phương trình đặc tính của hệ thống kín:
    2
2 3 2 1 1 2 1 0p p p p k p     
Hay:
4 3 2
6 10 6 2 ( 1) 0 (6.1)p p p p k k     
Thay 0,1p s  ta có (6.1) tương đương với:

Nhóm 3 Page 46
4 3 2
6 7,6 3,36 (2 1,076) 0,8 0,1494 0s s s k s k      
Hệ thống có hệ số tắt dần  trong tọa độ p sẽ tương ứng với hệ ở biên giới ổn định
trong tọa độ s. Có hai trường hợp xảy ra: hoặc phương trình đặc tính có nghiệm thức bằng 0 (
0s  ), hoặc phương trình đặc tính có nghiệm thuần ảo.
Hệ có nghiệm thực bằng 0 thì hệ số 0n
a  và phần còn lại phải có nghiệm nằm bên trái
trục ảo. Vậy ta có: 0,8 0,1494 0 0,187   k k .
Thay k vào phần còn lại của phương trình ta được:
0
6 3 7,6 2 3,36 1,45 0 ( )
s
s s s
 

    
Phương trình (*) có nghiệm nằm bên trái trục ảo vì 1 2 0 3
25,536 8,7a a a a  
Vậy khi 0,187k  , hệ só hệ số tắt dần bằng 0,1 và nghiệm gần trục ảo nhất là một
nghiệm thực.
Trường hợp phương trình đặc tính có nghiệm thuần ảo: ta có thể dùng tiêu chuẩn Routh
hoặc Hurwitz để xét. Ở dưới này ta dùng tiêu chuẩn Routh:
Lập bảng Routh:
6 3,36 0,8 0,1494k 
7,6 2 1,076k  0
19,08 12k 6,08 1,13544k 0
24 2 20,96 29,16k k  
Vậy hệ ở biên giới ổn định khi:
2
19,08 12 0
0,749 ( 0)
24 20,96 29,16 0
k
k k
k k
  
  
   
Vậy khi 0,749k  , hệ só hệ số tắt dần bằng 0,1 và nghiệm gần trục ảo nhất là một cặp
nghiệm phức.

Nhóm 3 Page 47
PhầnV : Sử dụng phần mềm Matlab để kiểm tra tính ổn định của hệ thống.
I. Một số lệnh trong Matlab
1. Các lệnh xác định điểm cực, điểm không và nhận hình vẽ phân bố (pole – zero plot) các
điểm cực (pole), điểm không (zero) của biểu thức hàm truyền:
Lệnh xác định giá trị các pole và zero:
[p,z] = pzmap(num, den); % Tính và liệt kê giá trị các điểm cực và điểm không.
Lệnh vẽ hình phân bố các pole và zero trên mặt phẳng phức (các điểm cực được đánh
dấu bằng dấu x và các điểm không được đánh dấu bằng các vòng tròn con o trên mặt phẳng
phức).
Pzmap(num, den); %Tạo hình vẽ phân bố điểm cực và điểm không khi khai báo tử số
và mẫu số.
Hoặc pzmap(w); %Tạo hình vẽ phân bố điểm cực và điểm không khi đã có lệnh chuyển
đổi sang biểu thức w.
2. Các lệnh để vẽ các đáp ứng tần số của hệ thống điều khiển tự động.
- Lệnh vẽ đáp ứng biên độ - pha (hay đường cong Nyquist)
Nyquist (num, den); %Lệnh vẽ đáp ứng biên độ - pha khi khai báo tử số và mẫu số.
Hoặc Nyquist (w); %lệnh vẽ đáp ứng biên độ - pha khi đã có w.
- Lệnh vẽ các đáp ứng tần số logarit L() và ( )  (Biểu đồ Bode)
Bode(num, den); %Lệnh vẽ L() và ( )  khi đã có tử số và mẫu số.
Hoặc Bode(w); %Lệnh vẽ đáp ứng biên độ - pha khi đã có w.
- Lệnh vẽ đáp ứng biên độ - pha của hệ kín (biểu đồ Nichols).
Nichols(num, den); % Lệnh vẽ L() và ( )  khi đã có tử số và mẫu số.
Hoặc Nichols(w); %Lệnh vẽ đáp ứng biên độ - pha khi đã có w.
3. Các lệnh vẽ đáp ứng quá độ h(t) và đáp ứng quá xung g(t)
- Lệnh vẽ đáp ứng quá độ h(t):
Step(num, den); %Lệnh vẽ đáp ứng h(t) khi đã có tử số, mẫu số.
Hoặc Step(w); %Lệnh vẽ đáp ứng quá độ h(t) khi đã có w.
- Lệnh vẽ đáp ứng quá độ xung g(t):
Impulsse(num, den); %Lệnh vẽ đáp ứng quá độ xung g(t) khi đã có tử số, mẫu số.
Hoặc Impulsse(w); %Lệnh vẽ đáp ứng quá độ xung g(t) khi đã có w.
4. Các lệnh khác.
- Lệnh xác định hàm truyền của hai khâu nối tiếp nhau.
[num,den] = series(num1,den1,num2,den2);
Lệnh series chỉ dùng cho hai khâu mắc nối tiếp, trường hợp có nhiều khâu mắc nối tiếp
thì phải dùng nhiều lệnh series hoặc kết hợp với lệnh conv.
- Lệnh tìm độ lợi quỹ đạo nghiệm với tập nghiệm cho trước.
[k,poles] = rlocfind(a,b,c,d)

Nhóm 3 Page 48
[k,poles] = rlocfind(num,den)
[k,poles] = rlocfind(a,b,c,d,p)
[k,poles] = rlocfind(num,den,p)
- Lệnh tìm quỹ đạo nghiệm Evans
r = rlocus(num,den)
r = rlocus(num,den,k)
r = rlocus(a,b,c,d)
r = rlocus(a,b,c,d,k)
- Lệnh tạo lưới cho quỹ đạo nghiệm và biểu dồ cực – zero liên tục.
Sgrid
Sgrid(‘new’)
Sgrid(z,wn)
Sgrid(z,wn,‘new’)
- Lệnh vẽ lưới tỉ lệ tắt dần và tần số tự nhiên cho quỹ đạo nghiệm gián đoạn
Zgrid
Zgrid(‘new’)
Zgrid(z,wn)
Zgrid(z,wn,‘new’)
II. Một số vi dụ minh họa.
Ví dụ 1: Xét tính ổn định của hệ thống có hàm truyền đạt như sau:
( ) ( 10, 1)
1
k
GH s k t
st
  

Giải:
Từ dấu nhắc của cửa số Matlab ta nhập như sau:
>> num = 10;
>> den = [-1 1];
>> nyquist(num, den)
Ta được kết quả là hình vẽ như sau:

Nhóm 3 Page 49
Nhận xét:
Hàm truyền vòng hở có một cực nằm bên phải mặt phẳng phức. Biều đồ Nyquist không
bao điểm A(-1+j0).
Điểm -1 ký hiệu (+) nằm trên trục thực âm (Real Axis), điểm 0 nằm trên trục ảo
(Imaginary Axis). Như vậy ta có kết luận là hệ không ổn định.
Ví dụ 2: Xét ính ổn định của hệ thống có hàm truyền như sau:
( ) ( 10, 1)
(1 )
k
GH s k t
s st
  

Giải:
Từ dấu nhắc của cửa sổ Matlab ta nhập các lệnh như sau:
>> num = 10;
>> den = [-1 1 0];
>> nyquist (num, den)
Ta được kết quả như sau:
Nhận xét:
Hàm truyền vòng hở có một cực nằm bên phải mặt phẳng phức và một cực nằm tại gốc
tọa độ. Biểu đồ Nyquist không bao điểm A(-1+j0).
Điểm -1 ký hiệu (+) nằm trên trục thực âm (Real Axis), điểm 0 nằm trên trục ảo
(Imaginary Axis). Do đó ta có kết luận là hệ thống không ổn định.
Ví dụ 3: Viết hàm Matlab thực hiện nhập các hệ số của tử số, mẫu số của một hàm
truyền, sau đó tìm các cực pole, cực không và vẽ dạng đồ thị.
Giải
Chương trình Matlab:

Nhóm 3 Page 50
function ondinh()
promptstr={'Nhap tu so: ', 'Nhap mau so: '};
inistr={'',''};
dlgTitle='Nhap du lieu';
lineNo=1;
result=inputdlg(promptstr,dlgTitle,lineNo,inistr);
num=str2num(char(result(1)));
den=str2num(char(result(2)));
[z,p,k]=residue(num,den); % Tim cac cuc pole
z=roots(num) % Tim cac cuc zero
zplane(z,p) % Ve cuc va zero
Thực hiện:
Tại cửa sổ lệnh command windows ta gõ lệnh:
>> ondinh
Nhấn Enter thì có một cửa sổ mới hiện ra như sau:
Giả sử ta nhập các số liệu của một hàm truyền như sau:
Kết quả ngoài cửa sổ command windows ta thu được kết quả như sau:
z =
0 + 3.0000i
0 – 3.0000i
Hình vẽ cực và zero:

Nhóm 3 Page 51
Ví dụ 5: Cho hệ thống điều khiển phản hồi:
Dùng giản đồ Bode để khảo sát sự ổn định của hệ thống trên.
Giải:
Trước tiên ta dùng lệnh ‘series’ để kết nối hai hệ thống lại với nhau: Tại cửa sổ lệnh của
Matlab ta nhập các dòng lệnh sau:
>> num1 = [1 1];
>> den1 = [1 0];
>> num2 = 2;
>> den2 = [1 4 3];
>> [num, den] = series(num1,den1,num2,den2)
num =
0 0 2 2
den =
1 4 3 0
Từ đó suy ra được hàm truyền nối tiếp của hệ thống là:
3 2
2 2
(s)
4 3
s
GH
s s s


 

Nhóm 3 Page 52
Dùng giản đồ Bode để khảo sát ổn định:
Tại cửa sổ lệnh command windows của matlab ta nhập vào các lệnh như sau:
>> num = [2 2];
>> den = [ 1 4 3 0];
>> margin (num,den) %Tìm biên dự trữ và pha dự trữ.
Kết luận:
Biên dự trữ: Gm  
Pha dự trữ 77,74Pm  tại tần số cắt biên 0,65b
w  .
Vậy hệ thống ổn định.
Vẽ biểu đồ Nyquist:
>> nyquist (num,den)

Nhóm 3 Page 53
Ví dụ 6: Khảo sát tính ổn định của hệ thống có sơ đồ như hình sau:
Giải:
Trước tiên ta kết nối hệ thống:
Từ cửa sổ lệnh của matlab ta nhập các lệnh:
>> num1 = [2 1];
>> den1 = [1 0];
>> num2 = 10;
>> den2 = [1 5];
>> [num, den] = series(num1,den1,num2,den2)
num =
0 20 10
den =
1 5 0
Nhập tiếp:
>> numc = [20 10];

Nhóm 3 Page 54
>> denc = [1 5 0];
>> numd = 1;
>> dend = [1 1];
>> [num, den] = feedback(numc,denc,numd,dend) % Nếu sau
dend có 1 tức là hồi tiếp dương.
num =
0 20 30 10
den =
1 6 25 10
Hàm truyền của hệ thống là:
2
3 2
20 30 10
( ) ( )
6 25 10
s s
G s H s
s s s
 

  
Vẽ giản đồ Bode của hệ:
>> num = [20 30 10];
>> den = [1 6 25 10];
>> bode(num,den)
Ta được biểu đồ như sau:
Biên dự trữ và pha dự trữ của hệ:
>> margin(num,den)

Nhóm 3 Page 55
Kết luận:
Hệ thống ổn định
Biên dự trữ: Gm  
Pha dự trữ:
0
103,14Pm  tại tần số cắt biên là 20,347 rad/sec.
Ví dụ 7: Khảo sát tính ổn định của hệ thống cho bởi hàm truyền sau bằng phương pháp
quỹ đạo nghiệm số.
( 2)
( 4)( 5)
k
KGH k
s s s
 
 
Giải:
Từ cửa sổ lệnh matlab ta nhập các lệnh sau:
>> num = 2;
>> den = [1 9 20 0];
>> rlocus (num,den)
Ta được kết quả là hình vẽ sau:

Nhóm 3 Page 56
Từ đồ thị ta rút ra một số kết luận sau:
- Điểm cực: 0, -4, -5.
- Quỹ đạo nghiệm có 3 nhánh.
- Điểm zero ở vô cực ( ).
- Điểm tách được xác định bằng cách từ cửa sổ matlab ta nhập:
>> num = 2;
>> den = [1 9 20 0];
>> rlocus (num,den);
>> rlocfind (num,den)
Sau khi nhập hết lệnh trên thì tại cửa sổ lệnh trên Matlab sẽ xuất hiện dòng chữ: Select a
point in the graphics window (Hãy chọn một điểm trên đồ thị để minh họa). Trên đồ thị sẽ có
thước, có thể dễ dàng chọn điểm bằng cách kéo rê chuột để chọn điểm cần chọn.
Selected_point = - 1,4516.
Suy ra điểm tách có giá trị: -1,4516.
Giao điểm của quỹ đạo với trục ảo (tương tự như tìm điểm tách): 4,472j; -4,472j.
3 2
3 2
( ) 9 20 0
( ) 9 20 0
F s s s s k
F j j j k   
    
     
180gh
k 
Kết luận: Hệ thống sẽ ổn định khi 0 180k 

Nhóm 3 Page 57
Phần VI. Các bài tập áp dụng.
Bài 1: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:
4 3 2
4 5 2 1 0s s s s    
Giải:
Ta thấy cá hệ số  ( 0: 4) 0i
a i : thỏa mãn điều kiện cần.
4
s 1 5 1
3
s 4 2 0
 3
1
4
2
s  
1 9
5 .2
4 2
1
 4
8
9
1
s  
8 10
2 .1
9 9
0
 5
81
20
0
s 1
Vì tất cả các phần tử cột 1 bảng Routh đều dương nên tất cả các nghiệm của phương trình
đặc trưng đều nằm bên trái mặt phẳng phức, do đó hệ thống ổn định.
Bài 2: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có sơ đồ khối như sau:
2
50 1
( ) , ( )
2( 3)( 5)
G s H s
ss s s s
 
  
Giải:
Phương trình đặc trưng của hệ thống là:
2
2
5 4 3 2
1 (s)H(s) 0
50 1
1 . 0 ( 3)( 5)( 2) 50 0
( 2)( 3)( 5)
6 16 31 30 50 0
G
s s s s s
ss s s s
s s s s s
 
         
  
      
Điều kiện cần:  0,( 0: 4)i
a i thỏa mãn.
Bảng Routh:

Nhóm 3 Page 58
5
s 1 16 30
4
s 6 31 50
 3
1
6
3
s  
1
16 .31 10,83
6
 
1
30 .50 21,67
6
0
 4
6
10,83
2
s  
6
31 .21,67 18,99
10,83
50
 3
10,83
18,99
1
s   
10,83
21,67 .50 6,84
18,99
0
0
s 50
Vì các phần tử ở cột 1 của bảng Routh đổi dấu hai lần nên phương trình đặc tính đều có 2
nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó hệ thống không ổn định.
Bài 3: Cho hệ thống có sơ đồ khối như hình vẽ. Hãy xác định điều kiện của K để hệ
thống ổn định.
2
( )
( 1)( 2)
K
G s
s s s s

  
Giải:
Phương trình đặc trưng của hệ thống:
2
2
4 3 2
1 ( ) 0
1 0 ( 1)( 2) 0
( 1)( 2)
3 3 2 0
G s
K
s s s s K
s s s s
s s s s K
 
        
  
     
Điều kiện cần: 0 ( )K  
Bảng Routh:
4
s 1 3 K
3
s 3 2 0
 3
1
3
2
s  
1 7
3 .2
2 3
K
 4
9
7
1
s 
9
2 .
7
K 0
0
s K

Nhóm 3 Page 59
Điều kiện để hệ thống ổn định:
9 14
2 0
7 9
K K    (**)
Kết hợp (*),(**) ta được:
14
0
9
K  .
Bài 4: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng:
5 4 3 2
8 8 7 4 0s s s s s      .
Hãy xác định số nghiệm của phương trình đặc trưng nằm bên trái, phải hay trên trục ảo
của mặt phẳng phức?
Giải:
Điều kiện cần: 0, 0:5i
a i  : Thỏa mãn.
Điều kiện đủ:
5
s 1 8 7
4
s 4 8 4
 3
1
4
3
s  
1
8 .8 6
4
 
1
7 .4 6
4
 4
4
6
2
s  
4
8 .6 4
6
4
 5
6
4
1
s  
6
6 .4 6
4
0
 1
s 8 0
 5
4
8
0
s  
4
3 .0 3
8
Đa thức phụ:
2
( )
( ) 4 4 8p
p
dA s
A s s s
ds
    . Từ đó nghiệm của đa thức phụ cũng
chính là nghiệm của phương trình đặc trưng:
    2
( ) 4 4 0p
A s s s j
Ta thấy:
- Các hệ số cột 1 bảng Routh không đổi dấu nên phương trình đặc trưng không có
nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức.
- Phương trình đặc trưng có hai nghiệm nằm trên trục ảo.
- Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức là 5 – 2 = 3.
 Hệ thống ở biên giới ổn định.

Nhóm 3 Page 60
Bài 5: Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau:
( ) 0
( 2)(s 3)
K
G s
s s
 
 
Hãy vẽ quỹ đạo nghiệm số của hệ thống khi 0K  đến  .
Giải:
1 (s) 0 1 0 (1)
( 2)( 3)
K
G
s s s
    
 
Các cực: có 3 cực: 1 2 3
0, 2, 3p p p    
Các zero: không có.
=> Quỹ đạo nghiệm số gồm có ba nhánh xuất phát từ các cực khi 0K  .
Khi K   , ba nhánh của quỹ đạo nghiệm số sẽ tiến đến vô cùng theo các tiệm cận
xác định bởi:
1
2
3
( 0)
3
(2 1) (2 1)
( 1)
3 0 3
( 1)
l
l l
l
n m
l


  
 
 

 

  
      
  
 


Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực:
[0 + (-2) + (-3) - 0] 5
3 0 3
cöïc zero
OA
n m

   
 
 
Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình: 0
dK
ds

Ta có:
3 2 2
(1) ( 2)( 3) ( 5 6 ) (3 10 6)
dK
k s s s s s s s s
ds
          
Do đó: 1
2,549 (loaïi)
0 (3 2 10 6) 0
2 0,785
sdK
s s
ds s
 
       


Nhóm 3 Page 61
Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có thể xác định bằng một trong hai cách
sau:
Cách 1:
Áp dụng tiêu chuẩn Routh:
Ta có:
3 2
(1) 5 6 0 (2)s s s K    
3
s 1 5
2
s 5 K
3
1
5
  1
s
1
6 .
5
K 0
0
s K
Điều kiện để hệ thống ổn định:
1
6 0
0 305
0
K
K
K

 
  
 
Vậy hệ số khuếch đại giới hạn là 30gh
K  .
Thay giá trị 30gh
K  vào phương trình (2), giải phương trình ta được giao điểm của
quỹ đạo nghiệm số với trục ảo.
1
3 2
2
3
5
5 6 30 0 6
6
s
s s s s j
s j
  

     

 
Cách 2:
Giao điểm (nếu có) của quỹ đạo nghiệm số và trục ảo phải có dạng s j . Thay
s j vào phương trình (1) ta được:
3 2
3
3 2
2
( ) 5( ) 6( ) 0
0
06 0
5 6 0
5 0 6
30
j j j K
K
j j K
K
K
  

 
  
 
   
  

   
              
 

Nhóm 3 Page 62
Dạng đồ thị quỹ đạo nghiệm số.
Bài 8: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hàm truyền hở là:
2
( )
( 8 20)
K
G s
s s s

 
Hãy vẽ quỹ đạo nghiệm số của hệ thống khi 0K   
Giải:
2
1 ( ) 0 1 0 (1)
( 8 20)
K
G s
s s s
    
 
Các cực: 1 2 3
0, 4 2, 4 2p p j p j       .
Các zero: không có.
 Quỹ đạo nghiệm số gồm có 3 nhánh xuất phát từ các cực khi 0K  . Khi K   ,
ba nhánh của quỹ đạo nghiệm số sẽ tiến đến vô cùng theo các tiệm cận xác định bởi:
Góc giữa các tiệm cận và trục thực:
1
2
3
( 0)
3
(2 1) (2 1)
( 1)
3 0 3
( 1)
l
l l
l
n m
l


  
 
 

 

  
      
  
 



Nhóm 3 Page 63
Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực:
[0 + (-4 + j2) + (-4 - j2) - 0] 8
3 0 3
cöïc zero
OA
n m

   
 
 
Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình: 0
dK
ds
 .
Ta có:
3 2 3 2 2
(1) 8 20 0 ( 8 20 ) (3 16 20)
dK
s s s K K s s s s s
ds
              
Do đó:
2 1
2
3,33
0 (3s 16s 20) 0
2,00
sdK
ds s
 
       
 
Vậy quỹ đạo nghiệm có hai nghiệm tách nhập.
Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo được xác định bằng cách thay s j vào
phương trình đặc tính:
3 2
(1) 8 20 0s s s K    
Thay s j ta được:
3 2 3 2
2
3
( ) 8( ) 20( ) 0 8 20 0
0
08 0
20 0 20
160
j j j K j j K
KK
K
     


  
         
  

    
        
 
Vậy giao điểm của quỹ đạo nghiệm số và trục ảo là: 20s j 
Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức là 2
p là:

[BTL] Kiểm tra tính ổn định của hệ thống liên tục

[BTL] Kiểm tra tính ổn định của hệ thống liên tục

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to [BTL] Kiểm tra tính ổn định của hệ thống liên tục

Similar to [BTL] Kiểm tra tính ổn định của hệ thống liên tục (20)

More from Pham Hoang

More from Pham Hoang (12)

[BTL] Kiểm tra tính ổn định của hệ thống liên tục