2. Introducción
En ciertos casos el usuario conoce el valor de una función
f(x) en una serie de puntos x1, x2, · · · , xn, pero no se conoce
una expresión analítica de f(x) que permita calcular el valor
de la función para un punto.
La idea de la interpolación es poder estimar f(x) para un x
arbitrario, a partir de la construcción de una curva o
superficie que une los puntos donde se han realizado las
mediciones y cuyo valor si se conoce. Se asume que el punto
arbitrario x se encuentra dentro de los límites de los puntos
de medición, en caso contrario se llamaría extrapolación.
3. En este capítulo estudiaremos el importantísimo tema de la
interpolación de datos. Veremos dos tipos de interpolación:
la interpolación POLINOMIAL y la interpolación
SEGMENTARIA (splines). .
Comencemos dando la definición general.
Definición. Dados puntos que corresponden a los datos:
y los cuales se representan gráficamente como puntos en el
plano cartesiano
4. Si existe una función definida en el intervalo (donde
suponemos que ), tal que para ,
entonces a se le llama una función de interpolación de los
datos, cuando es usada para aproximar valores dentro del
intervalo , y se le llama función de extrapolación de los
datos, cuando está definida y es usada para aproximar valores
fuera del intervalo.
5. Diferencias Divididas Finitas de
Newton
Se definen de la siguiente manera
f ( xi ) f (x j )
f [ xi , x j ]
xi xj
f [ xi , x j ] f [ x j , xk ]
f [ xi , x j , xk ]
xi xk
f [ xn ,, x1 ] f [ xn 1 ,, x0 ]
f [ xn , xn 1 ,, x1 , x0 ]
xn x0
6. El polinomio de Newton se define de la siguiente
manera
f x b0 b1 x x0 b2 x x0 x x1 bn x x0 x x1 x xn 1
donde
b0 f x0
b1 f [ x1 , x0 ]
b2 f x2 , x1 , x0
bn f xn ,, x0
7. Para calcular los coeficientes , es conveniente
construir una tabla de diferencias divididas como la
siguiente :
8. Ejemplo. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas
con los siguientes datos :
Procedemos como sigue
Por lo tanto el polinomio de Newton es:
9. Polinomio de Interpolación de
Lagrange
Se plantea como sigue
Donde los polinomios se llaman los polinomios de
Lagrange, correspondientes a la tabla de datos.
Como se debe satisfacer que , esto se cumple si y
para toda .
Y así sucesivamente, veremos finalmente que la condición
se cumple si y para toda .
Por lo tanto, planteamos como sigue:
10. Con esto se cumple la segunda condición sobre .
La constante c se determinará para hacer que se
cumpla la primera condición:
l0 x0 1 1 c x0 x1 x0 x2 x0 xn
1
c
x0 x1 x0 x2 x0 xn
Por lo tanto el polinomio queda definido como:
Análogamente se puede deducir que:
para j=1,…,n
11. Ejemplo. Calcular el polinomio de Lagrange usando los
siguientes datos:
Solución
f ( x) 2l0 ( x) l1 ( x) 2l2 ( x) 3l3 ( x)
( x 3)( x 5)( x 7) ( x 3)( x 5)( x 7)
l0 ( x)
donde ( 2)( 4)( 6) 48
( x 1)( x 5)( x 7) ( x 1)( x 5)( x 7)
l1 ( x)
(2)( 2)( 4) 16
( x 1)( x 3)( x 7) ( x 1)( x 3)( x 7)
l2 ( x )
(4)( 2)( 2) 16
( x 1)( x 3)( x 5) ( x 1)( x 3)( x 5)
l3 ( x)
(6)( 4)( 2) 48
Sustituyendo arriba, el polinomio de Lagrange queda
definido como sigue:
12. Interpolación de Splines
Esta interpolación se llama interpolación segmentaria
o interpolación por splines. La idea central es que en
vez de usar un solo polinomio para interpolar los
datos, podemos usar segmentos de polinomios y
unirlos adecuadamente para formar nuestra
interpolación.
Cabe mencionar que entre todas, las splines cúbicas
han resultado ser las más adecuadas para aplicaciones.
13. Dada nuestra tabla de datos,
donde suponemos que x0 x1 xn , y dado k un número entero
positivo, una función de interpolación spline de grado k, para la tabla de
datos, es una función s(x) tal que :
i) s ( xi ) yi , para toda i 0,1,, n .
ii) s x es un polinomio de grado k en cada subintervalo xi 1 , xi .
iii ) s x tiene derivada contínua hasta de orden k 1 en x0 , xn .
14. FUNCIONES SPLINES DE GRADO 1
Dados los n+1 puntos
Claramente esta función cumple con las condiciones
de la spline de grado 1. Así, tenemos que para este caso:
donde:
i) sj x es un polinomio de grado menor o igual que 1
ii) s x tiene derivada continua de orden k-1=0.
iii) s x j y j , para j 0,1,, n .
15. Por lo tanto, la spline de grado 1 queda definida como :
y0 f x1 , x0 x x0 si x x0 , x1
y1 f x2 , x1 x x1 si x x1 , x2
sx
yn 1 f xn , xn 1 x xn 1 si x xn 1 , xn
donde f [ xi , x j ] es la diferencia dividida de Newton.
FUNCIONES SPLINES DE GRADO 2
Para aclarar bien la idea, veamos un ejemplo concreto, consideremos
los siguientes datos :
16. Primero que nada, vemos que se forman tres intervalos :
3,4.5
4.5,7
7,9
En cada uno de estos intervalos, debemos definir una función polinomial
de grado 2, como sigue:
a1 x 2 b1 x c1 si x 3,4.5
sx a2 x 2 b2 x c2 si x 4.5,7
a3 x 2 b3 x c3 si x 7,9
Primero, hacemos que la spline pase por los puntos de la tabla de datos. Es decir, se
debe cumplir que:
s(3) 2.5, s(4.5) 1, s(7) 2.5, s(9) 0.5
Así, se forman las siguientes ecuaciones:
s(3) 2.5 9a1 3b1 c1 2.5
2
(4.5) a1 4.5b1 c1 1
s(4.5) 1
(4.5) 2 a2 4.5b2 c2 1
49a2 7b2 c2 2.5
s (7 ) 2.5
49a3 7b3 c3 2.5
s(9) 0.5 81a3 9b3 c3 0.5
17. Hasta aquí, tenemos un total de 6 ecuaciones vs. 9 incógnitas.
El siguiente paso es manejar la existencia de las derivadas contínuas. En el
caso de las splines de grado 2, necesitamos que la spline tenga derivada
contínua de orden k-1=1, es decir, primera derivada continua.
Calculamos primero la primera derivada:
2a1 x b1 si x 3,4.5
s x 2a2 x b2 si x 4.5,7
2a3 x b3 si x 7,9
Vemos que esta derivada está formada por segmentos de rectas, que
pudieran presentar discontinuidad en los cambios de intervalo. Es decir,
las posibles discontinuidades son x 4.5 y x 7 . Por lo tanto para que
s x sea contínua, se debe cumplir que:
2a1 4.5 b1 2a2 4.5 b2
o lo que es lo mismo,
9a1 b1 9a2 b2
También debe cumplirse que:
2a2 7 b2 2a3 7 b3
o lo que es lo mismo,
14 a2 b2 14 a3 b3
18. Así, tenemos un total de 8 ecuaciones vs. 9 incognitas; esto nos da un
grado de libertad para elegir alguna de las incógnitas. Elegimos por
simple conveniencia a1 0 .
De esta forma, tenemos un total de 8 ecuaciones vs. 8 incógnitas. Estas son las
siguientes:
3b1 c1 2.5
4.5b1 c1 1
20.25a2 4.5b2 c2 1
49a2 7b2 c2 2.5
49a3 7b3 c3 2.5
81a3 9b3 c3 0.5
b1 9 a2 b2
14a2 b2 14a3 b3
Este sistema de ecuaciones tiene la siguiente forma matricial:
3 1 0 0 0 0 0 0 b1 2.5
4.5 1 0 0 0 0 0 0 c1 1
0 0 20.25 4.5 1 0 0 0 a2 1
0 0 49 7 1 0 0 0 b2 2.5
0 0 0 0 0 49 7 1 c2 2.5
0 0 0 0 0 81 9 1 a3 0.5
1 0 9 1 0 0 0 0 b3 0
0 0 14 1 0 14 1 0 c3 0
19. Usando Mathematica se obtiene la siguiente solución:
b1 1
c1 5 .5
a2 0.64
b2 6.76
c2 18.46
a3 1 .6
b3 24.6
c3 91.3
Sustituyendo estos valores (junto con a1 0 ), obtenemos la función
spline cuadrática que interpola la tabla de datos dada:
x 5.5 si x 3,4.5
2
sx 0.64 x 6.76 x 18.46 si x 4.5,7
2
1.6 x 24.6 x 91.3 si x 7,9
5
4
3
2
1
3 4.5 7 9
-1
20. Métodos Interpolación en Matlab
En matlab encontramos las siguientes funciones para
interpolar datos:
interp1 interpolación de datos unidimensionales.
spline interpolación con el método de spline cúbica
polyfit interpolación con polinomios
21. El comando “interp1”
El comando interp1 se emplea para interpolar una serie de datos.
El formato de este comando es:
yi = interp1(x, y, xi, método)
Donde:
x : abscisa de los puntos a interpolar, expresada como vector fila.
y : ordenada de los puntos a interpolar, expresada como vector
fila.
xi : abscisas para construir la función de interpolación, expresada
como vector fila. Si es un solo valor, calculará el valor
interpolando con la función declarada en métodos.
método: determina el método de interpolación, entre:
22. Los metodos
nearest interpolación asignado el valor del vecino más
cercano.
linear interpolación lineal (default)
spline interpolación con spline cúbica
pchip interpolación con polinomios de Hermite
cubic (igual que 'pchip')
v5cubic interpolación Cúbica usada in MATLAB 5
24. El comando “spline”
Otra manera de realizar una interpolación de tipo spline, es
invocando el comando spline, cuyo formato se muestra a
continuación:
yy = spline (x, y, xx)
Donde:
x : abscisa de los puntos a interpolar, expresada como
vector fila.
y : ordenada de los puntos a interpolar, expresada como
vector fila.
xx : abscisas para construir la función de interpolación,
expresada como vector fila. Si es un solo valor calculará el
valor interpolando.
26. El comando “polyfit”
Calcula los coeficientes de un polinomio de grado “n” que ajustan,
mediante mínimos cuadrados, a una serie de datos. El formato de este
comando se resume, así:
yy = polyfit (x, y, orden)
x : abscisa de los puntos a interpolar, expresada como vector fila.
y : ordenada de los puntos a interpolar, expresada como vector fila.
orden: indica el orden del polinomio que se utilizará en el ajuste.
Además, se usa el comando polyval para calcular el valor de un
polinomio para un dado valor de x, según la forma:
y = polyval ( p , x )
donde: p es el polinomio, ingresado como vector fila y x es el valor de la
incógnita cuya imagen se desea calcular.
