1. a)19041'52"
b)19041'08"
c)19040'52"
d)19040'08"
Solução:
330 53' 41"
- 140 12' 49"
0
01.(EsSA/1977)O ângulo de 2 08'25" equivale
a:
a)9.180"
b)2.825"
c)625"
Como 53’ = 52’ + 1’ = 52’ + 60”, vem:
d)7.705"
330 52’ 101”
-140 12’ 49”
190 40’ 52”
Solução:
20
x60
120’
+ 08’
128’
x60
7680”
+ 25”
7705”
Resposta:Alternativa C
04.(EEAR/2005)O
86°28’36’’ é igual a
a) 46°52’24’’.
b)346°54’24’’.
da
medida
c)345°52’24’’
d)345°54’24’’
Solução:
Resposta:Alternativa D
86°28’36’’
x4
0
344 112’144”
02.(EsSA/1979)Efetuando 14028' + 15047" +
38056'23", encontramos:
a)67024'10"
b)69011'23"
quádruplo
c)68024'10"
d)67025'10"
Como 144” = 120” + 24” = 2’ + 24” , vem:
Solução:
3440112’144” = 3440114’24”
140 28'
+ 150 47"
380 56' 23"
670 131’ 23”
Como 114’ = 60’ + 54’ = 10 + 54’ , vem:
3440114’24” = 345054’24”
Resposta:Alternativa D
Como 131’ = 120’ + 11’ = 20 + 11’, temos:
670131’23” = 69011’23”
05.(EsSA/1975)Dividindo o ângulo de 320 em 6
partes iguais, obtemos:
Resposta:Alternativa B
a)5030'
03.(EsSA/1981)Sendo A = 33053'41"
e
B = 14012'49", o resultado da operação A – B é:
Solução:
1
b)6020'
c)4020'
d)5020'
2. 320 6
20 50200
x60
120’
00’
onde x =
x = 40
Resposta:Alternativa D
06.(EEAR/2006)O
valor
da
expressão
(27°38'+18°42'20")●3 − 50°52'38" , na forma
mais simplificada possível, é
a)139°59'20" .
b)138°51'38" .
=> x = 20●
=> x =
0
Resposta:Alternativa B
08.(EEAR/2013)Ao expressar
rad. em
graus, obtém-se:
a)1700
c)88°51'38" .
d)88°8'22" .
b)2200
c)2800
d)3200
Solução:
Solução:
900 -----------
rad
(27°38'+ 18°42'20")●3 − 50°52'38"
rad.
x ----------
I) 27°38'+ 18°42'20" = 45080’20” = 46020’20”
II) 46020’20”x3 = 138060’60”
0
onde x =
0
III) 138 60’60”- 50°52'38" = 88 08’22”
Resposta:Alternativa D
x = 160●
07.(EEAR/2007)Dois ângulos medem
rad. e
b)40
c)50
Solução:
rad. =
rad.
<
x = 320
a)142° 30'
b)142° 40'
c)142°
rad.,pois
rad. Sendo assim ,
d)141° 30'
e)141° 40'
Solução:
temos:
11
900 -----------
10
rad
x ----------
0
09.O ângulo convexo formado pelos ponteiros
das horas e dos minutos às 10 horas e 15
minutos é:
d)60
O menor desses dois ângulos é
=>
Resposta:Alternativa D
rad. O menor deles, em graus, mede:
a)30
=> x =
rad.
12
1
2
3
Se em 1 hora = 60 minutos o ponteiro das horas
anda 300 , em 15 minutos ele andará:
2
3. =
Como = 3x, vem:
= 7030min.
= 3●400
Logo, às 10 horas e 15 minutos o ângulo
formado pelos ponteiros das horas e dos
minutos é :
Resposta:Alternativa C
11.(EEAR/2006)Dadas
duas
semi-retas
colineares opostas OA e OB , e um ponto C não
pertencente à reta AB, é correto afirmar que
os ângulos AÔC e CÔB são
5●300 – 7030’
1500 - 7030’
149060’ - 7030’
a) suplementares e não consecutivos.
b) consecutivos e não suplementares.
c) não consecutivos e não suplementares.
d) consecutivos e suplementares.
142030’
Resposta:Alternativa A
Solução:
10.(EEAR/2006)De acordo com a figura, é
falsa a afirmação:
a)> 1000
b)<1500
= 1200
Resposta:Alternativa D
< <1380
d)1120 < <1450
c)1250
12.(EEAR/2009)Dois ângulos são adjacentes
se eles forem consecutivos e
Solução:
a)os
lados
de
um
forem
semi-retas
coincidentes com os lados do outro.
Temos:
I)x + y = 2x – y => y + y = 2x – x
II) = 4x – 2y =>
2y = x
b)os lados de um forem as semi-retas opostas
aos lados do outro.
= 4x – x = 3x
c)não possuírem pontos internos comuns
III) + x + y = 1800(●2)
d)possuírem pontos internos comuns.
2 + 2x + 2y = 3600 => 2●3x + 2x + x = 3600
Solução:
6x + 2x + x = 3600 => 9x = 3600(÷9)
Dois ângulos são adjacentes quando têm o
mesmo vértice, um lado em comum e seus
interiores não se interceptam(não têm pontos
internos comuns).
Resposta:Alternativa C
x = 40
0
3
4. 13.(EEAR/2009)Na figura , AOC é um ângulo
raso.O valor de x é
2x = 400(÷2)
x = 200
Portanto, o ângulo EOC mede:
900 + 200
1100
a)133032’
b) 133028’
Resposta:Alternativa D
15.(EsSA/1976)A metade do complemento de
um ângulo é 30030'. Esse ângulo mede:
c) 134032’
d) 134028’
Solução:
a)270
Da figura, temos:
Solução:
x + 46028’ = 1800 . Logo, vem:
Sendo o ângulo em questão igual a x, temos:
x + 46028’ = 179060’
x = 179060’ - 46028’
b)390
c)29030'
d)290
= 30030’
x = 133032’
900 – x = 2(30030’) => 900 – x = 60060’
Resposta:Alternativa A
Como 60’ = 10 , vem:
14.(EEAR/2007)Na figura, OC é bissetriz de
BOD . Então o ângulo EOC mede
900 – x = 610 => 900 – 610 = x
29
0
= x
Resposta:Alternativa D
16.(EsSA/2003) O suplemento do ângulo
45º17’27” foi dividido em três partes iguais. A
medida de cada parte é:
a)140°
b)130°
c)120°
a)22º54’41”
b)44º54’11”
c)54º44’33”
d)110°
Solução:
Solução:
Como OC é bissetriz do ângulo BOD,temos:
Ângulo DOC = Ângulo COB =
d)34º42’33”
e)11º34’51”
O suplemento do ângulo 45º17’27” é igual a:
1800 - 45º17’27”
Logo, vem:
179º60’ - 45º17’27”
900 + 2x = 1300 => 2x = 1300 - 900
179º59’60” - 45º17’27”
4
5. 134042’33”
Sendo x e y as medidas dos ângulos em
questão,temos:
Dividindo este ângulo por 3, obtemos:
I)x = 3y
0
134 42’33” 3
140
44054’11”
20
x60
120’
+42’
162’
12’
0’
+ 33”
33”
0”
II)x + y = 1800
3y + y = 1800
a)60
b)50
e o suplemento de um ângulo é
. Esse ângulo
mede
a) 28°
c)30
0
d)45
b)32°
c)43°
d)54°
Solução:
Sendo o ângulo igual a x, temos:
0
=
Sendo o ângulo igual a x, temos:
2(1800 – x) = 7(900 – x)
1800 – x = 2(900 – x) + 300
3600 – 2x = 6300 – 7x => -2x + 7x = 6300 - 3600
1800 – x = 1800 – 2x + 300
x = 30
5x = 2700(÷5)
0
x = 54
0
Resposta:Alternativa D
Resposta:Alternativa C
20.(EEAR/2008)Se OP é bissetriz de AÔB,
então o valor de x é
18.(EsSA/1982)
Se
dois
ângulos
são
suplementares e a medida de um deles é triplo
da medida do outro, então as medidas dos
ângulos são:
a)20 e 60
b)25 e 75
0
19.(EEAR/2008)A razão entre o complemento
Solução:
- x + 2x = 300
y = 45
Resposta:Alternativa D
17.(EsSA/1978)O suplemento de um ângulo
excede o dobro do seu complemento de 30. A
medida desse ângulo é:
0
1800(÷4)
Logo, x = 1350
Resposta:Alternativa B
0
=> 4y =
c)30 e 90
d)45 e 135
a)10°
Solução:
5
b)12°
c)15°
d)18°
6. Solução:
x=
Como OP é bissetriz do ângulo AOB, temos:
0
3x – 5 = 2x + 10
x = 15
0
Resposta:Alternativa C
b)raso
c)agudo
d)24030’
e)16030’
Solução:
d)obtuso
Temos:
Solução:
=> 5a = 900 – a => 5a + a = 900
I)a =
6a = 900(÷6)
a = 15
Como OC é bissetriz o ângulo AOB mede 120 0,
portanto ele é obtuso.
9b + b = 1800 => 10b = 1800(÷10)
Resposta:Alternativa D
a)76
b)65
c)58
0
d)86
0
e)59
x=
=> =
=
330 2
130 16030’
10
x60
60’
00’
A medida do ângulo formado pelas bissetrizes
de dois ângulos adjacentes é igual a semisoma das medidas dos mesmos.Sendo x o ângulo
em questão, temos:
=>
0
0
Solução:
x=
b = 18
A medida do ângulo formado pelas bissetrizes
de dois ângulos adjacentes é igual a semisoma das medidas dos mesmos.Sendo o
ângulo em questão, temos:
22.A medida do ângulo formado pelas
bissetrizes de dois ângulos adjacentes que
medem, respectivamente, 24º30’ e 105º30’ é
igual a:
0
0
=> 9b = 1800 – b =>
II) b =
0
Resposta:Alternativa B
a)80030’
b)74030’
c)35030’
21.(EEAR/2010)A bissetriz de um ângulo AOB
forma 600 com o lado OB.Assim,AOB pode ser
classificado como
a)reto
0
23(EEAR/1997)Dois ângulos adjacentes a e b,
medem,
respectivamente,
1/5
do
seu
complemento e 1/9 do seu suplemento.Assim
sendo, a medida do ãngulo formado por suas
bissetrizes é:
0
3x – 2x = 100 + 50
x = 65
= 16 30'
0
=>
6
Resposta:Alternativa E
7.
24.(EsSA/1981) Se dois ângulos â e b são
são
opostos pelo vértice, então â e b
necessariamente:
a)suplementares
c)adjacentes
5600
200
20
x60
120’
30’
3’
x60
180”
00”
b)replementares
d)congruentes
Solução:
Se dois ângulos são opostos pelo vértice, eles
são congruentes.
Resposta:Alternativa D
25.O ângulo cujo dobro do seu complemento,
mais a metade do suplemento de sua metade é
igual a 130º,mede:
a)620 13’ 20’’
b)710 23’ 10’’
c)420 53’ 30’’
9
62013’20”
x = 62013’20”
Resposta:Alternativa A
26.O triplo do complemento de um ângulo é
igual
à terça parte do suplemento deste
ângulo. Este ângulo mede:
d)540 18’ 24’’
e)630 13’ 23’’
a)
rad
b)
rad
c)
d)
rad
rad
Solução:
Sendo x o ângulo em questão,temos:
0
2(90 –x) +
0
(180 -
0
) = 130 (●2)
e)
rad
Solução:
4(900–x) + 1800 -
Sendo x o ângulo em questão,temos:
= 2600 (●2)
3(900 – x) =
8(900–x) + 3600 - x = 5200
3●3(900 – x) =1800 – x
7200 – 8x + 3600 – x = 5200
10800 – 9x = 5200
Como 900 =
=> 10800 – 5200 = 9x
9(
– x) =
=> 9(900 – x) =1800 – x
radianos e 1800 =
– x =>
– 9x =
radianos,vem:
– x(●2)
x = 2x => 2x + 18x
5600 = 9x => x =
7
8. = x =>
x
=
28.(EsSA/1976)O suplemento do complemento
de um ângulo de 30 é:
rad
Resposta:Alternativa A
a)60
27.A soma de dois ângulos explementares é
igual a 2350. A medida do menor desses ângulos
é:
Solução:
a)360 11’
b)260 34’
c)270 30’
d)380 40’
e)540 48’
0
a)650
+y
c)350
d)250
O complemento do suplemento de um ângulo x é
dado por x - 900.Sendo assim, temos:
1150 - 900
1800 + y + y = 2350 => 2y = 2350 - 1800
=>
b)1800
Solução:
II)x + y = 2350
2y = 55
Resposta:Alternativa B
29.(EsSA/1979)O complemento do suplemento
de um ângulo de 115 mede:
Dois ângulos são explementares quando a
diferença positiva entre as suas medidas é
igual a um ângulo raso.Sendo x e y os ângulos
em questão, temos:
x = 180
d)110
900 + 300
1200
I)x – y = 1800
c)90
O suplemento do complemento de um ângulo x é
dado por 900 + x.Sendo assim,temos:
Solução:
0
b)120
250
y=
Resposta:Alternativa D
30.O ângulo cujo replemento do suplemento
do seu complemento é igual a oito vezes o valor
do mesmo, mede:
550 2
150 27030’
10
x60
60’
00’
a)300
b)400
c)500
d)600
e)650
Solução:
O replemento do suplemento do complemento
de um ângulo x é dado por 2700 – x.Sendo
assim, temos:
y = 27 30’
0
Como x = 1800 + y,vem:
x = 1800 + 27030’
2700 – x = 8x
x = 207 30’
0
2700 = 8x + x => 2700 = 9x(÷9)
Resposta:Alternativa C
Resposta:Alternativa A
8
30
0
= x
9. 31.Na figura abaixo a = c = 300 e a + b + c =
1200.Então x é:
a)agudo
b)obtuso
c)reto
d)raso
Solução:
900 – a = 900- b => b = a
Temos:
Resposta:Alternativa B
0
0
a = c = 30 .Logo, a + c = 60 .Como
a + b + c = 1200, podemos concluir que b = 600.A
medida do ângulo x é igual a a + b.Portanto, o
ângulo x mede:300 + 600 = 900
33.(EEAR/2010)Sejam
três
ângulos
adjacentes AOB, BOC e COD tais que AOB é o
triplo de COD, e este é a metade de BOC.Se
AOD é um ângulo raso,então a medida de AOB
é
Resposta:Alternativa C
a)1200
32.(EsSA/1988) Na figura x e y são ângulos
retos. Então:
b)900
c)600
d)450
Solução:
Sendo e q, respectivamente, as medidas
dos ângulos AOB,BOC e COD, do
enunciado,temos:
a)a = 2b
b)a = b
c)a < b
d)b = 2a
e)b < a
e
=
Como AOD é um ângulo raso,vem:
Solução:
= 1800
Da figura ,temos:
= 1800 => 6 = 1800(÷6)
9
= 30
0
10. Como = 3 , temos:
= 80
= 3●300 = 900
0
Resposta:Alternativa B
36.(EEAR/2002)Na figura , BA // EF . A
medida X é
Resposta:Alternativa B
34.Na figura abaixo, r // s. O valor de y, é:
a)1050
a)1080
b)1100
c)1070
d)1150
b)1060
c)1070
d)1080
Solução:
e)1200
x + 420 = 960 + 520 => x = 1480 - 420
Solução:
x = 450 + 620
x = 107
x = 106
0
0
Resposta:Alternativa B
37.Dada a figura a seguir, determine o valor
de :
Resposta:Alternativa C
35.Na figura abaixo as retas r e s são
paralelas. A medida do ângulo
é igual a:
a)1000
b)800
c)780
d)650
a)600
e)840
b)7000
c)800
d)900
e)1000
Solução:
Solução:
Dois ângulos agudos(ou obtusos) de lados
respectivamente
perpendiculares
são
congruentes.Sendo assim, temos:
1300 + + 1500 = 3600
+ 2800 = 3600 => = 3600 - 2800
= 40
10
=> = 2●400
= 800
11. Resposta:Alternativa C
I)Como as retas r e s são paralelas, os ângulos
agudos 2x e 5y são congruentes.Logo, temos:
38.Dada a figura a seguir, determine o valor
de :
40
0
2x = 5y(●3)
6x = 15y
II)Como as retas r e s são paralelas, o ângulo
agudo 3x – 500 e o ângulo obtuso 2y + 1160 são
suplementares.Sendo assim, temos:
2
3x – 500 + 2y + 1160 = 1800
3x + 2y = 1800 + 500 - 1160
a)600
b)700
c)800
d)900
3x + 2y = 1140(●2)
e)1000
=>
6x + 4y = 2280
Solução:
15y + 4y = 2280 => 19y = 2280(÷19)
Se dois ângulos, um agudo e o outro obtuso,
possuem
os
lados
respectivamente
perpendiculares, eles são suplementares.Sendo
assim, temos:
y = 12
0
Como 6x = 15y,vem:
6x = 15●120 => 6x=1800(÷6)
400 + 2x = 1800
2x = 1800 – 400 => 2x = 1400(÷2)
x = 70
x = 30
0
Portanto,temos:
0
Resposta:Alternativa B
x + y = 120 + 300
x + y = 420
39.(EEAR/2007)Na figura, r // s. O valor de x
+ y é:
Resposta:Alternativa C
40.(EEAR/2007)Quando
uma
transversal
intercepta duas retas paralelas, formam-se
ângulos alternos internos, cujas medidas são
expressas por 4x – 20° e 2x + 42°. A medida de
um desses ângulos é
a)31°
b)62°
c)104°
d)158°
Solução:
a)18°
b)38°
c)42°
Os
ângulos
alternos
internos
congruentes.Sendo assim,temos:
d)60°
4x – 200 = 2x + 420
Solução:
11
são
12. 4x – 2x = 420 + 200 => 2x = 620(÷2)
x = 31
colaterais
internos
devem
suplementares.Sendo assim , temos:
0
Resposta:Alternativa A
3p + 140 + 5p – 300 = 1800
41.(EsSA/2.000)Duas
retas
paralelas
,
cortadas por uma transversal, determinam dois
ângulos alternos externos cujas medidas são
a = 2x + 57º e b = 5x + 12º . Calcule , em graus,
as medidas de a e b :
a)a = 70º e b = 70º
b)a = 60º e b = 60º
c)a = 78º e b = 78º
8p = 1800 - 140 + 300 => 8p = 196
d)a = 87º e b = 87º
e)a = 93º e b = 93º
Os
ângulos
alternos
externos
congruentes.Sendo assim,temos:
p = 24 30’
0
são
Resposta:Alternativa C
a = b
0
0
43.(EEAR/2009)Algumas pessoas têm o hábito
de “cortar o sete”.No “sete cortado” da figura ,
o “corte” é paralelo ao traço horizontal acima
dele.O valor de x é
0
2x + 57 = 5x + 12 => 57 - 12 = 5x – 2x
450 = 3x(÷3)
15
0
=> p =
1960 8
360 24030’
40
x60
240’
00’
Solução:
0
ser
=x
Como a = 2x + 570 ,vem:
a = 2●150 + 570 => a = 300 + 570
a = 87
0
Logo, b = 870
Resposta:Alternativa D
a)400
42.(EEAR/2005)Duas retas r e s, cortadas por
uma transversal t, determinam ângulos
colaterais internos de medidas 3p + 14° e
5p – 30°. O valor de p, para que as retas r e s
sejam paralelas, é
a)5°30'
b)23°40'
c)24°30'
b)410
c)420
d)430
Solução:
Como o corte é paralelo ao traço, o ângulo
agudo x e o ângulo obtuso 3x + 80 são
suplementares.Sendo assim, temos:
d)30°40'
x + 3x + 80 = 1800
Solução:
4x = 1800 - 80 => 4x = 1720(÷4)
Para que as retas sejam paralelas, os ângulos
12
x = 43
0
13. Resposta:Alternativa D
a)200
44.(EsSA/1976) Na figura abaixo, as retas r e
s são paralelas. Quanto mede o ângulo z se y é
o triplo de x?
b)260
c)280
d)300
e)350
Solução:
Como as retas r e s são paralelas, o ângulo
agudo x + 200 e o ângulo obtuso 4x + 300 são
suplementares. Sendo assim ,temos:
x + 200 + 4x + 300 = 1800
6x = 1800 – 200 – 300 => 5x = 1300(÷5)
x = 26
a)600
b)900
c)450
0
Resposta:Alternativa B
46.Na figura abaixo, r // s. O valor de y, é:
d)300
Solução:
Como as retas r e s são paralelas, o ângulo
agudo x e o ângulo obtuso y são suplementares.
Sendo assim ,temos:
x + y = 1800
a)720
Do enunciado , sabemos que y = 3x,logo, vem:
b)180
c)1360
d)1440
e)1800
Solução:
x + 3x = 1800 => 4x = 1800(÷4)
x = 45
0
Como as retas r e s são paralelas, o ângulo
agudo x - 360 e o ângulo agudo
Como as retas r e s são paralelas, o ângulo
agudo x e o ângulo agudo z são congruentes.
Portanto, z = x
z = 45
congruentes.Sendo assim, temos:
0
x - 360 =
Resposta:Alternativa C
x + 20
+ 180(●4)
4x – 1440 = x + 720 => 4x – x = 720 + 1440 =>
45.As retas r e s são interceptadas pela
transversal "t", conforme a figura. O valor de x
para que r e s sejam, paralelas é:
t
0
são
3x = 2160(÷3)
x = 72
0
Como as retas r e s são paralelas, o ângulo
agudo x - 360,ou seja 720 – 360 = 360 e o ângulo
obtuso y são suplementares.Sendo assim,
temos: y = 1440
r
4x + 300
s
Resposta:Alternativa D
13
14. a)1000
47.Considere as retas r, s, t, u, todas num
mesmo plano, com r // u. O valor em graus de
( 2x + 3y ) é:
b)1200 c)1100
d)1050
e)1300
Solução:
Como as retas r e s são paralelas, o ângulo
obtuso 4x + 2x e o ângulo obtuso 1200 são
congruentes..Sendo assim, temos:
4x + 2x = 1200 => 6x = 1200(÷6)
x = 20
0
Logo, o ângulo 4x mede 4●200 = 800.
a)640
b)5000
c)5200
d)6600
Como os ângulos 4x, ou seja , 80 0 e b são
colaterais
internos
eles
são
0
suplementares.Logo, b = 100 .
e)5800
Solução:
Resposta:Alternativa A
Como as retas r e u são paralelas, o ângulo
obtuso 200 + y e o ângulo obtuso 1200 são
congruentes.Sendo assim, temos:
200 + y = 1200 => y = 120 – 20
y = 100
“As pessoas vencedoras não são aquelas que
nunca falham,e sim, aquelas que nunca
desistem.”
0
Na figura, os ângulos x e y são opostos pelo
vértice.Logo, eles são congruentes, ou seja,
x = y = 1000.Portanto, temos que 2x + 3y é igual
a:
2●1000 + 3● 1000
2000 + 3000
5000
Resposta:Alternativa B
48.(UFGO) Na figura abaixo as retas r e s
são paralelas. A medida do ângulo b é igual a:
14