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FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2




  DOCENTE:
    Ing. JAIME GUERRA


  INTEGRANTE:
                ANDRES CRUZADO, Jorge
                DAVILA RABANAL,Carolina
                ESPINOZA VARGAS, Miryam


  Surco, 2011
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                            INVESTIGACION DE OPERACIONES 2

                                       INDICE

Introducción

CAPÍTULO I: PROBLEMA, OBJETIVO E HIPÓTESIS DE ESTUDIO

II.- Problematización

III.- Objetivos

       3.1 - Objetivo General
       3.2 - Objetivos Específicos

IV.- Hipótesis de Estudio

CAPÍTULO II: ANTECEDENTES, METODOLOGÍA Y MARCO TEÓRICO

V.- Antecedentes

VI.- Metodología del Estudio

VII.- Marco Teórico

CAPÍTULO III: ANÁLISIS Y DIAGNOSTICO DEL ESCENARIO ACTUAL.

VIII.- Análisis y Diagnóstico del Escenario actual

CAPÍTULO IV: ANÁLISIS Y CONSTRUCCIÓN DEL MODELO DE COLA

IX.- Construcción del modelo de cola

X.- Trabajo de Campo

       10.1 - Toma de tiempos de arribos
       10.2 - Toma de tiempos de servicios
       10.3 - Dócima de Hipótesis y Ajuste de Bondad

XI.- Obtención e Interpretación de resultados del Modelo de cola

CAPITULO V: ESCENARIOS PROPUESTOS

CAPÍTULO VI: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

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XII.- Conclusiones y recomendaciones

XIII.- Referencias Bibliográficas

Anexos




I. Introducción
El presente informe ha sido elaborado por alumnos del curso de Investigación de
operaciones II (IO-02), de la facultad de Ingeniería Industrial de la Universidad
Ricardo Palma, con el propósito de plasmar todos los conocimientos adquiridos en
el curso, mediante su realización.

IO-02 es un curso que nos permite estudiar varios temas con distintos aspectos y
características sobre temas importantes tales como “TEORÍA DE COLAS” así
como los problemas y cuestiones que presenta, a fín de obtener y analizar los
caminos que lleguen a su solución.

Éste informe tratará en particular un tema de mucha importancia que se presenta
en nuestro quehacer diario de manera continua y que nos afecta a todos en menor
o mayor grado; se trata acerca de los fenómenos de espera también conocidos
como “colas”.

Un análisis detallado de estos fenómenos de espera es de suma importancia por
que nos permitirá comprender mejor los comportamientos de las “colas” que
presenciamos en la vida.

Como dijimos anteriormente, nuestro informe y sus investigaciones se centran en
torno al capítulo de la Teoría de Colas y Fenómenos de Espera.

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Con la aplicación de estudios y métodos analíticos, mediante nuestro informe
lograremos obtener una solución óptima a los problemas que se presentan en
BEMBOS.

Finalmente realizaremos observaciones, brindaremos recomendaciones y posibles
soluciones ante los problemas que encontremos mediante el análisis.




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             CAPÍTULO I

PROBLEMATICA, OBJETIVO E
  HIPOTESIS DE ESTUDIO




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        II . PROBLEMATICA:


BEMBOS el establecimiento de comidas rápidas brinda las mejores
hamburguesas a las personas de nuestra sociedad. Se estuvo observando en
dicho establecimiento “BEMBOS”, los problemas que tienen que pasar los clientes
en hacer las largas colas, para poder pagar los productos que van a consumir.

El problema básicamente se dirige al personal que no está debidamente
capacitado con respecto al software que se utiliza en los módulos, por tanto la
demora, algunas veces se hace lento el servicio por la inexperiencia del servidor o
por la forma de pago de los clientes, por otro lado la disposición de personal, en el
cual se necesitan por lo menos 1 persona para la atención al cliente, pues al
parecer no hay suficiente personal durante el estudio que se ha llevado a cabo.

Las colas se forman durante todo el día, pero en mayor cantidad es en la tarde y
en la noche, donde las personas tienden consumir dichas hamburguesas, es por
eso que al identificar ya el problema, se ha querido estudiar el lugar con aquellos
arribos de personas durante estas horas para así encontrar la solución y reducir
los tiempos de espera al igual que las colas.

Dicho entidad cuenta con 1 módulo en la sección de caja, observamos en los 2
días que asistimos a realizar la toma de datos que funcionaba correctamente,
pero en este proceso nos enfocaremos en este módulo que nos ayudara a
resolver dicho problema.

Lo que buscamos al realizar este estudio, es conocer la cantidad de personas que
llegan al lugar, los tiempos que tardan en ser atendidos, los tiempos de espera,
etc. Todo esto con el fin de mejorar el servicio que se realiza en esta área.

Al sistema arriban todo tipo de personas que desee consumir dichos productos, y
después así hacer su pedido y pagar dicho pedido.

Al llegar todos los usuarios deben hacer cola uno detrás de otro, en el cual se
tiende a esperar para ser atendidos en cada módulo. Las personas que atienden
están debidamente capacitados, pero en caso de que alguno de ellos falte, tengan
que cumplir con otras funciones o vayan a refrigerio, los reemplaza algún
practicante, que en su mayoría son personas que no poseen el ritmo adecuado o
no se encuentra capacitado para desempeñar esta función.

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    III.   OBJETIVOS

Objetivos generales:


      Lo principal de esta investigación es explicar que mediante el uso de teoría
      de colas estudiado en clase es posible mejorar la particularidad de atención
      al cliente en cualquier sistema propuesto.


      Utilizaremos los modelos de cola, aplicándolos de manera adecuada.


Objetivos específicos:


      Analizar de manera adecuada con los datos obtenidos, el número de
      servidores que se requiere.


      Demostrar si el sistema está funcionando adecuadamente, y si lel servidor
      está atendiendo a un ritmo adecuado.


      Se identificara los parámetros de entrada, salida, se hallara el número de
      clientes en cola, así como el tiempo que pasan los clientes en el sistema.


    IV.    HIPOTESIS DE ESTUDIO:




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Es posible mejorar y comprender el sistema de manera tal, que podamos
identificar todos los factores pertinentes, y así poder mejorar la calidad de servicio
en la atención al cliente.

En este estudio se lograra demostrar que la cantidad de personas que entran a un
módulo es mucho mayor a la deseada, ya sea por no abastecerse de un buen
número de personal para dicha tarea, por lo tanto la atención, el tiempo de espera
y las colas seguirá aumentando si el negocio no busca tener mayor servidores y
recursos para la atención.




                             CAPÍTULO II

                                                                                  7
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ANTECEDENTES, METODOLOGÍA Y
       MARCO TEÓRICO




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V. Antecedentes

El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang
(Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico
con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico
de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada
teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta
de valor en negocios debido a que un gran número de problemas pueden
caracterizarse, como problemas de congestión llegada-salida.

En muchas ocasiones en la vida real, un fenómeno muy común es la formación de
colas o líneas de espera. Esto suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio
es superior a la capacidad que existe para dar dicho servicio. Ejemplos reales de
esa situación son: los cruces de dos vías de circulación, los semáforos, el peaje de
una autopista, los cajeros automáticos, la atención a clientes en un
establecimiento comercial, la avería de electrodomésticos u otro tipo de aparatos
que deben ser reparados por un servicio técnico, etc.




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VI. Metodología del Estudio

En el siguiente estudio desarrollado por nuestro equipo de trabajo, utilizamos el
método observacional descriptivo, el cual nos permitió obtener los tiempos de
llegada y de salida (servicio) realizados por los clientes en el establecimiento de
comidas rápidas BEMBOS

   1.   Diseñar formato para la toma de tiempos (llegada)
   2.   Diseñar formato para la toma de tiempos (salida o servicio)
   3.   Elegir un horario especifico para tomar los tiempos
   4.   Dividir el tiempo en intervalos iguales
   5.   Proceder a la toma de tiempos (llegada y servicio)
   6.   Obtener los tiempos de llegada y servicio promedio
   7.   Hacer la prueba de ajuste con los datos ya obtenidos
   8.   Finalmente, exponer las conclusiones y recomendaciones




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VII. Marco Teórico

Qué son las colas?

Las "colas" son un aspecto de la vida moderna que nos encontramos
continuamente en nuestras actividades diarias. En el contador de un
supermercado, estacionamientos, bancos, etc., el fenómeno de las colas surge
cuando unos recursos compartidos necesitan ser accedidos para dar servicio a un
elevado número de trabajos o clientes. Este estudio es importante porque
proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de un
determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado
para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes. Debido a lo
comentado anteriormente, se plantea como algo muy útil el desarrollo de una
herramienta que sea capaz de dar una respuesta sobre las características que
tiene un determinado modelo de colas.

En las formaciones de colas se habla de clientes, tales como máquinas dañadas a
la espera de ser rehabilitadas. Los clientes pueden esperar en cola debido a que
los medios existentes sean inadecuados para satisfacer la demanda del servicio;
en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez más larga a
medida que transcurre el tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente,
aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, porque los clientes llegados
anteriormente están siendo atendidos.




Objetivos de la teoría de colas:

   Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste del
    mismo.
   Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la
    capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.



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   Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones
    cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.
   Prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola de
    espera.

Elementos existentes en la teoría de colas
Proceso básico de colas: Los clientes que requieren un servicio se generan en
una fase de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En
determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el
servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se
lleva a cabo el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio,
después de lo cual el cliente sale del sistema de colas.

Fuente de entrada o población potencial: Una característica de la fuente de
entrada es su tamaño. El tamaño es el número total de clientes que pueden
requerir servicio en determinado momento. Puede suponerse que el tamaño es
infinito o finito.

Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio como por
ejemplo una lista de trabajo esperando para imprimirse.

Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar
haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse
finita o infinita.

Disciplina de la cola: La disciplina de la cola se refiere al orden en el que se
seleccionan sus miembros para recibir el servicio. Por ejemplo, puede ser:

   FIFO (first in first out) primero en entrar, primero en salir, según la cual se
    atiende primero al cliente que antes haya llegado.
   LIFO (last in first out) también conocida como pila que consiste en atender
    primero al cliente que ha llegado el último.
   RSS (random selection of service) que selecciona los clientes de manera
    aleatoria, de acuerdo a algún procedimiento de prioridad o a algún otro orden.



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   Processor Sharing – sirve a los clientes igualmente. La capacidad de la red
    se comparte entre los clientes y todos experimentan con eficacia el mismo
    retraso.
Mecanismo de servicio: El mecanismo de servicio consiste en una o más
instalaciones de servicio, cada una de ellas con uno o más canales paralelos de
servicio, llamados servidores.

Redes de colas. Sistema donde existen varias colas y los trabajos fluyen de una a
otra. Por ejemplo: las redes de comunicaciones o los sistemas operativos
multitarea.

Cola: Una cola se caracteriza por el número máximo de clientes que puede
admitir. Las colas pueden ser finitas o infinitas.

El proceso de servicio: Define cómo son atendidos los clientes.




Notación de Kendall:

David G. Kendall introdujo una notación de colas A/B/C en 1953. La notación de
Kendall para describir las colas y sus. Ha sido desde entonces extendida
a 1/2/3/(4/5/6) donde los números se reemplazan con:

    1. Un código que describe el proceso de llegada. Los códigos usados son:



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      M para "Markoviano" (la tasa de llegadas sigue una distribución de
       Poisson), significando una distribución exponencial para los tiempos
       entre llegadas.
      D para unos tiempos entre llegadas "determinísticas".
      G para una "distribución general" de los tiempos entre llegadas, o del
       régimen de llegadas.
2. Un código similar que representa el proceso de servicio (tiempo de
   servicio). Se usan los mismos símbolos.
3. El número de canales de servicio (o servidores).
4. La capacidad del sistema, o el número máximo de clientes permitidos en el
   sistema incluyendo esos en servicio. Cuando el número está al máximo, las
   llegadas siguientes son rechazadas. Un caso particular de esta situación es
   el modelo M/M/n/n o Erlang-B, en el cual no hay cola de espera, sino n
   recursos (servidores) y hasta n usuarios como máximo; si llega el usuario
   n+1, es rechazado. Este último modelo es el que se aplica en telefonía
   convencional. Otro caso particular es el modelo Erlang-C o M/M/n, donde la
   capacidad del sistema es ilimitada, aunque haya sólo n recursos; en caso
   de llegar el recurso número n+1, pasará a una cola de espera, pero no es
   rechazado.
5. El orden de prioridad en la que los trabajos en la cola son servidos:
      First Come First Served (FCFS) ó First In First Out (FIFO) ,
      Last Come First Served (LCFS) o Last In First Out (LIFO) ,
      Service In Random Order (SIRO) y
      Processor Sharing.
6. El tamaño del origen de las llamadas. El tamaño de la población desde
   donde los clientes vienen. Esto limita la tasa de llegadas.




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Sistema de colas
Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como
modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes
llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho servicio
haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto como colas
sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas.
En la siguiente figura podemos ver un ejemplo de modelo de colas sencillo. Este
modelo puede usarse para representar una situación típica en la cual los clientes
llegan, esperan si los servidores están ocupados, son servidos por un servidor
disponible y se marchan cuando se obtiene el servicio requerido.

Interesa saber cuál es el intervalo de tiempo entre las llegadas de dos usuarios
consecutivos. Además, según cómo sea el proceso de llegadas, los usuarios
pueden llegar individualmente o en grupos Si cuando un usuario llega al sistema el
servidor está libre, se le da servicio. Si el tiempo de servicio es mayor que el
intervalo entre llegadas, el siguiente usuario, cuando accede al sistema, encuentra
que el servidor está ocupado, por lo que debe quedar en espera, formando la cola.

Otra cuestión importante es saber cuánto tiempo debe esperar un usuario que
llega al sistema hasta que recibe el servicio, lo cual entra dentro del concepto
QOS (Quality of Service, calidad de servicio). Cuando en la cola hay más de un
usuario, al quedar el servidor libre hay que determinar cuál de los usuarios en
espera será el que pase a recibir servicio. Es decir, es necesario un proceso para
decidir qué usuario va a ser llamado de la cola; esto es lo que se llama disciplina
de la cola.




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Estructuras:




Terminología:

Usualmente siempre es común utilizar la siguiente terminología estándar:

         Estado del sistema: Número de clientes en el sistema.

         Longitud de la cola: Número de clientes que esperan servicio.

         N (t): Número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t (t 0)

         Pn (t): Probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema
         en el tiempo t, dado el número en el tiempo cero.

         s : Número de servidores en el sistema de colas.

                                                                                 17
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           n: Tasa media de llegadas (número esperado de llegadas por unidad
          de tiempo) de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema.

           n: Tasa media de servicio para todo el sistema (número esperado
          clientes que completan su servicio por unidad de tiempo) cuando hay n
          clientes en el sistema.


  1. Fuente de entrada o población potencial:


Es un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a
solicitar el servicio en cuestión. Podemos considerarla finita o infinita. Aunque el
caso de infinitud no es realista, sí permite (por extraño que parezca) resolver de
forma más sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la población es
finita pero muy grande. Dicha suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando,
aún siendo finita la población potencial, su número de elementos es tan grande
que el número de individuos que ya están solicitando el citado servicio
prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la población potencial genera
nuevas peticiones de servicio.


  2. Cliente:


El mecanismo de servicio implementado por uno o más servidores cuyo propósito
es brindar servicio según tiempos que tienen un comportamiento aleatorio (por lo
general un comportamiento de naturaleza exponencial). Los modelos de cola a
estudiar los servidores estarán en paralelo y serie.


  3. Capacidad de la cola:


Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de
comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita. Lo más
sencillo, a efectos de simplicidad en los cálculos, es suponerla infinita. Aunque es
obvio que en la mayor parte de los casos reales la capacidad de la cola es finita,
no es una gran restricción el suponerla infinita si es extremadamente improbable


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que no puedan entrar clientes a la cola por haberse llegado a ese número límite en
la misma.


   4. Disciplina de la cola: Diagramas de Estados:
Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las
disciplinas más habituales son:

   FIFO (First-In-First-Out): se le da servicio al primero que ha llegado, de forma
   que la cola está ordenada según el orden de llegada de los usuarios.
   LIFO (Last-In-First-Out): se le da servicio al último que ha llegado, de forma
   que la cola está ordenada en orden inverso al de llegada de los usuarios.
   SIRO (Service-In-Random-Order): Se sortea aleatoriamente cuál de los
   usuarios en espera accederá al servicio.




  5. Mecanismo de servicio:


Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. Para
determinar totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el número de
servidores de dicho mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la distribución de
probabilidad del mismo) y la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a
cada servidor dar un servicio. En caso de que los servidores tengan distinta
destreza para dar el servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de
servicio para cada uno.


  6. La cola:




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Propiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los
clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al
mecanismo de servicio.


  7. El sistema de la cola:


Es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto con la
disciplina de la cola, que es lo que nos indica el criterio de qué cliente de la cola
elegir para pasar al mecanismo de servicio.


  8. Distribución de Poisson:

Los procesos de llegadas que siguen la mayoría de sistemas de colas son
distribución de Poisson.

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una
distribución de probabilidaddiscreta. Expresa la probabilidad de un número k de
eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una frecuencia
media conocida y son independientes del tiempo discurrido desde el último evento.

Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su
trabajo (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y
civiles).



Pn: probabilidad de que en un tiempo t el número de usuarios que acceden al
sistema sea n y esta probabilidad sigue una ley de Poisson de la forma:




La probabilidad de que el tiempo entre llegadas sea mayor o igual a T (que es
igual a la probabilidad de que no haya ninguna llegada en un intervalo de duración
 T ), es:




                                                                                20
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El intervalo entre llegadas para que sea menor o igual a             T   tiene como
probabilidad:




El valor medio del intervalo entre llegadas será:



Donde es el número de llegadas por unidad de tiempo, que recibe el nombre de
tasa de llegadas.

Para describir un sistema de colas se emplea la notación de Kendall, que consiste
en un grupo de letras y números de la forma:




Designa el proceso de llegadas; más concretamente, describe el tipo de
distribución del tiempo entre llegadas. Si este proceso es markoviano de tipo
Poisson-exponencial, en este lugar se colocará la letra M. Si el proceso es
determinístico, se colocará la letra D y la letra G si las llegadas son de otro tipo.

Designa el proceso de servicio; es decir, describe la distribución del tiempo de
servicio y, por tanto, de las salidas del sistema. Se colocará la letra M si este
proceso es markoviano, D si es determinístico y G si es de otro tipo. En todos los
casos supondremos que la duración del tiempo de servicio es independiente de la
distribución de las llegadas.




                                                                                21
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           CAPÍTULO III

ANALISIS Y DIAGNOSTICO DEL
            ESCENARIO




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VIII. Análisis y Diagnóstico del Escenario Actual

El establecimiento de comidas rápida “BEMBOS”, se encuentra ubicado en el
cruce de la Av. Caminos del Inca con la Av. Benavides..

El lugar es bastante amplio como para albergar a una gran cantidad de clientes. El
local cuenta con un solo servidor disponible por lo que en „hora punta‟ llegan un
gran número de personas lo cual genera colas. En nuestra investigación nunca
hubo un intervalo de tiempo despejado, siempre llegaban clientes.

Estas colas generan:

       Pérdida de tiempo
       Pérdida de dinero
       Pérdida de clientes
       Malestar
       Incomodidad
       Entre otros


Nuestro objetivo como equipo de trabajo es tratar de reducir el tiempo en el que se
demora el cajero al momento de atender mediante la aplicación de métodos
analíticos y científicos, lo cual generaría una gran satisfacción para los clientes.




                             CAPÍTULO IV



                                                                                   23
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ANALISIS Y CONSTRUCCION DEL
      MODELO DE COLA




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IX. Construcción del modelo de cola

       a. ESTIMACIÓN DE PARAMETROS


          Tasa de arribos ( )

          Para la estimación de tasa de arribos se registró cuantas personas
          llegaban a “BEMBOS” en un intervalo de 5 minutos. Luego con esta
          data se halló un promedio de personas por minuto. Se utilizó las
          siguientes Relaciones:


           Tiempo promedio = Tiempo Total (min.) / Nº de personas


              Tasa de arribos ( ) = 1 / Tiempo promedio



          Tasa de servicios ( )

          Para la tasa de servicios se tomó tiempos en la atención a cada
          persona para pagar en caja.




       b. MODELO DE COLA
          Analizando el comportamiento que sigue este caso, se puede hallar el
          modelo de cola correspondiente según KENDALL



                                MODELO I:(M/M/1): (FIFO/∞/∞)


                                                                          25
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Donde:

         M: Clientes que llegan al sistema siguiendo una distribución

         M: Clientes que llegan al sistema siguiendo una distribución

         S: Numero de servidores en el sistema

         FIFO: Disciplina de servicio




                                                                        26
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X. Trabajo de cola

          Para el caso que venimos analizando, se considera:

          M: Distribución de Poisson

          M: Distribución exponencial

          S: 1

          FIFO: Disciplina de servicio

          ∞: Tamaño del sistema infinito

          ∞: Tamaño de la fuente infinito




              1                La hora de arribo de cada entidad al sistema

              2                La hora en que el usuario inicia a ser atendido

              3                La hora en que el usuario finaliza de ser atendido


Toma de tiempo de arribos

Primer día de toma de Muestras: Se realizó la medición en 2 días, en 2 horas
(13:00 – 15:00 pm) siguiendo intervalos de 5 minutos.

En la tarde

Muestra           Intervalos        N° de TOTAL
                  de tiempo        clientes

   1      13:00:00     13:05:00       IIII       4
   2      13:05:00     13:10:00        II        2
   3      13:10:00     13:15:00        III       3
   4      13:15:00     13:20:00        III       3
   5      13:20:00     13:25:00         I        1
   6      13:25:00     13:30:00        II        2
   7      13:30:00     13:35:00        III       3
                                                           λ=63client/125min
                                                                                    27
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  8       13:35:00 13:40:00          III              3
  9       13:40:00 13:45:00          II               2
  10      13:45:00 13:50:00          II               2
  11      13:50:00 13:55:00          II               2
  12      13:55:00 14:00:00           I               1
  13      14:00:00 14:05:00          III              3
  14      14:05:00 14:10:00          II               2
  15      14:10:00 14:15:00         IIII              4
  16      14:15:00 14:20:00          II               2
  17      14:20:00 14:25:00         IIII              4
  18      14:25:00 14:30:00           I               1
  19      14:30:00 14:35:00          II               2
  20      14:35:00 14:40:00          III              3
  21      14:40:00 14:45:00           I               1
  22      14:45:00 14:50:00          III              3
  23      14:50:00 14:55:00          II               2
  24      14:55:00 15:00:00          III              3
  25      15:00:00 15:05:00        IIIII              5
                125min                       63
                                             clientes
Segundo dia de toma de Muestras: Se realizó la medición en 2 días, en 2 horas
(18:30 – 20:30 pm) siguiendo intervalos de 5 minutos.

En la noche:

Muestra          Intervalos                 N° de         TOTAL
                 de tiempo                 clientes

   1        18:30:00    18:35:00               II           2
   2        18:35:00    18:40:00              III           3
   3        18:40:00    18:45:00             IIIII          5
   4        18:45:00    18:50:00             IIII           4
   5        18:50:00    18:55:00             IIIII          5
   6        18:55:00    19:00:00             IIIII          5
   7        19:00:00    19:05:00             IIIII          5
   8        19:05:00    19:10:00               II           2
   9        19:10:00    19:15:00             IIII           4
   10       19:15:00    19:20:00             IIII           4
   11       19:20:00    19:25:00               II           2
   12       19:25:00    19:30:00             IIIIII         6
   13       19:30:00    19:35:00             IIII           4

                                                                          28
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  14       19:35:00       19:40:00        II            2
  15       19:40:00       19:45:00      IIIII           5
  16       19:45:00       19:50:00        II            2
  17       19:50:00       19:55:00       III            3
  18       19:55:00       20:00:00      IIII            4
  19       20:00:00       20:05:00      IIIII           5
  20       20:05:00       20:10:00       III            3
  21       20:10:00       20:15:00      IIIII           5
  22       20:15:00       20:20:00      IIIIII          6
  23       20:20:00       20:25:00        II            2
  24       20:25:00       20:30:00      IIII            4
  25       20:30:00       20:35:00      IIIII           5
                  125min                         97 clientes


                         λ = 97client/125min


Toma de tiempo de servicios : Primer día
 Muestra              Tiempo cronometrado
                      de salida en segundos



       1                       244
       2                       188
       3                       187
       4                       186
       5                       30
       6                       185                             μ₀ = 63clien/79.23min
       7                       68
       8                       241
       9                       299
    10                         116
    11                         295
    12                         264



                                                                                29
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13                  213
14                  189
15                  197
16                  139
17                  167
18                  149
19                  163
20                  192
21                  146
22                  155
23                  168
24                  294
25                  27
 TOTAL             4754
Muestra    Tiempo cronometrado
           de salida en segundos          Segundo dia

     1             282
     2             297
     3             195
     4             164
     5             233
     6             276
     7             187
     8             150
     9             263
  10               249
                                                 μ₀ = 97clien/85.05min
  11               196
  12               197
  13               185
  14               144
  15               155
  16               167


                                                                  30
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       17                    229
       18                    197
       19                    165
       20                    159
       21                    139
       22                    157
       23                    269
       24                    231
       25                    217
            TOTAL            5103




XI. Obtención e interpretación de resultados

1.- Sobre los Arribos:

Para calcular éste dato hemos promediado los datos de arribos de todas las
tomas realizadas. Cada día el lapso de tiempo que destinamos a la toma de
tiempos para los arribos fue de 04 horas

                           13:00 - 15:00 p.m.

                                                                      31
FACULTAD DE INGENIERIA
                        ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL
                              INVESTIGACION DE OPERACIONES 2

                                   1830 – 20:30 p.m.

ésto nos da:

                     λ (tarde)
                    cliente/min
                                                         λ = 0.64 cliente/min
  Primer día           0.50
 Segundo día           0.78
Prom. Parcial          0.64



2.-Sobre los Servicios:

En este caso hemos utilizado el promedio de horas obtenidas como producto de
los análisis realizados, lo cual da:

                                       μ
                                  cliente /min
                                                               μ = 0.968cliente/min
primer día                           0.795
segundo día                          1.141
    Prom. Parcial                   0.968




Docima de hipótesis y ajustes de bondad

      'X''                         Probabilidad
  Llegadas          Real               Poisson teorico                Px          frecuencias
       1            0.08                   0.1304391              0.1304391            4
       2             0.3                   0.2087025              0.3391415            15
       3            0.22                   0.2226160              0.5617575            11
       4            0.18                   0.1780928              0.7398503            9
       5            0.18                   0.1139794              0.8538297            9
       6            0.04                   0.0607890              0.9146187            2
                       1                   0.9146187                                   50


                                                                                      32
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                                    INVESTIGACION DE OPERACIONES 2




               0.35

                0.3

               0.25
Probabilidad




                0.2

               0.15                                                              Real
                                                                                 Poisson teorico
                0.1

               0.05

                 0
                      0   1         2       3          4     5      6        7
                                            ''X'' Llegadas




                                                                                        33
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         fr-ft                     (fr-ft)2                     (fr-ft)2/ft
      -0.0504391                0.0025441                  0.01950411
      0.0912975                 0.0083352                  0.03993837
      -0.0026160                0.0000068                  3.0741E-05
      0.0019072                 0.0000036                  2.0425E-05
      0.0660206                 0.0043587                  0.03824132
      -0.0207890                0.0004322                  0.00710955
                                  chi obs                  0.10484452
Frecuencia real : fr

Frecuencia teorica : ft




                                                                              34
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                      CAPÍTULO V

          ESCENARIOS PROPUESTOS




parámetros:




                                                             35
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Análisis del Escenario 1 (1 servidor):




                                                                     36
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Continuación del análisis del Escenario 1:



Comparación de los 2 Escenarios:




                                                                    37
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Análisis del Escenario 2 (2 servidores):




                                                                    38
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                         INVESTIGACION DE OPERACIONES 2



Cuadro Comparativo de ambos escenarios:

                                  ESCENARIO 1              ESCENARIO 2
          INDICADOR
                                (M/M/1):(FIFO/∞/∞)       (M/M/2):(FIFO/∞/∞)


              Ρo                    0.34021                   0.50388

              LS                    1.93939                   0.74037

              Lq                    1.27960                   0.08058

              WS                    3.03030                   1.15683

              Wq                    1.99938                   0.12590



      COMENTARIO



         o Se puede afirmar que al establecimiento de comidas rapidas
           “BEMBOS” le conviene hacer uso de sus 2 módulos, porque de este
           modo aumenta la probabilidad de que un cliente sea atendido
           apenas llegue.

         o Se observa que el porcentaje promedio de personas que esperan en
           cola disminuye notablemente del escenario 1 al escenario 2.




                                                                              39
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ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL
      INVESTIGACION DE OPERACIONES 2




       CAPÍTULO VI

 CONCLUSIONES Y
RECOMENDACIONES




                                               40
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                 INVESTIGACION DE OPERACIONES 2

 CONCLUSIONES:


   La investigación de operaciones permite el análisis de la toma de
    decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para
    determinar cómo se puede optimizar un objetivo definido, como la
    maximización de los beneficios o la minimización de costes.

   La teoría de colas es una herramienta muy importante de la
    investigación de operaciones pues sus resultados a menudo son
    aplicables en una amplia variedad de situaciones como: negocios,
    comercio, industria, ingenierías, transporte y telecomunicaciones. En
    nuestro caso sirvió para la atención al público de una institución
    privada.


   Concluimos que para la mejor atención del cliente en un
    establecimiento de comidas rápidas como lo es “BEMBOS”, es
    importante que su atención al cliente sea lo más óptima posible para
    generar confianza y fidelidad en el cliente, Al mismo tiempo
    observamos que necesita en todo momento más de un módulo de
    atención no solo en las horas pico (horas de almuerzo, comida,cena)




RECOMENDACIONES:

   Buena capacitación del personal para realizar las labores de atención
    al cliente en esos módulos, para la atención más rápida del usuario y
    este regrese satisfecho a su hogar. Tener personal de reserva que
    pueda suplir inmediatamente a alguna cajera que no asista por
    razones determinadas, por ello se recomienda la activación de los 2
    módulos, para que en esas situaciones siempre existan como mínimo
    una o dos cajeras activas.

   Recomendamos de que se puedan implementar análisis respectivos
    para poder atender al cliente sin demora y con gran calidad, teniendo
    así su aprobación y fidelidad , para así generar mayores ingresos,

                                                                     41
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                     INVESTIGACION DE OPERACIONES 2

       pero siempre debemos de tener en cuenta que a través de este
       análisis respectivo de colas podemos definir el déficit de nuestra
       atención y poder mejorarla incrementando el número de servidores
       para generar un porcentaje menor de cola.


      La actualización continúa de la base de datos tanto para precios,
       ofertas, etc, para que la atención sea mucho más rápida y los
       trabajadores puedan desempeñar sus labores sin ningún problema y
       de manera eficiente.


XII. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

      INVESTIGACION DE OPERACIONES UNA INTRODUCCION, Hamdy
       Taha. Sexta edición, editorial Prentice Hall. Capítulo 18 pág. 673,680-
       705.

      INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES,
       Frederick Hiller & Gerald Lieberman. Sexta edición, editorial Mac Graw
       Hill. Capítulo 21 pág. 902 – 936.


XIII. ANEXOS

      TEORIA DE COLAS - AUTOR: VICENÇ FERNANDEZ – UNIVERSIDAD
       POLITECNICA DE CATALUNYA
      MODELOS DE COLA
      IMÁGENES
      BLOG:
       http://teoriadecolas-bembos.blogspot.com/




                                                                         42

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BEMBOS - TEORIA DE COLAS

  • 1. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 DOCENTE: Ing. JAIME GUERRA INTEGRANTE: ANDRES CRUZADO, Jorge DAVILA RABANAL,Carolina ESPINOZA VARGAS, Miryam Surco, 2011
  • 2. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 INDICE Introducción CAPÍTULO I: PROBLEMA, OBJETIVO E HIPÓTESIS DE ESTUDIO II.- Problematización III.- Objetivos 3.1 - Objetivo General 3.2 - Objetivos Específicos IV.- Hipótesis de Estudio CAPÍTULO II: ANTECEDENTES, METODOLOGÍA Y MARCO TEÓRICO V.- Antecedentes VI.- Metodología del Estudio VII.- Marco Teórico CAPÍTULO III: ANÁLISIS Y DIAGNOSTICO DEL ESCENARIO ACTUAL. VIII.- Análisis y Diagnóstico del Escenario actual CAPÍTULO IV: ANÁLISIS Y CONSTRUCCIÓN DEL MODELO DE COLA IX.- Construcción del modelo de cola X.- Trabajo de Campo 10.1 - Toma de tiempos de arribos 10.2 - Toma de tiempos de servicios 10.3 - Dócima de Hipótesis y Ajuste de Bondad XI.- Obtención e Interpretación de resultados del Modelo de cola CAPITULO V: ESCENARIOS PROPUESTOS CAPÍTULO VI: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 1
  • 3. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 XII.- Conclusiones y recomendaciones XIII.- Referencias Bibliográficas Anexos I. Introducción El presente informe ha sido elaborado por alumnos del curso de Investigación de operaciones II (IO-02), de la facultad de Ingeniería Industrial de la Universidad Ricardo Palma, con el propósito de plasmar todos los conocimientos adquiridos en el curso, mediante su realización. IO-02 es un curso que nos permite estudiar varios temas con distintos aspectos y características sobre temas importantes tales como “TEORÍA DE COLAS” así como los problemas y cuestiones que presenta, a fín de obtener y analizar los caminos que lleguen a su solución. Éste informe tratará en particular un tema de mucha importancia que se presenta en nuestro quehacer diario de manera continua y que nos afecta a todos en menor o mayor grado; se trata acerca de los fenómenos de espera también conocidos como “colas”. Un análisis detallado de estos fenómenos de espera es de suma importancia por que nos permitirá comprender mejor los comportamientos de las “colas” que presenciamos en la vida. Como dijimos anteriormente, nuestro informe y sus investigaciones se centran en torno al capítulo de la Teoría de Colas y Fenómenos de Espera. 2
  • 4. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 Con la aplicación de estudios y métodos analíticos, mediante nuestro informe lograremos obtener una solución óptima a los problemas que se presentan en BEMBOS. Finalmente realizaremos observaciones, brindaremos recomendaciones y posibles soluciones ante los problemas que encontremos mediante el análisis. 3
  • 5. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 CAPÍTULO I PROBLEMATICA, OBJETIVO E HIPOTESIS DE ESTUDIO 4
  • 6. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 II . PROBLEMATICA: BEMBOS el establecimiento de comidas rápidas brinda las mejores hamburguesas a las personas de nuestra sociedad. Se estuvo observando en dicho establecimiento “BEMBOS”, los problemas que tienen que pasar los clientes en hacer las largas colas, para poder pagar los productos que van a consumir. El problema básicamente se dirige al personal que no está debidamente capacitado con respecto al software que se utiliza en los módulos, por tanto la demora, algunas veces se hace lento el servicio por la inexperiencia del servidor o por la forma de pago de los clientes, por otro lado la disposición de personal, en el cual se necesitan por lo menos 1 persona para la atención al cliente, pues al parecer no hay suficiente personal durante el estudio que se ha llevado a cabo. Las colas se forman durante todo el día, pero en mayor cantidad es en la tarde y en la noche, donde las personas tienden consumir dichas hamburguesas, es por eso que al identificar ya el problema, se ha querido estudiar el lugar con aquellos arribos de personas durante estas horas para así encontrar la solución y reducir los tiempos de espera al igual que las colas. Dicho entidad cuenta con 1 módulo en la sección de caja, observamos en los 2 días que asistimos a realizar la toma de datos que funcionaba correctamente, pero en este proceso nos enfocaremos en este módulo que nos ayudara a resolver dicho problema. Lo que buscamos al realizar este estudio, es conocer la cantidad de personas que llegan al lugar, los tiempos que tardan en ser atendidos, los tiempos de espera, etc. Todo esto con el fin de mejorar el servicio que se realiza en esta área. Al sistema arriban todo tipo de personas que desee consumir dichos productos, y después así hacer su pedido y pagar dicho pedido. Al llegar todos los usuarios deben hacer cola uno detrás de otro, en el cual se tiende a esperar para ser atendidos en cada módulo. Las personas que atienden están debidamente capacitados, pero en caso de que alguno de ellos falte, tengan que cumplir con otras funciones o vayan a refrigerio, los reemplaza algún practicante, que en su mayoría son personas que no poseen el ritmo adecuado o no se encuentra capacitado para desempeñar esta función. 5
  • 7. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 III. OBJETIVOS Objetivos generales: Lo principal de esta investigación es explicar que mediante el uso de teoría de colas estudiado en clase es posible mejorar la particularidad de atención al cliente en cualquier sistema propuesto. Utilizaremos los modelos de cola, aplicándolos de manera adecuada. Objetivos específicos: Analizar de manera adecuada con los datos obtenidos, el número de servidores que se requiere. Demostrar si el sistema está funcionando adecuadamente, y si lel servidor está atendiendo a un ritmo adecuado. Se identificara los parámetros de entrada, salida, se hallara el número de clientes en cola, así como el tiempo que pasan los clientes en el sistema. IV. HIPOTESIS DE ESTUDIO: 6
  • 8. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 Es posible mejorar y comprender el sistema de manera tal, que podamos identificar todos los factores pertinentes, y así poder mejorar la calidad de servicio en la atención al cliente. En este estudio se lograra demostrar que la cantidad de personas que entran a un módulo es mucho mayor a la deseada, ya sea por no abastecerse de un buen número de personal para dicha tarea, por lo tanto la atención, el tiempo de espera y las colas seguirá aumentando si el negocio no busca tener mayor servidores y recursos para la atención. CAPÍTULO II 7
  • 9. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 ANTECEDENTES, METODOLOGÍA Y MARCO TEÓRICO 8
  • 10. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 V. Antecedentes El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un gran número de problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada-salida. En muchas ocasiones en la vida real, un fenómeno muy común es la formación de colas o líneas de espera. Esto suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio es superior a la capacidad que existe para dar dicho servicio. Ejemplos reales de esa situación son: los cruces de dos vías de circulación, los semáforos, el peaje de una autopista, los cajeros automáticos, la atención a clientes en un establecimiento comercial, la avería de electrodomésticos u otro tipo de aparatos que deben ser reparados por un servicio técnico, etc. 9
  • 11. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 VI. Metodología del Estudio En el siguiente estudio desarrollado por nuestro equipo de trabajo, utilizamos el método observacional descriptivo, el cual nos permitió obtener los tiempos de llegada y de salida (servicio) realizados por los clientes en el establecimiento de comidas rápidas BEMBOS 1. Diseñar formato para la toma de tiempos (llegada) 2. Diseñar formato para la toma de tiempos (salida o servicio) 3. Elegir un horario especifico para tomar los tiempos 4. Dividir el tiempo en intervalos iguales 5. Proceder a la toma de tiempos (llegada y servicio) 6. Obtener los tiempos de llegada y servicio promedio 7. Hacer la prueba de ajuste con los datos ya obtenidos 8. Finalmente, exponer las conclusiones y recomendaciones 10
  • 12. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 VII. Marco Teórico Qué son las colas? Las "colas" son un aspecto de la vida moderna que nos encontramos continuamente en nuestras actividades diarias. En el contador de un supermercado, estacionamientos, bancos, etc., el fenómeno de las colas surge cuando unos recursos compartidos necesitan ser accedidos para dar servicio a un elevado número de trabajos o clientes. Este estudio es importante porque proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes. Debido a lo comentado anteriormente, se plantea como algo muy útil el desarrollo de una herramienta que sea capaz de dar una respuesta sobre las características que tiene un determinado modelo de colas. En las formaciones de colas se habla de clientes, tales como máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas. Los clientes pueden esperar en cola debido a que los medios existentes sean inadecuados para satisfacer la demanda del servicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez más larga a medida que transcurre el tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, porque los clientes llegados anteriormente están siendo atendidos. Objetivos de la teoría de colas:  Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste del mismo.  Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo. 11
  • 13. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2  Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.  Prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola de espera. Elementos existentes en la teoría de colas Proceso básico de colas: Los clientes que requieren un servicio se generan en una fase de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio, después de lo cual el cliente sale del sistema de colas. Fuente de entrada o población potencial: Una característica de la fuente de entrada es su tamaño. El tamaño es el número total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento. Puede suponerse que el tamaño es infinito o finito. Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio como por ejemplo una lista de trabajo esperando para imprimirse. Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita. Disciplina de la cola: La disciplina de la cola se refiere al orden en el que se seleccionan sus miembros para recibir el servicio. Por ejemplo, puede ser:  FIFO (first in first out) primero en entrar, primero en salir, según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado.  LIFO (last in first out) también conocida como pila que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último.  RSS (random selection of service) que selecciona los clientes de manera aleatoria, de acuerdo a algún procedimiento de prioridad o a algún otro orden. 12
  • 14. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2  Processor Sharing – sirve a los clientes igualmente. La capacidad de la red se comparte entre los clientes y todos experimentan con eficacia el mismo retraso. Mecanismo de servicio: El mecanismo de servicio consiste en una o más instalaciones de servicio, cada una de ellas con uno o más canales paralelos de servicio, llamados servidores. Redes de colas. Sistema donde existen varias colas y los trabajos fluyen de una a otra. Por ejemplo: las redes de comunicaciones o los sistemas operativos multitarea. Cola: Una cola se caracteriza por el número máximo de clientes que puede admitir. Las colas pueden ser finitas o infinitas. El proceso de servicio: Define cómo son atendidos los clientes. Notación de Kendall: David G. Kendall introdujo una notación de colas A/B/C en 1953. La notación de Kendall para describir las colas y sus. Ha sido desde entonces extendida a 1/2/3/(4/5/6) donde los números se reemplazan con: 1. Un código que describe el proceso de llegada. Los códigos usados son: 13
  • 15. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2  M para "Markoviano" (la tasa de llegadas sigue una distribución de Poisson), significando una distribución exponencial para los tiempos entre llegadas.  D para unos tiempos entre llegadas "determinísticas".  G para una "distribución general" de los tiempos entre llegadas, o del régimen de llegadas. 2. Un código similar que representa el proceso de servicio (tiempo de servicio). Se usan los mismos símbolos. 3. El número de canales de servicio (o servidores). 4. La capacidad del sistema, o el número máximo de clientes permitidos en el sistema incluyendo esos en servicio. Cuando el número está al máximo, las llegadas siguientes son rechazadas. Un caso particular de esta situación es el modelo M/M/n/n o Erlang-B, en el cual no hay cola de espera, sino n recursos (servidores) y hasta n usuarios como máximo; si llega el usuario n+1, es rechazado. Este último modelo es el que se aplica en telefonía convencional. Otro caso particular es el modelo Erlang-C o M/M/n, donde la capacidad del sistema es ilimitada, aunque haya sólo n recursos; en caso de llegar el recurso número n+1, pasará a una cola de espera, pero no es rechazado. 5. El orden de prioridad en la que los trabajos en la cola son servidos:  First Come First Served (FCFS) ó First In First Out (FIFO) ,  Last Come First Served (LCFS) o Last In First Out (LIFO) ,  Service In Random Order (SIRO) y  Processor Sharing. 6. El tamaño del origen de las llamadas. El tamaño de la población desde donde los clientes vienen. Esto limita la tasa de llegadas. 14
  • 16. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 Sistema de colas Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho servicio haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas. En la siguiente figura podemos ver un ejemplo de modelo de colas sencillo. Este modelo puede usarse para representar una situación típica en la cual los clientes llegan, esperan si los servidores están ocupados, son servidos por un servidor disponible y se marchan cuando se obtiene el servicio requerido. Interesa saber cuál es el intervalo de tiempo entre las llegadas de dos usuarios consecutivos. Además, según cómo sea el proceso de llegadas, los usuarios pueden llegar individualmente o en grupos Si cuando un usuario llega al sistema el servidor está libre, se le da servicio. Si el tiempo de servicio es mayor que el intervalo entre llegadas, el siguiente usuario, cuando accede al sistema, encuentra que el servidor está ocupado, por lo que debe quedar en espera, formando la cola. Otra cuestión importante es saber cuánto tiempo debe esperar un usuario que llega al sistema hasta que recibe el servicio, lo cual entra dentro del concepto QOS (Quality of Service, calidad de servicio). Cuando en la cola hay más de un usuario, al quedar el servidor libre hay que determinar cuál de los usuarios en espera será el que pase a recibir servicio. Es decir, es necesario un proceso para decidir qué usuario va a ser llamado de la cola; esto es lo que se llama disciplina de la cola. 15
  • 17. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 16
  • 18. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 Estructuras: Terminología: Usualmente siempre es común utilizar la siguiente terminología estándar: Estado del sistema: Número de clientes en el sistema. Longitud de la cola: Número de clientes que esperan servicio. N (t): Número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t (t 0) Pn (t): Probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el tiempo t, dado el número en el tiempo cero. s : Número de servidores en el sistema de colas. 17
  • 19. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 n: Tasa media de llegadas (número esperado de llegadas por unidad de tiempo) de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema. n: Tasa media de servicio para todo el sistema (número esperado clientes que completan su servicio por unidad de tiempo) cuando hay n clientes en el sistema. 1. Fuente de entrada o población potencial: Es un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión. Podemos considerarla finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, sí permite (por extraño que parezca) resolver de forma más sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la población es finita pero muy grande. Dicha suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando, aún siendo finita la población potencial, su número de elementos es tan grande que el número de individuos que ya están solicitando el citado servicio prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la población potencial genera nuevas peticiones de servicio. 2. Cliente: El mecanismo de servicio implementado por uno o más servidores cuyo propósito es brindar servicio según tiempos que tienen un comportamiento aleatorio (por lo general un comportamiento de naturaleza exponencial). Los modelos de cola a estudiar los servidores estarán en paralelo y serie. 3. Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita. Lo más sencillo, a efectos de simplicidad en los cálculos, es suponerla infinita. Aunque es obvio que en la mayor parte de los casos reales la capacidad de la cola es finita, no es una gran restricción el suponerla infinita si es extremadamente improbable 18
  • 20. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 que no puedan entrar clientes a la cola por haberse llegado a ese número límite en la misma. 4. Disciplina de la cola: Diagramas de Estados: Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más habituales son: FIFO (First-In-First-Out): se le da servicio al primero que ha llegado, de forma que la cola está ordenada según el orden de llegada de los usuarios. LIFO (Last-In-First-Out): se le da servicio al último que ha llegado, de forma que la cola está ordenada en orden inverso al de llegada de los usuarios. SIRO (Service-In-Random-Order): Se sortea aleatoriamente cuál de los usuarios en espera accederá al servicio. 5. Mecanismo de servicio: Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. Para determinar totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el número de servidores de dicho mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio. En caso de que los servidores tengan distinta destreza para dar el servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada uno. 6. La cola: 19
  • 21. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 Propiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio. 7. El sistema de la cola: Es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo que nos indica el criterio de qué cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio. 8. Distribución de Poisson: Los procesos de llegadas que siguen la mayoría de sistemas de colas son distribución de Poisson. En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidaddiscreta. Expresa la probabilidad de un número k de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una frecuencia media conocida y son independientes del tiempo discurrido desde el último evento. Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles). Pn: probabilidad de que en un tiempo t el número de usuarios que acceden al sistema sea n y esta probabilidad sigue una ley de Poisson de la forma: La probabilidad de que el tiempo entre llegadas sea mayor o igual a T (que es igual a la probabilidad de que no haya ninguna llegada en un intervalo de duración T ), es: 20
  • 22. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 El intervalo entre llegadas para que sea menor o igual a T tiene como probabilidad: El valor medio del intervalo entre llegadas será: Donde es el número de llegadas por unidad de tiempo, que recibe el nombre de tasa de llegadas. Para describir un sistema de colas se emplea la notación de Kendall, que consiste en un grupo de letras y números de la forma: Designa el proceso de llegadas; más concretamente, describe el tipo de distribución del tiempo entre llegadas. Si este proceso es markoviano de tipo Poisson-exponencial, en este lugar se colocará la letra M. Si el proceso es determinístico, se colocará la letra D y la letra G si las llegadas son de otro tipo. Designa el proceso de servicio; es decir, describe la distribución del tiempo de servicio y, por tanto, de las salidas del sistema. Se colocará la letra M si este proceso es markoviano, D si es determinístico y G si es de otro tipo. En todos los casos supondremos que la duración del tiempo de servicio es independiente de la distribución de las llegadas. 21
  • 23. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 CAPÍTULO III ANALISIS Y DIAGNOSTICO DEL ESCENARIO 22
  • 24. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 VIII. Análisis y Diagnóstico del Escenario Actual El establecimiento de comidas rápida “BEMBOS”, se encuentra ubicado en el cruce de la Av. Caminos del Inca con la Av. Benavides.. El lugar es bastante amplio como para albergar a una gran cantidad de clientes. El local cuenta con un solo servidor disponible por lo que en „hora punta‟ llegan un gran número de personas lo cual genera colas. En nuestra investigación nunca hubo un intervalo de tiempo despejado, siempre llegaban clientes. Estas colas generan: Pérdida de tiempo Pérdida de dinero Pérdida de clientes Malestar Incomodidad Entre otros Nuestro objetivo como equipo de trabajo es tratar de reducir el tiempo en el que se demora el cajero al momento de atender mediante la aplicación de métodos analíticos y científicos, lo cual generaría una gran satisfacción para los clientes. CAPÍTULO IV 23
  • 25. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 ANALISIS Y CONSTRUCCION DEL MODELO DE COLA 24
  • 26. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 IX. Construcción del modelo de cola a. ESTIMACIÓN DE PARAMETROS Tasa de arribos ( ) Para la estimación de tasa de arribos se registró cuantas personas llegaban a “BEMBOS” en un intervalo de 5 minutos. Luego con esta data se halló un promedio de personas por minuto. Se utilizó las siguientes Relaciones: Tiempo promedio = Tiempo Total (min.) / Nº de personas Tasa de arribos ( ) = 1 / Tiempo promedio Tasa de servicios ( ) Para la tasa de servicios se tomó tiempos en la atención a cada persona para pagar en caja. b. MODELO DE COLA Analizando el comportamiento que sigue este caso, se puede hallar el modelo de cola correspondiente según KENDALL MODELO I:(M/M/1): (FIFO/∞/∞) 25
  • 27. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 Donde: M: Clientes que llegan al sistema siguiendo una distribución M: Clientes que llegan al sistema siguiendo una distribución S: Numero de servidores en el sistema FIFO: Disciplina de servicio 26
  • 28. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 X. Trabajo de cola Para el caso que venimos analizando, se considera: M: Distribución de Poisson M: Distribución exponencial S: 1 FIFO: Disciplina de servicio ∞: Tamaño del sistema infinito ∞: Tamaño de la fuente infinito 1 La hora de arribo de cada entidad al sistema 2 La hora en que el usuario inicia a ser atendido 3 La hora en que el usuario finaliza de ser atendido Toma de tiempo de arribos Primer día de toma de Muestras: Se realizó la medición en 2 días, en 2 horas (13:00 – 15:00 pm) siguiendo intervalos de 5 minutos. En la tarde Muestra Intervalos N° de TOTAL de tiempo clientes 1 13:00:00 13:05:00 IIII 4 2 13:05:00 13:10:00 II 2 3 13:10:00 13:15:00 III 3 4 13:15:00 13:20:00 III 3 5 13:20:00 13:25:00 I 1 6 13:25:00 13:30:00 II 2 7 13:30:00 13:35:00 III 3 λ=63client/125min 27
  • 29. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 8 13:35:00 13:40:00 III 3 9 13:40:00 13:45:00 II 2 10 13:45:00 13:50:00 II 2 11 13:50:00 13:55:00 II 2 12 13:55:00 14:00:00 I 1 13 14:00:00 14:05:00 III 3 14 14:05:00 14:10:00 II 2 15 14:10:00 14:15:00 IIII 4 16 14:15:00 14:20:00 II 2 17 14:20:00 14:25:00 IIII 4 18 14:25:00 14:30:00 I 1 19 14:30:00 14:35:00 II 2 20 14:35:00 14:40:00 III 3 21 14:40:00 14:45:00 I 1 22 14:45:00 14:50:00 III 3 23 14:50:00 14:55:00 II 2 24 14:55:00 15:00:00 III 3 25 15:00:00 15:05:00 IIIII 5 125min 63 clientes Segundo dia de toma de Muestras: Se realizó la medición en 2 días, en 2 horas (18:30 – 20:30 pm) siguiendo intervalos de 5 minutos. En la noche: Muestra Intervalos N° de TOTAL de tiempo clientes 1 18:30:00 18:35:00 II 2 2 18:35:00 18:40:00 III 3 3 18:40:00 18:45:00 IIIII 5 4 18:45:00 18:50:00 IIII 4 5 18:50:00 18:55:00 IIIII 5 6 18:55:00 19:00:00 IIIII 5 7 19:00:00 19:05:00 IIIII 5 8 19:05:00 19:10:00 II 2 9 19:10:00 19:15:00 IIII 4 10 19:15:00 19:20:00 IIII 4 11 19:20:00 19:25:00 II 2 12 19:25:00 19:30:00 IIIIII 6 13 19:30:00 19:35:00 IIII 4 28
  • 30. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 14 19:35:00 19:40:00 II 2 15 19:40:00 19:45:00 IIIII 5 16 19:45:00 19:50:00 II 2 17 19:50:00 19:55:00 III 3 18 19:55:00 20:00:00 IIII 4 19 20:00:00 20:05:00 IIIII 5 20 20:05:00 20:10:00 III 3 21 20:10:00 20:15:00 IIIII 5 22 20:15:00 20:20:00 IIIIII 6 23 20:20:00 20:25:00 II 2 24 20:25:00 20:30:00 IIII 4 25 20:30:00 20:35:00 IIIII 5 125min 97 clientes λ = 97client/125min Toma de tiempo de servicios : Primer día Muestra Tiempo cronometrado de salida en segundos 1 244 2 188 3 187 4 186 5 30 6 185 μ₀ = 63clien/79.23min 7 68 8 241 9 299 10 116 11 295 12 264 29
  • 31. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 13 213 14 189 15 197 16 139 17 167 18 149 19 163 20 192 21 146 22 155 23 168 24 294 25 27 TOTAL 4754 Muestra Tiempo cronometrado de salida en segundos Segundo dia 1 282 2 297 3 195 4 164 5 233 6 276 7 187 8 150 9 263 10 249 μ₀ = 97clien/85.05min 11 196 12 197 13 185 14 144 15 155 16 167 30
  • 32. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 17 229 18 197 19 165 20 159 21 139 22 157 23 269 24 231 25 217 TOTAL 5103 XI. Obtención e interpretación de resultados 1.- Sobre los Arribos: Para calcular éste dato hemos promediado los datos de arribos de todas las tomas realizadas. Cada día el lapso de tiempo que destinamos a la toma de tiempos para los arribos fue de 04 horas 13:00 - 15:00 p.m. 31
  • 33. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 1830 – 20:30 p.m. ésto nos da: λ (tarde) cliente/min λ = 0.64 cliente/min Primer día 0.50 Segundo día 0.78 Prom. Parcial 0.64 2.-Sobre los Servicios: En este caso hemos utilizado el promedio de horas obtenidas como producto de los análisis realizados, lo cual da: μ cliente /min μ = 0.968cliente/min primer día 0.795 segundo día 1.141 Prom. Parcial 0.968 Docima de hipótesis y ajustes de bondad 'X'' Probabilidad Llegadas Real Poisson teorico Px frecuencias 1 0.08 0.1304391 0.1304391 4 2 0.3 0.2087025 0.3391415 15 3 0.22 0.2226160 0.5617575 11 4 0.18 0.1780928 0.7398503 9 5 0.18 0.1139794 0.8538297 9 6 0.04 0.0607890 0.9146187 2 1 0.9146187 50 32
  • 34. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 0.35 0.3 0.25 Probabilidad 0.2 0.15 Real Poisson teorico 0.1 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 ''X'' Llegadas 33
  • 35. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 fr-ft (fr-ft)2 (fr-ft)2/ft -0.0504391 0.0025441 0.01950411 0.0912975 0.0083352 0.03993837 -0.0026160 0.0000068 3.0741E-05 0.0019072 0.0000036 2.0425E-05 0.0660206 0.0043587 0.03824132 -0.0207890 0.0004322 0.00710955 chi obs 0.10484452 Frecuencia real : fr Frecuencia teorica : ft 34
  • 36. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 CAPÍTULO V ESCENARIOS PROPUESTOS parámetros: 35
  • 37. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 Análisis del Escenario 1 (1 servidor): 36
  • 38. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 Continuación del análisis del Escenario 1: Comparación de los 2 Escenarios: 37
  • 39. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 Análisis del Escenario 2 (2 servidores): 38
  • 40. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 Cuadro Comparativo de ambos escenarios: ESCENARIO 1 ESCENARIO 2 INDICADOR (M/M/1):(FIFO/∞/∞) (M/M/2):(FIFO/∞/∞) Ρo 0.34021 0.50388 LS 1.93939 0.74037 Lq 1.27960 0.08058 WS 3.03030 1.15683 Wq 1.99938 0.12590 COMENTARIO o Se puede afirmar que al establecimiento de comidas rapidas “BEMBOS” le conviene hacer uso de sus 2 módulos, porque de este modo aumenta la probabilidad de que un cliente sea atendido apenas llegue. o Se observa que el porcentaje promedio de personas que esperan en cola disminuye notablemente del escenario 1 al escenario 2. 39
  • 41. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 CAPÍTULO VI CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 40
  • 42. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 CONCLUSIONES:  La investigación de operaciones permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para determinar cómo se puede optimizar un objetivo definido, como la maximización de los beneficios o la minimización de costes.  La teoría de colas es una herramienta muy importante de la investigación de operaciones pues sus resultados a menudo son aplicables en una amplia variedad de situaciones como: negocios, comercio, industria, ingenierías, transporte y telecomunicaciones. En nuestro caso sirvió para la atención al público de una institución privada.  Concluimos que para la mejor atención del cliente en un establecimiento de comidas rápidas como lo es “BEMBOS”, es importante que su atención al cliente sea lo más óptima posible para generar confianza y fidelidad en el cliente, Al mismo tiempo observamos que necesita en todo momento más de un módulo de atención no solo en las horas pico (horas de almuerzo, comida,cena) RECOMENDACIONES:  Buena capacitación del personal para realizar las labores de atención al cliente en esos módulos, para la atención más rápida del usuario y este regrese satisfecho a su hogar. Tener personal de reserva que pueda suplir inmediatamente a alguna cajera que no asista por razones determinadas, por ello se recomienda la activación de los 2 módulos, para que en esas situaciones siempre existan como mínimo una o dos cajeras activas.  Recomendamos de que se puedan implementar análisis respectivos para poder atender al cliente sin demora y con gran calidad, teniendo así su aprobación y fidelidad , para así generar mayores ingresos, 41
  • 43. FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 pero siempre debemos de tener en cuenta que a través de este análisis respectivo de colas podemos definir el déficit de nuestra atención y poder mejorarla incrementando el número de servidores para generar un porcentaje menor de cola.  La actualización continúa de la base de datos tanto para precios, ofertas, etc, para que la atención sea mucho más rápida y los trabajadores puedan desempeñar sus labores sin ningún problema y de manera eficiente. XII. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS  INVESTIGACION DE OPERACIONES UNA INTRODUCCION, Hamdy Taha. Sexta edición, editorial Prentice Hall. Capítulo 18 pág. 673,680- 705.  INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES, Frederick Hiller & Gerald Lieberman. Sexta edición, editorial Mac Graw Hill. Capítulo 21 pág. 902 – 936. XIII. ANEXOS  TEORIA DE COLAS - AUTOR: VICENÇ FERNANDEZ – UNIVERSIDAD POLITECNICA DE CATALUNYA  MODELOS DE COLA  IMÁGENES  BLOG: http://teoriadecolas-bembos.blogspot.com/ 42