Demonstração de que a dizima periódica 0,999... é igual a 1.

1. 0, 999... = 1
Rodrigo Thiago Passos Silva
rodrigotpsilva@gmail.com
A igualdade 0, 999... = 1 ´e, certamente, uma das mais interessantes da matem´atica. De um lado, o n´umero
racional com infinitas casas (d´ızima peri´odica) e do outro, o menor dos n´umeros naturais. A demonstra¸c˜ao
dessa igualdade envolve, basicamente, a soma dos termos de uma progress˜ao geom´etrica infinita.
Reescrevendo o n´umero 0, 999...
O racional 0, 999... pode ser reescrito como uma soma de termos da seguinte forma
0, 999... = 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + 0, 0009 + 0, 00009 + · · · .
Cabe observar que as parcelas da soma acima formam uma sequˆencia num´erica na qual o elemento subsequente
´e dado pela multiplica¸c˜ao por 0, 1 do elemento anterior. Em outras palavras, a sequˆencia
(0, 9; 0, 09; 0, 009; 0, 0009; 0, 00009; · · · )
´e uma progress˜ao geom´etrica (PG) cuja raz˜ao vale q = 0, 1.
Assim, o que queremos demonstrar ´e que a soma dos termos dessa sequˆencia infinita ´e igual a 1. Ou, em outras
palavras, mostrar que a s´erie geom´etrica dada por
∞
n=1
9
10n converge para 1. Para isso, vamos deduzir uma
equa¸c˜ao para a soma dos termos de uma PG.
Soma dos termos de uma PG
Seja (a1, a1q, a1q2
, a1q3
, · · · , a1qn−1
) uma progress˜ao geom´etrica de n termos e raz˜ao q. Seja Sn a soma de seus
n primeiros termos, ent˜ao
Sn = a1 + a1q + a1q2
+ a1q3
+ · · · + a1qn−1
(1)
Multiplicando-se por q ambos os lados da igualdade obtemos
qSn = a1q + a1q2
+ a1q3
+ · · · + a1qn−1
+ a1qn
(2)
Subtraindo-se a equa¸c˜ao (2) da equa¸c˜ao (1) temos
Sn − qSn = a1 − a1qn
(3)
donde obtemos que
Sn = a1(1−qn
)
1−q .
Soma dos termos de uma PG infinita
Caso a PG seja infinita, basta calcular o limite de Sn quando n → ∞. Para 0 < q < 1, como ´e o caso, sabemos
que limn→∞ qn
= 0 (a sequˆencia ´e convergente pois ´e mon´otona e limitada). Assim, a soma dos infinitos termos
de uma PG ´e dado por
S∞ = lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
a1(1 − qn
)
1 − q
=
a1
1 − q
lim
n→∞
1 − lim
n→∞
qn
=
a1
1 − q
(1 − 0)
S∞ = a1
1−q .
Conclus˜ao
Para, ent˜ao, calcular a soma dos termos da PG (0, 9; 0, 09; 0, 009; 0, 0009; 0, 00009; · · · ) de raz˜ao q = 0, 1, basta
calcular S∞, considerando que a1 = 0, 9. Assim,
S∞ =
0, 9
1 − 0, 1
=
0, 9
0, 9
= 1.
Portanto,
∞
n=1
9
10n
= 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + · · · = 0, 999... = 1
como quer´ıamos demonstrar.
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