7. 7
ตัวอย่างที่ 10
(2x - 3)9dx
วิธีทา ให้ u = 2x – 3 จะได้ du = 2dx และ dx = du
2
(2x - 3)9dx =
u9 du
2
=
1 9
u du
2
=
10 1 u
+c
2 10
=
10 u
+c
20
=
10 (2x-3)
+c
20
ตัวอย่างที่ 11
1 dx
3x - 4
วิธีทา ให้ u = 3x - 4 จะได้ du = 3dx และ dx = du
3
1 dx
3x - 4
=
1 du
u 3
=
1 1du
3 u
=
1
ln u +c
3
=
1
ln 3x-4 +c
3
จากตัวอย่างที่ 10 และ 11 เป็นการอินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปร (Integration by
substitution) มักจะใช้ช่วยในการอินทิเกรตที่อยู่ในรูปซับซ้อนให้อยู่ในรูปที่ง่ายขึ้น
ในการอินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปรให้อยู่ในรูปของตัวแปร u เราสามารถอาศัยดิฟเฟอ
เรนเชียลฟังก์ชัน u ที่เลือกไว้ เขียนแทนลงใน du ได้เลย โดยไม่ต้องเขียนตัวแปร u ทุกครั้ง
8. 8
ตัวอย่างที่ 12 2
x +1 dx
x +2x - 5
วิธีทา ให้ u= x2 +2x -5 จะได้ du = (2x + 2)dx และ dx = du
2x +2
2
x +1 dx
x +2x - 5
=
1
2 2 -
(x +1)(x +2x - 5) dx
=
1 2
2 2 - x +2x-5
(x +1)(x +2x - 5) d
2x+2
=
1 2
2 2 - x +2x-5
(x +1)(x +2x - 5) d
2(x+1)
=
1
2 2 2 1 -
(x +2x - 5) d(x +2x - 5)
2
=
1
1 (x2 +2x - 5)2 1 +c 2
2
=
1
(x2 +2x - 5)2 +c
= 2 (x +2x-5) +c
ตัวอย่างที่ 13 2
x - 4 dx
x - 8x +3
วิธีทา ให้ u= x2 - 8x +3 จะได้ du = (2x - 8)dx
2
x - 4 dx
x - 8x +3
=
2
2
x - 4 d (x - 8x +3)
x - 8x +3 2x - 8
=
2
2
x - 4 d (x - 8x +3)
x - 8x +3 2(x - 4)
=
2
2
(x - 8x +3)
x - 8x +3
1
2
= 1 2
ln x -8x+3 +c
2
9. 9
= 2 ln x -8x+3 +c
การอินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปรให้อยู่ในรูป u นั้น ไม่สามารถใช้ได้กับทุกๆ ฟังก์ชัน
เช่น 2
dx
1- x
และตัวอินทิเกรตใดๆ ก็ตามที่มีตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูปเศษส่วนและทั้งเศษและ
ส่วนเป็นฟังก์ชันพหุนาม โดยที่เศษมีกาลังมากกว่าหรือเท่ากับกาลังสูงสุดของส่วน ให้นาส่วนไปหาร
จนกระทั่งเศษมีกาลังสูงสุดน้อยกว่าส่วน แล้วจึงนาไปอินทิเกรต
ตัวอย่างที่ 14
2
2
x +2x +6dx
x +2x +1
วิธีทา เนื่องจากกาลังสูงสุดของเศษเท่ากับกาลังสูงสุดของส่วน
จึงนา x2 +2x +1 ไปหาร x2 +2x +6 ได้ดังนี้
x2 +2x +1 ) x2 +2x +6 ( 1
x2 +2x +1
5
ดังนั้น
2
2
x +2x +6
x +2x +1
= 2
1+ 5
x +2x +1
จะได้
2
2
x +2x +6dx
x +2x +1
= 2
1+ 5
x +2x +1
dx
= 2
dx + 5
x +2x +1
dx
= 2
dx + 5
(x +1)
dx
ให้ u = x + 1 จะได้
=
x + 5(x +1)-2dx
=
x +5 u-2du
=
-1
x +
5u +c
-1
= x -5(x +1)-1 +c
=
5
x - +c
(x+1)
10. 10
ตัวอย่างที่ 15
x3 +2x2 - 3dx
x +1
วิธีทา เนื่องจากกาลังสูงสุดของเศษมากกว่ากาลังสูงสุดของส่วน
จึงนา x + 1 ไปหาร x3 +2x2 - 3 ได้ดังนี้
x + 1 ) x3 +2x2 - 3 ( x2 + x -1
x3 + x2
x2 - 3
x2 + x
-x – 3
-x – 1
-2
ดังนั้น
x3 +2x2 - 3
x -1
= x2 + x -1- 2
x +1
จะได้
x3 +2x2 - 3dx
x +1
=
(x2 + x -1- 2 )dx
x +1
=
x2 + - - 2 dx
x +1 dx xdx dx
=
x3 x2 dx + - x - 2
3 2 x +1
ให้ u = x + 1
=
x3 x2 du + - x - 2
3 2 u
=
x3 x2 + - x - 2 n u +c
3 2
=
x3 x2 + - x - 2 n x+1 +c
3 2
11. 11
แบบฝึกหัดที่ 1.1
1.
(3x2 +2x - 5)dx 2.
4 3
3
x +3x -5x
dx
x
3.
2 x
( + - x)dx
x 2
4. (1- x) xdx
5.
(3t - 4)2dt 6. 2x+3dx
7.
(x2 +5)63x2dx 8.
2
3 3
8x
dx
(x +2)
9.
2
3
x
dx
x +2
10.
5x6 +10x +9dx
2. การอินทิเกรตฟังก์ชันอดิศัย
2.1) การอินทิเกรตฟังก์ชันเอกซ์โปแนนเชียล (Integration of Exponential
Functions)
ฟังก์ชันเอกซ์โปแนนเชียล จะอยู่ในรูป f(x) = ax ซึ่ง a > 0 และ a ≠ 1 ที่ใช้มากเป็น
ฟังก์ชันที่ a = 10 หรือ a = e ( e แทนจานวนอตรรกยะมีค่าประมาณ 2.71828…)
สูตรการอินทิเกรตฟังก์ชันเอกซ์โปแนนเชียล
1.
u
audu = a +c
ln a
, a > 0 , a ≠ 1
2.
eudu = eu +c
ตัวอย่างที่ 16
7xdx
วิธีทา
7xdx =
7x +c
ln7
ตัวอย่างที่ 17
102xdx
วิธีทา ให้ u = 2x จะได้ du = 2dx
102xdx =
u du
10
2
12. 12
=
1 10udu
2
=
u 1 10 +c
2 ln10
=
2x 1 10 +c
2 ln10
ตัวอย่างที่ 18
exdx
วิธีทา
exdx = ex +c
ตัวอย่างที่ 19
e2xdx
วิธีทา ให้ u = 2x จะได้ du = 2dx
e2xdx =
u du
e
2
=
1 u
e du
2
= u 1
e +c
2
= 2x 1
e +c
2
ตัวอย่างที่ 20
23xdx
วิธีทา ให้ u = 3x , du = 3dx
23xdx =
2u du
3
=
2u
1 du
3
=
u 1 2
+c
3 ln2
13. 13
=
3x 2
+c
2ln2
ตัวอย่างที่ 21
x.5x2+3dx
วิธีทา ให้ u = x2 +3 , du = 2xdx
x.5x2+3dx =
u du
x.5
2x
=
x.5udu
1
2
=
1 5u +c
2 ln5
=
x2 +3 1 5 +c
2 ln5
=
5x2+3 +c
2ln5
ตัวอย่างที่ 22
x
x
e -1dx
e +1
วิธีทา เนื่องจากกาลังสูงสุดของเศษเท่ากับกาลังสูงสุดของส่วน
จึงนา 1+ex หาร -1+ex ได้ดังนี้
1+ex ) -1+ex ( -1
-1- ex
2ex
ดังนั้น
x
x
e -1
e +1
=
x
x
-1+
2e
e +1
x
x
e -1dx
e +1
=
x
x
2e
-1+ dx
e +1
14. 14
=
x
x dx
2e
- dx+
e +1
=
x
x dx
e
- dx+2
e +1
ให้ u=ex +1
=
x
x
e du
-x +2
u e
=
1
-x +2 du
u
= -x +2ln u +c
= -x +2ln ex +1 +c
= x 2 -x +2ln e +1 +c
แบบฝึกหัด 1.2
จงหาค่าอินทิเกรตต่อไปนี้
1.
34xdx 2.
2 x3 x e dx
3.
1
ex 2 dx 4.
ex +1 2dx
5.
xex2+5dx 6.
xe - ex dx
7.
2x+1 e
dx
2x+1
8.
ex x 2 e dx
9.
x 8 x e +5 e dx 10.
2x 2x e .9 dx
19. 19
ตัวอย่างที่ 32 cosec(2x) cot(2x)dx
วิธีทา ให้ u = 2x , du =2dx
cosec(2x) cot(2x)dx =
du
cosec(u) cot(u)
2
=
1
cosec(u) cot(u)du
2
=
1
- cosec(u) +c
2
=
1
- cosec(2x) +c
2
ตัวอย่างที่ 33
e3xtan(e3x )dx
วิธีทา ให้ u = e3x , du= 3e3xdx
e3xtan(e3x )dx =
du
u tan(u)
3u
=
1
tan(u)du
3
=
1
ln sec u +c
3
= 1 3x
ln sec 3e +c
3
ตัวอย่างที่ 34
4 +cos x
dx
cosec x
วิธีทา
4 +cos x
dx
cosec x
=
12
sin x 4+cos x dx
ให้ u = 4 + cos x , du = sin x dx
20. 20
12
sin x 4+cos x dx =
12
du
sin x u
-sin x
=
12
- u du
=
32
- u +c 32
=
3
2 2
- (4 +cos x) +c
3
แบบฝึกหัด 1.3
จงหาค่าอินทิเกรตต่อไปนี้
1.
x cos x2dx 2.
sec x
dx
x
3.
cot d
2
4. sin(7x +2)dx
5.
sec22x dx
1+ tan2x
6.
x2sec2 (x3 )dx
7.
sin d
cos
8.
sin d
2 - cos
9.
sec2(cos3 ) sin3 d 10. sec(3x)dx
2.3 การอินทิเกรตฟังก์ชันตรีโกณมิติ ที่ยกกาลังเป็นจานวนเต็มบวก (Integration
Positive Integer power of Trigonometric Functions)
2.3.1 อินทิเกรตในรูป
sinmxdx และ
cosnxdx เมื่อ m และ n เป็นจานวนเต็ม
บวก แล้วจะสามารถหาอินทิเกรตได้
sinmxdx
และ
cosnxdx วิธีการ เอกลักษณ์ที่ใช้
1. m เป็นจานวนคี่ จัดรูป sinmx = sinm-1x.sin x
และใช้ u = cos x
sin2x =1- cos2x
21. 21
2. n เป็นจานวนคี่ จัดรูป cosnx = cosn-1x.cos x
และใช้ u = sin x
cos2x =1- sin2x
3. m เป็นจานวนคู่
ใช้เอกลักษณ์ที่ลดกาลังลง 2 1
sin x = 1-cos 2x
2
4. n เป็นจานวนคู่
ใช้เอกลักษณ์ที่ลดกาลังลง 2 1
cos x = 1+cos 2x
2
ตัวอย่างที่ 35
sin3xdx
วิธีทา
sin3xdx =
sin2x.sin xdx
=
(1- cos2x)sin xdx
ให้ u = cos x , du = -sin x dx
=
2 du
(1-u )sin x
-sin x
=
- du+ u2du
=
u3 -u+ +c
3
= -cos x + 1 cos3 +c
3 x
ตัวอย่างที่ 36
cos5xdx
วิธีทา
cos5xdx =
cos4x cos xdx
ให้ u = sin x , du = cos x dx
=
2 2 du
(1- sin x) cos x
cos x
=
(1-u2 )2du
=
(1- 2u2 +u4 )du
=
du - 2 u2du+ u4du
=
2u3 u5 u - + +c
3 5
22. 22
= sin x - 2 sin3x + 1 sin5x +c
3 5
ตัวอย่างที่ 37
sin2xdx
วิธีทา
sin2xdx =
1 1- cos 2x dx
2
=
1 1
- cos 2x dx
2 2
=
1 1
dx- cos 2xdx
2 2
ให้ u = 2x , du = 2dx
=
1 1 du
dx- cos (u)
2 2 2
=
1 1
x - sin(u) +c
2 4
=
1 1
x - sin(2x) +c
2 4
ตัวอย่างที่ 38
cos25xdx
วิธีทา
cos25xdx =
1 1+cos10x dx
2
=
1 1 dx + cos10xdx
2 2
ให้ u = 10x , du = 10dx
=
1 1 du dx + cos (u)
2 2 10
= 1 x + 1 sin(u) +c
2 20
= 1 x + 1 sin10x +c
2 20
23. 23
2.3.2 อินทิเกรตในรูป
sinmxcos nxdx เมื่อ m และ n เป็นจานวนเต็มบวก จะสามารถ
อินทิเกรตได้ดังนี้
sinmxcos nxdx วิธีการ เอกลักษณ์ที่ใช้
1. n เป็นจานวนคี่ จัดรูป cosnx = cosn-1x cos x
ใช้ u = sin x
cos2x =1- sin2x
2. m เป็นจานวนคี่ จัดรูป sinmx = sinm-1x sin x
ใช้ u = cos x
sin2x =1- cos2x
3. m และ n เป็นจานวนคู่
ใช้เอกลักษณ์ที่ลดกาลังของ
sin x และ cos x
2 1
sin x = (1- cos2x)
2
2 1
cos x = (1+cos2x)
2
ตัวอย่างที่ 39
sin4x cos5xdx
วิธีทา เนื่องจาก n = 5 เป็นจานวนคี่ ใช้ u = sin x จะได้
sin4x cos5xdx =
sin4x cos4x cos xdx
ให้ u = sin x , du = cos xdx
=
4 4 du
u cos x cos x
cos x
=
u4 cos4xdu
=
u4 (1- sin2x)2du
=
u4 (1-u2 )2du
=
u4 (1- 2u2 +u4 )du
=
(u4 - 2u6 +u8 )du
=
u4du - 2 u6du+ u8du
=
u5 2u7 u9 - + +c
5 7 9
= 1 sin5 - 2 sin7 + 1 sin9 +c
5 7 9 x x x
24. 24
ตัวอย่างที่ 40
sin3xcos2xdx
วิธีทา เนื่องจาก m = 3 เป็นจานวนคี่ ใช้ u = cos x จะได้
sin3xcos2xdx =
sin2xcos2xsin xdx
ให้ u = cos x , du = -sin x dx
=
1- cos2x cos2x sin x du
-sin x
=
- cos2x - cos4x du
=
- u2 -u4 du
=
2 4 - u du+ u du
=
u3 u5 - + +c
3 5
= - 1 cos3 + 1 cos5 +c
3 5 x x
ตัวอย่างที่ 41
sin2x cos2x dx
วิธีทา เนื่องจาก m และ n เป็นจานวนคู่ใช้ 2 1
sin x = 1-cos 2x
2
,
2 1
cos x = 1+cos 2x
2
จะได้
sin2x cos2x dx =
1 1- cos 2x 1 1+cos 2x dx
2 2
=
1 1+cos 2x - cos 2x - cos22x dx
4
=
1 1- cos22x dx
4
=
1 1- cos22x dx
4
=
1 1 2 dx
4 4 dx - cos 2x
=
1 1 1 dx - (1+cos 4x) dx
4 4 2
25. 25
=
1 dx - 1 dx - 1 cos 4x dx
4 8 8
ให้ u = 4x , du =4 dx
=
1 x - 1 x - 1 cos u du
4 8 8 4
=
1 x - 1 x - 1 cos u du
4 8 32
= 1 x - 1 x - 1 sinu+c
4 8 32
= 2 x - 1 x - 1 sin 4x +c
8 8 32
= 1 - 1 sin 4x +c
8 32
ตัวอย่างที่ 42
sin3x cos5x dx
วิธีทา เนื่องจาก m = 3 , n = 5 เป็นจานวนคี่ทั้งคู่ จะใช้แทน
U = cos x หรือ u = sin x ในที่นี้ใช้ u = cos x จะได้
sin3x cos5x dx =
sin2x cos5x sin x dx
=
(1- cos2x) cos5x sin x dx
=
(cos5x - cos7x)sin x dx
ให้ u = cos x , du = -sin x dx
=
5 7 du
(u - u )sin x
-sin x
=
- (u5 - u7 )du
=
- u5du+ u7du
=
u6 u8 - + +c
6 8
= - 1 cos6 + 1 cos8 +c
6 8 x x
26. 26
2.3.3 อินทิเกรตในรูป sinmx cosnx dx , sinmx sinnx dx และ cosmx cosnx dx
อินทิเกรตของผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติไซน์ และโคไซน์จะสามารถหาค่าอินทิเกรตได้
โดยการเปลี่ยนรูปผลคูณให้เป็นผลบวกหรือผลต่างโดยใช้สูตรดังนี้
ผลคูณของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ สูตร
1. sin A cos B
1 sin(A -B) +sin(A +B)
2
2. sin A sin B
1 cos(A -B) - cos(A +B)
2
3. cos A cosB
1 cos(A -B) +cos(A +B)
2
ตัวอย่างที่ 43 sin7x cos 5x dx
วิธีทา จาก sin 7x cos 5x = sin 2x sin12x )
1 (
2
จะได้
sin7x cos 5x dx = sin 2x sin12x )dx
1 (
2
=
1 1
sin 2x dx + sin12x dx
2 2
ให้ u = 2x , du = 2dx และ ให้ u = 12x , du = 12dx
=
1 du 1 du
sinu + sinu
2 2 2 12
=
1 1
sinu du+ sinu du
4 24
= - 1 cos u - 1 cos u+c
4 24
= - 1 cos 2x - 1 cos12x +c
4 24
27. 27
ตัวอย่างที่ 44 sin5x sin 2x dx
วิธีทา จาก sin 5x sin 2x = 1 (cos 3x - cos 7x)
2
จะได้
sin5x sin 2x dx =
1
(cos 3x-cos 7x)dx
2
=
1 1
cos 3x dx- cos 7x dx
2 2
ให้ u = 3x , du = 3dx และ ให้ u = 7x , du = 7dx
=
1 du 1 du
cos u - cos u
2 3 2 7
= 1 sinu - 1 sinu+c
6 14
= 1 sin 3x - 1 sin 7x +c
6 14
ตัวอย่างที่ 45 cos 5 cos d
วิธีทา จาก cos 5 cos = 1 cos4 +cos6
2
cos 5 cos d =
1 cos4 +cos6 d
2
=
1 cos4 d 1 cos6 d
2 2
ให้ u = 4 , du = 4d และ ให้ u = 6 , du = 6d
=
1 cos u du + 1 cos u du
2 4 2 6
=
1 cos u du+ 1 cos u du
8 12
= 1 sinu+ 1 sinu+c
8 12
= 1 sin4 + 1 sin6 +c
8 12
28. 28
2.3.4 อินทิเกรตในรูป
tanmx dx และ
cotnx dx เมื่อ m และ n เป็นจานวนเต็มบวก
จะสามารถหาอินทิเกรตได้ดังนี้
tanmx dx และ
cotnx dx วิธีการ เอกลักษณ์ที่ใช้
1. m เป็นจานวนคู่หรือคี่
(m ≥ 2)
จัดรูป tanmx = tanm-2x tan2x
ใช้ u = tan x
tan2x = sec2x -1
2. n เป็นจานวนคู่หรือคี่
(n ≥ 2)
จัดรูป cotnx = cotn-2x cot2x
ใช้ u = cot x
cot2x = cosec2x -1
ตัวอย่างที่ 46
tan3x dx
วิธีทา
tan3x dx =
tan2x tan x dx
=
(sec2x -1) tan x dx
=
(sec2x tan x - tan x)dx
=
sec2x tan x dx - tan x dx
ให้ u = tan x , du = sec2x dx
=
2
2
du
sec x u -ln sec x
sec x
= u du -ln sec x
=
u2 -ln sec x +c
2
=
tan2x -ln sec x +c
2
ตัวอย่างที่ 47
tan42x dx
วิธีทา
tan42x dx =
tan22x.tan22x dx
=
(sec22x -1)tan22x dx
=
(sec22x tan22x - tan22x) dx
=
sec22x tan22x dx - tan22x dx
=
sec22x tan22x dx - (sec22x -1) dx
29. 29
ให้ u = tan 2x , du = 2sec22x dx
=
2 2 2
2
du
sec 2x u - sec 2x dx + dx
2sec 2x
ให้ u = 2x , du = 2dx
=
1 2 2
u du - sec 2x dx + dx
2
=
3
1 u 1 2
- sec u du+x
2 3 2
= 3 1 1
u - tanu+ x +c
6 2
= 3 1 1
tan x - tan 2x + x +c
6 2
ตัวอย่างที่ 48
cot33x dx
วิธีทา
cot33x dx =
cot23x.cot 3x dx
=
(cosec23x-1)cot 3x dx
=
cosec23x cot 3x dx- cot 3x dx
ให้ u = cot 3x , du = -3cosec23x dx และ ให้ u = 3x , du = 3dx
=
2
2
du du cosec 3x.u - cot u
-3cosec 3x 3
=
1 1
u du- cot u du
-3 3
=
2 1 u 1
- - ln sinu +c
3 2 3
= 2 1 1
- cot 3x - ln sin 3x +c
6 3
30. 30
2.3.5 อินทิเกรตในรูป
secmx dx และ
cosecnx dx เมื่อ m และ n เป็นจานวนเต็มบวก
จะสามารถอินทิเกรตได้ดังนี้
secmx dx และ
cosecnx dx
วิธีการ เอกลักษณ์ที่ใช้
1. m เป็นจานวนคู่ จัดรูป secmx = secm-2x sec2x
ใช้ u = tan x
sec2x =1+ tan2x
2. n เป็นจานวนคู่ จัดรูป cosecnx = cosecn-2x cosec2x
ใช้ u = cot x
cosec2x =1+cot2x
3. m , n เป็นจานวนคี่ ใช้เทคนิคของการอินทิเกรตทีละส่วน -
ตัวอย่างที่ 49
sec4 d
วิธีทา
sec4 d =
sec2 sec2 d
=
(1+ tan2 ) sec2 d
=
sec2 d + tan2 sec2 d
ให้ u = tan x , du = sec2 d
=
2 2
2
tan + u sec du
sec
=
tan + u2du
=
3 u
tan + +c
3
= tan + tan3 +c
3
1
ตัวอย่างที่ 50
cosec6x dx
วิธีทา
cosec6x dx =
cosec4x cosec2x dx
=
(1+cot2x)2 cosec2x dx
=
(1+2cot2x +cot4x) cosec2x dx
31. 31
ให้ u = cot x , du = -cosec2x dx
=
2 4 2
2
du
(1+2u +u ) cosec x
cosec x
=
- (1+2u2 +u4 )du
=
- du+2 u2du+ u4du
=
2u3 u5 -u - - +c
3 5
= -cot x - 2 cot3x - 1 cot5x +c
3 5
2.3.6 อินทิเกรตในรูป
m n tan x sec x dx และ
m n cot x cosec x dx เมื่อ m และ n เป็น
จานวนเต็มบวก จะสามารถหาอินทิเกรตได้ดังนี้
m n tan x sec x dx วิธีการ เอกลักษณ์ที่ใช้
1. n เป็นจานวนคู่ จัดรูป secnx = secn-2x sec2x
ใช้ u = tan x
sec2x =1+ tan2x
2. m เป็นจานวนคี่ จัดรูป tanmx = tann-1x tan x และ
secnx = secn-1x sec x
ใช้ u = sec x
tan2x = sec2x -1
3. m เป็นจานวนคู่
และ n เป็นจานวนคี่
ทาให้อยู่ในรูปกาลังต่างๆ ของ sec x
และใช้เทคนิคของการอินทิเกรตทีละส่วน
tan2x = sec2x -1
m n cot x cosec x dx วิธีการ เอกลักษณ์ที่ใช้
1. n เป็นจานวนคู่ จัดรูป cosecnx = cosecn-2x cosec2x
ใช้ u = cot x
cosec2x =1+cot2x
2. m เป็นจานวนคี่ จัดรูป cotmx = cotm-1x cot x
และ cosecnx = cosecn-1x cosec x
ใช้ u = cosec x
cot2x = cosec2x -1
32. 32
3. m เป็นจานวนคู่
และ n เป็นจานวนคี่
ทาให้อยู่ในรูปกาลังต่างๆ ของ cosec x
และใช้เทคนิคของการอินทิเกรตทีละส่วน
cot2x = cosec2x -1
ตัวอย่างที่ 51
6 4 tan x sec x dx
วิธีทา เนื่องจาก n = 4 เป็นจานวนคู่ ใช้ u = tan x จะได้
6 4 tan x sec x dx =
6 2 2 tan x sec x sec xdx
=
6 2 2 tan x (1+tan x) sec xdx
=
6 8 2 (tan x+tan x) sec xdx
=
6 8 2
2
du
(u +u ) sec x
sec x
=
6 8 (u +u ) du
=
6 8 u du+ u du
=
7 9 u u
+ +c
7 9
= tan7 + tan9 +c
7 9
1 x 1 x
ตัวอย่างที่ 52
3 5 tan x sec x dx
วิธีทา เนื่องจาก m = 3 เป็นจานวนคี่ ใช้ u = sec x จะได้
3 5 tan x sec x dx =
2 4 (tan x tan x)( sec x sec x) dx
=
2 4 (tan x sec x)(sec x tan x) dx
=
2 4 (sec x-1)sec x(sec x tan x) dx
=
6 4 (sec x-sec x)(sec x tan x) dx
33. 33
=
6 4 du
(u -u )(sec x tan x)
sec x tan x
=
6 4 (u -u )du
=
6 4 u du- u du
=
7 5 u u
- +c
7 5
= sec7 x - sec5 +c
7 5
1 1 x
ตัวอย่างที่ 53
2 4 cot x cosec x dx
วิธีทา เนื่องจาก n = 4 เป็นจานวนคู่ ใช้ u = cot x จะได้
2 4 cot x cosec x dx =
2 2 2 cot x cosec x cosec x dx
=
2 2 2 cot x (1+cot x)cosec x dx
=
2 4 2 (cot x+cot x)cosec x dx
=
2 4 2
2
du
(u +u )cosec x
-cosec x
=
2 4 - (u +u )du
=
2 4 - u du- u du
=
3 5 u u
- - +c
3 5
= - cot3x - cot5x +c
3 5
1 1
34. 34
ตัวอย่างที่ 54
3 3 cot cosec d
วิธีทา เนื่องจาก m = 3 เป็นจานวนคี่ ใช้ u = cosec x จะได้
3 3 cot cosec d =
2 2 (cot cot )(cosec cosec ) d
=
2 2 (cosec -1).cot (cosec cosec ) d
=
2 2 (cosec -1)cosec (cosec cot ) d
=
4 2 (cosec - cosec ) (cosec cot ) d
=
4 2 du
(u - u ) (cosec cot )
-cosec cot
=
4 2 (u - u )du
=
4 2 u du- u du
=
4 2 u du- u du
=
5 3 u u
- +c
5 3
= cosec5x - cosec3x +c
5 3
1 1
แบบฝึกหัด
จงหาค่าอินทิเกรตต่อไปนี้
1.
5 sin x dx 2.
5 cos d
3.
2 sin 5 d 4.
4 x
cos dx
2
5.
2 4 sin 2x cos 2xdx 6.
5 4 sin x cos xdx
7.
4 4 sin x cos xdx 8. sin2x cos 4x dx
35. 35
9. sin5x sin x dx 10. cos 3x cos 2x dx
11.
5 tan 3x dx 12.
4 cot x dx
13.
4 sec 2x dx 14.
4 cosec d
15.
2 2 tan sec d 16.
3 3 tan 2x sec 2x dx
17.
3 3 cot x cosec x dx 18.
4 cot3 cosec 3 d
19.
3 cot x cosec x dx 20.
2 cot 3x sec 3x dx
2.4 การอินทิเกรตฟังก์ชันพีชคณิตในรูปกาลังสอง
เป็นการอินทิเกรตฟังก์ชันที่อยู่ในรูป u2 +a2 , u2 - a2 หรือ a2 -u2 ได้ โดยใช้สูตร ดังนี้
1.
2 2
du u
= arcsin +c
a -u a
2.
2 2
du u
= arctan +c
a u a
1
+ a
3.
2 2
du u
= arcsec +c
u a
1
u a a
4.
2 2
du 1 u-a
= ln +c
u a 2a u+a
5. 2 2
du 1 a+u
= ln +c
a -u 2a a-u
6.
2 2
2 2
du
= ln u+ u +a +c
u +a
7.
2 2
2 2
du
= ln u+ u -a +c
u -a
36. 36
8.
2
2 2 u 2 2 a u
du = a -u + arcsin +c
2 2 a
a -u
9.
2
2 2 u 2 2 a 2 2
du = u -a + ln u+ u +a +c
2 2
u +a
10.
2
2 2 u 2 2 a 2 2
du = u -a + ln u+ u -a +c
2 2
u -a
วิธีการใช้สูตร
1. จากทุกสูตรจะเห็นว่ามีลักษณะรูปแบบของนิพจน์ใหญ่ๆ 3 รูปแบบ คือ u2 +a2 ,
u2 - a2 หรือ a2 -u2
2. ให้พิจารณาอินทิเกรตว่าควรจะต้องใช้สูตรใด โดยพิจารณานิพจน์ของอินทิเกรตที่
สามารถจัดให้อยู่ในรูป u2 +a2 , u2 - a2 หรือ a2 -u2 รูปใดรูปหนึ่ง มี 2 ประการคือ
2.1 นิพจน์ที่ประกอบด้วย 2 พจน์ คือ พจน์ที่เป็นตัวแปรและค่าคงตัว ซึ่งอยู่ในรูป
ax2 +c เมื่อ x เป็นตัวแปร a และ c เป็นค่าคงตัว สามารถจัดในรูป u2 +a2 , u2 - a2 หรือ
a2 -u2 ได้ง่าย เช่น
ax2 +16= (3x)2 +(4)2 จัดในรูป u2 +a2 โดยที่ u = 3x และ a = 4
2 - 4x2 = ( 2)2 +(2x)2 จัดในรูป a2 -u2 โดยที่ u = 2 และ a = 2x
x6 - 5= (x3 )2 +( 5)2 จัดในรูป u2 - a2 โดยที่ u = x3 และ a = 5
2.2 ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป ax2 +bx +c ซึ่งสามารถจัดในรูป u2 +a2 , u2 - a2 หรือ
a2 -u2 ได้โดยใช้วิธีทาให้เป็นกาลังสองสมบูรณ์ เช่น
x2 +10x +29 = (x2 +10x +25)+4
= (x +5)2 +(2)2
จัดในรูป u2 +a2 โดยที่ u = x + 5 และ a = 2
x2 -6x +4 = (x2 -6x +9) - 5
37. 37
= (x +3)2 +( 5)2
จัดในรูป u2 - a2 โดยที่ u = x – 3 และ a = 5
20+8x - x2 = -(x2 - 8x - 20)
= -(x2 - 8x +16) +36
= (6)2 +(x - 4)2
จัดในรูป a2 -u2 โดยที่ u = x – 4 และ a = 6
3. เมื่อจัดให้อยู่ในรูปตามต้องการแล้ว เขียนตัวถูกอินทิเกรตให้อยู่ในรูปสูตรที่จะใช้
ตัวอย่างที่ 55
2
dx
25-16x
วิธีทา การหาอินทิเกรตนี้ใช้สูตร
2 2
du u
= arcsin +c
a -u a
2
dx
25-16x
=
2 2
dx
(5) -(4x)
(u = 4x , a = 5)
=
2 2
1 d(4x)
4 (5) -(4x)
=
1 4x
arcsin +c
4 5
ตัวอย่างที่ 56
2
dy
4y +9
วิธีทา การหาอินทิเกรตนี้ใช้สูตร
2 2
du u
= arctan +c
a u a
1
+ a
2
dy
4y +9
=
2 2
dy
(2y) +(3)
(u = 2x , a = 3)
38. 38
=
2 2
1 d(2y)
2 (2y) +(3)
=
1 2y
arctan +c
2 3
ตัวอย่างที่ 57
2
dx
x 4x -9
วิธีทา การหาอินทิเกรตนี้ใช้สูตร
2 2
du u
= arcsec +c
u a
1
u a a
2
dx
x 4x -9
=
2 2
dx
x (2x) -(3)
(u = 2x , a = 3)
=
2 2
d(2x)
(2x) (2x) -(3)
=
1 2x
arcsec +c
3 3
ตัวอย่างที่ 58 2
dx
9x -16
วิธีทา การหาอินทิเกรตนี้ใช้สูตร
2 2
du 1 u-a
= ln +c
u a 2a u+a
2
dx
9x -16
= 2 2
dx
(3x) -(4)
(u = 3x , a = 4)
= 2 2
1 d(3x)
3 (3x) -(4)
43. 43
2.5 การอินทิเกรตฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก
โดยใช้สูตรต่อไปนี้
1. sinhu du=coshu+c
2. coshu du=sinhu+c
3. tanhu du=ln cos hu +c
4. cot hu du=ln sinhu +c
5.
2 sec h u du= tanhu+c
6.
2 cosec h u du= -cot hu+c
7. sec hu tanhu du= -sec hu+c
8. cosec hu cot hu du= -cosec hu+c
ตัวอย่างที่ 65 sinh (6x)dx
วิธีทา การหาอินทิเกรตนี้ใช้สูตร sinhu du=coshu+c
sinh (6x)dx =
d(6x)
sinh (6x)
6
=
1
sinh (6x)d(6x)
6
=
1
cos h (6x) +c
6
ตัวอย่างที่ 66
3 4 x cos h (x )dx
วิธีทา การหาอินทิเกรตนี้ใช้สูตร coshu du=sinhu+c
3 4 x cos h (x )dx =
4
3 4
3
d(x
x cos h (x )
4x
)
44. 44
=
4 4 cos h (x )d(x
1 )
4
= 1 4
sinh (x ) +c
4
ตัวอย่างที่ 67
x x e cot h (e )dx
วิธีทา การหาอินทิเกรตนี้ใช้สูตร cot hu du=ln sinhu +c
x x e cot h (e )dx =
x
x x
x
d(e )
e cot h (e )
e
=
x cot h (e )d(ex)
= x ln sinh (e ) +c
แบบฝึกหัด
1.
x
cos h dx
4
2.
sinh x
dx
x
3. cosec h5x cot h 5x dx
4.
sec h2(3x+5) dx
5. cot h (6x) dx
45. 45
เทคนิคการอินทิเกรต
1. การอินทิเกรตทีละส่วน (Intergration by parts)
ถ้า u = f(x) และ v = g(x) เป็นฟังก์ชันสองฟังก์ชันใด ๆ ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้
แล้ว จากหลักการดิฟเฟอร์เรนเชียลของผลคูณ
d(uv) = udv + vdu
เมื่อทาการอินทิเกรตทั้งสองข้างจะได้
d(uv) = udv + vdu
uv +c = udv + vdu
หรือ udv =uv vdu+c
เนื่องจากทางด้านขวามือ ยังคงอินทิเกรตอยู่อีก ซึ่งเมื่ออินทิเกรตแล้วจะมีค่าคงตัวของ
การอินทิเกรตเกิดขึ้นอีกตัว ดังนั้นในขั้นตอนนี้จึงยังไม่จาเป็นต้องบวกด้วย ค่าคงตัว จะได้
udv =uv vdu
เรียกสูตรการอินทิเกรตทีละส่วน ลักษณะของตัวอินทิกรตที่ใช้เทคนิคการอินทิเกรตที
ละส่วน มีลักษณะดังนี้
1) ตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูปผลคูณทั่วไป เช่น
x cos x dx , xex dx , e2x sin x dx
2) ตัวอินทิเกรตที่มีฟังก์ชันลอการิทึมประกอบอยู่ เช่น
x3ln x dx , ln x dx
3) ตัวอินทิเกรตที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันประกอบอยู่ เช่น
arctan x dx , x arcsin x dx
4) ตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูปผลคูณของ tanm x secn x หรือ tanm x cosecn x
เมื่อ m เป็นจานวนคู่บวก และ n เป็นจานวนตี่บวก เช่น
tan2 x sec3 x dx , cot4 x cosec3 x dx
5) ตัวถูกอินทิเกรตที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีเลขยกกาลังเป็นจานวนเต็มบวก เช่น
sin2 x dx , sec3 x dx
46. 46
หลักการเลือก u และ dv
1) ตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูปผลคูณฟังก์ชันพหุนามกับฟังก์ชันตรีโกณมิติให้เลือก u
เป็นฟังก์ชัน พหุนาม และที่เหลือเป็น dv เช่น
xn sin x dx เลือก u= xn และ dv = sin x dx
xncos 3x dx เลือก u= xn และ dv = cos 3x dx
2) ตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูปผลคูณฟังก์ชันพหุนามกับฟังก์ชันเอกซ์โพแนนเซียล ให้
เลือก u เป็นฟังก์ชันพหุนาม และที่เหลือเป็น dv เช่น
xn ex dx เลือก u= xn และ dv = exdx
3) ตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูปผลคูณฟังก์ชันพหุนามกับฟังก์ชันลอการิทึม หรือตัวถูก
อินทิเกรตเป็นฟังก์ชันลอการิทึมอย่างเดียว ให้เลือก u เป็นฟังก์ชันลอกาทึม และที่เหลือเป็น dv
เช่น
xn lnx dx เลือก u = ln x และ dv = xndx
4) ตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูปผลคูณฟังก์ชันพหุนามกับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันหรือตัวถูก
อินทิเกรตเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันอย่างเดียวให้เลือก u เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน และที่
เหลือเป็น dv เช่น arctan x dx เลือก u = arctan x และ dv = dx
5) ตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูปผลคูณฟังก์ชันเอกซ์โพแนนเซียลกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ จะ
เลือก u เป็นฟังก์ชันเอกซ์โพแนนเซียลหรือฟังก์ชันตรีตรีโกณมิติก็ได้ และที่เหลือเป็น dv เช่น
ex cos x dx เลือก u = ex และ dv = cos x dx
หรือ
ex cos x dx เลือก u = cos x และ dv = ex dx
การหาค่าอินทิเกรตของการอินทิเกรตทีละส่วน มีขั้นตอนดังนี้
1. เลือก u และ dv
2. หา du โดยนา u มาหาอนุพันธ์ และหา v โดยนา dv มาทาการอินทิเกรต
3. แทนค่า u , du, v และ dv ที่ได้จากข้อ 1 และ สูตรสาหรับการอินทิเกรตทีละ
ส่วน คือ udv =uv vdu
4. หาค่าอินทิเกรตของ vdu หรือบางกรณี vdu นั้น อาจจะใช้เทคนิคของการ
อินทิเกรตทีละส่วนอีก ก็ให้ทาการอินทิเกรตไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะได้ค่าอินทิเกรต
5. ในการอินทิเกรตทีละส่วน ถ้ามีค่าอินทิเกรต udv เกิดขึ้นทางด้านขวาให้นามารวม
กับ udv
ที่มีอยู่ทางด้านซ้ายทุกครั้ง
47. 47
6. ให้ใส่ค่าคงตัว c ที่คาตอบสุดท้ายของการหาค่าอินทิเกรต
ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ
x ex dx
วิธีทา ให้ u = x และ dv = ex dx จะได้
du = dx และ v = ex
แทนค่าในสูตร udv =uv vdu
ดังนั้น
x ex dx =
x ex - ex dx
= x ex - ex +c
ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ x sin3x dx
วิธีทา ให้ u = x และ dv = sin3x dx
du = dx และ v = - 1 cos 3x
3
แทนค่าในสูตร udv =uv vdu
ดังนั้น
x sin3x dx = (x) - 1 cos 3x - - 1 cos 3x dx
3 3
= - 1 xcos3x + 1 cos3x dx
3 3
= - 1 xcos3x + 1 cos3xd(3x)
3 9
= - 1 xcos3x + 1 sin3x +c
3 9
ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ lnxdx
วิธีทา ให้ u = ln x และ dv = dx จะได้ว่า
du = 1 dx
x
และ v = x
แทนค่าในสูตร udv =uv vdu
ดังนั้น
1
lnx dx = (lnx)x - (x) dx
x
= (lnx)x - dx
= xlnx - x +c
48. 48
ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าของ arctan x dx
วิธีทา ให้ u = arctan x และ dv = dx
du = 21 dx x +1
และ v = x
แทนค่าในสูตร udv =uv vdu
ดังนั้น
1
arctan x dx = arctanx(x) - x 2 dx x +1
= x arctanx - x dx x2 +1
= x arctanx - x du
u 2x
= x arctanx - 1 1 du
2 u
= x arctanx - 1 ln | u | +c
21
= x arctanx - ln | x2 +1| +c
2
ตัวอย่างที่ 5
excosxdx
วิธีทา ให้ u= ex และ dv = cos x dx
du= exdx และ v = sin x
แทนค่าในสูตร udv =uv vdu
ดังนั้น
excosxdx = exsinx - sinx exdx
= exsinx - exsinxdx
ทาอินทิเกรตทีละส่วนอีกครั้ง
ให้ u= ex และ dx = sin x dx
du= exdx และ v = -cos x
แทนค่าในสูตร udv =uv vdu
ดังนั้น
exsinxdx = ex(-cosx) - (-cosx)exdx
= -excosx + excosxdx
66. 66
อินทิเกรตจากัดเขต (Definite Integral)
อินทิเกรตจากัดเขตเป็นแนวคิดหนึ่ง ที่มีประโยชน์มากมายในด้านคณิตศาสตร์และ
วิทยาศาสตร์ โดยนาไปประยุกต์ทางเรขาคณิต เช่น การหาพื้นที่ใต้เส้นโค้ง พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง
ปริมาตร ความยาวเส้นโค้ง และการหาพื้นที่ผิวที่เกิดจากการหมุนเส้นโค้ง และการประยุกต์ทาง
ฟิสิกส์ เช่น การหาโมเมนต์ การหาจุดรวมมวล งาน และความดันของของเหลว
ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิเกรตจากัดเขต
พิจารณาได้จากผลบวกรีมันน์ ดังรูป
บนช่วงต่าง ๆ ที่ *k
f (x ) เป็นค่าบวก ผลคูณ *
k k f (x ) x คือพื้นที่ Ak ของรูป
สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความสูง *k
f (x ) และความกว้าง k x และบนช่วงที่ *k
f (x ) เป็นค่าลบ ผล
คูณ *
k k f (x ) x เป็นค่าลบของพื้นที่ดังกล่าว ซึ่งเป็น - Ak
จากรูปผลบวกรีมันน์ จะมีค่าเป็น
5
1
(
...
k
* * * *
k k 1 1 2 2 6 6 f (x ) x f (x ) x f (x ) x
A1 + A2 - A3 - A4 + A5 + A6
A1 + A2 + A5 + A6) - (A3 + A4)
f (x ) x
จะเห็นว่าผลบวกรีมันน์ก็คือ ผลต่างของพื้นที่นวมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมดเหนือแกน x
และพื้นที่รวมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมดใต้แกน x
67. 67
ถ้าเราแบ่งช่วงย่อยมีจานนมากขึ้น โดยที่ maxxk0 แล้วรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเหล่านี้
จะเติมบริเวณระหว่างเส้นโค้ง y = f(x) และช่วงปิด [a,b] จนเต็ม ทาให้เกิดค่าผิดพลาดน้อยลง
ๆ ดังรูป
และจะได้ว่าสาหรับฟังก์ชันดังกล่าว ลิมิตผลบวกของรีมันน์จะเป็นผลต่างของพื้นที่สองพื้นที่
ดังรูป
กล่าวคือ 1
b
a
III II f(x)dx (A + A ) - A
= พื้นที่ที่อยู่เหนือช่วงปิด [a,b] - พื้นที่ที่อยู่ใต้ช่วงปิด [a,b]
ถ้าให้ A1 แทนพื้นที่ใต้เส้นโค้ง y = f(x) เหนือช่วงปิด [a,b]
และ A2 แทนพื้นที่ใต้เส้นโค้ง y= f(x) ใต้ช่วงปิด [a,b]
แล้ว A1 – A2 เรียกว่า พื้นที่รวมเครื่องหมายระหว่าง y = f(x) และช่วงปิด [a,b]
68. 68
สมบัติของอินทิเกรตจากัดเขต
1. ถ้า a อยู่ในโดเมนของ f แล้วจะได้ว่า 0
a
a
f(x)dx
2. ถ้า b < a และ f อินทิเกรตได้บนช่วงปิด [a,b] แล้วจะได้ว่า
b a
a b
f(x)dx f(x)dx
3. ถ้า f และ g สามารถอินทิเกรตได้บนช่วงปิด [a,b] และ C เป็นค่าคงตัวใด ๆ จะได้ว่า
3.1
b b
a a
Cf(x)dx C f(x)dx
3.2
b b b
a a a
[f(x) +g(x)]dx f(x)dx + g(x)dx
สมบัติข้อ 3.2 นี้สามารถขยายฟังก์ชันมากกว่า 2 ฟังก์ชันได้นั้นคือ
b b
[f1(x) + f2(x) +...+ fn(x)]dx = f1(x)dx + f2(x)dx +...+ fn(x)dx
a a
b b
a a
3.3
b b b
a a a
[f(x) - g(x)]dx f(x)dx - g(x)dx
4. ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแล้ว และ f(x) 0 สาหรับทุกค่า x ในช่วงปิด [a,b] แล้ว
0
b
a
f(x)dx
5. ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแล้ว และ f(x) g(x) สาหรับทุกค่า x ในช่วงปิด
[a,b] แล้ว
b b
a a
f(x)dx f(g)dx
6. ถ้า f สามารถอินทิเกรตได้บนช่วงปิด [a,b] และ c € (a, b) แล้ว
b c b
a a c
f(x)dx f(x)dx f(x)dx
7. ถ้า f สามารถอินทิเกรตได้บนช่วงปิด [a,b] และจะมี c € (a, b) ซึ่งทาให้
b
a
f(x)dx f(c)(b - a)
(ข้อ 7 เป็น สมบัติค่าเฉลี่ยของอินทิกรัลจากัดเขต)
69. 69
การคานวณหาค่าอินทิเกรตจากัดเขตของ
b
a
f(x)dx
จากทฤษฎีบทหลักมูลที่หนึ่งของแคลคูลัส
b
a
ba
f(x)dx F(x)] = F(b) -F(a) มีขั้นตอนใน
การคานวณหาค่าดังนี้
1. หาค่าของ
b
a
f(x)dx ตามวิธีการที่ผ่านมาแล้วจะบวกค่าคงตัว C หรือไม่บวกค่าคงตัว C ก็ได้
เพราะจะได้ผลลัพธ์ที่เท่ากัน
2. หาค่า F(b) โดยการแทนค่า x = b ใน F(x)
3. หาค่า F(a) โดยการแทนค่า x = a ใน F(x)
4. หาค่า F(b) - F(a) จะได้คาตอบตามต้องการ
ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่า
3
3
0
(x - 4x +2)dx
วิธีทา
3
3
0
(x - 4x +2)dx =
3 3 3
3
0 0 0
x dx - 4 x dx +2 dx
3 3
3
0
0 0
3 3
3
0
0 0
4
4 2
4 4 2 4
= x 4 x 2 x
4 2
= 3 0 3 0 2 3 - 0
4 4 2 2
= 81 -18+6
4
= 33
4
ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่า
5
2
x dx
x2 - 4
แทน u = x2 - 4
du = 2x dx
dx = du
2x
วิธีทา
5
2
x dx
x2 - 4
=
5
2
-1x (u) 2 dx