1. Mattekampen 2013 - Facit
Mattekampen 2013- Facit
Varje år tar Mattecentrum tempen på mattekunskaperna i riksdagen, i år kommer vi återigen att kora
vem som är bäst på matte i riksdagen. Svårighetsnivån i Mattekampen är från årskurs 7 upp till
gymnasiematematiken.
Mattekampen anordnas av den ideella föreningen Mattecentrum som ger gratis läxhjälp i matematik
till ca 150.000 barn och ungdomar över hela Sverige dels via öppna räknestugor i 22 städer dels via
nätet på www.matteboken.se
Läs mer om oss på www.mattecentrum.se
Regler:
 De 5 uppgifterna uppskattas ta ca 1 timme att lösa och de mailas ut till alla
riksdagsledamöter
 Uppgifterna ska lösas individuellt, all hjälp beivras och vid upptäckt leder det till
diskvalifikation.
Uppgift 1 (högstadiet år 7)
Petra har tre gånger så många enkronor som femkronor. Dessa mynts sammanlagda värde är 96
kronor.
Hur många mynt av vardera sorten har Petra?
Lösningsförslag
Vi inför dessa beteckningar: antalet enkronor är x och antalet femkronor är y.
Petra har tre gånger så många enkronor som femkronor, vilket vi kan skriva så här:
Vi vet också att summan av myntens värde är 96 kronor. En femkrona är ju värd fem gånger så
mycket som en enkrona, så vi kan skriva myntens sammanlagda värde så här:
Nu kan vi använda dessa båda samband till att beräkna antalet mynt av vardera sorten som Petra
har.
Vi byter ut x:et i den andra ekvationen mot 3y och får då

2. Mattekampen 2013 - Facit
Att variabeln y har värdet 12 tolkar vi som att Petra har 12 stycken femkronor.
Eftersom vi nu vet antalet femkronor som Petra har, kan vi lätt beräkna antalet enkronor som hon
har, vilket ju är tre gånger så många:
Att variabeln x har värdet 36 tolkar vi som att Petra har 36 stycken enkronor.
Därför vet vi nu att Petra har 36 enkronor och 12 femkronor, vilka sammanlagt har värdet 96 kr.
Uppgift 2 (högstadiet år 8)
En rektangel är uppdelad i mindre delar enligt bilden nedan.
Rektangeln markerad I har omkretsen 24 längdenheter och rektangeln markerad II har omkretsen 16
längdenheter.
Hur stor omkrets har den stora rektangeln, som de övriga fyrhörningarna är delar av? Ta reda på
detta utan att mäta i figuren (figuren är inte skalenlig).

3. Mattekampen 2013 - Facit
Lösningsförslag
Vi inför beteckningar för de olika sidorna i figuren enligt nedan.
Den stora rektangeln har omkretsen:
Den övre högra mindre rektangeln har omkretsen:
Den nedre vänstra mindre rektangeln har omkretsen:
Vi kan skriva summan av de två mindre rektanglarnas omkretsar så här:
vilket motsvarar uttrycket för den stora rektangelns omkrets.
Därför är den stora rektangelns omkrets

4. Mattekampen 2013 - Facit
Detta kan också inses genom att man studerar sidorna i figuren, som var för sig har motsvarigheter
mellan de mindre rektanglarna och den större rektangeln.
Uppgift 3 (gymnasiet Matematik 1)
Avgör och motivera utan att mäta i figuren nedan huruvida detta är en rätvinklig triangel. Samtliga
längder som är markerade i figuren är angivna i meter och är exakta.
Lösningsförslag
Att en triangel är rätvinklig är ekvivalent med att summan av kvadraterna av två av triangelns sidor är
lika med kvadraten av den tredje sidan.
Därför kan vi testa om sidornas längder motsvarar sambandet i Pythagoras ekvation:
Om triangeln är rätvinklig, då ska sidan med längden 12 m vara triangelns hypotenusa och de övriga
två sidorna vara triangelns kateter.
Vi beräknar det vänstra ledet och det högra ledet för sig:
Eftersom VL ≠ HL kan inte triangeln vara rätvinklig.
(Om vinkeln mellan sidorna med längderna 8 m och 9 m beräknas med hjälp av cosinussatsen, då får
vi den vinkeln till ungefär 89,6°.)

5. Mattekampen 2013 - Facit

6. Mattekampen 2013 - Facit
Uppgift 4 (gymnasiet – Matematik 3)
Frank funderar på att bygga ett litet vindkraftsverk och vill ta reda på ungefär hur mycket material
som skulle krävas för att bygga en vinge till kraftverket.
Han har kommit fram till att vingen ska ha en yta som kan beskrivas av grafen till funktionen
över x-axeln.
Nu vill han ta reda på vilken area den ytan har, så att han får en uppfattning om materialåtgången.
Hjälp honom att beräkna denna area och svara med en tiondels kvadratmeters noggrannhet.
Lösningsförslag
Områdets area kan beräknas med hjälp av en integral.
Vi börjar med att ta reda på funktionens nollställen, eftersom vi bara är intresserade av arean
ovanför x-axeln. Nollställena (och därmed integrationsgränserna) är x1 = 0,5 och x2 = -0,5.
Arean kan beräknas med integralen
För att gå vidare tar vi reda på den primitiva funktionen Y(x):
Nu kan vi återgå till beräkningen av arean:

7. Mattekampen 2013 - Facit
Vi kom alltså fram till att ytan har en area på ungefär 2,7 m2
.
Uppgift 5 (gymnasiet – diskret matematik)
En riksdagsledamot har 10 stycken vänner i riksdagen. Hon vill bjuda in fyra av dessa vänner till en
gemensam middag, men vet också att hon inte kan bjuda in de båda vännerna Amanda och Benjamin
samtidigt, eftersom dessa inte kommer överens med varandra.
På hur många olika sätt kan välja fyra av de tio vännerna, utan att hon väljer både Amanda och
Benjamin?
Lösningsförslag
Det här är ett kombinatoriskt problem, som vi kan lösa genom att först beräkna på hur många olika
sätt hon kan välja 4 personer av 10 personer, och sedan beräkna på hur många olika sätt vi kan välja
4 personer av 10 personer om både Amanda och Benjamin bjuds.
Det vi söker är skillnaden mellan dessa antal olika sätt att välja middagsgäster.
Vi börjar med att beräkna antalet sätt att välja 4 av 10, vilket vi betecknar C(10, 4) och beräknar så
här:
Det finns alltså 210 olika sätt att välja 4 personer av 10 personer.
Sedan beräknar vi på hur många olika sätt hon kan välja 2 personer av 8 personer (utöver Amanda
och Benjamin). Det betecknar vi C(8, 2) och beräknar så här:
Det finns alltså 28 olika sätt att välja 4 personer av 10 personer, om vi vet att två av de bjudna
gästerna ska vara Amanda och Benjamin.
Nu kan vi beräkna på hur många olika sätt som riksdagsledamoten kan bjuda 4 middagsgäster av de
10 vännerna, utan att både Amanda och Benjamin bjuds, som skillnaden mellan C(10, 4) och C(8, 2):
Det finns alltså 182 olika sätt.