Nota matematik tingkatan 4

BAB 1: BENTUK PIAWAI
Angko Bererti
1. Angko bererfi bogi suotu
dori sebeloh kiri nombor itu.
302.69
1tAngka bererti Angka bererti
pertama ke-5
Nombor 30?.69 mempunyoi 5 ongko bererti.
2. Angko bererti bogi suotu ,: : :, dibilang muloi ongko bukon sifor
yong pertomo dori sebelsh kiri nombor itu.
0 . 0 0 417 5
ttAngka bererti Angka bere(i
pertama ke-4
Nombor O.OO4t75 mempunyoi 4 ongko bererti.
Contoh
Nyatokon bilongon ongka bererti bogi satiap nombor yong berikut.
o) 1 008
Penyelesaian
b) 0.40500
o) Bilang mulaiangka bukan
b)
- Bilang mulai angka bukan
sifar dari sebeiah kiri
1008
tt
Angka bererti Angka bererti
pertama ke-4
1 008 mempunyoi 4 ongko bererti.
sifar dari sebelah kiri
0.40500
tl
Angka bererti Angka bererti
pertama ke-S
0.40500 mempunyoi 5 ongko bererti.
Ponduon menentukon ongko bererti bogi suotu nombor ...
1. Semuo q{rg,{q -p:USSF-S"LfSfl
dolom suotu nombor odolah ongko bererti'
1473 *"^punyoi empot ongko bererti.
?. Semuo qryXkg c{fsf Si entqfg -da,{q d!$,tt dolom suotu nombor adoloh ongko berertt.
3. $tfqr ys*p *e*dehg!+g s**tgrere*or perFuiubqg bukon ongko bererti.
0.0055 mempunyoi duo ongka bererli.
4. odoloh ongko bererli.
9.300 mempunyoi empot ongko bererti.
r e . -!- l-,-- r:J^l- -J^*^r .J:r^-r.,1,^^ ^^^- ^)^ aif ^- i+
o. +treL$r es$Sg- sqtq{ rlsffi&*f h{$i{eft pee&q{b"lh s tidak dopot ditentukon somo odo sifar itu
odoloh ongko bererti otou bukon
Jiko 8 400 odoloh jitu kepodo ratus terdekat, moko nombor itu mempunyoi 2 angkaberer'ri.
Jiko 8 400 ddalah jitu kepodo so terdekat, moko nombor itu mempunyai 4 ongko bererti.
Bab 1: Benfuk Piawai 1
SMK TAMAN INDAH, 73000 TAMPIN, N.SEMBILAN
(http://myhemsmti.blogspot.com)
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMK TAMAN INDAH

Pembundoron Nombor kepodo Bilongan Angko Bererti Tertentu
Coro .t,eryurrryuqt{@. :+reftryry1qgi kepodo n angka bererti.
Kenol posti ongko bererli ke'n.
+
Adakah angka bererti
ke-(n + 1) :'-: ' ';'en - t+;':
* 1' ':
':'' :''' -?
YAI
v
-5.r":I_q, a,i1,5*ij ke p od o o n g ko b er er t i ke- n. ongko bererii ke-n.
Adakah nombor itu i1:tqgtii
atau pgrpgi;41e;'r?
I
INTEGERJ
$.qlf"&if semuo digit
selepos ongko bererti ke-n
dengon sifar.
PERPULUHAN
Adakah digit-digit selepas
angka bererti ke-n terletak
sErl * t; s ;, "!!"L'illtti$ :l!li+ !t ?
TIDAK
-l
YAI
+
'E*,i-qi;"f.]iti: s e m u o
digit itu.
E$i!t*it":: semuo
digit gi:e!s;;r
-ii,,J*:ti_g::t*s*B.
dengon sifar don
slJ{itritr semuo
digit g-qlg*si5-*38.
Contoh
Bundorkon nombor yang berikut kepodo 3 ongko bererti.
a) 4537 b) 0.062841
Penyelesoian
OA.B.ke-4>5
J
a) a 5!7 = 4 54O (3 o.b.)
t
@ Tambahkan 1 kepada A.B. ke-3.
Gantikan semua digit selepasnya dengan sifar
OA.B,ke-4<5
I
*
b) 0.062841= O.06?8 (3 o.b.)
t
@ Kekalkan A.B. ke-3.
Gugurkan semua digit selepasnya
Uji diri ondo ...
Bundorkon nombor yong berikut kepodo 2 angkabererti.
1. 2 913
TIDAK
2. 5 058 3_ 36.25 4. 7.084
2 Bab 1: Benfuk Piawai
MOHAMMAD BIN SAID

Bentuk Piawoi
,:r.,-...r. ,,i:,.::fr iolah nomboryong ditulis dolom 5"n1uk ; :. '.- dengon 1< A < 10 don nioloh
integer'
A=9.o7 n=4
r{gO 7OQ = 9.07 x 104
Nombor yong ponjong boleh diringkoskon dolam benfuk piawoi ...
1. Tulis 3 1OO OO0 000 don O.OOOOO822 dolom bentuk piowoi.
2. Tukor $ r 1O7 don 4.95 * 106 kepodo nombor tunggol.
Menulis Nombor Positif dalom Bentuk Piowoi
Contoh
Tulis nombor yong berikut dolom bentuk piowoi.
o) 30 600 b) 0.0078
Penyelesoion
a) 30600 = 3.06
" 104€,,'-'. b) 0:0 07 8=7.8x10-3+,,'
Titik perpuluhan Titik perpuluhan
dipindahkan diPindahkan
ll ::r,ltit,::,Lj.j:,-l:.r1. '.: 'ij r r:i:rr: li: 111,1111;'
.lj,,,i:, =l Jiko titik perpuluhon dipindohkonke ,t ",, moko indeks bogi 10'odoloh i":...l",ll.
Jiko tifik perpuluhon dipindohkon ke.,:.:,,r.,:,iln',,, moko indeks bogi 10'odoloh ','':,' ' ."','.
Contoh
Tukor nombor yong berikut kepoda nombor tunggol.
o) 9.54 x 105 b) 8
" 10-z
Penyelesaion
a) 9.54 " 105 = 954 000 b) 8 x 10-2 = 0108
1| * ': Pindahkan Pindahkan
titik perpuluhan titik perpuluhan
i-9ru-;i4C-Utril. ..1u.-ii11:-i.'!
Eru&S3! Jika indeks bogi 10'odoloh B.S-$_i.g{", pindohkon titik perpuluhon ntempot ke hgmgg.
Jiko indeks bogi 10'odoloh &€*g*S., pindohkan titik perpuluhon n tempot ke Wfl
Menukor Nombor dolom Bentuk Piowoi kepodo Nombor Tunggol
Bab 1: Bentuk Piawai 3
MOHAMMAD BIN SAID

Penombohon don Penolokon Nombor dolom Bentuk Piowoi
1. {ax 10*} + (&x X0tr} = (a+ 6} x
?. (mx 10') - (&* 10ffi) = (o- &) x
Contoh
Selesoikon 9.6
" 7O-7 + 1.5 x 10-8.
Penyelesoion
Cora 7: 9.6 x 1O-7 + 1.5 x 10-8
= 9.6 x 1O7 + 1.5 x 1O-1 * 1O-7
= 9.6 x 707 + 0.15 x 10-7
= (9.6 + 0.15) * 7O
7
= 9.75 x 7O-7
Hanya nombor-nombor yang mempunyai indeks
yaflq Safia sahaja boleh djtambah aiau ditolAk
Cara7: 9.6 x 70-7 + 1.5 x 10 8
= 0.00000096 + 0.000000015 +-l
= 0.000000975 |
10'
1S',
Tulis '10"e sebagai
10"1x 10r.
=9.75x707
b) 4.3 , 108 + 68 000 000
b) 4.3 x 108 + 68 000 000
= 4.3 x 108 + 0.68 x 108
= (4.3 + 0.68) x 108
= 4.98 x 108
Tulis setiap nombor
sebagai nombor
tunggal.
Contoh
Nilaikon setiop berikut dolom bentuk piowai.
a) 4.? * 10-5 - 8.7
" 107
Penyelesoion
a) 4.2, 10 5
- 81 x 1O-7
= 4.2 x1O 5
- 8.7 x 7O-2, 10 5
=4.2x105-0.087r10-5
= (4.2 - 0.087) x 10-5
= 4.773 t 10 5
Pendorobon don Pembahogion Nombor dolom Bentuk Piowoi
1. (ox 10*) x (&x !0') = (ox 6) x tr0'*n
2. (e x 10') + {h x 10') = (a + 6} x 10*-'
3. (a x 10')' = dn x 1.A^" n
Contoh
Niloikon setiop yangberikut dolom bentuk piowai.
o) (3
' 1O1a) x (5.2
' 10 8) b)
Penyelesoion
o) (3
" 1014) x (5.2, 1O-8) b)
= (3 x 5.2)x (1014 * 10 8)
= 15.6 r 101a*
( 8) + 10* x 1on = lQm+
j
= 75.6
" 106
= 7.56 x 101 x 106
= 7.56 x 7O7
6.84 x 10 3
G;to,f
6.84 x 10 3
C;1o4f
6.84x 10 3
:-- lxlO-E<- (10"1'= 1Am"'
- 6'84*10 3 ( 8) + 10,+ 10, =lQm-n
4
= 7.77 x 1O5
4 Bab 1: Bentuk Piawai
MOHAMMAD BIN SAID

BAB 2: UNGKAPAN DAN PERSAMAAN KUADRATIK
c)
, 3 f ^ _ _
Kuasaterlinggipembolehubahxialah2.
*'*
7 - 5= x"' t'#-
Tetapiterdapatkuasapemborehubahx=-2.
Bukon ungkopon kuodratik
Bukon ungkapon kuodrotik
x3 + 4x?
d)
2x
x' 4x'-a
?x ?x
r*
=!x?+2x2
Ungkopon kuodratik
INGAT!
Setiap ungkapan kuadratik dalam pemboleh ubah x
nresti nrexnr$nvsi sebutan x:
tetapi b,olehji*fa sebutan g dan penralarg.
.UJi
1.: .
7.,
6 Bab 2: Ungkapan dan Persamaan Kuadrofik
SMK TAMAN INDAH, 73000 TAMPIN, NS.
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Pembentukon Ungkapan Kuodrotik
1. Ungkop@&uqdrq_fil( dqqsm so_tu peryLbsleh_qb_eh diperoleh opobilo duro ungkopem lqnssr yong
mempunyoi pemboleh uboh yong somo gfule .
2. Proses pendorabon ini dikenoli sebagai p€q.l99ry0-bq6?.9q,&.
Contoh
Kembongkon setiop yang barikut.
o) 2x(3x 1) b) (3x+ l(ax- c) (5- x)z
Penyelesoion
Kaedoh L Kaedoh 2_ Koedoh 3
t)) DARAB I *
Wli.(i},-i) li^",^ll,nkaTdoll
I t * I f untukmembuot
I
Moko,2x(3x-7)=6x'-?x I = t"x2 i;t
I i
pengembongon j
lr
b) DARAB[+"]--| I *- I
ffi I ,'=t-- l"*'(;;x;)-'ffi I (sr-?(+d-t) | -e.', 3x
| +z i,gxl -z I | -r I
I = 12x2 3x-8x I = 72xz *.r 3x 2
Moko,(3x+?)(4x-l) I = t.xz- 5x l= t.x?+bx-Z
=l"?xi_3x.gx_z I I
=;2.,;'-5x-? | I
c) DARAB I I
| fu-G-[;"_] I r^* l,u(i>< -^*'
| ru l,u-x)2=(5-i5-o I r" 5x
lr
| *ona,(5-x)z I = 25 Ia' 5x I = 25 1:'- 5x_ x?
| =Cs-x)(5-x) | = z5-1ox I = 25'1ox+x,
I =21-5x-5x,x2 I I
| =
"z*
- rc* - *, I rc*tu+ryal{-u-u,luu I
I =-*i-rr, ;-T, |
(s-x)z=2s-xzatauzs+xz
I
I
I
Aiasakan diri menulis jawapan dalam bentuk axz + fox + c.
I Pengembongon melibotkon pendoraban ...
I Kembongkon setiop yong berikut.
|t.(3x+1)(x+?)..2.(2x_3)(x+7}.3.{.AP-3X3p_2)
Ando bebas
memilih koedoh
untuk membuot
pengembongon.
DARAB 4x -1
3x 3.3-q{'e -3x
+2 r- 8x -2
DARAE 5 *X
5 7E
*X -3X +x?
DAKAB 3x 1
-I
1X 6x? -2x
.-"****.1

i*r s}-i I
++- A.,2: ns
o
- L,4 -- L4
,4{*-1
{
(3x+ ?)Uf - t)
r/'
= 12xz 3,c"+ 8x
= 12xz + 5x ,l
(5-x)'=(5- x)(5-x),.J
= 25 - S..v* 5x
= Z5-1Ox
4E$il=APA1{*UMuffi
(5 - x)z = 25 * x2 alau2! + x2
Bab 2: ungkapan dan Persamaan Kuadratik 7
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Pemfaktoron Ungkopon Kuadratik
dorobnyo samo dengon ungkopon kuodratik itu.
(x+ 3Xx+ 2)
menulis ax' + bx+ c= (mx+ p)(nx+ q) dengan
a= mn, b= tng+ npdon c= pQ.
Jodi, kito perlu faktorkon o sebagoi m x n don
csebagai pxqdengon keodoan b= mg+ nP.
Contoh
Foktorkon selengkopnya 6xz + ?2x + 1'?.
Penyelesoian
+
6x2 + ??x + 12 = Z(3xz ' ., -r 6)
= ?(x + 3)(3x+ 2)
;:,li1 rril;
Pemfaktoran perlu r rr:i'.:,i'.;l:.
6xz+22x+12
:1- . ' r.,(3x +2) <- r',il;j:i lr,t':,-r:r.::'l
=: ; - t,(3x+2) <- Lengkap
6xz+22x+12
= (x + 3):t... ' r +- j'ri::,,t, l'r;rirl',i:1
=..(x+ l)r.::r ,
', (- Lengkap
Contoh
Foktorkon selengkopnya 4p' 1.
@Pemfaktoran
x? + 5x+ 6
Memfoktorkan ungkopon kuodrotik bermokno ax'+ bx+ c = {mx+ p)(nx+ q)
= nnx' + mgx + npx + pg
= :;,,;XZ + (,r1,,,1r , ,1,)X+ :tr-
ttl ll i..
Langkah 1: Jika ada, keluarkan faktor sepunya terbesar.
Faktor sepunya terbesar bagi 6,22 danl2ialah 2.
Keluarkan faktor sepunya terbesar 2.
Langkah 2: Faktorkan a dan c.
a=3=lx3sahaja
c=6=1x6ataU2*3
Langkah 3: Pertimbangkan kemungkinan untuk mendapat sebutan x.
'I,:,1><ll
i 2', x-*z*6
'.___","1y/1a1
+3x +6x + 11x +18x +x * 11x
ii;,1>< 13
.t*.
i 4 ; x-rz*3
'*_r'Jxl- +!
Penyelesoion
4p' - t = (2p)' - f +- |{::,b:.'19i
antara dua kuasa dua":
=(2P- t)(?p+1)Lebihmudahgunakanrumusa2_62=(a_b)(a+b).
Pemfoktoran ioloh proses songscng kepodo pengembongon ...
Faktorkon selengkopnyo setiap yong berikut.
1. 4xz + 18x+ 18 ?. 6xz - 17x- 4 3. Lxz + 2x' 1 4.
5.36+12p-8pt 6. 12*7p-1Op2 7.32p?-18 L
+6x +3x * 11x +9x +2x = 11x
4xz +2x-72
50 - 18pZ
8 Bab 2: Ungkapan dan Persamaan Kuadrafik
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Persomoon KuodrotikDersomoon Kuodrotik.......ir..:.... ,....::
, ..
.. .. 1, ...:l .. '"'.i I i ..' ,. r .
1. Fensomoon kuodratik dolsm setu pemboleh ubah mempunyoi
o) honyo sotr.r-feflBbqleh ubsh,
b) kusso-tertlngqipemboleh uboh iolah 3, tetopi tlqdq-l{uesq [eEqtif q$qg peq hes'
c) tgnda kesoEnqon " = ".
2. Dolom be-ntqk orn, persomoon kuodrotik ditulis sebogoi:
Kuasa tertinggi pemboleh ubah x ialah 2'
I
t axz + bx+ c = O i
[+,t4J
mla + 0 Nilai pemalar b dan c boleh sama dengan sifar'
Contoh
Tentukan sama odo setiop yang berikut ioloh persomoon kuodratik otou bukon.
o) 3=1+2m b) Yz=(x+aXx-3)
m
Penyelesoion
. 3 b) Yz = (x+ aXx- 3)
o)
a='-'tm Kuasatertrnggi z
*i=:'-,1**4x-t.
3 = m (1 r 2n) pemboleh rnin, x' - X- = x- lt Kuasa tertinggi
3=m+Zm? { ialah2. =x-724:":- pembolehubahx
persomoon kuodrotik Bukon persomaon kuodrotik ialah 1' bukan 2'
lNlG&Tl
Tiada x2tidak bermakna bukan kuadratik.
Ada x2 tidak semestinya kuadratik.
Berhati-hati sebelum anda membuat keputusan.
Permudahkan persamaan itu dahulu'
Contoh
Tulis persomoon 8 - ?(P+ 3)2= 7 p dalombentuk am'
Penyelesoion
A-2@+3)2=7P
8-?(P+3)(P+3)=7P
3-?(P'+3P+3P+9)=7P
8-2p'-6p-6p-18 7P=o iti-GAT1
*Z p, - 19 p - 10 = 0 Darabkan dengan (-1 ). Adalah menjadi amalan yang baik
Zp'+79'p+10=0kitajadikana'pekalip2'positif'
#tengeson ciri-ciri suotu Perlomoon kuodrotik ...
1aiokghPersomoon(x+5),=X,.-3x+1iolah.Per5omoonkuadrotik?:
2.TuIissetiopPersoma6nkuodratikyon9berikut-dgIom.bentukom
a}.{2x+1),=8.l.:.b)(2-x)(3+x)=4x
Bab 2: Ungkapan dan Persamaan Kuadratik I
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Punco Persomoan Kuodrotik
Keodoon Sebeloh kiri xz Sebeloh konon: 5x - 6 Keputuson
APob lo x= 1 7?=! 5(1)-6--1 K ri + Konon
Aoabila x= 2 22=4 5(A- 6 = 4 { ], - ,,. :.-,6
- jti:' -_1::
Apobilo x= 3 ?2-O 5(3)-6= $ K ri = Kcn*n
2.
1. il!-r-ii1ti-;!gl.E l.lt#.S.*itiisijf::j* ioloh ry.[1i:-p,qg!1r+_il*-_+.!:q1 yong i-':+'''i-;.-d_i,t_fts,-,iE1]ff.fr1
*!j{il..1il,rir' K itu. Pertimbongkon persomoon kuadrotik x2 = 5x- 6. Apokoh niloi xyong
memuoskon persomoon itu?
x= 2 dan x=3 memuoskon persomoon x2 = 5x- 6.
Moko, I dan *1 ioloh ;1r.;r-r,:q,bo9i persomoon xz = 5x- 6.
Meny elesai kon persomoon kuodrati k bermakno mencori punco-punconyo. Sotu
d i g u no kon i o I o h g*a$CL_F"g,Sisgkffij:gfi.
koedoh yong
Contoh
Dengon menggunokon koadoh pamfoktoron, cori punco bogi persomoon (x+ ?)(3x- 1) = ?(x+ 17).
Penyelesoion
Persomoon yong diberi
CSusun dolom benfuk om
^)3x- -
@ Faktorkon ungkopon kuodrotik
@ Selesoikon untuk mencori
niloi x
Contoh
Selesoikon persomaon (4x- 3)'= 5 -4x-9x2.
Penyelesoion
(x+ 2)(3x - 1) = ?(x+ 17)
3x2 * x+ 6x- 2= 2x+ 34
x+6x-2-2x- 34= 0
3x2 * 3x_ 36= Q Permudahkan
x2+x-1?=O
(x+ 4)(x- 3) = 0
x+4-O otou x-3=0
x=*4 x=3
(4x-3)'=5-
l6x2-72x-?x+9=5-
25x?-ZOx+4=O
(5x-2)(5x-2)=0
2
Kedua-dua punca adalah sama.
Maka, tulis punca satu kali sahaja.
4x - 9x2
4x - 9xZ
x- E
Punco persomoon dikenoli jugo sebogoi penyelesoian ...
Cori punco bogi setiop persomoon kuodrotik yong berikut.
1. 3x2 -28=-5x 2. x(3x-5)= 2 3. (?x_ 1)(4x-5)=35 4.(1 +3x)2=73-6x
10 Bab 2; Ungkapan dan Persamaan Kuadrafik
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

BAB 3: SET
Koniep Set
l= {1,2,3,4}
# ,.,1) r//.f ..'' --'-.'
f {", 'qr
Rojoh di sebelah menunjukkon koleksi barong yong dimiliki oleh
Siti. Dolom motemotik, koleksi ini disebut g€-"f alot tulis yong
dimiliki oleh 5iti.
Set ioloh sotu &q!_e_kil_&Cr!dg yong ditokrif dengon jelos.
Misolnyo,
a, e,i, o, u boleh ditokrif sebogoi sef huruf vokal.
?,3,5,7 boleh ditokrif sebogoi sef nombor perdana yang kurang daripada 10.
Menokrif 5et
Terdopot duo coro untuk menokrif sesuotu set.
O ffe"ref&p{qm Xiolah set huruf vokol.
@ M.Se- ;= {huruf vokol} atou X= {a,?, i, o, u}
t
Lazimnya, huruf besar digunakan
untuk mewakili sesuatu set.
Contoh
Dangon mengguna sotu huruf , tokrif kon set bagi koleksi bendo berikut dengan cora pemeriholon
don tototondo set.
a) Tnteger positif yong kurong doripodo 5: L, ?, 3, 4
b) Perobot di dolom bilik dorjoh: mejo, kerusi, olmori
c) Alot elektrik yong dibenorkon di bilik osromo: lompu, kipos, rodio
Penyelesoion
o) A iolah set integer positif yong kurong daripodo 5. $ery:ata: A
. {,t1 :1,1,!l 'i11! lltg_gtt}
yang dibaca sebagai
.A
ialah set semua
integer x dengan keadaan x lebih besar atau
sama dengan '1
tetapi kurang daripada 5 .
b) I ioloh set perabot di dolam bilik dorjoh.
B = {mejo, kerusi, olmori}
il$.s&l:
c) ciatahser otor etektrikyong dibenorkon di bilik osromo. l**,PHHj lqtt3t.lpentins
untuk
6r= {rompu, kipos, rodio} il,'J:'81i:};:lffif?,ffi.*,n,
Cobor diri ando ...
Tokrifkon set yong berikut dengon menggunokon tatotondo set.
1. fioloh set nombor gonjil yong kurong daripoda 10.
2. tJiolah set hori yang bermulo dengon huruf 5.
'12 Bab 3: Sef
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

,,, ,. ., .,:.:'.' .,, ,
Gambor Rajoh Venn
,i*r'* -- ,t * 4). Kito boleh mewokilkon set Adengon menunjukkon koleksi bendonyo
seperti rojah di bowoh.
--
Aa----- --1 '/
/ .1 '2 otau ^ I ., .2 | otou n/ .r
.3 '4) I ., '41 /
-:---l I - | /.2.s.+
Perwokilon di otos dikenoli sebogoi go!$hqLiqjeh [enfr.Gombor rojoh Venn boleh dilukis dolom
apo sohojo @nfuL-geqfiua_[r!-t€.':fut$sp, osalkon setiqp -ues-ut--sej berodo dei-qtq-hs{xtqk yong
dilukis.
Contoh
Wokilkan setiop set yang berikut dengon menggunakon gombor rojoh Venn.
o) 5= {pen,pensel, buku, mejo}
b)r={xl1(x11o,xiolohnomborkuosoduosempurno}ffi
( unsur-unsurnya sebelum )
a) b) T={1,4,%Z-
sft rl------_l
/ cp?ASd 'l .7 .4 |
(.pen ) I I
.buku 'meJa_// I ., I
---.-------/
ffiB.H4Tr4J-{
1. Setiop bendo dolom suotu set dikenoli sebogoi uesur.
?. Dolom gombor rajoh Venn, tqnde ti$k (*) mewokili suotu unsur.
A /- B a-- i-----------r
( .a+J_l urnsur
! ( B*fr*19'sr!,ryn I
=-/ _-/
Rojoh 1 Rojoh 2
Perhotikon perbezaan ontara duo rajoh di otos.
Dolom Rojah 1, ongka 8 menunjukkon set A mempunyoi sotu unsur ioitu 8, e = {B}.
Dolom Rajah ?, angko 8 menunjukkon set I mempunyoi 8 unsur.
Gombor rojoh Venn boteh dilukis'dolom opo sohoja bentuk geometri tertutup ..,. , '
t.Lukisgombc1.rqiohVennuntukmewokilisety.ong]berikut...].
2
i.ii,'ff',ItilHffii*"'-"#,:ifffj:1szt
'' '
w
.1 .4
ng
Bab 3: Set 13
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Unsur bogi Suatu Set
l4
Pertimbongkon set B= {3,5,7,9}.
3 ioloh nErshqr dolom set B" = 3 ioloh qa$EJr-bqgq set B. = 3 G I
8 bukan monbEr dalom set B. = 8 buken unsur bagi set B. - S * #
$irnbeE E bermoksud'ums,;n bagr'.
56mb,o! e bermoksud'bukon unsur bagi'.
I Bilongon Unsur bogi Suatu Set I
Contoh
Diberi p= {nombor genap yong kurong doripodo 10} don Qioloh set huruf dolom perkotoon
MALAYSI A. Cari
o) n(P), b) n(Q).
Penyelesoian f---- Huruf A ditulis sekali sahaja.
o) P={2,4,6,8} b) Q={M,A,1,Y,5, I}
n(P)=4 n(Q)=6
I Set Kosong !
Set kosqre,g ialoh set yong . ila--:'r- Tiada rrnsr,"
Set kosong ditulis sebogoi { } otou diwokili oleh simbol @. [7
Jika /4 = {sisi empot ycng mempunyoi 5 sudut}, moko set ttl tidak mempunyoi unsur kerono tiodo
sisi empot yong mempunyoi 5 sudut. Oleh itu, rl4ialah set kosong, rl4= {} atou rl,1= d.
@tDuo set, A dan B, adoloh sqmq jiko keduo-duo set itu mempunyoi Llnsuf_ysflg__goroq..
-
B*
a,. .hijou a .heroh
.biru ) .hiiou )
ry=WSetA = SetB
:
1.
:r
Diberi X = sel poligoh. Nyatokon somo oda setiop, yong'berikut icloh unsur set Xotsu bukan'
..dengon.men99unakansimboIeotqu*..].'
. ,o) sisi empot, b) segi figo . c) buloton. 'r' d) oktagon, i'
.2, Dib-er:i:l/: {huruf vokol dolam per:kotoon MATEMATIK!. Cari d/a):
3.Diber"i,Q={0}.Adqkoh.,Qiolohsetkosong?....
4...Diberi.7:={B,A,G,.|),S}danU:{G,A,tr,U,5}..AdokahT=tJ?
Bilongon Unsur bogi Suatu Set
Set Kosong
Set Somo
14 Bab 3:Set
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Subset
Doionr gornbor rajoh Venn di otos, $qryiryg
ffiSHe set B terdapot dclorn set A.
Keodoan ini menunjukkan set I ialoh s@p_set
bagi sat A don ditulis sebogei &
= A.
Contoh
Nyatakcn sama ada Xialoh subset bogi Xotau buken, dengan menggunakon simbol c ntsu q..
o) X= {2,3,5,7),Y={3,5,7,9,1.1} b) X={segi tigobersudutcakoh}, /={segi tigo}
Penyelesoion
a) X= {2, ii, :r, ,.}
y= {:;, t:, :',9, ltr}
Unsur 2 bukon unsur dolom set Y. Moka, Xe Y.
Dslqm gomber rojah Venn di otas, bu.Sqcn
Sffi unsur set Qterdapot dolam set P.
Keadoan ini menunjukkon set ahgfu
S-uheql bogi set Pdon ditulis sebagoi # , fi
b ) X = {: t':';''r : :;i.i i...r i',1'Li i-i i--il i i ::;..1 iri il}
/= {Segi tigo bersudut tirus, :':r{:r-i! i;ait r-:r,,::':ii;rjljl il.,':.i{.i,lii
Senruo unsur dslom set Xterdapot dolorn set Y. Mako,
Semua jenrs segi tiga
I
segi tigo bersudut regok] +-
Xc Y.
Menyenoroikon Subset
1. Jiko suatu set mempunyoi m U&qU{, mako biiongon subset yong mungkin bagi set ifu ioloh 8""
2. .Sgj h.os,sJ_r$ ialoh guhge_?_h,qqr_Eqrylqqe4; d r d
3. €C&uq_gqt iolah SEbee?S€pedq_q€gflyq_q€Ed0r.i) A r: A
Contoh
Cori bilongan subset ycng mungkin bogi setiop szt yang berikut don senoroiksn semuo subset itu.
a) P= {gelos, cawon} b) Q={3,5,7,9}
Penyelesoion
o) d.Pl = 2 = Bilongon subset bogi set F= 22 = 4
Subset bogi set P islch { }, {gelos}, {cswan}, {gelos, cowan}.
b) r{,Q) = a -} Bilongon subset bogi set Q = ?a = 16
subset bosi set Q iaioh { }, {3}, {5}, {7}. {9}, {3, 5}, {3, v}, {3,9i, {5, 7}, {5, 9}, {7 ,9},
{3, 5, 7}, {3, 5, 9}, {3, 7, 9}, {5, 7, 9}, {3, 5, 7, 9}.
1. Tentukon somo.oda satiap yong berikut odaloh benor otou palsu.
c){1,2,3}.c{4.,3,2,1}.,b)te,f,g}C{e,f,tg}:}.c).{.}.{9}
2. Senqroikon semuo subset bogi set P : {bulon yang bermulo dengon huruf, J}.
9ab 3: Set 15
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Set Semesta
Dolom gombor rojoh Venn di sebelah, A ialah set integer positif yong kurong
doripodo 5. I ialoh set lebih besor yang mengondungi semuo unsur seI A.
Set gefrws_tB, ( ioloh set yang mengondungi s-qm&sq un-sgt yong menjodi
bahon perbincongon.
Contoh
Diberi set semesto ( = {integer positif yong kurong doripodo 10} don set B = {nombor kuoso duo
sempurno yong kurong doripoda 10). Lukis sotu gombor rojoh Venn untuk mewakili set ( don set B.
Penyelesoion
E={1,2,3,4,5,6,7,8,9}e,=PerhatikansetBia[ahsubset
B={7'4'e} 1.,
o(.0''.r)
''l : [:Hff;:lffiH'-,I-1-Y[J[?;
set sernesta, (.
Pelenokoo booi Suotu Set
Dolom gombor rojoh Venn di sebelah, set semesto, ( = {huruf vokol} don
set P= {o, e, i}.
sqryq$tg yong hlq&qryg.feurff Pelengkap bogi set Pditulis sebagai P'.
Moko, P' = {o, u}.
P'
Confoh
o) Diberi set semesta,= {x: !< x<1O, x ioloh integer} don p= {nombor perdono}. Tulis set P'.
b)eF6omborrojohVenndisebelahmenunjukkonunsur-Unsurdolom
P/'-.^ '32,-I----r5
er9 .61:-e) .4
set semesto E, set ,Q don set 5. Tulis set R' don S'.
Penyelesoion
o) E = {1,2, 3, 4,5, 6,7, 8,9,10}, P= {2, 3,5,7}
Moko, p, = U, 4, 6, g, 9 , 10]r
b) ,Q'= {3,4,6,7,9}
S'= {1, 2, 3 , 4,5, 6l
Pelengkop bogi set P boleh jugo ditofsir sebogoi "di luor set P" ...
qG6amborrojohVenndisebelahmenunjukkcnhubun9oncntora
set semesto (, set J, set K dan set L.Podo gombar rojoh yong
berosingon ,lorek kowosan yong mewokili
1, set .7', ?. set K', 3. set L'.
.2
.3
.5
16 Bab 3: Sef
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

.
,. l.,,., .,. ., , ,,. . ., , .,, . .
E- Gombor rojoh Venn di sebelah menunjukkon duo set, Pdan Q,Yong
'l p,---7<--a I bertindih otoupun bersilong. Apokoh set yang mengondungi unsur-
I (.0 ( '" ) :o ) | un.u. sepunyo doripodo set Pdanset Q?
| ^*Zj-l I s"t yong mengondungi seryxuq uesric-scp*ulrys doripodo set P dan set Q
l'9 - | dikenalisebogoi psffilqtr#n set Pdonset Q.Persilongonset Pdon
set Qditulissebogoi P n 8. Jodi, dolom kes ini Pa Q = {o, b}.
Contoh
effi6omborrojohVenndisebelahmenunjukkonUnsur-Unsurdolomsett,,
'|mlc,odanE.Tulissetiopsetyangberikutdengonmenyenoroikonunsur-
I { 'ol'2 .a I
I .1,-t1; -
/ I unsurnyo'
I Y-.a}{:I-Y I ol cr- D
1.9'z'8,/p I b)cr:DaE
I -------/ " I
Penyelesaion
o) CnD={?,6} b)CaDaE={6}
.m im
ta&) I laePtI .r., .s,/r I I .e'7'/t I
| ' ---=__/-"
| |
--___---l -
|
I Pelengkop bogi Persilongon Set I
r ffi Felenekop beqi F iLG ialoh set yong mengondungi Eerygq-rLlssur
'i Pr:.-ZN}q i d*relrl*G s*mestq e yqmr-huk-uqi lrr,sEr $*t fl n #.
I L"."."),i ) I Pelengkap bogi Pe- Q ditulis sebagoi {pn 8)'.
i.,Y-_lDalomrojohdisebeloh,(P-Q),={b,c,d,f,g}
(pn e)'
Contoh
Diberi setsemesto,(={1, ?,3,4,5,6},set rl4={1,3,5}donsetN= {2,3,5}.Cori (tl4aN)'.
Penyelesoion
14a N={3, 5} = (rl,1a N)' ={1,2,4,6}
La6amborrojohVenndisebelohmenunjukkonbilon9onunsUrdqlom-l p/1)<--X--:P I set semesto , P, Qdan,Q. Cori nilai ]
l'( o (,) (,).) li ,ri^qt',
I j4-X--l^ I 2. n(Qa R)'.
|
---
3l
P i Persi 5et
Bab 3:5et 17
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Dolom mosoloh yong melibotkon set, perkotoon "Q!qn" mempunyoi erti "n". Perkatoon "buksm" otou
"tUqk" mempunyoi erti "pqlgJ1gtksp".
Misolnyo,
Set semesto, ( = {1,2,3,4,5}, set P= {1,?,3} don set q= {2,3,5)
o) Unsur-unsur sepunyo bogi set Pden set Q= Pa Q= {2, 3}
b) BUkqn unsur-unsur sepunyo bogi set Pdon setQ= (Pn Q)'= {1,4,5}
Contoh
Gambor rojoh Venn di sebeloh menunjukkon bilongon murid
bogi set semesto , set K dan set L.
g = {semuo murid kelos 44}
(= {rnurid yong suka minum kopi}
f= {murid yong suko minum teh}
Cari bilongon murid
o) yong suko minum keduo-duo kopi don teh,
b) yong tidak suko minum keduo-duo kopi don tah,
c) yong tidok suko minum kopi don tidok suko minum teh.
Penyelesoion
q
b)E
c)t
Bilongon murid yong suko minum keduo-dua kopi don teh
= n(Ka T)
:!
Bilongon murid yong tidok suko minum keduo-duo kopi
don teh = n(K a T)' perharian:
= 4 + 10 + 8 Mrrd yarg tidak suka minum kedua-dua kopi
= 22 dan teh bererti:
o murid yang suka minum kopi sahaja atau
o murid yang suka minum teh sahaja atau
. murid yang tidak suka minum kopi dan teh
Bilongon murid yong tidok suko minum kopi don tidok suka
minum teh = n(K' ., f')
_A
Cobor diri ondo ...
Berdosar:kon Contoh di otos. jowob soolon yong berikut.
1. Cor'i bilongon mut id yong honya,suko sejenil,m,inumon sohojo, , .,.'':, .l
2, 'Apokoh,moksudnyq jjka ,(n T= g? '
18 Bab 3; Set
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

':. '.. .r., '.. .. ,., ,, , ,.,
r ' : . .
set,P donQ, dolom
'l
'67.il-.a I ::l
.,'..*t" (' Apokoh set vans meneondunei semuo unsur set Pdan
I f-.fZ:r-l I S"t yangmengondungi Eseq.rery set Pdan set Qdikenoli sebogoi
| '9 I hesetuen_s et P dan set Q. Kesotuon set P don set Q ditulis sebogoi
P u Q. Jodi, dalom kes ini Pw Q = {o, b, c, e, d, f).
Contoh
Tulis Cu Dbagi setiop yong berikut.
o) C= {S,O,P, A, N}, D = t5, A, N, T, U, Ni
b) C ={?,3,5,7}, D= {1,3,6,7,9}
Penyelesoion
o) Cw D= {S, O, P, A, N, T, U} +- lr:gat!Dalamset,unsur-unsuryangberulanghanya
b)CwD--{2,3,5,7,1,6,g}ditulissekali,olehitu,senaraikanSemuaunsursetCdiikuti dengan unsur set D yang belum ditulis tagi.
6ontoh
''m6omborrajohVenndisebelohmenunjukkonUnsur-unsurbo9iset I J/'
ry J semesto t,, J, Kdan /. Senorsikon semuo unsur bogi setiop set yong
I /.x/ '(
l i.r,_'r).r) | berikut.
[ ----x-----' I a) Jw K- L
i ,---
I .g.h(.t), I b)J'K'- t--l
i
Penyelesoion
o)tW b)€-
I r/ ,-{--l..( | ' 'l ,7f-7*;-}l( I
lI'o(..)'d) i i('o('.) 'o)l
| :).zjl I I :)1_'el I
l'lr--)>rlI .o.h(.t)L I | .e.fiL.r'I
l-'---, I l-'--ll
Jw Kt-t L= {b,c,e,a,d,f} Jw K'= {b, c, e,f ,g,h}
I Pelengkop bogi Kesotuon Set I
i F Pelenq&qp begl 4 v_ $? ioloh set yong mengondungi ssrnuq=qngur
=
i p/a7: )Q i riniam -sef semqstq-I I L I .u
I (: r.").f ) | Pelengkop bogi Pu Q ditulis sebagoi (Fu Q)'.
|
.e
llfl__] Dolom rojoh di sebeloh, (P - q1' = 1n1.
(pu e)'
:Diberi set semesto [, sef l don]set ,B dengon keodoon'A c. B, Nyotokon set yang setoqa,dengon
J. K
.b
A
TL
.€, "/
,Q
oa.h ( .f LJ/
/
.e rfi (}'
Pelenqkop boqi Kesotuon Set
Bab 3;5et 19
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

ItAosoloh yong Melibotkan Kesatuon Set
Dolom mosoloh yong melibotkon set, perkatoon "at_qu" mempunyoi erti "'..-i". Perkotoon "L,,iru,lflai"
otou "fiEi.q$" mempunyoi erti "f,_gdgmq&mp".
Misolnyo,
Set semesto, ( : {1,2,3,4,5}, set P= {1,2,3} don set Q= {2,3,5}.
o) Unsur-unsur set Pqtg,u set Q = F'-.,
b) Bukan unsur-unsur set Potau set Q
o)l
Contoh
Gombor rojoh Venn di sebelah menunjukkan bilongan murid
bogi set semesto , seLQdon set 5.
( = {semuo murid kelas 4A}
B = {murid yong suko rogbi}
5= {rnurid yong suko bolo sepok}
Cori bilongon murid
o) yang suko rogbi otau bola sepak,
b) yong tidok suko rogbi otou bolo sepok,
c) yong tidok suko rogbi otou tidak suko bolo sepok.
Penyelesaion
e= {1, ?,3,5}
= (f r-r Q)'= {4i
Bilongon murid yong suka rogbi atou bolh sepok
= n(Rw 5)
=12+6+18
=36
Bilongon murid yong tidak suko rogbi otou bolo sepok
= n(R u 5)'
=!
Bilongon murid yong tidok suko rogbi otou tidok suko
bolo sepok = n(R 'u 5')
=5+12+18
=35
b)
c)
Postikon perkotoan "otou" ditofsir sebogoi "u" ...
Berdosorkon contoh di otos, jawob soolon yong berikut.
1. Cori bilongon murid yong suko rogbi sohojo otou bolo sepok sohajo.
2. Jiko n(,e u 5)' = 0, opokoh hubungon ontoro n(R w 5) don n(()2
20 Bab 3:5ef
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Gombor rojoh Venn di bowoh menunjukkon set semesto , set A, set B dan set C.
Lihot hasil (A a B) w Cdan A a (B u Q dolom rojoh itu.
Nyata sekali (A n B) u C
berbeza dengan A a (B u C).
(Ar-,8)wC A et(Bv C)
Semoso menentukon hosil qobungon operosi ke otos set, operosi dalom kurungan hendakloh
dilokukon dohulu. Jiko tiodo kurungon, operosi dilokukon dari kiri ke konan.
Contoh
Diberi setsemesto, E = {x: 10 <x<?0, xioloh integer},set D= {x: x mempunyoi digit 5 otou 7},
set E= {xr x ioloh nombor perdono} dan set F= {x: xioloh gondoon 5i. Cori
o) Dv E'a F, b) D'a(Eu fl'.
Penyelesoion
q = {10, 17,72,73,14,15,76,77,18,19,20} D= {15,17} f= {17,73,77,79} f= {1O,15,20}
o) f'= {7O, 12, 14, 15, 16, 18, 20} O Cari set E..
D u E'= UO,1?,14,15,16,!7,18,Z.Oj @ Lakukanoperasidarikirike kanan.
Dw E,; f = {lO,15,?0}
O Lakukan operasi dalam kurungan.
@ Cariset pelengkap, (Eu fl' dan Di
@ Lakukan operasi dari kiri ke kanan.
b) (Fu F) = {10, 11,13,75,77 , 19,20}
(Ew F)'= {1?,74,16,18}
fi'= {1O, 17, 72, 13, 74, 76, 18, 19 , 20}
D' a (Ew F)'= {12, 14, 16, t8}
Contoh
!t Gombor rojoh Venn di sebeloh menuniukkon bilangon unsur dolom
set P, Qdon,Q. Diberi r[.R'o (Pu Q)] = 26, cari
o) niloi x,
b) nlQ n (Pu,Q)1.
Kowoson berlorek mewokili R'r', (Pw Q).
14 + x+ x+ 2x= 26
4x= 72
x=3
Kowoson berlorek mewokili Q n (Pu ,e).
nl.Q o (Pu ,e)l = x+ 6
=3+6
-o
Penyelesoion
o)€
b)q
Bab 3: Set 21
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Mosoloh yong Melibatkon SetllAasaloh:y.on9.p1elib.atkon.SetlJ
Contoh
rT6amborrojahVennyangtidoklengkopdisebelol=i ,f-)n{-u , bilangon murid dolom set .c, B, Hdan 7l Diberi i
I T /-1 e = {ahli kelob bodminton}, H= {ohli kelob hoki} <
I / + l ) tenis). Bilongan ohli kelob bodrninton don hoki mc
I I o' / t /
lry74orang.Jun,rlohmuridkeIosituioloh36oron9.
I o ---,/, I a) Lengkapkon gombar rajoh Venn itu.
I - l b) Cori bilangon murid yong menjodi ohli kelob t
c) Cari bilongon mt-rrid yong menjodi ohli kelob h
tidok menjodi ahli kelob badminton.
Penyelesoion
o) Bilongan murid yong menjodi ohli kelob bodminton sohojo = 14 - (3 + 4 + 2
=14-9
=!
Bilongon murid yang menjadi ohli kelab hoki sahajo = 14 - (3 + 4 + 1)
=14 B
=$
Bilongon murid yong menjodi ohli kelob tenis sohojo = 36 - (5 + 3 + 4 + 2
:"'
27
aE
lBf,A)(ll5l-j-6
IAo)I V2J1V ,
I --/ I
I o -3-4
b) Bilongon muridyong menjodi ohli kelob tenis = ?+4+l+9
=16
c) Bilongon murid yong menjodi ohli kelab hoki otou tenis ( [- .---=*-
tetopi tidok menjodi ohli kelob bodminton I t/^ /S
-- nL(Hw 7) n B'l I t
",41)..
=6+7+e i 31a=16 I u t' s /[
-7
Berdassrkon contoh di otcs, cori bilongqn murid
3. yong menjodi ohli kelob bodminton otau kelqb hoki.
Garnbor rojah Venn yang tidok lengkop di sebelah menunjukkon
E
L{-)*{ul bilangon murid dolom set t,, B, H dan 7l Diberi I = {murid kelas 4A},
p= {ohli kelob bodminton}, H= {ohli kelob hoki} don f= {ohli kelab
tenis). Bilongan ohli kelob bodrninton don hoki mosing-mosing ialoh
74 orang. Jumloh murid kelos itu ioloh 36 orong.
a) Lengkopkon gombar rajah Venn itu"
b) Cori bilangon murid yong menjodi ohli kelob tenis.
c) Cari bilongon murid yong menjodi ohli kelob hoki otou tenis tetopi
tidok menjodi ahli kelob badminton.
Penyelesoion
o) Bilongan murid yong menjodi ohli kelob bodminton sohojo = 14 - (3 + 4 + 2)
=14-9
=!
Bilongon murid yang menjadi ohli kelab hoki sahajo = 14 - (3 + 4 + 1)
=14 B
=$
Bilongon murid yong menjodi ohli kelob tenis sohojo = 36 - (5 + 3 + 4 + 2 + 6 + 1 + 6)
:"'
27
q
b) Bilongon muridyong menjodi ohli kelob tenis = ?+4+l+9
=16
c) Bilongon murid yong menjodi ohli kelab hoki otou tenis t
tetopi tidok menjodi ohli kelob bodminton
= nL(H w 7) n B'l
=6+7+9
=10
22 Bab 3: Set
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

f
BAB 4: PENAAKULAN MATEMATIK
Pernyatoon
Tentukon somo odo setiop oyot yong berikut benor otou polsu, otoupun tidok dopot ditentukon
kebenoronnyo.
o) Kualo Lumpur ibu negoro Moloysio. b) Moloysio sebuoh pulou. c) Jumpo logi di Moloysio'
Suotu oyot yong soma odo beRor otau palsq disebut Pernyotocn. Seboliknyo, oyot yong tdek
dspqt ditentUkqn somo odo benar otou polsu disebut bukan pern!$tcan.
Oleh itu, dolom contoh di otos, o) don b) odaloh pernyotoon, monokolo c) bukon pernyotaan.
Benor
Polsu
w
@
Tidok dopot dipostikon ;* BUkCIn
Fmratymfm*m benor otou polsu u*
p**nyg?ee*
Contoh
Nyotokon somo odo setiop ayot yong berikut ioloh pernyotoon otou bukon pernyotoon.
o) 3 bukon nombor bulot. b) Segi tigo ioloh sejenis poligon'
c) xioloh nombor negatif . d) Tulis 5 dolom parkotoon.
Penyelesaion
o) Ayot ini polsu. Moko, oyot ini odoloh pernyotoon.
b) Ayot ini benor. Moko, oyot ini odoloh pernyotoon.
c) Niloi xtidok diketohui. Ayot ini tidok dopot ditentukon somo odo benar otou polsu.
Moko, oyot ini bukon PernYotoon'
d) Ayot ini tidok memberi moksud benor otou polsu.
Moko, oyot ini bukon PernYotoon.
S"ffiffi*-X Semuo oyor dalom bentuk grSMS, $sslgfq otou q ryiefl odoloh k*"hgm--eefeY$3s#ff
pernyotoon boleh jugo ditulis dalom bentuk pg€aqffiqeft yong melibotkon qqryhd---ruj:9Js-{,Siiq
Contoh
Nyotokon soma odo setiop oyot yang berikut ioloh pernyotoon otou bukon pernyotoon.
o) 4+8=7+5 b)Zx-l=x+3 c) 3-5>4-2
Penyelesaion
o) 4 + 8 = 7 +5 odoloh benor. Moko, oyot ini odoloh pernyotoon'
6) 2x- L = x+ 3 mungkin benor otou polsu bergontung kepodo niloi x.
Moko, oyot ini bukon PernYotoon.
c) 3 - 5 > 4 - 2 adalah polsu. Moko, oyot ini odoloh pernyotoon'
Kebenoron otou kepolsuon sesuatu oyot odoloh osos penookulon matemotik .. -
Tentukon samo oda setiop ayot yong berikut ioloh pernyotoon otou bukon pernyotoon.
1. Apokoh jenis persomoon bogi 3xz - 4 = x?
2. 3'x2 - 4-= xioloh perso^oori kuodrotik.
24 Bab 4: Penaaku/an /vlafenatik
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

1.
2.
3.
,,&qm q,, don',s&k6"$sss&m,,odoloh duo p_e.mg&_emgr-tq yang kerop digunokon dolom sesuotu
p*nyotoon untuk menerongkon kuantiti objek yong dipertimbongkan.
''&**" bermoksud $ffiT&Sry Affifffitl$iesrtrcb'qp &Sry' Jiko terdopot Ag-tu -+*h3s'h-Yssg
u*ffiqwgg* dengonpernyotoan yong diberi, moko pernyotoon berkenoon odoloh pggsg.
!.
^ --ll-
"&&bik*Sgg" bermoksud
. Asolkon
terdapot sekurong-ku.onjnyo +-q-t-w -ebiek y-q.mg-mqqryekp-ng pernyotaon yong diberi' mako
pernyotoon berkenoon odoloh lAgXgA.
Jodi, dolom contoh di otos, pernyotaon "sebilongon huruf itu odoloh huruf konsonon" odoloh
benor.
Contoh
Tentukon somo odo setiop pernyotoon yong berikut benor otou polsu.
a) Sernua nombor perdono ioloh nombor gonjil'
b) Semuo set memPunYoi subset.
c) Sebilongon sisi empot mempunyoi tigo sisi'
d) Sebilongon nombot genap ioloh nombor perdono'
Penyelesoion
o) Polsu. 2 ioloh nombor perdona tetopi bukan nombor gonjil.
b) Benor. Set kosong ioloh subset kepodo semuo set'
c) Polsu. Tiodo sisi empot yong mempunyoi tigo sisi'
d) Benor. 2 ioloh nombor genap yong jugo merupokon nombor perdano.
Kito boleh membino pernyotoon benor berdosorkon qbjek don qiriyong diberikon dangan
mengguno pgnqkuontiti yong sesuoi'
Contoh
Tulis pernyotoon benor dengan mengguno pengkuontiti "semuo" otou "sebilongon" berdosorkon
objek don ciri Yong diberikon.
o) Objak: segi tigo
Ciri : memPunyoi tigo sisi
Penyelesoion
o) Semuo segi figa memPunyoi tigo sisi.
b) Sebilangon gondoon 2 ioloh gondoon 4-
b) Objek: gandoon 2
Ciri : gondoon 4
A/t"^bi^" P"*Yotoon d"ng
Bab 4: Penaakulan /i4afenatik 25
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

,.rii,i::i.r::rir.:r.f iriri,ir,i:i,:rr.iif, :ri,liiii:tli,lr.i tii.lilaltliilil
lOperosi ke Atos Pernyotaon I
I
Perhotikon pernyotoon berikut:
o) 5 ioloh nombor perdono. (benor) b) 6 boleh dibohogi tepot dengan 5. (polsu)
5 bukan nombor perdana. (palsu) 6 tidok boleh dibohogi fepot dengan 5. (benar)
Doripodo contoh di otas, kito dopot merumuskon bohowo perkotoon "fu!g[" otou "tidaK' boleh
menukor kebenorsn otou kepolsuon sesuotu pernyotoon.
tP"^"ffi]
Perkotooon,'bukon,,otou..tidok,,ju9omelombongkonpenafion.m
8m*ftgrydiwakiliolehsimbol.'-,,.Jikopmewokilisatupernyotoon,ffi
moka -p bermoksud "bukon y''. Kebenaron bogi p dan'p boleh
diringkosk an sepertijaduol di sebeloh I rolsu I Benor I
Benorksh penafion suotu pernyataon dengan menggunokon perkotoon "bukon" otou "tidok" okon
rneftqub{rh kgbellqCen $tau..tqpqlsi.rqn pernyatoan itu? Perhotikan pernyotoon yong berikut:
Pernyotoon:SemuopersomoGnkuodi"oiikbo!ehdifoktorkontpor,,l.
.l,.,+.,9.*riligr,J,'.
., +lgp,ig[.9,.q.,p.93!.6iii..q.qfri!a,!ffi bieh dif;ktorkq{8q,6@...;jit
,,rii1ejjdil?ii boleh
lrflklo:kT lPorstl)
,
Doripodo contoh di otos, kito dopot perhotikan bahowo jiko sesuotu pernyotoon melibotkon
pengkuontiti "semuo", perkotocn "bgkn" atou "tig[*B" biasonyo ditomboh di de*ea+er$kgeEtit!
berkenaan unfuk menukor kebenoron otou kepolsuan pernyatoon itu.
Jiko ditomboh S ten&gt lain,kebenaran atou kepolsuon pernyofoan itu nrungkin tidalc berubsh.
Contoh
Tukor kebenaran otou kepolsuon setiop pernyotoon yong berikut dengon menggunokon perkotoan
"bukon" otou "tidok".
o) Semua integer odoloh nombor perdona.
b) Semuo nombor gena? boleh dibahagi tepat dengon2.
Penyelesoion
I o) Bg{i(en semuo integer odoloh nombor perdono. (Pelsu
'* *en*r)t'
I b) B.q{kq* semuo nombor genap boleh dibohagi tepot dengan 2. (*e*Ter * F*lsr*)
I otou
I Semuo nombor genap fidqt boleh dibohogi tepot dengan 2. (S*ncr =+ Fsisu)
I
Diberipernyotoon:5ebilongansegitigoadolohsegitigisomokoki'
I te:a ri,askcn nyotoon di atos un..ts,k.iiiatti,pUti i.. . :
[i,,e'...uarg-irii,m unokon perkotaonahuk+1;iiFdni
Penof ion
9, ,:p-..:
Benor Polsu
Polsu Benor
26 Bab 4: Penaakulan rlhafematik
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Operasi ke Atas Pernyotoon
Gobungon Duo Pernyotoan dengon Perkotoon 'don'
Sotu pernyotson bohoru boleh dibentuk doripodo duo pernyatoan dengan menggunokon perkotoon
tt...r...,,i',
".
2 ialah nombor perdona
9 ioloh nombor gonjil.
2 iqloh nombor perdono.qgnry
9 ioloh nombor gonjil.
Kebenoron otou Kepolsuon
Jiko p don q mewokili duo pernyotoon, moko kebenaron atou kepolsuon bogi pernyotoon gobungan
It,: -..,1i. *," boleh diringkoskon seperti joduol di bowoh.
p q pdanQ
Benor Benar l3*fi*ir'
Benor Polsu Polsu
Palsu Benor Polsu
Palsu Polsu Polsu
Contoh
Tentukon somo odo setiop pernyatoon yong berikut benor otou polsu.
o) 8 lebih besor doripodo 3 don 8 lebih besor doripodo 5.
b) 8 ioloh gondoon 2 dan 3 ioloh foktor bagi7.
Penyelesoion
o) 8 lebih besor doripado 3. (Benar)
8 lebih besar doripodo 5. (Benor)
Moko, pernyotoon itu benor.
b) 8 ioloh gondaon ?. (Benar)
3 ialoh foktor bogi 7. (Polsu)
Moko, pernyotoon itu palsu.
Tip SPM ...
Pernyotoon gobungon yong melibotkon perkotoon ".,,.t::.ii" odolah
o) :,,,:.;:i jiko,'.,:r-,. .-.- perhlotoon yong digobungkon itu i:;:.;lgi;,
Uji Diri Ando ...
Gobungkon duo pernyotoan yong berikut dengon menggunokan perkotoan "dsn". Tentukan somo
odo pernyotoon gabungon yang terhosil itu benor otou polsu.
i 1*l=11 i
t -*- -,--.-**'-_:.***"*i
I 1+0=10 i
u:.--*=.,--*-r-r-'.,:*.:-'-.*,.-.:n
Bab 4: Penaakulan l4atenatik 27
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Operasi ke Atos Pernyotaon
Gobungon Duo Pernyotoon dengon Perkotoon 'otou'
Sotu pernyotoon bohoru boleh jugo dibentuk doripodo duo pernyotoon dengan menggunokon
perkotoon " ". M
#=-4iolohnombornegatif,Mf-4iolohnombornegatif
7iolahnomboruutit.{ffi*7iolohnomborbulot.
$-
Kebenoron otou Kepolsuon
Jiko p dan q mewokili duo parnyatoon, moko kebenoron otou kepolsuon bogi pernyotoon gobungon
"; .:'. .: ,." boleh diringkoskon seperti joduol di bowoh.
p q p atau o
Benor Benor i,ryi'tii
Benor Polsu
Polsu Benor
Polsu Polsu Palsu
Contoh
Tentukon somo odo setiop pernyotoon yong berikut benor otou palsu.
o) 16 ioloh nombor kuoso duo sempurno otou 10 ioloh gondoon 4.
b) 5-9>3otou2x3=?3.
Penyelesoion
o) 16 ioloh nombor kuoso duo sempurno. (Benor) b) 5 - 9 > 3 (Polsu)
10 ioloh gondoon 4. (Polsu) 2 x 3 = 23 (Polsu)
Moko, pernyotoon itu benor. Moka, pernyotoon itu polsu.
Tip SPM ...
Pernyatoon gobungon yong melibotkon perkotoon " " odoloh
o) , , jiko, ,::::. , : ,. .: pernyotoonyongdigobungkonitu t
b) , ., jiko , ' pernyotaon yong digobungkon itu
Uji Diri Anda ...
Gobungkon duo pernyotoan yong berikut dengon menggunokon perkotoon "otou". Tentukan somo
odo pernyatoon gobungon yong terhosil itu benor otou polsu.
r Set kosong tidok mempunyoi subset. Set kosong tidok memPunyoi sef semesto. .
28 Bab 4: Penaakulan fulatenatik
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Imptikosi
Pernyotoon'Jiko xioloh integer positif , makaZx ioloh nombor genop" ioloh suotu imp!"ikqsi.
fmplikosi ini terdiri doripado dug perny"otgq!,'xioloh integer positif' dan'2x ialoh nombor
genap', yang digobungkan dengan perkotooon "Jika ..., ryrakc ...".
Secaro umum, dolom implikosi "Jika p,':i,.:i'.:',. ", p ioloh ontejadian don ,:; iolah ,.:,i::,r=i.
Jiko x iolah inteqer posffi, moko , "^i.ig.i.
ANTEJADIAN
Contoh
o) Kenol posti ontejodion don okibat bogi implikosi yong berikut.
"Jiko x = -3, maka 2x + 6 = O."
b) Tulis sotu implikosi berdosarkon ontejodion don okibot yong diberikon.
Antejodion : Set Pmempunyoi n unsur.
Akibot : Bilongon subset bogi set Pialah2n.
Penyelesoion
o) Antejodion'. x= *3 Akibot: ?x+ 6 = O
b) Jiko set Pmempunyoi /7unsur, moko bilongon subset bogi set Praloh2'.
Sotu pernyatoon yang diberi sebogoi "p jiko don honyo Jiko q" mempunyoi duq':iry,[hcsj, ioitu
"Jiko p, maka q" dan "Jika q, maka p".
pi ko don honyo j ko ; ffi ::::,:,,, ; r::: : :":" ;
Contoh
o) Tulis duo implikosi bagi pernyotoon yong berikut.
"Set P iolah set kosong jiko dan honyo jiko set Ptidok mempunyoi unsur."
b) Tulis sotu implikosi dolom bentuk "jiko don honya jiko" berdosorkon implikosi yong diberikon.
fmplikosi 1: Jiko x+ 3 > 5, moko x> ?.
Implikosi 2: Jiko x> ?, moko x+ 3 > 5.
Penyelesoion
o) Implikosi 1: Jiko sel P ioloh set kosong, moko set Ptidok mempunyoi unsur.
fmplikosi 2: Jiko set Ptidok memPunyoi unsur, moko set Pioloh set kosong.
b) x+ 3 > 5 jiko don honyo jika x> 2.
Antejodion don Akibot
'Jiko don hanyo jiko'
Bab 4: Penaakulan lylatenatik 29
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

g.
Implikasi
Pertimbongkan sekoli logi implikosi "Jiko p, mako q". Andaikon p don q soling bertukar tempot,
moko kito okon dopot sotu implikosi yong bohoru, ioitu "Jiko q, maka p".
disebut l"x:pi bogi implikosi osol. Mako, "Jiko q, maka p" ialah akos bogi implikosi "Jiko p, maka
Jiko p, moko ,,. ffiffi:* Jiko ", moko p.
!afip!-!KA$[
Contoh
Tulis okos bogi setiop implikosi yong berikut.
o) Jiko x ioloh nombor genap, moka xz ialoh nomb or genop.
b) Jiko A -- B,maks A a B= A.
Penyelesoion
a) Jiko x' ioloh nombor genap, moko xioloh nombor genap.
b) Jiko A a B= A,maka A c- B.
Implikosi ".:.i..:..:. ,r ..*,:, .," boleh ditulis secoro ringkos sebogoi..;::= ,5
$.k** bogi implikasi
"# => {. iolah -q;
* F;, ioitu p dan q saling bertukor tempot.
Waloupun sesuotu implikosi odaloh benar, gkoqnyq mungkin Belsu.
Contoh
Nyatokon akos bogi setiop implikasi berikut don tentukon somo oda okos itu benor otou polsu.
o) Jiko n iolah integer, maka n? ioloh integer.
b) Jika P- Q, moka Pu Q= Q.
Penyelesoion
o) Jiko n'ialahinteger, moko nioloh integer. b) Jiko Pw Q = Q, moko P- Q.
Akos ini polsu. Akos ini benor.
i;flif;11:i'["'' n@
xe Pa Q + xe P
1. Tentukon somo odo implikosi di otas benor otau pclsu.
2. Tulis akos bogi implikosi itu. Seter"usnyo, tentukon soma odo okos itu benor otou polsu.
Akos bogi Suotu Implikosi
Akos: Benor otou Polsu?
30 Bab 4: Penaaku/an lLafenafik
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Premis don KesimPulon
Adolch diketohui bohowa: Sernuo sisi ernpat ioloh poligon'
Rombus ioloh sisi emPot.
Bendosorkon pernyctoon-pernyotaan di otos, opokoh yanrg dcpat dirumuskon tentong rombus?
proses membust suatu kesimpulon berdosorkon baberopc pernyotoon yong diberi dikenoli sebagai
i:;:.,lif!t:,r.tti.ri. PernYotoon-pernystoon yong diberi ifu dikenoli Sebogoi .ij:'Zi:'i.i:1'
Dalam contoh di atqs, premis yong diberi isloh "SemLro sisi emput iolch poligon. Ron'lbus ialoh sisi
empot". Kesimpulan yong dopot dibuot iolah "Ronrbus ioloh poiigon".
:'.':rriiri:',i ,i,,1:'rjlr.i.,.11.r;1;41-;1.-,. r'.,el.r.1i:':r:. YGh9 dibUgt ifU meinbentUk SatU
':r"''.::,'-t'
Premis 1 : Semuo sisi empot ialah potigon.
] ffi
Premis 2 : Ror-nbus inlsh sisi empaf. F ffiKesinnpulan : Rornbus ioioh poliEon. J
ffire
eontoh
Kenol posti prernis don kesirnpulon bogi setiap Fruioh yong berikut"
o) Semuo gondaan 6 ialah gondoon 3. xiolah gnndnan 6. Cleh itu, xinloh gondocn 3.
b) Jikoyiolohnornbongenflp, makayz iolahnornborgenop.FsomodengonS'Clehitu'y2ialoh
nombor genoP.
e) Jika Aa B= ,9, mska Bc- A. Diberi Bcr A. Oleh itu, Ar-' B+ B'
Penyelesaian
o) Prenris 1
Premis 2
Kesimpulan
b) Premis tr
Pramis 2
Kesinrpulan
c) Premis 1
Premis 2
Kesimpulan
Semuo gcndoon 6 ioloh gondoan 3.
x iclch gondoan 6.
xioloh gondoon 3.
Jika y ioloh nomb or geno1, maka yz iolah nombor gencp
ysomn dengcn 8.
y'ialah nombor genop.
Jika A r: B = B, maka B c- A.
Be- A
AoB+B
Hujah terdiri doripodo Premis don Kesimpulon ...
Lengkopkon setiop hujoh yong berikut dengon menyotokon kesimpulonnya'
-
t. Fremis 1: Jiko.uoiu set riempunyai n*run, mako set itu mempunyoi 2'subset'
Premis ?: SetQ memPunyoi 5 unsur.
2. Premis 1: Semuo nombor gonjil tidak boleh dibohogi tepot dengan2.
Premis 2: Nioloh nombor gonjil.
3. Premis 1: Jiko k islah infieger, maka k? ialch intagar'
Premis 2: k2 bukaninteger.
4. premis 1: Jika suatu nombor boleh dibohcai tepot dengon 5, moko nombor itu ioloh gandoan 5.
Premis ?: ybukangondoon 5.
Bab 4: Penaakulan fulafemaftk 31
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Hujoh
Membuot Kesimpulon
Terdapot 1i*:;*E::t*fgry i,t;*ll yong rnontik yong boleh digunokon untuk membuot kesimpulon
berdasorkon duo premis sohojo.
Hujoh Contoh
Benfuk I
Premisl :Semuo rodoloh
PremisZ :{odaloh ''.
Kesimpulon : Codoloh
PremiS 1 : Semua :..:::;',',,
Premis 2 : Fberbentuk
Kesimpulon : F
Bentuk II
Premis 1 : Jiko ,, moko
Premis ? :, odoloh benor.
Kesimpulon : odoloh benor.
Premis1 :Jiko,. ,,maka
Premis 2 :
Kesimpulon :
Bentuk III
Premis 1 : Jiko :, moko
Premis2 : odolohbenar.
Kesimpulon : i'',,. :';.:," " odoloh benor.
Premis 1 : Jiko ' ..: :: 1'' 1noLo
Premis 2 :
Kesimpulon :
Contoh
Buot sotu kesimpulon berdosorkon premis-prernis yong diberikan.
o) Premis 1: Jiko suotu nombor iolah gondoon 10, moko nombor itu ioloh gondoon 5.
Premis 2: Nombor Nioloh gondoon 10.
b) Premis 1: Semuo nombor genoP memPunyoi f aktor ?.
Premis 2: xiolah nombor genap.
c) Premis 1: Jiko suotu set mempunyoi 3 unsur, moko set itu mempunyoi 8 subset.
Premis 2: 5et Ptidok mempunyoi 8 subset.
Penyelesoion
o) Hujoh bentuk ff
Kesimpulon: Nombor N ioloh gondoon 5.
b) Hujoh bentuk f
Kesimpulon: xmempunyoi foktor 2.
c) Hujah bentuk IIf
Kesimpulon: Set Ptidok mempunyai 3 unsur.
Nota tombohon ...
Seloin doripodo tigo bentuk hujoh di otos, terdapot banyok hujoh yong tidok montik yong horus
Premisl : Jika m=2,moko3nf =12. Hujahinitioat<*untnn.r.unujikam= -2(m+2),didapaii '
Premis 2 : m+2 3m2=l2.bercanggahdengankesimpulanyangdiberi.
) /^
t,
Kesimpulon:3nf *12
32 Bab 4: Penaaku/an fulafenatik
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Melengkopkon Hujoh
Untuk melengkopkon sesuotu hujoh opobilo diberikon sotu premis don kesimpulon, heM "reqil
dohulu qg,r&!h-h,gp.@fu yong terlibot dolom hujoh berkenoon'
Contoh
Lengkapkon setiop hujoh yong berikut.
Hujoh
Untuk melengkopkon sesuotu hujoh opobilo diberikon sotu premis don kesimpulon, heM "reqf,
dohulu qg,r&!h-h,gp.@fu yong terlibot dolom hujoh berkenoon'
Contoh
Lengkapkon setiop hujoh yong berikut.
a) Fremis 1 : Jiko sebuah poligon mempunyoi 4 sisi yong samo, moko poligon itu ioloh rombus.
Premis 2 t ..........
Kesimpulon : Poligon Pioloh rombus.
b) Premisl :..........
Premis ? , ybukongondoon4.
Kesimpulon : ybukon gondaon 8.
c) Premis I : Semuo nombor kuoso duo sempurno ioloh integer positif .
Premis 2 : ..........
Kesimpulon : n ioloh integer positif .
Penyelesoion Jika P' maka r''
o) Hujoh bentuk rr I
premis 1 : Jiko sebuoh poligon mempunyoi 4 sisi yong somo, moko poligon itu ioloh rombus.
Premis 2 , 9- Erq-:drness-ung {-flsug.ffiqru- <- F adalah benar'
Kesimpulan : Poligon Pioloh rombus.
-
' adalahbenar.
Kesimpulan positif" menunjukkan hujah bentuk ll.
b) Hujoh bentuk III
Premis 1 , J{ql:Mhj#S:s6E & nse! .reiqhqdrW4- <- Jika #, maka
Premis 2 , y bukan gondoon 4.< ,.:i;, : adalah benar"
Kesimpulon:ybukangandoon8.ffiukanpadalahbenar.
Perkataan "bukan" dalam Premis 2 dan Kesimpulan menunjukkan hujah bentuk lll.
c) Hujoh bentuk f
Premis 1 : Semuo nombor kuoso duo sempurno iolah integer positif .+ SemuaA adalah:'.
Premis2 :ry-telqhngs-part-{uqgql-uq-5€rnpurilq, - cadalah,s.
Kesimpulon : n ioloh integer positif . < cadalah ':r.
Perkataan "semua" dalam Premis 1 menunjukkan hujah bentuk l'
Apokoh kesiltrpon hujoh yong berikut? Cuba betulkan ...
Bab 4: Penaaku/an tlatematik 33
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Deduksi don Aruhon
tD"drl.'il
&eduhpq ioloh proses membuat ke"psrypq!$qp*bpgq kes &hq*sq,p berdasorkon perrygqfulsrystwsstr yang
diberikon.
Contoh
Diberi sudut peluoron sebulah poligon sekato dengan nsisi = 9qt <-- PERNYATAAN UMUM
n
Apokoh kesimpulcn yong dapot dibuct untuk sebuoh pentogon sekoto?
Penyelesoicn
Pentogon sekato mempunyai 5 sisi. Oieh itu, n = 5.
Moka, sudut peluoron sabush pentagon sekoto = 9q0: = 72o +- KESIMPULAN KHUSUS
5
Memondongkan !:i:i{g'ii-q,_151ggj*q1L* yong diberi itu odoloh .E}-i.qfli, mako &r,p;sil11qi"!,iq{r yong dibuat
:r,*+r$".j: ++J:!Fijugo odolah p:3-g1,, don tidok perlu dibuktikon logi.
f A",#il
.S-ryUfuqru iolah proses membuot he,*mg#**..rurum berdosorkon &SS:_kq$*$fuSSSg ycno diberikan.
Contoh
Diberi sotu uruton nombor: 9, 15,23,... yong mengikut polo di bowoh.
9=2(3)*3 )
23=4(5) +3 )
Apakah kesimpulcn yong dopot dibuot bogi uruton nombor itu?
Penyelesoion
Polo bogi uruton nombor rtu boleh ditulis sebogci n{n+ 1) * 3, dengon keodoon fi= ?,3,4,...
A
I
KESIMPULAN UMUM
.iq$j.!g.iFJ-.i-i,+jit_Llgi"Ue-l yong dibuot ,9.,E$=tI::,.,.iitt_iJnrtr::-"tid-{q*":j.i$t:Cif,iii.i._i;i;iit{ keronc kesimpr.rlon itu
dibuot honyo berdosarkon baberopo kes khusus sohoja. Kebenoren kesimpulan itu masih perlu
disokong dengan bukti.
Nyotokan somo ado kesimpulon yang berikut dibuot secoro deduksi otou oruhon.
1. Nombor 1,3,5,... mengikut polo di bowoh. 2. Hosil tomboh nnombor pertomo bogi urutan
1= 1+O(2),3 =1*1(2),5=t*2(?) nombor,4,,8,1?,... iolah 2n(1+ n).
Deduksi dsn Aruhan
Deduksi
Kesimpulant Polo bogi uruton nombor itu Diberi n= 5.
boleh ditulis sebogoi 1* n(2), dengon
keodoan n= 0,1,2,...
Kasimpulon: Hosil tomboh 5 nombor pertoma
bogi uruton nombor di atos ioloh 60.
34 Bab 4: Penaakulan /vlafematik
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

BAB 5: GARIS LURUS
Keceruho6':,6orris: Lurus'dalom' Sistem
Sotu goris lurus boleh dilukis dolom empot kedudukon:
t
Setiop goris lurus di otos mempunyoi kecuromon yong berbeza. Kecuromon ini ditunjukkon dengon
satu no m b o r yong d i nomo kan krygltnqn$@.r q
s_lllryUg.
Rumus bogi Kecerunon Suotu 6oris Lurus
Kec er u nan gor is I u rus i o I oh n|afu, Y't:j erek- sy1_er,q-Gnqqm$,
kepodo &ersh meeg-ufuk goris lurus itu.
^ .iorok menconcong, BC
Kecerunon AB= u
:
jorok mengufuk,AC
6
4
3
=-2
Kecerunan AB
=qcAC
=lan0
Dolom peperiksoon SPM, ando perlu manghitung kecerunon garis lurus berdosorkon koordinot
titik podo goris lurus itu. Koordinat duo titik diperlukon untuk mencori kecerunan goris lurus.
Kecerunan PQ
_ jarak menconcong, Q,Q
jorok mengufuk,PR
=
/z-Yt
Xr-X,
=
/t- Yz
Xr- X,
Diberi titik P(x, y) dan titik Q @2, y).
Kecerunon goris lurus yong melolui titik P dantitik Q =
t*
atuu
f*
Konsep.asos kecerunon gorii lurus, ...
?, B,erapakoh bilangon koordinot titik yong diparlukonuntuk menggunakon rumus kecerunan2
@ Condong ke kanan
I
j/
,/l,/' ,
?//" i
36 Bab 5: 6aris Lurus
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

KecerUnan 6aris Lurus dolom Sistem Koordinot,CqrtesKecerunan Garris Lurus dolom Sistem Koordinot,Cortes:
Menghitung Kecerunon bogi Suotu 6oris Lurus I
Contoh
Hitung kecerunon bogi setiop goris lurus yong berikut.
a)vb)Ys'T 4
L- .)tA a 'e(-1' 6) I
L**-' Q(6' 8) pas,slfl h. ,,LT-+
ol I sG,-z)
Penyelesaion
rrunonR5 =6 - (-Z)
-1 -3
=3 =
B
9-4
=! = -2
3
r.frRH,ql"iAru PERi.{,qTlp,hl
Kecerunan garis lurus yang condong ke arah Kecerunan garis lurus yang condong ke arah
&anaq adalah pgsitif, iqiti adalah rcgalif
Contoh
Hitung kecerunon setiop goris lurus yong berikut.
o)yb)y
t^| ,(-r, ,)l I ,,tnl
ol{r
$tA(-3,-2)
| efs,-21 o1_s, _+;$ I
Penyelesoion
zrunon6S=1-(4)
-3 - (-3)
=
0 =5-tidoktertokrif
-80
:Q
PHi'l!"llqTi,qN FHRI"'!A1'lAh,l
Kecerunan garis lurus E$e_q'l'{qlk adalah Kecerunan garis lurus E qE-qaneantJ adalah
gtlar tide& t rtakrif.
Uji kefohamon onda tentang kecerunon goris lurus ...
1. 6oris lurus PQ melolui titik (2, -,1) don titik (5, 5), Adokoh PQ condong aroh ke konon?
Menghitung Kecerunon bogi Suotu 6oris Lurus
Contoh
Hitung kecerunon bogi setiop goris lurus yong berikut.
a)yb)f
Q(6,8)
P(-3,5
X
ol I sG,-z)
2. Kecerunon goris lurus:yong ffielalui titik (5,-Z) dan titik (O, k) odolah sifar.'Apokoh nilai k?
X
Bab 5: 6aris Lurus 37
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

I (3, 0)
----->x
s
{
pintasan-x = 3
Rumus bagi Kecerunan 6oris Lurus dolom Sebuton Pintoson
Berdosarkcn rojoh di sabeloh
^0kecerunanAB =u-A-a
=ba
_ pintosan-y
gcris lunus
pintoson-x
= -Btrl319t:,r-
pfnt*s** *;r
b)
b) Pintoson-y = -$
Pintoson-x= -2
Kecerunon goris lurus =
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Pengi
Contoh
a) Kecerunan goris lurus yong melolui
LY Rojoh di sebeloh menunjukkon goris lurus l4N yong d ilukis
oloh
b)
(3, 0) *-'N
"c* >x
podo sotoh Cortes. Diberi kecerunon garis lurus tl|N i
2, cari nilai k.
Penyelesaion
o) Keczrunan PQ
8-?
1
?
1
?
-1
=_
b) Kecerunan fuN
k
-;J
k
-)
=l
= 2(-3)
=-$
-2-h
6
-2- h2
12=2+h
h=10
Rojoh di sebeloh menunjukkon goris
rnernintos poksi-y podo titik R. Cari
lurus PQyong
koordinot titik P
Penyelesoion
Titik Rterletok podo poksi-y. Oleh itu, koordinot titik ,Q berbentuk (0, c).
Kecerunon PR= kecerunon PQ
c -1O -5 - 10
o-(-4) 6-(-4)
c-1O -15_=_
4 -1c
c-10=-6
c= 4
Moko, koordinot titik P ioloh (0, 4).
Cabsr kebolehan -ando terhadop penggunoon
rumus kecerunon ...
Dclom r:ojah, dl seb altgl ;, OB -=.,'2 OA,, :,,
:'
:
1.' Ccri pintasan-r!ag[ gsris,1rlrv$:,AB. . . ,.,],- .'
2. Ccri pihtasan.'llbagi goris lurus BC: ,':','.: ',
o
Bab 5: Oaris Lurus 39
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Persatnson 6oris Lurus
Pintasan-y
Garis lurus dengan kecerunan n'l
Sebarang titik pada garis lurus
Persomoon goris lurus: /= ryx+ *
ItKECHRTJfI&N P$NTA$Ah3"Y
Mencori Persomoon 6oris Lurus
Situesi tr : Diberi niloi n don sotu ilfik P (h, k) yong terletok podo garis lurus.
Contoh
Cori persomaon bogi goris lurus AByang malolui titik (6, -2) don mempunyoi kecerunon 3
Penyelesoion
6onti x= 6, y=
-?=3(6)+c
-2=18+
c='2O
-2 don m= 3 dolom y= mx+ ci <-
c
OqAcjXA1C dengan menggantikan nilar m dan
koordinat titik yang diberi dalam y = mx + c.
Mako, persomoon bogi garis lurus ABialah y= 3x-
@Tu.ll* pe,rge$Cqn garis lurus sebagai y = mx + c.
I
20.<-----J
.Sifuasi 3: Diberi duo titik podo goris lurus.
Contoh
Cari persamoon bogi garis lurus yang menyombungkon titik P(6,5) don P(3, -1).
Penyelesoion
Kecerunongarislurus=
u, (.')
=2 =? <- ecerinilai€?denganmenggunakankedua-dua
6 3 3 titik yang diberi.
Gontikon m = 2 don koordinat P(6,5) dolom y = mx + c: <-_-l
5=2(6)+c
5=X2+c
1
L - -t
Moko, persomaan bogi garis lurus PR ialah y= 2x-7. + OTqfieuersamaqngarislurussebagai y=mx+c.
@e-arir:llgl-S dengan rnenggantikan nilai m yang diperoleh daripada langkah 1
dan koordinat mana-mana satu titik yang diberi, dalam y = mx + c.
Berrmulo dorj perrsomoqn, y'; tnx +'c. dopotkan persomoon garis:lurus ...
Diberi''titik A (2',3), titik B (-tr,,5) don titik,C(3, -7).
7.',,eari,persomoon bogi goris lur.us yong melolui titik ,4,dan mempunyai kecerunan 2.
?. Cort p;;ersarncon hogi goris lur.us yang melolui titik &doll tifik d
{--
P(x, y) +-
Kecerunon garis lurus =
y^{
?a1
=
x-0
y-€
X
rrtx= y _ €
fi1x+ c= y
40 Bab 5; 6aris Lurus
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Mencori Persomaon 6oris Lurus yong Selari dengon Poksi Koordinot
Persamoon 6oris Lurus
r...r ::,: Diberi garis lurus yong selori dengon poksi-x. lm = Ol
v
O fcr*etihet pi$!es*rs bagi garis lurus itu.
Ogqjlg$el*"esqfrn garis lurus itu sebagai 9u = e
,:: Diberi goris lurus yang selari dengon poksi-y. [Jongon lupa n tidok tertokrif !]
OFcrltat*eir-p$tagB$-x bagi garis Iurus itu.
@:din pe{s+ryqat garis lurus itu sebagai x = ft
Contoh
Dolom rajoh di bowoh, goris lurus ABadalahselori dengon poksi-xdon goris lurus ,Q5adolah
selari dengon paksi-y. Nyotokon Persamoon bogi setiop goris lurus itu.
o) b)
Penyelesoion
o) Doripodo koordinot- y bogi titik B (?, 9),
pintoson-y bogi goris lurus AB ioloh 9.
Moko, persomoon bagi goris lurus AB
ialah Y= 9"
b) Daripodo koordinal-xbagi titik Pf2, -
pintoson-xbogi goris lurus ,Q5 ioloh -2.
Moko, persomoon bogi goris lurus ,Q5
iolah x= -2.
Berdosorkon pintoson-x otou pintason-y,
tulis persomoon goris lurus berkenson ...
Dolam rojoh di sebeloh, goris lurus ABadolohselari dengan
poksi-xdon goris lurus PQodoloh selori dengon paksi-y-
1. Nyotakon persomoon bogi goris lurus AB.
2. Nyatokon persomoon bogi garis lurus PQ.
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

I
I
l
Apokoh rnoklumqt yang ondo boleh dopot doripodo oyot di bcwoh?
Persomoon suotu goris lurus ialah 2y* 3x= 6.
Ando boleh dopot tigo maklumot penting seperti yong berikut:
Longkoh Susun persomoon dqlam bentuk am, y= mx+ c.
2y+ 3x= 6
2y= -3x + 6 ** Jodikan ysebagai tojuk
3-
Moko, kecerunon bogi goris lurus itu iotoh -|.
Gontiksn )r= 0 dolom persornoon dcn selesqikon untuk mencori niloi x.
2y+ 3x= 6
2(0)+3x=6
3x=6
x=2
Moko, pintoson-xbogi goris lurus itu ioloh 2.
Longkoh : 6ontikon x= 0 dolqm perscmoon don selesaikon untuk mencari niloi y.
2y+3x=6
2y+ 3(O) = $
2Y=6
Y =3
Mako, pintoson-ybogi goris lurus itu ioloh 3.
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Titik persilongen bogi duo goris lurus ioloh titik yong
meryruqskgs hq-dug:duq persqfnqqn goris lurus itu.
Titik persilongon ini dopot ditentukon dengan duo coro:
1. &leluhis grqf -bqgi d-uq geris ti,!ru-s
?.
^Aenvqfes-qikqn
perga&qsn scrgntqk Titik persilangan bagi
garis lurus AB dan PQ
Contoh
Cori koordinat titik Persilongon bogi goris lurus y= 4x+ 11 don 2y- x= I
Penyelesoion
CARA 1_: MeLukiS grqf -begi dus gstii$ lurus
11
X
Daripodo grof di sebeloh,
koordinot titik persilongon
ioloh (-2, 3).
CARA 2 : iigry{Cleg-aihqf pqrsqmqs.n- s*t*tt*t{
/ = 4x + 11 ....'e
2y- x= 8 .....@
Gontikon O dolom parsomoon @:
2(4x+11)-x=8
8x+22- x= 8
7x -- -14
x=-?
6ontikon x= -? dolom persomoon O:
Y =4(-?)*11
=J
Moka, koordinot titik persilongon ioloh C2, 3).
TN6AT
Koordinot titik persilongon
bogi duo goris lurus
memuoskon keduo-duo
persomoon goris lurus itu
serentok.
Kenolposti.P9rsomoon:duogoris.lut'usberkenaondohulu...
1. Dalamrrcjoh,di sebeloh, persomoon garis lurnus AB iolah / = -?x + L?
,' don kecerunon goris lur:us PQioloh 3. Cori koordinot titik f ]
2. Nyotakon koor"d:inot titik per"silongon gor:is lurus x = 3 .don y = -5,
= +x+
x -3 -1
v -1 7
x 0 4
v 4 6
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Dua goris lurus yong mosing-mosing mempunyoi kecerunon mtdan mzodalah selori ji
jiko kedua-duo goris itu mempunyoi heq€&tnqn yqqg-€qas, ioitu tr= tTtz.
Contoh
Goris lurus kx - 2y = 5 odoloh selori dengon garis lurus yang menyombungkon titik (3, 6) don
titik (1, -2). Cori nilai k.
Penyelesoion
6qr-Lg.Lqiu$scrtqns, kx
Kecerunan mr
SAMA
Keduo-duo garis lurus itu odoloh selori . Maka, mt
Contoh
Dalom rojoh di
goris lurus ,Q5.
Garie--l-qru.s he{w: Kecerun on fftz =
6-(-z)
)1J -J.
- 2y=
-2y=
y=
5
-kx+ 5
k5
-x- -22
=k2
= lfiz
--4
:$
k
2
k
sebeloh, goris Iurus
Cari persamoon bogi
AB adolah selori dengan
garis lurus AB.
Penyelesoion
6 .3 { Cari kecerunan bagi garis lurus AB
Gontikon m=-3dankoordinot f(5,4)dolom y=fftX+c. .ggarlzutcggrgbagigarislurus/8.
4=-3(5)+c
4=-15+c
c= 79
Mako, persomoon bogi goris lurus AB ialah y -- -3x + 79. R rrti* persarnaan qaris lurus AB
Postikon,onda menguosai konsep go,ris selat'i' ..'.
1. Tentukon somo odo goris lurus y= 2 - 3xodaloh selori
r,,2. ,'Dolarn rojoh di sebreloh, goris' lurus AB dan PQodoloh:selori. '
'
" '
Persomaon goris lurus AB iolah 3x + 2y = tl.
rQ, 4)
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

BAB 6: STATISTIK
Selang Kelos
SeEmt'rq kedos m * $ mengondungi doto dori iliisr fei"k,,:a;nA ahinggoloh nilmi t*nLresmr' 5.
Misolnyo, doto 3 ,1,2 ,8 ,9 ,5 ,7 ,4 ,3,6 mosing-mosing boleh dimosukkan dolom selang
kelas 1 - 5 don selang kelos 6 - 10 seperti yong berikut:
3 ,1,
Selangkelosl-5 Selongkelos6-10
?,5,4,3
&
9,7
&
_ hod otos selong kelos sebelumnyo + hod bowoh selong kelos itu
2
hod otos selang kelos i
Sc.qia .c+;frsr*rg ken,*s = sempodon otos - sempodon bowoh
'T'rtik'f*nq*h hod bowoh + hod otos
,68,
t**-**-**
: ,$ frc;,".?"I .
.i: 1-ri epe..r
t*'":
= niloi terkecil selong kelos
= niloi terbesar selong kelos
r4e;J hrlm'm[.:
:"idlei Li'l-'Llr;
Ss:rttfisd*m he+;qsFi
$ea'npaderT -rfas
Contoh
Bogi selong kelos 6 - 10, cori
o) hod bowoh don hod otos,
b) sempodon bowoh don sempodon otos,
c) soiz selong kelos,
d) titik tengoh.
Penyelesoion
o) Hod bowoh = 6, hod otos = 10
b) Sempodon bowoh =
5:6
= 5.5
2
Sempodon otos - 1oi 11
= 10.5
2
c) Soiz selong kelos = 10.5 - 5.5 = 5
d) Titik tengoh =
6 -:10
= 8
2
i*ael i;a'nrah iiac *ias
J "'a:,f'" J
5;6 I 10;11
irl
1 ,,,,u Jnn,n
t
di tengah{engah di tengahtengah
5dan6 10dan11
Uji diri ondo ...
Diberi lO - a dan b- 29 odoloh duo selong kelos berturuton yong somo soiz.
Apokoh niloi a don niloi b ?
46 Bab 6: Sfatistik
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Joduol Kekeropon
1. Kekerapsn ioloh bilangen dqtq dolom sesuotu selong kelos.
2. Joduol yong menunjukkon sotu set selang kelos bersomo kekeropon mosing-mosing dinomokon
jaduol kekeropon. Adoloh menjodi omolon yang boik joduol kekeropon dibino dengan
o) memboco setaqp doto sekoli sohojo,
b) marekqd setiop doto dengon sotu tartdq_Eu4dgl_sn,
c) menyemek somo oda "iunrlah kekerapon somo dengon jurnlqh bilqngon dotq.
3. Untuk mencsri saiz selong kelos yong sesuoi bogi sekumpulon doto, gunokon rumus berikut.
Ssiz selong keics =
Contoh
Rojoh di bowoh menunjukkon morkoh merit yong diperoleh ?4 orong murid bogi bulon Mei.
I
124 29 32 21 37 39 28 31 37 35 20 41 I
I
132 ?7 33 ?8 34 36 25 44 30 31 26 30 I
t---'l
Berdosorkon doto dolom rojoh di otos, bino sotu joduol kekeropon dengon menggunokon selong
kelos yong somo soiz dan bermula dengon selong kelos 20 - ?4.
Penyelesoion
; Selong kelos Gundolon I Kekeropon I
l zo-z+ , ttt l, s
25-2s I Y+rl I 6 I
I so-s+ | t+rttt I a I
Jumloh | 24
Contoh
Rojohdisebelohmenunjukkonskoryongdiperoleh
| "" bv rv
;; ;; ; I SO orong murid dolom sotu pertondingon melukis.
r?? 41 ?? 38 40 5C
| "" 'ir eL
;; ;; ;; I Berdosorkon doto dolom rojoh di sebeloh, bino sotuta) ^a a2 36 34 49
I l: '.: :: ;; ".= ;; | .ioduol kekeropon dengon manggunokon 6 selong kelos
I 34 47 48 44 37 40 | 'r----'
I n n E) .o E{ )o E^ I yong Somo Sotz.
i ., ::. ''
.1:1. . I :,ii.,
dolc
r set
jodi
rli so
,n so'
r kel
rs yo
Bi
<oh n
3
3
etos,
24
32
29
27
32
33
21
28
37
34
39
36
28
25
31
44
37
30
35
31
20 41
26 30
30 26 46 41 37 30
33 41 32 38 40 50
42 54 43 36 34 49
34 47 48 44 37 40
44 53 28 51 38 50
Penyelesoion
Doto terkecil = 26
Doto terbesar = 54
Bilongon selong kelos = $
Soiz selong kelos =
54 -26
Selonq kelas Kekeropon
?6-30 4
31 35 4
36-40 7
41 45 6
46-50 6
51-55 3
Jumloh 30
-F
ALTERNATIF
Selang kelas yang berikut
boleh juga digunakan:
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
Selono kelos 6undolon Kekeropon
20-24 ill 3
25-29 WI 6
30-34 )++r |t 8
35-s9 M 5
40-44 il 2
Jumloh 24
Bab 6: Statistik 47
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Min bogi Dota Terkumpul
;:j:ai::,:i,": bagi doto terkumpul =
1
Dinyatakan sebagai iii,l. :ri::,riil;-iii kerana data yang
digunakan untuk menghitung min bukanlah data mentah tetapi
::.ir':,:: t;;::l:rt.:::i:ri, ll,-:: :i:irl'l'; j;I dalam beberapa selang kelas.
Contoh
Tinqqi (cm) Kekeropan
145 - 149 4
150 154 7
155 - 159 10
160 - t64 6
165 - 169 5
Joduoi di sebeloh menunjukkan tinggi, dolom cm, bogi
3? orang murid. Hitung min onggaron bogi tinggi murid-
murid itu.
Penyelesaion
Min onggaron bogi tinggi murid =
U::'
JL
= 757.16 cm +-- Jawapan lazimnya ditulis betui sehingga
2 tempat perpuluhan atau 4 angka bererti.
Postikon ondo mencqri titik tengoh bogi setiop
1. Joduol di sebeloh menunjukkon toburon skor
yong diperoleh sekumpulon peserfo kuiz.
Hitung min onggoron bogi taburon skor itu.
2. Jumloh bagi 20 nombor ialah 278.
o) Hitung min bogi 20 nombor itu.
dohulu ...
Skor 0-4 5-9 LO-14 t5-19
Kekeropon 3 4 7 6
b) Jiko 20 nombor itu dikumpulkon dolom joduol kekeropon dengan saiz selang kelos 4 don
jumloh fx ialah 274, hitung min onggoron bagi 20 nombor itu.
c) iiko 20 nombor itu dikumpulkon dolom joduol kekeropon dengon saiz selong kelos 5 don
jumlah fxialoh 285, hitung min onggoron bagi 20 nombor itu'
d) Antaro b) don c), min onggoron yong monokoh lebih jitu?
Kekeropan x Titik tengah,
fx
145 - 149
150 - 154
155 - 159
rca-rc4
165 - 1.69
Jumloh
selong kelos
Bab 6: Statistik 49
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Histogrom
1. 11.i,gtq*gg.m ioloh sotu perwakilan secoro grof untuk data dolom jel;{Ug.l-*g,kq-fS-Wf?, dengan
menggunakon ilS3S&S unfuk mewokili kekeropan bogi setiop selang kelos.
?. .!a k:_rerugtmg gnq suotu h istog rom d i tondo kon dengon &eh.g-f ,q.p,g1.
3. Fe.ry-Cj_ry.'r ,ry#rt:-U.k biosonyo ditondokon dengon ,ge.ryq:qdef_Selqg untuk doto terkumpul.
Contoh
Bil elektrik (Rl ) Kekeropon
50-54 5
55-59 6
60-64 8
65-69 4
70 74 3
75-79 ?
Jaduol kekeropon di sebelah menunjukkon bil
elektrik bogi 28 keluorgo.
Dengon menggunokon skolo ? cm kepado RM5
podo paksi mengufuk dan ? cm kepodo 1 keluarga
podo poksi menconcong, lukis sotu histogrom bogi
doto itu.
I
7
6
'1
tit {a.li+g*b,etuape n
p4$-!i-qe-{s i- til I !j !_.it$ns#,
bermula dengan sifar dan
seterusnya mengikut skala
yang diberikan.
5.
.-+
@u.rr*js-l*luscjqi{s
&awsp,{ep_qc}e.qg
i6**--*--**.-.. kqj,4l dengan tinggi
palang sama
dengan kekerapan
4
3
?
1
0
selang kelas.
49.5 54.5 59.5 64.5 69.5 74.5 79.5
Bil elektrik
(RM)
@ m*grh*sercp-a&s-keiseeadaseLsractsssri k,
bermula dengan sempadan bawah selang kelas pertama
dan seterusnya mengikut skala yang diberikan.
Penyelesoion
Bil elektrik (RM) Kekeraoon Sempodon bowoh Sempodon otas
50-54 5 49.5 54.5
55-59 6 54.5 59.5
60-64 8 59.5 64.5
65-69 4 64.5 69.5
70-74 3 69.5 74.5
75-79 2 74.5 79.5
Kekeropan
50 Bab 6: Statistik
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5
=2+5+8+72+6+4+3
=40
Min onggoron bogi morkoh Fizik
_ 2570
40
= 64.25
Markoh :,KekeroDo;,f .Titik,,'tengah, x fx
s0-39 2 34.5 69
40-49 5 44.5 222.5
50-59 8 54.5 436
60-69 1? 64.5 774
70-79 6 74.5 447
80-89 4 84.5 338
90-99 3 94.5 283.5
Jumloh 40 2 570
Bab 6: Statistik 51
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

1. Pqligen kqkerspan jugo merupakon sotu perwokilon secoro grof untuk doto dolom jodual
kekercpqn.
2. Poks! rrreneelEqsg suotu poligon kekeropon ditondokon dengan keeefepqE.
3. Pe_ksi ruetlEuful( ditondokon dengon titj& tengch bogi setiop selong kelos.
Contoh
Bil elektrik (RM) Kekeropon
50-54 E
55-59 6
60-64 8
65 69 4
70-74 3
75-79 I
Jodual kekeropon di sebelah menunjukkan bil
elektrik bagi ?8 keluorga.
Dengon menggunokon skolo 2 cm kepoda RM5
podo poksi mengufuk dan 2 cm kepodo 1 keluorga
podo poksi menconcong, lukis sotu poligon
kekeropon bogi doto itu.
UJ Tarnbahkan satu keias
dengatkqkercpan 0
sebelum kelas pertama dan
selepas kelas terakhir.
@Tandakan kekereBa.rl
pqda .paksl.$lercarqailq,
bermula dengan sifar dan
seterusnya mengikut skala
yang dJberikan.
@ *,*, semua titik
dan sambungkan
setiap titik dengan
garis lurus.
52 *7 5r t 6? '72 ?7 82.
Bil aic.kfrik
{ftx*}
//i
(ilTandakan titik tenga-h pada paksi menqufut, bermula dengan titik tengah kelas
Penyelesoion
Bil elektrik (Rll )
Kekercpcn
6
7
€
4
2
3
il
pertama yang kekerapannya 0 dan seterusnya mengikut skala yang diberikan.
52 Bab 6: Sfatistik
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

c)
d)
$A*sa {ssat}
LO+15+18+72+1O+7
_ 1278
7?
= 17.75 saat
c) Bilongon murid yong mencatot moso kurong doripodo 18.5 saot
=10+15+18
=43
d) Bilongon murid yong mencotot moso lebih doripado 21.5 soot
=1O+7
= Il
Bab 6: Statistik 53
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Kekeropon Longgokan
t: l:r-,f," ..,t::t.tl' I r,iilil'jr" i. )1
jumloh kekeropon
: bogi suotu selang kelos ioloh ;t'i'ii . dengon
Tiada kekerapan sebelumnya
Jumlah kekerapan
2. Jodi, doripodo kekerapon kepodo kekeropon longgokon, kito lokukan operosi penombohon.
Seboliknyo, doripado kekeropon longgokon kepodo kekeropon, kito lokukan operosi songsong
penombohon, iaitu penolakon.
Contoh
Lengkopkon lojur kekerapan dolom joduol di bowoh.
Selonq kelos Kekeropon longgokon Kekeropon
6-10 2
Lt- 15 8
16-20 15
?1- ?5 ?0
26-30 ?4
31 - 35 25
Penyelesoion
Selonq kelos Kekeropon longgokon Kekeropon
6-10 2 2
11 15 8 8-2=6
16-?O 15 15-8=7
21-25 20 20-15=5
26-30 24 24-20=4
31-35 25 25-24=1
Ando horus jelos dengon koiton ontoro kekerapon dengon kekeropon longgokon ...
Joduol di bowoh menunjukkon kekeropon don kekeropon longgokon suotu toburon morkoh.
Morkoh 0-2 3-5 6-8 9-11 12-14
Kekeropan 3 5 b 6 d
Kekerapon longgokan 3 a 10 c ?0
Cori niloi a, b, c don d.
7+1,=35
5+1$=ff*
4+fi*=*4
1+34=25
54 Bab 6: Stafistik
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

ogif
1. ogif ioloh sotu perwokilon secora graf untuk doto dolom i=!ldl+g lgg$q,Jpl,trtL.:,,, , r
?. P.qtrg!"-ffi_qg5g.g3qry suotu ogif ditondokon dengon k€ryrlqpg,S _r_qq!]g$-@g!.
3. E=fkp:_ mCft#dUS d itondakon dengon,g€{t6ig,qgt11r.ru bog i setiop selang kelos.
Contoh
J:1Tl.n:neropondisebelohmenunjukkonbil
elektrik bagi ?8 keluorgo.
Dengon menggunakan skolo 2 cmkepado RM5 pado
I 55 - 59 7 l --"r-" "'-
Epoksimengufukdon2cmkepado5keluorgopodoI oo-o+
poksi menconcong, lukis sotu ogif bagi doto itu.
| 65-6e | 5
| 70-74 | 2 r
Penyelesoion
Q)Suoiut.n jadual dengan lajur Eempadarr atas dan lajur kqkerapan longgokan.
tB,
o l**-
i 50-54 t 54.5 | 4 | 0+4=4 t 6)-.
t,+=n 1 _jln_j"f,
I OO-O+ , Oq.S I g I g*tt=zo q-q;ea"-
I os-os i 69.o I s i s+zo=zb .11,ri:,,:g41i!
sebelum kelas
t
-
t yv'(u,"q.
I 75-79 I 79.5 I I I 1+27=:**-*,
Kekeropon longgokon Mesti sama dengan iumlah bilangan data'
A
,o 1 Ou,*, &etq,;p*r
n I .x-
-' qeq:1pq$er*Sj$s danazl i
@ ranceran kekeranan I sambung semua titik yang
pn I * diplotkan dengan satu
,onqfiokaniEda :-"_i tengkung yuni ti.in.
Paksimcnqancanq
---"--'-+lOermufa Oengan sfar 15
+
dan seterusnya I
mengikut skaia yang to + '
diberikan. i
5l
I ."
Bil elektrik
4s,5 54.5 59.5 64.5 6s.5T74.5 79.3 (RM)
I
I
@Tanda&an sempadan atas pada paksi rnengu{uk bermula dengan sempadan atas bagi kelas
pertama yang kekerapan longgokannya sifar dan seterusnya mengikut skala yang diberikan.
Bil elektrik (RM) Kekeropqn
50-54 4
55-59 7
60-64 9
65 69 5
70-74 2
75 79 1
Bil elektrik G,l ) Semoodon otos Kekeropon Kekeropon longgokon
45-49 49.5 0
50-54 54.5 4 0+4=4
55-59 59.5 7 7+4=11
60-64 64.5 9 9+71=20
65-69 69.5 5 5+20=25
70-74 74.5 2 2+25=?7
75-79 79.5 1 1+27 =lb +-
Bab 6: Statistik 55
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Ogif di bowah menunjukkan kutipon derma oleh murid-murid tingkoton 4 di sebuoh sekolah.
K*kerapn lcnggokon
xe0
r$*
80
6*
40
eo
s Derrna
{Rie}es.5 30.$ 4s-s &"5 60"5 70.5 e*.S $0.S
Berdosorkon ogif itu, jowab soolon yong berikut.
a) Kutipon derrno oleh7O orong murid tingkoton 4 itu odaloh kurong doripado RMx
Cori niloi x.
b) Cori bilongon murid yong teloh mengutip sekurong-kurongnyo RM65.50.
Penyelesoion
Kekercpfift lottgg*kon
.t
.:i t'
'J'' :
i- I
;, :.:tt: I
:
_tfl
-r::i:::i l .F ;
;WF: :-: Jl:
l
/
:ii:,::"ij ,{:
ti
t,,,J;; :lr:i: l
,ff,1i t-:t :a a
ai:
:i 1,.:
t:1: :j:5:-:
t:r.l,r:
:a::lnt:-::j
'..ir;':::t:2
r:::i::l l. i,i:#
:# t i:l:t:rr;
i;;
l
'E:".,:' ;l
# :: r:: I 1::.::.)
;i-1,1:,5$
i1:
ir::
t:li
,:1;
;l;; :iri; :4Jl i r.l
aCI.$ 3t-5 4C.5 5S.S *O.$ 7S.5 SC.S rc.S
&*rau
{R}A}
1A$
rffi
&*
60
o) Doripodo ogif ,70 orong murid teloh mengutip derma kurong doripodo RM55.50.
Moka, niloi x= 55.50
Doripodo ogtf ,1O2 orqng murid telah mengutip dermo kurong daripodo RM65.50.
Jumloh murid = 7?O
Maka, bilangon murid yqng teloh mengutiP sekurong-kurongnyo R1165.50 : LZO - 1O2
=19
b)
56 Bab 6: Statistik
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Ponjong (m) 25 -29 30-34 35 39 40-44 45 49 50-54
Kekeropan 12 9 8 5 4 2
Bab 6: Statistik 57
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

L
Sukoton S"ra*on"l'
Contoh
Osif di bowoh menunjukkon toburon jisim bogi 60 orong mohosiswo
Kekeropon Ionggokcn
60
40
30
?n
t0
0
IJ
,l
I
/
505 555
Berdssorkon ogif di otos, cori
o) julot ontaro kuortil,
b) medion.
Penyelesoion
60 5 65.5 7CI"5 75.5 8S'5 85 5
Jisir:
(ks)
1,60=30
2
l'60=15
4
Jisim
iks)
o) Julot ontoro kuortil = 7O5 - 62 = 8'5 k9
b) Medion = 67 kg
Kuortir ketigo don jurat ontoro kuortir bogi suotu toburon dqto masing.mosing iolah:80.5 don 18'3,
Cori kuortil pertomo bagi toburan doto itu'
55.5 6*.5 65.5 ?*-5 75-5 80.5 85'5
58 Bab 6: Statistik
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

BAB 7: KEBARANGKALIAN I
Ruong Sompel
:
/a -
{rtt +l t-.1 fl F.-l t-| Fil [-l ,+l r,usuaono,iyone ,
s-_uzl7 v.'-r; il-ll.ll-.1 l..l l.-.i laai ',-,munekin
..-:-=v i 1 z 3 4 5-?j i:-t1,-11,-1,?,9.1*J
Melombung * __ * _ __." ._-"*;'
sebiji dodu
1. Proses $relskukqn sesuotu gktrVitl don &emqnhptjkq$ ke-sUdehen yong berlaku disebut sotu
U"i; kqjf Melombung sebiji dodu don memerhotikon kesudohonnya ioloh satu contoh uji kaji.
?. Set bogi suotu uji koji disebut r-Esr$ Sqq{,rpgl. Oleh itu,
ruong sompel bogi uji koji di otos ioloh sotu set, 5 = {7, 2, 3, 4,5, 6}.
3. Dolom uji koji itu, nombor "7" tidok mungkin berloku. Oleh itu, "7" disebut keqgdgbqli-yglg
tidqk rrlunshin.
Contoh
Tulis ruong sompel, 5,bogi setiop uji koji yong berikut.
o) Sotu huruf dipilih dori sebuohbeg yong mengondungi huruf R, A, J, I, N.
b) Sebiji bolo dipilih dori sebuohbegyongmengondungi 3 biii bolo biru danZ biji bolo maroh.
c) 2 keping duit syiling 10 sen dilambung.
Penyelesoion
o) Sat kesudahon yong mungkin = { R, A, J, I, N}.
Moko, ruong sompel , 5,bogi uji kaji memillih sotu huruf
={R,A,J,f,N}
b) 3 biji bolo biru itu boleh dilobel .:boq:i
, ifl,i*AT:waraupun bora-bora itu mempunyai
81,82, 83, don 2 biji bolo meroh itu dilobel *u,.nryungsama,setiapbotaadatah
sabagoi M1, M2. berlainan. Oleh itu, setiap bola perlu dilabel
Moko, ruong sompel, S,bagi uji koji memilih untukmembezakannya'
sebiji bolo = {81, B?,83, M1, M2}.
c)
' Oleh sebab uji kaji ini melibatkan pemerhatian kepada - .:t:.^^. -:r:,. :-
kejadian dua benda, kaedah graf boleh *.rornil--- Syiling 2 ritik ini menunjukkan
menyenaraikan semua kesudihan yang mungkin.
,A I_*r.
syiling 1: 10 , syiling 2: 10
(9r l --r mewakili
Doripodo grof di sebeloh, didopoti ruong I I @ muta sambar
sompel,S, bogi uji koji ini @{-.+ /;1 mewakiti
={@@@@ @@,@@} -@ @ svirine1 ue mukalosen
Uji diri onda ...
1. Dolom uji koji Contoh o),,adokoh huruf "K" sotu kesudohon yonq mungkin?
?. Dolqm uji koji Contoh b), adakoh bolo "hijou" sotu kesudohon yong mungkin?
3. Dqlam uji kaji Contoh c), adokoh " (a @ @" sotu kesudohan yong mungkinZ
60 Bab 7: Kebarangkalian f
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

iiiong'Sa*p,,qi-..t"t-t,'ir-" ."' -t'trrtti,'-t.. ,-''l.r-rll ',-,-l'-,,
. ,,. : :,:.:
i.'
Confoh
Tulis ruong sompel, S,bagi setiop uji koji yong berikut.
o) 2 biji bola dicobut serentok dori sebuohbeg yong mengondungi 2 biji bolo hijou don 2 biji
bolo meroh.
b) Sebiji dodu don sekeping duit sekeping duit syiling dilombung.
Penyelesaion
o) Kesan mencabut 2 biji bola serentak adalah seiara
dengan mencabut sebiji demi sebiji bola dari beq yanq
sama tanpa mengembitikan bola yang dicabut."Oieh ltu, Cobuton 2 litik ini menunjukkan
(H1,Hl), (H2,H2),(M1,M1), (M2, M2)adalah kesudahan Lcabutan 1:M2, cabutan 2:M2
yang tidak munskin Mrl-i--1--( [:1j['f,i;]li:HHl,-,
Doripadografdisebeloh,didopotiruon9M1#samatidakbolehdicabut'^l I I I serentak.
sompel, S,bagi uji koji ini H2|-l_-[_*|
= {(H1,H?),(Hl, M1), (H1, M2),(H?,H1), I I I I
(H?, M1), (H2, M2), (M1, H1), (M1, H2), 1-11
I { *-----5+ cobuton 1
H1 H2 Ml M2
(M1, M2), (M2,HL), (M?,H2), (M2, M1))
b) Doripodo graf di sebelah, didopoti ruong
sompel, S,bagi uji koji ini t
,t:, - 6D
={(t,lq),(1,(9),(?,16)),(2,Q9), pvT I T T I T
G,@),(3,@),e,@),(4,@), F(al I I I I tr'-</r
z 3 4 b 6
(5,@), (5,@ ), (6,@1, 10, @)) Dodu
Ruong Sompe!
r
INGATI Kesudahan (l4.ll sebenarnya sama dengan kesudahan (1,tO )kerana dadu dan syiling dilambung serentak.
Maka. sama ada kejadian kepada syiling atau dadu disebut dahulu tidak menjadi hal.
Contoh
Beg Pmengondungi empot huruf , W, X, Y danZ.
Beg Q mengondungi tigo huruf , A, B don C. Sotu
huruf mosing-masing dipilih dari beg Pdanbeg Q.
o) Lengkopkon joduol di sebeloh dengan
menyenoroikon semuo kesudohon yong mungkin.
b) Tulis ruong sompel bogi uji koji ini.
Beg P
W X v Z
g
gr
q)
dT
A (W, A) (y, A)
B (W, B)
C (w, c) (2, c)
o)
Penyelesoion
Beq P
W X v Z
g
O)
o)
dI
A (W, A) (y, A)
B (W, B) /'r: A , r,--.. a,r, ,
c (w, c) (2, c)
Doripodo joduol di sebeloh, ruong sompel, 5,
= {(W, A), (X, A), (Y , A), (2, A),
(w, B), (x, B), (v, B), (z,B),
(w, c1, (x, c), (Y , c), (2, c)l
b)
H1 H2 Ml M2
123456
Bab 7; Kebarangkalian f 61
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

f"""s_1|,sf?*,diryffg,i-t , s,yansunsur_unsu rnyamemeHuhi syoro_::iiE-:, _t t_, !y s,,Jqr urrrur ilyu rngrnenunl SyOfOt_SyOfOt
tertentu disebut pefistiwa.
Misolnyo,
Melombuns j-.,m
sebijidodu I l = {l.z 3.4 5 6t l "'.' i, _'l-' "' i,-,
ya memenuh i syorot-syorot
-
= peristirnvo rnendapot sati.l
nombor genjil
m_etngkin.
tg. Moko, peristiwo I disebu.
l yong berikut don tentukon
Titik ini menunjukkan
dadu 1:4,dadu2:6.
'-V /-,rH.-t' x. ,Y PETUNJUK
#t#
,{ X Lt')n
'vt-t v'4 A I Oa-# -/
-J' L,
+.1 i >c{ I *
|++-.*Dodul
'ong mungkin.
ng tidok mungkin.
<ut ioloh perisitwo yong
yong sotu looi".
4 = peristirnvo rnendapot satl,
nombor genjil
RuonE sompel, g,
= {1,2,3,4,5,6}
A -- {1,3,5}
Ac:5
A bukan sotu set kosong. Moko, peristiwo A disebut pgretiggJqng ,IgJEgkjS.
Jiko I = {nombor yong lebih doripodo 6}, moko g = { [tou set kosong. Moko, peristiwo g disebut
Aeristiwe yeng fidck mungki$.
Contoh
Duo biji dodu dilombung' Senoroikon kesudahon bogi setiop peristiwo yongberikrt don tentukonsomo odo peristiwo itu odoloh mungkin otou fidok.
a) A = Kedua-duo dodu menunjukkon nombor yong somo.
6) B = Keduo-duo dodu menunjukkon nombor gonj-il
c) C= Duo dodu itu memberikon hosil tomboh 6.
d) D = Duo dodu itu memberikon hosir tomboh rabih dorip ada rz.
PenYelesoian
Dodu 2 Ji[,i ?:x:Xf]ii:Graf di sebelah menunjukkan ruang sampel bagi f ,.
ujikajimetambung dua bijidadu. ,l ._"/
o)e=t(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}ffiPETUNJUK
oteh sebab A bukan ser kosong, moko X Y ,{ Y I l} o
peristiwo A ialah peristiwo yong mungkin. "M X "
b)B=tlr,'l;,8,'l;'bll;l''"'(3'3)'(s,5),
ffi S'
Oleh sebob E bukon set kosong, moko. Dodu 1
peristiwo B ialoh peristiwo yong mungkin.

c) c = {(1, 5), (? , 4), (3 , 3), (4 , z), (5 , t)}
oleh sebab c bukanset kosong, moko peristiwo cialahperistiwo yong mungkin.
d) D = { } kerono tiodo kesudohon yang memenuhi syorat yong diberi.
oleh sebob D ioloh set kosong, moko peristiwo Dioloh peristiwayong tidok mungkin.
Uji kefohaman ondo terhadop konsep peristiwa ...
Berdosor:kon ujf kaji dolom contoh.di otos, adokah peristiwo yong berikut iqlch perisitmungkin? ,
' ' I'Nombor
podo satu dodu ialoh kuoso duo nombor podo dodu yong sotu logi,,.
62 Bab 7; Kebarangka/ian f
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Peristiwg....'.....]....i'....l
contoh
El tr-l ir [-] lilll'l
Rojoh di otos menunjukkon kod-kod yong odo di dolom sebuoh kotok. Bob mencobut duo keping
kod dari kotok itu, dengon coro sotu par sotu tonpo mengembalikonnyo ke dolom kotok.
o) Adokah peristiwo mendopot "duo keping kod yong somo huruf " ioloh kesudohon yong mungkin?
Terongkon.
b) Lengkopkon semuo kesudohon bogi ruong
sompelnyo dolom jaduol di sebeloh.
- i Cobuton 1
c) Senoroikon semuo kesudohan bogi
oeristiwo Bob mendooot ] 5 I (O, 5) (P, 5) (A, 5) |
il duo keping kod berhuruf konsonon, : , o)
ii) duo keping kod berhuruf vokol, E (N, P)
iii) sekeping kod berhuruf konsonon don li mre
sekeping kod berhuruf vokol. l
"
Penyelesaion
o) Peristiwo mendopot "duo keping kod yong somo huruf " odoloh kesudohan yong tidok mungkin.
Oleh sebob kod cobuton 1 tidok dikembolikan ke dolom kotok sebelum cobuton 2 dilokukon,
kod yang somo huruf tidok mungkin dicobut dolom cobuton 2.
b)
C"brt* 1
-
ffi A--T-N]
I lsl lro,sllrp,sllrn,sl ] | tsetX
t:
lg f-"setY
g _T(N
^)_l l set z
Nl(s,N)l I i
c) i) SetX= {duo keping kod berhuruf konsonon}
Jodi, peristiwo Bob mendopot dua keping kod berhuruf konsonon
= {(5,P), (s, N), (P, s), (P, N), (N, s), (N, P)}
ii) Set y= {duo keping kod berhuruf vokol}
Jodi, peristiwo Bob mendopot duo keping kod berhunuf vokol
= {(o,A), (A, O)}
iii) Set 7= {sekeping kad berhuruf konsonon don sekeping kod berhuruf vokol}
Jodi, peristiwo Bob mendapot sekeping kod berhuruf konsonon don sekeping kod berhuruf
vokol = i(5, O), (5, A), (O, 5), (O, P), (O, N), (P, O),
(P, A), (A, s), (A,?), (A, N), (N, O), (N, A))
Dolam Contoh dj ofos, jiko Bob mencqbut dua keping kcd secaro serentck, kesonnya adoloh,scmq.l
Sebenornyo, mencqbut duo keping kod secorq serentak odalah samo dangan mencobut kad sotu
p-er sotu, tonpo mengembolikan kad yang teloh. dicobut dalom csbuton 1.
: l
Peristiwo :' . ,
'" '
i '.' , l l
Cobuton 1
5 o P A N
N
g
o
-o(,
U
5 (o, s) (P, S) (A, s)
o (5, O) (P, o) (N, o)
P (s, P) (A, P) (N, P)
A (o, A) (N, A)
N (s, N)
Cobutan 1
5 o P A N
N
(,
J
oo(.)
5 (o, s) (P, s) (A, s)
o (s, o) (P, O) (N, o)
P (s, P) (A, P) (N, P)
A (o, A) (N, A)
N (s, N)
Bab 7. Kebarangkalian .r 63
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Keborongkolion Suotu Peristiwa
Apobilo suatu uji koji dilokukon dengan hqi&,3ry,e_-be.en_yq*x_q c up__h€ , nisboh bilongon koli
suotu peristiwo berloku kepodo jumloh bilongon cuboon itu merupokon ete&qfgeghg9iqglsjlry't
itu berlaku.
, ! #i,r.,;'r*rur* agri meillsi-iuqrg itqJ hgr"j"..qHu ,
. d"eLrmnmrtgkmefrmrl surfrul pe*istlrys r ;,.'" "'Y E- .
#iia*gmr, *Isbmam vffiffig *{.$$qLdffi hqesec*tt-".=-"."-----
"......".,,..,..r
Kotoloh sekeping duit syiling dilombung sebonyak 100 koli (otou 100 cuboon) don peristiwo "muko
gombor" muncul ioloh 53 koli.
Moko, keborongkolion bogi peristiwo "muko gombor" muncul dolom uji koji itu = fl100
Contoh
Zulkifli melokukon satu uji koji melombung sebiji dodu sebonyok 600 koli. Keputuson yong
didopotinyo ditunjukkon dolom joduol di bowoh.
I
Bilongon koli muncul | 102 | 100 | 99 100 98 101 |
Cari kebarongkolion bogi setiop peristiwo yong berikut:
o) Nombor 2 muncul
b) Nombor gonjil muncul
c) Nombor 5 otou 6 muncul
d) Nombor negotif muncul
Penyelesaion
a) Keborongkolion peristiwo "nombor 2" muncrt = * = 1 !t9! 9en,an
bilangan cubaan bagiuji
L rrtur
''*' - 600
- 6 kaii ini adalah cukup besar, maka
kebarangkalian bagi suatu peristiwa
b) Bilongon koli peristiwo "nombor gonjil" muncul = 10?+99 +98 =
Bilangankqllpertslwqttylglatu
= 299 Bilangancubaanyangcukupbesar
Moko, keborongkalion peristiwo "nombor gonjil" muncul = *600
c) Bilongon koli peristiwo "nombor 5 otou 6" muncul = 98 + i01
= 199
Moko, kebarongkolion peristiwo "nombor 5 otou 6" muncul = #
d) Bilangon koli peristiwo "nombor negatif" muncul = 0
Moko, keborongkolion peristiwo "nomb or negatif" muncul =
# = O
Noto tombahon ...
1. Adoloh terbukti secoro statistik bohowo bilangon cuboon yang f€&th$qrryq$n S$&sii boleh
dionggopsebogoibilongcncuboanyong.cukr.rp.bescr'
?. Niloirbogi keborongkolion sesuotu peristiwo adoloh ontoro 0 don 1.
JikosuotuperistiwotlM,.mokokeborcngkolianper.istiwoituiolah*.
Jika suotu peristiwo'pesti_be'r{qlgqr. moko keborongkolion perisfiwa itu iolah 1.
Nombor i 2 3 4 5 6
Bilonoon koli muncul 102 100 99 100 98 101
64 Bab 7: Kebarangkalian f
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Kebornangkolion Suotu Peristiwo
Contoh
Jaduol di bowoh menunjukkon keputuson dolom satu koji selidik yong dijolonkon di sebuoh
sekoloh tentong coro muridnyo pergi ka sekoloh.
Coro ke sekoloh Jolan koki Basikol Bos Kereta
Bilongon murid 240 150 376 304
Jiko seorang murid dipilih secoro rowok doripado sekoloh itu, cori keborongkolion bohowo
o) murid itu pergi ke sekoloh dengon menoiki bosikol,
b) murid itu pergi ke sekoloh dengan menoiki bos,
c) murid itu pergi ke sekoloh dengon berjolon koki otou menoiki kereta.
Penyelesoion
Jumloh murid yong terlibot dolom kojion ini = 240 + 160 + 376 + 304
= 1 O8O .e Jumiah murid = Bilangan cubaan
o) Bilongon koli peristiwo "murid pergike sekoloh dengan menoiki bosikol" berloku = 760
Moko, keborongkolion peristiwo "murid pergi ke sekoloh dengan menoiki bosikol" berloku
160
1 080
=427
b) Bilongon koli peristiwo "muri d pergi ke sekoloh dengan menoiki bos" berloku = 376
Moko, keborongkolion peristiwo "murid pergi ke sekoloh dengan menoiki bos" berloku
376
1 080
=47135
c) Bilongan koli peristiwo "murid pergi ke sekoloh dengan berjolon koki otou menoiki ke?eta"
berloku=24O+304
= 544
Moko, keborongkolion peristiwa "murid pergi ke sekoloh dengon berjolon koki atou menoiki
kereta" berloku =
5!!-
1 080
=68135
Uji diri onda ...
1. Berdosarkan Contoh di otos, cori keborongkolion bohowo
o)' seorang murid pergii ke sekolsh dengon menoiki komuter,
b) seorong murid pergikesekolah denganberjolon koki otou menoiki basikal otau menaiki bos
atou dengon menoiki kereta.
2. Apokoh moksud "keborongkolion suotu peristiwo isloh sifor"?
3. Bolehkoh keborangkolion suotu peristiwo lebih besor doripodo 1?
Bab 7: Kebarangkalian,f 65
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Mosalah Melibotkon Kebarsngkalion
Dolom permoinon menembok sotu sosoron, odoloh diketohui keborongkolion tembokon Ray
:@.i$a$ ron ic
lah fr I L" uia:n9i;*ura@nvok 400 .. u""" a g1;*i* .infi_
Kito sudoh ketohui, kaborongkolion suotu peristiwo - bilongon ksli Peristiwo ifu berloku
"
' bilongon cuboon yong cukup besor
"
Hol ini bermokna:
[ *- t?:::lgl* r::ix" 1t:_: ?'5:T: ::?::: ::1r i::::-y:lq" lii*"l:l "j
Dolom mosoloh di atos, keborongkolion peristiwo "tembokon Roy keno podo sosoron" = I25
Bilangon cuboon yong dijolonkon = 400
Moko, bilongon koli dijongkokon peristiwa "tembokon Roy keno podo sasor on" =
*x 4OO = 128
Coir'toh
Lee melambung sekeping duit syiling. Keputuson yang diperolehnyo dicototkon seperti joduol di
bowoh.
I Btlqngon koli berloku I eso I ezO I
o) Cari keborongkalianLee mendopot muko Gombor.
b) Jiko dio melombung duit syiling itu sebonyok 750 koli, cori bilongon koli dijongkokon dio okon
mendopot muko 6ombor.
Penyelesoian
o) Bilangon cuboan yang dilokukon = 280 + 32O = 600
Bilongon koli peristiwa"Lee mendopot muko 6ombor" berloku = 280
l ltittlt|l',f i:r,:ll;l
'.1:if :'tr :i.l lr:.tr,:.if ttitr
Bilongon kali peristiwo itu bertoku
= Keborongkolion peristiwo itu x Bilongan cuboan cukup besor yong dijolonkon
Muka 6ombor Anqko
Bilqnson koli berloku 280 320
o)
b)
Keborongkolion peristiwa "Lee mendopot muko 6ombor" berloku
_ 280
500
=715
b) Bilongon cuboon yong dilakukan = 750
Keborongkolion peris tiwa"Lee mendapot muko 6omb ar" berlaku = L15
Moko, bilongon koli dijongkokon peristiwo "Lee mendopot rnuko Gambar" berloku
= Kebarongkolion peristiwo itux Bilongon cuboon yong dijolonkon
= L*7bO
15
= 350
66 Bab 7: Kebarangka/ian f
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Mosaloh Melibatkan Kebarongkolion
Contoh
Dalom sotu permoinon komputer,kebarongkolion Ton menewoskan komputer dolom permoinon itu
3
toloh
-.16
o) Jiko Ton bermoin permoinon itu sebonyok 128 koli, beropo kolikoh dijongkakon dio okon
menewoskon computerZ
b) Jiko Ton ingin menewaskon komputer sebonyok 4?kali dolom permoinon itu, beropo kolikah
dijangkokon dia perlu bermoin permoinon ifu?
Penyelesaion
a) Keborongkolion Tan menewoskan kompute, = I'16
Bilangon cuboon = 7?8
Moko, bilongon koli yong dijangkokon Ton akon menewoskon komputer = )rnA
= )uo
E
L L ,,-r -..^^^1,^ti^^ a,.^1,,h^,-:-r: - Bilongan koli peristiwo itu berloku I
i Bilangon cuboon H
;xe-$
E@g; o it^^^^^ ^,,t^^^- Bilongon koli peristiwo itu berloku ;
: Bilongon cuboon = i
f - Keborangkalion peristiwo itu $
L****----****_**i
Keborongkolion Ton menewoskon kompute, = 7'76
Bilongon koli Ton menewoskon komputer = 42
A) 1A
Moko, bilangon koli yong dijongkokon Ton perlu bermoin permoinon itu = + = 42*.',i = ?24
16
Contoh
Sebuoh kotok mengondungi 240 botong pen.95 botong pen itu ioloh pen meroh don yong
selebihnyo ialoh pen biru don pen hitom. Sebotang pen dikeluarkon secora rawok dori kotok itu.
tr
Keborangkolion mendopot sebotang pen hitam ioloh *. Cori bilongan pen biru di dolom kotok itu.
t2
Penyelesoian
Jumloh pen di dolom kotok = 240 Jumlah pgn = Bilangan cubaan I
tr
Keborongkolion peristiwo "mendopot pen hitom" = *1.2
5
Bilongon koli peristiwo "mendopot pen hitom" berloku =
i_"24O = lOO
Moko, bilongon pen hitom = 100
Seterusnyo, bilangon pen biru di dolam kotok itu = ?4O, 95 - 100
=45
Bab 7; Kebarangka/ian I 67
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

BAB 8: BULATAN III
Tongen kepada Buloton
'rI
i
I
1'.il] !'i; jll i'*:i I :1,'
"rl
q
dengan ';:riii:
Sifot-sifot Leloyanq Tonsen
Contoh
Dalam rojah di sebeloh, ABdon CBialahtangen kepodo
buloton berpusot Omasing-masing poda titik A don titik C
Cori o) t AOC,
b) tBAC.
Penyelesoion
a) .ABC = 360"
= 40o
Moko, tAOC
- 320'
= 180"
= 1.4O"
40'+
Sudut pada suatu titik = 360"
Sifat lelayang tangen
Sifat lelayang tangen
Segitiga sama kakiABC
b) AB= CB
Moko, tBAC = IACB
= (180" 4O') + 2 <-
= 70"
Penggunoan sifot-sifot leloyong tongen ...
Dolam rojoh di sebeloh , PS dan PQ ioloh tongen kepodo
buloton berpusat Omasing-mqsing pado titik .5don titik Q.
Cori setiop yong berikut.
1 AB=CB
2 tAOB = ICOB
3 ZABO = ZCBO
4 IAOC + IABC = 180"
1. lOsQ ?. Z5PQ
Bab B: Bulafan III 69
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

L
Sudut di ontara Tongen dengan Perentas
R
Sudut yang dicangkum oleh perenias PQ
dalam tembereng selang-seli
a
Sudut di antara perentas PQ
dengan tangen AB
FAKTA A P B
PENTING I' N
d = p Begitu 1uga, LAPR= LPQP
Contoh
Dolam rojah di sebelnh, APBialah tangen kepado
buioton PQR. Qllialoh goris lurus. Cari IQFR. A
Penyelesoion
IPRQ = IAPQ = 60' €- Sudut dalam tembereng selang seli ;.
A
lpPB = 60o - 25"<- Sudut peluaran segitiga
= 35o = hasil tambah suciut pedalaman bertentangan
IQPR = 180' - 60' - 35'<-- Sudut pada garis turus =
.180o
- Oqo
-UJ
L
Contoh t/-
Dolom rajoh di sabelah, ACialah tangen kepada f{
buloton podo titik B. Sisi empat kitoron KL/UB I ,
ioloh sebuoh tropezium dengon keadosn KL selari A
4rA , /
dengon BlA. Cari niloi 9.
[)
Penyelescion
5 -
zBLK=lABK=40"<--SudutdaIamtemberengselang-seli,C
lLBl4 = IBLK = 40' <- Sudut selang-seli
(40' - 7A) - @ = 4O') = 180' +- Sisiempat kitaran KLMB
t9+ 150'= i80'
d= 30o
,AUji diri anda ...
1. tPSR
2. tsQR
Dalom rojah di sebelah , AB iolah tongen kapoda p",f--.;;
buloton podo titik P. PTR dan .5IQ ioloh goris lurus.
Cori setiop yong berikut. {1 f.-*a}jq
70 Bab 8; Bulafan fff
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

qe hy
-.:,.v.' t.,a.:,aa ..,. :..,:.., -...
atiap lqjqtqn itu
:pullyq kepodo
mosing-mosing
rggunakon sifot-
,Q--*-./ t K
6.h i rrb., I
/ul I
l, I
rl'-l
h",x'' /y- -r'/V^
,li
I
Ii
)
' V. , ,'.',,. , ,.. r ...., ,. ',-.:.,: :1
t'' .i.,l r' l:r:....': ,: .:: :.. .. .., .:::
f,'.::'.:. .i.,.: ::,. :..-.,: . ....:-..r..,.:.j t]
l. ,..t:t:, ...': ::.i :- .,., '.]',,.1
-11 -
50"/ ) I
ul_ |
rl
Tsngen sepunya kepodo due buiqtcn ioloh sstu genls_Lut1us yong rtxemyentuh setiap b itu
podo sstu_tafi k__EG hqjq.
ABialah tgngenr qe_punye kepodo
keduo-duo bulston mosing-mosing
poda titik P dan Q.
Mosoloh yong berkoiton dengontangen sepunyo boleh diselesoikon dengon menggunakon sifot-
sifot tongen don lelayangtongenyangtelah dipelojori sebelum ini.
Moko, ZQPR= LQRP=5Q"
lPQT=ZQRT=50"Sudutdalamtemberengselang-seli
Dolom segi tigo PQR, x+ 50" + 50" + 50' = 180"+- Jumlah sudut pedataman segitiga
x+ 150'= 180' = 180o
x= 30'
lP5R=1QPR=50oSudutdalamtemberengselang-seli
Sudut selang-seli
Jumlah sudut pedalaman segi tiga
= 180o
,,.,.' ,tp',' ":.,',U I.:tir: if
Bab 8: Bu/afan III 71
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Tangen Sepunyo
6ontoh
Dolom rojah di sebeloh , AKand CKialohtongen
sepunyo kepodo buloton berpusat Pyang berjejori
6 cm dan buloton berpusot Qyong berjejari 3 cm.
Cori
o) perimeter heksogon APCDQB,
b) ponjong PK, dalam cm,
c) tBQD.
Penyelesoion
a) Segi tiga PCKserupa
dengan segi tigo QDK.
cK _6
43
CK =9 ^ 4
3
=8cm
CD= 8 4
=4cm
"4.'+:lsg*eeftf lee .sffise*qspsrrys
Pusat pusat . dan titik ' adalah.;,..,:, .-.
K ialah titik persilangan kedua-dua tangen
sepunya, AKdanCK.
AK= CK
BK= DK
Maka. AB = CD
Secara amnya, apabila anda
masalah yang melibatkan SEQIIIG& 8€&SUFUI
|LCA$ FIKIRKAN perkara yang berikui:
O Teorem Pythagoras
@ Nisbah trigonometrisin 6, kos 0danlan 0
berjejori 3 cm don Q ialoh pusot buloton yong berjejari
6 cm. ABiolahtangen sepunyo kepodo buloton
berpusot Ppadatitik A don bulaton berpusot Q
poda titik 8. Jorak ontoro Pdan Q ioloh 15 cm. Cori
1. ponjong, dalam cm, tongen sepunya AB,
?. panjong AT, dolam cm,
3. LBAQ.
ffi
@
A B = CD = 4 cm <- Sifat tangen sepunya
Moko, perimeter heksogon APCDQB = PC+ CD+ DQ+ QB+ BA+ AP
=6*4*3*3*4*6
=26cm
b) CP=6cm,CK=8cm
PK= Teorem Pythagoras
=
",/iOO
=10cm
/.
c) ton
-KQD= i
IKQD = 53o 8'
Moko, tBQD:ffi:;; 2 +- sifatrerayangtangen
Mosaloh yong lebih mencobor mengenoi tongen sePunyo ...
Dolom rajah di sebeloh , Pioloh pusot bulaton yong
62 +82
72 Bob 8: Bulatan lff
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

BAB 9: TRIGONOMETRI ll
Kedudukon, Sudut dolom Buloton Unit
t. &u{etqfi_r"!mt yong dilukis podo Sqtah_eerytes ialoh sebuoh e,,io+o^
bulaton yong berpqgof -dl-esqjge-G dan beq!-qjqrr:t jdrCIt. -''o'o"
?. Buloton unit dibohogikon kepado e:npm,-f sui&umq yong
kongruen, f , ffi, IIE don nW.
3. sqdW diukur _derype,ksl g_{sweal qrqL{
"jqry. -1 Oi 11
,f*u' ,?f'qjjY
-il__t-' A_ -11
{ l-^ F.i-,-!, ;d"i=*a, l,ou"ffir.
t/ t/
-1 I -11
Sudul gterletak dalam stkUaLi f apabila So < A< $U' Sudut dterletak dalam tir-tf4n-IE apabila ?So < d< !$0o
VV
,i ,t
-/ /--f-/ l / I
,'A {,A18&';ffifr--f--+x ffix 3Se"
./o /' -1 e| /-
Y*t*l / lrvy{::t---' ---t--
-11 -11
zvl, 470'
Sudut gterletak dalam sgiqqe IEE apabila 'lEfi' < A< e?0-" Sudut dterletak dalam s-irrqq4-S-EU apabila ?7fio < P< J60'
Contoh
o) Nyotokon sukuon di mono terletoknyo sudut i) 1?5", ii) 328'.
b) Lokorkon sudut 205'dolom bulaton unit. Seterusnyo, nyotakan sukuon bogi sudut itu.
Penyelesoion
o) i) 90" < 125" < 180" b) 11 2O5" terletak
Moko, 125" terletok dolom sukuon ff. f--I--f dolom sukuon rrr.
{zos]-
ii) ?70' <328"<360" #x
Moka, 3?8'terletok dolom sukuon rV. ' llo jt
YTIII I
-11
Uji kebolehon.ondo menentukon kedudukon suafu sudut ... _cB
1. Nyotakon sukuon di mono letaknya setiap sudut ycng ber:ikut.. -."-/
..a)213"....,b)107"i.:c)280o.
2. Roioh,di sebalqh menunjukkon sudut ddolom segi tiga ABC.
,-{-*d
v
unit
1
t//
/rr E
-i o
srx

ur/
1
-1
0rio
v
--{r/
Ko
-1 o t
-1
v
1
Arr
x p
-1 (-/ 1
-1"
1
'er
1 ,4
as
-1
t
27fr'
1
or
,&

-1
JT
r,-,X
1
Iou;
-1
/
xq
-1
o 1
7d" Rnh Q: Tninnnnmo*ni TT
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Bab 9: Trgononefri II 75
MOHAMMAD BIN SAID
GPKHEM SMKTI
31/10/2016

Nota matematik tingkatan 4

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Nota matematik tingkatan 4

Similar to Nota matematik tingkatan 4 (20)

More from SMK TAMAN INDAH, TAMPIN, NS

More from SMK TAMAN INDAH, TAMPIN, NS (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Nota matematik tingkatan 4