Sebelum melihat Teorema Pythagoras, mari kita ingat bersama definisi Teorema Pythagoras. Definisi : Untuk setiap segitiga siku-siku, jumlah dari kuadrat pada sisi yang lebih pendek sama dengan kuadrat pada sisi miring (hipotenusa).

1. NAMA
: TARSUDIN
NIM
: 06022681318036
MK
: GEOMETRI
MACAM-MACAM PEMBUKTIAN TEOREMA PYTHAGORAS
1. Pembuktian Teorema Pythagoras dengan menggunakan luas segitiga sama sisi.
Sekarang kita akan membuktikan teorema Pythagoras dengan cara yang agak lain, yaitu
segitiga sama sisi? Apakah nantinya luas segitiga sama sisi pada sisi miring sama dengan
jumlah dari luas segitiga sama sisi pada sisi-sisi yang lain. Untuk mengetahuinya, perhatikan
ilustrasi berikut.
Dari ilustrasi di samping ditunjukkan bahwa banyaknya
segitiga sama sisi satuan pada sisi miring sama dengan
jumlah dari segitiga sama sisi satuan pada sisi-sisi lainnya.
Sehingga, luas segitiga sama sisi pada sisi miring sama
dengan jumlah dari luas segitiga sama sisi pada sisi-sisi
lainnya.
Untuk p, q, dan r adalah panjang dari sisi-sisi segitiga,
maka
luas
dari
segitiga
,
tersebut
dengan
adalah
.
Apabila kita misalkan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku di atas dengan a, b, dan c (c panjang sisi
miring), maka kita dapat menentukan luas dari masing-masing segitiga sama sisi di atas.

2. Karena luas segitiga sama sisi pada sisi c (sisi miring) sama dengan jumlah dari luas segitiga sama
sisi pada sisi a dan b, maka
Sehingga diperoleh bahwa c2 = a2 + b2. Atau dengan kata lain, kuadrat panjang sisi miring sama
dengan jumlah dari kuadrat panjang sisi-sisi lainnya, Terbukti.
2. Pembuktian Teorema Pythagoras dengan menggunakan luas segitiga siku-siku dan luas
persegi oleh Pythagoras.
Berikut ini pembuktian paling sederhana tentang kebenaran teorema Pythagoras dengan
menggunakan luas segitiga dan luas persegi. Jika sobat punya segitiga siku-siku. cobalah
menyusunnya membentuk persegi seperti di bawah ini.
Luas Persegi Besar = Luas Persegi putih + Luas 4 Segitiga
Jadi, Terbukti

3. 3. Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Bhaskara
Bhaskara adalah matematikawan India dan juga Astronom
Hampir sama dengan yang digambarkan pythagoras, bahwa :
Luas Persegi Besar = Luas 4 Segitiga + Luas Persegi kecil
Jadi, Terbukti
4.
Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Presiden AS. ke-20 yaitu James Garfield
Luas trapesium = Luas 3 Segitiga
Terbukti

4. 5. Bukti Teorema Phytagoras
Gambar segitiga siku-siku itu seperti ini:
Sekaranag Jika segitiga itu diputar 90o searah jarum jam, maka akan kita peroleh segitiga
berikut (gambar putus-putus). Jika segitiga yang putus-putus ini kita geser maka kita peroleh
sebagai berikut ini.
Bentuk di atas itu bisa kita anggap aja sebagai trapesium. Untuk lebih jelasnya perhatikan
gambar berikut yang lebih jelas:
Luas trapesium tersebut sama dengan jumlah luas tiga buah segitiga.
L = 2L1 + L2
½ (a + b)(a+ b) = 2. ½ ab + ½ c2
(a + b)2 = 2ab + c2
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
a2 + b2 = c2
TERBUKTI.

5. 6. Pembuktian Teorema Pythagoras dengan Persamaan Diferensial
Bukti dengan persamaan diferensial sesungguhnya sangatlah mudah. Pertama, gambar segitiga
ABC seperti di bawah.
Selanjutnya, ingat konsep bahwa:
“Penambahan suatu variabel x akan
menyebabkan penambahan variabel y,
karena y terikat dengan x”.
Maka, dengan membuat nilai a tetap, kita
tambahkan b dengan db (diferensial b).
Akibatnya, c juga harus ditambahkan dengan dc (diferensial c). Perlu diketahui bahwa nilai db
dan dc ini sesungguhnya mendekati nol (berada dalam konsep limit). Namun, agar terlihat secara
jelas secara visual maka kita menggambarkannya agak renggang, seperti di bawah.
Perhatikan bahwa
00. Akibatnya,
ABD sesungguhnya
Karena
BEA
900, maka ,
Karena
ABD
00., ini juga berakibat
900.
AED
Kedua syarat di atas mengakibatkan
BAE dan ,
ABC
ABC
BDC.
AED (sebangun).
Karena sebangun, maka berlaku:
Kali silang menjadi
b . db = c . dc
BEA keduanya
900

6. Integralkan kedua ruas.
Tahap terakhir, yaitu tinggal mencari konstantanya. Perhatikan dari gambar apabila b = 0, maka c
harus berhimpit terhadap a. Artinya, c = a. Maka:
Kita sudah dapatkan nilai konstanta. Maka, masukkan konstanta ini ke persamaan sebelumnya,
maka kita dapatkan teorema phytagoras.
TERBUKTI.
=====================================================================
Adapun kesalahan yang sering timbul selama pembuktian dengan cara ini adalah orang
menganggap bahwa
ABC
BCD , sehingga mereka langsung menuliskannya:
Pernyataan di atas salah, karena c > b namun dc < db. Artinya, peningkatan tersebut tidak
sebanding, dan tidak dapat digunakan. Justru, dengan membaliknya, maka kita mendapatkan
persamaan yang benar:
7. Bukti Teorema Phytagoras
Perhatikan gambar di atas !
Luas persegi dengan panjang sisi a adalah 16 satuan luas ( 16 kotak ) atau a2
Luas persegi dengan panjang sisi b adalah 9 satuan luas ( 9 kotak ) atau b2

7. Luas persegi dengan panjang sisi c = luas persegi dengan panjang sisi a + luas persegi dengan
panjang sisi b
25 satuan luas = 9 satuan luas + 16 satuan luas
25 satuan luas = 25 satuan luas
Kesimpulan : c2
= a2 + b 2
(TERBUKTI)
Keterangan :
Luas persegi = sisi x sisi = s2
8. Bukti Teorema Phytagoras
Mula-mula bangun segitiga pada gambar 1.9 dinotasikan dengan ABC.
Lalu ditambahkan sebuah garis AD sehingga terbentuk tiga buah
segitiga yaitu ABC, BDA, dan ADC. Ketiga segitiga tersebut sama
dengan perbandingan sebagai berikut:
AB / BC = BD / AB dan AC / BC = DC / AC.
Dapat ditulis dengan cara lain seperti:
AB x AB = BD x BC dan AC x AC = DC x BC
Jika dijumlahkan akan diperoleh:
AB x AB + AC x AC = BD x BC + DC x BC
(AB x AB) + (AC x AC) = (BD x BC) x BC
AB2 + AC2 = BC x BC
AB2 + AC2 = BC2
Misalkan
AB = a
BC = c
AC = b
BD = n
Maka dapat ditulis a2 + b2 = c2 atau c2 = a2 + b2
9. Bukti Teorema Phytagoras
(TERBUKTI)

8. Sekarang kita mulai dengan empat salinan dari segitiga yang sama. Tiga dari ini telah diputar 90°,
180°, dan 270°, masing-masing. Masing-masing memiliki luas ab/2. Mari kita menempatkan
mereka bersama-sama tanpa rotasi tambahan sehingga mereka membentuk persegi dengan sisi c.
Persegi yang dibentuk mempunyai sebuah lubang persegi dengan sisi
(a-b). Total luasnya (a - b)² dan 2ab, luas dari empat segitiga (4·ab/2),
Selanjutnya kita dapat menuliskannya sebagai berikut:
c2 = = (a - b)² + 2ab
c2 = a² - 2ab + b² + 2ab
c2 = a² + b²
(TERBUKTI)
10. Bukti Teorema Phytagoras
Menggambar lingkaran dengan jari-jari c dan segitiga siku-siku dengan sisi a dan b seperti
yang ditunjukkan. Sebagai contoh, dalam lingkaran tersebut ada
tiga titik F, G, H terletak pada bentuk lingkaran segitiga siku-siku
lain dengan ketinggian FK dan panjang a. Sisi miring GH dibagi
dalam dua bagian: (c + b) dan (c - b). Jadi, seperti dalam Bukti no.
8, kita mendapatkan a² = (c + b)(c - b) = c² - b².
(TERBUKTI)
11. Bukti Teorema Phytagoras
Buatlah segitiga ABC, BCA, dan ACB' mirip dengan ABC,
seperti pada diagram. Dengan konstruksi, Δ ABC = Δ A'BC.
Selain itu, segitiga ABB' dan ABC' juga sama. Jadi kita
menyimpulkan bahwa:
luas (A'BC) + luas (AB'C) = luas (ABC).
Dari kesamaan segitiga kita mendapatkan:
B'C = AC²/BC dan BC' = AC·AB/BC. Menyatukan semuanya, menghasilkan:
AC·BC + (AC²/BC) · AC = AB · (AC · AB / BC) yang sama Sebagai BC² + AC² = AB².
(TERBUKTI)

9. 12. Bukti Teorema Phytagoras
Perhatikan gambar di bawah ini.
B
c
x
ii
A
i
a
C
A
b
Berdasarkan kesebangunan segitiga, maka diperoleh:
Sehingga diperoleh:
Dengan demikian,
luas (i) =
Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan
Luas (ii) =
Sehingga,
(TERBUKTI)
13. Bukti Teorema Phytagoras
Q
R
B
E
A
P
D
K
S
A
C
N
M
L
T
U

10. Mudah ditunjukkan jika BC = a dan AC = b maka diperoleh :
Luas DBQE = luas NKBD = luas MKBC= luas SRBC = a2
Luas ADEP = luas LNDA = luas LMCA = luas UTCA = b2
Aibatnya, c2 = luas ADEP + luas DBQE = b2 + a2
Jadi, b2 + a2 = c2 . (TERBUKTI)
14. Bukti Teorema Phytagoras
Q
R
B
E
A
P
S
A
C
T
U
Karena alas dan tingginya sama, maka
Luas segitiga BCQ = 1/2 × Luas persegi panjang BDEQ.
Dengan teorema S-Sd-S, dapat ditunjukkan bahwa segitiga BCQ kongruen dengan
segitiga BRA, sehingga
Luas segitiga BRA = luas segitiga BCQ
Selanjutnya dengan alas dan tinggi yang sama, maka
Luas segitiga BRA = 1/2 × Persegi SCBR.
Jadi, 1/2 × Luas persegipanjang BDEQ = 1/2 × Persegi SCBR , atau
Luas persegipanjang BDEQ = Luas persegi SCBR .... (i)
Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa:
Luas persegipanjang DAPE = Luas persegi ACTU .... (ii)
Dari (i) dan (ii), diperoleh
Luas persegi SCBR + luas persegi ACTU = Luas BDEQ + luas DAPE
a2 + b2 = luas persegi BAPQ
a2 + b2 = c2
(TERBUKTI)

11. 15. Bukti Teorema Phytagoras
strain
strain
Translasi/refleksi
Bukti pada gambar di atas, mirip dengan bukti sebelumnya, namun tanpa bantuan
gambar tambahan selain ke-3 persegi dan segitiga siku-sikunya. Selain itu, transformasi
yang terjadi berturut-turut strain-strain-translasi/refleksi.
Perhatikan bahwa jajargenjang pada gambar ke-2 sama luasnya dengan persegipanjang
yang bersesuaian pada gambar ke-1. Lalu, persegi pada gambar ke-3 sama luasnya dengan
jajargenjang yang bersesuaian pada gambar ke-2. Terakhir persegi pada gambar ke-4
sama luasnya dengan persegi yang bersesuaian pada gambar ke-3. Ini dikarenakan
transformasi
strain,
translasi,
dan
refleksi
tidak mengubah
luas
bangun
datar.
Pembuktian yang lebih sederhana dapat pula dengan menunjukkan luas yang sama
lewat rumus luas bangun datar persegipanjang, jajargenjang, dan persegi. Misalnya, alas a
pada jajargenjang sama dengan panjang p pada persegipanjang, serta tinggi t pada jajar
genjang sama dengan lebar l pada persegi panjang, sehingga luas kedua bangun sama.
(TERBUKTI)