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Non-Interactive First-Price and
Second-Price Auction Protocols Using
Fully Homomorphic Encryption
三桝 雄大1,阿部正幸1,2,岡本龍明1,2
1.京都大学
2.NTTセキュアプラットフォーム研究所
アジェンダ
• 現代とオークション
• 既存、提案手法の概要
• 既存、提案手法の具体的な処理
• 安全性
• 結論
オークションプロトコル
• インターネットの広がりとオークション
• 多くの研究者が研究をしてきた
• Complexityの改善
• 2009年に完全準同型暗号の登場
各オークションシステムの概説
• First-Price Auction(第一位価格封印入札)
– 最高価格を入札した人が勝者
– 落札価格はその最高価格
• Second-Price Auction(第二位価格封印入札)
– 最高価格を入札した人が勝者
– 落札価格は上から二番目の価格
既存手法の概要
• 既存手法[Mitsunaga, et al. IEICE 2013]の問
題:
– オークションマネジャー(AM)の処理におい
て,テーブルが必要
→テーブルの準備に通信が必要
(round complexity)
– Second-Priceでは,2パス必要
今提案の成果
• プロトコル中のround complexityは1
• Second-Priceオークションを1パスで実
現
既存,提案手法の前提
• Threshold Decryptionを採用([G.Asharov, et al.
EUROCRYPT 2012])
• t人より少ない人数での復号が出来ない
• Bulletin boardに載っている他人の入札価
格を各個人は復号できない
既存手法[Mitsunaga, et al. IEICE 2013]
First-Price Auction
定義
• E(x):xを暗号化した要素の集合
Bulletin
Board
テーブル
…
…
Pi
Pm
P1
処理の途中で使用
事前に作成
AM
(各自が暗号化した入札
額)
(勝者,最高入札額)
既存手法[Mitsunaga, et al. IEICE 2013]
First-Price Auction Protocol
Map前 Map後
E(0)の要素 E(0)の要素
E(1) E(1)
E(2) E(1)
… …
E(m) E(1)
作成しておく表
• 1以上の整数を暗号化したものを1を暗
号化した空間にとばす
Map前 Map後
E(0)の要素 E(0)の要素
E(1) E(1)
E(2) E(1)
… …
E(m) E(1)
既存手法[Mitsunaga, et al. IEICE 2013]
First-Price Auction Protocol
表の使い方
• 既存手法においては,暗号化した状態で,
1回の乗算と多数の加算を行える
• 処理の中で多数の加算を行った際,それ
を{0,1}を暗号化したものにマップする必
要がある(bit-slice方式を採用しているた
め)
既存手法[Mitsunaga, et al. IEICE 2013]
First-Price Auction Protocol
Bit-Sliceオークション
• 上から1ビットずつ比較していく
既存手法[Mitsunaga, et al. IEICE 2013]
First-Price Auction Protocol
B1
B2
B3
= 1 1 0 1 1
= 1 0 0 1 1
= 1 1 1 1 1
w1 w2 w3
1 1 1
1 0 1
0 0 1
0 0 1
0 0 1
既存手法[Mitsunaga, et al. IEICE 2013]
First-Price Auction Protocol
hjの値が1より大きな値に膨らむので,
それを{0,1}にマップして判定.
マップされたhjの値によって,最高入札額が
1ビットごとに決定され,また勝利フラグの
更新も行われる.
既存手法[Mitsunaga, et al. IEICE 2013]
Second-Price Auction
First-Price Auction ×2
2パス
既存手法[Mitsunaga, et al. IEICE 2013]
Second-Price Auction Protocol
処理内容
First-Price Auctionの使い方
既存手法[Mitsunaga, et al. IEICE 2013]
Second-Price Auction Protocol
1.まず,全体に対して用いる
→ 最高値入札者と最高値入札額を特
定
2.最高値入札者を除いた残りのプ
レーヤーに対して,再度用いる
→ 残りのプレーヤーの内,最高値入
札額(全体では2番目に高い入札額)を
特定
... ...
P1 , P2 ...Px Pm...
縦:kビット
横:mビット
First-Price Auctionの使い方
既存手法[Mitsunaga, et al. IEICE 2013]
Second-Price Auction Protocol
... ...
P1 , P2 ...Px Pm...
縦:kビット
横:mビット
First-Price Auctionを実行(最高価格入札者を特定するところまで)
First-Price Auctionの使い方
既存手法[Mitsunaga, et al. IEICE 2013]
Second-Price Auction Protocol
... ...
P1 , P2 ...Px Pm...
縦:kビット
横:mビット
1 1 1 1
.
.
.
.
.
100 0
.
1ラウンド
2ラウンド
.
.
.
First-Price Auctionの使い方
既存手法[Mitsunaga, et al. IEICE 2013]
Second-Price Auction Protocol
... ...
P1 , P2 ...Px Pm...
↑勝者を特定(First-Price Auction)
縦:kビット
横:mビット
1 1 1 1
.
.
.
.
.
100 0
. .
.
.
1ラウンド
2ラウンド
First-Price Auctionの使い方
既存手法[Mitsunaga, et al. IEICE 2013]
Second-Price Auction Protocol
... ...
P1 , P2 ...Px-1 , Pm..Px-1
縦:kビット
横:m-1ビット
↑除外
1 1 1
.
.
.
1ラウンド
2ラウンド
First-Price Auctionの使い方
既存手法[Mitsunaga, et al. IEICE 2013]
Second-Price Auction Protocol
... ...
P1 , P2 ...Px-1 , Pm..Px-1
縦:kビット
横:m-1ビット
残ったプレーヤーに対して,も
一度,First-Price Auctionを実行
→2番目に高い入札額を特定
.
.
.
1ラウンド
2ラウンド
First-Price Auctionの使い方
既存手法[Mitsunaga, et al. IEICE 2013]
Second-Price Auction Protocol
今回の提案手法の紹介
First-Price Auction
実現するためのAMの処理
1ビットごとに上位ビットから比較していく.(bit-slice)
勝利の可能性の残っているプレーヤー以外の
フラグを更新していく
今回の提案手法
First-Price Auction Protocol
既存手法:
提案手法:
hjが1より大きな値に膨らまない!
今回の提案手法
First-Price Auction Protocol
今回の提案手法の紹介
Second-Price Auction
定義
:勝利フラグの履歴
:最高価格入札者を除外した,残りのプレーヤー
の勝利フラグ
:各ラウンドごとの勝利フラグのOR
:
:2番目に高い入札を行ったプレーヤーのみ1が
立っている
今回の提案手法
Second-Price Auction Protocol
実現するためのAMの処理
... ...
P1 , P2 ...Px Pm...
縦:kビット
横:mビット
(勝利フラグの履歴)
今回の提案手法
Second-Price Auction Protocol
実現するためのAMの処理
... ...
P1 , P2 ...Px Pm...
縦:kビット
横:mビット
First-Price Auctionを実行(最高価格入札者を特定するところまで)
(勝利フラグの履歴)
今回の提案手法
Second-Price Auction Protocol
実現するためのAMの処理
... ...
P1 , P2
(勝利フラグの履歴)
...Px Pm...
縦:kビット
横:mビット
1 1 1 1
.
.
.
.
.
100 0
.
1ラウンド
2ラウンド
.
.
.
今回の提案手法
Second-Price Auction Protocol
実現するためのAMの処理
... ...
P1 , P2
(勝利フラグの履歴)
...Px Pm...
↑勝者を特定(First-Price Auction)
縦:kビット
横:mビット
1 1 1 1
.
.
.
.
.
100 0
. .
.
.
1ラウンド
2ラウンド
今回の提案手法
Second-Price Auction Protocol
実現するためのAMの処理
... ...
P1 , P2 ...Px-1 , Pm..Px-1
縦:kビット
横:m-1ビット
↑除外
1 1 1
.
.
.
1ラウンド
2ラウンド
今回の提案手法
Second-Price Auction Protocol
実現するためのAMの処理
... ...
P1 , P2
(最高価格入札者を除外
した,残りのプレーヤー
の勝利フラグ)
...Px-1 , Pm..Px-1
縦:kビット
横:m-1ビット
1 1 1
今回の提案手法
Second-Price Auction Protocol
実現するためのAMの処理
... ...
P1 , P2 ... Pm..
縦:kビット
横:m-1ビット
1 1 1 1
101
0 1
1
0
各ラウンドごとの
勝利フラグのORをとる
0 0 0
1
0
Px-1 ,Px-1
今回の提案手法
Second-Price Auction Protocol
実現するためのAMの処理
... ...
P1 , P2 ... Pm..
1 1 1 1
101
0 1
1
0
(各ラウンドごとの
勝利フラグのOR)
0 0 0
1
0
Px-1 ,Px-1
.
.
.
今回の提案手法
Second-Price Auction Protocol
実現するためのAMの処理
... ...
P1 , P2 ... Pm..
1 1 1 1
101
0 1
1
0
0 0 0
1
0
Px-1 ,Px-1
0
0
XOR
1
1
.
.
.
.
.
.
1 0
0
0
今回の提案手法
Second-Price Auction Protocol
0
実現するためのAMの処理
... ...
P1 , P2 ... Pm..
1 1 1
01
0 1
1
0
0 0 0
Px-1 ,Px-1
0
0
1
.
.
.
0
0
AND
今回の提案手法
Second-Price Auction Protocol
実現するためのAMの処理
... ...
P1 , P2 ... Pm..
0 0 0
00
0 1
0
0
0 0 0
Px-1 ,Px-1
今回の提案手法
Second-Price Auction Protocol
実現するためのAMの処理
... ...
P1 , P2 ... Pm..
0 0 0
00
0 1
0
0
0 0 0
Px-1 ,Px-1
足し込む
0 1 0...0 0 ...
今回の提案手法
Second-Price Auction Protocol
実現するためのAMの処理
... ...
P1 , P2 ... Pm..
0 0 0
00
0 1
0
0
0 0 0
Px-1 ,Px-1
足し込む
0 1 0... 0 0 ...
今回の提案手法
Second-Price Auction Protocol
実現するためのAMの処理
B1 B2
∧ ∧
...
0 1 0... 0 0 ...
∧ ∧
Bx-1 Bx+1
...
∧
Bm
今回の提案手法
Second-Price Auction Protocol
実現するためのAMの処理
B1 B2
∧ ∧
...
0 1 0... 0 0 ...
∧ ∧
Bx-1 Bx+1
...
∧
Bm
ここの値(全体で2番目に高い入札価格)のみ,
値が残る
今回の提案手法
Second-Price Auction Protocol
Bulletin
Board
テーブル
…
…
Pi
Pm
P1
処理の途中で使用
事前に作成
AM
(各自が暗号化した入札
額)
(勝者,最高入札額)
既存手法[Mitsunaga, et al. IEICE 2013]
First-Price Auction Protocol
Map前 Map後
E(0)の要素 E(0)の要素
E(1) E(1)
E(2) E(1)
… …
E(m) E(1)
Bulletin
Board
First-Price and Second-Price Auction
…
…
AM
(各自が暗号化した入札
額)
(勝者,最高入札額)
提案手法
Pi
Pm
P1
安全性
• 処理の意義は同じで,具体的なやり方を
変えているだけ=基本的に満たしている
機能は同一
• もとの手法でCorrectnessが成り立つため,
今回の提案手法でもCorrectness成り立つ
結論
• プロトコル中のround complexityは1
• Second-Priceオークションを1パス
で実現
評価
• kビットの入札額.m人のプレーヤー.
→乗算の回数:
k(m+2) (first-price auction)
k(m+2)+k(m-1)+mk
=k(3m+1) (second-price auction)
今後の展望
• 求めた乗算の回数から,somewhat FHEの
下で,どの程度まで,効率的に計算可能
か評価を行う
参照文献
• [Mitsunaga, et al. IEICE 2013] T.Mitsunaga, Y.Manabe
and T.Okamoto “Efficient Secure Auction Protocols
Based on the Bonehoh-Nissim Encryption,” IEICE
TRANS. FUNDAMENTALS, VOL.E96-A NO.1 JANUARY
2013, PP68-75.
• [G.Asharov, et al. EUROCRYPT 2012]G.Asharov, et al.
“Multiparty Computation with Low Communication,
Computationand Interaction via Threshold FHE”,
EUROCRYPTO 2012 Lecture Notes in Computer Science
Volume 7237, 2012 , pp.483-501.
• [J.Fan and F.Vercauteren eprint]“Somewhat Practical
Fully Homomorphic Encryption”, eprint.
ご清聴ありがとうございました.

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