Les mots preuve, démonstration, argumentation sont utilisés par les textes des programmes de mathématiques et leurs commentaires. Cet usage affirme le caractère central de la démonstration, « moyen mathématique d'accès à la vérité », dans l'apprentissage des mathématiques. Il atteste aussi la difficulté de son enseignement car « [pour] ne pas détourner de la résolution de problèmes les élèves ayant des difficultés à entrer dans les codes de rédaction d’une démonstration, il importe de valoriser les productions spontanées, écrites ou orales, issues des phases de recherche et d’expérimentation (calculs seuls, croquis destinés à comprendre l’exercice, idées de preuve, plan de preuve, etc.). » (DGESco 2016 p.4). Cet exposé interroge les avancées de la recherche sur l’apprentissage et l’enseignement de la démonstration et leur capacité à éclairer la mise en œuvre des programmes actuels. Il revient en introduction, sur le vocabulaire en insistant notamment sur les différents régimes de la validation dans l'activité de l'élève. Puis il aborde ces questions dans la problématique de la validation au sens de la théorie des situations didactiques. Une dernière partie porte sur les perspectives ouvertes par les technologies informatiques.

1. CONTRÔLE, PREUVE
&
DÉMONSTRATION
Trois régimes de la validation
Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017 1 / 33

2. Argumenter, prouver, démontrer - cycle 4
• Démontrer : « utiliser un raisonnement logique et des règles
établies (propriétés, théorèmes, formules) pour parvenir à une
conclusion » /« moyen mathématique d’accès à la vérité » en
donnant à voir « les différentes étapes d’une preuve par la
présentation, rédigée sous forme déductive, des liens logiques
qui la sous-tendent. »
• « défendre ses jugements en s’appuyant sur des résultats établis
et sur sa maîtrise de l’argumentation ».
Source : Eduscol 2016.
2Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017 / 33

3. Argumenter, prouver, démontrer - cycle 4
• « Il n’est pas question de démontrer tous les théorèmes ou
propriétés figurant au programme »
• « Afin de ne pas détourner de la résolution de problèmes les
élèves ayant des difficultés à entrer dans les codes de rédaction
d’une démonstration, il importe de valoriser les productions
spontanées, écrites ou orales, issues des phases de recherche et
d’expérimentation. »
• Le travail de la classe comprend ainsi « des temps de mise en
commun et d’argumentation permettant de produire une preuve
et des temps de mise en forme (démonstrations rédigées) »
• « la mise en forme écrite [d’une preuve] ne fait pas partie des
exigibles [du socle commun] » (DGESco 2008 p.2)
Source Eduscol 2016
3Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017 / 33

4. Argumenter, prouver, démontrer - cycle 4
• En fait, pour l’élève, la difficulté est double :
• il faut passer d’un raisonnement inductif à un raisonnement
déductif pour établir la preuve ;
• il faut ensuite mettre en forme ce raisonnement déductif pour
en faire une démonstration c’est-à-dire une preuve
communicable. » (DGESco 2008 p.3)
• « Toutefois, la rédaction et la mise en forme d’une preuve
gagnent à être travaillées collectivement, avec l’aide du
professeur et à être présentées comme une façon convaincante
de communiquer un raisonnement aussi bien à l’oral que par
écrit. »
Source Eduscol 2016
4Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017 / 33

5. Argumenter, prouver, démontrer - Cycle 3 & 2
• « Les mathématiques contribuent à construire chez les élèves l'idée
de preuve et d'argumentation. »
• «[permettre] aux élèves de passer progressivement d'une géométrie
où les objets […] et leurs propriétés sont contrôlés par la perception
à une géométrie où ils le sont par le recours à des instruments, par
l'explicitation de propriétés pour aller ensuite vers une géométrie
dont la validation ne s'appuie que sur le raisonnement et
l'argumentation. »
• « Étayé par le professeur, l'élève s'essaie à expérimenter, présenter
la démarche suivie, expliquer, démontrer, exploiter et communiquer
les résultats de mesures ou de recherches, la réponse au problème
posé en utilisant un langage précis. Le discours produit est
argumenté et prend appui sur des observations et des recherches et
non sur des croyances. »
5
3
2
Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017 / 33

6. Argumenter, prouver, démontrer…
…. traversent les programmes du cycle 2 au cycle 4
Une lecture éducative
 distinguer croyance et connaissance
Une lecture didactique
 répondre à la question du vrai en mathématique
 distinguer argumentation, preuve, démonstration
 comprendre la démonstration comme type de preuve
Questions pour l’enseignement et la recherche
• Définition des termes (argumentation, preuve, démonstration)
• Tensions entre prouver et comprendre (expliquer)
• Tensions entre convaincre et persuader (interactions humaines)
6Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017 / 33

7. Explication, preuve et démonstration
Raisonnement : « processus mental permettant d’effectuer des
inférences. Rappelons qu’une inférence est une opération mentale par
laquelle on accepte qu’une proposition soit vraie en vertu de sa liaison
avec d’autres propositions » (Eduscol 2016)
Raisonnement : « organisation de propositions qui est
orientée vers un énoncé-cible pour modifier la valeur
épistémique que cet énoncé-cible a dans un état de
connaissance donné, ou dans un milieu social donné, et,
qui par voie de conséquence, en modifie la valeur de vérité
lorsque certaines conditions particulières d’organisation
sont remplies » (Duval 1992)
7Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017 / 33

8. Explication, preuve, démonstration
Raisonnement : « […] modifier la valeur épistémique que cet énoncé-cible […] » (p.52)
Explication : système de relations au sein duquel la donnée à
expliquer trouve sa place ; la question de la valeur épistémique
résolue, se pose celle de la construction de la cohérence ou
appartenance de la nouvelle production au système de connaissance.
 L’explication a pour finalité la validité
 L’argumentation a pour finalité la vraisemblance et la
conviction d’autrui et de soi-même.
Elle est acceptée ou rejetée sur deux critères : pertinence
(cohérence sémantique) et force (valeur épistémique « positive »)
Argumentation rhétorique vs Argumentation heuristique (Duval)
Valeur épistémique vs Valeur ontique (G. Hanna)
8Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017Duval 1992 / 33

9. Explication, preuve et démonstration
Lever un malentendu
e.g. G. Hanna relevait que ce
schéma induit que toute
démonstration est une explication.
 le contexte précisait qu’il
s’agit d’un positionnement dans
une dynamique qui va de
l’individu vers le collectif
9Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017
explication démonstration
preuve
argumentation démonstration
preuveExplication
privé
public
révision
/ 33

10. Illustration 1 : la convergence uniforme, Cauchy
10Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017
 La notion de fonction peut être
sembler familière au lecteur
contemporain et le vocabulaire
paraitre seulement désuet
un et x sont deux variables,
avec x variable indépendante
dont dépend un
Continuité
- au voisinage d’un point
- liée à la continuité d’une courbe
- évocation d’une dynamique
temporelle
D’après Arsac 2013 / 33

11. Illustration 1 : la convergence uniforme, Cauchy
11Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017
 Arsac souligne que Cauchy
que ceci soit une démonstration,
comme il le fait ailleurs dans son
cours, mais une
D’après Arsac 2013
 La notion de fonction peut
sembler familière au lecteur
contemporain et le vocabulaire
paraitre seulement désuet
/ 33

12. Illustration 1 …
12Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017
La variable x reste implicite dans
la formulation des termes de la
série, alors que la représentation
f(x) est disponible ailleurs dans le
cours.
- n dépend de ε et non de x
∀ ε ∃ N ∀ x
- L’ordre du texte n’est pas
congruent à l’ordre logique qui le
sous-tend pour exprimer le critère
de Cauchy
∀ ε ∃ N ∀ x ∀ n>N ∀ n’>n
|sn-s n’ |< ε
x
D’après Arsac 2013 / 33

13. Illustration 1 : la convergence uniforme, Cauchy
13Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017D’après Arsac 2013
L’analyse d’Arsac est construite sur une dissection précise du
texte en prenant en compte la situation des mathématiques dans
la première moitié du XIX° siècle :
1. La notion of variable domine celle de fonction (variable
dépendante) avec une conception dynamique de la
convergence qui influe sur celle de limite et de continuité.
2. La notation algébrique de la valeur absolue est manquante
3. La continuité est définie sur un intervalle et non en un point,
elle est intimement liée à la perception de la continuité
graphique de la courbe.
4. Les quantificateurs ne sont pas disponibles (il faut attendre le
XX° siècle) rendant difficile l’identification des dépendances
présentent dans le discours, et la négation des énoncés qui
les impliquent (e.g. la discontinuité comme négation de la
continuité)
13
/ 33

14. Illustration 1 : la convergence uniforme, Cauchy
• L’analyse proposée par Arsac
• n’est pas à visée cognitive mais à visée épistémique,
• elle traite un matériau – le cours de 1821 – et son contexte – les
mathématiques du XIX°.
• La connaissance est caractérisée par la donnée simultanée et
reliée
• des problèmes (finalité),
• des systèmes de représentation,
• des opérations disponibles,
• des moyens de validation.
 Différents niveaux de validation sont présents dans le cours de
1821, ils dépendent du niveau d’accès aux objets mathématiques :
Les mathématiciens font ce qu’ils font,
parce que leurs objets sont ce qu’ils sont
14Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017 / 33

15. Précision sur les types de preuves
« un même processus de résolution d'un
problème plusieurs niveaux de preuve ont pu
être observés pour un même binôme d'élèves »
(NB1988)
Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017 15
« La signification de ces processus de
validation ne peut être saisie sans un examen
approfondi de la signification des conceptions
que les élèves mobilisent, mais non plus sans
celle de la lecture qu'ils font de la situation dans
laquelle ils se trouvent. » (ibid.)
“The cognitive development of students needs to be taken into account […]. This requires
[…] to rethink the nature of mathematical proof and to consider the use of the different
types of proof related to the cognitive development of the individual” (David Tall)
Comprendre et modéliser le lien connaissance / preuve
/ 33

16. Illustration 2 : approximation
N. Gaudin (2005)
Ci-dessous des valeurs yi, entachées d'erreurs aléatoires pouvant
aller jusqu'à 10 %. Ces valeurs sont issues d'un polynôme P de
degré 3 de coefficients inconnus, évalué en xi.
On propose cinq approximations de ce polynôme. Choisissez celle
qui approche au mieux ce polynôme :
• sur l'intervalle [0;20]
• sur [0 ; +∞ [
Vous expliquerez les raisons pour lesquelles vous retenez ou vous
refusez chacune des approximations.
16Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017 / 33

17. Illustration 2 : approximation
f1(x) = 1.2310 + 0.0752 x + 1.789 × 10-3 x2
f2(x) = 1.2429 + 0.06706 x + 2.833×10-3x2 – 3.48 ×10-5x3
f3(x) = 1.2712 + 0.0308 x + 0.0115 x2 – 7.1626 × 10-4x3
+ 1.704 × 10-5x4
17
f4 définie par :
• elle passe par chacun des points (xi, yi)
• sur chaque intervalle [xi ; yi], f4 est un polynôme de degré
inférieur ou égal à 3
• elle est deux fois dérivable et sa dérivée seconde est
continue
• sa représentation algébrique est la suivante (sur chaque
intervalle [xi ; yi]) : [polynômes de degré 3 par intervalles)
Maple
Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017N. Gaudin (2005) / 33

18. Illustration 2 : approximation
18
RÉMI : [Donc le polynôme est quelque part là dedans.]
A26
OLIVIER : [Ouais. La meilleure approximation a le droit
d’en sortir.] A27 a. [donc on est pas bien avancé] A27 b.
RÉMI : [Ca dépend comment on définit meilleure. Ca
dépend si tu considères un point sort c’est pas bien ou
si c’est une moyenne… si c’est l’ensemble des
point qui soit bien…] A28 [Tu vois ce que je veux dire.
On essaie de retracer les polynômes si tu vois ce que je
veux dire ? On les trace toute.
OLIVIER : Toutes en même temps ?] A29
RÉMI : [Je sais pas si on va y voir grand-chose mais on peut essayer.
Ou sinon on met des bonnes couleurs.
OLIVIER : Tu te rappelleras que c’est vert la première ? Tu peux noter
? Alors vert… bleu, il faut choisir les couleurs, rouge...] A30
Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017N. Gaudin (2005) / 33

19. Illustration 2 : approximation
Les contrôles référents
- Forme de la courbe d’un polynôme du 3ième degré
- Proximité des 𝑓𝑖 𝑥𝑗 et 𝑦𝑗
- Position de la courbe par rapport à (xi, yi)
guident la recherche de solution
Les contrôles d’instrumentation
- Distance entre la courbe d’approximation et les points (xi, yi)
- Critère de la meilleure approximation
guident le choix des opérateurs
en cohérence avec les contrôles
référent.
Les contrôles locaux garantit la bonne mise en œuvre d’un
opérateur.
19Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017N. Gaudin (2005) / 33

20. Illustration 2 : approximation
20
Les contrôles référents sont nécessaire pour assurer la pertinence et la
validité des procédures de résolution engagées , ils anticipent la
validation finale.
N. Gaudin (2005) / 33

21. Contrôle, preuve et validation
« L’anticipation de la validation est fondamentalement dans la
constitution du projet de l’élève, y compris pendant la phase de
résolution » (Margolinas 1993 p.213)
• « nous appellerons processus de contrôle le processus
d’anticipation de la validation. » (ibid).
• distinction entre (pp.214-215):
• « contrôle 1 : choix de la méthode »
• « contrôle 2 : procédé et procédure de résolution »
• « contrôle 3 : fin de résolution »
• « contrôle 4 : interprétation » [distinction résultat/réponse]
 Structure de contrôle : ensemble des moyens et
procédures pour juger, vérifier, choisir, valider  décider
21Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017 / 33

22. Contrôle, preuve et validation
Structure de contrôle : ensemble des moyens et
procédures pour juger, vérifier, choisir, valider  décider
22Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017
Contrôle référent
Contrôle d’instrumentation
Contrôle local
Argumentation heuristique
Explication
Preuve
Processus de
résolution
Processus de
validation
Privé
Public
(actuel ou potentiel)
PS:
unité cognitive
Vs
écart structurel
/ 33

23. La validation est contrainte par :
Les conceptions mobilisées
• Opérateurs
• Représentations
• Contrôles
Le langage, formulation de la preuve
• « mettre en forme ce raisonnement déductif pour en faire une démonstration c’est-
à-dire une preuve communicable. » (DGESCO 2008 p.3)
La situation
• Principe d’économie de logique (Bourdieu)
• Enjeux d’interaction sociale
du contrat : preuve en mathématique (démonstration)
 à la coutume
Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017 23 / 33

24. Schéma princeps de la validation
Le milieu pour la validation inclut
une dimension langagière
instrumentant la dialectique du
vrai et du faux ; il ne peut être
seulement matériel (Margolinas).
Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017 24
Milieu pour la
validation
apprentissage de la preuve en mathématique comme
apprentissage d’une pratique discursive
représentations
vs
langue (discours)
/ 33

25. Preuve comme pratique discursive
25Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017
« N’est-il pas préférable de le
laisser s’exprimer dans son
langage ? »
« analyser cette réponse, dans son
langage, afin de détecter les
éléments positifs de son
discours. »
Initiation au raisonnement Bordeaux
/ 33

26. Preuve comme pratique discursive
Travaux de Stylianides sur la preuve
dans les cycles élémentaires
- Défi de la représentation
des objets et de leurs
relations
- Négociation du caractère
générique d’un cas
particulier
Argumentation dans la
négociation de la validité
 argumentation outil, pas
identifiée et discutée pour
ce qu’elle est
26Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017 / 33

27. Preuve comme pratique discursive
Travaux de Stylianides : débat oral,
médiation intensive de l’enseignant
-----------------------------------
Travaux de Maher : communication
invoquée, soutien de la motivation par
l’enseignant
- Temps long (cinq ans) sur
le même type de problème
- Domaine conceptuel
familier
Argumentation pour
convaincre
 opportunité pour saisir la
preuve comme objet
27Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017 / 33
?

28. De l’argumentation outil à la preuve objet
Argumentation
 rhétorique
 heuristique
Prendre la preuve comme objet
normes de communication
Argumentation mathématique
« Démonstration »
outils de validation
Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017 28
Marc Legrand
/ 33

29. et les EIAH ?
projet 2018 - Proof Technology
in Mathematics Research and
Teaching (Hanna et al.) :
application of technology to
mathematical proving and in its
potential role in support of learning
Par exemple :
• Collaborative proofs: Polymath;
MathOverflow
• Interactive proof assistants
• Human-machine collaboration
on proof
• Computer assisted proof in
support of collaborative learning
Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017 29
Cabri-Euclide - Luengo 1997
- Champ d’expérience (DGE, CAS, …)
- Systèmes de représentation multiples
et reliés
- forme déductive, outil structurant
- valeur des énoncés
/ 33

30. et les EIAH ?...
30Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017
Cabri-Euclide - Luengo 1997
- Registres de représentation
multiples et reliés
- forme déductive, outil
structurant
- valeur des énoncés
/ 33

31. et les EIAH ?...
31Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017
Projet Baghera - Luengo & Pesty
Outils de structuration et
modélisation du raisonnement
alternative,
les micromondes
élémentaires
e.g. Jones, Noss
Migene & Metafora
Outils de structuration et
modélisation du débat et des
arguments
Baker & Quignard 2001
/ 33

32. Processus de validation
• Dans la résolution, contrôle, prédicat en amont d’une décision
• Dans la construction de la preuve (organisation discursive, valeur
épistémique)
• Standard mathématique démonstration (forme discursive, réduction ontique)
Argumentation vs Démonstration
Concept d’argumentation mathématique
Faible distance discursive entre argumentation et démonstration (Duval 1992)
Situations d’institutionnalisation des formes de preuve
Régimes de la validation
32Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017 / 33

33. 33Nicolas Balacheff, Séminaire DDM, novembre 2017
Questions ?
Remarques ?