General Relativity, Curved Spacetime, Schwarzschild Metric, Christoffel Symbols

1. Θεόκλητος Μπαμπούρης
https://science4allstudents.wordpress.com
Κίνηση Σωματιδίου σε Χωροχρόνο Schwarzschild
Θεωρήστε την κίνηση ελεύθερου σωματιδίου σε κοσμικές γραμμές στο ισημερινό
επίπεδο ενός χωροχρόνου που περιγράφεται από την μετρική Schwarzschild
ds2
= −
(
1 −
2M
r
)
dt2
+
(
1 −
2M
r
)−1
dr2
+ r2
(dθ2
+ sin2
θ dϕ2
) (1)
σε γεωμετροποιημένες μονάδες (c = G = 1).
α) Δείξτε ότι οι ποσότητες
E =
(
1 −
2M
r
)
˙t και J = r2 ˙ϕ
είναι σταθερές. Η τελεία υποδεικνύει παράγωγο ως προς τον ιδιοχρόνο τ.
β) Γιατί το σωματίδιο δεν μπορεί να διαφύγει στο άπειρο όταν E < 1;
γ) Δείξτε ότι
˙r2
+
(
1 +
J2
r2
)(
1 −
2M
r
)
= E2
,
¨r −
J2
r3
+ 3
MJ2
r4
+
M
r2
= 0.
δ) Για κυκλική κίνηση ακτίνας r = R δείξτε ότι
J2
=
MR2
R − 3M
και
dϕ
dt
=
(
M
R3
)1/2
.
ε) Υπολογίστε τα σύμβολα Christoffel.
Λύση
Πριν προβούμε στις απαντήσεις των ως άνω ερωτημάτων, ας σχολιάσουμε εν συ-
ντομία την μορφή της μετρικής Schwarzschild, Εξ. (1) (βλ. π.χ. [Car04, Har03, Wal84,
Wei72]). Περιγράφει την γεωμετρία τού κενού χώρου στο εξωτερικό μιας σφαιρικά συμ-
μετρικής πηγής καμπυλότητας, όπως είναι για παράδειγμα ένα σφαιρικό άστρο. Η γε-
ωμετρία αυτή ονομάζεται γεωμετρία Schwarzschild προς τιμήν τού Karl Schwarzschild,
που το 1916 βρήκε την πρώτη ακριβή μη τετριμμένη λύση της εξίσωσης Einstein για
την βαρύτητα στον κενό χώρο.
Η σταθερή παράμετρος M της Εξ. (1) ερμηνεύεται ως η συνολική μάζα τής πηγής κα-
μπυλότητας. Επίσης, η μετρική Schwarzschild διαθέτει χρονική ανεξαρτησία, καθώς και
σφαρική συμμετρία. Η συντεταγμένη r δεν αποτελεί την απόσταση από κάποιο κέντρο,
αλλά μετρά την ακτινική απόσταση πάνω στην υπερεπιφάνεια t = σταθ. Μπορούμε
λοιπόν να την συνδέσουμε με την σφαιρική επιφάνεια περιφέρειας 2πr και εμβαδού
4πr2
. Για r = 0 και r = 2M η Εξ. (1) παρουσιάζει ιδιομορφία. Η δεύτερη από αυτές
ονομάζεται ακτίνα Schwarzschild και αποτελεί χαρακτηριστικό τής κλίμακας μεγέθους
της καμπύλωσης στην γεωμετρία Schwarzschild.
1

2. Θεόκλητος Μπαμπούρης
https://science4allstudents.wordpress.com
α) Στο ισημερινό επίπεδο είναι θ = π/2, dθ = 0. Αν παραμετροποιήσουμε την
καμπύλη κίνησης ως προς τον ιδιοχρόνο τ, όπου dτ2
= − ds2
, τότε το εφαπτόμενο
διάνυσμα είναι
uα
≡ ˙xα
≡
dxα
dτ
(2)
και συνεπώς η Lagrangian γράφεται
L(xα
, ˙xα
) = gαβ ˙xα
˙xβ
= −
(
1 −
2M
r
)
˙t2
+
(
1 −
2M
r
)−1
˙r2
+ r2 ˙ϕ2
. (3)
Οι συντεταγμένες t, ϕ είναι αγνοήσιμες και επομένως από τις εξισώσεις Euler-
Lagrange προκύπτει
∂L
∂ ˙t
= σταθ. ⇒ −2
(
1 −
2M
r
)
˙t = σταθ. ⇒
(
1 −
2M
r
)
˙t = E = σταθ. (4)
και
∂L
∂ ˙ϕ
= σταθ. ⇒ 2r2 ˙ϕ = σταθ. ⇒ r2 ˙ϕ = J = σταθ. (5)
▶ Μια διαφορετική αντιμετώπιση γίνεται μέσω των διανυσμάτων Killing. Λόγω της
συμμετρίας τής μετρικής ως προς την συντεταγμένη t, ορίζεται το διάνυσμα Killing
Tα
= (∂t)α
= (1, 0, 0, 0), (6)
ενώ λόγω συμμετρίας ως προς την συντεταγμένη ϕ, ορίζουμε το
Kα
= (∂ϕ)α
= (0, 0, 0, 1). (7)
Επομένως, διατηρούνται οι ποσότητες
(T |u) ≡ gαβTα
uβ
= −
(
1 −
2M
r
)
˙t, (8)
(K|u) ≡ gαβKα
uβ
= r2 ˙ϕ. (9)
Δηλαδή,
(
1 −
2M
r
)
˙t = −(T |u) ≡ E = σταθ., (10)
r2 ˙ϕ = (K|u) ≡ J = σταθ.. (11)
Για άμαζα σωματίδια, οι ποσότητες αυτές μπορούν να θεωρηθούν αντιστοίχως ως
η διατηρούμενη ενέργεια και η διατηρούμενη στροφορμή, ενώ για σωματίδια με μάζα
είναι η διατηρούμενη ενέργεια και η διατηρούμενη στροφορμή ανά μονάδα μάζας τού
σωματιδίου.
β) Όταν E < 1, τότε έχουμε διαδοχικά μέσω της Εξ. (4):
(
1 −
2M
r
)
˙t < 1 ⇒ ˙t −
2M ˙t
r
< 1 ⇒ r <
2M ˙t
˙t − 1
(12)
2

3. Θεόκλητος Μπαμπούρης
https://science4allstudents.wordpress.com
Επομένως, η ακτινική συνιστώσα r είναι δέσμια και το σωματίδιο δεν μπορεί να δια-
φύγει στο άπειρο.
γ) Η κανονικοποίηση τής τετραταχύτητας δίνει
(u|u) = gαβuα
uβ
= −1 ⇒
−
(
1 −
2M
r
)
˙t2
+
(
1 −
2M
r
)−1
˙r2
+ r2 ˙ϕ2
= −1
(4), (5)
===⇒
−
(
1 −
2M
r
)−1
E2
+
(
1 −
2M
r
)−1
˙r2
+
J2
r2
⇒
˙r2
+
(
1 +
J2
r2
)(
1 −
2M
r
)
= E2
. (13)
Παραγωγίζοντας την Εξ. (13) ως προς r παίρνουμε
0 =
dE2
dr
=
d ˙r2
dr
− 2
J2
r3
(
1 −
2M
r
)
+
(
1 +
J2
r2
)
2M
r2
=
d ˙r2
dr
− 2
J2
r3
+ 6
MJ2
r4
+ 2
M
r2
. (14)
Όμως,
d ˙r2
dr
=
d ˙r2
dτ
dτ
dr
= 2 ˙r¨r
1
˙r
= 2¨r. (15)
Άρα,
¨r −
J2
r3
+ 3
MJ2
r4
+
M
r2
= 0 . (16)
δ) Για r = R είναι ˙r = ¨r = 0 και οπότε η Εξ. (16) δίνει
−
J2
R3
+ 3
MJ2
R4
+
M
R2
= 0 ⇒ J2
=
MR2
R − 3M
(17)
Επίσης,
dϕ
dt
=
dϕ
dτ
dτ
dt
= ˙ϕ
1
˙t
(4), (5)
===⇒
dϕ
dt
=
J
R2
(
1 −
2M
R
)
1
E
. (18)
Αλλά, από την Εξ. (13) είναι
E2
=
(
1 +
J2
R2
)(
1 −
2M
R
)
=
(R − 2M)2
R(R − 3M)
.
Επομένως,
(
dϕ
dt
)2
=
J2
R4
(R − 2M)2
R2
R(R − 3M)
(R − 2M)2
=
M
R3
⇒
dϕ
dt
=
(
M
R3
)1/2
. (19)
3

4. Θεόκλητος Μπαμπούρης
https://science4allstudents.wordpress.com
ε) Στον (3 + 1)διάστατο χώρο (δηλαδή με υπογραφή (signature) μετρικής (-+++))
υπάρχουν 64 σύμβολα Christoffel. Όμως, μόνον 40 από αυτά είναι ανεξάρτητα, εξαιτίας
της συμμετρίας Γα
βγ = Γα
γβ. Ωστόσο, σε πολλές πρακτικές εφαρμογές τα περισσότερα
είναι μηδενικά.
Η εξίσωση κίνησης κατά μήκος μιας γεωδαιτικής είναι
¨xα
+ Γα
βγ ˙xβ
˙xγ
= 0. (20)
Με την βοήθεια τής Εξ. (20), τής Lagrangian Εξ. (3) και των εξισώσεων Euler-Lagrange
θα υπολογίσουμε τα ζητούμενα σύμβολα. Έχουμε,
∂L
∂t
= 0,
∂L
∂ ˙t
= −2
(
1 −
2M
r
)
˙t,
d
dτ
(
∂L
∂ ˙t
)
= −
4M
r2
˙r˙t − 2
(
1 −
2M
r
)
¨t (21)
Δηλαδή,
¨t +
2M
r(r − 2M)
˙r˙t = 0 (22)
Άρα,
Γt
rt = Γt
tr =
M
r(r − 2M)
. (23)
Ομοίως,
∂L
∂r
= −
2M
r2
˙t2
−
(
1 −
2M
r
)−2
2M
r2
˙r2
+ 2r2 ˙ϕ2
, (24)
∂L
∂ ˙r
= 2
(
1 −
2M
r
)−1
˙r, (25)
d
dτ
(
∂L
∂ ˙r
)
= −2
(
1 −
2M
r
)−2
2M
r2
˙r ˙r + 2
(
1 −
2M
r
)−1
¨r. (26)
Η εξίσωση κίνησης είναι
¨r −
M
r(r − 2M)
˙r2
+
M(r − 2M)
r3
˙t2
− (r − 2M) ˙ϕ2
= 0. (27)
Άρα,
Γr
rr = −
M
r(r − 2M)
, Γr
tt =
M(r − 2M)
r3
, Γr
ϕϕ = −(r − 2M) . (28)
Επίσης,
∂L
∂ϕ
= 0,
∂L
∂ ˙ϕ
= 2r2 ˙ϕ,
d
dτ
(
∂L
∂ ˙ϕ
)
= 4r ˙r ˙ϕ + 2r2 ¨ϕ. (29)
Συνεπώς,
¨ϕ +
2
r
˙r ˙ϕ = 0 (30)
και
Γϕ
rϕ = Γϕ
ϕr =
1
r
. (31)
Τα υπόλοιπα σύμβολα Christoffel είναι όλα μηδενικά.
4

5. Θεόκλητος Μπαμπούρης
https://science4allstudents.wordpress.com
Αναφορές
[Car04] S. M. Carroll, Spacetime and geometry. An introduction to general relativity,
Addison Wesley, 2004.
[Har03] J. B. Hartle, Gravity: an introduction to Einstein’s general relativity, Addison
Wesley, 2003.
[Wal84] R. M. Wald, General relativity, University of Chicago Press, 1984.
[Wei72] S. Weinberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the
General Theory of Relativity, Wiley-VCH, 1972.
5