Bài tập xác suất thống kê

MATHEDUCARE.COM
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
1
BÀI T P
XÁC SU T TH NG KÊ

MATHEDUCARE.COM
2
CHƯƠNG 1: XÁC SU T
1.1.
M t h p có 100 t m th như nhau ñư c ghi các s t 1 ñ n 100, Rút ng u
nhiên hai th r i ñ t theo th t t trái qua ph i. Tính xác su t ñ n
a/ Rút ñư c hai th l p nên m t s có hai ch s .
b/ Rút ñư c hai th l p nên m t s chia h t cho 5.
Gi i
a/ A :“Hai th rút ñư c l p nên m t s có hai ch s ”
( )
2
9
2
100
9.8
0,0073
100.99
A
P A
A
= = ≈
b/ B : “Hai th rút ñư c l p nên m t s chia h t cho 5”
S chia h t cho 5 t n cùng ph i là 0 ho c 5. Đ có bi n c B thích h p v i ta rút
th th hai m t cách tùy ý trong 20 th mang các s 5;10;15;20;…;95;100, và rút 1
trong 99 th còn l i ñ t vào v trí ñâu. Do ñó s trư ng h p thu n l i cho là 99.20
( ) 2
100
99.20
0,20P B
A
= =
1.2.
M t h p có ch a 7 qu c u tr ng và 3 qu c u ñen cùng kích thư c. Rút
ng u nhiên cùng m t lúc 4 qu c u. Tính xác su t ñ trong 4 qu c u rút ñư c có
a/ Hai qu c u ñen.
b/ Ít nh t 2 c u ñen
c/ Toàn c u tr ng
Gi i
Rút ng u nhiên cùng 1 lúc 4 trong 10 qu c u nên s trư ng h p ñ ng kh
năng là 4
10C
a/ A :”trong 4 qu c u rút có 2 qu c u ñen”
( )
2 2
3 7
4
10
.
0,30
C C
P A
C
= =
b/ B :”trong 4 qu c u ñư c rút có ít nh t 2 qu c u ñen”
( )
2 2 3 1
3 7 3 7
4
10
. . 1
3
C C C C
P B
C
+
= =
c/ C :”trong 4 qu c u ñư c ch n có toàn c u tr ng”

MATHEDUCARE.COM
3
( )
4
7
4
10
1
6
C
P C
C
= =
1.3.
M t h p thu c có 5 ng thu c t t và 3 ng kém ch t lư ng. Ch n ng u
nhiên l n lư t không tr l i 2 ng. Tính xác su t ñ :
a/ C hai ng ñư c ch n ñ u t t.
b/ Ch ng ñư c ch n ra ñ u tiên là t t.
c/ trong hai ng có ít nh t m t ng thu c t t.
Gi i
Ch n ng u nhiên l n lư t không tr l i 2 trong 8 ng nên các trư ng h p
ñ ng kh năng là 2
8A .
a/ A :” C hai ng ñư c ch n ñ u t t” ( )
2
5
2
8
0,357
A
P A
A
= ≈
b/ B :” Ch ng ñư c ch n ra ñ u tiên là t t” ( )
1 1
3 5
2
8
.
0,268
C C
P B
A
= ≈
c/ C :” trong hai ng có ít nh t m t ng thu c t t” ( )
2
3
2
8
1 0,893
A
P C
A
= − ≈
1.4.
M t h p ñ ng 15 qu bóng bàn trong ñó có 9 qu m i. L n ñ u ngư i ta l y
ng u nhiên 3 qu ñ thi ñ u, sau ñó l i tr vào h p. L n th hai l y ng u nhiên 3
qu . Tính xác su t ñ c 3 qu l y ra l n sau ñ u m i.
Gi i
Đ t A :” c 3 qu l y ra l n sau ñ u m i”
iB :” Trong 3 qu l y ra ñ thi ñ u có i qu m i” { }0;1;2;3i∈
Ta th y các { }0 1 2 3; ; ;B B B B l p thành nhóm ñ y ñ các bi n c , theo công th c xác
su t toàn ph n
( ) 0 0 1 1 2 2 3 3
( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P A P B P A B P B P A B P B P A B P B P A B= + + +
( )
1
20.84 135.56 216.35 84.20 0,089
207025
= + + + ≈
1.5.
T m t l p có 8 n sinh viên và 12 nam sinh viên, ngư i ta ch n ng u nhiên
5 sinh viên ñ l p Ban cán b l p (BCB). Tính xác su t ñ

MATHEDUCARE.COM
4
a/ BCB g m 3 n và 2 nam,
b/ BCB có ít nh t m t n ,
c/ BCB có ít nh t hai nam và hai n .
Gi i
Đ t kA : “BCB có k nam sinh viên” ( { }0,1,2,3,4,5k ∈ ),
chúng ta có:
5
12 8
5
20
. CC
( )
C
kk
kP A
−
=
a/ BCB g m 3 n và 2 nam.
Xác su t ph i tính:
32
12 8
5
20
. 77
2 323
( )
CC
P A
C
= =
b/ Đ t N: “BCB có ít nh t m t n ”, thì 5N A= .
Do ñó,
05
12 8
5
20
5 5
. 33 613
646 646
( ) ( ) 1 ( )
1
P N P A P A
CC
C
= = −
= − = − =
c/ Đ t H: “BCB có ít nh t hai nam và hai n ”.
Do ñó,
( ) ( ) ( )2 3P H P A P A= +
=
23
12 8
5
20
.77 616
323 969
CC
C
+ =
1.6.
T m t h p ch a 8 viên bi ñ và 5 viên bi tr ng ngư i ta l y ng u nhiên 2
l n, m i l n 1 viên bi, không hoàn l i. Tính xác su t ñ l y ñư c
a/ 2 viên bi ñ ;
b/ hai viên bi khác màu;
c/ viên bi th hai là bi tr ng.
Gi i
V i { }1, 2 ,i∈ ñăt:
iT : “viên bi l y ra l n th i là bi tr ng”,
iD : “viên bi l y ra l n th i là bi ñ ”.
a/ Đ t A :“l y ñư c 2 viên bi ñ ”, chúng ta có:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
8 7 14
13 12 31 9
.. /P A P D D P D P D D = ===
b/ Đ t B : “l y ñư c hai viên bi khác màu”, chúng ta có:

MATHEDUCARE.COM
5
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 1. / . /
P B P T D DT P T D P DT
P T P D T P D P T D
= + = +
= +
Suy ra: 5 8 8 5 20
13 12 13 12 39
( )P B = + =
c/ 2 1 2 1 2T TT DT= + , nên xác su t ph i tính là:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 1. / . /
P T P TT P DT
P T P T T P D P D T
= +
= +
suy ra ( ) 5 8 5 54
2 13 12 13 12 13
P T = + =
1.7.
M t công ty c n tuy n 4 nhân viên. Có 8 ngư i, g m 5 nam và 3 n n p
ñơn xin d tuy n, và m i ngư i ñ u có cơ h i ñư c tuy n như nhau. Tính xác su t
ñ trong 4 ngư i ñư c tuy n,
a) có duy nh t m t nam;
b) có ít nh t m t n .
Gi i
Đ t k
A : “Có k nam ñư c tuy n trong 4 nhân viên” k {1,2,3,4}∈
G i A : “có duy nh t 1 nam” ( ) ( )
1 3
5 3
1 4
8
. 5
70
= = =
C C
P A P A
C
a) G i B : “có ít nh t 1 n ”
( )
4
5
4 4
8
13
1 ( ) 1
14
= − = − =
C
P B P A
C
1.8.
M t công ty c n tuy n 4 nhân viên. Có 8 ngư i, g m 5 nam và 3 n n p
ñơn xin d tuy n, và m i ngư i ñ u có cơ h i ñư c tuy n như nhau. Tính xác su t
ñ trong 4 ngư i ñư c tuy n,
a/ có không quá hai nam;
b/ có ba n , bi t r ng có ít nh t m t n ñã ñư c tuy n.
Gi i
Đ t k
A : “Có k nam ñư c tuy n trong 4 nhân viên” k {1,2,3,4}∈
a/ G i C : “có không quá 2 nam”
( )
1 3 2 2
5 3 5 3
1 2 4
8
. . 1
( ) ( )
2
+
= + = =
C C C C
P C P A P A
C
b/ G i D : “ch n ra 3 n , bi t r ng có ít nh t 1 n ñư c tuy n”.
G i B : “Có ít nh t m t n ñư c ch n”.

MATHEDUCARE.COM
6
Ta có ( )
4
5
4 4
8
13
1 ( ) 1
14
= − = − =
C
P B P A
C
( ) 1
1
( ) 1
( | )
( ) 13
= = =
P A
P D P A B
P B
1.9.
M t c a hàng sách ư c lư ng r ng: Trong t ng s các khách hàng ñ n c a
hàng, có 30% khách c n h i nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15%
khách th c hi n c hai ñi u trên. G p ng u nhiên m t khách trong nhà sách. Tính
xác su t ñ ngư i này
a/ không th c hi n c hai ñi u trên;
b/ không mua sách, bi t r ng ngư i này ñã h i nhân viên bán hàng.
Gi i
Đ t A : “khách hàng c n tư v n”
B : “khách hàng c n mua sách”
Theo ñ ta có: ( ) ( ) ( )0,3; 0,2; 0,15= = =P A P B P AB
a/ Xác su t khách hàng không c n mua sách cũng không c n tư v n là:
( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 15 13
. 1 1 1
10 10 100 20
 
= + − = − + − − − = 
 
P AB P A P B P AB
b/ không mua sách, bi t r ng ngư i này ñã h i nhân viên bán hàng.
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
3 15
110 100/
3 2
10
−−
= = = =
P AB P A P AB
P B A
P A P A
1.10.
M t cu c ñi u tra cho th y, m t thành ph , có 20,7% dân s dùng lo i
s n ph m X , 50% dùng lo i s n ph m Y và trong s nh ng ngư i dùng Y , có
36,5% dùng X . Ph ng v n ng u nhiên m t ngư i dân trong thành ph ñó, tính xác
su t ñ ngư i y
a/ Dùng c X và Y ;
b/ Không dùng X , cũng không dùng Y .
Gi i
Đ t A : “ ngư i dân trong thành ph dùng s n ph m X ”
B : “ ngư i dân trong thành ph dùng s n ph m Y ”
Theo ñ bài ta có: ( ) ( ) ( )0,207; 0,5; | 0,365= = =P A P B P A B
a) Xác su t ngư i dân ñó dùng c X và Y là
( ) ( ) ( ). / 0,5.0,365 0,1825= = =P AB P B P A B
b) Xác su t ngư i dân ñó không dùng c X và Y là
( ) ( ) ( ) ( ). . 0,4755= + − =P AB P A P B P AB
1.11.

MATHEDUCARE.COM
7
M t cu c ñi u tra cho th y, m t thành ph , có 20,7% dân s dùng lo i
s n ph m X , 50% dùng lo i s n ph m Y và trong s nh ng ngư i dùng Y , có
36,5% dùng X . Ph ng v n ng u nhiên m t ngư i dân trong thành ph ñó, tính xác
su t ñ ngư i y
a/ Dùng c X và Y ;
b/ Dùng Y , bi t r ng ngư i y không dùng X .
Gi i
Đ t A : “ ngư i dân trong thành ph dùng s n ph m X ”
B : “ ngư i dân trong thành ph dùng s n ph m Y ”
Theo ñ bài ta có: ( ) ( ) ( )0,207; 0,5; / 0,365= = =P A P B P A B
a/ Xác su t ngư i dân ñó dùng c X và Y là
( ) ( ) ( ). / 0,5.0,365 0,1825= = =P AB P B P A B
b/ Xác su t ngư i dân ñó dùng Y , bi t r ng không dùng X là
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
. 0,5 0,1852
/ 0,404
1 0,207
− −
= = = =
−
P AB P B P AB
P B A
P A P A
1.12.
Theo m t cu c ñi u tra thì xác su t ñ m t h gia ñình có máy vi tính n u
thu nh p hàng năm trên 20 tri u (VNĐ) là 0,75. Trong s các h ñư c ñi u tra thì
60% có thu nh p trên 20 tri u và 52% có máy vi tính. Tính xác su t ñ m t h gia
ñình ñư c ch n ng u nhiên
a/ có máy vi tính và có thu nh p hàng năm trên 20 tri u;
b/ có máy vi tính, nhưng không có thu nh p trên 20 tri u.
Gi i
Đ t A : “H gia ñình ñư c ch n ng u nhiên có máy vi tính”
B : “H gia ñình ñư c ch n ng u nhiên có thu nh p hàng năm trên 20 tri u”
a/ Xác su t ñ h gia ñình ñư c ch n có máy vi tính và có thu nh p hàng năm trên
20 tri u là:
( ) ( ) ( ). / 0,6.0,75 0,45P AB P B P A B= = =
b/ Xác su t ñ h gia ñình ñư c ch n có máy vi tính nhưng thu nh p ít hơn 20
tri u là:
( ) ( ) ( ) 0,52 0,45 0,07= − = − =P AB P A P AB
1.13.
Theo m t cu c ñi u tra thì xác su t ñ m t h gia ñình có máy vi tính n u
thu nh p hàng năm trên 20 tri u (VNĐ) là 0,75. Trong s các h ñư c ñi u tra thì
60% có thu nh p trên 20 tri u và 52% có máy vi tính. Tính xác su t ñ m t h gia
ñình ñư c ch n ng u nhiên
a/ Có máy vi tính và có thu nh p hàng năm trên 20 tri u;
b/ Có thu nh p hàng năm trên 20 tri u, bi t r ng h ñó không có máy vi
tính.

MATHEDUCARE.COM
8
Gi i
Đ t A : “H gia ñình ñư c ch n ng u nhiên có máy vi tính”
B : “H gia ñình ñư c ch n ng u nhiên có thu nh p hàng năm trên 20 tri u”
a/ Xác su t ñ h gia ñình ñư c ch n có máy vi tính và có thu nh p hàng năm trên
20 tri u là:
( ) ( ) ( ). / 0,6.0,75 0,45P AB P B P A B= = =
b/ Xác su t ñ h gia ñình ñư c ch n có thu nh p hàng năm trên 20 tri u nhưng
không có máy vi tính là:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
0,6 0,45
/ 0,3125
1 0,52
− −
= = = =
−
P AB P B P AB
P B A
P A P A
1.14.
Trong m t ñ i tuy n có hai v n ñ ng viên A và B thi ñ u. A thi ñ u trư c
và có hy v ng 80% th ng tr n. Do nh hư ng tinh th n, n u A th ng tr n thì có
60% kh năng B th ng tr n, còn n u A thua thì kh năng này c a B ch còn 30%.
Tính xác su t c a các bi n c sau:
a/ Đ i tuy n th ng hai tr n;
b/ Đ i tuy n th ng ít nh t m t tr n.
Gi i
Đ t i
M : “v n ñ ng viên i th ng” v i { },∈i A B
Theo ñ bài ta có: ( ) ( ) ( )0,8; / 0,6; / 0,3= = =AA B A BP M P M M P M M
a/ Xác su t ñ i tuy n th ng 2 tr n là
( ) ( ) ( ). / 0,8.0,6 0,48= = =A B A B AP M M P M P M M
b/ Đ i tuy n th ng ít nh t m t tr n nghĩa là có ít nh t m t trong hai v n ñ ng viên
A, ho c B th ng. Xác su t c n tính là:
( ) ( ) ( ) ( ).
0,54 0,8 0,48 0,86
A B B A A BP M M P M P M P M M∪ = + −
= + − =
1.15.
Trong m t ñ i tuy n có hai v n ñ ng viên A và B thi ñ u. A thi ñ u trư c
và có hy v ng 80% th ng tr n. Do nh hư ng tinh th n, n u A th ng tr n thì có
60% kh năng B th ng tr n, còn n u A thua thì kh năng này c a B ch còn 30%.
Tính xác su t c a các bi n c sau:
a/ B th ng tr n;
b/ Đ i tuy n ch th ng có m t tr n.
Gi i
Đ t i
M : “v n ñ ng viên i th ng” v i { },∈i A B
Theo ñ bài ta có: ( ) ( ) ( )0,8; / 0,6; / 0,3= = =AA B A BP M P M M P M M
a/ Xác su t B th ng tr n là:
( ) ( ) ( ) ( )( ) | . . | 0,54B A B A A B AP M P M P M M P M P M M= + =

MATHEDUCARE.COM
9
b/ Đ t D : “ñ i tuy n ch th ng 1 tr n”
Xác su t ñ i tuy n ch th ng 1 tr n là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). . . .B AA B A A B B A BP D P M M P M M P M P M M P M P M M= + = − + −
( ) ( ) ( )2. . 0,8 0,54 2.0,48 0,38A B A BP M P M P M M= + − = + − =
`
1.16.
Đ thành l p ñ i tuy n qu c gia v m t môn h c, ngư i ta t ch c m t cu c
thi tuy n g m 3 vòng. Vòng th nh t l y 80% thí sinh; vòng th hai l y 70% thí
sinh ñã qua vòng th nh t và vòng th ba l y 45% thí sinh ñã qua vòng th hai. Đ
vào ñư c ñ i tuy n, thí sinh ph i vư t qua ñư c c 3 vòng thi. Tính xác su t ñ
m t thí sinh b t kỳ
a/ Đư c vào ñ i tuy n;
b/ B lo i vòng th ba.
Gi i
Đ t i
A : “thí sinh ñư c ch n vòng i ” v i { }1,2,3∈i
Theo ñ bài ta có:
( ) ( ) ( )1 2 1 3 1 20,8; | 0,7; | 0,45= = =P A P A A P A AA
a/ Xác su t ñ thí sinh ñó ñư c vào ñ i tuy n là
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 1 3 1 2. | . | 0,8.0,7.0,45 0,252= = =P AA A P A P A A P A AA
b/ Xác su t ñ thí sinh ñó b lo i vòng th III là
( ) ( ) ( ) ( )3 31 2 1 2 1 1 2. / . /=P AA A P A P A A P A AA
( ) ( ) ( )( )1 2 1 3 1 2. | . 1 | 0,8.0,7.0,55 0,308= − = =P A P A A P A AA
1.17.
Đ thành l p ñ i tuy n qu c gia v m t môn h c, ngư i ta t ch c m t cu c
thi tuy n g m 3 vòng. Vòng th nh t l y 80% thí sinh; vòng th hai l y 70% thí
sinh ñã qua vòng th nh t và vòng th ba l y 45% thí sinh ñã qua vòng th hai. Đ
vào ñư c ñ i tuy n, thí sinh ph i vư t qua ñư c c 3 vòng thi Tính xác su t ñ
m t thí sinh b t kỳ
a/ Đư c vào ñ i tuy n;
b/ B lo i vòng th hai, bi t r ng thí sinh này b lo i.
Gi i
Đ t i
A : “thí sinh ñư c ch n vòng i ” v i { }1,2,3∈i
Theo ñ bài ta có:
( ) ( ) ( )1 2 1 3 1 20,8; | 0,7; | 0,45= = =P A P A A P A AA
a/ Xác su t ñ thí sinh ñó ñư c vào ñ i tuy n là
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 1 3 1 2. | . | 0,8.0,7.0,45 0,252= = =P AA A P A P A A P A AA
b/ Đ t K: “Thí sinh ñó b lo i”
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 31 1 2 1 1 1 2 1 21= + + = − + − +P K P A P A A P AA A P A P A P AA P AA A

MATHEDUCARE.COM
10
( ) ( ) ( )31 2 1 1 21 . / 1 0,8.0,7 0,308 0,748= − + = − + =P A P A A P AA A
V y, xác su t ñ thí sinh ñó b lo i vòng II, bi t r ng thí sinh ñó b lo i là:
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )2 2 21 1 1
2
. . . | 0,8 1 0,7
| 0,3209
0,748
−
= = = = =
P A K P A A P A P A A
P A K
P K P K P K
1.18.
M t lô hàng có 9 s n ph m gi ng nhau. M i l n ki m tra, ngư i ta ch n
ng u nhiên 3 s n ph m; ki m tra xong tr s n ph m l i lô hàng. Tính xác su t ñ
sau 3 l n ki m tra, 9 s n ph m ñ u ñư c ki m tra.
Gi i
Chia 9 s n ph m thành 3 nhóm. G i i
A : “Ki m tra nhóm i ” { }1,2,3∈i
Đ t A :”Sau 3 l n ki m tra, 9 s n ph m ñ u ñư c ki m tra”
( )
C C
P AA A P A P A A P A AA
C C
3 3
6 3
1 2 3 1 2 1 3 1 2 3 3
9 9
5
( ) ( | ) ( | ) 1. .
1764
= = =
1.19.
M t l p h c c a Trư ng Đ i h c AG có 2/3 là nam sinh viên và 1/3 là n
sinh viên. S sinh viên quê An Giang chi m t l 40% trong n sinh viên, và
chi m t l 60% trong nam sinh viên.
a) Ch n ng u nhiên m t sinh viên c a l p. Tính xác su t ñ ch n ñư c m t
sinh viên quê An Giang. N u bi t r ng sinh viên v a ch n quê An
Giang thì xác su t ñ sinh viên ñó là nam b ng bao nhiêu?
b) Ch n ng u nhiên không hoàn l i hai sinh viên c a l p. Tính xác su t ñ
có ít nh t m t sinh viên quê An Giang, bi t r ng l p h c có 60 sinh viên.
Gi i
a) Đ t :
A : “Ch n ñư c sinh viên nam” ( )
2
3
=P A
B : “Ch n ñư c sinh viên n ” ( )
1
3
=P B
C : “Ch n ñư c sinh viên quê An Giang”
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8
( ) | |
15
= + = + =P C P AC P BC P A P C A P B P C B
Do ñó,
( ) ( ) ( | ) 3
( | )
( ) ( ) 4
= = =
P AC P A P C A
P A C
P C P C
b) L p có 60 sinh viên suy ra có 40 sinh viên nam và 20 sinh viên n
S sinh viên Nam quê An Giang: 24
S sinh viên N quê An Giang: 8
Nên t ng s sinh viên quê An Giang là 32 sinh viên
F : “ít nh t m t sinh viên quê An Giang”
2
28
2
60
232
( ) 1 ( ) 1
295
= − = − =
C
P F P F
C
1.20.

MATHEDUCARE.COM
11
Có ba h p A, B và C ñ ng các l thu c. H p A có 10 l t t và 5 l h ng,
h p B có 6 l t t và 4 l h ng, h p C có 5 l t t và 5 l h ng
a/ L y ng u nhiên t m i h p ra m t l thu c, tính xác su t ñ ñư c 3 l
cùng lo i.
b/ L y ng u nhiên m t h p r i t h p ñó l y ra 3 l thu c thì ñư c 1 l t t
và 2 l h ng. Tính xác su t ñ h p A ñã ñư c ch n.
Gi i
a/ và i
A :“l l y ra t h p th i là t t” { }i 1,2,3∈
Nên, xác su t ñ ñư c 3 l cùng lo i
P A A A A A A P A P A P A P A P A P A1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
( . . . . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10 6 5 5 4 5 4
. . . .
15 10 10 15 10 10 15
+ = +
= + =
b/ Đ t i
H :“L y ñư c h p th i ” { }i A B C, ,∈ ; X :“L y ñư c 2 l h ng và 1 l
t t”
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A A B B C CP X P H P X H P H P X H P H P X H
C C C C C C
C C C
2 1 2 1 2 1
5 10 4 6 5 5
3 3 3
15 10 10
( ) | | |
1 1 1 5113
3 3 3 16380
= + +
= + + =
Khi ñó xác su t ñ h p A ñư c ch n
( )
( )
( ) ( )
( )
A A A
A
P XH P H P X H
P H X
P X P X
| 1200
( | ) 0,2347
5113
= = = =
1.21.
Có hai h p B và C ñ ng các l thu c. H p B có 6 l t t và 4 l h ng, h p C
có 5 l t t và 5 l h ng. L y ng u nhiên hai l thu c t h p B b vào h p C, r i
ti p theo l y ng u nhiên m t l thu c t h p C thì ñư c l h ng. Tính xác su t ñ
a/ L h ng ñó là c a h p B b sang;
b/ Hai l thu c b t h p B vào h p C ñ u là l h ng.
Gi i
G i k
C : “Hai l thu c l y t h p B b vào h p C có k l h ng” { }0,1,2k ∈
và ñ t D : “l thu c l y t h p C (sau khi ñã b 2 l t B b sang) b h ng”
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P D P C P D C P C P D C P C P D C0 0 1 1 2 2
29
( ) | | |
60
= + + =
a/ l h ng ñó là c a h p B b sang
( ) ( ) ( ) ( )
( )
P C P D C P C P D CP H D
P H D
P D P D
C C C
C C
1 1 2 22
2
1 1 2
6 4 4
2 2
10 10
| |( )
( | )
( )
1 2 60 4
. .
12 12 29 29
+
= =
 
 = + = 
  

MATHEDUCARE.COM
12
b/ hai l thu c b t h p B vào h p C ñ u là l h ng
( ) ( )
( )
P C P D C CP C D C
P C D
P D C CP D
12
2 2 72 4
2 2 1
10 12
|( ) 60 42
( | ) .
( ) 29 261
 
 = = = = 
  
1.22.
Trong m t ñ i tuy n có 3 v n ñ ng viên A, B và C thi ñ u v i xác su t
chi n th ng l n lư t là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s m i ngư i thi ñ u m t tr n ñ c l p
nhau.Tính xác su t ñ :
a/ ñ i tuy n th ng ít nh t m t tr n,
b/ ñ i tuy n th ng 2 tr n.
Gi i
Đ t :
A : “v n ñ ng viên A chi n th ng” ( ) 0,6=P A
B : “v n ñ ng viên B chi n th ng” ( ) 0,7=P A
C : “v n ñ ng viên C chi n th ng” ( ) 0,8=P A
a/ G i K : “ ñ i tuy n th ng ít nh t 1 tr n”
( )P K P ABC P A P B P C( ) 1 . . 1 ( ) ( ) ( ) 0,976= − = − =
b/ G i E : “ ñ i tuy n th ng 2 tr n”
( ) ( ) ( )P E P ABC P ABC P ABC( ) . . . . . . 0,452= + + =
1.23.
Trong m t ñ i tuy n có 3 v n ñ ng viên A, B và C thi ñ u v i xác su t
chi n th ng l n lư t là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s m i ngư i thi ñ u m t tr n ñ c l p
nhau.Tính xác su t ñ :
a/ Đ i tuy n th ng ít nh t m t tr n,
b/ A thua trong trư ng h p ñ i tuy n th ng 2 tr n.
Gi i
Đ t :
A : “v n ñ ng viên A chi n th ng” ( ) 0,6=P A
B : “v n ñ ng viên B chi n th ng” ( ) 0,7=P A
C : “v n ñ ng viên C chi n th ng” ( ) 0,8=P A
a/ G i K : “ ñ i tuy n th ng ít nh t 1 tr n”
( )P K P ABC P A P B P C( ) 1 . . 1 ( ) ( ) ( ) 0,976= − = − =
b/ A thua trong trư ng h p ñ i tuy n th ng 2 tr n
G i E : “ ñ i tuy n th ng 2 tr n”
( ) ( ) ( )P E P ABC P ABC P ABC( ) . . . . . . 0,452= + + =

MATHEDUCARE.COM
13
( ) P AE P ABC
P A E
P E P E
( . ) ( ) 56
| 0,4956
( ) ( ) 113
= = = ≈
1.24.
Trong năm h c v a qua, trư ng ñ i h c XYZ, t l sinh viên thi trư t
môn Toán là 34%, thi trư t môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trư t
môn Toán, có 50% sinh viên trư t môn Tâm lý. G p ng u nhiên m t sinh viên
c a trư ng XYZ.
a/ Tính xác su t ñ anh ta trư t c hai môn Toán và Tâm lý; ñ u c hai môn
Toán và Tâm lý.
b/ N u bi t r ng sinh viên này trư t môn Tâm lý thì xác su t ñ anh ta ñ u
môn Toán là bao nhiêu?
Gi i
T : “sinh viên thi trư t môn Toán” ( ) 0,34=P T
và L : “sinh viên thi trư t môn Tâm Lý” ( ) 0,205=P L
khi ñó ( | ) 0,5=P L T
a/ Xác su t sinh viên tru t môn c môn Toán và Tâm Lý
( ) ( )P T L P T P L T( . ) | 0,34.0,5 0,17= = =
Xác su t sinh viên ñ u c môn Toán và Tâm Lý
( ) ( ) ( ) ( )P T L P T L P T P L P T L. 1 ( ) 1 . 0,625= − ∪ = − − + =
b/ Xác su t sinh viên ñ u môn Toán, bi t r ng trư t môn Tâm Lý:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
P TL P L P TL
P T L
P L P L
7
|
41
−
= = = .
1.25.
môn Toán, có 50% sinh viên trư t môn Tâm lý. Ch n ng u nhiên 12 sinh viên c a
trư ng XYZ. Nhi u kh năng nh t là s có bao nhiêu sinh viên thi trư t c hai môn
Toán và Tâm lý. Tính xác su t tương ng.
Đáp s
G i T : “sinh viên thi trư t môn Toán” ( ) 0,34=P T
và L : “sinh viên thi trư t môn Tâm Lý” ( ) 0,205=P L khi ñó ( | ) 0,5=P L T
Xác su t sinh viên tru t môn c môn Toán và Tâm Lý
( ) ( )P T L P T P L T( . ) | 0,34.0,5 0,17= = =
Nên, Sinh viên trư t c Toán và Tâm lý v i xác su t không ñ i p 0,17= .

MATHEDUCARE.COM
14
Do ñó, ch n 12 sinh viên nghĩa là th c hi n 12 phép th Bernoulli v i xác
su t thành công (trư t c Toán và Tâm lý) không ñ i p 0,17= .s sinh viên nhi u
kh năng trư t c hai môn ( )n p1 13.0,17 2   + = =     
.
Xác su t tương ng là ( ) ( ) ( )
2 102
12 122 0,17 . 1 0,17 0,296P C= − = .
1.26.
môn Toán, có 50% sinh viên trư t môn Tâm lý. Ph i ch n bao nhiêu sinh viên
c a trư ng XYZ sao cho, v i xác su t không bé hơn 99%, trong s ñó có ít nh t
m t sinh viên ñ u c hai môn Toán và Tâm lý.
Gi i
T : “sinh viên thi trư t môn Toán” ( ) 0,34=P T
và L : “sinh viên thi trư t môn Tâm Lý” ( ) 0,205=P L
khi ñó ( | ) 0,5=P L T
Xác su t sinh viên ñ u c môn Toán và Tâm Lý
( ) ( ) ( ) ( )P T L P T L P T P L P T L. 1 ( ) 1 . 0,625= − ∪ = − − + =
G i n là s sinh viên c n ch n. Xác su t ñ sinh viên ñ u c hai môn Toán
và Tâm Lý không ñ i p 0,625= nên ta có quá trình Bernoulli ( ),B n p .
Đ t E : “ ít nh t m t sinh viên ñ u c hai môn Toán và Tâm Lý ”.
Theo yêu c u bài toán ta ñư c
( ) ( ) ( )1 0 1 1 0,625 0,99
n
nP E P= − = − − ≥
( ) ( )
n n
n0,01 0,375 ln 0,01 ln 0,375 4,69⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
V y, ch n ít nh t 5 sinh viên.
1.27.
Ba máy 1, 2 và 3 c a m t xí nghi p s n xu t, theo th t , 60%, 30% và
10% t ng s s n ph m c a m t xí nghi p. T l s n xu t ra ph ph m c a các máy
trên, theo th t , là 2%, 3% và 4%. L y ng u nhiên m t s n ph m t lô hàng c a
xí nghi p, trong ñó ñ l n l n các s n ph m do 3 máy s n xu t.
a/ Tính xác su t ñ s n ph m l y ra là s n ph m t t. Ý nghĩa c a xác
su t ñó ñ i v i lô hàng là gì?
b/ N u s n ph m l y ñư c là ph ph m, thì nhi u kh năng nh t là do
máy nào s n xu t?
Gi i
Đ t i
M : “s n ph m l y ra do máy i s n xu t” v i { }1,2,3i ∈
( ) ( ) ( )1 2 30,6; 0,3; 0,1P M P M P M= = =
Và T :“s n ph m l y ra là ph ph m”
( ) ( ) ( )1 2 3| 0,98; | 0,97; | 0,96P T M P T M P T M= = =

MATHEDUCARE.COM
15
a/ T :”s n ph m l y ra là s n ph m t t”
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P T P M P T M P M P T M P M P T M1 1 2 2 3 3
| | | 0,975= + + =
Ý nghĩa, xác su t th hi n t l s n ph m t t c a lô hàng.
b/ Xác su t l y ra s n ph m là ph ph m
( ) ( )P T P T1 0,025= − =
Theo công th c Bayes
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
P M T P M P T M
P M T
P T P T
1 1 1
1
. | 0,6.0,02
| 0,48
0,025
= = = =
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
2
. | 0,3.0,03
| 0,36
0,025
P M T P M P T M
P M T
P T P T
= = = =
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
P M T P M P T M
P M T
P T P T
3 3 3
3
. | 0,1.0,04
| 0,16
0,025
= = = =
Do ñó, s n ph m do máy 1 s n xu t ra ph ph m nhi u nh t.
1.28.
Chia ng u nhiên 9 t m vé s , trong ñó có 3 vé trúng thư ng, ñ u cho 3
ngư i (m i ngư i 3 t m). Tính xác su t ñ c 3 ngư i ñ u ñư c trúng thư ng.
Gi i
Đ t i
A : “Ngư i mua vé th i ñư c vé trúng thư ng” v i { }1,2,3i ∈
( ) ( ) ( ) ( )
C C C C C C
P AA A P A P A A P A AA
C C C
1 2 1 2 1 2
3 6 2 4 1 2
1 2 3 1 2 1 3 1 2 3 3 3
9 6 3
9
| | . .
28
= = =
1.29.
Trong s các b nh nhân ñang ñư c ñi u tr t i m t b nh vi n, có 50% ñi u
tr b nh A, 30% ñi u tr b nh B và 20% ñi u tr b nh C. T i b nh vi n này, xác
su t ñ ch a kh i các b nh A, B và C, theo th t , là 0,7; 0,8 và 0,9. Hãy tính t
l b nh nhân ñư c ch a kh i b nh A trong t ng s b nh nhân ñã ñư c ch a kh i
b nh trong b nh vi n.
Gi i
Đ t i
T : “b nh nhân ñi u tr b nh i ” v i { }, ,i A B C∈
K : “b nh nhân ñư c kh i b nh”
Theo ñ bài ta có: ( ) ( ) ( )0,5; 0,3; 0,2A B CP T P T P T= = =
và ( ) ( ) ( )/ 0,7; / 0,8; / 0,9A B CP K T P K T P K T= = =
Xác su t ñ b nh nhân kh i b nh là

MATHEDUCARE.COM
16
( ) ( ) ( ). / 0,5.0,7 0,3.0,8 0,2.0,9 0,77
C
i i
i A
P K P T P K T
=
= = + + =∑
Xác su t ñ b nh nhân tr kh i b nh A là
( )
( ) ( ). | 0,5.0,7
| 45,45%
( ) 0,77
A A
A
P T P K T
P T K
P K
= = =
1.30.
Có hai bình như sau: Bình A ch a 5 bi ñ , 3 bi tr ng và 8 bi xanh; bình B
ch a 3 bi ñ và 5 bi tr ng. Gieo m t con xúc x c vô tư: N u m t 3 ho c m t 5
xu t hi n thì ch n ng u nhiên m t bi t bình B; các trư ng h p khác thì ch n ng u
nhiên m t bi t bình A. Tính xác su t ñ ch n ñư c viên bi ñ . N u viên bi tr ng
ñư c ch n, tính xác su t ñ m t 5 c a con xúc x c xu t hi n.
Gi i
Đ t X : “Gieo con xúc x c ñư c m t 3 hoăc m t 5”, P X
1
( )
3
=
D : “L y t bình ra m t bi là bi ñ ”. Ta có
1 1
3 5
1 1
8 16
1 2 1
( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) . .
3 3 3
C C
P D P X P D X P X P D X
C C
= + = + =
G i T : “m t viên bi ñư c ch n là bi tr ng”
C C
P T P X P T X P X P T X
C C
1 1
5 3
1 1
8 16
1 2 1
( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) . .
3 3 3
= + = + =
Đ t E : “gieo con xúc x c ñư c m t 5”.
Xác su t m t 5 xu t hi n, bi t r ng bi ñư c ch n là bi tr ng là
( )
( )
( ) ( )
P XT P X P T X
P E T
P T P T
1 1 ( ) ( | ) 1 1 5 5
| .3. .
2 2 2 3 8 16
= = = =
1.31.
Có hai bình như sau: Bình A ch a 5 bi ñ , 3 bi tr ng và 8 bi xanh; bình B
ch a 3 bi ñ và 5 bi tr ng.
L y ng u nhiên 3 viên bi t bình A b vào bình B, r i t bình B l y ng u
nhiên 1 viên bi thì ñư c bi ñ . Theo ý b n, viên bi ñó v n thu c bình nào?
Gi i
G i kA : “ có k bi ñ trong 3 viên bi l y t bình A b vào bình B” v i { }0,1,2,3k ∈
Đ t F : “L y m t bi t bình B ra là bi ñ ”.
3 1 23
11 5 11
3 3
0 16 16
2 1 3
5 11 5
3 3
16 16
3 4
( ) ( ) ( | ) . .
11 11
5 6 63
. .
11 11 176
k k
k
C C C
P F P A P F A
C C
C C C
C C
=
= = + +
+ + =
∑
Đ t G : “bi ñ sau cùng l y t bình B”.

MATHEDUCARE.COM
17
C
P G
C
1
3
1
11
3
( )
11
= =
Do ñó
( )
( )
( )
( )
P GF P G
P G F
P F P F
3 176 16 1
( | ) .
11 63 21 2
= = = = > .
V y, bi ñ sau cùng nhi u kh năng nh t là c a bình B.
1.32.
Có hai chu ng nuôi th . Chu ng th nh t có 1 con th tr ng và 5 con th
nâu; chu ng th hai có 9 con th tr ng và 1 con th nâu. T m i chu ng b t ng u
nhiên ra m t con ñ nghiên c u. Các con th còn l i ñư c d n vào m t chu ng th
ba. T chu ng th ba này l i b t ng u nhiên ra m t con th . Tính xác su t ñ con
th b t ra sau cùng là m t con th nâu.
Gi i
Đ t A : “Th b t chu ng 1 ra nghiên c u là th nâu ”
5
( )
6
P A =
B : “Th b t chu ng 2 ra nghiên c u là th nâu”
1
( )
10
P B =
G i N : “Th b t chu ng 3 ra nghiên c u là th nâu ”
( ) ( ) ( ) ( )( ) . . . . . . . .P N P AB N P AB N P AB N P AB N= + + +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
. | . . | .
. | . . | .
P AB P N AB P AB P N AB
P AB P N AB P AB P N AB
= + +
+ +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
| . | .
| . | .
P A P B P N AB P A P B P N AB
P A P B P N AB P A P B P N AB
= + +
+ +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 6 5 5 38
14 14 14 14 105
P A P B P A P B P A P B P A P B= + + + =
1.33.
Ban giám ñ c m t công ty liên doanh v i nư c ngoài ñang xem xét kh
năng ñình công c a công nhân ñ ñòi tăng lương hai nhà máy A và B. Kinh
nghi m cho h bi t cu c ñình công nhà máy A và B x y ra l n lư t v i xác su t
0,75 và 0,65. Ngoài ra, h cũng bi t r ng n u công nhân nhà máy B ñình công
thì có 90% kh năng ñ công nhân nhà máy A ñình công ng h .
a/ Tính xác su t ñ công nhân c hai nhà máy ñình công.
b/ N u công nhân nhà máy A ñình công thì xác su t ñ công nhân nhà
máy B ñình công ñ ng h b ng bao nhiêu?
Gi i
Đ t : A : “ Công nhân ñình công nhà máy A” ( ) 0,75P A =

MATHEDUCARE.COM
18
B : “Công nhân ñình công nhà máy B” ( )( ) 0,69; | 0,9P B P A B= =
a/ Xác su t công nhân ñình công 2 nhà máy là
( ) ( ) ( ). | , . , ,P AB P A P A B 0 65 0 9 0 585= = =
b/ N u công nhân nhà máy A ñình công thì xác su t ñ công nhân nhà máy B
ñình công là
( )
( )
( )
,
| ,
,
P AB
P B A
P A
0 585
0 78
0 75
= = =
1.34.
M t nhân viên ki m toán nh n th y 15% các b n cân ñ i thu chi ch a các
sai l m. Trong các b n ch a sai l m, 60% ñư c xem là các giá tr b t thư ng so
v i các s xu t phát t g c. Trong t t c các b n cân ñ i thu chi thì 20% là nh ng
giá tr b t thư ng. N u m t con s m t b ng cân ñ i t ra b t thư ng thì xác su t
ñ s y là m t sai l m là bao nhiêu?
Gi i
Đ t A : “b n cân ñ i thu chi ch a sai l m” ( ) 0,15P A =
B : “b n cân ñ i thu chi ch a giá tr b t thư ng”
( )( ) 0,2; | 0,6P B P B A= =
Xác su t 1 con s 1 b ng cân ñ i t ra b t thư ng là 1 sai l m:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
. | , . ,
| ,
,
P AB P A P B A
P A B
P B P B
0 15 0 6
0 45
0 2
= = = =
1.35.
M t hãng s n xu t m t lo i t l nh X ư c tính r ng kho ng 80% s ngư i
dùng t l nh có ñ c qu ng cáo t l nh do hãng y s n xu t. Trong s nh ng ngư i
ñ c qu ng cáo, có 30% mua lo i t l nh X; 10% không ñ c qu ng cáo cũng mua
lo i t l nh X. Tính xác su t ñ m t ngư i tiêu dùng ñã mua lo i t l nh X mà có
ñ c qu ng cáo.
Gi i
Đ t A : “ngư i ñó ñ c qu ng cáo” ( ) 0,8P A =
B : “ngư i ñó mua t l nh X” ( ) ( )/ , ; / ,P B A P B A0 3 0 1= =
Trư c tiên tính xác su t ñ ngư i mua t l nh X
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). / . / ,P B P AB P AB P A P B A P A P B A 0 26= + = + =
Xác su t ñ 1 ngư i tiêu dùng ñã mua lo i t l nh X mà có ñ c qu ng cáo:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
. | , . ,
|
,
P AB P A P B A
P A B
P B P B
0 8 0 3 12
0 26 13
= = = =
1.36.
Trên m t b ng qu ng cáo, ngư i ta m c hai h th ng bóng ñèn ñ c l p. H
th ng I g m 4 bóng m c n i ti p, h th ng II g m 3 bóng m c song song. Kh
năng b h ng c a m i bóng trong 18 gi th p sáng liên t c là 0,1. Vi c h ng c a
m i bóng c a m i h th ng ñư c xem như ñ c l p. Tính xác su t ñ
a/ H th ng I b h ng;

MATHEDUCARE.COM
19
b/ H th ng II không b h ng.
Gi i
a/ Đ t i
A :”bóng ñèn th i trong h th ng I bi h ng” { }1,2,3,4i ∈ .
Xác su t h th ng I b h ng
( ) 4
1 2 3 4 1 2 3 4( ) ( ) 1 . . . 1 0,9 0,3439P A P A A A A P A A A A= + + + = − = − =
b/ Đ t j
B :”bóng ñèn th j trong h th ng II bi h ng” { }1,2,3j ∈ .
Xác su t h th ng II không b h ng
1 2 3 1 2 3
( ) 1 ( . . ) 1 0,1.0,1.0,1 0,999P B B B P B B B+ + = − = − =
1.37.
Trên m t b ng qu ng cáo, ngư i ta m c hai h th ng bóng ñèn ñ c l p. H
th ng I g m 4 bóng m c n i ti p, h th ng II g m 3 bóng m c song song. Kh
năng b h ng c a m i bóng trong 18 gi th p sáng liên t c là 0,1. Vi c h ng c a
m i bóng c a m i h th ng ñư c xem như ñ c l p. Tính xác su t ñ
a/ C hai h th ng b h ng;
b/ Ch có m t h th ng b h ng.
Gi i
a/ Đ t i
A : “bóng ñèn th i trong h th ng I bi h ng” { }1,2,3,4i ∈ .
và j
B :”bóng ñèn th j trong h th ng II bi h ng” { }1,2,3j ∈ .
Xác su t h th ng I b h ng
( )1 2 3 4 1 2 3 4
( ) ( ) 1 . . . 1 4.0,9 0,3439P A P A A A A P A A A A= + + + = − = − =
Xác su t h th ng II b h ng là: ( ) 1 2 3
( . . ) 0,001P B P B B B= =
Nên, xác su t c hai h th ng b h ng là
( ) ( ) ( ) 0,3439.0,001 0,0003439P AB P A P B= = =
b/ Xác su t ch có m t h th ng b h ng
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,34212P AB AB P A P B P A P B+ = + =
1.38.
M t lô hàng g m r t nhi u bóng ñèn, trong ñó có 8% bóng ñèn x u. M t
ngư i ñ n mua hàng v i qui ñ nh: Ch n ng u nhiên 10 bóng ñèn ñem ki m tra và
n u có nhi u hơn m t bóng ñèn x u thì không nh n lô hàng. Tính xác su t ñ lô
hàng ñư c ch p nh n.
Gi i
Vi c ki m tra 10 bóng ñèn, nghĩa là th c hi n 10 phép th Bernoulli, v i
xác su t “thành công” g p bóng x u 0,08p = (không ñ i).
Khi ñó ( ); , , . , , , , ,...,−
= =k k k
nP k C k10
10 0 08 0 08 0 92 0 1 2 10
(k :s l n thành công trong 10 phép th )
Đ t A : “nh n lô hàng”

MATHEDUCARE.COM
20
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10 9
1
10 10 10
0;0,08 1;0,08 0,92 0,88. 0,92 0,812P A P P C= + = − =
1.39.
M t nhóm nghiên c u ñang nghiên c u v nguy cơ m t s c t i m t nhà
máy ñi n nguyên t s gây ra s rò r phóng x . Nhóm nghiên c u nh n th y các
lo i s c ch có th là: ho ho n, s gãy ñ c a v t li u ho c sai l m c a con
ngư i, và 2 hay nhi u hơn 2 s c không bao gi cùng x y ra.
N u có h a ho n thì s rò r phóng x x y ra kho ng 20% s l n. N u có s
gãy ñ c a v t li u thì s rò r phóng x x y ra kho ng 50% s l n, và n u có s
sai l m c a con ngư i thì s rò r s x y ra kho ng 10% s l n. Nhóm nghiên c u
cũng tìm ñư c xác su t ñ : Ho ho n và s rò r phóng x cùng x y ra là 0,0010,
gãy ñ v t li u và s rò r phóng x cùng x y ra là 0,0015, sai l m c a con ngư i
và s rò r phóng x cùng x y ra là 0,0012. Tìm xác su t ñ
a/ có ho ho n; có gãy ñ v t li u và có sai l m c a con ngư i;
b/ có m t s rò r phóng x ;
c/ m t s rò r phóng x ñư c gây ra b i s sai l m c a con ngư i.
Gi i
Đ t A : “x y ra h a ho n”
B : “x y ra gãy ñ ”
C : “x y ra sai l m c a con ngư i”
D : “s rò r phóng x ”
Ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
| 0,2; | 0,5; | 0,1
0,001; 0,0015; 0,0012
P D A P D B P D C
P DA P DB P DC
= = =
= = =
a/ Xác su t có ho ho n là
( )
( )
( )
,
|
P AD
P A
P D A
0 005= =
Xác su t có gãy ñ v t li u là
( )
( )
( )
,
|
P BD
P B
P D B
0 003= =
và xác su t sai l m c a con ngư i
( )
( )
( )
,
|
P CD
P C
P D C
0 0012= =
b/ Xác su t có s rò r phóng x x y ra:
( ) ( ) ( ) ( ) , , , ,P D P AD P BD P CD 0 001 0 0015 0 0012 0 0037= + + = + + =
c/ Xác su t m t s rò r phóng x ñư c gây ra b i s sai l m c a con ngư i là
( )
( )
0,0012 12
( | )
0,0037 37
P CD
P C D
P D
= = =
1.40.

MATHEDUCARE.COM
21
M t ñ a phương có t l ngư i dân nghi n thu c lá là 30%. Bi t r ng t l
ngư i b viêm h ng trong s ngư i nghi n thu c lá là 60%, còn t l ñó trong s
ngư i không nghi n thu c lá là 40%. Ch n ng u nhiên m t ngư i t ñ a phương
trên.
a/ N u ngư i ñó b viêm h ng, tính xác su t ñ ngư i ñó nghi n thu c lá.
b/ N u ngư i ñó không b viêm h ng, tính xác su t ñ ngư i ñó nghi n
thu c lá.
Gi i
Đ t A : “ngư i dân nghi n thu c lá” ( ) ,P A 0 3=
B : “ngư i dân b viêm h ng” ( ) ( )| , ; | ,P B A P B A0 6 0 4= =
a/ Trư c tiên ta tính xác su t ngư i này viêm h ng
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). | . | ,P B P AB P AB P A P B A P A P B A 0 46= + = + =
Xác su t ñ ngư i nghi n thu c lá n u b viêm h ng là
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
. | , . ,
|
,
P AB P A P B A
P A B
P B P B
0 3 0 6 9
0 46 23
= = = =
b/ Xác su t ñ ngư i nghi n thu c lá n u không b viêm h ng là
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
. |
|
− −
= = = =
−
P AB P A P AB P A P A P B A
P A B
P BP B P B
2
1 9
1.41.
M t nhà xu t b n g i b n gi i thi u sách m i ñ n 80% gi ng viên c a m t
trư ng ñ i h c. Sau m t th i gian, nhà xu t b n nh n th y: Có 30% gi ng viên
mua sách trong s nh ng ngư i nh n ñư c b n gi i thi u, và trong s nh ng gi ng
viên không nh n ñư c b n gi i thi u, có 10% mua sách . Tìm t l nh ng gi ng
viên nh n ñư c b n gi i thi u trong s nh ng ngư i mua sách.
Gi i
Đ t A : “gi ng viên nh n ñư c b n gi i thi u sách m i” ( ) ,P A 0 8=
B : “gi ng viên mua sách” ( ) ( )| , ; | ,P B A P B A0 3 0 1= =
Trư c h t ta tính xác su t ñ gi ng viên mua sách
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) . | . | 0,26P B P AB P AB P A P B A P A P B A= + = + =
Nên, xác su t ñ gi ng viên nh n ñư c b n gi i thi u trong s nh ng ngư i mua
sách:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
. | , . ,
/
,
P AB P A P B A
P A B
P B P B
0 8 0 3 12
0 26 13
= = = =
1.42.
Nhà trư ng mu n ch n m t s h c sinh t m t t g m 7 nam sinh và 6
n .sinh. L n ñ u ch n ng u nhiên 2 h c sinh; sau ñó, ch n ti p 1 h c sinh n a.
a/ Tính xác su t ñ h c sinh ñư c ch n l n sau là nam sinh.

MATHEDUCARE.COM
22
b/ Bi t r ng h c sinh ñư c ch n l n sau là n sinh, tính xác su t ñ c hai
h c sinh ñư c ch n l n ñ u ñ u là nam sinh.
Gi i
a/ G i k
A : “ch n k h c sinh nam trong 2 h c sinh l n ñ u” { }0,1,2k ∈
1 1 22
7 6 76
0 1 22 2 2
13 13 13
( ) ; ( ) ; ( )
C C CC
P A P A P A
C C C
= = =
A :”h c sinh ñư c ch n sau cùng là nam”
( ) 0 0 1 1 2 2
1 1 22
7 6 76
2 2 2
13 13 13
( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )
7 6 5 7
. . .
11 11 11 13
P A P A P A A P A P A A P A P A A
C C CC
C C C
= + +
= + + =
b/ Xác su t h c sinh ch n l n sau cùng là n là ( )
6
( ) 1 -
13
P A P A= =
nên xác su t ñ 2 h c sinh ñư c ch n l n ñ u là nam:
( )
( )
2 1
7 6
2 1
2 2
13 11
2
.
( ). | 7
( | )
6 22
13
C C
P A P A A C C
P A A
P A
= = =
1.43.
S li u th ng kê v b nh lao ph i t i m t ñ a phương cho bi t: Có 15% s
ngư i làm ngh ñ c ñá (LNĐĐ) và b lao ph i; có 50% s ngư i không LNĐĐ và
không b lao ph i; có 25% s ngư i LNĐĐ nhưng không b lao ph i. Ngoài ra, t
l nh ng ngư i không LNĐĐ nhưng b lao ph i là 10%. Chúng ta có th k t lu n
gì v m i quan h gi a ngh ñ c ñá và b nh lao ph i?
Gi i
Đ t D : “làm ngh ñ c ñá”
L : “b lao ph i”
Theo s li u ñ bài ta có: ( ) 0,15; ( . ) 0,5; ( . ) 0,25; ( . ) 0,1P DL P D L P D L P D L= = = =
Khi ñó,
( )( ) ( . ) 0,25 0,15 0,4P D P D L P DL= + = + =
và
( )( ) ( . ) 0,1 0,15 0,25P L P L D P DL= + = + =
D th y ( ) ( )0,15 0,4.0,25 ( )P DL P D P L= ≠ = do ñó b nh lao ph i có liên quan
ñ n ngh ñ c ñá. Xét
( )
( )
( )
( )
( )
( )
| 0,375; | 0,2
P LDP LD
P L D P L D
P D P D
= = = =

MATHEDUCARE.COM
23
Ta th y ( ) ( )| 2 |P L D P L D≈ . Ch ng t r ng, xác su t ngư i b lao ph i khi
ngư i ñó làm ngh ñ c ñá cao g n g p hai l n xác su t ngư i b lao ph i nhưng
ngư i ñó không làm ngh ñ c ñá.
1.44.
Gi s m t xét nghi m X cho k t qu dương tính (+) ñ i v i nh ng ngư i
nhi m HIV v i xác su t 95% và cho k t qu (+) ñ i v i nh ng ngư i không nhi m
HIV v i xác su t 1%. M t ngư i ñ n t ñ a phương có t l nhi m HIV là 1%
ñư c làm xét nghi m X và cho k t qu (+). Tính xác su t ñ ngư i này th c s
nhi m HIV.
Gi i
Đ t A : “Ngư i b nhi m HIV ñ n t ñ a phương” ( ) 0,01P A =
B : “ngư i ñ n t ñ a phương làm xét nghi m X cho k t qu dương tính v i
HIV”
( ) ( ) ( ) ( ) ( ). | . | 0,01.0,95 0,99.0,01 0,0194P B P A P B A P A P B A= + = + =
Xác su t ñ ngư i ñ n t ñ a phương có t l 1% ñư c xét nghi m và cho k t qu
dương tính là
( ). ( | ) 0,95.0,01 95
( | )
( ) 0,0194 194
P A P B A
P A B
P B
= = =
1.45.
M t h p ch a 15 l thu c, trong ñó có 6 l h ng. L y l n lư t t ng l
không hoàn l i ñ ki m tra, cho ñ n khi g p 3 l h ng thì d ng.
a/ Tính xác su t ñ vi c ki m tra d ng l i l th ba; l th sáu
b/ N u vi c ki m tra d ng l i l th sáu, tính xác su t ñ l ñư c ki m
ra ñ u tiên là l h ng.
Gi i
Đ t i
A :” l n ki m tra th i ñư c l h ng”
a/ Xác su t ñ vi c ki m tra d ng l i l th ba ( )1 2 3
6 5 4 4
. .
15 14 13 91
P AA A = =
Đ t A :” ki m tra liên ti p 5 l n ñư c 2 l h ng và 3 t t”
3 2 1
9 6 4
65 1
15 10
1260 4
( ) ; ( )
3003 10
C C C
P A P A
C C
= = = =
C :”ki m tra d ng l i l th sáu” ( )6 6
24
( ) ( ) ( )
143
P C P AA P A P A= = =
b/ Vi c ki m tra d ng l i l th sáu, xác su t ñ l ñư c ki m ra ñ u tiên là l
h ng.
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
1 1 1 6
1
|
|
P A P C A P A P D P A
P A C
P C P C
= =

MATHEDUCARE.COM
24
1 3
5 9
4
14
6 4
. .
15 10 71
0,4
24 225
143
C C
C
= = ≈
1.46.
T m t lô hàng có r t nhi u quy n v v i t l v h ng là 5%, ngư i ta
ch n ng u nhiên t ng quy n v ñ ki m tra.
a/ H i ph i ki m tra ít nh t bao nhiêu quy n v ñ xác su t có ít nh t m t
quy n v h ng không bé hơn 90% ?
b/ Gi s vi c ki m tra s d ng l i khi phát hi n 3 quy n v h ng. Tính
xác su t ñ vi c ki m tra d ng l i l n ki m tra th 10,
Gi i
G i p là xác su t v h ng trong m i lô hàng. 0,05p = và g i n là s
quy n v c n ki m tra. Ta có dãy phép th Bernoulli v i xác su t thành công (v
h ng) là 0,05. Do ñó, ( );0,05n
P k
a/ Đ t A : “ít nh t m t quy n v h ng”
( ) ( )( ) 1 0;0,05 1 0,95 0,9 44,98
n
n
P A P n= − = − ≥ ⇔ ≥
Nên ph i ki m tra ít nh t 45 quy n v .
b/ Vi c ki m tra phát hi n 3 quy n v h ng suy ra 9 l n ki m tra ñ u phát hi n 2
quy n v h ng và l n th 10 ph i là v h ng.
Đ tB :”ki m tra d ng l i l n th 10”
( ) ( ) ( )2 2 7
9 9
2;0,05 .0,05 0,05 0,95 .0,05 0,003143P B P C= = = .
1.47.
H p th nh t có 8 s n ph m lo i A và 2 s n ph m lo i B ; h p th hai có 5
s n ph m lo i A và 3 s n ph m lo i B . L y ng u nhiên t m i h p ra 2 s n ph m.
a/ Tính xác su t ñ ñư c 3 s n ph m lo i A ;
b/ Gi s l y ñư c m t s n ph m lo i B và 3 s n ph m lo i A . Nhi u
kh năng là s n ph m lo i B thu c h p nào? T i sao?
Gi i
L y ng u nhiên t m i h p ra 2 sp v i { }0;1;2i ∈ và { }0;1;2j ∈
Đ t i
A :” l y ñư c i sp lo i A t h p th nh t”
j
B :” l y ñư c j sp lo i A t h p th hai”
a/ C : “l y ñư c 3 sp lo i A và 1 sp lo i B ”
( ) ( ) ( )
2 1 1 1 1 2
8 5 3 8 2 5
2 1 1 2 2 2 2 2
10 8 10 8
. . 29
. .
63
C C C C C C
P C P A B P AB
C C C C
= + = + =
b/ G i ( ) ( )1 2
,P H P H l n lư t là xác su t ñ sp lo i B thu c h p th nh t và h p
th hai

MATHEDUCARE.COM
25
Ta có ( )
( )
( )
1 1 2
8 2 5
2 2
1 2 10 8
1
.
.
8
29 29
63
C C C
P AB C C
P H
P C
= = =
( )
( )
( )
2 1 1
8 5 3
2 2
2 1 10 8
2
.
.
21
29 29
63
C C C
P A B C C
P H
P C
= = =
Ta th y ( ) ( )1 2
P H P H< nên sp lo i B nhi u kh năng thu c h p th hai.
1.48.
H p th nh t có 8 s n ph m lo i A và 2 s n ph m lo i B ; h p th hai có 5
s n ph m lo i A và 3 s n ph m lo i B . L y ng u nhiên m t h p, r i l y ng u
nhiên t ñó ra 4 s n ph m.
a/ Tính xác su t ñ ñư c 3 s n ph m lo i A ;
b/ Gi s l y ñư c m t s n ph m lo i B và 3 s n ph m lo i A . Nhi u
kh năng là s n ph m lo i B thu c h p nào? T i sao?
Gi i
a/ L y ng u nhiên ra 1 h p, r i l y ng u nhiên t ñó ra 4 sp
Đ t i
M :” l y ñư c h p th i ”, { }1,2i ∈ suy ra ( ) ( )1 2
1
2
P M P M= =
g i C :” l y ñư c 3 sp lo i A và 1 sp lo i B ”
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2
. | . |P C P M P C M P M P C M= +
3 1 3 1
8 2 5 3
4 4
10 8
. .1 1 8 3 101
2 2 15 7 210
C C C C
C C
   
   = + = + =   
    
b/ G i ( ) ( )1 2
,P H P H l n lư t là xác su t ñ sp lo i B thu c h p th nh t và h p
th hai
Ta có ( )
( ) ( )
( )
3 1
8 2
4
1 1 10
1
.1
.
. | 2 56
101 101
210
C C
P M P C M C
P H
P C
= = =
( )
( ) ( )
( )
3 1
5 3
4
2 2 8
2
.1
.
. | 2 45
101 101
210
C C
P M P C M C
P H
P C
= = =
Th y ( ) ( )1 2
P H P H> nên sp lo i B nhi u kh năng thu c h p th nh t.
1.49.

MATHEDUCARE.COM
26
M t nhà máy s n xu t linh ki n ñi n t v i 96% s n ph m có ch t lư ng
cao. M t qui trình ki m tra ch t lư ng s n ph m có ñ c ñi m: 2% s n ph m có
ch t lư ng cao l i không ñư c công nh n và 5% s n ph m không có ch t lư ng
cao l i ñư c công nh n. Hãy tính xác su t ñ sau khi ki m tra, m t s n ph m
ñư c công nh n có ch t lư ng cao ñúng là s n ph m có ch t lư ng cao.
Gi i
G i A : “sp ch t lư ng cao” và B : “sp ñư c công nh n”
( ) 0,96P A = , ( )| 0,02P B A = và ( )| 0,05P B A =
Ta có ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
| 0,02
P AB P A P AB
P B A
P A P A
−
= = =
suy ra ( ) 0,9408P AB = .
L i có ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
| 0,05
P AB P B P AB
P B A
P A P A
−
= = =
suy ra ( ) 0,9428P B =
Xs ñ 1 sp ñó ñư c công nh n ch t lư ng cao ñúng là sp ch t lư ng cao là
( )
( )
( )
0,9408
| 0,9978
0,9428
P AB
P A B
P B
= = =
1.50.
Gi s b n ñem giao m t lô hàng, r t nhi u s n ph m, mà b n bi t r ng nó
có t l ph ph m là 10%. Ngư i nh n hàng ñ ngh l y ng u nhiên 6 s n ph m ñ
ki m tra, và n u có quá k ph ph m thì không nh n lô hàng. B n ñ ngh k b ng
bao nhiêu ñ v a thuy t ph c ñư c ngư i nh n, v a hy v ng kh năng lô hàng
không b t ch i ít nh t là 95%?
Gi i
T l ph ph m là 0,1p =
Vi c l y ng u nhiên 6 sp ñ ki m tra nghĩa là th c hi n 6 phép th
Bernoulli v i xs thành công (g p ph ph m) 0,1p = (không ñ i). Ta ñư c
( ) 6
6 6
;0,1 .0,1 .0,9k k k
P k C −
=
Nh n xét:
( ) ( )6 6
0;0,1 1;0,1 0,95P P+ <
và ( ) ( ) ( )6 6 6
0;0,1 1;0,1 2;0,1 0,9842 0,95P P P+ + = >
nên theo yêu c u bài toán 2k = .
1.51.
M t khu dân cư A có t l m c b nh B là 30%.
a/ Trong m t ñ t ñi u tra, ngư i ta ch n ng u nhiên 10 ngư i. Tính xác su t
trong ñó có nhi u nh t ba ngư i m c b nh B.

MATHEDUCARE.COM
27
b/ Đư c bi t trong khu v c ñó có 60% dân s có chích ng a b nh B. T l
ngư i kháng b nh B ñ i v i ngư i ñư c chích ng a là 95%. Còn t l kháng b nh
B ñ i v i ngư i không chích ng a là 20%. Ch n ng u nhiên m t ngư i th y ngư i
này không m c b nh B. Tính xác su t ngư i này có chích ng a.
Gi i
G i B : “Ngư i ñư c ch n m c b nh B” ( ) 0,3P B = .
Ch n ng u nhiên 10 ngư i là th c hi n 10 phép th Bernuolli v i xác su t thành
công (m c b nh B) ( ) 0,3P B = (không ñ i). Ta có ( ) 10
10 10
;0,3 .0,3 .0,7k k k
P k C −
= .
a/ Xác su t trong ñó có nhi u nh t ba ngư i m c b nh B
( ) ( ) ( ) ( )10 10 10 10
0;0,3 1;0,3 2;0,3 3;0,3
0,0282 0,1211 0,2335 0,2668 0,6496
P P P P+ + + =
= + + + =
b/ A :” chích ng a b nh B” ( ) 0,6P A =
( )| 0,95P B A = và ( )| 0,2P B A =
Xác su t ch n ng u nhiên m t ngư i th y ngư i này không m c b nh B:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )| | 0,65P B P A P B A P A P B A= + =
xác su t ngư i này có chích ng a:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
. . | 8
|
65
P AB P A P B A
P A B
P B P B
= = = .
1.52.
T l s n xu t ra ph ph m c a m t máy là 8%. Kh o sát m t lô hàng g m 75
s n ph m do máy ñó s n xu t ra.
a/ Tính xác su t ñ trong lô hàng, có 10 ph ph m
b/ Trong lô hàng, nhi u kh năng nh t là có bao nhiêu ph ph m? Tính xác
su t tương ng.
Gi i
N u xem vi c máy s n xu t ra m t s n ph m là m t phép th Bernoulli, v i
xác su t cho “thành công” là 0,08p = , thì khi máy ñó s n xu t 75 s n ph m, nó
ñã
th c hi n quá trình ( )75 ;0,08P k
a/ Xác su t ph i tính:
10 10 65
75 7510 0 08 0 92 0 03941P C= =( ) ( , ) .( , ) ,
b/ S ph ph m nhi u kh năng nh t trong lô hàng là:
( )75 1 .0,08 6+   =
v i xác su t tương ng:

MATHEDUCARE.COM
28
6 6 69
75 75(6) (0,08) .(0,92) 0,16745P C= =
1.53.
Ngư i ta mu n l y ng u nhiên m t s h t gi ng t m t lô h t gi ng có t l
h t lép là 3% ñ nghiên c u. H i ph i l y ít nh t bao nhiêu h t sao cho xác su t
ñ có ít nh t m t h t lép không bé hơn 95% ?.
Gi i
G i n là s h t ph i l y, chúng ta có ( );0,03nP k . Xác su t ñ có ít nh t m t h t
lép là ( )1 1 0,03 1 0,97( )
nn
− − = − .
Theo gi thi t, chúng ta có:
( ) ( )1 0,97 0,95 0,97 0,05
ln 0,05
98,3523
ln 0,97
n n
n− ≥ ⇔ ≤ =⇔ ≥
V y, ph i l y ít nh t 99 h t gi ng.

MATHEDUCARE.COM
29
CHƯƠNG 2: BI N NG U NHIÊN
2.1.
Có ba h p ,A B và C ñ ng các l thu c. H p A có 10 l t t và 5 l h ng,
h p B có 6 l t t và 4 l h ng, h p C có 5 l t t và 7 l h ng. L y ng u nhiên t
m i h p ra m t l thu c.
a/ Tìm lu t phân ph i xác su t cho s l thu c t t trong 3 l l y ra.
b/ Tìm xác su t ñ ñư c ít nh t 2 l t t; ñư c 3 l cùng lo i.
Gi i
G i X là bi n ng u nhiên ch s l thu c t t trong 3 l l y ra
{ }Im 0,1,2,3 .X =
a) i
A : “ l thu c l y ra t h p th i là l t t”.
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3
7
0 ( . . ) . .
90
P X P A A A P A P A P A= = = =
( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3
59
1 ( . . . . . . )
180
P X P A A A A A A A A A= = + + =
( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3
77
2 ( . . . . . . )
180
P X P A A A A A A A A A= = + + =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3
1
3 ( . . ) . .
6
P X P A A A P A P A P A= = = =
B ng phân ph i xác su t c a X
X 0 1 2 3
( )P X 7
90
59
180
77
180
1
6
b) Xác su t ñ ñư c ít nh t 2 l t t
( ) ( ) ( )
107
2 2 3
180
P X P X P X≥ = = + = =
Xác su t ñư c 3 l cùng lo i
( ) ( )
11
0 1
45
P X P X= + = =
2.2.
Trong m t ñ i tuy n, 3 v n ñ ng viên ,A B và C thi ñ u v i xác xu t th ng
tr n c a m i ngư i l n lư t là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong m t ñ t thi ñ u, m i v n ñ ng
viên thi ñ u m t tr n ñ c l p nhau.
a/ Tìm lu t phân ph i xác su t cho s trân th ng c a ñ i tuy n.
b/ Tính xác su t ñ ñ i tuy n thua nhi u nh t m t tr n. Tính xác su t ñ
ñ i tuy n th ng ít nh t m t tr n.
Gi i
a/ G i X là bi n ng u nhiên ch s tr n th ng c a ñ i tuy n.

MATHEDUCARE.COM
30
{ }Im 0,1,2,3 .X =
G i A : “V n ñ ng viên A th ng”
B : “V n ñ ng viên B th ng”
C : “V n ñ ng viên C th ng”
Ta có
( ) ( )0 ( . . ) . ( ). ( ) 0,4.0,3.0,2 0,024.P X P ABC P A P B P C= = = = =
( )1 ( . . . . . . ) 0,188.P X P ABC ABC ABC= = + + =
( )2 ( . . . . . . ) 0,452.P X P ABC ABC ABC= = + + =
( ) ( )3 ( . . ) . ( ). ( ) 0,336.P X P ABC P A P B P C= = = =
B ng phân ph i xác su t X :
X 0 1 2 3
( )P X 0,024 0,188 0,452 0,336
b/ Xác su t ñ ñ i tuy n thua nhi u nh t m t tr n:
( ) ( ) ( )2 2 3 0,788P X P X P X≥ = = + = =
Xác su t ñ ñ i tuy n th ng ít nh t m t tr n :
( ) ( )1 1 0 0,976P X P X≥ = − = =
2.3.
b/ Sau ñ t thi ñ u, ñ i tuy n có hai tr n th ng; tính xác su t ñ A thua
tr n.
Gi i
{ }Im 0,1,2,3 .X =
G i A : “V n ñ ng viên A th ng”;
B : “V n ñ ng viên B th ng”;
Ta có
( ) ( )0 ( . . ) . ( ). ( ) 0,4.0,3.0,2 0,024.P X P ABC P A P B P C= = = = =
( )1 ( . . . . . . ) 0,188.P X P ABC ABC ABC= = + + =
( )2 ( . . . . . . ) 0,452.P X P ABC ABC ABC= = + + =
( ) ( )3 ( . . ) . ( ). ( ) 0,336.P X P ABC P A P B P C= = = =

MATHEDUCARE.COM
31
X 0 1 2 3
( )P X 0,024 0,188 0,452 0,336
b/ Xác su t ñ A thua tr n, bi t r ng ñ i tuy n có hai tr n th ng
( )
{ }( )
( )
( )
( )
. 2 . . 0,4.0,7.0,8 56
| 2
0,452 1132 2
P A X P ABC
P A X
P X P X
=
= = = = =
= =
2.4.
b/ Tính s tr n th ng trung bình và phương sai c a s tr n th ng c a ñ i
tuy n.
Gi i
{ }Im 0,1,2,3 .X =
G i A : “V n ñ ng viên A th ng”;
B : “V n ñ ng viên B th ng”;
Ta có
( ) ( )0 ( . . ) . ( ). ( ) 0,4.0,3.0,2 0,024.P X P ABC P A P B P C= = = = =
( )1 ( . . . . . . ) 0,188.P X P ABC ABC ABC= = + + =
( )2 ( . . . . . . ) 0,452.P X P ABC ABC ABC= = + + =
( ) ( )3 ( . . ) . ( ). ( ) 0,336.P X P ABC P A P B P C= = = =
X 0 1 2 3
( )P X 0,024 0,188 0,452 0,336
b/ S tr n th ng trung bình
( ) 0.0,024 1.0,188 2.0,452 3.0,336 2,1E X = + + + =
và phương sai c a s tr n th ng c a ñ i tuy n
( ) ( ) ( )
2
2
0,61D X E X E X= − =
Trong ñó, ( )2 2 2 2 2
0 .0,024 1 .0,188 2 .0,452 3 .0,336 5,02E X = + + + = .
2.5.
M t cơ s s n xu t các bao k o. S k o trong m i bao là m t bi n ng u
nhiên có phân ph i xác su t như sau:

MATHEDUCARE.COM
32
S k o trong bao 18 19 20 21 22
Xác su t 0,14 0,24 0,32 0,21 0,09
a/ Tìm trung bình và phương sai c a s viên k o trong m i bao.
b/ Chi phí s n xu t c a m bao k o là 3X + 16, trong ñó X là bi n ng u
nhiên ch s k o trong bao. Ti n bán m i bao k o là 100$. Không phân bi t s k o
trong bao. Tìm l i nhu n trung bình và ñ l ch chu n c a l i nhu n cho m i bao
k o.
Gi i
G i X là bi n ng u nhiên ch s k o trong bao.
a/ Trung bình và phương sai c a s viên k o trong m i bao :
( ) ( )
22
18
. 19,87
i
E X i P X i
=
= = =∑
và phương sai c a s viên k o trong m i bao:
( ) ( ) ( )
2
2
1,3531D X E X E X= − =
b/ G i Y là bi n ng u nhiên ch l i nhu n cho m i bao k o. Ta có:
84 3Y X= −
l i nhu n trung bình
( ) ( ) ( )84 3 84 3 24,39E Y E X E X= − = − =
và ñ l ch chu n c a l i nhu n cho m i bao k o
( ) ( ) ( ) ( )84 3 3 3,48969Y D Y D X D Xσ = = − = =
2.6.
M t cơ s s n xu t các bao k o. S k o trong m i bao là m t bi n ng u
nhiên có phân ph i xác su t như sau:
S k o trong bao 18 19 20 21 22
Xác su t 0,14 0,24 0,32 0,21 0,09
a/ Tìm xác su t ñ m t bao k o ñư c ch n ng u nhiên s ch a t 19 ñ n
21 viên k o.
b/ Hai bao k o ñư c ch n ng u nhiên. Tính xác su t ñ ít nh t m t trong
hai bao ch a ít nh t 20 viên k o.
Gi i
G i X là bi n ng u nhiên ch s k o trong bao.
a/ Xác su t ñ bao ñư c ch n ng u nhiên có t 19 ñ n 21 viên k o:
( ) ( ) ( )(19 21) 19 20 21 0,77.P X P X P X P X≤ ≤ = = + = + = =
b/ Đ t A : “Bao ch a ít nh t 20 viên k o” ( ) 0,32 0,21 0,09 0,62P A = + + =
Xác su t ñ ít nh t m t trong hai bao ch a ít nh t 20 viên k o:

MATHEDUCARE.COM
33
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 0,8556P A AA P A P AA P A P A P A+ = + = + =
2.7.
M t h p ñ ng 5 s n ph m, trong ñó có hai ph ph m. Ngư i ta l n lư t
ki m tra t ng s n ph m (không hoàn l i) cho ñ n khi g p hai ph ph m thì d ng
l i. Tìm lu t phân ph i xác su t cho s s n ph m ñư c ki m tra. Tính s l n ki m
tra trung bình.
Gi i
Goi X là BNN ch s s s n ph m ki m tra.
{ }Im 2,3,4,5 .X =
i
A :“ l n ki m tra l n th i ñư c ph ph m”.( 1,2,3,4,5i = )
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1
2
2 . |
20
P X P A A P A P A A= = = =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 1 2 3
1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2
3 . . . .
4
| . | . | . | .
20
P X P A A A P A A A
P A P A A P A A A P A P A A P A A A
= = +
= + =
Tương t
( ) ( )
6 8
4 ; 5
20 20
P X P X= = = =
X 2 3 4 5
( )P X 2
20
4
20
6
20
8
20
S l n ki m tra trung bình: ( ) ( )
5
2
. 4
i
E X i P X i
=
= = =∑
2.8.
M t ngư i ñi u khi n 3 máy t ñ ng ho t ñông ñ c l p v i nhau. Xác su t
b h ng trong m t ca s n xu t c a máy 1,2 và 3 l n lư t là 0,1; 0,2 và 0,3.
a/ L p b ng phân ph i xác su t cho s máy ho t ñ ng t t trong m t ca
s n xu t.
b/ Sau s n xu t, ngư i ñi u khi n báo r ng su t ca ch có m t máy ho t
ñ ng t t. Tính xác su t ñ máy ho t ñ ng t t ñó là máy m t.
Gi i
a/ G i X là BNN ch s máy ho t ñ ng t t trong 1 ca s n xu t.
{ }Im 0,1,2,3 .X =
Đ t i
A “ máy th i b h ng trong 1 ca”. Suy ra,
( ) ( ) ( )1 2 3
0,9; 0,8; 0,7P A P A P A= = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3
0 . . . . 0,1.0,2.0,3 0,006.P X P A A A P A P A P A= = = = =

MATHEDUCARE.COM
34
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 . .
. . . . 0,092.
P X P A P A P A
P A P A P A P A P A P A
= = +
+ + =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
1 2 3 1 2 3
2 . .
. . . . 0,398.
P X P A P A P A
= = +
+ + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3
3 . . 0,504.P X P AA A P A P A P A= = = =
B ng phân ph i xác su t c a X :
X 0 1 2 3
( )P X 0,006 0,092 0,398 0,504
b/ Xác su t ñ máy ho t ñ ng t t ñó là máy m t, bi t r ng su t ca ch có m t máy
ho t ñ ng t t.
( )
{ }( )
( )
( )
( )
1 2 31
1
. .. 1 0,9.0,2.0,3 27
| 1
0,092 461 1
P A A AP A X
P A X
P X P X
=
= = = = =
= =
2.9.
M t ngư i ñi u khi n 3 máy t ñ ng ho t ñông ñ c l p v i nhau. Xác su t
b h ng trong m t ca s n xu t c a máy 1,2 và 3 l n lư t là 0,1; 0,2 và 0,3.
a/ L p b ng phân ph i xác su t cho s máy ho t ñ ng t t trong m t ca
s n xu t.
b/ Trung bình, trong m t ca, có bao nhiêu máy ho t ñ ng t t? Tính ñ
l ch chu n c a s máy ho t ñ ng t t trong m t ca s n xu t.
Gi i
a/ G i X là BNN ch s máy ho t ñ ng t t trong 1 ca s n xu t.
{ }Im 0,1,2,3 .X =
Đ t i
A “ máy th i b h ng trong 1 ca”. Suy ra,
( ) ( ) ( )1 2 3
0,9; 0,8; 0,7P A P A P A= = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3
0 . . . . 0,1.0,2.0,3 0,006.P X P A A A P A P A P A= = = = =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 . .
. . . . 0,092.
P X P A P A P A
= = +
+ + =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
1 2 3 1 2 3
2 . .
. . . . 0,398.
P X P A P A P A
= = +
+ + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3
3 . . 0,504.P X P AA A P A P A P A= = = =
X 0 1 2 3
( )P X 0,006 0,092 0,398 0,504

MATHEDUCARE.COM
35
b/ Trung bình s máy ho t ñ ng t t trong m t ca: ( ) 2,4E X =
và ñ l ch chu n c a s máy ho t ñ ng t t trong m t ca s n xu t
( ) 0,6782Xσ = .
2.10.
M t công ty có 3 t ng ñ i lý. G i ,X Y và Z theo th t là kh i lư ng hàng
bán ñư c trong m t này c a 3 t ng ñ i lý trên (tính b ng t n). Bi t phân ph i xác
su t c a các BNN ,X Y và Z như sau:
i
x 5 6 7 8
( )i
P X x= 0,1 0,3 0,4 0,2
j
y 4 5 6 7 8
( )j
P Y y= 0,15 0,2 0,4 0,1 0,15
k
z 7 8 9 10
( )k
P Z z= 0,2 0,3 0,4 0,1
Tính kh i lư ng hàng hóa bán ñư c trung bình trong m t tháng (30 ngày)
c a công ty trên.
Gi i
Trung bình kh i lư ng hàng hóa C bán ñư c trong 1 tháng.
( ) ( )
8
5
30. . 201
i
i i
x
E X x P X x
=
= = =∑
Trung bình kh i lư ng hàng hóa Y bán ñư c trong 1 tháng.
( ) ( )
8
4
30. . 177
j
j j
y
E Y y P Y y
=
= = =∑
Trung bình kh i lư ng hàng hóa Z bán ñư c trong 1 tháng.
( ) ( )
10
7
30. . 252
k
k k
z
E Z z P X z
=
= = =∑
Nên kh i lư ng hàng hóa bán ñư c trung bình trong 1 tháng c a công ty là
( ) ( ) ( )E X 630E Y E Z+ + =
2.11.
Ti n hành kh o sát s khách trên m t chuy n xe buýt (SK/1C) t i m t
chuy n giao thông, ngư i ta thu ñư c s liêu sau:
SK/1C 25 30 35 40 45
Xác su t 0,15 0,2 0,3 0,25 0,1
a/ Tính kỳ v ng và ñ l ch chu n c a SK/1C.
b/ Gi s chi phí cho m i chuy n xe buýt là 200 ngàn ñ ng, không ph
thu c vào s khách ñi trên xe, th công ty ph i quy ñ nh giá vé là bao nhiêu ñ có
th thu ñư c s ti n l i trung bình cho m i chuy n xe là 100 ngàn ñ ng?

MATHEDUCARE.COM
36
Gi i
G i X là BNN ch s khách trên m t chuy n xe. { }Im 25;30;35;40;45 .X =
a/ Kỳ v ng c a SK/1C: ( ) 34,75E X =
Đ l ch chu n c a SK/1C.: ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
6,0156X D X E X E Xσ = = − =
b/ G i Y là BNN ch s ti n l i cho m i chuy n xe.
. 200Y n X= −
trong ñó, n (ñ ng) là s ti n quy ñ nh giá vé.
Yêu c u bài toán, ( ) ( ) ( ). 200 100 300 8,6E Y E n X nE X n= − = ⇔ = ⇔ ≈ .
V y, công ty ph i quy ñ nh giá vé là 8,6 ñ ng.
2.12.
M t ngư i tham gia trò chơi gieo 3 ñ ng ti n vô tư. Anh ta ñư c 500ñ n u
xu t hi n 3 m t s p, 300ñ n u xu t hi n 2 m t s p, và 100ñ n u ch có m t m t s p
xu t hi n. M c khác, anh ta m t 900ñ n u xu t hi n 3 m t ng a. Trò chơi này có
công băng v i ngư i này không? ( Trò chơi ñư c g i là công b ng ñ i v i ngư i
chơi n u tham gia chơi nhi u l n thì trung bình anh ta hòa v n).
Gi i
G i X là bi n ng u nhiên ch s ti n nh n ñư c khi tham gia trò chơi
{ }Im 900; 100;300;500 .X = −
Đ t i
A :”Gieo l n th i xu t hi n m t s p” { }1;2;3i ∈
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3
1
900 . . .
8
P X P A A A P A P A P A= − = = =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 3
100 . . . . . . 3.
8 8
P X P A A A P AA A P A A A= = + + = =
Tương t , ( )
3 1
300 ; ( 500)
8 8
P X P X= = = =
X -900 100 300 500
( )P X
1
8
3
8
3
8
1
8
Và ( ) 100E X =
nên m i l n chơi anh ta th ng ñư c 100ñ. V y trò chơi không công b ng.
2.13.
M t ngư i tham gia trò chơi sau: Gieo m t con xúc x c vô tư ba l n ñ c l p
nhau. N u xu t hiên “ m t 1” c 3 l n thì ñư c thư ng 6 ngàn ñ ng; n u xu t hi n
“ m t 1” 2 l n thì ñư c thư ng 4 ngàn ñ ng; xu t hi n “m t 1” 1 l n thì ñư c
thư n 2 ngàn ñ ng; khi không có “m t 1” nào xu t hi n thì không ñư c thư ng.
M i l n tham gia trò chơi, ngư i chơi ph i ñóngM ngàn ñ ng. Hãy ñ nh M ñ trò
chơi công b ng.

MATHEDUCARE.COM
37
Gi i
G i X là BNN ch s ti n còn l i sau m i l n tham gia trò chơi.
{ }Im 6; 4; 2;X M M M M= − − −
Ta có
3
1 1 1 1
( 6) . .
6 6 6 6
P X M= − = = ; 3
1 5 1 5
( 4) 3. . . 3.
6 6 6 6
P X M= − = =
2
3
1 5 5 5
( 2) 3. . . 3.
6 6 6 6
P X M= − = = ;
3
3
5
( )
6
P X M= =
X 6M − 4M − 2M − M
( )P X 3
1
6 3
5
3.
6
2
3
5
3.
6
3
3
5
6
và ( ) ( )3
216
1
6
E X M= − .
Trò chơi công b ng ( ) 0 1 0 1E X M M= ⇔ − = ⇔ = .
V y, m i l n chơi ngư i tham gia ñóng 1 ngàn ñ ng thì trò chơi công b ng.
2.14.
Theo th ng kê dân s , xác su t ñ m t ngư i ñ tu i 40 s s ng thêm 1
năm n a là 0,995. M t công ty b o hi m nhân th bán b o hi m m t năm cho
nh ng ngư i ñ tu i ñó là 10 ngàn, và trong trư ng h p ngư i mua b o hi m b
ch t thì s ti n b i thư ng là 1 tri u. H i l i nhu n trung bình c a công ty khi bán
m i th b o hi m là boa nhiêu?
Gi i
G i X là BNN ch l i nhu n c a công ty khi bán m i th b o hi m.
{ }Im 990;10X = −
X 990− 10
( )P X 0,995 0,005
và ( ) 5E X = .
V y, trung bình công ty l i 5 ngàn ñ ng khi bán 1 th b o hi m.
2.15.
S lư ng xe ô tô mà m t ñ i lý bán ñư c trong m t tu n là m t BNN có
phân ph i xác su t như sau:
S xe bán ñư c 0 1 2 3 4 5
Xác su t tương ng 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1
a/ Tính xác su t ñ ñ i lý ñó bán ñư c nhi u nh t 3 xe trong m t tu n.
Tính kỳ v ng và phương sai c a s xe mà ñ i lý bán ñư c trong m t năm.

MATHEDUCARE.COM
38
b/ Gi s chi phí cho ho t ñ ng c a ñ i lý b ng căn b c hai c a s xe bán
ñư c v i 5 (tri u ñ ng). Tìm chi phí cho ho t ñ ng trung bình cho ho t ñ ng c a
ñ i lý trong m t tu n.
G i X là BNN s xe bán ra trong 1 tu n.
a/ Xác su t ñ ñ i lý ñó bán ñư c nhi u nh t 3 xe trong m t tu n
( ) ( ) ( )3 1 4 5 0,6P X P X P X≤ = − = − = =
Kỳ v ng và phương sai c a s xe mà ñ i lý bán ñư c trong m t năm.
( ) ( )2,8; 2,16E X D X= =
b/ G i là chi phí cho ho t ñ ng c a ñ i lý trong 1 tu n
5Y X= +
Nên chi phí cho ho t ñ ng trung bình cho ho t ñ ng c a ñ i lý trong m t tu n
( ) ( ) 5 6,55E Y E X= + =
2.16.
Cho hàm
[ ]
[ ]
2 , 0;1
( )
0 , 0;1
x x
f x
x
 ∈
= 
∉
a/ Ch ng t ( )f x là hàm m t ñ xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t c X .
b/ Tìm hàm phân ph i xác su t ( )F x c a X
c/ Tính xác su t
1
0
2
P X
 
< < 
 
.
Gi i
a/ ( ) 0,f x x≥ ∀ ∈ và
1
2
0
1
( ) 2 1
0
f x dx xdx x
+∞
−∞
= = =∫ ∫ . Do ñó, ( )f x là hàm m t ñ xác
su t c a m t bi n ng u nhiên liên t c X .
b/ ( ) 2
0 , 0
( ) ,0 1
1 , 1
x
x
F x f t dt x x
x−∞
≤

= = < ≤
 >
∫
c/
1
2
0
1 1
0 2
2 4
P X xdx
 
< < = = 
 
∫ .
2.17.
Cho hàm 3
2
, 1
( )
0 , 1
x
f x x
x

>
= 
 ≤
a/ Ch ng t ( )f x là hàm m t ñ xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t c X
b/ Tìm hàm phân ph i xác su t ( )F x c a X .
c/ Tính xác su t ( )0 3P X< <
Gi i

MATHEDUCARE.COM
39
a/ ( ) 0,f x x≥ ∀ ∈ và 3 2
1
2 1
( ) 2 lim 1
12b
b
f x dx dx
x x
+∞ +∞
→+∞
−∞
 
= = − = 
 
∫ ∫ . Do ñó, ( )f x là
hàm m t ñ xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t c X .
b/ ( ) 2
0 , 1
1
( ) 1 ,1
1 ,
x
x
F x f t dt x
x
x
−∞
≤


= = − < < +∞

= +∞
∫
c/ ( )
3
0
8
0 3 ( )
9
P X f x dx< < = =∫ .
2.18.
Cho hàm 3
, 1
( )
0 , 1
a
x
f x x
x

>
= 
 ≤
(a là h ng s )
a/ Tìm a ñ ( )f x là hàm m t ñ xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t c X
b/ Tìm hàm phân ph i xác su t ( )F x c a X .
Gi i
a/ , ( ) 0 0x R f x a∀ ∈ ≥ ⇔ ≥ và
3 2
1
1
( ) lim
12 2b
ba a
f x dx dx a
x x
+∞ +∞
→+∞
−∞
 
= = − = 
 
∫ ∫ . Do ñó, ( )f x là hàm m t ñ xác su t c a
m t bi n ng u nhiên liên t c X khi và ch khi
0
2
1
2
a
aa
≥

⇔ =
=
.
b/ ( ) 2
0 , 1
1
( ) 1 ,1
1 ,
x
x
F x f t dt x
x
x
−∞
≤


= = − < < +∞

= +∞
∫
2.19.
Cho X là bi n ng u nhiên liên t c có hàm m t ñ
[ ]
[ ]
2 , 0;1
( )
0 , 0;1
x x
f x
x
 ∈
= 
∉
Tìm kỳ v ng và phương sai c a X .
Gi i
( )
1
2
0
2
( ) 2
3
E X xf x dx x dx
+∞
−∞
= = =∫ ∫
( )
1
2 2 3
0
1
( ) 2
2
E X x f x dx x dx
+∞
−∞
= = =∫ ∫
do ñó,

MATHEDUCARE.COM
40
( ) ( ) ( )( )
22 1 4 1
2 9 18
D X E X E X= − = − =
2.20.
Cho X là bi n ng u nhiên liên t c có hàm m t ñ
[ ]
[ ]
2
3 , 0;1
( )
0 , 0;1
x x
f x
x
 ∈
= 
∉
Tìm kỳ v ng và phương sai c a X .
Gi i
( )
1
2
0
3
( ) 3
4
E X xf x dx x dx
+∞
−∞
= = =∫ ∫
( )
1
2 2 4
0
3
( ) 3
5
E X x f x dx x dx
+∞
−∞
= = =∫ ∫
do ñó,
( ) ( ) ( )( )
22 3 9 3
5 16 80
D X E X E X= − = − = .

MATHEDUCARE.COM
41
Chương 3: M T S PHÂN PH I THƯ NG DÙNG
3.1.
M t ki n hàng có 10 s n ph m, trong ñó có 8 s n ph m lo i A. L y ng u
nhiên 2 s n ph m. Đ t X là bi n ng u nhiên ch s s n ph m lo i A có trong các
s n ph m l y ra. Tìm lu t phân ph i xác su t c a X . Tính ( ) ( ),E X D X .
Gi i
G i X là BNN ch s s n ph m lo i A trong các s n ph m l y ra l n th nh t.
{ }Im 0;1;2X =
Ta có ( )~ 10;8;2X H ta có
2
8 2
2
10
.
( ) ; 0,8
k k
C C M
P X k p
C N
−
= = = =
Nên ( ) ( ) ( )
64
1,6; 1 .
1 225
N n
E X np D X np p
N
−
= = = − =
−
3.2.
Có 2 ki n hàng, ki n th nh t và ki n th 2. Bi t r ng, ki n th hai có 8 s n
ph m, trong ñó có 5 s n ph m lo i A. L n ñ u, l y ng u nhiên 2 s n ph m ki n
th nh t b vào ki n th hai, sau ñó l y ng u nhiên t ki n th hai ra 2 s n ph m.
Đ t X và Y l n lư t là bi n ng u nhiên ch s s n ph m lo i A có trong các s n
ph m l y ra l n th nh t và l n th hai. Bi t r ng b ng phân ph i xác su t c a
X
X 0 1 2
( )P X 1
45
16
45
28
45
Tìm lu t phân ph i xác su t c a Y ; tính ( )E Y và ( )D Y .
Bài gi i
G i Y là BNN ch s s n ph m lo i A trong các s n ph m l y ra l n th hai.
{ }Im 0;1;2Y =
Ta th y ( ) ( ) ( )
1 16 28
0 ; 1 ; 2
45 45 45
P X P X P X= = = = = =
Trong ñó,
( ) ( ) ( )
0 2
5 5
2
10
. 10 6 3
0 | 0 ; 0 | 1 ; 0 | 2
45 45 45
C C
P Y X P Y X P Y X
C
= = = = = = = = = =
M t khác

MATHEDUCARE.COM
42
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0 . 0 | 0 1 . 0 | 1
190
2 . 0 | 2
2025
P Y P X P Y X P X P Y X
P X P Y X
= = = = = + = = =
+ = = = =
Tương t ( ) ( )
997 838
1 ; 2
2025 2025
P Y P Y= = = = .
B ng phân ph i xác su t c a Y
Y 0 1 2
( )P Y
190
2025
997
2025
838
2025
Nên ( ) ( )
2673
1,32; 0,40525.
2025
E Y D X= = =
3.3.
M t ki n hàng ch a 8 s n ph m, trong ñó có 3 s n ph m x u và 5 s n ph m
t t. L y ng u nhiên t ki n hàng ra 4 s n ph m (không hoàn l i).
a/ Hãy l p b ng phân ph i xác su t cho s s n ph m x u có trong 4 s n
ph m l y ra, và tính xác su t ñ trong ñó có ít nh t 2 s n ph m t t.
b/ Đem 4 s n ph m v a l y ra ñi bán. Bi t r ng bán m t s n ph m t t ñư c
l i 50 ngàn ñ ng, và bán m t s n ph m x u b l 15 ngàn ñ ng. Tính l i nhu n thu
ñư c trung bình và ñ l ch chu n c a l i nhu n khi bán 4 s n ph m trên.
Gi i
a/ G i X là BNN ch s s n ph m x u có trong 4 s n ph m l y ra.
{ }Im 0;1;2;3X =
( ) ( ) ( )
( )
0 4 1 3 2 2
3 5 3 5 3 5
4 4 4
8 8 8
3 1
3 5
4
8
. . .1 6 6
0 ; 1 ; 2 ;
14 14 14
. 1
3
14
C C C C C C
P X P X P X
C C C
C C
P X
C
= = = = = = = = =
= = =
X 0 1 2 3
( )P X
1
14
6
14
6
14
1
14
Xác su t ñ có ít nh t 2 s n ph m t t: ( ) ( )
13
2 1 3
14
P X P X≤ = − = = .
b/ G i Y là BNN ch l i nhu n thu ñư c khi bán 4 s n ph m. 200 65Y X= −
khi ñó ( ) ( ) ( ) ( )
226 6 1 15
2. 3. 1,5;
14 14 14 28
E X D X E X E X= + + = = − =

MATHEDUCARE.COM
43
( ) ( ) ( )200 65 200 65 102,5E Y E X E X= − = − =
và
( ) ( ) ( ) ( )200 65 65 47,5735Y D Y D X D Xσ = = − = =
3.4.
M t lô hàng có r t nhi u s n ph m, v i t l hàng gi là 30%.
a/ L y ng u nhiên t lô hàng ra 10 s n ph m, tính xác su t ñ có nhi u nh t
2 s n ph m gi .
b/ Ngư i ta l y ng u nhiên ra t ng s n ph m m t ñ ki m tra cho ñ n khi
nào g p s n ph m gi thì d ng. Tìm lu t phân ph i xác su t và tính kỳ v ng c a s
s n ph m th t ñã ki m tra
Gi i
G i p là xác su t ch hàng gi trong 1 lô hàng nên 0,3p = .
a/ G i X là BNN ch s s n ph m gi . ( )10;0,3X B
Xác su t ñ có nhi u nh t 2 s n ph m gi
( ) ( ) ( ) ( )
10 9 2 8
2 0 1 2
0,7 0,3.0,7 0,3 .0,7 0,0455
P X P X P X P X≤ = = + = + =
= + + =
b/ G i 1Y là BNN ch s s n ph m th t ñã ki m tra.
Ta có { }1Im 0;1;2;...Y = Ta th y ( ) ( )1 10 0,3; 1 0,7.0,3P Y P Y= = = = theo quy n p
( )1 0,7 .0,3n
P Y n= = .
Nên kỳ v ng c a s s n ph m th t ñã ki m tra:
( ) ( )
( )
1
1 1 2
0 1
1 7
. 0,7.0,3 .0,7 0,21.
31 0,7
n
n n
E Y n P Y n n
+∞ +∞
−
= =
= = = = =
−
∑ ∑
3.5.
M t lô hàng có r t nhi u s n ph m, v i t l hàng gi là 30%.
a/ L y ng u nhiên t lô hàng ra 10 s n ph m, tính xác su t ñ có nhi u nh t
2 s n ph m gi .
b/ Ngư i ta l y ng u nhiên ra t ng s n ph m m t ñ ki m tra cho ñ n khi
nào g p s n ph m gi thì d ng. Tìm lu t phân ph i xác su t và tính kỳ v ng c a s
s n ph m ñã ki m tra.
Gi i
G i p là xác su t ch hàng gi trong 1 lô hàng nên 0,3p = .
a/ G i X là BNN ch s s n ph m gi . ( )10;0,3X B
Xác su t ñ có nhi u nh t 2 s n ph m gi

MATHEDUCARE.COM
44
( ) ( ) ( ) ( )
10 9 2 8
2 0 1 2
0,7 0,3.0,7 0,3 .0,7 0,0455
P X P X P X P X≤ = = + = + =
= + + =
b/ G i 2Y là BNN ch s s n ph m ñã ki m tra.
Ta có { }2Im 1;2;3;...Y =
( ) ( )2 21 0,3; 2 0,7.0,3P Y P Y= = = = theo quy n p ( ) 1
2 0,7 .0,3n
P Y n −
= = .
Nên kỳ v ng c a s s n ph m ñã ki m tra:
( ) ( )
( )
1
2 2 2
1 1
1 10
. .0,7 .0,3 0,3.
31 0,7
n
n n
E Y n P Y n n
+∞ +∞
−
= =
= = = = =
−
∑ ∑
3.6.
M t khách hàng mua xe t i m t ñ i lý, n u xe có s c k thu t thì ñư c
quy n tr xe trong vòng 3 ngày sau khi mua và ñư c l y l i nguyên s ti n mau
xe. M i chi c xe b tr l i như th làm thi t h i cho ñ i lý 250 ngàn VNĐ. Có 50
xe ñư c bán ra. Xác su t ñ m t xe b tr l i là 0,1.
a/ Tìm kỳ vong và phương sai c a s xe b tr . Tính xác xu t ñ có nhi u
nh t 2 xe b tr l i.
b/ Tìm kỳ v ng và ñ l ch chu n c a t ng thi t h i mà t ng ñ i lý ph i ch u
do vi c tr l i xe.
Gi i
G i p là xác su t ñ m t xe b tr l i. Nên 0,1p = .
G i X là BNN ch s xe b tr l i. ( )50;0,1X B
ta th y ( 50 30; . 5 5; 4,5 5n n p npq= > = ≤ = ≤ ) nên ( )5X Po
Suy ra ( ) ( ) ( )5; 1 4,5.E X np D X np p= = = − =
Xác su t nhi u nh t 2 xe b tr l i:
( ) ( ) ( ) ( )0 1 2
P X 2 (5) (5) (5) 0,1246Po Po Po≤ = + + =
b/ G i Y là BNN ch t ng thi t h i c a ñ i lý ph i ch u do vi c tr l i xe.
250Y X=
suy ra ( ) ( ) ( )250 250 1250E Y E X E X= = =
và
( ) ( ) ( ) ( )250 250 530,330Y D Y D X D Xσ = = = =
3.7.
M t thí sinh tên M tham d m t kỳ thi môn XSTK . M ph i làm m t ñ thi
tr c nghi m khách quan g m 10 câu; m i câu có 4 l i Gi i khác nhau, trong ñó ch
có m t l i Gi i ñúng. M s ñư c ch m ñ u n u tr l i ñúng ít nh t 6 câu.
(a) Gi s M không h c bài, mà ch ch n ng u nhiên l i Gi i trong c 10
câu. Tính xác su t ñ M thi ñ u.
(b) Gi s M ch c ch n tr l i ñúng ñư c 2 câu; còn các câu khác, M ch n
ng u nhiên m t trong 4 l i Gi i c a m i câu. Tính xác su t ñ M thi r t.

MATHEDUCARE.COM
45
Gi i
G i p là xác su t ñ M tr l i ñúng m t câu h i. Nên 0,25p = .
G i X là BNN ch s câu tr l i ñúng trong 10 câu. ( )10;0,25X B .
Đ t A:”M thi ñ u”
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
6 6 7
8 9 10 0,0197
P A P X P X P X
P X P X P X
= ≥ = = + = +
+ = + = + = =
b/ M ch c ch n tr l i dung 2 câu, mà các câu ñư c ñ c l p nhau và xác su t tr
l i dung m i câu là 0,25.
Do ñó, Xác su t ñ M r t trong trư ng h p tr l i ñúng 2 câu có nghĩa là ta tính xác su t ñ M r t tro
G i Y là BNN ch s câu tr l i ñúng trong 8 câu. ( )8;0,25Y B .
Đ t R :” M thi r t”
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0 8 3 3 5
8 8
3 0 1 2 3
0,25 0,75 ... 0,25 0,75 0,8862.
P R P Y P Y P Y P Y P Y
C C
= ≤ = = + = + = + =
= + + =
3.8.
M t thí sinh M tham d m t kỳ . M ph i làm m t ñ thi tr c nghi m khách
quan g m 10 câu; m i câu có 4 l i Gi i khác nhau, trong ñó ch có m t l i Gi i
ñúng. M s ñư c ch m ñ u n u tr l i ñúng ít nh t 6 câu.
a/ Gi s M không h c bài, mà ch ch n ng u nhiên l i Gi i trong c 10
câu. Tính xác su t ñ M thi ñ u.
b/ H i M ph i d thi ít nh t m y l n ñ xác su t có ít nh t m t l n thi ñ u
không nh hơn 97%?
Gi i
a/ G i p là xác su t ñ M tr l i ñúng m t câu h i. Nên 0,25p = .
G i X là BNN ch s câu tr l i ñúng trong 10 câu. ( )10;0,25X B .
Đ t A:”M thi ñ u”
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
6 6 7
8 9 10 0,0197
P A P X P X P X
P X P X P X
= ≥ = = + = +
+ = + = + = =
b/ G i n là s l n d thi c a M. Và B :“ít nh t m t l n ñ u”
( ) ( ) ( )1 0 1 1 0,0197 0,97 176,238
n
P B P X n= − = = − − ≥ ⇔ ≥
V y, M ph i thi th 177 l n.
3.9.
Nhà máy d t mu n tuy n d ng ngư i bi t rành v m t lo i s i. Nhà máy
th thách ngư i d tuy n 7 l n. M i l n nhà máy ñem ra 4 s i gi ng nhau, trong
ñó ch có m t s i th t và yêu c u ngư i này ch n ra s i th t. N u ch n ñúng ít

MATHEDUCARE.COM
46
nh t 6 l n thì ñư c tuy n d ng. M t ngư i ñ n xin tuy n d ng nói: "Ch c n nhìn
qua là có th phân bi t s i th t hay gi v i xác su t 80% ".
a/ N u ngư i này nói ñúng kh năng c a mình thì xác su t ñư c tuy n d ng
là bao nhiêu?
b/ Tính xác su t ñ ñư c tuy n d ng trong trư ng h p, th t ra, ngư i
này không bi t gì v s i c .
Gi i
a/ G i B :” năng l c nh n ra s i th t c a ngư i d tuy n” suy ra ( ) 0,8P B = .
G i X là BNN ch s s i th t trong 7 l n th . ( )7;0,8X B .
Đ t A:”Ngư i này ñư c ch n”
( ) ( ) ( ) 6 6 7 7
7 76 7 .0,8 .0,2 .0,8 0,5767P A P X P X C C= = + = = + =
b/ G i p là xác su t ch n ñư c s i th t trong m t l n th (không bi t gì v s i).
0,25p = .
Khi ñó ( )7;0,25X B
Đ t A:”Ngư i này ñư c ch n”
( ) ( ) ( ) 6 6 7 7
7 76 7 .0,25 .0,75 .0,25 0,0014.P A P X P X C C= = + = = + =
3.10. T l thu c h ng lô A là 0,1AP = lô B là 0,08BP = và lô C là
0,15CP = . Gi s m i lô có r t nhi u chai thu c.
a/ L y 3 chai lô A. Tìm lu t phân ph i xác su t c a s chai h ng có trong
3 chai. Tính xác su t ñ có 2 chai h ng; có ít nh t 1 chai h ng.
b/ Ph i l y bao nhiêu chai ( lô A) ñ xác su t có ít nh t m t chai h ng
không nh hơn 94% ?
Gi i
a/ G i X là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai l y ra lô A. { }Im 0;1;2;3X =
Và ( )3;0,1X B v i ( ) { }3
3 0,1 .0,9 ( 0,1,2,3 )k k k
P X k C k−
= = ∈
X 0 1 2 3
( )P X 0,729 0,243 0,027 0,001
Xác su t ñ có 2 chai h ng: ( )2 0,027P X = =
và xác su t có ít nh t 1 chai h ng ( ) ( )1 1 0 0,271P X P X≥ = − = = .
b/ G i n là s chai l y ra. Ta có ( );0,1X B n
( )1 0 0,94 0,06 0,9 26,7n
P X n− = ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥

MATHEDUCARE.COM
47
Do ñó, ít nh t l y 27 chai.
b/ Ch n ng u nhiên 1 trong 3 lô r i l y t lô ñó ra 3 chai. Tính xác su t ñ
có ít nh t 1 chai h ng.
Gi i
Và ( )~ 3;0,1X B v i ( ) { }3
3 0,1 .0,9 ( 0,1,2,3 )k k k
P X k C k−
= = ∈
X 0 1 2 3
( )P X 0,729 0,243 0,027 0,001
b/ Ta có iX là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai l y ra lô i v i { }1;2;3i∈
Đ t iH :”lô i ñư c ch n” { } ( )
1
1;2;3
3
ii P H∈ ⇒ = . và
Đ t H :” ít nh t 1 chai h ng trong 3 chai l y ra”
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
1 2 3
1
1 2 3
1
. | 1 1 1
3
1
3 0 0 0
3
i i
i
P H P H P H H P X P X P X
P X P X P X
=
 = = ≥ + ≥ + ≥ 
 = − = − = + = 
∑
( )3 3 31
1 0,9 0,92 0,85 0,2927
3
= − + + =
0,15CP = . Gi s m i lô có r t nhi u chai thu c. L y m i lô m t chai. Tìm phân
ph i xác su t r i tính kỳ v ng và phương sai c a s chai h ng trong 3 chai l y
ra.
Gi i
G i Y là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai l y ra.

MATHEDUCARE.COM
48
{ }Im 0;1;2;3X =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 30 0 . 0 . 0 0,7038P Y P X P X P X= = = = = =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 0 . 0 . 1
0 . 1 . 0 1 . 0 . 0 0,2636
P Y P X P X P X
P X P X P X P X P X P X
= = = = = +
+ = = = + = = = =
Tương t ( ) ( )2 0,0314; 3 0,0012P Y P Y= = = =
Y 0 1 2 3
( )P Y 0,7038 0,2636 0,0314 0,0012
Suy ra ( ) 0,2636 2.0,0314 3.0,0012 0,33E Y = + + =
và ( ) ( ) ( ) ( )
22 2
0,2636 4.0,0314 9.0,0012 0,33 0,2911.D Y E Y E Y= − = + + − =
a/ L y m i lô m t chai. Tìm phân ph i xác su t c a s chai h ng trong 3
chai l y ra.
b/ M t c a hàng nh n v 500 chai lô A, 300 chai lô B và 200 chai
lô C r i ñ l n l n. M t ngư i ñ n mua 1 chai v dùng. Tính xác su t ñ ñư c
chai t t.
Gi i
a/ G i Y là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai l y ra.
{ }Im 0;1;2;3X =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 30 0 . 0 . 0 0,7038P Y P X P X P X= = = = = =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 0 . 0 . 1
0 . 1 . 0 1 . 0 . 0 0,2636
P Y P X P X P X
= = = = = +
+ = = = + = = = =
Tương t ( ) ( )2 0,0314; 3 0,0012P Y P Y= = = =
Y 0 1 2 3
( )P Y 0,7038 0,2636 0,0314 0,0012
b/ Đ t A:” Ch n 1 chai h ng”
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3| | |P A P H P A H P H P A H P H P A H= + + =
1 499 1 299 1 199
500 300 200
500 300 200
. .0,1.0,9 . .0,08.0,92 . .0,15.0,85 0,104
1000 1000 1000
C C C= + + =
Do ñó xác su t ñư c 1 chai t t:
( ) ( )1 0,896P A P A= − =

MATHEDUCARE.COM
49
a/ Ch n ng u nhiên 1 trong 3 lô r i l y t lô ñó ra 3 chai. Tính xác su t ñ
có ít nh t 1 chai h ng.
b/ M t c a hàng nh n v 500 chai lô A, 300 chai lô B và 200 chai lô
C r i ñ l n l n. M t ngư i ñ n mua 1 chai v dùng. Tính xác su t ñ ñư c chai
t t.
Gi i
a/ Đ t iH :”lô i ñư c ch n” { } ( )
1
1;2;3
3
ii P H∈ ⇒ = . và
Đ t H :” ít nh t 1 chai h ng trong 3 chai l y ra”
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3
1 2 3
1
1 2 3
3 3 3
1
. | 1 1 1
3
1
3 0 0 0
3
1
1 0,9 0,92 0,85 0,2927
3
i i
i
P H P H P H H P X P X P X
P X P X P X
=
 = = ≥ + ≥ + ≥ 
 = − = − = + = 
= − + + =
∑
Trong ñó iX là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai l y ra lô i v i { }1;2;3i∈
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3
1 499 1 299 1 199
500 300 200
| | |
500 300 200
. .0,1.0,9 . .0,08.0,92 . .0,15.0,85
1000 1000 1000
0,104
P A P H P A H P H P A H P H P A H
C C C
= + +
= + +
=
( ) ( )1 0,896P A P A= − =
a/ L y 3 chai lô A. Tìm lu t phân ph i xác su t c a s chai h ng có trong 3
chai. Tính xác su t ñ có 2 chai h ng; có ít nh t 1 chai h ng.
Ph i l y bao nhiêu chai ( lô A) ñ xác su t có ít nh t m t chai
h ng không nh hơn 94% ?
b/ M t c a hàng nh n v 500 chai lô A, 300 chai lô B và 200 chai lô
t t.

MATHEDUCARE.COM
50
Gi i
Và ( )3;0,1X B v i ( ) { }3
3 0,1 .0,9 ( 0,1,2,3 )k k k
P X k C k−
= = ∈
X 0 1 2 3
( )P X 0,729 0,243 0,027 0,001
G i n là s chai l y ra. Ta có ( );0,1X B n
( )1 0 0,94 0,06 0,9 26,7n
P X n− = ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
Do ñó, ít nh t l y 27 chai.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3
1 499 1 299 1 199
500 300 200
| | |
500 300 200
. .0,1.0,9 . .0,08.0,92 . .0,15.0,85
1000 1000 1000
0,104
C C C
= + +
= + +
=
( ) ( )1 0,896P A P A= − =
b/ L y m i lô m t chai. Tìm phân ph i xác su t c a s chai h ng trong 3
chai l y ra.
c/ M t c a hàng nh n v 500 chai lô A, 300 chai lô B và 200 chai lô
t t.
Gi i
Và ( )~ 3;0,1X B v i ( ) { }3
3 0,1 .0,9 ( 0,1,2,3 )k k k
P X k C k−
= = ∈

MATHEDUCARE.COM
51
X 0 1 2 3
( )P X 0,729 0,243 0,027 0,001
b/ G i Y là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai l y ra.
{ }Im 0;1;2;3X =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 30 0 . 0 . 0 0,7038P Y P X P X P X= = = = = =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 0 . 0 . 1
0 . 1 . 0 1 . 0 . 0 0,2636
P Y P X P X P X
= = = = = +
+ = = = + = = = =
Tương t ( ) ( )2 0,0314; 3 0,0012P Y P Y= = = =
Y 0 1 2 3
( )P Y 0,7038 0,2636 0,0314 0,0012
c/ Đ t A:” Ch n 1 chai h ng”
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3
1 499 1 299 1 199
500 300 200
| | |
500 300 200
. .0,1.0,9 . .0,08.0,92 . .0,15.0,85
1000 1000 1000
0,104
C C C
= + +
= + +
=
( ) ( )1 0,896P A P A= − =
3.17. Gi s ngày sinh c a ngư i dân trong m t thành ph l n có th rơi
ng u nhiên vào m t ngày b t kỳ trong m t năm (365) ngày. Ch n ng u nhiên 1095
ngư i trong thành ph ñó. Tính xác su t ñ :
a/ Có hai ngư i có cùng ngày sinh ñã cho.
b/ Có không quá 7 ngư i có cùng ngày sinh ñã cho.
Gi i
G i X là BNN ch s ngư i có cùng ngày sinh trong 1095 ngư i .
1
~ 1095;
365
X B
 
 
 
a/ Xác su t ñ có 2 ngư i có cùng ngày sinh ñã cho:

MATHEDUCARE.COM
52
( ) ( )
2 1093
2
1095 2 2
1 364 1
2 1095. 3 =0,2565
365 365 365
P X C Po Po
     
= = ≈ =     
     
b/ Xác su t ñ có không quá 7 ngư i có cùng ngày sinh ñã cho:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 1 2 3 4 5
6 7
7 3 3 3 3 3 3
3 3 0,988
P X Po Po Po Po Po Po
Po Po
≤ = + + + + +
+ + =
3.18. M t tr m bưu ñi n chuy n ñi n trong kho ng th i gian 10-5
giây.
Trong quá trình tránh ñi n có các ti ng n ng u nhiên. S tín hi u n ng u nhiên
trong 1 giây là 104
. n u trong th i gian truy n tín hi u có dù cjir m t tín hi u n
ng u nhiên thì tr m s ng ng làm vi c. tính xác su t ñ cho vi c truy n tính hi u
b gián ño n. bi t r ng s tín hi u n ng u nhiên rơi vào trong kho ng th i gian
truy n tín hi u là bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân ph i poison.
Gi i
G i X là BNN ch s các tín hi u n trong kho ng th i gian 5
10−
truy n tin.
( ) ( )4 5
~ 10 .10 ~ 0,1X Po X Po−
⇔
Trong ñó,
s tín hi u n trong kho ng th i gian 5
10−
giây truy n tin là 4 5
10 .10 0,1−
= .
Do ñó, xác su t vi c truy n tin b gián ño n
( ) ( )
( )
0
0,1 0,1
1 1 0 1 0,0952
0!
P X P X e−
≥ = − = = − =
3.19. S l i trên 1 mét vuông v i là m t bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân
ph i poison. Ki m tra lô v i, ngư i ta th y 98% có l i. V y trung bình m i mét
vuông v i có bao nhiêu l i?
Gi i
G i X là BNN ch s l i trên 1mét vuông v i
( )X Po λ
Lô v i th y có 98% l i
( ) ( )1 0,98 1 0 0,98 0,02 3,9P X P X e−λ
≥ = ⇔ − = = ⇔ = ⇔ λ ≈ (1,5ñ)
V y, trung bình m i mét vuông v i có 3,9 l i.
3.20. M t công nhân qu n lý 12 máy d t. Các máy d t ho t ñ ng ñ c l p
nhau, và xác su t ñ m i máy, trong ca làm vi c, c n s chăm sóc c a công nhân
(vi t t t là CCN) là 0,3.

MATHEDUCARE.COM
53
a/ Tính xác su t ñ , trong ca làm vi c, có
a1/ 4 máy CCN
a2/ t 3 ñ n 7 máy CCN
b/ Trung bình, trong ca làm vi c, có bao nhiêu máy CCN?
c/ Trong ca làm vi c, tìm s máy CCN nhi u kh năng nh t; tính xác su t
tương ng.
Gi i.
a/ G i X là BNN ch s máy CCN trong ca làm vi c thì ( )~ 12;0,3X B
{ }12
12P( ) C (0,3) (0, 0,1,2,7) , ,12k k k
kX k −
∈ …= = , k ∈ {0,1,2,…,12}
a1/ Xác su t ph i tính:
4 4 8
12P( 4) C (0,3) (0,7 2 1) 0, 31X = = =
b2/ Xác su t ph i tính:
7
=3
P(3 7) P( )
k
X X k≤ ≤ = =∑
= 0,2397 + 0,2311 + 0,1585 + 0,0792 + 0,0291
= 0,7376.
b/ S máy CCN trung bình:
( ) 12 0,3 3,6E X = × =
c/ S máy CCN nhi u kh năng nh t:
( ) 13 0 .[ ],3 3Mod X = × =
Xác su t tương ng: ( )3 0,2397P X = = .
3.21. Ngư i ta mu n l y m t s h t lúa t m t kho lúa có t l h t lép là
0,2 ñ ki m tra. Bi t r ng kho lúa có r t nhi u h t.
a/ Ph i l y ít nh t bao nhiêu h t lúa ñ xác su t có ít nh t m t h t lép không
bé hơn 95% ?
b/ L y ng u nhiên 100 h t lúa, tính xác su t ñ trong ñó có 25 h t lép; có t
10 ñ n 40 h t lép.
Gi i.
a/ G i n là s h t lúa c n l y. Vì s h t lúa trong kho r t l n, nên các l n l y xem
như ñ c l p. Xác su t ñ trong n h t lúa l y ra, không có h t lép nào là (0,8)n.
Theo gi thi t:

MATHEDUCARE.COM
54
( ) ( )1 0,8 0,95 0,8 0,
ln(0,05)
ln(0,8)
05
n n
n− ≥ ⇔ ≤ ≥⇔
V y, ph i l y ít nh t 14 h t lúa.
b/ G i X là bi n ng u nhiên ch s h t lép trong m u thì ( )~ ,X B n p , v i
100n = và 0,2p = . Vì 30; . 20 5n n p> = > và ( ). 1 80 5n p− = > nên chúng ta có
th áp d ng các công th c g n ñúng DeMoivre − Laplace.
(i) Xác su t ñ có 25 h t lép:
25 25 75
100P( 25) C (0,2) (0,8) 0,04388X = = =
(ii) Xác su t ñ có t 10 ñ n 40 h t lép:
40 100 0,2 10 100 0,2
( )
100 0,2 0,8 100 0,2
10 0
,
4
0 8
P X
   − × − ×
Φ − Φ≤ ≤ ≈      × × × ×   
(5) ( 2,5) 1 (1 (2,5)) (2,5)= Φ − Φ − = − − Φ = Φ
10 40( 0,9938)P X⇒ ≤ ≤ ≈
3.22. C n xét nghi m máu cho 5000 ngư i ñ tìm d u hi u m t lo i b nh
B t i m t ñ a phương có t l ngư i m c b nh B theo th ng kê là 10%. Có 2
phương pháp:
a/ Xét nghi m t ng ngư i m t.
b/ M i l n l y máu m t nhóm 10 ngư i tr n l n vào nhau r i xét nghi m.
N u k t qu âm tính thì thông qua, n u dương tính thì ph i làm thêm 10 xét
nghi m ñ xét nghi m l i t ng ngư i m t trong nhóm.
H i phương pháp nào có l i hơn, bi t r ng m i xét nghi m ñ u t n kém như
nhau và kh năng m c b nh c a m i ngư i ñ c l p nhau?
Gi i.
a/ N u dùng phương pháp (1) thì ph i th c hi n 5000 xét nghi m.
b/ Bây gi chúng ta xem phương pháp (2):
Đ t X ch s nhóm có k t qu dương tính thì ( )
10
~ 500; 1 )0,9(X B −
Đ t Y ch s xét nghi m theo phương pháp (2) thì 500 10Y X= +
S xét nghi m trung bình theo phương pháp (2) là:
( ) ( ) ( )
10
500 10 500 5000 1 0,9 37 7( ) 5E Y E X= + = + − ≈ .
V y, áp d ng theo phương pháp (2) có l i hơn.

MATHEDUCARE.COM
55
3.23. M t cơ s s n xu t, trung bình trong m t tu n, nh n ñư c 4 ñơn ñ t
hàng. Bi t r ng s ñơn ñ t hàng X mà cơ s nh n ñư c trong m t tu n là m t
BNN có phân ph i Poisson. Tính xác su t ñ cơ s ñó
a/ Nh n ñư c hơn 5 ñơn ñ t hàng trong m t tu n
b/ Nh n ñư c 6 ñơn ñ t hàng trong hai tu n liên ti p
Gi i.
a/ ( )~ 4X Po . Xác su t ph i tính:
( )5 1 ( )5P X P X> = − ≤
=
5
4
0
1 0,7851 0,214
4
1 e
!
9
k
k k
−
=
= − =− ∑
b/ G i Y là BNN ch s ñơn ñ t hàng c a cơ s trong hai tu n liên ti p thì
( )~ 8Y Po . Xác su t ph i tính:
( )
6
88
6 e 0,1221
6!
P Y −
= = =
3.24. M t xe t i v n chuy n 1000 chai rư u vào kho. Xác su t ñ m i chai
b v trong khi v n chuy n là 0,0035. Tính xác su t ñ sau khi v n chuy n, có 6
chai rư u b v ; có t 2 ñ n 8 chai rư u b v . (gi s r ng s ki n các chai rư u
b v là ñ c l p nhau, do ch t lư ng riêng c a m i chai)
Gi i.
G i X là BNN ch s chai rư u b v sau khi v n chuy n, thì
( )~ 1000;0,0035 .X B
Xác su t ñ có 6 chai rư u b v :
6 6 994
1000P( 6) (0,0035) (0,9965) 0,07709X C= = =
Tính g n ñúng:
Vì 1000n = và . 3,5 5n p = < , nên có th xem: ( )~ 3,5X Po . Do ñó:
6
3,5(3,5)
P( 6) 0,0771
6!
X e−
= ≈ =
Xác su t ñ có t 2 ñ n 8 chai rư u b v
8
3,5
2
(3,5)
P 0,(2 8
!
85) 43
k
k
X e
k
−
=
≤ ≤ ≈ =∑

MATHEDUCARE.COM
56
3.25. Th i gian ñ s n xu t m t s n ph m lo i A là m t BNN tuân theo lu t
phân ph i chu n v i các tham s µ = 10 và σ = 1 (ñơn v là phút)
a/ Tính xác su t ñ m t s n ph m lo i A nào ñó ñư c s n xu t trong kho ng
th i gian t 9 phút ñ n 12 phút.
b/ Tính th i gian c n thi t ñ s n xu t m t s n ph m lo i A b t kỳ.
Gi i.
G i X là BNN ch th i gian d s n xu t m t s n ph m lo i A ,
( )~ 10;1X N .
a/ Xác su t ph i tính:
12 10 9 10
( )
1
9
1
12P X
− −   
Φ − Φ   
  
≤ ≤

=
( ) ( ) ( ) ( )2 – 1 2 1 –1=Φ Φ − =Φ + Φ
= 0,9772 + 0,8413 – 1 = 0,88185.
b/ Theo qui t c 3σ, h u như ch c ch n X l y giá tr trong kho ng:
[ ] [ ]10 3 1; 10 3 1 7; 13− × + × =
V y, th i gian c n thi t ñ s n xu t m t s n ph m lo i A b t kỳ là t 7 phút ñ n
13 phút (h u như ch c ch n).
3.26. Cho bi n ng u nhiên X tuân theo lu t phân ph i 2
( ),N µ σ . Bi t r ng
X l y giá tr nh hơn 60 v i xác su t 0,1003 và l y giá tr l n hơn 90 v i xác su t
0,0516, hãy tính µ và σ.
Gi i.
Theo gi thi t,
60
0,1003
( 60) 0,1003
( 90) 0,0516 90
1 0,0516
P X
P X
 − µ 
Φ = < = σ   
⇔ 
> = − µ   − Φ =  σ 
60
0,8997
90
0,9484
 µ − 
Φ =  σ  
⇔ 
− µ  Φ =  σ 
60
1,28
90
1,64
µ −
= σ
⇔ 
− µ =
 σ
V y, 73,15µ = và 10,27σ = .

MATHEDUCARE.COM
57
3.27. Đư ng kính c a m t lo i chi ti t do m t máy s n xu t có phân
ph i chu n, kỳ v ng 20mm, phương sai ( )
2
0,2 mm. Tính xác su t l y ng u
nhiên m t chi ti t
a/ Có ñư ng kính trong kho ng 19,9mm ñ n 20,3mm.
b/ Có ñư ng kính sai khác v i kỳ v ng không quá 0,3mm.
Gi i
G i X là BNN ch ñư ng kính c a m t chi ti t, ta có
( )( )2
~ 20; 0,2X N
a/ Có ñư ng kính trong kho ng 19,9mm ñ n 20,3mm
( )
( ) ( )
20,3 20 19,9 20
19,9 20,3
0,2 0,2
1,5 0,5 0,6247
P X
− −   
< < = Φ − Φ   
   
= Φ + Φ =
b/ Có ñư ng kính sai khác v i kỳ v ng không quá 0,3mm
( ) 0,3
20 0,3 2 1 0,8664
0,2
P X
 
− < = Φ − = 
 

MATHEDUCARE.COM
58
CHƯƠNG 7: LÝ THUY T M U
4. 1.
Đ nghiên c u v s con trong m t gia ñình (SCTMGĐ) ñ a phương A,
ngư i ta ñi u tra s con c a m i gia ñình trong 30 gia ñình ñư c ch n ng u nhiên
ñ a phương A. K t qu ñư c ghi l i như sau:
0 2 5 3 7 4 3 3 1 4
2 4 3 1 6 1 0 2 4 1
1 2 3 2 0 5 5 1 3 2
a) Hãy l p b ng phân ph i t n s và t n su t tích lu cho d li u trên m u.
b) Trên m u v a nêu, tính SCTMGĐ trung bình ñ l ch chu n c a SCTMGĐ.
Gi i:
a) G i X là BNN ch s con trong m t gia ñình. B ng phân b t n s , t n su t
và t n su t tích lũy cho X t d li u trên.
X 0 1 2 3 4 5 6 7
T n s in 3 6 6 6 4 3 1 1
T n su t if 0,100 0,200 0,200 0,200 0,133 0,100 0,033 0,033
T n su t tích lũy 0,100 0,300 0,500 0,700 0,833 0,933 0,967 1,000
b) Giá tr trung bình m u là:
2,67x =
Giá tr phương sai m u: 2
3,2644s =
Đ l ch chu n: 1,81s = .
4. 2.
Đ nghiên c u v thâm niên công tác (tính tròn năm) c a nhân viên m t
công ty l n, ngư i ta kh o sát thâm niên c a 100 nhân viên ñư c ch n ng u nhiên
trong công ty. K t qu như sau:
Thâm niên 5 - 7 8 - 10 11 - 13 14 - 16 17 -19
S nhân
viên
8 21 36 25 10
a) Hãy tính giá tr trung bình m u và giá tr ñ l ch chu n m u.
b) Gi s thâm niên công tác c a nhân viên c a công ty trên là BNN X có kỳ
v ng là 12 năm và ñ l ch chu n là 3 năm. Tính xác su t ñ trung bình m u
nh n giá tr l n hơn 12,5 năm.
Gi i
G i X là BNN ch thâm niên công tác c a nhân viên c a công ty trên.
a) T d li u ta tính ñư c:
- Giá tr trung bình m u: 12.24x =

MATHEDUCARE.COM
59
- Giá tr ñ l ch chu n m u: 3,27s = .
b) Theo ñ nh lý gi i h n trung tâm ta có:
( )~ 0,1
X
U n N
µ
σ
−
=
Do ñó xác su t ñ trung bình m u nh n giá tr l n hơn 12,5 là:
( ) ( ) ( )
12,5
12,5 1,67 1 1,67 0,0478
X
P X P n n P U P U
µ µ
σ σ
 − −
> = > = > = − ≤ = 
 
4. 3.
Đ nghiên c u chi u cao c a thanh niên l a
tu i t 18 ñ n 22 tu i thành ph LX, ngư i ta
ño trên m t m u g m m t s thanh niên ñư c
ch n ng u nhiên thành ph LX. K t qu như sau
(ñơn v cm):
a) Tính giá tr trung bình m u và giá tr ñ l ch
chu n m u.
b) Theo tài li u kh o sát trư c ñó chi u cao c a
nh ng thanh niên l a tu i trên tuân theo lu t phân
ph i chu n v i kỳ v ng là 166 cmµ = và ñ l ch
chu n là 7 cm.σ = Hãy tính xác su t ñ trung
bình m u có giá tr l n 167 cm.
Gi i:
G i X là BNN ch chi u cao c a thanh niên l a tu i t 18 ñ n 22 tu i thành ph
LX.
a) T d li u ta tính ñư c:
- Giá tr trung bình m u: 166,55 cmx =
- Giá tr ñ l ch chu n m u: 5,865 cm.s =
b) Theo ñ nh lý gi i h n trung tâm ta có:
( )~ 0,1
X
U n N
µ
σ
−
=
Do ñó xác su t ñ trung bình m u nh n giá tr l n hơn 12,5 là:
( ) ( ) ( )
167
167 1,57 1 1,57 0,058
X
P X P n n P U P U
µ µ
σ σ
 − −
> = > = > = − ≤ = 
 
.
4. 4.
Gi s ñ tăng theo ph n trăm lương hàng năm c a m i công nhân viên
ch c trong công ty Alpha tuân theo lu t phân ph i chu n v i trung bình 12,2% và
Chi u cao
(cm)
S thanh
niên
[154, 158) 10
[158, 162) 16
[162, 166) 29
[166, 170) 37
[170, 174) 15
[174, 178) 10
[178, 182) 4

MATHEDUCARE.COM
60
ñ l ch chu n 3,6%. M t m u ng u nhiên g m 9 ph n t ñư c ch n t t ng th y.
Tìm xác su t ñ trung bình m u nh hơn 10%.
Gi i:
G i X là BNN ch ñ tăng lương theo ph n trăm. Ta có ( )2
~ 12,2; 3,6X N và
( )~ 0,1
X
U n N
µ
σ
−
=
( ) 12,2 10 12,2 10 12,2
10 9 9 9 0,0334
3,6 3,6 3,6
X
P X P
 − − − 
< = < = Φ =   
  
.
4. 5.
Đ nghiên c u tu i th c a m t lo i bóng ñèn, ngư i ta th p th 100 bóng
ñèn trư c c i ti n k thu t. Sau khi c i ti n k thu t, ngư i ta th p l i 100 bóng.
S li u có ñư c cho trong b ng sau:
a) Tính giá tr ñ i di n cho m i l p m u 1 và l p b ng t n s , t n su t cho
m u 1.
b) Hãy so sánh giá tr trung bình và giá tr ñ l ch chu n c a hai m u trên.
M u 1: Trư c c i ti n M u 2: Sau c i ti n
Tu i th (gi ) S bóng
ñèn
Tu i th
(gi )
S bóng
ñèn
< 1030 2 1150 10
[1030, 1050) 3 1160 15
[1050, 1070) 8 1170 20
[1070, 1090) 13 1180 30
[1090, 1110) 25 1190 15
[1110, 1130) 20 1200 10
[1130, 1150) 12
[1150, 1170) 10
[1170, 1200] 5
> 1200 2

MATHEDUCARE.COM
61
Gi i:
a) (1 ñ)
b) G i X và Y l n lư t là các BNN ch tu i th c a bóng ñèn trư c và sau
c i ti n k thu t. Ta có 1112,15x = ; 1175,5y = ; 39,26Xs = và 14,38Ys =
Như v y, trung bình m u 1 bé hơn trung bình m u 2 và ñ l ch chu n m u 1
l n hơn ñ l ch chu n m u 2.
4. 6.
Theo H i sinh viên thành ph LX thì có 60% sinh viên hi n ñang theo h c
ñ i h c mu n tìm vi c làm ngoài gi h c. M t m u g m 205 sinh viên ñư c ch n
ng u nhiên. Tìm xác su t ñ trong s ñó có hơn 135 sinh viên mu n tìm vi c làm
ngoài gi h c.
Gi i:
G i p là t l sinh viên hi n ñang theo h c ñ i h c mu n tìm vi c làm ngoài gi
h c, 0,6p = .
T l sinh viên mu n tìm vi c làm ngoài gi trên m u là
205
m
P = .
Xác su t có hơn 135 sinh viên mu n tìm vi c làm ngoài gi :
Trư c c i ti n
Tu i th
(gi )
Giá tr ñ i di n T n s T n su t
< 1030 1020 2 0,02
[1030, 1050) 1040 3 0,03
[1050, 1070) 1060 8 0,08
[1070, 1090) 1080 13 0,13
[1090, 1110) 1100 25 0,25
[1110, 1130) 1120 20 0,20
[1130, 1150) 1140 12 0,12
[1150, 1170) 1160 10 0,10
[1170, 1200] 1185 5 0,05
> 1200 1215 2 0,02
T ng s 100 1

Bài tập xác suất thống kê

Bài tập xác suất thống kê

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (6)

Similar to Bài tập xác suất thống kê

Similar to Bài tập xác suất thống kê (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Bài tập xác suất thống kê