201 bài tập vi phân

www.VNMATH.com 1

. .
` ˆ
BAI TAP PHU O NG TR`
. ˆ
INH VI PHAN

. .
1) '
Gia i phu o ng tr
nh: 2xy y” = y 2 − 1

’
HD giai: -
Dat
. y =p: 2xpp = p2 − 1
. 2 2pdp dx √
V i x(p − 1) = 0 ta co :
o = ⇔ p2 − 1 = C1 ⇔ p = ± C1 x + 1
p2 − 1 x
dy √ 2 3
p= = C1 + 1 ⇒ y = (C1 x + 1) 2 + C2
dx 3C1

. . √
2) '
Gia i phu o ng tr
nh: y.y” = y

dp . . √ dp
’
HD giai: -
Dat
. y = p ⇒ y” = p (ham theo y). Phu o ng tr
'.
nh tro thanh:
yp =p
dy dy
. . . . . dy √ dy √
V i
o p=0 ta d u o c phu o ng tr
. nh: dp = √ ⇒ p = 2 y + C1 ⇔ = 2 y + C1 ⇒
y dx
dy
dx = √
2 y + C1
. '
√ C1 √
T d nghi^m t^ ng qua t:
u o e
. o x= y− ln |2 y + C1 | + C2
2
Ngoai ra
y = c: ~
h ng cu ng la nghi^m.
a e
.

. .
3) '
Gia i phu o ng tr
nh: a(xy + 2y) = xyy

’
HD giai: a(xy + 2y) = xyy ⇒ x(a − y)y = −2ay
. . . . . . . a−y 2a

N^ u
e y = 0, ta co phu o ng tr
nh tu o ng d u o ng v i
o dy = − dx ⇔ x2a y a e−y = C
y x
Ngoai ra
y=0 ~
cu ng la nghi^m.
e
.

. .
4) '
Gia i phu o ng tr
nh: y” = y ey

dp . . dp
’
HD giai: -
Dat
. y = p ⇒ y” = p thay vao phu o ng tr
nh: p = pey
dy dy
. dp dy dy
V ip
o =0: = ey ⇔ p = ey + C1 ⇒ = ey + C1 ⇔ y = dx
dy dx e + C1
. dy 1 ey + C1 − ey 1 ey dy y
V i
o C1 = 0 ta co:
= dy = (y − ) = −
ey + C1 C1 ey + 1 C1 ey + C1 C1
1
ln(ey + C1 )
C1 
dx −e−y ´
nˆ u C1 = 0
e
.
nhu v^y:
a
. = 1
ey + C1  (y − ln |ey + C1 |) ´
nˆ u C1 = 0.
e
C1

Ngoai ra y = C : h ng la m^ t nghi^m
a o e
. .

. . .
5) '
Gia i phu o ng tr
nh: xy = y(1 + ln y − ln x) v i
o y(1) = e

2 www.VNMATH.com

- . . . y y
’
HD giai: Du a phu o ng tr
nh v^:
e (1 + ln ), d at y = zx d u.o.c: xz = z ln z
y = . .
x x
dz dx y
• z ln z = 0 ⇒ = ⇒ ln z = Cx hay ln = Cx ⇔ y = xeCx
z ln z x x
y(1) = e → C = 1. V^y y = xex
a
.

. .
6) '
Gia i phu o ng tr
nh: y”(1 + y) = y 2 + y

-
dz . . dz dy
’
HD giai: Dat
. y = z(y) ⇒ z = z thay vao phu o ng tr
nh: =
dy z+1 y+1
dy
⇒ z + 1 = C1 (y + 1) ⇒ z = C1 y + C1 − 1 ⇔ = dx (∗)
C1 y + C1 − 1
• C1 = 0 ⇒ (∗) cho y =C −x
1
• C1 = 0 ⇒ (∗) cho ln |C1 y + C1 − 1| = x + C2
C1
Ngoai ra
y=C la nghi^m.
e
.
1
e o'
To m lai nghi^m t^ ng qua t:
y = C, y = C − x; ln |C1 y + C1 − 1| = x + C2
. .
C1

. .
2
7) '
Gia i phu o ng tr
nh: y = y2 −
x2

HD giai: Bi^ n d o i (3) v^ dang: x2 y = (xy)2 − 2 (∗)
’
e ^'
e .
- at z = xy ⇒ z = y + xy thay vao (∗) suy ra:
D
.

dz dx z−1
xz = z 2 + z − 2 ⇔ = ⇔ 3
= Cx
z2 +z−2 x z+x
xy − 1
V^y TPTQ:
a
. = Cx3 .
xy + 2

. .
8) '
Gia i phu o ng tr
nh: yy” + y 2 = 1

-
dz
’
HD giai: Dat
. y = z(y) ⇒ y” = z.
dy
. . z dy C1
'
Bi^ n d o i phu o ng tr
e ^
nh v^:
e
2
dz = ⇔ z2 = 1 + 2
1−z y y
dy C1 dy
⇒ =± 1+ 2 ⇔± = dx ⇒ y 2 + C1 = (x + C2 )2
dx y C1
1+ 2
y
' 2 2
Nghi^m t^ ng qua t: y + C1 = (x + C2 )
e
. o

. .
√
9) '
Gia i phu o ng tr
nh: 2x(1 + x)y − (3x + 4)y + 2x 1 + x = 0

3x + 4 1
’
HD giai: y − .y = − √ ; x = 0, x = −1
2x(x + 1) x+1
' ' . .
Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
. o nh thu^ n nh^ t:
a a
dy 3x + 4 2 1 Cx2
= dx = ( − )dx ⇔ y = √
y 2x(x + 1) x 2(x + 1) x+1

www.VNMATH.com 3

1 1

Bi^ n thi^n h ng s^ :
e e a o C =− 2
⇒ C = − + ε.
x x
x2 1
. e
. o'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
a y=√ ( + ε)
x+1 x

. .
y(0) = 0
10) '
Gia i phu o ng tr
nh: y” = e2y '
thoa
y (0) = 0

dz . . dz z2 e2y
’
HD giai: -
Dat
. z = y → y” = z. phu o ng tr '.
nh tro thanh
z. = e2y ⇔ = +ε
dy dy 2 2
1
y (0) = y(0) = 0 ⇒ ε = − . V^y z 2 = e2y − 1. T. d :
a
. u o
2
dy √ 2y dy √
z= = e −1⇒ √ ’ ´
= x + ε. d ˆ i biˆ n t = e2y − 1
¯o e
dx e2y − 1
√
arctg e2y − 1 = x + ε
1
y(0) = 0 ⇒ ε = 0. V^y nghi^m ri^ng thoa d i^u ki^n d bai: y = ln(tg 2 x + 1).
a
. e
. e ' e e
. ^
e
2

. .
11) m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr
T e
. e ' nh: xy + 2y = xyy
~
thoa ma n d u ki^n d u
' i^
e e
. ^
a y(−1) = 1.

’ . . - .
HD giai:
Vi^ t phu o ng tr
e nh lai:
. x(1 − y)y = −2y ; do y(−1) = 1 n^n
e y ≡ 0.
Du a v^
e

. . 1−y dx
phu o ng tr
nh ta ch bi^ n:
e dy = −2
y x
. . 1
t '
ch ph^n t^ ng qua t:
a o x2 ye−y = C .
Thay d i^u ki^n vao ta d u o c
e e
. . C= . V^y t
a
. ch ph^n
a
e
e
ri^ng c^n t
a m la:
x2 ye1−y = 1.

. .
12)
B ng ca ch d a t
a . y = ux, ~ '
ha y gia i phu o ng tr
nh: xdy − ydx − x2 − y 2 dx = 0. (x 0)

’ - . . . .
√ HD giai: Dat y = ux; du = udx + xdu thay vao phu o ng tr . .va
. nh '
gia n u o c
x: xdu −
1 − u2 dx = 0. Ro rang u − ±1 la nghi^m. khi u ≡ ±1 d u.a phu o ng
~ e
. tr
nh v^ ta ch bi^ n:
e e
du dx
= . TPTQ: arcsin u − ln x = C (do x 0).
1 − u2 x
. . y
'
V^y NTQ cu a phu o ng tr
a
. nh: y = ±x; arcsin = ln x + C .
x

. .
T e
. e ' nh: xy = x2 − y 2 + y
~
' i^
e e
. ^
a y(1) = 0.

’
HD giai:
y2 y
xy = x2 − y 2 + y ⇐⇒ y = 1− +
x2 x
y
d at
. u= hay y = ux y = xu + u
suy ra
x
. .
√ du dx
phu o ng tr
nh thanh:
xu = 1 − u2 ⇐⇒ √ =
1 − u2 x

4 www.VNMATH.com

⇐⇒ arcsin u = ln Cx
' ~
thoa ma n d iû ki^n d u
e e
. a
^ y(1) = 0 khi C = 1. V^y nghi^m
a
. e
. y = ±x.

. .
T e
. e ' nh: y sin x = y ln y
π
~
' i^
e e
. ^
a y( ) = e.
2

’
HD giai:
dy dx
y sin x = y ln y ⇐⇒ =
y ln y sin x
x
x C tan
⇐⇒ ln y = C tan ⇐⇒ y = e 2
2
x
π tan
' ~
thoa ma n d iû ki^n
e e
. d u y( ) = e khi C = 1. V^y y = e
a
^ a
.
2.
2

. .
15) T '
m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr
e
. e nh: (x + y + 1)dx + (2x + 2y − 1)dy = 0
~
' i^
e e
. ^
a y(0) = 1.

’
HD giai: -
Dat x + y = z =⇒ dy = dz − dx
.
. .
phu o ng tr
nh thanh:
(2 − z)dx + (2z − 1)dz = 0; '
gia i ra x − 2z − 3 ln |z − 2| = C . V^y
a
.
x + 2y + 3 ln |x + y − 2| = C
' ~
thoa ma n d iû ki^n d u y(0) = 1 khi C = 2.
e e a
^
.

1
16)
B ng ca ch d a t
a . y= rî d a t z = ux,ha y gia i

o .
~ '

. .
z
phu o ng tr
nh: (x2 y 2 − 1)dy + 2xy 3 dx = 0

1 . . . .
’
HD giai: -
Dat
. y =
d u o c:
. (z 2 − x2 )dz + 2zxdx = 0;
rî d at
o . z = ux, du o c
.
z
(u2 − 1)(udx + xdu) + 2udx = 0

dx u2 − 1
⇐⇒ + 3 du = 0
x u +u
u2 + 1 x(u2 + 1)
⇐⇒ ln |x| + ln = ln C ⇐⇒ =C
|u| u
1 . .
thay u= d u o c nghi^m
. e
. 1 + x2 y 2 = Cy .
xy

. .
17) m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
T e
. o' ' nh sau: y − xy = x + x3

’
HD giai:
- ^ . . '
Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p 1 va co nghi^ m t^ ng qua t la
a e
. o

x2 x2
y = Ce 2 . +1
2
.

www.VNMATH.com 5

. .
18) T e
. o' '
m nghi^m t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr
nh sau: y − y = y2.

’ - ^ . . '
HD giai: Day la phu o ng tr
nh ta ch bi^ n va co nghi^ m t^ ng qua t la
e e
. o

y
ln | | = x + C.
y+1

. .
y
19) T '
m nghi^m cu a ca c phu o ng tr
e
. nh sau: y + = ex
x

’
HD giai:
- ^ . . C x ex
Day la phu o ng tr

nh tuy^ n t
e '
nh c^ p 1 va co nghi^ m t^ ng qua t la
a e o y = +e − .
.
x x

. .
20) T '
e
. nh sau: y − y = y3.

’ - ^ . . '
nh ta ch bi^ n va co nghi^ m t^ ng qua t la
e e
. o

C + x = ln |y| − arctgy.

. .
y y . π
21) '
Gia i phu o ng tr
nh: y = + sin , v i
o y(1) =
x x 2

’ . . '.
HD giai: y = zx ⇒ y = z x + z , nh tro thanh:
phu o ng tr

dz dx z z
z x = sin x ⇔ = ⇔ ln |tg | = ln |x| + ln C ⇔ tg = Cx
sin z x 2 2
y π
a e o'
tg = Cx; y(1) = ⇒ C = 1.
. .
2x 2
y
V^y:
a
. tg = x.
2x

. .
y y
22) '
Gia i phu o ng tr
nh: (x − y cos )dx + x cos dy = 0
x x

-
y . . . . .
’
HD giai: Dat
. =z ⇒y =zx+z
nh d u o c d u a v^ dang:
phu o ng tr . e .
x
dx
x cos z.z + 1 = 0 ⇔ cos zdz = − + C ⇔ sin z = − ln |x| + C
x
y
V^y TPTQ:
a
. sin = − ln |x| + C
x

. .
23) '
Gia i phu o ng tr
nh: (y 2 − 1)x2 y 2 + y (x4 − y 4 ) = 0

’ . . ' . .
HD giai: La phu o ng tr
a '
nh d a ng c^ p nhu ng gia i kha ph c tap.
u .

6 www.VNMATH.com

. . . y2 x2
Xem phu o ng tr
nh b^ c hai d o i v i
a
. ^ o y: = (x4 + y 4 )2 ⇒ y1 = 2 ; y2 = − 2 .
x y
. x 3 3
u o e o'
T d co hai ho nghi^m t^ ng qua t:
y= ; x + y = C2
. .
C1 x + 1

. .
24) '
Gia i phu o ng tr
nh: y 2 + x2 y = xyy

y2
’ . . x2 . .
HD giai: Vi^ t phu o ng tr
e nh lai
. y = y d ay la phu o ng tr
^ '
nh thu^ n nh^ t, gia i
a a
x
−1
y
. .
e
. o'
ra d u o c nghi^m t^ ng qua t:
. y 2 = Cxe x

. .
25) T '
e
. e nh: (x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0
~
' i^
e e
. ^
a y(1) = 0.

-
x =u−1 . . . .
’
HD giai: Dat
. thay vao phu o ng tr
nh d u o c:
.
y = v + 3.
. . '
(u + v)du + (u − v)dv = 0, d ay la phu o ng tr
^
a
nh thu^ n nh^ t co t
a ch ph^n t^ ng qua t la:
a o
u + 2uv − v 2 = C .
2
. .
V^y t
a
. a o' ' nh ban d u la:
ch ph^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr a
^ x2 + 2xy − y 2 − 4x + 8y = C

. .
26) '
Gia i phu o ng tr
nh (x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0.

-
x =X −1 . .
’
HD giai: Dat
. , phu o ng tr
nh thanh:

y =Y +3
(X + Y )dX + (X − Y )dY = 0
. . . dX 1−u
d at
. Y = uX d u a phu o ng tr

nh v^
e + du = 0.
X 1 + 2u − u2
'
Gia i ra X 2 (1 + 2u − u2 ) = C hay x2 + 2xy − y 2 − 4x + 8y = C .

. .
2xy
27) m t ch ph^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr
T a o' ' nh sau: b) y = .
x2− y2

- ^ . . y . .
’
'
nh d a ng c^ p, ta d a t
a . z= . Khi d phu o ng tr
o nh tr^n
e
z
z(1 + z 2 ) 1 2z dx
'.
tro thanh
xz = . Hay ( − )dz = . Suy ra nghi^m
e
. ' . .
cu a phu o ng tr
nh
1−z 2 z 1+z 2 x
z
nay la
= Cx, C = 0.
1 + z2
. . 2 2
. e
. '
V^y nghi^m cu a phu o ng tr
a nh d ~ cho la x + y = C1 y, C1 = 0.
a

. .
2x + y − 1
28) T ' '
e
. o nh sau: y = .
4x + 2y + 5

’ - . . .
HD giai: Dat
. u = 2x + y phu o ng tr
nh d u a v^ dang
e .

du 5u + 9
= .
dx 2u + 5

www.VNMATH.com 7

. . . .
'
Gia i phu o ng trnh nay ta d u o c nghi^m 10u + 7 ln |5u + 9| =
. e
. 25x + C.
. . ~ cho la 10y + 7 ln |10x + 5y
. . '
a e nh d a = 9| − 5x = C.

. .
29) T a o' '
m t ch ph^n t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr
nh sau:

(x − y + 4)dy + (y + x − 2)dx = 0

’ - ^ . . . ' . .
nh d u a v^ dang d a ng c^ p d u o c b ng ca ch d a t
e . a . a . x =
. . dv u+v . . . .
u + 1, y = v − 3, ta d u o c
. = . '
Gia i phu o ng tr '
nh ta co nghi^ m cu a phu o ng
e
.
du −u + v
tr
nh la
v 2 − 2uv − v 2 = C.
. .
. e
. ' nh d ~ cho la
a a y 2 − x2 − 2xy − 8y + 4x = C1 .

. .
30) a) T o e
.
' '
m mi^n ma trong d nghi^ m cu a bai toa n Cauchy cu a phu o ng tr
e
√ nh

^
o .
sau d ay t^ n tai va duy nh^ t
a y = x − y.
. .
a o' '
m t ch ph^n t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr
b) T nh sau: (x2 − y 2 )dy − 2xydx = 0.

’
HD giai:

a e
.
a) Bai toa n Cauchy co duy nh^ t nghi^m trong mi^n
e
2 .
D = {(x, y) ∈ R |x − y ≥ δ} v i δ 0 tuy .
o y

- . . . dy xy - ^ . .
b) Du a phu o ng tr
nh v^ dang
e = 2 . Day la phu o ng tr
'
a
. .
dx x − y2
y . .
z= . Khi d phu o ng tr
o '.
nh tr^n tro thanh
e
x
z(1 + z 2 )
xz = .
1 − z2
1 2z dx
Hay ( − 2
)dz = .
z 1+z x
. . z
. '
Suy ra nghi^m cu a phu o ng tr
e nh nay la
= Cx, C = 0.
1 + z2
. . 2 2
. e
. ' nh d ~ cho
a a la x + y = C1 y, C1 = 0.

. . 2x 2x 2
31)
a) Ch ng minh r ng h^ ca c vecto
u a e
. {e , xe , x } la h^ d oc l^p tuy^ n t nh.
e ^
. . a
.

e
. .
a o' '
m t ch ph^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr
b) T nh sau: (x − y)dy − (x + y)dx = 0;

’
HD giai:
i ~ e' e ^ a
a) Dung d. nh ngh a ki^ m tra h^ d oc l^p tuy^ n t
e nh .
. . .
- . . . x+y - ^ . .
b) Du a phu o ng tr
nh v^ dang
e y = . Day la phu o ng tr
'
a
. .
x−y
y . .
z= . Khi d phu o ng tr
o '.
nh tr^n tro thanh
e
x
1 + z2
xz = .
1−z
' . . . .
Gia i phu o ng tr
nh nay ta d u o c
.
y
x2 + y 2 = Cearctg x .

. . 2 2
32)
a) Ch ng minh r ng h^ ca c vecto
u a e
. {cos 2x, sin 2x, 2}
e
. . o
.

la h^ phu thu^ c tuy^ n t nh.
e
.
i u '
T nh d .nh th c Wronski cu a chu ng.

. .
b) T a o' '
m t ch ph^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr
nh sau: (x − 2y + 1)dy − (x + y)dx = 0.

8 www.VNMATH.com

’
HD giai:
2 2
. . o
.
a) H^ nay phu thu^c tuy^ n t
e e nh v 2 cos 2x + 2 sin 2x − 2 = 0.

. . ' . ' . .
b) Phu o ng tr
nh nay co th^ d u a v^ dang d a ng c^ p, ta d u o c
e e . a .

x+y
y = .
x − 2y + 1
1 1 . .
-
Dat
. u=x− , v =y+ , khi d phu o ng tr
o '.
nh tr^n tro thanh
e
3 3
u+v
v = .
u − 2v
. . . .
√ 1
√ arctg(
√
2u)
'
Gia i phu o ng tr
nh nay ta d u o c
. u2 + 2v 2 = Ce
√
2 v
.
√ arctg( 2 3x−1 )
1
Hay (3x − 1)2 + 2(3y + 1)2 = C1 e 2 3y+1
.

. .
33) '
Gia i phu o ng tr
nh: y 2 + x2 y = xyy

’ . .
HD giai: Phu o ng tr y = zx → y = z x + z
nh thu^ n nh^ t: d a t
a a .
. . z−1 dx
'.
nh tro thanh
Phu o ng tr dz = → z − ln |z| = ln |x| + C
z x y y
− ln | | = ln |x| + C
x x

. .
34) '
Gia i phu o ng tr
nh y 2 + x2 y = xyy .

y2
’ . . x2 . .
HD giai: Vi^ t phu o ng tr
e nh lai
. y = y d ay la phu o ng tr
^ '
nh thu^ n nh^ t, gia i
a a
x
−1
y
. .
e
. o'
ra d u o c nghi^m t^ ng qua t:
. y 2 = Cxe x

. .
35) '
Gia i phu o ng tr
nh: y” cos y + (y )2 sin y = y

’
HD giai: y = C :
h ng la m^ t nghi^m.
a o
. e
.
-
dp
y=C
(h ng). Dat
a . y = p ⇒ y” = p (ham theo
y)
dy
dp . .
thay vao (2):
cos y + p sin y = 1: phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh.
dy
. . '
Phu o ng tr
nh thu^ n nh^ t co nghi^m t^ ng qua t:
a a e
. o p = C cos y.
n thi^n h ng s^ d u.o.c C = tgy + C1 .
bi^
e e
a .
o

. dy dy
t d
u o p= = sin y + C1 cos y ⇔ = dx
dx sin y + C1 cos y
y 1 1
tg + 1 + 2 −
1 2 C1 C1
t
ch ph^n
a
d i d^ n:
e ln = x + C2
2
C1 + 1 y 1 1
−tg + 1 + 2 +
2 C1 C1

. .
1
36) '
Gia i phu o ng tr
nh: y + =0
2x − y 2

1 . .
’
HD giai: Coi x = x(y) '
la ham cu a
y ta co :
y = thay vao phu o ng tr
nh:
x

www.VNMATH.com 9

1 1 . .
+ = 0 ⇔ x + 2x = y 2 : phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh.
x 2x − y 2
. .
e
. o' '
nh thu^ n nh^ t:
a a x = Ce−2y
2 2y 1 1 1

Bi^ n thi^n h ng s^ : C (y) = y e
e e a o ⇒ C(y) = y 2 e2y − ye2y + e2y + C
2 2 4
. . −2y 1 2 1 1
' ' nh: x = Ce
V^y nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
a e o + y − y+
. .
2 2 4

. .
37) '
Gia i phu o ng tr
nh: xy” = y + x2

’
HD giai: -
Dat
. y = p, '.
(1) tro thanh:
xp − p = x2
tuy^ n t
e nh
' . .
. '
e o nh thu^ n nh^ t:
a a p = Cx
Bi^ n thi^n h ng s^ →

e e
a
o C(x) = x + C1
dy x3 x2
Suy ra: = x(x + C1 ) →y= + C1 . + C2
dx 3 2

. .
38) '
Gia i phu o ng tr
nh: y 2 + yy” = yy

. . . . . . . dp
’
HD giai: -
Dat
. p = y (p = 0), phu o ng tr
nh tu o ng d u o ng v i:
o p2 + yp = yp
dy
dp . . . dp p
⇔p+y = y, xe t
y=0 d u a phu o ng tr

nh v^:
e + =1
(tuy^ n t
e nh)
dy dy y
. . C
'
NTQ cu a phu o ng tr
nh thu^ n nh^ t:
a a p= ,
bi^ n thi^n h ng s^
e e a o
y

y2
⇒ C(y) = + C1
2

. y 2 + 2C1 dy y 2 + 2C1 2ydy
Nhu v^y:
a
. p= ⇒ = ⇒ 2 = dx
2y dx 2y y + 2C1
⇒ y 2 = A1 ex + A2 .
x x 2 x
Chu : V^ tra i (yy ) = yy ⇔ yy = C1 e ⇔ ydy = C1 e dx ⇔ y = 2C1 e + C2
y e

. . .
39) '
Gia i phu o ng tr
nh: yey = y (y 3 + 2xey ) v i
o y(0) = −1

1 . . 2
’
HD giai: yx = '
bi^ n d o i phu o ng tr
e ^
nh v^:
e x − x = y 2 e−y
xy y
e
. o'
Nghi^m t^ ng qua t:
x = y 2 (C − e−y )
y(0) = −1 ⇒ C = e.
2 −y
V^y x = y (e − e
a
. )

. .
40) '
Gia i phu o ng tr
nh: xy” = y + x

. . 1
’
HD giai: -
Dat
. y = p; '.
nh tro thanh:
phu o ng tr p − p=1
x
o'
Nghi^m t^ ng qua t:
e p = Cx
bi^ n thi^n h ng
e e a : C = ln |x| + C1
s^
o
.

10 www.VNMATH.com

dy
⇒p= = (ln |x| + C1 )x ⇒ y = (ln |x| + C1 )xdx + C2
dx
x2 x2
= C1 x2 + ln |x| − + C2
2 4

. .
41) '
Gia i phu o ng tr
nh: y + xy = x3

x2
. .
’
HD giai: ' '
Nghi^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
. o
nh thu^ n nh^ t
a a y = Ce− 2
x2
2 −
bi^ n thi^n h ng s^ : C(x) = (x − 2)e 2 + ε

e e
a
o
x2
. e
. o'
a y = εe− 2 + x2 − 2.

. .
42) '
Gia i phu o ng tr
nh: (x2 − y)dx + xdy = 0

’ . . 2 . .
HD giai: nh vi^ t lai: xy − y = −x , phu o ng tr
Phu o ng tr e .
nh thu^ n nh^ t:
a a xy − y = 0
e o'
co nghi^m t^ ng qua t: y = Cx bi^ n thi^n h ng s^ suy ra C = −x + ε

e e
a
o
.
V^y nghi^m t^
a e o'ng qua t : y = −x2 + εx

. .

. .
2 3 .
43) '
Gia i phu o ng tr
nh: y − y= 2 v i
o y(1) = 1
x x

. . 3 1
’
HD giai: Phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh: y = Cx2 ; C = 4
⇒C =− 3 +ε
x x
1
y = εx2 − ; y(1) = 1 ⇒ ε = 2
x
1
. e
. o'
a y = 2x2 −
x

. .
44) '
Gia i phu o ng tr
nh: (x + 1)(y + y 2 ) = −y

. . 1
’
HD giai: Xe t
y = 0, '
bi^ n d o i phu o ng tr
e ^
nh v^ dang
e . y + .y = −y 2
x+1
1 z . . . 1
-
Dat
. = z ⇒ y = − 2 = −y 2 z d u a phu o ng
nh v^ z −
tr
e .z = 1.
y z x+1
' . .
e
. o '
nh thu^ n
a nh^ t: z = C1 (x + 1) bi^ n thi^n
a e e h ng s^
a o
C1 = ln |x + 1| + ε.
V^y nghi^m: z = (x + 1)(ln |x + 1| + ε)
a. e
.
~
ngoai ra y = 0 cu ng la nghi^m.
e
.
1
o'
a e y= va
y=0 nghi^m k di .
e .
. . .
(x + 1)(ln |x + 1| + ε)

. .
1
45) '
Gia i phu o ng tr
nh: 2xy + y =
1−x

- . . . 1 1 . .
’
HD giai: Du a phu o ng tr
nh v^ dang
e . y + y = phu o ng tr
nh tuy^ n
e
2x 2x(1 − x)
t
nh c^ p 1
a

www.VNMATH.com 11

C
. o'
Nghi^m t^ ng qua t:
e y=√ ,
bi^ n thi^n h ng s^ :
e e a o
x
√ √
x 1 x+1
C (x) = ⇒ C = ln | √ |+ε
2x(1 − x) 2 x−1
√
1 1 x+1
a
. e
. o'
V^y nghi^m t^ ng qua t: y = √
ln | √ |+ε
x 2 x−1

. .
46) '
Gia i phu o ng tr
nh: xy − y = x2 sin x

y . .
’
HD giai: y − = x sin x, phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh. NTQ: y = Cx
bi^ n thi^n h ng
e e a
x

s^ :
o
e o'
Nghi^m t^ ng qua t:
y = (C − cos x)x
.

. .
47) '
Gia i phu o ng tr
nh: y cos2 x + y = tgx '
thoa y(0) = 0

. .
’
HD giai: Phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh → NTQ y = Ce−tgx ; y = tgx − 1 (m^t nghi^m
o
. e
.
ri^ng)
e
⇒ NTQ: y = Ce−tgx + tgx − 1
y(0) = 0 ⇒ C = 1. V^y nghi^m
a
. e
.
ri^ng c^n t
e a m: y = tgx − 1 + e−tgx .

. .
√
48) '
Gia i phu o ng tr
nh: y 1 − x2 + y = arcsin x '
thoa y(0) = 0

. .
’
HD giai: e
. o' '
nh tuy^ n t
e
nh thu^n nh^ t:
a a y = Ce−arcsinx
~
e
D^ th^ y nghi^m ri^ng:
a e
. e y = arcsinx − 1
−arcsinx
⇒ NTQ: y = Ce + arcsinx − 1
y(0) = 0 ⇒ C = 1 ⇒ e
. e
nghi^m ri^ng c^n t
a m: y = e−arcsinx + arcsinx − 1

. .
1
T e
. e ' nh: y =
2x − y 2
~
' i^
e e
. ^
a y(1) = 0.

1 . .
’
HD giai: Xem x '
la a n ham, thay
^ y = , phu o ng tr
nh thanh

x
1 1
= 2
⇐⇒ x − 2x = −y 2
x 2x − y
- ^ . . ' ' . .
Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p m^t, nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
a o
. e
. o nh tuy^ n
e
. . . −2y ng s^ d u.o.c NTQ:

nh thu^n nh^ t tu o ng u ng la x = Ce
t a a . Bi^ n thi^n h
e e a o .

y2 y 1
x = Ce−2y +
− +
2 2 4
3
'
thoa ~
ma n d i^u ki^n d u y(1) = 0 khi C =
e e a
^ .
.
4
3 −2y y2 y 1
V^y
a
. e
. ' ~
nghi^m tho a ma n d i^u ki^n d u: x =

e e
. a
^ e + − + .
4 2 2 4

12 www.VNMATH.com

. .
z . .
50) '
Gia i phu o ng tr
e
nh sau d ay, bi^ t r ng sau khi d a t
^ a . y= , ta nh^n d o c
a. u .
x2
. . ∗ 1 x
m^t phu o ng tr
o
.

nh vi ph^n c^ p hai co m^ t nghi^m
a a o
. e
. ri^ng y =
e e :
2
x2 y + 4xy + (x2 + 2)y = ex .

z x − 2z z x2 − 4z x + 6z . .
’
HD giai: -
Dat
. y = zx2 =⇒ y = ;y = . Phu o ng tr
nh thanh

x3 x
x4
∗ e . .
: z + z = ex , co m^ t nghi^m
o
. e
. ri^ng la y =
e '
, NTQ cu a phu o ng trnh thu^ n
a
nh^ t:
a
2
. .
z = C1 cos x + C2 sin x. a
. ' nh ban d u la:
V^y NTQ cu a phu o ng tr a
^

cos x sin x ex
y = C1 2 + C2 2 + 2
x x 2x

. .
51) T '
e
. e nh: yey = y (y 3 + 2xey )
~
' i^
e e
. ^
a y(0) = −1.

1 . . 2
’
HD giai: Xem x '
la a n ham, thay
^ y = , phu o ng tr
nh thanh
x − x = y 2 e−y .
x y
. . . . . C
'
NTQ cu a phu o ng tr
nh tuy^ n t
e
nh thu^n nh^ t tu o ng u ng la
a a x= ;
bi^ n thi^n h ng
e e a
y
. . . C 1

s^ d u o c
o . C(y) = −e−y + C . Nhu v^y NTQ la
a
. x= − y. Thay d iû ki^n d u xa c d. nh
e e
. a
^ i
y ye
. . 1 .
du o c
. C= . T d KL.
u o
e

. .
52) T '
m nghi^m cu a phu o ng tr
e
. nh y − y = cos x − sin x.
tho a d u ki^n
' i^
e e
. y bi chn khi
. a
. x→∞

. .
’
HD giai: '
Gia i phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh ra y = Cex + sin x
'
tho a d iû ki^n
e e
. y bi chn khi
. a
. x→∞ khi C=0

. .
T e
. e ' nh: y + sin y + x cos y + x = 0
π
~
' i^
e e
. ^
a y(0) = .
2

’
HD giai:
y y y
y + sin y + x cos y + x = 0 ⇐⇒ y + 2 sin cos + x.2 cos2 = 0
2 2 2

y y
⇐⇒ y + tan 2 + x = 0
2 cos2
2
y y . . . .
d at
z = tan =⇒ z =
.
2 y , phu o ng tr
nh thanh phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh
2 cos2
2
−x
z + z = −x. '
Gia i ra: z = 1 − x + Ce
π
' ~
thoa ma n d iû
e ki^n d u y(0) =
e
. a
^ khi C = 0. V^y nghi^m ri^ng y = 2 arctan(1 − x).
a
. e
. e
2

www.VNMATH.com 13

. .
x
54) T e
. o' '
nh sau: y − x tan y =
cos y

’ - . . '. - ^
HD giai: Dat
. z = sin y, o nh d ~ cho tro thanh
khi d phu o ng tr a z − xz = x. Day la

x2
. . '
phu o ng tr
nh tuy^ n t
e
a e
. o z = Ce − 1.
2
x2
. .
. e
. '
a nh d ~ cho la sin y = z = Ce 2
a −1

. .
55) T e
. o' '
nh sau: y − xy = x

’
HD giai:
. . 1 2
- ^
Day la phu o ng tr

nh tuy^ n t
e '
a e
. o y = Ce 2 x − 1.

. .
y √
56) m nghi^m t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr
T e
. o' ' nh sau: y + = x y.
x

’ - ^ . . '
nh Bernoulli va co nghi^ m t^ ng qua t la
e
. o

√ C 1
y = √ + x2 .
x 5

. .
y
57) m nghi^m cu a ca c phu o ng tr
T e
.
' nh sau: y − = x3
x

’
HD giai:
- ^ . . '
Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
a e
. o

1
y = Cx + x4 .
3

. .
58) T '
e
. nh sau: y − y = y2.

’
HD giai:
- ^ . . '
Day la phu o ng tr
e
. o

1
y2 = .
Ce−2x −1

. .
y
59) T '
e
. nh sau: y + = sin x
x

’
HD giai:
- ^ . . '
Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
a e
. o

C sin x
y= + − cos x.
x x

14 www.VNMATH.com

. . √
60) T '
e
. nh sau: y − y = x y.

’
HD giai:
- ^ . . '
Day la phu o ng tr
e
. o

√ 1
y = Ce 2 x − x − 2.

2
61) m nghi^m t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr
T e
. o' '
. .
nh sau: y + 2xy = xe−x

’
HD giai:
- ^ . .
Day la phu o ng tr
nh vi ph^n tuy^ n t
a e nh c^ p 1.
a
x2 −x2
e o'
Nghi^m t^ ng qua t la y = (C +
)e .
.
2

. .
y √
62) T ' '
e
. o nh sau: y −4 = x y.
x

’ - ^ . .
nh Bernoulli va co nghi^ m la
e
.

√ 1
y= ln x + Cx2 .
2

. .
63) o e
.
'
m mi^n ma trong d nghi^ m cu a bai toa n Cauchy cu a phu o ng tr
a) T e ' nh sau

^
o .
d ay t^n tai va duy nh^ t
a
 = y + 3x.
y
1
y” − y = x

b) T e
.
'
m nghi^m cu a bai toa n Cauchy sau d ay
^ x
y(x = 1) = 1 va y (x = 1) = 2.
`

’
HD giai:
- ^ . .
a) Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e '
nh c^ p 1 tho a d. nh ly d i^u ki^n t^n tai duy nh^ t
a i e e
. o . a
2
nghi^m tr^n R .
e
. e

. . y . .
'
b) Gia i phu o ng tr
nh y” − = x, '
ta d u o c nghi^m t^ ng qua t
. e o
.
x
x2
y = C1 + C2 x + .
2
a
. e
. '
V^y nghi^m cu a bai toa n Cauchy la

1 x2
y =− +x+ .
2 2

. .
64) T '
e
. nh sau: y + ytgx = cos x

’
HD giai:
- ^ . .
Day la phu o ng tr
nh vi ph^n tuy^ n t
a e nh c^ p 1.
a
o'
Nghi^m t^ ng qua t la:
e
.
y = (C + x) cos x.

www.VNMATH.com 15

. .
y ex
65) '
T e
. nh sau: y + = x( x )y 2 .
x e +1

’
HD giai:
- ^ . . ' ' . .
Day la phu o ng tr
nh vi ph^n Bernoulli va co nghi^ m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
a e
. o nh la

1
y= .
Cx − x ln(ex + 1)

. .
66) '
Gia i phu o ng tr
nh: (x + 1)y” + x(y )2 = y

’ - . . '. . . .
HD giai: Dat
. y = p, phu o ng tr
nh tro thanh phu o ng tr
nh Bernouili (v i
o x = −1)
1 x 2
p − p=− p (∗)
x+1 x+1
. . .
-
Dat
. z = p−1 = 0, du a
(∗)
v^ phu o ng tr
e
nh tuy^ n t
e
nh c^ p m^t:
a o
.

1 x
z + z=
1+x x+1
. . C
e o' '
nh thu^ n nh^ t:
a a z=
.
x+1
. . x2 + C1 1 2(x + 1)

e e
a
o
Bi^ n thi^n h ng s^ cu^ i cung d u o c:
o . z= ⇒y = = 2
2(x + 1) z x + C1
' ' . .
Suy ra nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
. o nh:

ln |x2 + C | + √2 arctg √x + C ´
nˆ u C1 0
e
 1 2
C1 C1√


ln |x2 + C1 | + √ 1 ln | x − √−C1 | + C2
 ´
nˆ u C1 0
e
−C1 x + −C1


Chu
y y=C la NKD

. .
67) '
Gia i phu o ng tr
nh: x2 y = y(x + y)

1 1
HD giai: x2 y = y(x + y) ⇔ y −
’ = 2 y 2 : phu.o.ng tr
nh Bernouilli
y x
- −1 1 1
Dat z = y
. (y = 0) : −z − z = 2 .
x x
. .
'
NTQ cu a phu o ng tr nh thu^ n nh^ t:
a a z = Cx
1 1
bi^ n thi^n h ng s^ C: C(x) = ε −

e e
a
o . V^y z = x(ε − 2 )
a
.
2x 2 2x
2x
e o'
V^y nghi^m t^ ng qua t la: y =
a
. .
εx2 − 1

. .
68) '
Gia i phu o ng tr
 nh: yy” − (y )2 = y 3
1
y(0) = −

'
thoa 2
y (0) = 0

201 bài tập vi phân

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (14)

More from Thế Giới Tinh Hoa

More from Thế Giới Tinh Hoa (20)

201 bài tập vi phân