Bài tập giới hạn liên tục

BAØI TAÄP ÑAÏI SOÁ 11 http://www.vnmath.com

GIÔÙI HAÏN DAÕY SOÁ Baøi 5: Xeùt söï hoäi tuï cuûa caùc daõy soá sau:
1 1 1 1 1 1
a) an  (1  )(1  )...(1  ) b) an    ... 
Baøi 1: Duøng ñònh nghóa, chöùng minh raèng: 2 4 2n n 1 n  2 2n
n 1 1 1  2n 2 2 1 1 1 1  2  ...  (n  1)
a) lim  b) lim  c) an    ...  d) an 
n  2n  1 2 n  1  3n 2 3 1.2 2.3 (n  1)n 2n 2  3n
3 2 n 1 1 1 1
c) lim 2 0 d) lim 2 e) an    ... 
n  n  1 n  n 1.3 3.5 (2n  1)(2n  1)
Baøi 2: Tính caùc giôùi haïn sau:

a) lim
4n  1
b) lim 2
2n 2  2 n  8 GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ
n 2n  7 n   n  3 n  7
Baøi 1: Duøng ñònh nghóa, chöùng minh raèng:
2n3  5n  1 n 3n  3 x2 1
c) lim d) lim 2 a) lim(2x  3)  6 b) lim 
n  2n 2  n  3 n  n  2n  2
x 1 x 1 2(x  1) 4
(2n  1)(n  1)(3n  4) (3n  4)(n  2)(n  3)
e) lim f) lim c) lim x  4  3 d) lim sin x  0
n  (6n  1)3 n  2n(n 2  n  4) x 5 x 0

0
a) lim( n 2  2n  1  n 2  7n  3) b) lim( n 2  n  n)  DAÏNG VOÂ ÑÒNH :
n  n  0
c) lim( n  1  n)
3 3
d) lim( 3 n  n3  n) Baøi 2: Tính caùc giôùi haïn sau:
n  n 
x3 x2  x  6 x 2  16
4n  1  (2n  1)
2 3
2  n3  n a) lim 2 b) lim 2 c) lim 2
e) lim f) lim x 3 x  9 x 2 x 4 x  4 x  x  20
n 
n 2  4n  1  n n 
n2  1  n x  x  x 1
3 2
x 1
3
x 4  6x 2  27
d) lim 2 e) lim 3 f) lim 3
g) lim( 3 n 3  3n 2  1  n 2  4n) x 1 x  3x  2 x 1 x  x 2  x  1 x 3 x  3x 2  x  3
n 
x5  1 4x 6  5x 5  x
3  4n 3n  4n  5n 2n 1  3n 1 a) lim 3 b) lim
a) lim b) lim n c) lim x 1 x  1 x 1 (1  x)2
n  1  3.4 n n  3  4 n  5n n  2 n  3n

(1  x)(1  2x)(1  3x)  1 (1  x)5  (1  5x)
c) lim d) lim
2 n  6n  4 n 1  n 
2
 3n  1 
2 x 0 x x 0 x5  x2
d) lim n
e) lim   f) lim  
n  2n  1 n  4n  5
n 
3n  6 n 1    

http://www.vnmath.com 1


Baøi 4: Tính caùc giôùi haïn sau:  GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC:
xm  1 xa Baøi 8: Tính caùc giôùi haïn sau:
a) lim n b) lim n n (n  Z+ ; a  0)
x 1 x  1 x a x  a s inx tgx s in(x  1)
a) lim b) lim c) lim
x  0 2x x 0 x x2  1
x  x  ...x  n
2 n
(1  x)(1  2x)...(1  nx)  1 x 1
c) lim d) lim x
x 0 x 1 x0 x s in 2
2 s in5x 1  cos x
Baøi 5: Tính caùc giôùi haïn sau: d) lim e) lim f) lim
x0 x 2 x  0 tg3x x  0 x.sin x
1  2x  1 4x x  7 3
a) lim b) lim c) lim Baøi 9: Tính caùc giôùi haïn sau:
x0 2x x0 9 x 3 x 2 x2
1  cos x tgx  sin x cos x  cos3x
3x  2 4x 2  x  2 2x  7  x  4 a) lim b) lim c) lim
x  0 1  cos3x x3 sin 2 x
d) lim e) lim 3 x0 x 0
x 1 x 2  3x  2 x 1 x  4x 2  3 1  cos3 x 1  cos4 x 1  3 cos x
2x  7  3 x2  1  1 d) lim e) lim f) lim
x  0 x.sin 2x x  0 x.sin 3x x0 sin 2 x
f) lim g) lim
x 1 2  x  3 x0
x 2  16  4 1  sin 2 x  cos x 1  cos x cos 2x
g) lim h) lim
x  5  2x  1 x 1  x  4  3 x 0 sin 2 x x0 x2
h) lim k) lim
x4 x4 x0 x Baøi 10: Tính caùc giôùi haïn sau:
Baøi 6: Tính caùc giôùi haïn sau: 1 1 1 1 1
a) lim(  ) b) lim(  )
x  0 sin x tgx sin x sin 3x x
3
4x  2 2  19  x
3 3 3
x 1 x0
x 2 x2 x 3 4x  3  3 x 1 3
4x  4  2 1  cos x 1  cos 2x  tg3 x
c) lim d) lim
3
x  9  3 2x  6 1 x  3 1 x x0 tg2 x x0 x.sin x
d) lim e) lim
x 1 x3  1 x0 x Baøi 11: Tính caùc giôùi haïn sau:
3
8x  11  x  7 3
3x  2  2x  1 2 sin x  1 sin x  cos x 1  tgx
f) lim g) lim a) lim b) lim c) lim
x 2 x 2  3x  2 x 1 x3  1 x

2 cos x  1 x
 4x   x  1  cot gx

4 4 4
Baøi 7: Tính caùc giôùi haïn sau: cos x 1
d) lim e) lim(  tgx) f) lim(1  cos 2x)tgx
x x a a n
x 1    cos x 
a) lim b) lim m (m, n  Z+ ) x
2 x
x
2
x
2
x a x a x 1 x 1 2
(1  x)(1  3 x)(1  4 x)(1  5 x) 2sin x  1 2sin x  1 tg3 x  3tgx
c) lim g) lim h) lim k) lim
x 1 (1  x)4 x  2 cos x  3

x  4 cos x  3
 2  
3 cos(x  )
x
6 6
6




 DAÏNG VOÂ ÑÒNH :
Baøi 12: Tính caùc giôùi haïn sau: 
cos(a  x)  cos(a  x) Baøi 15: Tính caùc giôùi haïn sau:
a) lim
x0 x 2x  1 2x 2  3x  4 2x 2  x  1
sin(a  x)  2sin(a  x)  sin a x  x  1 x  1  2x  4x 2 x  x2
b) lim
x 0 x2 2x  3
3
x x 1 (3x  1)(5x  3)
2

sin(a  x)  sin(a  x) tg(a  x)tg(a  x)  tg2 a d) lim 3 e) lim 2 f) lim
x  x  2x  1
2 x  x  x  1 x  (2x 3  1)(x  4)
c) lim d) lim
x  0 tg(a  x)  tg(a  x) x0 x2 Baøi 16: Tính caùc giôùi haïn sau:
4x 2  1 9x 2  x  1  4x 2  2x  1
 GIÔÙI HAÏN MOÄT BEÂN: a) lim b) lim
x  3x  1 x  x 1
x 2  2x  3  4x  1 3x  2 x  x 4  5x
x  3  3x  1 1  cos x 1  cos x c) lim d) lim
a) lim b) lim c) lim x 
4x 2  1  2  x x  2x 2  4x  5
x 1
x 1 x  sin x  
x
2 x Baøi 17: Tính caùc giôùi haïn sau:
2
Baøi 14: Tính giôùi haïn moät beân vaø giôùi haïn (neáu coù) cuûa caùc hsoá: 1 2 x  x x3  3x  1
a) lim b) lim 2
 3sin x x  x3 x  x x x
 neáu x  0
a) f(x)   x khi x  0 x.sin x x  2 1 x
 x3  1 neáu x  0 c) lim d) lim
 x  2x 2  1 x  1 x
 x3 2
 neáu x  1  DAÏNG VOÂ ÑÒNH    :
 x 1
b) f(x)   khi x  1 Baøi 18: Tính caùc giôùi haïn sau:
 x 2  3x  1
neáu x  1
 4(3x 2  5x  2)
 a) lim( x 2  x  x) b) lim(2x  1 4x 2  4x  3)
x  x 

 6(1  3 cos x) c) lim( x 2  x  1  x 2  x  1) d) lim( 3 x3  1  x)
 neáu x  0 x  x 
 sin 2 x
c) f(x)   2 khi x  0 3
e) lim( x  x  x)
3 2
f) lim( x3  5x 2  3 x3  8x )
3

 x x x  x 
neáu x  0
 x2
 Baøi 19: Tính caùc giôùi haïn sau:
2 1 1 3
a) lim( 2 ) b) lim(  )
x 1 x  1 x  1 x 1 1  x 1  x3



1 1
c) lim(
x  2 x  3x  2
2
 2
x  5x  6
) HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC
1 1 sin x Baøi 1: Xeùt tính lieân tuïc taïi x0 cuûa haøm soá trong caùc trhôïp sau:
d) lim(  ) e) lim( 2  tg2 x)
x  0 tgx x  cos x
 2  7x  5x 2  x3
sin 2 x
2
 neáu x  2
2 a) f(x)   x 2  3x  2 taïi x 0  2
Baøi 20: Tính caùc giôùi haïn sau:  1 neáu x  2

a) lim ( x  x  x  x)  x3  x  2
x 
 x3  1 neáu x  1

b) f(x)   taïi x 0  1
b) lim ( x  x  x  x  x  x )
x   4 neáu x  1
 3

c) lim x( x 2  2x  2 x 2  x  x)
x 
 1  2x  3
 neáu x  2
d) lim ( 3 x3  3x 2  x 2  2x ) c) f(x)   2  x taïi x 0  2
x 
 1 neáu x  2
e) lim [ n (x  a1 )(x  a2 )...(x  an )  x] 
x 
 x2
 neáu x  4
 x5 3
 DAÏNG VOÂ ÑÒNH  : d) f(x)   taïi x 0  4
Baøi 21: Tính caùc giôùi haïn sau:  3 neáu x  4
   2

a) lim(  x)tgx b) lim tg2x.tg(  x) c) lim sin 5x.cotg3x
x
 2
x
 4 x 0  3 3x  2  2
2 4  neáu x  2

 2 e) f(x)   x  2 taïi x 0  2
d) lim x.cot gx e) lim(1  x)tg x f) lim(x  4)sin 3
x0 x 1 2 x  x  neáu x  2
 4

Baøi 2: Xeùt tính lieân tuïc taïi x0 cuûa haøm soá trong caùc trhôïp sau:
 1  cos x
 neáu x  0

a) f(x)   sin x
2
taïi x 0  0
 1
neáu x  0
 4




 cos x  1  sin 2 x Baøi 3: Xeùt tính lieân tuïc taïi x0 cuûa haøm soá trong caùc trhôïp sau:
 neáu x  0  x5
b) f(x)   sin 2 x taïi x 0  0 neáu x  5

  10 neáu x  0 a) f(x)   2x  1  3 taïi x 0  5

 (x  5)2  3 neáu x  5
 1  cos x 
 neáu x  0  1  cos x neáu x  0

 sin x.sin 2x b) f(x)   taïi x 0  0
c) f(x)   taïi x 0  0
 1  x 1
 neáu x  0
neáu x  0
 8
  1  3 cos 2x
 neáu x  0
1  3 cos x sin 2 x
 neáu x  0 
 sin 2 x 2
d) f(x)   taïi x 0  0 c) f(x)   neáu x  0 taïi x 0  0
 1 neáu x  0  3
 3
 1 1 x 1
  neáu x  0
 sin x 6 x
 neáu x  1
e) f(x)   x  1 taïi x 0  1  6(1  3 cos x )
 
 neáu x  1  neáu x  0
 sin 2 x
 1  cos x 
 neáu x  0 d) f(x)   1 neáu x  0 taïi x 0  0

f) f(x)   sin x
2
taïi x 0  0  x2  x
1  neáu x  0
 neáu x  0  x2
 4
 
 sin 2 (x 2  4)  x 2
 2 neáu x  2  neáu x  0
g) f(x)   x  4x  4 taïi x 0  2  x4
 16
 neáu x  2 1
e) f(x)   neáu x  0 taïi x 0  0
 2 1 2
x sin neáu x  0  x
h) f(x)   x taïi x 0  0 neáu x  0

 0
 neáu x  0  tg2x



 cos x  cos 2x  2  2 cos ax
 neáu x  0  neáu x  0
x2 f) f(x)   x2 taïi x 0  0
 x  a
3  neáu x  0
f) f(x)   neáu x  0 taïi x 0  0
2  x  3  3 3x  5
 1 x  neáu x  1
g) f(x)   x 1 taïi x 0  1
1  neáu x  0
 1 x  ax  1
 neáu x  1
Baøi 5: Ñònh f(x0) ñeå caùc haøm soá sau lieân tuïc taïi x0 :
 TÌM ÑIEÀU KIEÄN ÑEÅ HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC:
x3  3x 2  2x
Baøi 4: Ñònh a ñeå caùc haøm soá sau lieân tuïc taïi x0: a) Ñònh f(-2) ñeå f(x)  2 (x  2) lieân tuïc taïi x0 = -2.
x  5x  6
 1  x2  1
 neáu x  0 x 4  2x3  2x 2  2x  1
a) f(x)   taïi x 0  0 b) Ñònh f(1) ñeå f(x)  (x  1) lieân tuïc taïi
x x2  3  2
 a neáu x  0
 x0 = 1.
 1 x  1 x 3
x2  1  2
 neáu x  0 c) Ñònh f(3) ñeå f(x)  (x  3) lieân tuïc taïi x0 = 3.
 x x 2  4x  3
b) f(x)   taïi x 0  0
 a+ 4x 1  x2  1
neáu x  0 d) Ñònh f(0) ñeå f(x)  (x  0) lieân tuïc taïi x0 =0.

 x2 3
1 x 1
 3 3x  2  2 cos 2x  1
 neáu x  2 e) Ñònh f(0) ñeå f(x)  (x  0) lieân tuïc taïi x0 =0.

c) f(x)   x  2 taïi x 0  2 1  x2  1
ax  1
neáu x  2 cos x  cos 2x

 4 f) Ñònh f(0) ñeå f(x)  (x  0) lieân tuïc taïi x0 = 0.
sin 2 x
1  cos x cos 2x 1  cos x
 neáu x  0 g) Ñònh f(0) ñeå f(x)  (x  0) lieân tuïc taïi x0 = 0.
d) f(x)   x2 taïi x 0  0 1  cos3x
 a neáu x  0
 sin 2 (x 2  4)
h) Ñònh f(2) ñeå f(x)  (x  2) lieân tuïc taïi x0 = 2.
 1  cos 4x 3 3x  2  2 tg2 (x  2)
 neáu x  0
 x sin 2x  2sin x  3  
e) f(x)   taïi x 0  0 i) Ñònh f( ) ñeå f(x)  (x  ) lieân tuïc taïi x0 =
 xa 3 2 cos x  1 3 3
neáu x  0
 x 1




 TÌM CAÙC KHOAÛNG TREÂN ÑOÙ HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC: Baøi 11: Ñònh a ñeå haøm soá sau lieân tuïc treân [0; 4] :
Baøi 6: Tìm caùc khoaûng vaø nöûa khoaûng treân ñoù haøm soá ñaõ cho sau  x4
 neáu x  4
ñaây lieân tuïc: f(x)   3( x  2)
 x3 neáu x  1  x 2  x  1 neáu x  1  a neáu x  4
a) f(x)   b) f(x)   
x  1 neáu x  1 cos x neáu x  1
Baøi 7: Chöùng minh haøm soá sau lieân tuïc treân R:  TÌM CAÙC ÑIEÅM GIAÙN ÑOAÏN:
 x3  x  2 Baøi 12: Tìm caùc ñieåm giaùn ñoaïn cuûa caùc haøm soá sau:
 x3  1 neáu x  1  1
  x sin neáu x  0 3 2x  1 2x  1
a) f(x)   b) f(x)   x a) f(x)  3 b) f(x)  2 c) f(x)  3
4 0 x  2x 2
x 2 x  2x 2  x  2
neáu x  1  neáu x  0
3
 x 1 1 sin 2x
d) f(x)  e) f(x)  cos2 f) f(x)  g) f(x) 
Baøi 8: Ñònh a ñeå haøm soá sau lieân tuïc treân R: sin x x cos x sin x
  Baøi 13: Tìm caùc ñieåm giaùn ñoaïn cuûa caùc haøm soá sau:
 sin(x  3 )   1
 neáu x   sin x neáu x  0 tgx neáu x  0
f(x)   1  2 cos x 3  
a) f(x)   b) f(x)   x
 
tg  a neáu x 
  x neáu x  0  1  x neáu x  0

 6 3 1  x

Baøi 9: Tìm A vaø B ñeå haøm soá sau lieân tuïc treân R:  2x  2  x+1 neáu x  1
 2 neáu x  1 
  c) f(x)   x  3x  2 d) f(x)   1
 2 sin x neáu x 
2 2 neáu x  1  x 2  3x neáu x  1
  
    CHÖÙNG MINH PHÖÔNG TRÌNH COÙ NGHIEÄM:
f(x)  A sin x  B neáu   x 
 2 2 Baøi 14: Chöùng minh raèng:
  a) x 4  6x 2  1  0 coù 2 nghieäm  (1; 3) .
 cos x neáu x 
2
 b) 2x3  6x  1  0 coù 3 nghieäm  (2;2) .
Baøi 10: Ñònh a ñeå haøm soá sau lieân tuïc treân [3; ) : c) x 5  5x3  4x  1  0 coù nghieäm phaân bieät.
 x  3  3 3x  5 d) a(x  b)(x  c)  b(x  c)(x  a)  c(x  a)(x  b)  0 luoân coù
 neáu x  1
f(x)   x 1 nghieäm a, b,c  R .
 ax  1 neáu x  1
 Baøi 15: Cho pt: ax 2  bx  c  0 (a  0) thoûa 2a + 3b + 6c = 0.
CMR: Phöông trình cho coù ít nhaát moät nghieäm  (0;1) .


Bài tập giới hạn liên tục

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (6)

More from Thế Giới Tinh Hoa

More from Thế Giới Tinh Hoa (20)

Bài tập giới hạn liên tục