1. Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ
BÀI 3. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
I. DẠNG 1: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ ĐỒNG BẬC
Các bài tập mẫu minh họa:
dx 1 x 5 x 2 1 1 1 1 x 2
• A1 = dx dx ln c
x 2 x+5 7 x 2 x 5 7 x 5 x 5 7 x 5
dx 1 x 4 x 5
A2 = dx
x 5 x+2 x+4 9 x 5 x 2 x 4
1 1 1 1 x 2 x 5 1 x 4 x 2
dx dx dx
9 x 5 x 2 x 2 x 4 63 x 5 x 2 18 x 2 x 4
1 1 1 1 1 1 1 x 5 1 x 4
dx dx ln ln c
63 x 5 x 2 18 x 4 x 2 63 x 2 18 x 2
II. DẠNG 2: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ KHÔNG ĐỒNG BẬC
1. Các bài tập mẫu minh họa:
dx dx 1 x2 x2 3 1 xdx dx
B1 = 3
dx
x 3x x x 2
3 3 x x2 3 3 x2 3 x
2
1 1 d x 3 dx 1 1 1 x2 3
ln x 2 3 ln x c ln c
3 2 x2 3 x 3 2 6 x2
dx dx 1 x 4 x 4 10 1 xdx dx
• B2 = 7 3
dx 4
x 10x x 3
x 4
10 10 x 3 x 4 10 10 x 10 x3
1 1 d x2 dx 1 1 x2 10 1
2
ln c
10 2 x2 10 x3 20 10 x 2
10 x2
2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
dx dx dx dx dx
B1 3
; B2 ; B3 ; B4 ; B5
x 5x x 7x 4
9
x 11
8x 5 6
x 9x 7
x 13x
dx dx dx
B6 3 2
; B7 3 2
; B8 4 3
x 6x 19x 22 x 3x 14x 12 x 4x 6x 2 7x 4
17

2. Chương II. Nguyên hàm và tích phân Trần Phương
III. DẠNG 3: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 4
dx dx 1 x2 1 x2 1 1 x 1 1
C1 = 4
dx ln arctgx c
2 2 2 2 2 4 x 1 2
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
2
xdx 1 d x 1 1 1 1 x2 1
C2 = d x2 ln c
x4 1 2 x2 1 x2 1 4 x2 1 x2 1 4 x2 1
x 2 dx 1 x2 1 x2 1 1 1 1
C3 = dx dx
x4 1 2 x
1 x 1 2 2 2 x 2
1 x 2
1
1 dx 1 dx 1 x 1 1
2 2
ln arctgx c
2 x 1 2 x 1 4 x 1 2
x 3 dx 1 d x4 1 1
• C4 = ln x 4 1 c
x4 1 4 x4 1 4
x 4 dx x4 1 1 dx 1 x 1 1
C5 = 4 4
dx dx 4
x C1 x ln arctgx c
x 1 x 1 x 1 4 x 1 2
2
xdx 1 d x 1
C6 = arctg x 2 c
x4 + 1 2 x2
2
1 2
x 3 dx 1 d x4 1 1
C7 = ln x 4 1 c
x4 + 1 4 x 1 4
4
1
1 2 d x 1 x 1 2
x2 1 x dx x 1 x
C8 = dx ln c
x4 + 1 1 2 2 2 2 1
x 1
2
x 2 x 2
x 2
x x
1 12 d x 1
x2 + 1 x dx x 1 x2 1
• C9 = 4
dx 2
arctg c
x +1 2 1 2 2 x 2
x x 1 2
x2 x
dx 1 x2 1 x2 1 1 x2 1 x2 1
C 10 = 4
dx dx dx
x +1 2 x4 1 2 x4 1 x4 1
1 1 1 x2 1 1 x2 x 2 1
C9 C8 arctg ln 2
c
2 2 2 x 2 2 2 x x 2 1
x 2 dx 1 x2 1 x2 1 1 x2 1 x2 1
C11 = dx dx dx
x4 + 1 2 x4 1 2 x4 1 x4 1
1 1 1 x2 1 1 x2 x 2 1
C9 C8 arctg ln 2
c
2 2 2 x 2 2 2 x x 2 1
18

3. Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ
x 4 dx x4 1 1 1 1 x2 1 1 x2 x 2 1
C12 = dx x arctg ln c
x4 + 1 x4 1 2 2 x 2 2 2 x 2
x 2 1
1 dx
1 d x 1
x 2 - 1 dx x2 x
C13 =
x 4 5x 3 4x 2 5x + 1 1 5 x 1
2
x2 4 x 1 5 x 1 6
x2 x x x
du du 1 1 1 1 x 2 6x 1
du ln 2 c
u 2 5u 6 u 6 u 1 7 u 6 u 1 7 x x 1
dx 1 x2 1 x2 1 1 x2 1 x2 1
• C14 = dx dx dx
x4 + x2 + 1 2 x4 x2 1 2 x4 x2 1 x4 x2 1
1 1 dx 1 1 dx 1 1
d x d x
1 x2 x2 1 x x
2 2
2 x2 1 1 x2 1 1 4 1 1
x 3 x 1
x2 x2 x x
x 1 1 1
1 x 1 x x 1 x2 1 1 x2 x 1
arctg ln c arctg ln c
2 3 3 4 x 1 1 2 3 x 3 4 x2 x 1
x
IV. DẠNG 4: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 3
dx dx d x 1
• D1 = 3 2
x 1 x 1 x2 x 1 x 1 x 1 3 x 1 3
dt 1 t2 3t 3 t2 3t 1 dt t 3 dt
dt 2
2 3 2 3 t
t t 3t 3 t t 3t 3 t 3t 3
1 dt 1 2t 3 dt 3 dt 1 x 2 2x 1 1 2x 1
ln 2 arctg c
3 t 2 t 2 3t 3 2
2 t 3t 3 6 x x 1 2 3 3
dx dx d x 1
• D2 = 3 2 2
x +1 x 1 x x 1 x 1 x 1 3 x 1 3
dt 1 t2 3t 3 t2 3t 1 dt t 3 dt
dt 2
2 3 2 3 t
t t 3t 3 t t 3t 3 t 3t 3
1 dt 1 d t 2 3t 3 3 dt
3 t 2 t 2 3t 3 2 3
2
3
t
2 4
19

4. Chương II. Nguyên hàm và tích phân Trần Phương
1 1 t2 2t 3 1 x 2 2x 1 1 2x 1
ln 2 3arctg c ln 2 arctg c
3 2 t 3t 3 3 6 x x 1 2 3 3
2
xdx xdx 1 x2 x 1 x 1
• D3 = dx
x3 1 x 1 x2 x 1 3 x 1 x2 x 1
1 1 x 1 1 dx 1 2x 1 dx 3 dx
2
dx
3 x 1 x x 1 3 x 1 2 x2 x 1 2
1
2
3
2
x
2 2
1 1 2x 1
ln x 1 ln x2 x 1 3arctg c
3 2 3
2
xdx xdx 1 x2 x 1 x 1
• D4 = dx
x3 + 1 x 1 x2 x 1 3 x 1 x2 x 1
1 1 x 1 1 dx 1 2x 1 dx 3 dx
2
dx
3 x 1 x x 1 3 x 1 2 x2 x 1 2
1
2
3
2
x
2 2
1 1 2x 1 1 x 2 2x 1 1 2x 1
ln x 1 ln x 2 x 1 3arctg c ln 2 arctg c
3 2 3 6 x x 1 3 3
V. DẠNG 5: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 6
dx dx 1 dx dx 1
• E1 = 6 3 3 3 3
D1 D2
x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 2
1 1 x 2 2x 1 1 2x 1 1 x 2 2x 1 1 2x 1
ln 2 arctg ln 2 arctg
2 6 x x 1 2 3 3 6 x x 1 2 3 3
1 x 2 2x 1 x 2 x 1 1 2x 1 2x 1
ln arctg arctg c
12 x 2 2x 1 x 2 x 1 4 3 3 3
xdx 1 d x2 1 du 1
• E2 = D1
x6 1 2 x2
3
1
3
2 u 1 2
1 1 u2 2u 1 1 2u 1 1 x4 2x2 1 1 2
2x 1
ln 2 arctg c ln 4 arctg c
2 6 u u 1 2 3 3 12 x x2 1 2 3 3
x 2 dx 1 d x3 1 1 x3 1 1 x3 1
E3 = ln c ln c
x6 1 3 x6 1 3 2 x3 1 6 x3 1
x 3 dx 1 x2d x2 1 udu 1 udu
• E4 =
x6 1 2 x6 1 2 u3 1 2 u 1 u2 u 1
20

5. Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ
2
1 u 1 1 2u 1 1 x4 2x2 1 1 2
2x 1
ln 2 arctg c ln 4 arctg c
12 u u 1 2 3 3 12 x x2 1 2 3 3
x 4 dx x4 x2 1 x2 1 2 dx dx dx
E5 = 6
dx 2 4 2
2 6
x 1 x2 1 x4 x2 1 x 1 x x 1 x 1
1 x2 2x 1 x 2 x 1 1 2x 1 2x 1 x2 1
ln 2 arctg arctg arctg c
12 x 2x 1 x 2 x 1 2 3 3 3 x 3
x 5 dx 1 d x6 1
• E6 = ln x 6 1 c
x6 1 6 x6 1 6
x 6 dx x6 1 1 dx
• E7 = dx dx x E1
x6 1 x6 1 x 6
1
1 x2 2x 1 x 2 x 1 1 2x 1 2x 1
x ln 2 2
arctg arctg c
12 x 2x 1 x x 1 4 3 3 3
1 1 dx
x4 1 x2 1 x2 1 dx x 2 1 dx x2
• E8 = dx
x6 + 1 x2 1 x4 x2 1 x4 x2 1 x2 1 1
x2
d x 1 x 1 3
x 1 x 1 x2 x 3 1
2
ln c ln c
1 2
2 3 x 1 3 2 3 x 2
x 3 1
x 3 x
x
x4 + 1 x4 x2 1 x2 dx x 2 dx
• E9 = dx dx
x6 + 1 x2 1 x4 x2 1 x2 1 x6 1
dx 1 d x3 1
2
arctgx arctg x 3 c
x 1 3 x6 1 3
dx 1 x4 1 x4 1 1
E10 = 6
dx E9 E8
x +1 2 x6 1 2
1 1 1 x2 x 3 1
arctgx arctg x 3 ln 2
c
2 3 2 3 x x 3 1
x2 + x 1 d x3 1 d x2 1 d x3 1
• E11 = dx D2 (thay x2 vào D2)
x6 + 1 3 x6 1 2 x6 1 3 x6 1 2
1 1 1 x 4 2x 2 1 1 2x 2 1
arctg x 3 ln 4 arctg c
3 2 6 x x2 1 2 3 3
21

6. Chương II. Nguyên hàm và tích phân Trần Phương
VI. DẠNG 6: SỦ DỤNG KHAI TRIỂN TAYLOR
• Đa thức Pn(x) bậc n có khai triển Taylor tại điểm x a là:
Pn a Pn a 2 Pn n a n
Pn x Pn a x a x a x a
1! 2! n!
1. Các bài tập mẫu minh họa:
3x 4 5x 3 + 7x 8
• F1 = 50
dx . Đặt P4 x 3x 4 5x 3 7x 8
x+2
P4 2 P4 2 2 P43 2 3 P4 4 2 4
P4 x P4 2 x 2 x 2 x 2 x 2
1! 2! 3! 4!
2 3 4
P4 x 66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2
2 3 4
66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2
F1 50
dx
x 2
50 49 48 47 46
66 x 2 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2 dx
66 149 48 29 3
49 48 47 46 45
c
49 x 2 48 x 2 47 x 2 46 x 2 45 x 2
VII. DẠNG 7: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC CAO
1. Các bài tập mẫu minh họa:
dx dx 1 3 x99 5 3 x 99 1 dx 3 x 98 dx
• G1 = 100
dx
3x + 5x x 3 x99 5 5 x 3 x 99 5 5 x 3 x99 5
1 dx 1 d 3x 99 5 1 1 1 x 99
ln x ln 3x 99 5 c ln 99 c
5 x 99 3x 99 5 5 99 495 3x 5
dx 1 2x 50 7 2x 50 1 dx 2x 49 dx
G2 = 2 2
dx 2
x 2x 50 + 7 7 x 2x 50 7 7 x 2x 50 7 2x 50 7
1 1 2x 50 7 2x 50 2x 49 dx 1 dx 2x 49 dx 1 2x 49 dx
dx 2
7 7 x 2x 50 7 2x 50 7 49 x 2x 50 7 7 2x 50 7
2
1 dx 1 d 2x 50 7 1 d 2x 50 7
49 x 50 2x 50 7 350 2x 50 7 2
1 1 1 1 x 50 1
ln x ln 2x 50 7 ln 50 c
49 49.50 350 2x 50 7 49.50 2x 7 350 2x 50 7
22

7. Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ
dx 1 ax n b ax n 1 dx 1 d ax n b
G3 = k k
dx k 1
x ax n + b b x ax n b b x ax n b nb ax n b k
1 dx 1 d ax n b 1 d ax n b
b2 x ax n b
k 2
nb2 ax n b
k 1
nb ax n b k
1 1 1 1 1
ln x ln axn b c
bk n b k 1 ax n b
k 1
b k 1
ax n
b bk
1 xn 1 1 1
ln n c
nb k ax b n b k 1 ax n b
k 1
b k 1
ax n b
1 x 2000 dx 1 x 2000 2x 2000 dx 2x1999 dx
G4 = dx
x 1 + x 2000 x 1 x 2000 x 1 x 2000
dx 1 d 1 x 2000 1 x1000
ln x ln 1 x 2000 c ln c
x 1000 1 x 2000 1000 1 x 2000
x 19 dx 1 x10 .10 x9 dx 1 x10 d x10 1 x10 3 3
G5 = 2
= d x10 3
3 + x 10 10 3 x10 2 10 3 x10 2 10 3 x10
2
1 d x10 3 d x10 3 1 3
3 ln 3 x10 c
10 3 x10 3 x10
2
10 10 3 x10
x 99 dx x 50 .x 49 dx 1 2x 50 3 3
G6 = 7 7 7
d 2x 50 3
2x 50
3 2x 50
3 200 2x 50
3
1 d 2x 50 3 d 2x 50 3 1 1 1
6
3 7 5 6
c
200 2x 50 3 2x 50 3 200 5 2x 50 3 2 2x 50 3
1 2 2x 50 3 5 1 4x 50
c c
200 10 2x 50 3 6 2000 2x 50 3
6
x 2n-1 dx x n x n 1dx 1 ax n b b
• G7 = d ax n b
ax n + b
k
ax n b
k
na 2 ax n b
k
1 d ax n b d ax n b 1 1 b
b c
na 2 ax n
b
k 1
ax n
b
k
na 2 k 2 ax n
b
k 2
k 1 ax n
b
k 1
n n
1 b k 2 k 1 ax b kax b
2 k 1
c k 1
c
na k 1 k 2 ax n
b na 2
k 1 k 2 ax n b
23

8. Chương II. Nguyên hàm và tích phân Trần Phương
2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
xdx x5 x dx xdx dx
G1 ; G2 dx ; G3 ; G4 ; G****
5
x8 1 x8 1 x 8
1 8
x 1 x 8
1
VIII. DẠNG 8: KĨ THUẬT CHỒNG NHỊ THỨC
10 10
3x 5 3x 5 dx
• H1 = 12
dx 2
x+2 x 2 x 2
10 11
1 3x 5 3x 5 1 3x 5
d c
11 x 2 x 2 121 x 2
99 99 99
7x 1 7x 1 dx 1 7x 1 7x 1
• H2 = 101
dx 2
d
2x + 1 2x 1 2x 1 9 2x 1 2x 1
100 100
1 1 7x 1 1 7x 1
c c
9 100 2x 1 900 2x 1
dx dx 1 1 dx
• H3 = 5 3 5 5 6 2
x+3 x+5 x 3 x 5
8 x 3 x 5 x 5
x 5 x 5
6
1 1 x 3 x 5 1 1
d x 3 6
u 1 du
27 x 3
5
x 5 x 5 27 u5
x 5
1 u6 6u 5 15u 4 20u 3 15u 2 6u 1
du
27 u5
1
u 6 15 20 15 6 1 du
27 u u2 u3 u4 u5
1 u2 20 15 2 1
6u 15 ln u c
27 2 u 2u 2 u3 4u 4
2
1 1 x 3 x 3
6 x 3 15 ln
27 2 x 5 x 5 x 5
2 3 4
1
7
20 x 5 15 x 5 2 x 5 1 x 5 c
2 x 3 2 x 3 x 3 4 x 3
Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
dx dx dx
• H1 = 7 3
; H2 = 3 4
; H3 = 5 4
3x 2 3x + 4 2x 1 3x - 1 3x + 2 4x - 1
24