SlideShare a Scribd company logo
1 of 8
Download to read offline
DÃY SỐ
1. Lý thuyết cơ bản

Các bài toán về dãy số có nội dung khá đa dạng. Ở đây ta quan tâm đến 2 dạng
chính:
1) Các bài toán tìm công thức tổng quát của một dãy số, tính tổng các số hạng của
một dãy số (bản chất đại số)
2) Các bài toán tìm giới hạn dãy số (bản chất giải tích)

Với loại toán thứ nhất, chúng ta có một số kiến thức cơ bản làm nền tảng như:
1) Các công thức về cấp số cộng, cấp số nhân
2) Phương pháp phương trình đặc trưng để giải các phương trình sai phân tuyến
tính với hệ số hằng (thuần nhất và không thuần nhất)

Các phương pháp cơ bản để giải các bài toán dãy số ở loại thứ nhất là bằng các
biến đổi đại số, đưa bài toán về các bài toán quen thuộc, tính toán và đưa ra các dự
đoán rồi chứng minh bằng quy nạp toán học. Trong một số bài toán, phép thế
lượng giác sẽ rất có ích.

Với các bài toán tính tổng hoặc đánh giá tổng, ta dùng phương pháp sai phân. Cụ
thể để tính tổng
        Sn = f(1) + f(2) + … + f(n)
ta đi tìm hàm số F(k) sao cho f(k) = F(k+1) – F(k). Khi đó
        Sn = F(2) – F(1) + F(3) – F(2) + … + F(n+1) – F(n) = F(n+1) – F(1)

Với loại toán thứ hai, ta cần nắm vững định nghĩa của giới hạn dãy số và các định
lý cơ bản về giới hạn dãy số, bao gồm:
1) Định lý Veierstrass: Dãy đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
2) Định lý kẹp: Nếu xn ≤ yn ≤ zn với mọi n ≥ n0 và lim x n = lim z n = a thì lim y n = a
                                                   n →∞      n →∞            n →∞

.
3) Tiêu chuẩn Cô-si: Dãy {xn} có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi với mọi ε > 0,
tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi m, n ≥ N ta có |xm – xn| < ε.

Một trong những dạng dãy số thường gặp nhất là dãy số xác định bởi x0 = a, xn+1 =
f(xn) với f là một hàm số nào đó. Và với loại dãy số này, câu hỏi thường gặp nhất
là:
1) Chứng minh dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn
2) Tìm tất cả các giá trị của a sao cho dãy số {x n} có giới hạn hữu hạn

Để giải các bài toán dạng này, ta có một số tính chất cơ bản sau
1) Nếu f là hàm số tăng thì dãy {xn} sẽ là dãy đơn điệu.


http://www.fpt.edu.vn                       Trang 1
2) Nếu f là hàm số giảm thì các dãy {x2n} (dãy với chỉ số chẵn) và {x2n+1} (dãy với
chỉ số lẻ) sẽ là các dãy đơn điệu.
3) Nếu với mọi x, y ta có |f(x) – f(y)| ≤ q|x-y| với q là hằng số 0 < q < 1 và {xn} bị
chặn thì {xn} hội tụ. Đặc biệt nếu |f’(x)| ≤ q < 1 thì ta luôn có điều này.

Một trường hợp đặc biệt của dãy số dạng xn+1 = f(xn) là dãy số dạng xn+1 = xn +
a(xn)α. Với dãy số dạng này thì giới hạn của {x n} thường bằng 0 hoặc bằng ∞ (một
cách hiển nhiên), do đó người ta thường nghiên cứu thêm “bậc của 0” cũng như
“bậc của ∞” của các dãy số này. Với dãy số dạng này, định lý dưới đây sẽ rất có
                                                             x
ích: Định lý (Cesaro). Nếu lim ( x n +1 − x n ) = a thì lim n = a.
                           n →∞
                                                          n
                                                        n →∞



2. Một số bài tập có lời giải

Bài toán 1. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số {a n} xác định bởi a0 = 1,
a n +1 = 2a n + 3a n − 2 đều nguyên.
                   2




Lời giải. Chuyển vế và bình phương công thức truy hồi, ta được
      an+12 – 4anan+1 + 4an2 = 3an2 – 2
     an+12 – 4anan+1 + an2 + 2 = 0
Thay n bằng n-1, ta được
      an2 – 4anan-1 + an-12 + 2 = 0
Từ đây suy ra an-1 và an+1 là hai nghiệm của phương trình x2 – 4anx + an2 + 2 = 0.
Suy ra an+1 + an-1 = 4an hay an+1 = 4an – an-1. Từ đây suy ra tất cả các số hạng trong
dãy đều nguyên, vì a0 = 1 và a1 = 3 nguyên.

Bài toán 2. Cho dãy số {an} xác định bởi a1 = 1, a2 = 2 và an+2 = 2an+1 – an + 2 với
mọi n ≥ 1. Chứng minh rằng với mọi m, amam+1 cũng là một số hạng của dãy số.

Lời giải. Ta có
       an+2 = 2an+1 – an + 2
Thay n bằng n-1, ta được
       an+1 = 2an – an-1 + 2
Trừ hai đẳng thức vế theo vế, ta được
       an+2 – 3an+1 + 3an – an-1 = 0
Phương trình đặc trưng x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0 có nghiệm bội 3 x1,2,3 = 1 nên ta có
nghiệm tổng quát an có dạng an = an2 + bn + c. Thay n = 1, 2, 3 ta được
       a+b+c=1
       4a + 2b + c = 2
       9a + 3b + c = 5
Từ đó giải ra được a = 1, b = -2, c = 2. Vậy an = n2 – 2n + 2 = (n-1)2+1. Do đó
amam+1 = ((m-1)2+1)(m2+1) = (m2 – m + 1)2 + 1 = a_{m2-m+2}.

http://www.fpt.edu.vn                        Trang 2
Bài toán 3. (Nghệ An 2009) Cho dãy số thực {xn} xác định bởi
x =1, x
 0      = 2 + x − 2 1 + x với mọi n ∈ N. Ta xác định dãy {y n} bởi công thức
            n+1            n                              n

      n
y n = ∑ xi 2 i , ∀n ∈ N * . Tìm công thức tổng quát của dãy {yn}.
     i =1

Lời giải. Ta có
            x n +1 = 2 +   xn −2 1 +                      xn = ( 1 +    x n −1) 2

Từ đó tính được
                  (        )                                                (           )
                                                                2
                      2 − , x 2 =                        2 −  ,..., x n = 21 / 2 −
                           2                                                      n     2
          x1 =           1                                  1                     1
                                                             
Ta viết
          x1 = 1 + 2 − 2 2 ,
          x 2 = 1 + 2 − 2.21 / 4
          x 3 = 1 + 21 / 4 − 2.2.1 / 8
          ...
                               n −1                   n
          x n = 1 + 21 / 2             − 2 .2 1 / 2
Nhân đẳng thức đầu với 2, đẳng thức thứ hai với 22, đẳng thức thứ ba với 23 …
đẳng thức thứ n với 2n rồi cộng vế theo vế, chú ý đến những sự giản ước, ta được.
                                                                    n               n
       y n = 2 + 4 + ... + 2 n + 4 − 2 n+1.21 / 2 = 2 n +1 (1 − 21 / 2 ) + 2 .

Bài toán 4. Cho dãy số un xác định bởi
                                       2 + un
          u1 = 2, u n +1 =                     .
                                      1 − 2u n
        a) Chứng minh rằng un ≠ 0 với mọi n nguyên dương
        b) Chứng minh dãy không tuần hoàn
Lời giải.
Gọi ϕ là góc sao cho tg(ϕ) = 2 thì u1 = tg(ϕ), u2 = 2tg(ϕ)/(1-tg2ϕ) = tg(2ϕ), …, un =
tg(nϕ).
a) Từ công thức tính un ta suy ra u2n = 2un/(1-un2). Từ đó suy ra nếu tồn tại n để un
= 0 thì sẽ tồn tại n lẻ để un = 0. Giả sử u2k+1 = 0. Khi đó u2k = -2 và ta có
        -2 = u2k = 2uk/(1-u2k) => uk2 + uk – 1 = 0 => mâu thuẫn vì lúc đó u k vô tỷ,
trong khi đó theo công thức truy hồi thì uk luôn hữu tỷ.
b) Dãy tuần hoàn thì phải tồn tại n và k sao cho tg(nϕ) = tg(kϕ)  (n-k)ϕ = mπ 
un-k = 0. Điều này không xảy ra do kết quả câu a).
                                                                                            xn
Bài toán 5. Cho dãy số {xn} xác định bởi x0 = 2 và x n +1 = 2 với n=0, 1, 2, …
Chứng minh rằng dãy {xn} có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Lời giải. Đặt f ( x) = ( 2 ) x thì dãy số có dạng x0 = 2 và xn+1 = f(xn). Ta thấy f(x)
                                                 n


                            2
là hàm số tăng và x1 = 2 > 2 = x0 . Từ đó, do f(x) là hàm số tăng nên ta có
x2 = f(x1) > f(x0) = x1, x3 = f(x2) > f(x1) = x2, … Suy ra {xn} là dãy số tăng. Tiếp
theo, ta chứng minh bằng quy nạp rằng x n < 2 với mọi n. Điều này đúng với n = 0.

http://www.fpt.edu.vn                                                    Trang 3
xk       2
Giả sử ra đã có xk < 2 thì rõ ràng x k +1 = 2 < 2 = 2. Theo nguyên lý quy nạp
toán học, ta có xn < 2 với mọi n.

Vậy dãy {xn} tăng và bị chặn trên bởi 2 nên dãy có giới hạn hữu hạn. Gọi a là giới
                                       x
hạn đó thì chuyển đẳng thức x n +1 = 2 sang giới hạn, ta được a = 2 a . Ngoài ra
                                                    n




ta cũng có a ≤ 2.

                                    x      ln x
Xét phương trình               x= 2 ⇔           = ln( 2 ) . Khảo sát hàm số lnx/x ta thấy rằng
                                            x
phương trình trên chỉ có 1 nghiệm < e và một nghiệm lớn hơn e. Vì 2 là một
nghiệm của phương trình nên rõ ràng chỉ có 1 nghiệm duy nhất của phương trình
thoả mãn điều kiện ≤ 2. Từ đó suy ra a = 2.

Vậy giới hạn của xn khi n dần đến vô cùng là 2.

Bài toán 6. Cho dãy số {xn} xác định bởi x1 ∈ (1, 2) và xn+1 = 1 + xn – xn2/2.
Chứng minh rằng {xn} có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng và tìm giới hạn
đó.
Lời giải. Giả sử xn có giới hạn là a thì a = 1 + a – a 2/2 từ đó suy ra a = 2 . Ta sẽ
dùng định nghĩa để chứng minh lim xn = 2 .
                                     2
                                    xn                    2 + xn − 1
Ta có | x n+1 − 2 |=| 1 + x n −        − 2 |=| x n − 2 ||            |.
                                    2                        2
Tiếp theo ta có thể chứng minh bằng quy nạp rằng 1 < x n < 3/2 với mọi n = 2, 3,
… Từ đó, do 2 . + 1/2 < 2 nên suy ra lim xn = 2.

Bài toán 7. (Đề dự bị VMO 2008) Cho số thực a và dãy số thực {xn} xác định bởi:
          x1 = a và xn+1 = ln(3+cosxn + sinxn) – 2008 với mọi n = 1, 2, 3, …
Chứng minh rằng dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn khi n tiến đến dương vô cùng.
Lời giải. Đặt f(x) = ln(3+sinx+cosx) – 2008 thì
                        cos x − sin x
         f ' ( x) =
                      3 + sin x + cos x
Từ đó, sử dụng đánh giá           | cos x − sin x |≤ 2 ,   | sin x + cos x |≤   2   ta suy ra
                           2
        | f ' ( x ) |≤          = q < 1.
                         3− 2
Áp dụng định lý Lagrange cho x, y thuộc R, ta có
      f(x) – f(y) = f’(z)(x-y)
Từ đó suy ra |f(x) – f(y)| ≤ q|x – y| với mọi x, y thuộc R.

Áp dụng tính chất này với m > n ≥ N, ta có



http://www.fpt.edu.vn                                   Trang 4
|xm – xn| = |f(xm-1) – f(xn-1)| ≤ q|xm-1-xn-1| ≤ …≤ qn-1|xm-n+1 – x1| ≤ qN-1|xm-n+1 –
x1|.
Do dãy {xn} bị chặn và q < 1 nên với mọi ε > 0 tồn tại N đủ lớn để qN-1|xm-n+1 – x1|
< ε. Như vậy dãy {xn} thoả mãn điều kiện Cauchy do đó hội tụ.

Nhận xét.
1) Thực chất trong lời giải trên, ta đã chứng minh lại các tính chất đã nêu trong
phần lý thuyết (chỉ sử dụng tiêu chuẩn Cauchy).
                                                                              2
2) Nếu đánh giá chặt chẽ thì ta có thể chứng minh được | f ' ( x) |≤              . Tuy nhiên,
                                                                              7
với bài toán của chúng ta, đánh giá như trong bài giải là đủ.

Bài toán 8. (VMO 2005). Cho dãy số {xn} xác định bởi x1 = a, xn+1 = 3xn3 – 7xn2 +
5xn. Tìm tất cả các giá trị a để dãy {xn} có giới hạn hữu hạn.
Tóm tắt lời giải.
Khảo sát hàm số y = f(x) = 3x3 – 7x2 + 5x và xét sự tương giao của nó với hàm số
y = x, ta được đồ thị sau




Từ đồ thị này (và bảng biến thiên), ta thấy
   1) x tăng trên (-∞, 5/9), (1, +∞) và giảm trên (5/9, 1)
   2) f(5/9) < 4/3

http://www.fpt.edu.vn                          Trang 5
3) f(x) = x khi và chỉ khi x = 0, 1, 4/3
    4) Với x > 4/3 hoặc 0 < x < 1 thì f(x) > x. Với x < 0 hoặc 1 < x < 4/3 thì f(x) <
       x.
Tiếp theo, ta có f((4/3, +∞)) = (4/3, +∞), f((1, 4/3)) = (1, 4/3), f((-∞, 0)) = (-∞, 0).
Hơn nữa, trong các khoảng này f(x) là hàm số tăng. Như vậy, nếu a thuộc các
khoảng này thì dãy {xn} sẽ đơn điệu. Cụ thể:
a) Với a ∈ (4/3, +∞) thì x2 = f(x1) = f(a) > a và f tăng trên khoảng này, do đó {x n}
là dãy tăng. Nếu {xn} bị chặn trên thì {xn} phải có giới hạn hữu hạn α và α phải là
nghiệm của phương trình f(x) = x, suy ra α ∈ {0, 1, 4/3}. Điều này mâu thuẫn vì
do xn > x1 = a > 4/3 nên α = lim xn ≥ a > 4/3. Vậy {xn} không bị chặn trên, tức là
{xn} không có giới hạn hữu hạn.
b) Tương tự với a ∈ (-∞, 0) thì {xn} giảm và cũng không có giới hạn hữu hạn.
c) Với a ∈ (1, 4/3) thì dãy {x n} giảm và bị chặn dưới bởi 1, do đó có giới hạn hữu
hạn α. α là nghiệm của phương trình f(x) = x và 1 ≤ α ≤ a < 4/3, suy ra α = 1.

Tiếp theo, ta nghiên cứu các đoạn còn lại:
d) Với a = 0, 1, 4/3 thì {xn} là các dãy hằng và có giới hạn tương ứng là 0, 1, 4/3.
e) Với a ∈ [1/3, 1) thì x2 = f(x1) = f(a) ∈ [1, 4/3), từ đó, áp dụng phần c, ta có dãy
{xn}n=2 là dãy giảm và có giới hạn là 1.
f) Cuối cùng, với a ∈ (0, 1/3), ta chứng minh rằng tồn tại n sao cho x n > 1/3. Thật
vậy, giả sử ngược lại thì a n ≤ 1/3 với mọi n. Chú ý rằng khi đó do f là hàm tăng
trên (0, 1/3) và x2 = f(x1) = f(a) > a = x1 nên dãy {xn} tăng. Dãy {xn} tăng và bị
chặn trên bởi 1/3 nên có giới hạn hữu hạn α và 0 < a ≤ α ≤ 1/3. Điều này mâu
thuẫn vì α chỉ có thể là 0, 1, 4/3! Vậy điều giả sử là sai. Vậy tồn tại n sao cho x n >
1/3. Gọi k là số nhỏ nhất thoả mãn điều kiện này thì ta có x k-1 < 1/3, suy ra xk =
f(xk-1) < 1 suy ra xk+1 = f(xk) ∈ (1, 4/3) và như thế, áp dụng c) cho dãy số {x n}n=k+1
ta có dãy này giảm và có giới hạn là 1, vì thế {xn} cũng có giới hạn là 1.

Bài toán 9. Với n ≥ 2 gọi xn là nghiệm dương duy nhất của phương trình
        xn = xn-1 + xn-2 + … + x + 1
        a) Chứng minh rằng lim xn = 2;
        b) Hãy tìm lim (2-xn)1/n
Lời giải.
Sử dụng hằng đẳng thức xn – 1 = (x-1)( xn-1 + xn-2 + … + x + 1) ta viết phương
trình lại dưới dạng
        xn(x-2) + 1 = 0
Từ đó suy ra 2-xn = 1/xnn.
Đặt Pn(x) = xn – xn-1 – xn-2 - … - x – 1 thì
        Pn+1(2) = 1 > 0 và Pn+1(xn) = xnPn(xn) – 1 = - 1, suy ra 2 > xn+1 > xn. Như thế,
ta luôn có
        2-xn = 1/xnn < 1/x1n  0, suy ra


http://www.fpt.edu.vn                       Trang 6
lim xn = 2. Và cũng từ đây
       (2-xn)1/n = 1/xn  1/2.

Bài toán 10. (Romania 2007) Cho a ∈ (0, 1) và dãy số {xn} xác định bởi x0 = a,
xn+1 = xn(1-xn2) với mọi n = 0, 1, 2, … Hãy tính lim n .x n .
                                                 n →∞

Phân tích. Dạng n x n gợi cho chúng ta nhớ đến định lý trung bình Cesaro. Tuy
nhiên để dãy thực sự có dạng này (xn/n) ta phải xét bình phương của dãy và nghịch
đảo lại, tức là 1/nxn2. Từ đó dẫn đến việc xét hiệu 1/xn+22 – 1/xn2.
Lời giải. Dễ dàng chứng minh được rằng dãy xn giảm và bị chặn dưới bởi 0. Từ
đó dãy {xn} có giới hạn hữu hạn. Chuyển hệ thức truy hồi sang giới hạn, ta dễ
dàng tính được lim xn = 0.

        1   1 x n − x n (1 − x n ) 2
                  2      2         2
                                           2 − xn 2

Xét 2        −  = 2                    =              →2
              2
     x n +1 x n   x n (1 − x n ) 2 x n
                             2       2
                                         (1 − x n ) 2
                                                2


Từ đó, theo định lý trung bình Cesaro (xem bài tập 6 dưới đây) ta suy ra
                  1
          lim       2
                      =2
          n →∞   nx n
                                 1
Suy ra lim n .x n =                 .
       n →∞
                                  2

3. Bài tập tự giải

Bài 1. (Cần Thơ 2009) Cho dãy số {an} xác định bởi công thức truy hồi a 1 = 1/2,
             2
            an
a n +1 = 2          .
        an − an + 1
Chứng minh rằng a1 + a2 + … + an < 1 với mọi số nguyên dương n.
                                                                               n + xn
                                                                      1
Bài 2. (Moldova 2007) Cho dãy {xn} xác định bởi                    1 +                =e.   Chứng minh
                                                                      n
rằng dãy {xn} có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

                                              1           xn − 1
                                                           2
Bài 3. (Hà Tĩnh 2009) Cho dãy {xn} biết x1 = − , x n +1 =        với mọi n = 1, 2,
                                              2              2
3,    …      Tìm       giới       hạn   của   dãy     {xn}   khi   n     dần        tới       vô     cùng.

Bài     4.       (Bà       Rịa     Vũng   Tàu       2009)    Cho   dãy     số           xác        định   bởi
                       1
x1 = 1, x n +1 =                 − 2008 . Chứng minh rằng {xn} có giới hạn hữu hạn khi n
                   2( x + 1)
                       2
                       n

dần đến vô cùng.



http://www.fpt.edu.vn                                 Trang 7
2
                                                                                   un
Bài 5. (Hải Phòng 2009) Cho dãy {un} thoả mãn: u1 = 1, u n +1              = un +      . Hãy tính
                                                                                  2008
                n
                       ui
        lim ∑                .
        n →∞
               i =1   u i +1

Bài 6. Cho dãy số {xn} thoả mãn điều kiện lim (xn+1-xn) = 0. Chứng minh rằng lim
xn/n = 0. Từ đây suy ra định lý Cesaro và định lý trung bình Cesaro: Nếu lim x n = a
thì lim (x1+x2+…+xn)/n = a.

Bài 7. (PTNK 1999) Cho a > 1 và dãy số {x n} được xác định như sau:
x1 = a, x n +1 = a xn với mọi n ≥ 1. Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dãy {x n}
hội tụ.

Bài 8. Dãy số {xn} với n = 1, 2, 3, được xác định bởi

                    1 2
x1 = 3, x n +1 =      x n − x n + 2, ∀n = 1,2,3,...
                    2

                                                  n
                                                        1
Tìm giới hạn của dãy {Sn} với S n = ∑                      .
                                                 i =1   xi
                                                                      3
                                                                  2 xn
Bài 9. Cho dãy số {xn} xác định bởi x1 = a, x n +1              = 2       với mọi n ≥ 1. Tìm tất
                                                                 3x n − 1

cả các giá trị của a để dãy số xác định và có giới hạn hữu hạn.
Bài 10. (Canada 1976) Dãy số thực x0, x1, x2, ... được xác định bởi x 0 = 1, x1 = 2,
n(n+1) xn+1 = n(n-1) xn - (n-2) xn-1. Hãy tìm x0/x1 + x1/x2 + ... + x50/x51.

4. Đáp số, hướng dẫn, nhận xét
(To be updated later)




http://www.fpt.edu.vn                                     Trang 8

More Related Content

What's hot

BĐT Côsi ngược dấu
BĐT Côsi ngược dấuBĐT Côsi ngược dấu
BĐT Côsi ngược dấunhankhangvt
 
Bài toán số học liên quan tới lũy thữa
Bài toán số học liên quan tới lũy thữaBài toán số học liên quan tới lũy thữa
Bài toán số học liên quan tới lũy thữaThế Giới Tinh Hoa
 
13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)
13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)
13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)ljmonking
 
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊNCHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊNBOIDUONGTOAN.COM
 
Bat dang thuc amgm
Bat dang thuc amgmBat dang thuc amgm
Bat dang thuc amgmHùng Sỹ
 
Tuyển tập 500 bài Bất Đẳng Thức cổ điển
Tuyển tập 500 bài Bất Đẳng Thức cổ điểnTuyển tập 500 bài Bất Đẳng Thức cổ điển
Tuyển tập 500 bài Bất Đẳng Thức cổ điểnNguyễn Việt Long
 
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )Bui Loi
 
Chuyen de toan logic roi rac li thuyet to hop
Chuyen de toan logic  roi rac li thuyet to hopChuyen de toan logic  roi rac li thuyet to hop
Chuyen de toan logic roi rac li thuyet to hoplephucduc06011999
 
Phương Tích - Trục Đẳng Phương
Phương Tích - Trục Đẳng PhươngPhương Tích - Trục Đẳng Phương
Phương Tích - Trục Đẳng PhươngNhập Vân Long
 
Phương pháp tính giới hạn dãy số
Phương pháp tính giới hạn dãy sốPhương pháp tính giới hạn dãy số
Phương pháp tính giới hạn dãy sốThế Giới Tinh Hoa
 
Bài tập về cấp của một số nguyên modulo n
Bài tập về cấp của một số nguyên modulo nBài tập về cấp của một số nguyên modulo n
Bài tập về cấp của một số nguyên modulo nLuu Tuong
 
Topo daicuong1[1]
Topo daicuong1[1]Topo daicuong1[1]
Topo daicuong1[1]Bui Loi
 
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ Jackson Linh
 
TUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN
TUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊNTUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN
TUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊNBồi dưỡng Toán lớp 6
 
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)Sao Băng Lạnh Giá
 

What's hot (20)

BĐT Côsi ngược dấu
BĐT Côsi ngược dấuBĐT Côsi ngược dấu
BĐT Côsi ngược dấu
 
Bất đẳng thức hình học
Bất đẳng thức hình họcBất đẳng thức hình học
Bất đẳng thức hình học
 
Dãy số và giới hạn
Dãy số và giới hạnDãy số và giới hạn
Dãy số và giới hạn
 
Bài toán số học liên quan tới lũy thữa
Bài toán số học liên quan tới lũy thữaBài toán số học liên quan tới lũy thữa
Bài toán số học liên quan tới lũy thữa
 
13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)
13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)
13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)
 
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊNCHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
 
Bat dang thuc amgm
Bat dang thuc amgmBat dang thuc amgm
Bat dang thuc amgm
 
Tuyển tập 500 bài Bất Đẳng Thức cổ điển
Tuyển tập 500 bài Bất Đẳng Thức cổ điểnTuyển tập 500 bài Bất Đẳng Thức cổ điển
Tuyển tập 500 bài Bất Đẳng Thức cổ điển
 
Hinh hoc-affine
Hinh hoc-affineHinh hoc-affine
Hinh hoc-affine
 
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )
 
Chuyen de toan logic roi rac li thuyet to hop
Chuyen de toan logic  roi rac li thuyet to hopChuyen de toan logic  roi rac li thuyet to hop
Chuyen de toan logic roi rac li thuyet to hop
 
Scp mod p
Scp mod pScp mod p
Scp mod p
 
Phương Tích - Trục Đẳng Phương
Phương Tích - Trục Đẳng PhươngPhương Tích - Trục Đẳng Phương
Phương Tích - Trục Đẳng Phương
 
Phương pháp tính giới hạn dãy số
Phương pháp tính giới hạn dãy sốPhương pháp tính giới hạn dãy số
Phương pháp tính giới hạn dãy số
 
Bài tập về cấp của một số nguyên modulo n
Bài tập về cấp của một số nguyên modulo nBài tập về cấp của một số nguyên modulo n
Bài tập về cấp của một số nguyên modulo n
 
Topo daicuong1[1]
Topo daicuong1[1]Topo daicuong1[1]
Topo daicuong1[1]
 
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
 
TUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN
TUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊNTUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN
TUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN
 
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)
 
Dãy số namdung
Dãy số namdungDãy số namdung
Dãy số namdung
 

Viewers also liked

Những phép biến đổi dãy số
Những phép biến đổi dãy sốNhững phép biến đổi dãy số
Những phép biến đổi dãy sốThế Giới Tinh Hoa
 
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấp
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấpHướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấp
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấpVan-Duyet Le
 
Chuyên đề tìm giới hạn nâng cao
Chuyên đề tìm giới hạn nâng caoChuyên đề tìm giới hạn nâng cao
Chuyên đề tìm giới hạn nâng caoBống Bình Boong
 
Giải 30 bài toán dãy số hay gặp
Giải 30 bài toán dãy số hay gặpGiải 30 bài toán dãy số hay gặp
Giải 30 bài toán dãy số hay gặpCảnh
 
chuyên đề và phương pháp tính giới hạn và liên tục của hàm sô
chuyên đề và phương pháp tính giới hạn và liên tục của hàm sôchuyên đề và phương pháp tính giới hạn và liên tục của hàm sô
chuyên đề và phương pháp tính giới hạn và liên tục của hàm sôThế Giới Tinh Hoa
 
Thi thử toán triệu sơn 4 th 2012 lần 2
Thi thử toán triệu sơn 4 th 2012 lần 2Thi thử toán triệu sơn 4 th 2012 lần 2
Thi thử toán triệu sơn 4 th 2012 lần 2Thế Giới Tinh Hoa
 
Dap an-de-thi-mon-toan-vao-lop-10-chuyen-nam-2014-tinh-hai-duong
Dap an-de-thi-mon-toan-vao-lop-10-chuyen-nam-2014-tinh-hai-duongDap an-de-thi-mon-toan-vao-lop-10-chuyen-nam-2014-tinh-hai-duong
Dap an-de-thi-mon-toan-vao-lop-10-chuyen-nam-2014-tinh-hai-duongLinh Nguyễn
 
Chuyen de phuong trinh nghiem nguyen
Chuyen de phuong trinh nghiem nguyenChuyen de phuong trinh nghiem nguyen
Chuyen de phuong trinh nghiem nguyenCảnh
 
152 bai tap nang cao toan 10
152 bai tap nang cao toan 10152 bai tap nang cao toan 10
152 bai tap nang cao toan 10hung6767
 
Baitap pheptinhtien dapan
Baitap pheptinhtien dapanBaitap pheptinhtien dapan
Baitap pheptinhtien dapanLý Công
 
Phuong tich-truc-dang-phuong
Phuong tich-truc-dang-phuongPhuong tich-truc-dang-phuong
Phuong tich-truc-dang-phuonghonghoi
 
Bai 4 phep quay va doi xung tam
Bai 4 phep quay va doi xung tamBai 4 phep quay va doi xung tam
Bai 4 phep quay va doi xung tamLe Hanh
 
Phongmath csc-csn-ds11chuong3
Phongmath   csc-csn-ds11chuong3Phongmath   csc-csn-ds11chuong3
Phongmath csc-csn-ds11chuong3phongmathbmt
 
Day cac phan so viet theo qui luat
Day cac phan so viet theo qui luatDay cac phan so viet theo qui luat
Day cac phan so viet theo qui luatCảnh
 
Chuyen de toan suy luan logic
Chuyen de toan suy luan logicChuyen de toan suy luan logic
Chuyen de toan suy luan logicCảnh
 
Tập 2 chuyên đề Toán học: Phương trình vô tỷ - Megabook.vn
Tập 2 chuyên đề Toán học: Phương trình vô tỷ - Megabook.vnTập 2 chuyên đề Toán học: Phương trình vô tỷ - Megabook.vn
Tập 2 chuyên đề Toán học: Phương trình vô tỷ - Megabook.vnMegabook
 
Chuyên đề Phương pháp Chinh phục Hình học không gian - Megabook.vn
Chuyên đề Phương pháp Chinh phục Hình học không gian - Megabook.vnChuyên đề Phương pháp Chinh phục Hình học không gian - Megabook.vn
Chuyên đề Phương pháp Chinh phục Hình học không gian - Megabook.vnMegabook
 

Viewers also liked (20)

Những phép biến đổi dãy số
Những phép biến đổi dãy sốNhững phép biến đổi dãy số
Những phép biến đổi dãy số
 
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấp
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấpHướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấp
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấp
 
Chuyên đề tìm giới hạn nâng cao
Chuyên đề tìm giới hạn nâng caoChuyên đề tìm giới hạn nâng cao
Chuyên đề tìm giới hạn nâng cao
 
Giải 30 bài toán dãy số hay gặp
Giải 30 bài toán dãy số hay gặpGiải 30 bài toán dãy số hay gặp
Giải 30 bài toán dãy số hay gặp
 
Bai tap ve day so
Bai tap ve day soBai tap ve day so
Bai tap ve day so
 
chuyên đề và phương pháp tính giới hạn và liên tục của hàm sô
chuyên đề và phương pháp tính giới hạn và liên tục của hàm sôchuyên đề và phương pháp tính giới hạn và liên tục của hàm sô
chuyên đề và phương pháp tính giới hạn và liên tục của hàm sô
 
Thi thử toán triệu sơn 4 th 2012 lần 2
Thi thử toán triệu sơn 4 th 2012 lần 2Thi thử toán triệu sơn 4 th 2012 lần 2
Thi thử toán triệu sơn 4 th 2012 lần 2
 
Chuyên đề số phức
Chuyên đề số phứcChuyên đề số phức
Chuyên đề số phức
 
Dap an-de-thi-mon-toan-vao-lop-10-chuyen-nam-2014-tinh-hai-duong
Dap an-de-thi-mon-toan-vao-lop-10-chuyen-nam-2014-tinh-hai-duongDap an-de-thi-mon-toan-vao-lop-10-chuyen-nam-2014-tinh-hai-duong
Dap an-de-thi-mon-toan-vao-lop-10-chuyen-nam-2014-tinh-hai-duong
 
Chuyen de phuong trinh nghiem nguyen
Chuyen de phuong trinh nghiem nguyenChuyen de phuong trinh nghiem nguyen
Chuyen de phuong trinh nghiem nguyen
 
152 bai tap nang cao toan 10
152 bai tap nang cao toan 10152 bai tap nang cao toan 10
152 bai tap nang cao toan 10
 
Baitap pheptinhtien dapan
Baitap pheptinhtien dapanBaitap pheptinhtien dapan
Baitap pheptinhtien dapan
 
Phuong tich-truc-dang-phuong
Phuong tich-truc-dang-phuongPhuong tich-truc-dang-phuong
Phuong tich-truc-dang-phuong
 
Bai 4 phep quay va doi xung tam
Bai 4 phep quay va doi xung tamBai 4 phep quay va doi xung tam
Bai 4 phep quay va doi xung tam
 
Phongmath csc-csn-ds11chuong3
Phongmath   csc-csn-ds11chuong3Phongmath   csc-csn-ds11chuong3
Phongmath csc-csn-ds11chuong3
 
Toán h kii 10
Toán h kii 10Toán h kii 10
Toán h kii 10
 
Day cac phan so viet theo qui luat
Day cac phan so viet theo qui luatDay cac phan so viet theo qui luat
Day cac phan so viet theo qui luat
 
Chuyen de toan suy luan logic
Chuyen de toan suy luan logicChuyen de toan suy luan logic
Chuyen de toan suy luan logic
 
Tập 2 chuyên đề Toán học: Phương trình vô tỷ - Megabook.vn
Tập 2 chuyên đề Toán học: Phương trình vô tỷ - Megabook.vnTập 2 chuyên đề Toán học: Phương trình vô tỷ - Megabook.vn
Tập 2 chuyên đề Toán học: Phương trình vô tỷ - Megabook.vn
 
Chuyên đề Phương pháp Chinh phục Hình học không gian - Megabook.vn
Chuyên đề Phương pháp Chinh phục Hình học không gian - Megabook.vnChuyên đề Phương pháp Chinh phục Hình học không gian - Megabook.vn
Chuyên đề Phương pháp Chinh phục Hình học không gian - Megabook.vn
 

Similar to Dãy số vmo2009

Chuyen de-ham-so-bac-i-va-ii
Chuyen de-ham-so-bac-i-va-iiChuyen de-ham-so-bac-i-va-ii
Chuyen de-ham-so-bac-i-va-iiNguyen Van Tai
 
Chuyên đề 2 hàm số bậc i và ii
Chuyên đề 2 hàm số bậc i và iiChuyên đề 2 hàm số bậc i và ii
Chuyên đề 2 hàm số bậc i và iiphamchidac
 
Khảo Sát Hàm Số Có Lời Giải
Khảo Sát Hàm Số Có Lời GiảiKhảo Sát Hàm Số Có Lời Giải
Khảo Sát Hàm Số Có Lời GiảiHải Finiks Huỳnh
 
Giaipt nghiemnguyen
Giaipt nghiemnguyenGiaipt nghiemnguyen
Giaipt nghiemnguyenhonghoi
 
Pp tim min max cua bieu thuc
Pp tim min max cua bieu thucPp tim min max cua bieu thuc
Pp tim min max cua bieu thucHạnh Nguyễn
 
Phương pháp số và lập trình - Nội suy, Đạo hàm, Tích phân
Phương pháp số và lập trình - Nội suy, Đạo hàm, Tích phânPhương pháp số và lập trình - Nội suy, Đạo hàm, Tích phân
Phương pháp số và lập trình - Nội suy, Đạo hàm, Tích phânHajunior9x
 
Bài tập phương trình nghiệm nguyên
Bài tập phương trình nghiệm nguyênBài tập phương trình nghiệm nguyên
Bài tập phương trình nghiệm nguyênDuong BUn
 
De cuong lop 10 (17 18) ham so bac hai va pt
De cuong lop 10 (17 18) ham so bac hai va ptDe cuong lop 10 (17 18) ham so bac hai va pt
De cuong lop 10 (17 18) ham so bac hai va ptphu thuan Nguyen
 
1 tomtat kt-ct-tracnghiem-vatly12
1 tomtat kt-ct-tracnghiem-vatly121 tomtat kt-ct-tracnghiem-vatly12
1 tomtat kt-ct-tracnghiem-vatly12Pham Tai
 
De tot nghiep_2012
De tot nghiep_2012De tot nghiep_2012
De tot nghiep_2012Summer Song
 
Toanvaolop10hanoi
Toanvaolop10hanoiToanvaolop10hanoi
Toanvaolop10hanointquangbs
 
De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013
De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013
De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013Phan Sanh
 
Phuong trinh vo ty
Phuong trinh vo tyPhuong trinh vo ty
Phuong trinh vo tytututhoi1234
 
Cac dang toan quy ve bac hai co dien
Cac dang toan quy ve bac hai co dienCac dang toan quy ve bac hai co dien
Cac dang toan quy ve bac hai co dienphamtrunght2012
 

Similar to Dãy số vmo2009 (20)

Chuyen de-ham-so-bac-i-va-ii
Chuyen de-ham-so-bac-i-va-iiChuyen de-ham-so-bac-i-va-ii
Chuyen de-ham-so-bac-i-va-ii
 
Chuyên đề 2 hàm số bậc i và ii
Chuyên đề 2 hàm số bậc i và iiChuyên đề 2 hàm số bậc i và ii
Chuyên đề 2 hàm số bậc i và ii
 
Luận văn: Phương trình phi tuyến không chỉnh loại J - đơn điệu, 9đ
Luận văn: Phương trình phi tuyến không chỉnh loại J - đơn điệu, 9đLuận văn: Phương trình phi tuyến không chỉnh loại J - đơn điệu, 9đ
Luận văn: Phương trình phi tuyến không chỉnh loại J - đơn điệu, 9đ
 
Khảo Sát Hàm Số Có Lời Giải
Khảo Sát Hàm Số Có Lời GiảiKhảo Sát Hàm Số Có Lời Giải
Khảo Sát Hàm Số Có Lời Giải
 
3 pp tìm gtnnln
3 pp tìm gtnnln3 pp tìm gtnnln
3 pp tìm gtnnln
 
Nguyen ham
Nguyen hamNguyen ham
Nguyen ham
 
Giaipt nghiemnguyen
Giaipt nghiemnguyenGiaipt nghiemnguyen
Giaipt nghiemnguyen
 
Dãy số tuyến tính
Dãy số tuyến tínhDãy số tuyến tính
Dãy số tuyến tính
 
Pp tim min max cua bieu thuc
Pp tim min max cua bieu thucPp tim min max cua bieu thuc
Pp tim min max cua bieu thuc
 
Bdhsg theo chuyên đề
Bdhsg theo chuyên đềBdhsg theo chuyên đề
Bdhsg theo chuyên đề
 
Phương pháp số và lập trình - Nội suy, Đạo hàm, Tích phân
Phương pháp số và lập trình - Nội suy, Đạo hàm, Tích phânPhương pháp số và lập trình - Nội suy, Đạo hàm, Tích phân
Phương pháp số và lập trình - Nội suy, Đạo hàm, Tích phân
 
Bài tập phương trình nghiệm nguyên
Bài tập phương trình nghiệm nguyênBài tập phương trình nghiệm nguyên
Bài tập phương trình nghiệm nguyên
 
De cuong lop 10 (17 18) ham so bac hai va pt
De cuong lop 10 (17 18) ham so bac hai va ptDe cuong lop 10 (17 18) ham so bac hai va pt
De cuong lop 10 (17 18) ham so bac hai va pt
 
1 tomtat kt-ct-tracnghiem-vatly12
1 tomtat kt-ct-tracnghiem-vatly121 tomtat kt-ct-tracnghiem-vatly12
1 tomtat kt-ct-tracnghiem-vatly12
 
Quan2017
Quan2017Quan2017
Quan2017
 
De tot nghiep_2012
De tot nghiep_2012De tot nghiep_2012
De tot nghiep_2012
 
Toanvaolop10hanoi
Toanvaolop10hanoiToanvaolop10hanoi
Toanvaolop10hanoi
 
De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013
De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013
De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013
 
Phuong trinh vo ty
Phuong trinh vo tyPhuong trinh vo ty
Phuong trinh vo ty
 
Cac dang toan quy ve bac hai co dien
Cac dang toan quy ve bac hai co dienCac dang toan quy ve bac hai co dien
Cac dang toan quy ve bac hai co dien
 

More from Thế Giới Tinh Hoa

Cách chụp ảnh công ty đẹp 2019
Cách chụp ảnh công ty đẹp 2019Cách chụp ảnh công ty đẹp 2019
Cách chụp ảnh công ty đẹp 2019Thế Giới Tinh Hoa
 
Bảng báo giá sản phẩm rèm bạch dương
Bảng báo giá sản phẩm rèm bạch dươngBảng báo giá sản phẩm rèm bạch dương
Bảng báo giá sản phẩm rèm bạch dươngThế Giới Tinh Hoa
 
Album sổ mẫu Rèm cửa Bạch Dương
Album sổ mẫu Rèm cửa Bạch DươngAlbum sổ mẫu Rèm cửa Bạch Dương
Album sổ mẫu Rèm cửa Bạch DươngThế Giới Tinh Hoa
 
Cách tắm cho bé vào mùa đông
Cách tắm cho bé vào mùa đôngCách tắm cho bé vào mùa đông
Cách tắm cho bé vào mùa đôngThế Giới Tinh Hoa
 
Giáo trình tự học illustrator cs6
Giáo trình tự học illustrator cs6  Giáo trình tự học illustrator cs6
Giáo trình tự học illustrator cs6 Thế Giới Tinh Hoa
 
Nữ quái sân trườngtruonghocso.com
Nữ quái sân trườngtruonghocso.comNữ quái sân trườngtruonghocso.com
Nữ quái sân trườngtruonghocso.comThế Giới Tinh Hoa
 
Những chàng trai xấu tính nguyễn nhật ánhtruonghocso.com
Những chàng trai xấu tính  nguyễn nhật ánhtruonghocso.comNhững chàng trai xấu tính  nguyễn nhật ánhtruonghocso.com
Những chàng trai xấu tính nguyễn nhật ánhtruonghocso.comThế Giới Tinh Hoa
 
Những bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.com
Những bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.comNhững bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.com
Những bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.comThế Giới Tinh Hoa
 

More from Thế Giới Tinh Hoa (20)

Cách chụp ảnh công ty đẹp 2019
Cách chụp ảnh công ty đẹp 2019Cách chụp ảnh công ty đẹp 2019
Cách chụp ảnh công ty đẹp 2019
 
Lỗi web bachawater
Lỗi web bachawaterLỗi web bachawater
Lỗi web bachawater
 
Bảng báo giá sản phẩm rèm bạch dương
Bảng báo giá sản phẩm rèm bạch dươngBảng báo giá sản phẩm rèm bạch dương
Bảng báo giá sản phẩm rèm bạch dương
 
Album sổ mẫu Rèm cửa Bạch Dương
Album sổ mẫu Rèm cửa Bạch DươngAlbum sổ mẫu Rèm cửa Bạch Dương
Album sổ mẫu Rèm cửa Bạch Dương
 
thong tin lam viec tren lamchame
thong tin lam viec tren lamchamethong tin lam viec tren lamchame
thong tin lam viec tren lamchame
 
Cách tắm cho bé vào mùa đông
Cách tắm cho bé vào mùa đôngCách tắm cho bé vào mùa đông
Cách tắm cho bé vào mùa đông
 
Giáo trình tự học illustrator cs6
Giáo trình tự học illustrator cs6  Giáo trình tự học illustrator cs6
Giáo trình tự học illustrator cs6
 
Nang luc truyen thong
Nang luc truyen thongNang luc truyen thong
Nang luc truyen thong
 
Huongdansudung izishop
Huongdansudung izishopHuongdansudung izishop
Huongdansudung izishop
 
Ho so nang luc cong ty
Ho so nang luc cong tyHo so nang luc cong ty
Ho so nang luc cong ty
 
seo contract
seo contractseo contract
seo contract
 
di google cong
di google congdi google cong
di google cong
 
E1 f4 bộ binh
E1 f4 bộ binhE1 f4 bộ binh
E1 f4 bộ binh
 
E2 f2 bộ binh
E2 f2 bộ binhE2 f2 bộ binh
E2 f2 bộ binh
 
E3 f1 bộ binh
E3 f1 bộ binhE3 f1 bộ binh
E3 f1 bộ binh
 
E2 f1 bộ binh
E2 f1 bộ binhE2 f1 bộ binh
E2 f1 bộ binh
 
E1 f1 bộ binh
E1 f1 bộ binhE1 f1 bộ binh
E1 f1 bộ binh
 
Nữ quái sân trườngtruonghocso.com
Nữ quái sân trườngtruonghocso.comNữ quái sân trườngtruonghocso.com
Nữ quái sân trườngtruonghocso.com
 
Những chàng trai xấu tính nguyễn nhật ánhtruonghocso.com
Những chàng trai xấu tính  nguyễn nhật ánhtruonghocso.comNhững chàng trai xấu tính  nguyễn nhật ánhtruonghocso.com
Những chàng trai xấu tính nguyễn nhật ánhtruonghocso.com
 
Những bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.com
Những bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.comNhững bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.com
Những bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.com
 

Dãy số vmo2009

  • 1. DÃY SỐ 1. Lý thuyết cơ bản Các bài toán về dãy số có nội dung khá đa dạng. Ở đây ta quan tâm đến 2 dạng chính: 1) Các bài toán tìm công thức tổng quát của một dãy số, tính tổng các số hạng của một dãy số (bản chất đại số) 2) Các bài toán tìm giới hạn dãy số (bản chất giải tích) Với loại toán thứ nhất, chúng ta có một số kiến thức cơ bản làm nền tảng như: 1) Các công thức về cấp số cộng, cấp số nhân 2) Phương pháp phương trình đặc trưng để giải các phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng (thuần nhất và không thuần nhất) Các phương pháp cơ bản để giải các bài toán dãy số ở loại thứ nhất là bằng các biến đổi đại số, đưa bài toán về các bài toán quen thuộc, tính toán và đưa ra các dự đoán rồi chứng minh bằng quy nạp toán học. Trong một số bài toán, phép thế lượng giác sẽ rất có ích. Với các bài toán tính tổng hoặc đánh giá tổng, ta dùng phương pháp sai phân. Cụ thể để tính tổng Sn = f(1) + f(2) + … + f(n) ta đi tìm hàm số F(k) sao cho f(k) = F(k+1) – F(k). Khi đó Sn = F(2) – F(1) + F(3) – F(2) + … + F(n+1) – F(n) = F(n+1) – F(1) Với loại toán thứ hai, ta cần nắm vững định nghĩa của giới hạn dãy số và các định lý cơ bản về giới hạn dãy số, bao gồm: 1) Định lý Veierstrass: Dãy đơn điệu và bị chặn thì hội tụ. 2) Định lý kẹp: Nếu xn ≤ yn ≤ zn với mọi n ≥ n0 và lim x n = lim z n = a thì lim y n = a n →∞ n →∞ n →∞ . 3) Tiêu chuẩn Cô-si: Dãy {xn} có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi m, n ≥ N ta có |xm – xn| < ε. Một trong những dạng dãy số thường gặp nhất là dãy số xác định bởi x0 = a, xn+1 = f(xn) với f là một hàm số nào đó. Và với loại dãy số này, câu hỏi thường gặp nhất là: 1) Chứng minh dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn 2) Tìm tất cả các giá trị của a sao cho dãy số {x n} có giới hạn hữu hạn Để giải các bài toán dạng này, ta có một số tính chất cơ bản sau 1) Nếu f là hàm số tăng thì dãy {xn} sẽ là dãy đơn điệu. http://www.fpt.edu.vn Trang 1
  • 2. 2) Nếu f là hàm số giảm thì các dãy {x2n} (dãy với chỉ số chẵn) và {x2n+1} (dãy với chỉ số lẻ) sẽ là các dãy đơn điệu. 3) Nếu với mọi x, y ta có |f(x) – f(y)| ≤ q|x-y| với q là hằng số 0 < q < 1 và {xn} bị chặn thì {xn} hội tụ. Đặc biệt nếu |f’(x)| ≤ q < 1 thì ta luôn có điều này. Một trường hợp đặc biệt của dãy số dạng xn+1 = f(xn) là dãy số dạng xn+1 = xn + a(xn)α. Với dãy số dạng này thì giới hạn của {x n} thường bằng 0 hoặc bằng ∞ (một cách hiển nhiên), do đó người ta thường nghiên cứu thêm “bậc của 0” cũng như “bậc của ∞” của các dãy số này. Với dãy số dạng này, định lý dưới đây sẽ rất có x ích: Định lý (Cesaro). Nếu lim ( x n +1 − x n ) = a thì lim n = a. n →∞ n n →∞ 2. Một số bài tập có lời giải Bài toán 1. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số {a n} xác định bởi a0 = 1, a n +1 = 2a n + 3a n − 2 đều nguyên. 2 Lời giải. Chuyển vế và bình phương công thức truy hồi, ta được an+12 – 4anan+1 + 4an2 = 3an2 – 2  an+12 – 4anan+1 + an2 + 2 = 0 Thay n bằng n-1, ta được an2 – 4anan-1 + an-12 + 2 = 0 Từ đây suy ra an-1 và an+1 là hai nghiệm của phương trình x2 – 4anx + an2 + 2 = 0. Suy ra an+1 + an-1 = 4an hay an+1 = 4an – an-1. Từ đây suy ra tất cả các số hạng trong dãy đều nguyên, vì a0 = 1 và a1 = 3 nguyên. Bài toán 2. Cho dãy số {an} xác định bởi a1 = 1, a2 = 2 và an+2 = 2an+1 – an + 2 với mọi n ≥ 1. Chứng minh rằng với mọi m, amam+1 cũng là một số hạng của dãy số. Lời giải. Ta có an+2 = 2an+1 – an + 2 Thay n bằng n-1, ta được an+1 = 2an – an-1 + 2 Trừ hai đẳng thức vế theo vế, ta được an+2 – 3an+1 + 3an – an-1 = 0 Phương trình đặc trưng x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0 có nghiệm bội 3 x1,2,3 = 1 nên ta có nghiệm tổng quát an có dạng an = an2 + bn + c. Thay n = 1, 2, 3 ta được a+b+c=1 4a + 2b + c = 2 9a + 3b + c = 5 Từ đó giải ra được a = 1, b = -2, c = 2. Vậy an = n2 – 2n + 2 = (n-1)2+1. Do đó amam+1 = ((m-1)2+1)(m2+1) = (m2 – m + 1)2 + 1 = a_{m2-m+2}. http://www.fpt.edu.vn Trang 2
  • 3. Bài toán 3. (Nghệ An 2009) Cho dãy số thực {xn} xác định bởi x =1, x 0 = 2 + x − 2 1 + x với mọi n ∈ N. Ta xác định dãy {y n} bởi công thức n+1 n n n y n = ∑ xi 2 i , ∀n ∈ N * . Tìm công thức tổng quát của dãy {yn}. i =1 Lời giải. Ta có x n +1 = 2 + xn −2 1 + xn = ( 1 + x n −1) 2 Từ đó tính được ( ) ( ) 2 2 − , x 2 = 2 −  ,..., x n = 21 / 2 − 2 n 2 x1 = 1  1 1   Ta viết x1 = 1 + 2 − 2 2 , x 2 = 1 + 2 − 2.21 / 4 x 3 = 1 + 21 / 4 − 2.2.1 / 8 ... n −1 n x n = 1 + 21 / 2 − 2 .2 1 / 2 Nhân đẳng thức đầu với 2, đẳng thức thứ hai với 22, đẳng thức thứ ba với 23 … đẳng thức thứ n với 2n rồi cộng vế theo vế, chú ý đến những sự giản ước, ta được. n n y n = 2 + 4 + ... + 2 n + 4 − 2 n+1.21 / 2 = 2 n +1 (1 − 21 / 2 ) + 2 . Bài toán 4. Cho dãy số un xác định bởi 2 + un u1 = 2, u n +1 = . 1 − 2u n a) Chứng minh rằng un ≠ 0 với mọi n nguyên dương b) Chứng minh dãy không tuần hoàn Lời giải. Gọi ϕ là góc sao cho tg(ϕ) = 2 thì u1 = tg(ϕ), u2 = 2tg(ϕ)/(1-tg2ϕ) = tg(2ϕ), …, un = tg(nϕ). a) Từ công thức tính un ta suy ra u2n = 2un/(1-un2). Từ đó suy ra nếu tồn tại n để un = 0 thì sẽ tồn tại n lẻ để un = 0. Giả sử u2k+1 = 0. Khi đó u2k = -2 và ta có -2 = u2k = 2uk/(1-u2k) => uk2 + uk – 1 = 0 => mâu thuẫn vì lúc đó u k vô tỷ, trong khi đó theo công thức truy hồi thì uk luôn hữu tỷ. b) Dãy tuần hoàn thì phải tồn tại n và k sao cho tg(nϕ) = tg(kϕ)  (n-k)ϕ = mπ  un-k = 0. Điều này không xảy ra do kết quả câu a). xn Bài toán 5. Cho dãy số {xn} xác định bởi x0 = 2 và x n +1 = 2 với n=0, 1, 2, … Chứng minh rằng dãy {xn} có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Lời giải. Đặt f ( x) = ( 2 ) x thì dãy số có dạng x0 = 2 và xn+1 = f(xn). Ta thấy f(x) n 2 là hàm số tăng và x1 = 2 > 2 = x0 . Từ đó, do f(x) là hàm số tăng nên ta có x2 = f(x1) > f(x0) = x1, x3 = f(x2) > f(x1) = x2, … Suy ra {xn} là dãy số tăng. Tiếp theo, ta chứng minh bằng quy nạp rằng x n < 2 với mọi n. Điều này đúng với n = 0. http://www.fpt.edu.vn Trang 3
  • 4. xk 2 Giả sử ra đã có xk < 2 thì rõ ràng x k +1 = 2 < 2 = 2. Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta có xn < 2 với mọi n. Vậy dãy {xn} tăng và bị chặn trên bởi 2 nên dãy có giới hạn hữu hạn. Gọi a là giới x hạn đó thì chuyển đẳng thức x n +1 = 2 sang giới hạn, ta được a = 2 a . Ngoài ra n ta cũng có a ≤ 2. x ln x Xét phương trình x= 2 ⇔ = ln( 2 ) . Khảo sát hàm số lnx/x ta thấy rằng x phương trình trên chỉ có 1 nghiệm < e và một nghiệm lớn hơn e. Vì 2 là một nghiệm của phương trình nên rõ ràng chỉ có 1 nghiệm duy nhất của phương trình thoả mãn điều kiện ≤ 2. Từ đó suy ra a = 2. Vậy giới hạn của xn khi n dần đến vô cùng là 2. Bài toán 6. Cho dãy số {xn} xác định bởi x1 ∈ (1, 2) và xn+1 = 1 + xn – xn2/2. Chứng minh rằng {xn} có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng và tìm giới hạn đó. Lời giải. Giả sử xn có giới hạn là a thì a = 1 + a – a 2/2 từ đó suy ra a = 2 . Ta sẽ dùng định nghĩa để chứng minh lim xn = 2 . 2 xn 2 + xn − 1 Ta có | x n+1 − 2 |=| 1 + x n − − 2 |=| x n − 2 || |. 2 2 Tiếp theo ta có thể chứng minh bằng quy nạp rằng 1 < x n < 3/2 với mọi n = 2, 3, … Từ đó, do 2 . + 1/2 < 2 nên suy ra lim xn = 2. Bài toán 7. (Đề dự bị VMO 2008) Cho số thực a và dãy số thực {xn} xác định bởi: x1 = a và xn+1 = ln(3+cosxn + sinxn) – 2008 với mọi n = 1, 2, 3, … Chứng minh rằng dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn khi n tiến đến dương vô cùng. Lời giải. Đặt f(x) = ln(3+sinx+cosx) – 2008 thì cos x − sin x f ' ( x) = 3 + sin x + cos x Từ đó, sử dụng đánh giá | cos x − sin x |≤ 2 , | sin x + cos x |≤ 2 ta suy ra 2 | f ' ( x ) |≤ = q < 1. 3− 2 Áp dụng định lý Lagrange cho x, y thuộc R, ta có f(x) – f(y) = f’(z)(x-y) Từ đó suy ra |f(x) – f(y)| ≤ q|x – y| với mọi x, y thuộc R. Áp dụng tính chất này với m > n ≥ N, ta có http://www.fpt.edu.vn Trang 4
  • 5. |xm – xn| = |f(xm-1) – f(xn-1)| ≤ q|xm-1-xn-1| ≤ …≤ qn-1|xm-n+1 – x1| ≤ qN-1|xm-n+1 – x1|. Do dãy {xn} bị chặn và q < 1 nên với mọi ε > 0 tồn tại N đủ lớn để qN-1|xm-n+1 – x1| < ε. Như vậy dãy {xn} thoả mãn điều kiện Cauchy do đó hội tụ. Nhận xét. 1) Thực chất trong lời giải trên, ta đã chứng minh lại các tính chất đã nêu trong phần lý thuyết (chỉ sử dụng tiêu chuẩn Cauchy). 2 2) Nếu đánh giá chặt chẽ thì ta có thể chứng minh được | f ' ( x) |≤ . Tuy nhiên, 7 với bài toán của chúng ta, đánh giá như trong bài giải là đủ. Bài toán 8. (VMO 2005). Cho dãy số {xn} xác định bởi x1 = a, xn+1 = 3xn3 – 7xn2 + 5xn. Tìm tất cả các giá trị a để dãy {xn} có giới hạn hữu hạn. Tóm tắt lời giải. Khảo sát hàm số y = f(x) = 3x3 – 7x2 + 5x và xét sự tương giao của nó với hàm số y = x, ta được đồ thị sau Từ đồ thị này (và bảng biến thiên), ta thấy 1) x tăng trên (-∞, 5/9), (1, +∞) và giảm trên (5/9, 1) 2) f(5/9) < 4/3 http://www.fpt.edu.vn Trang 5
  • 6. 3) f(x) = x khi và chỉ khi x = 0, 1, 4/3 4) Với x > 4/3 hoặc 0 < x < 1 thì f(x) > x. Với x < 0 hoặc 1 < x < 4/3 thì f(x) < x. Tiếp theo, ta có f((4/3, +∞)) = (4/3, +∞), f((1, 4/3)) = (1, 4/3), f((-∞, 0)) = (-∞, 0). Hơn nữa, trong các khoảng này f(x) là hàm số tăng. Như vậy, nếu a thuộc các khoảng này thì dãy {xn} sẽ đơn điệu. Cụ thể: a) Với a ∈ (4/3, +∞) thì x2 = f(x1) = f(a) > a và f tăng trên khoảng này, do đó {x n} là dãy tăng. Nếu {xn} bị chặn trên thì {xn} phải có giới hạn hữu hạn α và α phải là nghiệm của phương trình f(x) = x, suy ra α ∈ {0, 1, 4/3}. Điều này mâu thuẫn vì do xn > x1 = a > 4/3 nên α = lim xn ≥ a > 4/3. Vậy {xn} không bị chặn trên, tức là {xn} không có giới hạn hữu hạn. b) Tương tự với a ∈ (-∞, 0) thì {xn} giảm và cũng không có giới hạn hữu hạn. c) Với a ∈ (1, 4/3) thì dãy {x n} giảm và bị chặn dưới bởi 1, do đó có giới hạn hữu hạn α. α là nghiệm của phương trình f(x) = x và 1 ≤ α ≤ a < 4/3, suy ra α = 1. Tiếp theo, ta nghiên cứu các đoạn còn lại: d) Với a = 0, 1, 4/3 thì {xn} là các dãy hằng và có giới hạn tương ứng là 0, 1, 4/3. e) Với a ∈ [1/3, 1) thì x2 = f(x1) = f(a) ∈ [1, 4/3), từ đó, áp dụng phần c, ta có dãy {xn}n=2 là dãy giảm và có giới hạn là 1. f) Cuối cùng, với a ∈ (0, 1/3), ta chứng minh rằng tồn tại n sao cho x n > 1/3. Thật vậy, giả sử ngược lại thì a n ≤ 1/3 với mọi n. Chú ý rằng khi đó do f là hàm tăng trên (0, 1/3) và x2 = f(x1) = f(a) > a = x1 nên dãy {xn} tăng. Dãy {xn} tăng và bị chặn trên bởi 1/3 nên có giới hạn hữu hạn α và 0 < a ≤ α ≤ 1/3. Điều này mâu thuẫn vì α chỉ có thể là 0, 1, 4/3! Vậy điều giả sử là sai. Vậy tồn tại n sao cho x n > 1/3. Gọi k là số nhỏ nhất thoả mãn điều kiện này thì ta có x k-1 < 1/3, suy ra xk = f(xk-1) < 1 suy ra xk+1 = f(xk) ∈ (1, 4/3) và như thế, áp dụng c) cho dãy số {x n}n=k+1 ta có dãy này giảm và có giới hạn là 1, vì thế {xn} cũng có giới hạn là 1. Bài toán 9. Với n ≥ 2 gọi xn là nghiệm dương duy nhất của phương trình xn = xn-1 + xn-2 + … + x + 1 a) Chứng minh rằng lim xn = 2; b) Hãy tìm lim (2-xn)1/n Lời giải. Sử dụng hằng đẳng thức xn – 1 = (x-1)( xn-1 + xn-2 + … + x + 1) ta viết phương trình lại dưới dạng xn(x-2) + 1 = 0 Từ đó suy ra 2-xn = 1/xnn. Đặt Pn(x) = xn – xn-1 – xn-2 - … - x – 1 thì Pn+1(2) = 1 > 0 và Pn+1(xn) = xnPn(xn) – 1 = - 1, suy ra 2 > xn+1 > xn. Như thế, ta luôn có 2-xn = 1/xnn < 1/x1n  0, suy ra http://www.fpt.edu.vn Trang 6
  • 7. lim xn = 2. Và cũng từ đây (2-xn)1/n = 1/xn  1/2. Bài toán 10. (Romania 2007) Cho a ∈ (0, 1) và dãy số {xn} xác định bởi x0 = a, xn+1 = xn(1-xn2) với mọi n = 0, 1, 2, … Hãy tính lim n .x n . n →∞ Phân tích. Dạng n x n gợi cho chúng ta nhớ đến định lý trung bình Cesaro. Tuy nhiên để dãy thực sự có dạng này (xn/n) ta phải xét bình phương của dãy và nghịch đảo lại, tức là 1/nxn2. Từ đó dẫn đến việc xét hiệu 1/xn+22 – 1/xn2. Lời giải. Dễ dàng chứng minh được rằng dãy xn giảm và bị chặn dưới bởi 0. Từ đó dãy {xn} có giới hạn hữu hạn. Chuyển hệ thức truy hồi sang giới hạn, ta dễ dàng tính được lim xn = 0. 1 1 x n − x n (1 − x n ) 2 2 2 2 2 − xn 2 Xét 2 − = 2 = →2 2 x n +1 x n x n (1 − x n ) 2 x n 2 2 (1 − x n ) 2 2 Từ đó, theo định lý trung bình Cesaro (xem bài tập 6 dưới đây) ta suy ra 1 lim 2 =2 n →∞ nx n 1 Suy ra lim n .x n = . n →∞ 2 3. Bài tập tự giải Bài 1. (Cần Thơ 2009) Cho dãy số {an} xác định bởi công thức truy hồi a 1 = 1/2, 2 an a n +1 = 2 . an − an + 1 Chứng minh rằng a1 + a2 + … + an < 1 với mọi số nguyên dương n. n + xn  1 Bài 2. (Moldova 2007) Cho dãy {xn} xác định bởi 1 +  =e. Chứng minh  n rằng dãy {xn} có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 1 xn − 1 2 Bài 3. (Hà Tĩnh 2009) Cho dãy {xn} biết x1 = − , x n +1 = với mọi n = 1, 2, 2 2 3, … Tìm giới hạn của dãy {xn} khi n dần tới vô cùng. Bài 4. (Bà Rịa Vũng Tàu 2009) Cho dãy số xác định bởi 1 x1 = 1, x n +1 = − 2008 . Chứng minh rằng {xn} có giới hạn hữu hạn khi n 2( x + 1) 2 n dần đến vô cùng. http://www.fpt.edu.vn Trang 7
  • 8. 2 un Bài 5. (Hải Phòng 2009) Cho dãy {un} thoả mãn: u1 = 1, u n +1 = un + . Hãy tính 2008 n ui lim ∑ . n →∞ i =1 u i +1 Bài 6. Cho dãy số {xn} thoả mãn điều kiện lim (xn+1-xn) = 0. Chứng minh rằng lim xn/n = 0. Từ đây suy ra định lý Cesaro và định lý trung bình Cesaro: Nếu lim x n = a thì lim (x1+x2+…+xn)/n = a. Bài 7. (PTNK 1999) Cho a > 1 và dãy số {x n} được xác định như sau: x1 = a, x n +1 = a xn với mọi n ≥ 1. Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dãy {x n} hội tụ. Bài 8. Dãy số {xn} với n = 1, 2, 3, được xác định bởi 1 2 x1 = 3, x n +1 = x n − x n + 2, ∀n = 1,2,3,... 2 n 1 Tìm giới hạn của dãy {Sn} với S n = ∑ . i =1 xi 3 2 xn Bài 9. Cho dãy số {xn} xác định bởi x1 = a, x n +1 = 2 với mọi n ≥ 1. Tìm tất 3x n − 1 cả các giá trị của a để dãy số xác định và có giới hạn hữu hạn. Bài 10. (Canada 1976) Dãy số thực x0, x1, x2, ... được xác định bởi x 0 = 1, x1 = 2, n(n+1) xn+1 = n(n-1) xn - (n-2) xn-1. Hãy tìm x0/x1 + x1/x2 + ... + x50/x51. 4. Đáp số, hướng dẫn, nhận xét (To be updated later) http://www.fpt.edu.vn Trang 8