1. BAØI 2. ⎧0 < a ≠ 1
⎪
PHÖÔNG TRÌNH, BAÁT PHÖÔNG TRÌNH loga f(x) ≥ loga g(x) ⇔ ⎨f(x) > 0, g(x) > 0
⎪(a − 1) f(x) − g(x) ≥ 0
LOGARIT. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH, HEÄ BAÁT ⎩ [ ]
PHÖÔNG TRÌNH MUÕ, LOGARIT
II. CAÙC VÍ DUÏ:
Ví duï 1:
I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ.
Tìm taát caû m ñeå phöông trình: ( 2 + x)m + ( 2 − x)m = 2 2 laø heä
A. PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT: quaû cuûa phöông trình:
⎧0 < a ≠ 1 log2 (9 − x3 )
Ñaët ñieàu kieän cho log f(x) laø: ⎨ = 3 (1)
⎩f(x) > 0 log2 (3 − x)
⎧0 < a ≠ 1
⎪ (ÑH Baùch Khoa TPHCM naêm 1994)
1. Daïng cô baûn: log f(x) = b ⇔ ⎨ b
⎪f(x) = a
⎩ Giaûi
2. Ñöa veà cuøng cô soá: ⎧9 − x 3 > 0
⎪ ⎧x < 3 9
⎪
Bieán ñoåi phöông trình veà daïng: loga f(x) = loga g(x) (*) Ñieàu kieän ⎨3 − x > 0 ⇔ ⎨
⎧0 < a ≠ 1 ⎪x ≠ 2 ⎩x ≠ 2
⎪
Ta coù: (*) ⇔ ⎨ ⎩
⎩f(x) = g(x) > 0 (1) ⇔ 9 − x3 = (3 − x)3 ⇔ 9x 2 − 27x + 18 = 0 ⇔ x = 1
3. Ñaët aån soá phuï:
Ñaët t = log x ñeå ñöa phöông trình logarit veà phöông trình ñaïi soá Theá x = 1 vaøo phöông trình: ( 2 + x)m + ( 2 − x)m = 2 2
ñoái vôùi t. ta ñöôïc: ( 2 + x)m + ( 2 − x)m = 2 2 (2)
4. Ñoaùn nhaän nghieäm vaø chöùng minh nghieäm ñoù laø duy nhaát. m
B. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT.
Ta coù theå duøng caùc phöông phaùp bieán ñoåi nhö ñoái vôùi phöông trình
Ñaët t = ( 2 + 1) 2 (( 2 + 1)( 2 − 1) = 1)
logarit vaø söû duïng caùc coâng thöùc sau: 1 ⎡t = 2 + 1
(2) ⇔ t + = 2 2 ⇔ t 2 − 2 2t + 1 = 0 ⇔ ⎢
. Neáu a > 1 thì: loga f(x) > loga g(x) ⇔ f(x) > g(x) > 0 t ⎢t = 2 − 1
⎣
loga f(x) ≥ loga g(x) ⇔ f(x) ≥ g(x) > 0 m
m
. Neáu 0 < a < 1 thì: loga f(x) > loga g(x) ⇔ 0 < f(x) < g(x) t = 2 + 1: ( 2 + 1) 2 = 2 + 1 ⇔ =1⇔ m = 2
2
loga f(x) ≥ loga g(x) ⇔ 0 < f(x) ≤ g(x) m
Toång quaùt ta coù: 1
t = 2 − 1: ( 2 + 1) 2 = 2 − 1 = = ( 2 + 1)−1
⎧a > 0 2 +1
⎪ m
loga f(x) > loga g(x) ⇔ ⎨ f(x) > 0,g(x) > 0 ⇔ = −1 ⇔ m = −2
⎪(a − 1) f(x) − g(x) > 0 2
⎩ [ ] Vaäy m = 2 ∨ m = −2
195 196

2. Ví duï 2: Ví duï 4:
Giaûi baát phöông trình: Giaûi heä phöông trình:
log2 (x 2 − 9x + 8) ⎧log1+ x 1 − 2y + y2 ) + log1− y (1 + 2x + x 2 ) = 4 (1)
⎪
< 2 (*) ⎨
log2 (3 − x)
⎪log1+ x (1 + 2y) + log1− y (1 + 2x) = 2
⎩ (2)
(ÑH Toång hôïp TPHCM naêm 1964)
(ÑH Quoác Gia TPHCM naêm 1997)
Giaûi
Giaûi
⎪x 2 − 9x + 8 > 0
⎧ ⎧x < 1 ∨ x > 8 ⎧0,1 − y ≠ 1 ⎧x > −1
Ñieàu kieän ⎨ ⇔⎨ ⇔ x <1 Ñieàu kieän ⎨ ⇔⎨
⎪3 − x > 0
⎩ ⎩x < 3 ⎩0 < 1 + x ≠ 1 ⎩y < 1
⇒ 3 − x > 2 > 1 ⇒ log2 (3 − x) > 0
(1) ⇔ log1+ x (1 − y)2 + log1− y (1 + x)2 = 4
2 2
(*) ⇔ log2 (x − 9x + 8) < 2 log2 (3 − x) = log2 (3 − x) ⇔ log1+ x (1 − y) + log1− y (1 + x) = 2 (3)
1
⇔ x 2 − 9x + 8 < (3 − x)2 ⇔ 3x + 1 > 0 ⇔ x > − 1 1
3 Ñaët t = log1+ x (1 − y) ,log1− y (1 + x) = =
log1+ x (1 − y) t
1
So vôùi ñieàu kieän ⇒ − < x < 1 1
3 (3) ⇔ t + = 2 ⇔ t 2 − 2t + 1 = 0
Ví duï 3: t
2
⎛ 1⎞ ⇔ (t − 1) = 0 ⇔ t = 1
Giaûi baát phöông trình: log x ⎜ x − ⎟ ≥ 2
⎝ 4⎠ ⇔ log1+ x (1 − y) = 1 ⇔ 1 − y = 1 + x ⇔ x = − y(x > −1)
(ÑH Hueá naêm 1998) Thay y = - x vaøo phöông trình (2):
Giaûi log1+ x (1 − 2x) + log1+ x (1 + 2x) = 2
⎧0 < x ≠ 1 ⎧ 1 ⇔ log1+ x (1 − 4x 2 ) =⇔ 1 − 4x 2 = (1 + x)2 (x ≠ 0)
⎪ ⎪x >
Ñieàu kieän ⎨ 1 ⇔⎨ 4 2 2
⎪x − 4 > 0 ⎪x ≠ 1 ⇔ 5x 2 + 2x = 0 ⇔ 5x + 2 = 0 ⇔ x = − ⇒ y =
⎩ ⎩ 5 5
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎧ 2
log x ⎜ x − ⎟ ≥ 2 ⇔ log x ⎜ x − ⎟ ≥ log x x 2 ⎪x = − 5
⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎪
Vaäy nghieäm cuûa heä: ⎨
⎧ 1 ⎪y = 2
⎪ x > 4 ,x ≠ 1
⎪
⎧ 1
⎪x > ,x ≠ 1
⎪
⎩ 5
⇔⎨ ⇔⎨ 4
⎪(x − 1) ⎛ x − 1 − x 2 ⎞ ≥ 0 ⎪(x − 1)(4x 2 − 4x + 1) ≤ 0
⎪ ⎜ 4 ⎟ ⎩
⎩ ⎝ ⎠
⎧ 1
⎪x > 4 ,x ≠ 1
⎪
⎧ 1 ⎧
⎪x > ,x ≠ 1 ⎪x >
1
1
⇔⎨ ⇔⎨ 4 ⇔⎨ 4 ⇔ < x <1
⎛ 1 ⎞
⎪(x − 1) x − − x 2 ≤ 0 ⎪x − 1 ≤ 0 ⎪x < 1 4
⎜ ⎟ ⎩ ⎩
⎪
⎩ ⎝ 4 ⎠
197 198

3. HÖÔÙNG DAÃN VAØ GIAÛI TOÙM TAÉT
III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ.
2.1. Giaûi baát phöông trình: log2 (7.10 x − 5.25x ) > 2x + 1 2.1.
(ÑH Thuûy Saûn 1999). log2 (7.10 x − 5.25x ) > 2x + 1
⇔ log2 (7.10 x − 5.25x ) > log2 22x +1
2.2. Giaûi heä phöông trình:
⇔ 7.10 x − 5.52x > 22x +1
⎧ x+y
⎪4 y x = 32 ⇔ 5.52x − 7.2 x.5x + 2.22x < 0
⎨
⎪log (x − y) = 1 − log (x + y) 2x x
⎩ 3 3 ⎛5⎞ ⎛5⎞
⇔ 5. ⎜ ⎟ − 7⎜ ⎟ + 2 < 0 (1)
(Hoïc Vieän Coâng ngheä böu chính vieãn thoâng 1999). ⎝2⎠ ⎝2⎠
x
⎛5⎞
2.3. Giaûi heä phöông trình: Ñaët t = ⎜ ⎟ > 0
⎧x − y = ( log2 y − log2 x) (2 + xy) (1) ⎝2⎠
⎪
⎨ 3 2
3
⎪x + y = 16 (2)
⎩ (1) ⇔ 5t 2 − 7t + 2 < 0 ⇔ < t <1
5
(ÑH Ngoaïi Thöông naêm 1999). x 0 −1 x 0
2 ⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞
⇔ < < ⇔⎜ ⎟ <⎜ ⎟ <⎜ ⎟
5 ⎜2⎟ ⎜2⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠
loga (35 − x3 )
2.4. Giaûi baát phöông trình: > 3 (a laø tham soá > 0, khaùc 1) 5
loga (5 − x) ⇔ −1 < x < 0 (vì a = > 1 )
2
(ÑH Y DÖÔÏC TPHCM)
⎧ x+y
⎪ y x = 32
2.2. (I) ⎨ 4
⎪ log (x − y) = 1 − log (x + y)
⎩ 3 3
⎧ x+y 5
⎪4 y x = 4 2
⎪
⇔⎨
⎪ log3 (x − y) = log3 3 − log3 (x + y) = log3 3
⎪
⎩ x+y
⎧x y 5 ⎧x y 5
⎪y + x = 2 ⎪ y + x = 2 (1)
⎪ ⎪
⎪ 3 ⎪
⇔ ⎨x − y = ⇔ ⎨x 2 − y2 = 3 (2)
⎪ x+y ⎪x > y (3)
⎪x > y ⎪
⎪ ⎪
⎩
⎩
199 200

4. x loga (35 − x3 )
Giaûi (∆): Ñaët t = 2.4. > 3 (*) (0 < a ≠ 1)
y loga (5 − x)
⎡ 1 ⎪35 − x 3 > 0
⎧ ⎪x < 3 35 ∼ 3,27
⎧
1 5 t= Ñieàu kieän ⎨ ⇔ x < 3 35
(1) ⇔ t + = ⇔ 2t − 5t + 2 = 0 ⇔ ⎢ 2
2 ⇔⎨
t 2 ⎢ ⎪
⎩ 5−x > 0 ⎪
⎩ x<5
⎢t = 2
⎣
1 x 1 log5− x (35 − x3 ) ⇒ 5 − x > 1
t = :⇒ = ⇔ y = 2x (*) ⇔ > 3 ⇔ log5− x (35 − x 3 ) > 3
2 y 2 log5− x a.loga (5 − x)
(2) ⇔ x 2 − 4x 2 = 3 ⇔ −3x 2 = 3 VN ⇔ 35 − x3 > (5 − x)3
x ⇔ 35 − x3 > 125 − 75x + 15x 2 − x3
t = 2 ⇒ = 2 ⇔ x = 2y
y ⇔ x 2 − 5x + 6 < 0 ⇔ 2 < x < 3 < 3 35
⎡y = 1 ⎡x = 2 ⇒2<x<3
(2) ⇔ 4y 2 − y2 = 3 ⇔ y2 = 1 ⇔ ⎢ ⇒⎢
⎣ y = −1 ⎣ x = −2 < (loaïi)
⎧x = 2
Vaäy ⎨ laø nghieäm cuûa heä.
⎩y = 1
⎧ x − y = (log2 y − log2 x)(2+xy)
⎪ (1)
2.3. (I) ⎨ 3 3
⎪ x + y = 16
⎩ (2)
⎧x > 0
(1) coù ñieàu kieän: ⎨ ⇒ xy + 2 > 0
⎩y > 0
⎧ VT > 0
. Neáu x > y: (1) ⇒ ⎨ ⇒ (1) VN
⎩ VP < 0
⎧VT < 0
. Neáu x < y: (1) ⇒ ⎨ ⇒ (1) VN
⎩VP > 0
Vaäy x = y (töø (1))
Theá vaøo (2): 2x3 = 16 ⇔ x3 = 8 ⇔ x = 2 ⇒ y = 2
⎧x = 2
⇒ (I) coù nghieäm ⎨
⎩y = 2
201 202