1. CHÖÔNG 5
B. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ:
PHÖÔNG TRÌNH BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ LOGARIT
Ta coù theå duøng caùc phöông phaùp bieán ñoåi nhö phöông trình muõ vaø caùc
BAÁT ÑAÚNG THÖÙC. coâng thöùc sau:
. Neáu a > 1 thì: af (x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x)
BAØI 1 af (x) ≥ ag(x) ⇔ f(x) ≥ g(x)
. Neáu 0 < a < 1 thì: af (x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x)
PHÖÔNG TRÌNH BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ
af (x) ≥ ag(x) ⇔ f(x) ≤ g(x) ↓
Toång quaùt ta coù:
I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ.
⎧a > 0
⎪
af (x) > ag(x) ⇔ ⎨
A. Phöông trình muõ: ⎪(a − 1) [ f(x) − g(x)] > 0
⎩
⎧b > 0
⎪
1. Daïng cô baûn: vôùi 0 < a ≠ 1: af (x) = b ⇔ ⎨ ⎧a > 0
⎪
b
⎪ f(x) = loga af (x) ≥ ag(x) ⇔ ⎨
⎩ ⎪(a − 1) [ f(x) − g(x)] ≥ 0
⎩
2. Ñöa veà cuøng cô soá: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng:
af (x) = ag(x) (1) II. CAÙC VÍ DUÏ:
. Neáu a laø moät soá döông vaø khaùc 1 thì : (1) ⇔ f(x) = g(x)
Ví duï 1:
⎧a > 0
⎪ Giaûi phöông trình: (2 − 3)x + (2 + 3)x = 4 x
. Neáu cô soá a thay ñoåi thì : (1) ⇔ ⎨ (2)
⎪(a − 1) [ f(x) − g(x)] = 0
⎩ (Hoïc vieän coâng ngheä böu chính vieãn thoâng naêm 1998)
Löu yù khi giaûi (2) phaûi coù ñieàu kieän ñeå f(x) vaø g(x) xaùc ñònh. Giaûi
3. Logarit hoaù hai veá: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng: x
⎛2− 3 ⎞ ⎛2+ 3 ⎞
x
x x x
af (x) = bg(x) (*) vôùi 0 < a, b ≠ 1 (2 − 3) + (2 + 3) = 4 ⇔ ⎜ + = 1 (1)
⎜ 4 ⎟ ⎜ 4 ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ta coù: (*) ⇔ f(x).log a = g(x).log b vôùi 0 < c ≠ 1 .
2− 3 2+ 3
4. Ñaët aån phuï: Coù theå ñaët t = a2 ,t > 0 vôùi a thích hôïp ñeå ñöa phöông Vì 0 < < 1, vaø 0 < <1
4 4
trình muõ veà phöông trình ñaïi soá. Löu yù nhöõng caëp soá laø nghòch ñaûo cuûa Nhaän xeùt: x = 1 laø nghieäm cuûa (1), ta chöùng minh x = 1 duy nhaát
nhau nhö 2 ± 1, Veá traùi laø haøm soá muõ giaûm
2 ± 3, 3 ± 8, 5 ± 2, 5 ± 24, ….. Veá phaûi laø haøm haèng
5. Ñoaùn nghieäm vaø chöùng minh nghieäm ñoù laø duy nhaát. Moät soá phöông ⇒ x = 1 duy nhaát.
trình ñöôïc giaûi baèng caùch tìm moät nghieäm ñaëc bieät vaø duøng tính chaát
haøm soá muõ ñeå chöùng minh nghieäm ñoù laø duy nhaát.
186 187

2. 1 ⎡t = 3 + 2 2
Ví duï 2: (2) ⇔ t + = 6 ⇔ t 2 − 6t + 1 = 0 ⇔ ⎢
t ⎢t = 3 − 2 2
⎣
x −2 x −2
Giaûi phöông trình: 4 + 16 = 10.2 (*)
π
(ÑH Haøng Haûi naêm 1998). . t = 3 +2 2 : (3 + 2 2 )tgx = 3 + 2 2 ⇔ tgx = 1 ⇔ x = + kπ (k ∈ z)
4
Giaûi
1
Ñieàu kieän: x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 . t = 3 −2 2 : (3 + 2 2 )tgx = 3 − 2 2 = = (3 + 2 2 )−1
x −2 3+2 2
Ñaët t = 2 (t > 0) (*) ⇔ t 2 − 10t + 16 = 0 ⇔ t = 8 ∨ t = 2
π
. t = 8: 2 x −2
= 8 = 23 ⇔ x − 2 = 3 ⇔ x = 11 ⇔ tgx = −1 ⇔ x = − + k ' π (k ' ∈ z)
4
. t = 2: 2 x −2 = 2 ⇔ x − 2 = 1 ⇔ x = 3
Vaäy nghieäm phöông trình: x = 11 ∨ x = 3 2. (3 + 2 2 )tgx + (3 − 2 2 )tgx = m (1)
1
Ví duï 3: Theo caâu 1: Ta coù: t + = m ⇔ t 2 − mt + 1 = 0 (3) (t > 0)
t
Giaûi phöông trình: ( 3 − 2 )2 + ( 3 + 2 )x = ( 5)x ⎛ π π⎞
vì x ∈ ⎜ − , ⎟ ⇒ tgx ∈ R ⇒ t = (3 + 2 2 )tgx > 0
(ÑH Ngoaïi Thöông Haø Noäi naêm 1997) ⎝ 2 2⎠
Giaûi ⎛ π π⎞
Ta coù: ( 3 − 2 )2 + ( 3 + 2 )x = ( 5)x (1) coù ñuùng 2 nghieäm x ∈ ⎜ − , ⎟ ⇔ (3) coù ñuùng 2 nghieäm phaân bieät
⎝ 2 2⎠
* Xeùt x < 0: Veá traùi = ( 3 − 2 )2 + ( 3 + 2 )x > 1 > veá phaûi döông.
* Xeùt x ≥ 0 : veá traùi > veá phaûi ⎧∆ > 0 ⎧m 2 − 4 > 0
⇒ Phöông trình voâ nghieäm. ⎪ ⎪
⎪
⇔ ⎨ p > 0 ⇔ ⎨1 > 0(hieån nhieân) ⇔ m > 2
Ví duï 4: ⎪s > 0 ⎪m > 0
Cho phöông trình: (3 + 2 2 )tgx + (3 − 2 2 )tgx = m(1) ⎩ ⎪
⎩
1. Giaûi phöông trình khi m = 6 ⎛ π π⎞
Vaäy m > 2 thì (1) coù 2 nghieäm ∈ ⎜ − , ⎟
2. Xaùc ñònh m ñeå phöông trình (1) coù ñuùng 2 nghieäm trong khoaûng ⎝ 2 2⎠
⎛ π π⎞ Ví duï 5:
⎜− 2 , 2 ⎟ . x
⎝ ⎠ x
Giaûi baát phöông trình: 2 < 32 + 1 (1)
(ÑH Quoác Gia TPHCM (Luaät) naêm 1996)
(ÑH Ngoaïi Thöông naêm 1995)
Giaûi
Giaûi
1. m = 6: (1) ⇔ (3 + 2 2 )tgx + (3 − 2 2 )tgx = 6 (2) x
x x ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞x
Nhaän xeùt: (3 + 2 2 )(3 − 2 2 ) = 1 (1) ⇔ 2 < 3 + 1 ⇔ 1 < ⎜ + (2)
⎜ 2 ⎟ ⎜2⎟
⎟ ⎝ ⎠
1 ⎝ ⎠
Ñaët t = (3 + 2 2 )tgx (t > 0) ⇒ (3 − 2 2 )tgx =
t
188 189

3. x
⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞x III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ.
Ñaët f(x) = ⎜ + laø haøm soá giaûm vì cô soá a < 1 (a > 0) vaø
⎜ 2 ⎟ ⎝2⎟
⎟ ⎜ ⎠
⎝ ⎠ ⎡ 3 5⎤
1.1. Tìm taát caû caùc nghieäm thuoäc ñoaïn ⎢ − , ⎥ cuûa phöông trình:
f(2) = 1. ⎣ 4 2⎦
(2) ⇔ f(2) < f(x) ⇔ x < 2 2
4 cos 2x + 4 cos x
=3
Vaäy nghieäm cuûa baát phöông trình laø x < 2
(ÑH Kieán Truùc Haø Noäi naêm 1998).
Ví duï 6:
x
Giaûi baát phöông trình: 25 + 5 < 5 x +1 + 5 x 1.2. Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa m ñeå baát phöông trình sau ñaây nghieäm
(ÑH DAÂN LAÄP NN - TH naêm 1998). ñuùng vôùi moïi x > 0.
Giaûi
x x +1 x
(3m + 1).12 x + (2 − m).6 x + 3x < 0
Ta coù: 25 +5<5 +5 Ñieàu kieän x ≥ 0
(Hoïc vieän coâng ngheä böu chính vieãn thoâng naêm 1999).
x 2 x x
⇔ (5 ) − 5.5 −5 + 5 < 0 (1)
Ñaët t = 5 x
(t > 0) 1.3. Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa m ñeå baát phöông trình sau ñaây coù nghieäm:
(1) ⇔ t 2 − 6t + 5 < 0 ⇔ 1 < t < 5 4 x − m.2 x + m + 3 ≤ 0
(ÑH Y DÖÔÏC TPHCM naêm 1999).
⇔1< 5 x < 5 ⇔ 0 < x <1⇔ 0 < x <1
Ví duï 7: 1.4. Giaûi phöông trình:
Giaûi baát phöông trình: 2 x + 23− x ≤ 9 2 x +1 − 4 x = x − 1
(ÑH Kyõ thuaät Coâng Ngheä naêm 1998) (ÑH Ngoaïi Thöông naêm 1997)
Giaûi
x 3− x 8 1.5. a. Giaûi baát phöông trình:
2 +2 ≤ 9 ⇔ 2 + 2 .2 ≤ 9 ⇔ 2 x + x − 9 ≤ 0 (1)
x 3 −x
2 1
2 1+
⎛ 1 ⎞x ⎛1⎞ x
⎜ 3 ⎟ + 3⎜ 3 ⎟ > 12 (*)
x
Ñaët t = 2 (t > 0)
8 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(1) ⇔ t + − 9 ≤ 0 ⇔ t 2 − 9t + 8 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ t ≤ 8 b. Ñinh m ñeå moïi nghieäm cuûa (*) ñeàu laø nghieäm cuûa:
t
⇔ 2 ≤ 2 ≤ 23 ⇔ 0 ≤ x ≤ 3
0 x 2x 2 + (m + 2)x + 2 − 3m < 0
190 191

4. HÖÔÙNG DAÃN VAØ GIAÛI TOÙM TAÉT BBT:
2 ⎡ 3 5⎤
1.1. 4 cos 2x + 4 cos x
= 3(1) vôùi x ∈ ⎢ − , ⎥
⎣ 4 2⎦
Ta coù: cos2x = 2 cos2 x − 1
2 2 2 2
(1) ⇔ 42 cos x −1
+ 4 cos x
= 3 ⇔ 42 cos x .4 −1 + 4 cos x
− 3 = 0 (1)
2 ⇒ m < min f(t) = −2 ⇔ m < −2
Ñaët t = 4 cos x (t > 0)
t2 ⎡ t = 2(nhaän )
(1) ⇔ + t − 3 = 0 ⇔ t 2 + 4t − 12 = 0 ⇔ ⎢ 1.3. 4 x − m.2 x + m + 3 ≤ 0 (1)
4 ⎣ t = −6 < 0(loaïi)
2 2 Ñaët t = 2 x (t > 0)
t = 2: 4 cos x
= 2 ⇔ (2 cos2 x)2 = 2 ⇔ 22 cos x
=2
(1) ⇔ t 2 − mt + m + 3 ≤ 0
1 2 π 3π ⎡ 3 5 ⎤
⇔ 2 cos2 x = 1 ⇔ cos2 x = ⇔ cos x = ± ⇔x= ∨x= ∈ − , ⎡ t2 + 3
2 2 4 4 ⎢ 4 2⎥
⎣ ⎦ ⎢ ≤ m (khi t > 1)
⇔ t 2 + 3 ≤ m(t − 1) (t ≠ 1) ⇔ ⎢ t − 1
⎢ t2 + 3
1.2. (3m + 1).12 x + (2 − m).6 x + 3x < 0 (1) ⎢ ≥ m (khi 0 < t < 1)
⎣ t −1
⇔ (3m + 1).4 x + (2 − m).2 x + 1 < 0 (*) t2 + 3 t 2 − 2t − 3
x Ñaët f(t) = ⇒ f '(t) =
Ñaët t = 2 (t > 0) vì x > 0 ⇒ t > 1 t −1 (t − 1)2
(*) ⇔ (3m + 1)t 2 + (2 − m)t + 1 < 0 (**) ⎡ t = −1
f '(t) = 0 ⇔ t 2 − 2t − 3 = 0 ⇔ ⎢
(1) ñuùng ∀x > 0 ⇔ (**) ñuùng ∀t > 1 . ⎣t = 3
(**) ⇔ (3t 2 − t)m < −t 2 − 2t − 1 BBT:
−(t 2 + 2t + 1)
⇔m< (3t 2 − t > 0)
3t 2 − t
(t 2 + 2t + 1)
Ñaët f(t) = − (t > 1)
3t 2 − t
7t 2 + 6t − 1
f '(t) = 2 2
> 0 (vì t > 1 ⇒ 7t 2 + 6t − 1 > 0) ⎡ m ≤ −3
(3t − t) Töø BBT ⇒ (1) coù nghieäm ⇔ ⎢
⎣m ≥ 6
192 193

5. 1.4. 2 x +1 − 4 x = x − 1
⇔ 4 x − 2.2 x = − x + 1
⇔ 2 x (2 x − 2) = − x + 1 (*)
Nhaän thaáy x = 1 laø nghieäm cuûa (*). Ta chöùng minh x = 1 duy nhaát
trong phöông trình (*):
Veá traùi laø haøm soá taêng.
Veá phaûi laø haøm soá giaûm ⇒ x = 1 duy nhaát.
2 1 1
⎛ 1 ⎞x ⎛ 1 ⎞x ⎛ 1 ⎞x
1.5. a. (*) ⇔ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − 12 > 0 . Ñaët t = ⎜ ⎟ > 0
⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎝3⎠
⇔ t 2 + t − 12 > 0 ⇔ t < −4 ∨ t > 3 (loaïi).
1
1
⎛ 1 ⎞x − 1 1
vôùi t > 3 ⇔ ⎜ ⎟ > 3 ⇔ 3 x > 3 ⇔ − > 1 ⇔ + 1 < 0
⎝ 3⎠ x x
⇔ x(x + 1) < 0 ⇔ −1 < x < 0 .
b. Ñaët f(x) = 2x 2 + (m + 2)x + 2 − 3m
BBT:
f(x) < 0, ∀x ∈ (−1,0)
⎧ 1
⎧ f(−1) ≤ 0 ⎧ 2 − 4m ≤ 0 ⎪m ≥ 2 ⇒ x1 ≤ −1 < 0 ≤ x 2
⎪
⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨
⎩ f(0) ≤ 0 ⎩ 2 − 3m ≤ 0 ⎪m ≥ 2 ⇔ m ≥ 2
⎪
⎩ 3 3
194