1. www.VNMATH.com
TRƯỜNG THPT KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ
CHUYÊN NĂM HỌC 2010 – 2011
NGUYỄN HUỆ ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI D
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1: (2 điểm)
x +1
Cho hàm số y = có đồ thị (C).
x −1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B đối xứng với nhau qua đường thẳng
(d): x +2y –3 =0.
Câu 2: (2 điểm)
1 + sin 2 x sinx + cosx
1. Giải phương trình +2 − 3 = 0.
1 − sin 2 x sinx − cos x
2
2. Giải phương trình log 1 ( x + 2)3 − 2 = log 1 ( x − 4) 4 − log 2 ( x + 6) 2 .
3 2 4
Câu 3: (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : ( x + 1) + ( y − 2) = 13 và
2 2
đường thẳng ∆ : x – 5y – 2 = 0. Gọi giao điểm của đường tròn (C) với đường thẳng ∆ là
A, B. Tìm tọa độ điểm C biết ∆ABC vuông tại B, nội tiếp đường tròn (C) và xB<0.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;1), B(b;0;0), C(0;b;0) (b≠0) và
x−3 y z
đường thẳng (d): = = . Viết phương trình mặt phẳng (ABC) biết rằng mặt phẳng
2 1 3
(ABC) song song với đường thẳng (d).
Câu 4: (1 điểm)
Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ biết A’A = AB = a; AC = 2a, ˔˓˕ = 60" . Gọi M
là giao điểm của A’C và AC’ . Tìm thể tích của tứ diện MBB’C’ và tính bán kính mặt cầu ngoại
tiếp lăng trụ.
Câu 5: (2 điểm)
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong x + y = 3 và x + y − 1 = 0.
2
z1 z2
2. Cho z1, z2 là nghiệm của phương trình z − (i + 2) z + i = 0 . Tính :
2
+ .
z2 z1
Câu 6: (1điểm)
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
1 1 1
+ + .
1 + 8 1 + 8 1 + 8c
a b
------------------------HẾT----------------------
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên:…………………………………………………SBD:…………………………………

2. www.VNMATH.com
TRƯỜNG THPT KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ
CHUYÊN NĂM HỌC 2010 – 2011
NGUYỄN HUỆ ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN
Câu ý Nội dung Điểm
1 1 TXĐ: R{1}
(2điểm) 2
y'= − < 0 ∀x ≠ 1 0,25
( x − 1) 2
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;1) và (1;+∞)
x +1
Giới hạn: lim x − 1 = ±∞ ⇒
x →1±
đường tiệm cận đứng của đồ thị là x =1
0,25
x +1
lim x − 1 = 1 ⇒ đường tiệm cận ngang của đồ thị là y =1
x →±∞
bảng biến thiên
x -∞ 1 +∞
y’ - -
y 1 +∞ 0,25
-∞ 1
y
2
-5 5
0,25
O x
-2
Nhận xét: đồ thị nhận điểm I(1;1) là tâm đối xứng
2 Gọi (d’) là đường thẳng qua AB
Phương trình đường thẳng (d’) vuông góc với d có dạng: y=2x+m
x +1
(d’) cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A,B ⟺ = 2 x + m có 2 nghiệm
x −1 0,25
phân biệt ⇔ 2 x + (m − 3) x − m − 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1
2
∆ > 0
⇔ ⇔ ∀m ∈ R
 f (1) ≠ 0
 x A + xB 3 − m
 xI = 2 = 4

Gọi I là trung điểm của AB ⇒  0,25
 y = 2x + m = m + 3
 I

I
2

3. www.VNMATH.com
Vì AB ⊥(d) nên A đối xứng với B qua (d)⟺ trung điểm của AB thuộc (d)
3−m m+3 0,25
⇔ +2 − 3 = 0 ⇔ m = −1
4 2
 x = 0 ⇒ y = −1
Với m = -1 ta có : 2 x 2 − 4 x = 0 ⇔ 
x = 2 ⇒ y = 3 0,25
Vậy 2 điểm cần tìm là A(0;-1) và B(2;3)
2 1 Điều kiện : sin 2 x ≠ 1
(2điểm) (sinx + cos x ) 2 sinx + cos x
(1) ⇔ +2 −3=0 0,25
(sinx − cos x) 2
sinx − cos x
sinx + cos x
Đặt t =
sinx − cos x
0,25
t = 1
Pt trở thành ⇔ t + 2t − 3 = 0 ⇔ 
2
 t = −3
 sinx + cos x  π
 sinx − cos x = 1  x = + kπ
 cosx = 0 2
⇔ ⇔  4sin x = 2 cos x ⇔
 sinx + cos x   x = arctan 1 + kπ
= −3
 sinx − cos x
 
 2 0,5
thỏa mãn điều kiện
 π
 x = + kπ
2
Vậy nghiệm của phương trình là : 
 x = arctan 1 + kπ

 2
2 Điều kiện: x > −2; x ≠ 4
−2log 2 ( x + 2) − 2 = −2log 2 x − 4 − 2log 2 ( x + 6)
0,5
⇔ log 2 2( x + 2) = log 2 x − 4 ( x + 6) ⇔ 2( x + 2) = x − 4 ( x + 6)
x = 2 7
+) với x>4: pt ⇔ x 2 = 28 ⇔  0,25
 x = −2 7(l )

 x = −2 + 2 6
+) với 4>x>-2: pt ⇔ x 2 + 4 x − 20 = 0 ⇔ 
 x = −2 − 2 6(l )
 0,25
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 2 7; x = −2 + 2 6
3 1 ( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 = 13
(2điểm) Giao điểm của ∆ và (C) là nghiệm của hệ  0,25
x − 5 y − 2 = 0
Giải hệ được A(2;0) ; B(-3;-1) 0,25
Vì tam giác ABC vuông tại B và nội tiếp đường tròn (C) nên AC là đường
kính của (C)
0,5
Mà đường tròn (C) có tâm I(-1;2) ⟹ I là trung điểm của AC
Suy ra C(-4;4)
2 x y z 0,25
Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng : + + =1
b b c

4. www.VNMATH.com
2 1
Vì (ABC) đi qua A(1;1;1)⟹ + =1
b c
1 1 1
Mặt phẳng (P) có vtpt n( ; ; )
b b c
0,25
Đường thẳng (d) có vtcp u (2;1;3)
2 1 3
nv = 0 b + b + c = 0 1 + 1 = 0
  0,25
(d)//(P) ⇔  ⇔ ⇔ b c
 M (3;0;0) ∈ ( d ), M ∉ ( P )  3 ≠ 1 
b ≠ 3
b

2 1
b + c = 1
 b = 1
1 1 
Ta có hệ :  + = 0 ⇔ c = −1
b c b ≠ 3 0,25
b ≠ 3 


Vậy phương trình mặt phẳng (P) là : x + y − z − 1 = 0
4 A'
C'
(1điểm)
B'
M
A C
B
+)Tính VMBB’C’
1 1 1
VMBB ' C ' = VMBCC ' = VABCC ' = . CC '.S ABC 0,25
2 2 3
2
1 a 3
S ABC = AB. AC.sin 600 =
2 2 0,25
2 3
1 a 3 a 3
Vậy VMBB ' C ' = a. =
6 2 12
Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC ta có:
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. ACcos600 = 3a 2 0,25
Suy ra AC 2 = BC 2 + AB 2 ⇒ ∆ABC vuông tại B

5. www.VNMATH.com
Ta có MA =MB =MC =MA’ =MB’ =MC’
Suy ra M là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
0,25
AC ' a 5
Vậy R = =
2 2
5 1 Tung độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
(2điểm)  y = −1 0,25
3 − y2 = 1 − y ⇔ 
y = 2
Suy ra diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong x + y 2 = 3 và
x + y − 1 = 0 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
x = 3 − y 2 , x = − y + 1 và hai đường thẳng y=-1; y=2 0,25
2
S= ∫ (3 − y 2 ) − (1 − y ) dx
−1
2 2
S= ∫ 2 + y − y dx = ∫ (2 + y − y 2 )dx
2
−1 −1
0,5
2 3
y y 9
= (2 y + − ) |−2 =
1
2 3 2
2  z1 + z2 = i + 2 0,25
Theo định lý viet ta có: 
 z1 z2 = i
z1 z2 z1 + z2 ( z1 + z2 ) − 2 z1 z2
2 2 2
T có : + = = 0,25
z2 z1 z1 z2 z1z2
=
( i + 2 )2 − 2i = 2i + 3 = 2 − 3i 0,25
i i
z1 z2
Vậy + = 2 − 3i = 13 0,25
z2 z1
6 1 1 2
(1điểm) Với mọi x,y > 1 ta có : + ≥
1 + x 1 + y 1 + xy
2 2
0,25
thật vậy
1 1 2
+ ≥ ⇔ (2 + x 2 + y 2 )(1 + xy ) ≥ 2(1 + x 2 )(1 + y 2 ) 0,25
1 + x 1 + y 1 + xy
2 2
⇔ ( xy − 1)( x − y ) 2 ≥ 0 luôn đúng với mọi x,y >1
dấu bằng xảy ra khi x =y
Vì a,b,c dương nên 8a ,8b ,8c đều lớn hơn 1.Áp dụng kết quả trên ta có:
1 1 1 1 2 2 0,25
+ + + ≥ +
1 + 8a 1 + 8b 1 + 8c 1 + 2 1 + 8a +b 1 + 2.8c
4 2 4 1 1 1
≥ = = ⇒ + + ≥1
1 + 16 3 1 + 8 1 + 8 1 + 8
a b c
a +b c
1 + 8 .8 .2 0,25
1
Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi a =b =c =
3
Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa