1. SÔÛ GD & ÑT ÑOÀNG THAÙP ÑEÀ THI THÖÛ ÑAÏI HOÏC NAÊM 2012- LAÀN 2
THPT Chuyeân Nguyeãn Quang Dieâu Moân TOAÙN- khoái D
Thôøi gian laøm baøi 180 phuùt, khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà
I. PHAÀN CHUNG CHO TAÁT CAÛ THÍ SINH (7,0 ñieåm)
2x − 1
Caâu I. (2,0 ñieåm) Cho haøm soá y = ⋅
x+2
1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá ñaõ cho.
2. Cho hai ñieåm A(−5; 1), B(1; 3). Tìm caùc ñieåm M treân ñoà thò (C) sao cho tam giaùc MAB vuoâng taïi M.
Caâu II. (2,0 ñieåm)
2 cos3 x − 2 cos x − sin 2x
1. Giaûi phöông trình = 2(1 + cos x)(1 + sin x).
cos x − 1
2x2
2. Giaûi baát phöông trình < x + 21.
(3 − 9 + 2x)2
2 3
dx
Caâu III. (1,0 ñieåm) Tính tích phaân I = ∫
5 x x2 + 4
Caâu IV. (1,0 ñieåm) Cho töù dieän ABCD coù ba caïnh AB, BC, CD ñoâi moät vuoâng goùc vôùi nhau, AB = BC = CD = a. Goïi
C′ vaø D′ laàn löôït laø hình chieáu cuûa ñieåm B treân AC vaø AD. Tính theå tích töù dieän ABC′D′.
Caâu V. (1,0 ñieåm) Cho hai soá thöïc x, y thoûa maõn x 2 + y 2 = 2. Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc
A = 2(x3 + y3 ) − 3xy.
II. PHAÀN RIEÂNG (3,0 ñieåm)
Thí sinh chæ ñöôïc laøm moät trong hai phaàn (phaàn A hoaëc phaàn B)
A. Theo chöông trình Chuaån
Caâu VIa. (2,0 ñieåm)
1. Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy. Tìm toïa ñoä caùc ñænh cuûa hình vuoâng ABCD bieát ñænh A naèm treân ñöôøng
thaúng d: x + y − 1 = 0 vaø ñöôøng troøn noäi tieáp hình vuoâng laø (C) : x 2 + y 2 − 8x + 6y + 21 = 0.
2. Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ba ñieåm A(1; 0; 0), B(0; 1; 1), C(0; 0; 2) vaø ñöôøng thaúng
x y + 2 z −1
∆: = = ⋅ Tìm ñieåm M thuoäc ñöôøng thaúng ∆ sao cho goùc giöõa hai maët phaúng (MAB) vaø (CAB)
1 −1 1
baèng 30o .

 z − 2i = z
Caâu VIIa. (1,0 ñieåm) Tìm soá phöùc z thoûa maõn  ⋅
 z − i = z −1

B. Theo chöông trình Naâng cao
Caâu VIb. (2,0 ñieåm)
1. Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy cho ñöôøng troøn (C) : x2 + y2 − 8x − 9 = 0 vaø ñieåm M(1; − 1) . Vieát phöông
trình ñöôøng thaúng ñi qua M vaø caét (C) taïi hai ñieåm A, B sao cho MA = 3MB.
x −1 y + 2 z
2. Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho hai ñieåm A(1; 4; 2),B(−1; 2; 4) vaø ∆: = = ⋅ Tìm ñieåm
−1 1 2
M thuoäc ∆ sao cho dieän tích tam giaùc MAB nhoû nhaát.
ex − ey = x − y

Caâu VIIb. (1,0 ñieåm) Giaûi heä phöông trình  x ⋅
log3 + log 3 9y = 10
3
 3
Giaùo vieân ra ñeà .PH M TR NG THƯ -1-
Cảm ơn thầy Huỳnh Chí Hào ( chủ diễn đàn http://boxmath.vn đã gửi tới www.laisac.page.tl

2. Caâu Ñaùp aùn Ñieåm
I 1. (1,0 ñieåm) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá (1)…
i Taäp xaùc ñònh: D = ℝ {−2} ⋅
(2,0ñieåm)
i Söï bieán thieân:
5 0,25
- Chieàu bieán thieân: y′ = > 0, ∀x ≠ −2.
(x + 2) 2
- Haøm soá ñoàng bieán treân caùc khoaûng ( − ∞; − 2) vaø (2; + ∞).
- Giôùi haïn vaø tieäm caän:
⊕ lim y = lim y = 2 ⇒ tieäm caän ngang: y = 2 ⋅ 0,25
x →+∞ x →−∞
⊕ lim y = +∞, lim y = −∞ ⇒ tieäm caän ñöùng: x = −2.
x →( −2)− x→(−2)+
- Baûng bieán thieân:
x −∞ −2 +∞
y′ + + 0,25
+∞ 2
y
2 −∞
• Ñoà thò töï veõ 0,25
2. (1,0 ñieåm) Tìm caùc ñieåm M treân ñoà thò (C) sao cho tam giaùc MAB vuoâng taïi M.
 2xo − 1 
Goïi M  x o ;
  ∈ (C), x o ≠ −2.
 xo + 2  0,25
Goïi I laø trung ñieåm cuûa AB, suy ra I(−2;2), ñoä daøi AB = 40 = 2 10.
1
Tam giaùc MAB vuoâng taïi M khi vaø chæ khi IM = AB = 10. 0,25
2
2
 2x − 1 
⇔ ( xo + 2 )  x + 2 − 2  = 10 ⇔ ( xo + 2 ) +
2 2 25
+ o  = 10
( xo + 2 )
2
 o  0,25
⇔ (xo + 2)2 = 5 ⇔ xo = −2 ± 5
Vaäy coù hai ñieåm caàn tìm laø M1 −2 − 5; ( ) ( )
5 + 2 , M2 −2 + 5; − 5 + 2 . 0,25
II 1. (1,0 ñieåm) Giaûi phöông trình…
(2,0 ñieåm) Ñieàu kieän cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k2π, k ∈ ℤ. (*) 0,25
Vôùi ñieàu kieän (*), phöông trình ñaõ cho töông ñöông
− 2 cos x(sin 2 x − 1) − 2 cos x(sin x + 1) = −2(1 − cos2 x)(1 + sin x)
0,25
⇔ cos x(sin x + 1)sinx = sin 2 x(1 + sin x)
⇔ (sin x + 1)sinx(cos x − sin x) = 0
 π
x = − + k2π
sin x = −1  2
 
⇔ sin x = 0 ⇔  x = kπ (k ∈ ℤ). 0,25
 tan x = 1  π
  x = + kπ

 4
Giaùo vieân ra ñeà .PH M TR NG THƯ -2-

3.  π
 x = − + k2π
 2
Keát hôïp vôùi (*), ta suy ra nghieäm cuûa PT ñaõ cho laø  x = π + k2π (k ∈ ℤ). 0,25
 π
 x = + kπ

 4
2. (1,0 ñieåm) Giaûi baát phöông trình…
9 + 2x ≥ 0
 9
Ñieàu kieän  ⇔ x ≥ − vaø x ≠ 0 (*). 0,25
3 − 9 + 2x ≠ 0
 2
Bieán ñoåi baát phöông trình vaø ruùt goïn ta ñöôïc
x2 0,25
< x + 21 ⇔ x2 < (x + 21)(9 + x − 3 9 + 2x) ⇔ (x + 21) 9 + 2x < 10x + 63
9 + x − 3 9 + 2x
 7
x <
⇔ (x + 21)2 (9 + 2x) < (10x + 63)2 ⇔ x2 (2x − 7) < 0 ⇔  2 0,25
x ≠ 0

Keát hôïp vôùi ñieàu kieän (*) baát phöông trình ñaõ cho coù taäp nghieäm laø T =  − ;  {0}.
9 7
 2 2 0,25
 
III Tính tích phaân
(1,0 ñieåm) 2 3 2 3
dx xdx
Ta coù I = ∫ = ∫ ⋅ 0,25
5 x x2 + 4 5 x2 x2 + 4
xdx
Ñaët t = x 2 + 4 ⇒ t 2 = x 2 + 4 ⇒ dt = ⋅
x2 + 4
4
0,25
dt
Luùc ñoù I = ∫
3 t2 − 4
1  dt dt  1 t − 2 4
4 4 4
1 (t + 2) − (t − 2)
= ∫ (t + 2)(t − 2) dt =  ∫ −∫  = ln 0,25
43 43 t −2 3 t + 2 4 t +2 3
 
1 5 1 5
= ln ⋅ Vaäy I = ln . 0,25
4 3 4 3
IV Tính theå tích töù dieän ABC’D’
(1,0 ñieåm) CD ⊥ BC
Vì  neân CD ⊥ (ABC) vaø do ñoù (ABC) ⊥ (ACD) .
CD ⊥ AB
Vì BC′ ⊥ AC neân BC′ ⊥ (ACD). A
D′
0,25
C′
B D
a
C
Giaùo vieân ra ñeà .PH M TR NG THƯ -3-

4. Theå tích töù dieän ABC′D′:
1 1 1 CD 0,25
VABC′D′ = ⋅ BC′.SAC′D′ = ⋅ BC′.AC′.AD′sinCAD = ⋅ BC′.AC′.AD′. ⋅
3 6 6 AD
a 2
Vì tam giaùc ABC vuoâng caân taïi B neân AC′ = CC′ = BC′ = ⋅
2
Ta coù AD2 = AB2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 = 3a2 neân AD = a 3. 0,25
2
AB a
Vì BD′ laø ñöôøng cao cuûa tam giaùc vuoâng ABD neân AD′.AD = AB2 ⇒ AD′ = = ⋅
AD 3
2
1 a 2  a a a3
Vaäy VABC′D′ = ⋅  ⋅ ⋅ = (ñvtt). 0,25
6  2 
  3 a 3 36
V Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa P
(1,0 ñieåm) Ñaët S = x + y; P = xy (ñieàu kieän S2 ≥ 4P).
S2 − 2 S2 0,25
Töø giaû thieát ta coù S2 − 2P = 2 ⇒ P = ≤ ⇒ S ≤2
2 4
Töø ñoù, ta coù:
  S2 − 2    S2 − 2 
A = 2 (x + y)3 − 3(x + y)xy  − 3xy = 2  S3 − 3S   − 3 
    2   2 
     0,25
3
= −S3 − S2 + 6S + 3 = f(S)
2
f ′(S) = −3S2 − 3S + 6; f ′(S) = 0 ⇔ S = 1 hoaëc S = −2.
Khi ñoù, ta coù
 1+ 3  1− 3
x = x =
 
i MaxA = max f(S) = max {f( − 2);f(1);f(2)} = f(1) =
13 2 ; 2
taïi   0,25
S∈[ −2;2] 2 1− 3  1+ 3

y = 2
 y = 2

 x = −1
i MinA = min f(S) = min {f( − 2);f(1);f(2)} = f( − 2) = −7 taïi  . 0,25
S∈[ −2;2]  y = −1
VIa 1. (1,0 ñieåm) Tìm toïa ñoä caùc ñænh cuûa hình vuoâng ABCD bieát ñænh A
(2,0 ñieåm) Ñöôøng troøn (C) coù taâm I(4; − 3) vaø baùn kính R = 2.
Ta coù A ∈ d ⇒ A(a; 1 − a), a ∈ ℝ
Theo giaû thieát I ∈ d vaø hình vuoâng ngoaïi tieáp ñöôøng troøn neân IA = 2 R = 2 2 .
A B
0,25
R
I
D d
C
Hình minh hoïa
Giaùo vieân ra ñeà .PH M TR NG THƯ -4-

5. a − 4 = 2 a = 6
⇔ (a − 4)2 + (4 − a)2 = 8 ⇔ (a − 4)2 = 4 ⇔ a − 4 = 2 ⇔  ⇔ ⋅
 a − 4 = −2 a = 2
0,25
Vôùi a = 2 thì A(2; − 1) neân C(6; − 5).
Vôùi a = 6 thì A(6; − 5) neân C(2; − 1).
Maët khaùc, ñöôøng thaúng BD qua I vaø vuoâng goùc d coù phöông trình
BD: x − y − 7 = 0, do ñoù B(b; b − 7)
0,25
b = 6
Ta coù IB = 2 2 ⇔ (b − 4)2 + (b − 4)2 = 8 ⇔ (b − 4)2 = 4 ⇔ b − 4 = 2 ⇔  ⋅
b = 2
Vôùi b = 2 thì B(2; − 5) neân D(6; − 1).
0,25
Vôùi b = 6 thì B(6; − 1) neân D(2; − 5).
2. (1,0 ñieåm) Tìm toïa ñoä ñieåm M…
Vì M ∈ ∆ ⇒ M(t; − t − 2; t + 1), t ∈ ℝ
0,25
Ta coù AB = (−1; 1; 1), AC = (−1; 0; 2), AM = (t − 1; − t − 2; t + 1)
Suy ra moät VTCP cuûa maët phaúng (MAB) laø n1 = [AB; AM] = (2t + 3; 2t; 3). 0,25
Moät VTCP cuûa maët phaúng (CAB) laø n 2 = [AB; AC] = (2; 1; 1). 0,25
Vì goùc goùc giöõa hai maët phaúng (MAB) vaø (CAB) baèng 30o neân
3 2(2t + 3) + 2t + 3
cos30o = cos(n1 ,n 2 ) hay =
2 (2t + 3)2 + (2t)2 + 32 6 0,25
⇔ (2t + 3)2 + (2t)2 + 32 = 2 2t + 3 ⇔ t = 0.
Ñieåm caàn tìm coù toïa ñoä M(0; − 2; 1).
VIIa Tìm soá phöùc
(1,0 ñieåm) Giaû söû z = x + yi (x; y ∈ ℝ ) , suy ra z − 2i = x + (y − 2)i, z − i = x + (y − 1)i, z − 1 = x − 1 + yi 0,5
 z − 2i = z
  2
x + (y − 2) = x + y
2 2 2
Ta coù  ⇔ 0,25
 z − i = z −1 x + (y − 1) = (x − 1) + y
2 2 2 2
 
 4 − 4y = 0 x = 1
⇔ ⇔ ⋅ Vaäy z = 1 + i. 0,25
 −2y = −2x y = 1
VIb 1. (1,0 ñieåm) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua M…
(2,0 ñieåm) (C) coù taâm I(4; 0), baùn kính R = 5. Ta coù IM = 10 < 5 = R ⇒ M naèm trong (C). 0,25
Giaû söû ñöôøng thaúng d ñi qua M, caét (C) taïi hai ñieåm A, B sao cho
MA = 3MB .
AB
Keû IH ⊥ AB ⇒ HB = HA =
2
AB BH
Maø MA = 3MB ⇒ MH = = I 0,25
4 2
BH2 R 2 − IH2 d M
Do ñoù IH2 = IM2 − MH2 = IM2 − = IM2 − B H A
4 4
4IM2 − R 2 40 − 25
⇔ IH2 = = = 5 ⇒ IH = 5.
3 3
Giaùo vieân ra ñeà .PH M TR NG THƯ -5-

6. Ñöôøng thaúng d ñi qua M, phöông trình coù daïng
a(x − 1) + b(y + 1) = 0 ⇔ ax + by + b − a = 0 (a2 + b2 ≠ 0).
4a + b − a  a = −2b 0,25
d(I,d) = IH ⇔ = 5 ⇔ (3a + b) = 5(a + b ) ⇔ 2a + 3ab − 2b = 0 ⇔ 
2 2 2 2 2
⋅
a = b
a +b
2 2

 2
i Vôùi a = −2b choïn b = −1 thì a = 2 ta coù d1 : 2x − y − 3 = 0.
b 0,25
i Vôùi a = choïn b = 2 thì a = 1 ta coù d 2 : x + 2y + 1 = 0.
2
2. (1,0 ñieåm) Tìm ñieåm M thuoäc ∆ sao cho dieän tích tam giaùc MAB nhoû nhaát.
Vì M ∈ ∆ ⇒ M(1 − t; − 2 + t; 2t),t ∈ ℝ.
0,25
Ta coù AM = (−t; t − 6; 2t − 2), AB = (−2; − 2; 2)
1 1
Dieän tích tam giaùc MAB laø SMAB = AM, AB = (6t − 16)2 + (4 − 2t)2 + (4t − 12)2 0,25
2  2
2
1  19  24 42
= 56  t −  + ≥ , ∀t ∈ ℝ. 0,25
2  7 7 7
42 19
Vaäy giaù trò nhoû nhaát cuûa dieän tích tam giaùc MAB laø , xaûy ra khi t = hay
7 7
0,25
 12 5 38 
M − ; ; ⋅
 7 7 7 
VIIb Giaûi heä phöông trình
(1,0 ñieåm) Ñieàu kieän x > 0, y > 0 (*) 0,25
Vôùi ñieàu kieän treân baát phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi

e x − x = e y − y (1) 0,25
HPT ñã cho có th vi t l i dư i d ng 
log3 x − 1 + 4 + 6log3 y = 10
 (2)
Xét hàm s f(t) = et − t, có f ′(t ) = e t − 1 > 0, ∀t > 0 nên hàm s ñ ng bi n khi t > 0 .
0,25
T (1) có f(x) = f(y), suy ra x = y.
Thay vào (2) ta ñư c log3 x = 1 ⇔ x = 3 . T ñó suy ra y = 3
0,25
K t h p ñi u ki n (*) ta ñư c HPT ñã cho có nghi m là (x;y) = (3; 3).
Giaùo vieân ra ñeà .PH M TR NG THƯ -6-