Những bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.com
Thi thử toán chuyên phan bội châu na 2011 lần 2 k d
1. SӢ GIÁO DӨC VÀ ĐÀO TҤO NGHӊ AN
www.VNMATH.com THӰ ĐҤI HӐC LҪN 2 NĂM 2011
Kǣ THI
TRƯӠNG THPT CHUYÊN PHAN BӜI CHÂU Môn thi: TOÁN ± Khӕi D
Thͥi gian làm bài: 180 phút, không k͋ thͥi gian giao đ͉
I. PHҪN CHUNG CHO TҨT CҦ THÍ SINH (7,0 đi͋m)
Câu I (2,0 đi͋m) Cho hàm sӕ y ! x 3 (2 m 3) x 2 (2 m) x m có đӗ thӏ là (Cm ).
1. Khҧo sát sӵ biӃn thiên cӫa hàm sӕ vӟi m ! 2.
2. Tìm m đӇ đӗ thӏ (Cm ) cҳt trөc hoành tҥi ba điӇm phân biӋt có hoành đӝ âm.
Câu II (2,0 đi͋m)
1
1. Giҧi phương trình (tan x.cot 2 x 1).cos 3 x ! ( 3 sin x 2cos x 1).
2
® x 2 x ( y 1) y 2 ! 3 y
± 2
2. Giҧi hӋ phương trình ¯
x2 2
± xy 3 y ! x 2 y.
°
3
ln( x 2 3)
Câu III (1,0 đi͋m) Tính tích phân I !
x2
dx.´
1
Câu IV (1,0 đi͋m) Cho hình lăng trө ABC. A ' B ' C ' có A '. ABC là hình chóp tam giác đӅu, mһt phҷng
( A ' BC ) vuông góc vӟi mһt phҷng (C ' B ' BC ), AB ! a. Tính theo a thӇ tích khӕi chóp A '.BCC ' B '.
x y z
Câu V (1,0 đi͋m) Cho ba sӕ dương x , y , z thoҧ mãn x y z u 3. Chӭng minh rҵng u 3.
y z x
II. PHҪN RIÊNG (3,0 đi͋m): Thí sinh chӍ đưӧc làm mӝt trong hai phҫn A hoһc B.
A. Theo chương trình cơ b̫n
Câu VIa (2,0 đi͋m)
x2 y 2
1. Trong mһt phҷng vӟi tӑa đӝ Oxy, cho elip ( E ) : ! 1. ViӃt phương trình đưӡng thҷng d cҳt ( E )
8 2
tҥi hai điӇm phân biӋt có toҥ đӝ là các sӕ nguyên.
2. Trong không gian tӑa đӝ Oxyz, cho hình thoi ABCD có diӋn tích bҵng 12 2, đӍnh A thuӝc trөc Oz, đӍnh
x y z 1
C thuӝc mһt phҷng Oxy , hai đӍnh B và D thuӝc đưӡng thҷng d : ! ! và B có hoành đӝ dương.
1 1 2
Tìm toҥ đӝ , B , C , D.
z 7 z 2i
Câu VIIa (1,0 đi͋m) Cho sӕ phӭc z thoҧ mãn z 1 ! . Tính .
z2 z i
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VIb (2,0 đi͋m)
1. Trong mһt phҷng tӑa đӝ Oxy, cho hai đưӡng tròn (C1 ) : ( x 1)2 ( y 2)2 ! 5 và
(C2 ) : ( x 1)2 ( y 3)2 ! 9. ViӃt phương trình đưӡng thҷng ( tiӃp xúc vӟi (C1 ) và cҳt (C 2 ) tҥi hai
điӇm A, B thoҧ mãn AB ! 4.
x 1 y 2 z
2. Trong không gian tӑa đӝ Oxyz, cho đưӡng thҷng d : ! ! và mһt phҷng
2 1 1
( P) : x 2 y z 3 ! 0. ViӃt phương trình đưӡng thҷng ( thuӝc (P), vuông góc vӟi d và có khoҧng cách
giӳa d và ( bҵng 2.
x 2 mx m
Câu VIIb (1,0 đi͋m) Tìm m đӇ hàm sӕ y ! có giá trӏ cӵc đҥi và giá trӏ cӵc tiӇu trái dҩu.
x2
..................HӃt.................
Thí sinh không đưͫc s͵ dͭng tài li͏u. Giám th͓ không gi̫i thích gì thêm.
Hӑ và tên thí sinh: ........................................... Sӕ báo danh:..................................................
2. SӢ GIÁO DӨC ĐÀO TҤO NGHӊ AN www.VNMATH.com ÁN ± THANG ĐIӆM
ĐÁP
TRƯӠNG THPT CHUYÊN PHAN BӜI CHÂU Đӄ THI THӰ ĐҤI HӐC LҪN 2 NĂM 2011
Môn: TOÁN; Khӕi D
(Đáp án - thang điӇm gӗm 04 trang)
ĐÁP ÁN í THANG ĐIӆM
Câu Đáp án Đi͋m
I 1. (1,0 điӇm) Khҧo sát«
(2,0 đi͋m)
Tұp xác đӏnh D ! ¡ . Vӟi m ! 2, hàm sӕ trӣ thành y ! x 3 x 2 2.
¡ 2 0,25
Ta có: y ! 3x 2 2 x ; y ' ! 0 x ! 0 œ x ! .
3
Giӟi hҥn: lim y ! g; lim y ! g.
x pg x pg
2
Bҧng biӃn thiên: x g 0 g
3
y' + 0 ± 0 +
2 g 0,25
y
50
g
27
50
Hàm sӕ đҥt cӵc đҥi tҥi x ! 0 và yCD ! 2; hàm sӕ đҥt cӵc tiӇu tҥi x ! và yCT ! .
3 27
0,25
2 2
Hàm sӕ đӗng biӃn trên các khoҧng (g;0),( ; g ); Hàm sӕ nghӏch biӃn trên khoҧng (0; ).
3 3
Đӗ thӏ:
y
2
50
27
0,25
±1
O 2 x
3
2. (1,0 điӇm) Tìm m đӇ «..
Phương trình hoành đӝ giao điӇm cӫa (C) vӟi trөc hoành là
« x ! 1 0,25
x 3 (2m 3) x 2 (2 m)x m ! 0 (x 1)[x 2 2(m 1) x m] ! 0 ¬ 2
x 2( m 1) x m ! 0 (1)
(C) cҳt Ox tҥi ba điӇm phân biӋt có hoành đӝ âm khi và chӍ khi (1) có hai nghiӋm âm phân bӋt, khác ±
0,25
1
® '0
( « 1
± 0
± S ¬0 m 3
¯ ¬ 0,50
± 0
P ¬1 3 5
±m 1 { 0
3 ¬3 m
2
.
°
II 1. (1,0 điӇm) Giҧi phương trình
(2,0 đi͋m) ĐiӅu kiӋn: sin 2 x { 0. Phương trình đã cho tương đương vӟi
sinx.cos 2 x sin 2 x.cos x 1 0,25
.cos3 x ! ( 3 sinx 2cos x 1)
sin 2 x.cos x 2
3. www.VNMATH.com
Câu Đáp án Đi͋m
sin x 1
.cos3 x ! ( 3 sin x 2cos x 1) cos x 3 sin x ! 1 0,25
sin 2 x.cos x 2
T 1 2T
cos( x ) ! x ! k 2T œ x ! k 2T. 0,25
3 2 3
2T
Đӕi chiӃu điӅu kiӋn ta đưӧc hӑ nghiӋm x ! k 2T, k ¢ . 0,25
3
2. (1,0 điӇm).Giҧi hӋ phương trình ««
® 2 2
± x xy y ! 3 y x
2
HӋ đã cho tương đương vӟi ¯ 0,25
x2 2
± xy 3 y ! x 2 y
°
Th1: y ! 0 x ! 0.
x ® 2 (2t 2 t 1) ! y (3 t ) (1)
±y 0,25
Th2: y { 0, đһt t ! x ! ty thay vào hӋ: ¯ 2 2
y ± (t t 3) ! y (t 2) (2)
°y
7
Tӯ (1) và (2) ta đưӧc: 3t 3 7t 2 3t 7 ! 0 t { 1;1; }. 0,25
3
7 3
HӋ có bӕn nghiӋm (0;0);(1;1);( 1;1);( ; ). 0,25
43 43
III Tính tích phân«««..
(1,0 đi͋m)
2 xdx
® ! ln( x 2 3) ® !
u ± du
±
Đһt ¯
±
¯ x2 3 0,25
dx
± ! 2
dv ±!1
v
° x ±
° x
3 3
ln( x 2 3) dx ln12
I !
x
1 1
´
2 2
x 3
! ln 4
3
2J . 0,25
3dt T T
Đһt x ! 3 tan t , dx ! , đәi cұn: x ! 1 t ! ;x ! 3 t ! . 0,25
2 6 3
cos t
T
3
3dt ln12
´
T T
J! ! . Vұy I ! ln 4 . 0,25
3 6 3 3 3 3
T
6
IV Tính thӇ tích khӕi chóp «..
(1,0 đi͋m) C¶
Gӑi x là đӝ dài cҥnh bên, O là tâm tam giác ABC, I và M lҫn lưӧt là trung điӇm
BC và B¶C¶. M
a 3 a2 A¶ B¶
Ta có A ' M ! AI ! ; A ' I ! x 2 ; IM ! x.
2 4 C 0,25
‡
‡O I
A B
® ' I B BC
A
¯ A ' I B (C ' B ' BC ) A ' I B IM 0,25
°A ' BC ) B (C ' B ' BC )
(
a 2 3a 2 a
Do đó: A ' I 2 IM 2 ! A ' M 2 x2 x2 ! x! . 0,25
4 4 2
1 a3
V A '.BCC ' B ' ! .A ' I .BC .IM ! . 0,25
3 6 2
4. www.VNMATH.com
Câu Đáp án Đi͋m
V Chӭng minh rҵng«..
(1,0 đi͋m) y 1 x 2x x y z
Ta có: y e u , tương tӵ ta đưӧc: T u 2(
¢ ) 0,25
2 y y 1 y 1 z 1 x 1
x y z x2 y2 z2 ( x y z) 2
Mһt khác: ! u 0,25
y 1 z 1 x 1 xy x yz y zx z xy yz zx x y z
( x y z )2 x yz 3( x y z ) 3( x y z ) 3
u ! ! u !
( x y z )2 x yz x y z 3 x y z x y z 2 0,25
x y z 1
3 3
Tӯ đó ta có: VT u 3. Dҩu bҵng xҧy ra khi x ! y ! z ! 1. 0,25
VI.a 1. (1,0 điӇm) ViӃt phương trình đưӡng thҷng cҳt elip«
(2,0 đi͋m)
x y 2
Gӑi M ( x; y ) ( E ), vӟi x ¢ , y ¢ . Ta có: ! 1 y2 e 2
8 2 0,25
KӃt hӧp vӟi y ¢ , ta đưӧc y {0;1; 1}.
Vӟi y ! 0, ta đưӧc x ! s 8 ‘ ¢ (loҥi); vӟi y ! s1, ta đưӧc x ! s2. 0,25
Bӕn điӇm thuӝc (E) có toҥ đӝ nguyên là M 1 (2;1); M 2 (2; 1); M 3 ( 2;1); M 4 ( 2; 1). 0,25
Có 6 đưӡng thҷng thoҧ mãn là: x ! 2; x ! 2; y ! 1; y ! 1; x 2 y ! 0; x 2 y ! 0. 0,25
2. (1,0 điӇm) Tìm toҥ đӝ A, B, C, D.
uuu
r r
Gӑi A(0;0; a); C ( b; c;0). Ta có: AC ! (b; c ; a ), d có vectơ chӍ phương u ! (1;1; 2), toҥ đӝ trung điӇm I
b c a 0,25
cӫa AC là I ( ; ; ).
2 2 2
uuu r
r
® .u ! 0
± AC
Ta có ¯ a ! b ! c ! 2, do đó A(0;0;2); C (2;2;0) và I (1;1;1). 0,25
±d
°I
1
DiӋn tích hình thoi S ! AC.BD ! 12 2, mà AC ! 2 3 suy ra BD ! 4 6 IB ! 2 6. 0,25
2
B d B (t ; t ; 1 2t ), t 0. Khi đó: IB ! 2 6 t ! 3 B (3;3;5); D ( 1; 1; 3). 0,25
VII.a Tính môđun ««.
(1,0 đi͋m)
ĐiӅu kiӋn z { 2. Tӯ giҧ thiӃt ta có: z 2 2 z 5 ! 0 (1). 0,25
( ! 4 20 ! 16 ! (4i) 2 ; phương trình (1) có nghiӋm z ! 1 2i và z ! 1 2i . 0,25
z 2i 1 1 1
Vӟi z ! 1 2i , ta đưӧc: ! ! ! . 0,25
z i 1 i 1 i 2
z 2i 1 4i 1 4i 17
Vӟi z ! 1 2i, ta đưӧc: ! ! ! . 0,25
z i 1 3i 1 3i 10
VI.b 1. (1,0 điӇm) ViӃt phương trình đưӡng thҷng«.
(2,0 đi͋m) (C1 ) có tâm I1 (1; 2) và bán kính R1 ! 5; (C2 ) có tâm I 2 ( 1; 3) và bán kính R2 ! 3.
0,25
Ta có: d ( I1 ; ( ) ! 5 (1).
Gӑi h ! d ( I 2 ; ( ), ta có: AB ! 2 R2 h 2 h ! 5 (2).
2
0,25
5
Tӯ (1) và (2) suy ra ( song song vӟi I1I 2 hoһc ( đi qua trung điӇm M (0; ) cӫa I1I 2 . 0,25
2
5. www.VNMATH.com
Câu Đáp án Đi͋m
Vì M nҵm trong (C1 ) nên không xҧy ra khҧ năng ( qua M, do đó ( / / I1I 2 , suy ra phương trình (
5 m 0,25
có dҥng x 2 y m ! 0, khi đó: d ( I1 ; ( ) ! 5 ! 5 m ! 0 œ m ! 10.
5
2. (1,0 điӇm) ViӃt phương trình đưӡng thҷng thuӝc (P) và vuông góc vӟi d«.
uu
r uuu r uu 1 uuu uu
r r r
ud ! (2;1;1); n( P ) ! (1;2; 1), do đó ( có vectơ chӍ phương là u( ! « n( P ) , u d » ! (1; 1; 1). 0,25
3 ½
uuur 1 uu uu
r r
Gӑi (Q) là mһt phҷng chӭa ( và song song vӟi d, ta có: n(Q ) ! «u( , ud » ! (0;1; 1).
3 ½ 0,25
Phương trình (Q): y z m ! 0. Chӑn A ! (1; 2;0) d , ta có: d ( A, (Q )) ! 2 m ! 0 œ m ! 4.
x3 y z
Vӟi m ! 0, vì ( ! ( P) ‰ ( ) nên ( đi qua B ! (3;0;0), phương trình ( :
£ ! ! . 0,25
1 1 1
x7 y z4
Vӟi m ! 4, vì ( ! ( P) ‰ ( ) nên ( đi qua C ! (7;0;4), phương trình ( :
¤ ! ! . 0,25
1 1 1
VII.b Tìm m đӇ hàm sӕ....
(1,0 đi͋m)
Tұp xác đӏnh: D ! ¡ _2a. 0,25
Hàm sӕ có giá trӏ cӵc đҥi và giá trӏ cӵc tiӇu trái dҩu khi và chӍ khi đӗ thӏ hàm sӕ không cҳt trөc hoành
0,50
khi và chӍ khi phương trình x 2 mx m ! 0 vô nghiӋm
0m4. 0,25
««««.HӃt««««.