1. CHUYEÂN ÑEÀ 10: HÌNH CAÀU
TOÙM TAÉT COÂNG THÖÙC
(1) Phöông trình maët caàu
1) Phöông trình maët caàu (S) coù taâm I(a, b, c) baùn kính R laø
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
2) Daïng toång quaùt cuûa phöông trình maët caàu laø
x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0
seõ coù taâm I(a, b, c) baùn kính R = a 2 + b2 + c2 − d neáu ta coù ñieàu kieän
a 2 + b2 + c 2 – d > 0
3) Ñieàu kieän tieáp xuùc giöõa maët phaúng (P) vaø maët caàu (S) coù taâm I baùn kính R laø khoaûng
caùch töø I ñeán (P) baèng baùn kính R.
Ví duï 1:
Laäp phöông trình maët caàu coù taâm I(2, 3, –1) caét ñöôøng thaúng (d)
⎧5x − 4 y + 3z + 20 = 0
⎨
⎩3x − 4y + z − 8 = 0
taïi hai ñieåm A vaø B sao cho AB = 16
Giaûi
Goïi (P) laø maët phaúng qua I vaø vuoâng goùc ñöôøng thaúng (d). Ta coù phöông trình tham soá ñöôøng
(d) laø
⎧ x = t − 14
⎪
⎪ 1 25
⎨y = t −
⎪ 2 2
⎪
⎩ z = −t
Goïi (P) laø maët phaúng qua I(2, 3, –1) vaø vuoâng goùc ñöôøng thaúng (d) neân coù phaùp vectô laø a =
⎛ 1 ⎞
⎜ 1, , −1⎟ . Vaäy phöông trình (P) vieát
⎝ 2 ⎠
1
(x – 2) + (y – 3) - (z + 1) = 0 ⇔ 2x + y – 2z – 9 = 0
2
1 25
Giao ñieåm K giöõa (d) vaø (P) coù toïa ñoä ( t – 14, t– , –t )
2 2
thoûa phöông trình (P). Vaäy ta coù
1

2. 1 25
2(t – 14) + ( t– ) +2t – 9 = 0
2 2
Suy ra t = 11. Vaäy ta coù K (–3, –7, –11).
Khoaûng caùch töø I ñeán (d) laø IK = 25 + 100 + 100 = 15
AB2
Do ñoù baùn kính maët caàu laø R = IK 2 + = 225 + 64
4
Neân phöông trình maët caàu vieát laø :
(x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 289
Ví duï 2:
Laäp phöông trình maët caàu coù taâm thuoäc ñöôøng thaúng (d)
⎧2 x + 4y − z − 7 = 0
⎨
⎩4 x + 5y + z − 14 = 0
vaø tieáp xuùc vôùi hai maët phaúng coù phöông trình
(P) : x + 2y – 2z – 2 = 0 ; (Q) : x + 2y – 2z + 4 = 0
Giaûi
Ta coù (P) // (Q) neân khi goïi A, B laø giao ñieåm cuûa (d) vôùi (P) vaø (Q) thì taâm I maët caàu tieáp xuùc
vôùi (P) vaø (Q) phaûi laø trung ñieåm ñoaïn AB vaø baùn kính maët caàu baèng khoaûng caùch töø I ñeán (P).
Ta coù toïa ñoä A laø nghieäm cuûa heä
⎧2x + 4y − z − 7 = 0
⎪
⎨4 x + 5y + z − 14 = 0 ⇒ A(2, 1, 1)
⎪ x + 2y − 2z − 2 = 0
⎩
Ta coù toïa ñoä B laø nghieäm cuûa heä
⎧2x + 4y − z − 7 = 0
⎪
⎨4 x + 5y + z − 14 = 0 ⇒ B(–4, 5, 5)
⎪ x + 2y − 2z + 4 = 0
⎩
Vaäy taâm maët caàu laø I(–1, 3, 3) vaø baùn kính R = 1
Neân phöông trình maët caàu vieát thaønh
(x + 1)2 + (y – 3)2 + (z – 3)2 = 1.
Ví duï 3 ( ÑH KHOÁI D –2004) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho 3 ñieåm
A (2; 0; 1); B(1;0;0); C (1; 1; 1) vaø maët phaúng (P): x + y + z – 2 = 0. Vieát phöông trình maët caàu ñi qua 3
ñieåm A, B, C vaø coù taâm thuoäc maët phaúng (P).
Giaûi
2

3. Caùch 1: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0. Maët caàu qua A, B, C vaø coù taâm thuoäc maët phaúng (P)
neân ta coù:
⎧ 4a + 2c + d = −5 ⎧ a = −1
⎪2a + d = −1 ⎪b = 0
⎪ ⎪
⎨ ⇔⎨
⎪2a + 2b + 2c + d = −3 ⎪ c = −1
⎪ a + b + c = −2
⎩ ⎪d = 1
⎩
⇔ x2 + y2 + z2 – 2x – 2z + 1 = 0
Caùch 2: Goïi I(x; y; z) laø taâm maët caàu
⎧ IA 2 = IB2 = IC2
⎪
Giaû thieát cho: ⎨
⎪ I ∈ (P)
⎩
⎧(x − 2)2 + y2 + (z − 1)2 = (x − 1)2 + y 2 + z 2
⎪
⎪
⇔ ⎨(x − 1)2 + y2 + z2 = (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2
⎪x + y + z − 2 = 0
⎪
⎩
⎧2x + 2z − 4 = 0 ⎧x = 1
⎪ ⎪
⇔ ⎨y + z = 1 ⇔ ⎨y = 0 ⇒ I (1; 0; 1)
⎪x + y + z − 2 = 0 ⎪z = 1
⎩ ⎩
Baùn kính R = IB = 1
Suy ra phöông trình maët caàu: (x – 1)2 + y2+ (z –1)2=1
Ví duï4 ( Ñeà Döï Tröõ KHOÁI D -2002) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz cho ñöôøng
⎧2x − 2y − z + 1 = 0
thaúng d : ⎨ vaø maët caàu
⎩x + 2 y − 2 z − 4 = 0
(S) : x2 + y2 + z2 + 4x – 6y + m = 0. Tìm m ñeå ñöôøng thaúng d caét maët caàu (S) taïi hai ñieåm M, N sao cho khoaûng
caùch giöõa hai ñieåm ñoù baèng 9.
Giaûi
Phöông trình maët caàu (S) : (x + 2)2 + (y – 3)2 + z2 = 13 – m
ÑK : m < 13
13 − m .
(S) coù taâm I(−2; 3; 0), R =
9
Vì MN = 9 ⇒ HM = HN = (IH ⊥ MN)
2
⎧−2y − z + 1 = 0 ⎧ y = 1
(d) cho x = 0 ⇒ ⎨ ⇒⎨ ⇒ A(0; 1; −1)
⎩2y − 2z − 4 = 0 ⎩z = −1
⎡→
n1 = (2, − 2, − 1) →
(d) coù ⎢ → ⇒ a = 3(2; 1; 2)
⎢
⎢ n 2 = (1, 2, − 2)
⎣
⎯→ ⎯→ →
AI = (−2; 2; 1), [ AI , a ] = (9; 18; − 18) = 9(1; 2; − 2)
⎯→ →
⏐[ AI , a ]⏐ 9 1+ 4 + 4
IH = d(I, d) = →
= = 3.
⏐a⏐ 3 4 + 1+ 4
Δ vuoâng IHN ta coù :
81 117
IM2 = IH2 + HN2 ⇔13 – m = 9 + =
4 4
3

4. 65
⇔m= − .
4
Ví duï 5 ( ÑEÀ DÖÏ TRÖÕ KHOÁI D -2003) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz cho maët phaúng
(P) : 2x + 2y + z – m2 – 3m = 0 (m laø tham soá) vaø maët caàu
(S) : (x – 1)2 + (y + 1)2 + (z – 1)2 = 9
Tìm m ñeå maët phaúng (P) tieáp xuùc vôùi maët caàu (S). Vôùi m tìm ñöôïc haõy xaùc ñònh toïa ñoä tieáp ñieåm cuûa maët
phaúng (P) vaø maët caàu (S).
Giaûi
Maët caàu (S) coù taâm I(1; −1; 1), baùn kính R = 3.
Maët phaúng P tieáp xuùc vôùi (S) ⇔ d(I: P) = R
2
⇔ 2 − 2 + 1 − m − 3m = 3 4 + 4 + 1
⇔ m2 + 3m – 1 = 9 hay m2 + 3m – 1 = −9
⇔ m2 + 3m – 10 = 0 hay m2 + 3m + 8 = 0 (VN)
⇔ m = −5 hay m = 2 ⇒ (P) : 2x + 2y + z – 10 = 0
⎧ x = 1 + 2t
⎪
Phöông trình ñöôøng thaúng Δ qua I vaø ⊥ (P) : Δ ⎨ y = −1 + 2t
⎪z = 1 + t
⎩
Theá vaøo phöông trình mp (P)
⇒ 2(1 + 2t) + 2(−1 + 2t) + 1 + t – 10 = 0 ⇒ t = 1
⇒ Tieáp ñieåm M cuûa P vaø (S) laø M(3; 1; 2).
Caùch khaùc IM2 = 9 ⇔ 4t2 + 4t2 + t2 = 9 ⇒ t = ± 1
⇒ M(3; 1; 2) hay M(-1; -3; 0).Vì M∈ P ⇒ M(3; 1; 2)
PHAÏM HOÀNG DANH-TRAÀN MINH QUANG –TRAÀN VAÊN TOAØN
( TRUNG TAÂM LUYEÄN THI CLC VÓNH VIEÃN )
4