3. Objektivat:
- Të sjellim histori mbi vijat e gradës së
dytë ose matematicienët që i studiuan
- Të bëjmë një përmbledhje të
parametrave dhe vetive
- Të parashtrojmë situata problemore
dhe ti zgjidhim ato
- Të zgjidhim situata problemore
ndryshe nga ato të librit
4. Rrethi
Bashkesia e pikave qe kane largese te njejte nga nje pike fikse qe quhet qender.
MQ=const
Ekuacioni i pergjithshem (X-X0)2
+(Y-Y0)2
=R2
Q=(X0;Y0)
R-rrezja
Rrethi me qender (0;0) X2
+Y2
=R2
5. Rrethi tagent me OX (X-X0)2
+(Y-R)2
=R2
Rrethi tagent me OY (X-R)2
+(Y-Y)2
=R2
Rrethi tagent me OX dhe OY (X-R)2
+(Y-R)2
=R2
6. Kushti i tagences (k2
+1)R2
=t2
Ekuacioni i drejtezes tagente ne nje pike te rrethit XX1+YY1=R2
Ekuacioni i pingules ne nje pike te dhene te rrethit Y=
𝑌1
𝑋1
X
1.Te shkruhet ekuacioni i rrethit me qender dhe rreze .
2.Ekuacioni te shkruhet ne forme normale.
3.Ekuacioni te shkruhet ne forme normale.
4.Ekuacioni te shkruhet ne forme normale.
5.Te shkruhet ekuacioni i rrethit qe kalon neper pikat .
6.Te shkruhet ekuacioni i rrethit me rreze qendra e te cilit ndodhet ne
drejtezen dhe takon drejtezen
7.Te gjendet ekuacioni i rrethit me qender ne drejtezen dhe qe takon drejtezat dhe .
8.Te shkruhet ekuacioni i rrethit i cili takon te dy boshtet kordinative dhe ka qender ne
drejtezen
9.Te shkruhet ekuacioni i rrethit te jashtashkruar te trekendeshit me brinje qe ju takojne
drejtezave .
10.Shkruani ekuacionin e rrethit me rreze qe kalon neper piken dhe takon
drejtezen .
Elipsi
Bashkesia e pikave qe kane shumen e largesave nga dy pika fikse te quajtura vatra konstante.
MF1+MF2=2a
Ekuacioni i pergjithshem
𝑋2
𝑎2
+
𝑌2
𝑏2
=1
7. Parametrat e elipsit Boshti i madh 2a
Boshti i vogel 2b
Largesa mes vatrave 2c
c2
=a2
-b2
Jashteqendersia e= 𝑐
𝑎⁄ <1
Ekuacioni i tagentes ne nje pike te dhene
𝑋𝑋1
𝑎2
+
𝑌𝑌1
𝑏2
=1
Kushti i tagences a2
k2
+b2
=t2
A2
a2
+B2
b2
=C2
Rrezet vatrore r1=a+eX
r2=a-eX
1.Te shkruhet ekuacioni i elipses nese kalon neper pikat dhe
2.Te gjendet ekcentriciteti i elipses ,nese largesa gjysmevatrore eshte e barabarte me mesin aritmetik te dy
gjysmeboshteve.
3.Pikat plotesojne ekuacionin .Te gjendet ekuacioni i lakores .
Keto ishin problema kur qendra e elipses eshte pika
4.Te tregohet se ekuacioni i elipses me qender piken me gjysmeboshte
dhe eshte
5.Te caktohet pozita reciproke e drejtezes dhe elipses
6.Te shkruhet ekuacioni i tangjentes se elipses ne piken e saj
7.Te shkruhen ekuacionet e tangjentave te elipses qe kaloje neper piken
8.Te llogaritet masa e kendit qe formojne tangjentete e elipses qe kalojne neper piken e
saj me abshise .
9.Te tregohet se elipsa eshte bashkesia e pikave te rrafshit ,largesa te te cilave prej dy pikave te fiksuara
eshte madhesi konstante.
10.Nese P i takon vise se elipses , gjeni ekuacionin e tangjentes
11.Le te jete kur paraqet ky ekuacion elips.
12.Tregoni se nuk eshte ekuacion i elipses.
13.Te shkruhet ekuacioni i elipses me kordinata polare.
14.Eshte dhene ekuacioni kanonik i elipses .GJeni ekuacionin polar te saj.
15.Te shkruhet ekuacioni kanonik i elipses me kordinata karteziane kenddrejta
8. 16.Shkruani ekuacionin kanonik te elipses
17Gjeni kendin qe ai diameter i elipses formon me boshtin fokal: gjatesia e te cilit
eshte 10 njesi.
Hiperbola
Bashkesia e pikave qe kane ndryshesen mes largesave nga dy pika fikse te quajtura vatra konstante.
MF1-MF2=2a
Ekuacioni i pergjithshem
𝑋2
𝑎2
-
𝑌2
𝑏2
=1
Parametrat e hiperboles Boshti real 2a
Boshti imagjinar 2b
Largesa mes vatrave 2c
c2
=a2
+ b2
Jashteqendersia e= 𝑐
𝑎⁄ >1
Ekuacioni i tagentes ne nje pike te dhene
𝑋𝑋1
𝑎2
+
𝑌𝑌1
𝑏2
=1
Kushti i tagences a2
k2
-b2
=t2
A2
a2
-B2
b2
=C2
Rrezet vatrore r1=a+eX
r2=eX-a
9. 1.Te gjendet ekscentricitetin i hiperboles .
2.Shkruani ekuacionin e hiperboles me vatra pikat dhe per kulme pikat .
3.Shqyrtoni poziten reciproke ndermjet drejtezes dhe hiperboles
4.Te tregohet se ekuacioni i tangjentes sehiperboles
ne piken e saj eshte
5.Shqyrtoni poziten reciproke te pikes ndaj hiperboles ,dhe nese nuk eshte pike e
brenshme te shkruhet ekuacioni i saj.
6.Shqyrtoni poziten reciproke te pikes ndaj hiperboles ,dhe nese nuk eshte pike
e brenshme te shkruhet ekuacioni i saj.
7.Te tregohet se eshte vlere konstante nese eshte pike e paraboles vatra ndersa direktrise
drejtezen e projeksioni normal i pikes ne direktrise.
8.Shkruani ekuacionin e hiperboles qe per asimptota ka drejtezat dhe
drejteza eshte tangjente e saj.
9.Te tregohet se hiperbola eshte bashkesia e pikave te rrafshit ,ndryshimi i largesave te te cilave prej dy
pikave te fiksuara eshte madhesi konstante.
10.Nese P i takon vise se hiperboles , gjeni ekuacionin e tangjentes
11.Le te jete kur paraqet ky ekuacion
hiperbol.
12.Tregoni se eshte ekuacion i hiperboles .
13.Neper piken terheqni tangjentat e hiperboles ,nese
ky ekuacion eshte i hiperboles.
14.Te shkruhet ekuacioni i hiperboles me kordinata polare.
15.Eshte dhene ekuacioni kanonik i hiperboles .GJeni ekuacionin polar te saj.
16.Nese ekuacioni paraqet hiperbol,cfar vlerash
duhet te kene koeficientet qe hiperbola te jete barabrinjese
17.Tregoni se ekuacioni paraqet hiperbol.
18.Caktoni qendren e hiperboles
10. 19.Caktoni ekuacionet e boshteve te hiperboles
20.Caktoni gjatesite e boshteve te hiperboles
21.Gjeni ekuacionet e asimtotave te hiperboles
22.Per cilat vlera te m-se ekuacioni paraqet hiperbole
barabrinjese
23.Per cfar vlere te ekuacioni paraqet hiperbol.
24.Te tregohet se qendrat e hiperbolave ku m numer real i
takojne nje drejteze.Cilat nga keto hiperbola ka qender piken
25.Gjeni asimptotat e hiperboles ku m numer real dhe
qender
26.Te shkruhet ekuacioni i polares se hiperboles
27.Gjeni gjatesite e boshteve te hiperboles
28.Nese ekuacioni eshte ekuacion i hiperboles.Gjeni asimptotat
e kesaj hiperboleje
29.Gjeni asimptotat e hiperboles .
Parabola
Bashkesia e pikave qe kane largesine nga vatra te barabarte me largesine nga drejtuesja
MF=MH
Ekuacioni i paraboles Simetrike sipas OY Y2
=2pX
11. Simetrike sipas OX X2
=2pY
Parametrat e paraboles Parametri i paraboles p=FD
Vatra F=
𝑝
2⁄
Drejtuesja X=-
𝑝
2⁄ Y=-
𝑝
2⁄
Kushti i tagences Simetrike sipas OY p=2kt
Simetrike sipas OX p=2𝑡
𝑘2⁄
Ekuacioni i tagentes ne nje pike te dhene Simetrike sipas OY YY1=p(X+X1)
Simetrike sipas OX XX1=p(Y+Y1)
1.Shkruani ekuacionin e paraboles ,kulmi i se ciles eshte origjina ndersa vatra
2.Shqyrtoni poziten reciproke te dejtezes dhe paraboles
3.Shqyrtoni poziten reciproke te dejtezes dhe paraboles
4.Shqyrtoni poziten reciproke te dejtezes dhe paraboles
5.Eshte dhene parabola te tregohet se kusht i nevojshem dhe i mjaftueshem qe drejteza
te jete tangjente e paraboles se dhene eshte qe
6.Shkruajeni ekuacionin e paraboles me kordinata polare.
7.Kur paraqet ekuacioni parabole.
8.Nese pika i takon paraboles te shkruhet ekuacioni i
tangjentes neper ate pike.
9.Nese pika nuk i takon paraboles te shkruhet
ekuacionin e polares neper ate pike.
10.Caktoni poziten e paraboles ndaj sistemit fillestar
te kordinatave kendderjta.
