Resumo - Progressão Geométrica.pdf

Wadiley Sousa do Nascimento
Pós-Graduado em Estatística, Matemática e Computação – Ramo
Estatística Computacional
Mobile: +239 980 10 45 / 906 02 00 | Email: wadmiguel547@yahoo.com
PROGRESSÃO
ARITMÉTICA

L. Contabilidade e Auditoria
Métodos Quantitativos I
𝐒𝐮𝐜𝐞𝐬𝐬õ𝐞𝐬, 𝐏𝐫𝐨𝐠𝐫𝐞𝐬𝐬õ𝐞𝐬 𝐞 𝐒é𝐫𝐢𝐞
2
Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: (+239) 980 1045 / 906 0200 E-mail: wadmiguel547@yahoo.com
Imaginemos que analisamos uma célula que, por mitose, se divide
a cada 120 minutos.
Supondo que no início da observação existia apenas uma célula,
como irá variar o número de células ao longo do tempo?
Vamos chamar ao instante em que começámos a observação, instante
t = 0. Para 𝑡 = 0 existia apenas uma célula.
para 𝑡 = 120. Duas horas depois cada uma das células se divide,
resultando em quatro células para 𝑡 = 240, e assim sucessivamente.
Obtemos deste modo uma sequência de valores da população de
células correspondendo a instantes igualmente intervalados,
1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .

𝐏𝐫𝐨𝐠𝐫𝐞𝐬𝐬õ𝐞𝐬𝐀𝐫𝐢𝐭𝐦é𝐭𝐢𝐜𝐚𝐬
3
Def.43: Progressão Aritmética (P. A.): Uma P. A. é uma sequência
em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com
uma constante 𝒓 dada, ou seja, chama-se P. A. uma sequência dada
pela seguinte fórmula de recorrência:
൜
𝒖𝟏 = 𝒂
𝒖𝒏 = 𝒖𝒏−𝟏 + 𝒓, ∀𝒏 ≥ 𝟐 , 𝒏 ∈ ℕ
Repara que, de acordo com a definição, a razão 𝒓 da P. A. é igual à
diferença entre quaisquer dois termos consecutivos:
𝒖𝒏 − 𝒖𝒏−𝟏 = 𝒓
Monotonia (P. A.): A monotonia de uma P. A. é analisada em função
do sinal do 𝒓.

4
Termo Geral (P. A.): O termo geral de P. A., 𝒖𝒏, de razão 𝒓 é dado
por:
𝒖𝒏 = 𝒖𝟏 + 𝒏 − 𝟏 𝒓 | 𝒖𝒏 = 𝒖𝒌 + 𝒏 − 𝒌 𝒓
Dado 𝒏 ∈ ℕ, a sequência 𝒖𝟏, 𝒖𝟐, … , 𝒖𝒏 dos 𝒏 primeiros termos de
uma progressão aritmética chama-se progressão aritmética (finita)
de comprimento 𝒏.
Def.44: Soma dos 𝒏 termos de P. A.: Dado 𝒏 ∈ ℕ, soma dos termos
de uma P. A. de comprimento 𝒏, 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 é dada por:
𝑺𝒏 = ෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒖𝒊 = 𝒏 ∙ 𝒖𝟏 +
𝒏 𝒏 − 𝟏
𝟐
=
𝒖𝟏 + 𝒖𝒏
𝟐
× 𝒏

5
Def.45: Interpolação Aritmética: Interpolar, inserir ou intercalar 𝑘
meios aritméticos entre os números 𝑎 e 𝑏, consiste em obter uma P. A.
de extremos 𝑢1 = 𝑎 e 𝑢𝑛 = 𝑏 , com 𝑛 = 𝑘 + 2 termos.
Para determinar os meios dessa P. A. é necessário calcular a razão de
interpolação, dada por:
𝒓 =
𝒖𝒏 − 𝒖𝟏
𝒌 + 𝟏
Para averiguar se uma sucessão (𝑢𝑛) é uma progressão aritmética,
deve-se seguir os seguintes passos:
i. Determina a diferença 𝒖𝒏 − 𝒖𝒏−𝟏

6
ii. Se a diferença 𝒖𝒏 − 𝒖𝒏−𝟏, for constante, conclui-se que se trata de
uma progressão aritmética.
iii. Se a diferença 𝒖𝒏 − 𝒖𝒏−𝟏, depender de 𝒏, concluímos que não se
trata de uma progressão aritmética.

𝐏𝐫𝐨𝐠𝐫𝐞𝐬𝐬õ𝐞𝐬𝐆𝐞𝐨𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬
7
Def.43: Progressão 𝐆𝐞𝐨𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬 (P. G.): Uma P. G. é uma
sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do
anterior por uma constante 𝒓 dada, ou seja, chama-se P. G. uma
sequência dada pela seguinte fórmula de recorrência:
൜
𝒖𝟏 = 𝒂
𝒖𝒏 = 𝒖𝒏−𝟏 × 𝒓, ∀𝒏 ≥ 𝟐 , 𝒏 ∈ ℕ
Repara que, de acordo com a definição, a razão 𝒓 da P. A. é igual à
diferença entre quaisquer dois termos consecutivos:
𝒖𝒏−𝟏
𝒖𝒏
= 𝒓

8
Monotonia (P. G.): A monotonia de uma P. G. é analisada em função
do sinal do 𝒖𝟏, sendo:
Razão Primeiro Termo, 𝒖𝟏 Monotonia
𝒓 > 𝟏
Positivo, + Crescente
Negativo, − Decrescente
𝟎 < 𝒓 < 𝟏
Positivo, + Decrescente
Negativo, − Crescente
𝒓 < 𝟎
Positivo, +
Não Monótona
Negativo, −
Termo Geral (P. G.): O termo geral de P. G., 𝒖𝒏, de razão 𝒓 é dado
por:
𝒖𝒏 = 𝒖𝟏 ∙ 𝒓 𝒏−𝟏
| 𝒖𝒏 = 𝒖𝒌 ∙ 𝒓 𝒏−𝒌

9
Dado 𝒏 ∈ ℕ, a sequência 𝒖𝟏, 𝒖𝟐, … , 𝒖𝒏 dos 𝒏 primeiros termos de
uma progressão geométrica chama-se progressão geométrica (finita)
de comprimento 𝒏.
Def.44: Soma e Produto dos 𝒏 termos de P. G.: Dado 𝒏 ∈ ℕ, soma
e producto termos de uma P. G. de comprimento 𝒏, é dada por:
𝑺𝒏 = 𝒖𝟏 ×
𝟏 − 𝒓𝒏
𝟏 − 𝒓
=
𝒖𝟏 − 𝒖𝒏 ∙ 𝒓
𝟏 − 𝒓
| 𝑷𝒏 = 𝒖𝟏
𝒏
× 𝒓
𝒏 𝒏−𝟏
𝟐
Se 𝒓 = 𝟏, então 𝑺𝒏 = 𝒏 × 𝒖𝟏, pois 𝑺𝒏 = 𝒖𝟏 + 𝒖𝟏 + 𝒖𝟏 + ⋯ + 𝒖𝟏

10
Def.45: Interpolação Geométricas: Interpolar, inserir ou intercalar 𝑘
meios geométricos entre os números 𝑎 e 𝑏, consiste em obter uma P.
G. de extremos 𝑢1 = 𝑎 e 𝑢𝑛 = 𝑏 , com 𝑛 = 𝑘 + 2 termos.
Para determinar os meios dessa P. G. é necessário calcular a razão de
interpolação, dada por:
𝒓 =
𝒌+𝟏 𝒖𝒏
𝒖𝟏
Para averiguar se uma sucessão (𝑢𝑛) é uma progressão geométrica,
deve-se seguir os seguintes passos:

11
ii. Determina a razão
𝒖𝒏−𝟏
𝒖𝒏
iii. Se a razão
𝒖𝒏−𝟏
𝒖𝒏
, for constante, conclui-se que se trata de uma
progressão geométrica.
iv. Se a razão
𝒖𝒏−𝟏
𝒖𝒏
, depender de 𝒏, concluímos que não se trata de uma
progressão aritmética.

12
Dado 𝒏 ∈ ℕ, a sequência 𝒖𝟏, 𝒖𝟐, … , 𝒖𝒏, … dos 𝒏 + 𝟏 termos de
uma progressão geométrica chama-se progressão geométrica
(infinita) de comprimento 𝒏 + 𝟏.
Def.44: Soma dos 𝒏 termos de P. G.: Dado 𝒏 ∈ ℕ, soma dos termos
de uma P. G. de comprimento 𝒏 + 𝟏, é dada por:
lim
𝒏
𝑺𝒏 = 𝑺
Teor.7: Se 𝒖𝟏, 𝒖𝟐, … , 𝒖𝒏, … é um P. G., tal que −𝟏 < 𝒓 < 𝟏, então
𝑺 = 𝒖𝟏 + 𝒖𝟐 + 𝒖𝟑 + ⋯ + 𝒖𝒏 + ⋯ é dado pela seguinte expressão:
𝑺 = lim
𝒏
𝑺𝒏 =
𝒖𝟏
𝟏 − 𝒓

𝐒é𝐫𝐢𝐞𝐬𝐆𝐞𝐨𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬
13
A noção de série é uma extensão da noção de adição a uma infinidade
de parcelas.
Determinadas sequências geométricas, quando somadas, tendem a um
valor numérico fixo, isto é, a introdução de novos termos na soma faz
com a que a série geométrica se aproxime cada vez mais de um valor,
esse tipo de comportamento é chamado de Série Geo. Convergente.
Def.45: Série: Chamamos série à sucessão de pares ordenados
𝒖𝒏, 𝑺𝒏 , que representamos por:
෍
𝒏=𝟏
∞
𝒖𝒏

14
Se a sucessão, 𝑺𝒏, tiver limite em ℝ, isto é, lim
𝒏
𝑺𝒏 = 𝑺, dizemos que
a série σ𝒏=𝟏
∞
𝒖𝒏 é convergente, e escrevemos
෍
𝒏=𝟏
∞
𝒖𝒏 = 𝑺
Se a sucessão , 𝑺𝒏, é divergente, diremos que a série é divergente.
Def.46: Chama-se natureza de uma série á propriedade que ela tem
de ser convergente ou divergente.
A natureza de uma série não se altera se modificarmos um número
finito dos seus termos.

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Def.47: Série Geométrica: é a série que se obtém quando se tenta
somar os infinitos termos de uma progressão geométrica:
𝒖𝟏 + 𝒖𝟐 + 𝒖𝟑 + ⋯ + 𝒖𝒏 + ⋯ = ෍
𝒏=𝟏
∞
𝒖𝟏 ∙ 𝒓𝒏
As particularidades ou naturezas das Séries Geométricas:
i. Se −1 < 𝑟 < 1 , sabemos que 𝒓𝒏+𝟏 → 𝟎, quando 𝒏 → ∞, de modo
que:
lim
𝒏
𝑺𝒏 =
𝒖𝟏
𝟏 − 𝒓
Logo, quando 𝒓 < 𝟏 a série geométrica é convergente e a sua soma é
𝒖𝟏
𝟏−𝒓

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ii. Se 𝒓 = −𝟏 , 𝑺𝒏 é uma sucessão cujos termos são iguais a 𝒖𝟏 para 𝒏
par e iguais a 𝟎 para 𝒏 ímpar. Esta sucessão não tem limite e,
portanto, a série é divergente.
iii. Se 𝒓 = 𝟏 , 𝑺𝒏 = 𝒖𝟏 + ⋯ + 𝒖𝟏 = 𝒏 + 𝟏 𝒖𝟏 → ±∞ consoante o
sinal de 𝒖𝟏. Como lim
𝒏
𝑺𝒏 não existe, a série geométrica diverge.
iv. Se 𝒓 > 𝟏, sabemos que 𝒓𝒏+𝟏 → ∞, então 𝑺𝒏 não converge e a
série resultante é divergente.

𝐄𝐱𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬
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