Metodos numericos-3-1212530740013750-9

Parte II: Análisis Numérico 1
5. Raíces de ecuaciones
5.1 Métodos cerrados

5.1.1 Métodos Gráficos
Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la
ecuación f(x)=0, consiste en graficar la función y observar donde cruza
el eje x.
Ejemplo: Utilizar gráficas por computadora para localizar las raíces de
f(x) = x3 + x2 -3·x+5
Solución. Utilizando MATLAB,
<< x=0:0.01:5;
<< y=x.^3+x.^2-3*x+5;
<< plot(x,y);
<< grid on;

La gráfica muestra la existencia de varias raíces, incluyendo quizás
una doble raíz alrededor de x=4.2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
x
y

Reduciendo la escala horizontal se obtiene:
» x=4.1:0.001:4.4;
» y=sin(10*x)+cos(3*x);
» plot(x,y);
» grid on;
En efecto, hay dos raíces diferentes entre x=4.23 y x=4.26

5.1.2 El método de bisección
En general, si f(x) es real y continua en el intervalo que va desde xl
hasta xu y f(xl) y f(xu) tienen signos opuestos, es decir
f(xl) f(xu) < 0
entonces hay al menos una raíz real entre xl y xu
El método de bisección, conocido también como de corte binario, de
partición de intervalos o de Bolzano, es un tipo de búsqueda
incremental en el que el intervalo se divide siempre a la mitad. Si el
valor de la función cambia de signo, sobre un intervalo, se evalúa el
valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se
determina situándola en el punto medio del subintervalo, dentro del
cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener
una mejor aproximación.

Paso 1: Elija valores iniciales inferior, xl , y superior, xu , que encierren
la raíz, de forma que la función cambie de signo en el
intervalo. Esto se verifica comprobando que f(xl) f(xu) < 0
Paso 2: Una aproximación de la raíz xl se determina mediante:
Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que
subintervalo está la raíz:
a. Si f(xl) f(xr) < 0 , entonces la raíz se encuentra dentro del
subintervalo inferior o izquierdo. Por tanto, haga xu = xr y
vuelva al paso 2.
b. Si f(xl) f(xr) > 0, entonces la raíz se encuentra dentro del
subintervalo superior o derecho. Por lo tanto, , haga xl = xr y
vuelva al paso 2.
c. Si f(xl) f(xr) = 0, entonces la raíz es igual a xr; termina el cálculo
2
ul
r
xx
x
+
=

Ejemplo Bisección
Planteamiento del problema. Emplee el método de
bisección para resolver la ecuación f(x)=(667.38/x)*(1-exp(-
0.146843 x))-40
Solución.
Primera iteración: xl = 12; xu = 16
xr = (12+16) / 2 = 14
f(12) f(14) = (6.067)(1.569) = 9.517 > 0
No hay cambio de signo entre el límite
inferior y el punto medio. En
consecuencia la raíz debe estar
localizada entre 14 y 16.
Segunda iteración: xl = 14; xu = 16
xr = (14+16) / 2 = 15
f(14) f(15) = (1.569)(-0.425) = -0.666 < 0

Tercera iteración: xl = 14; xu = 15
xr = (14+15) / 2 = 14.5
12 16
14 15
14 16

Criterios de paro y estimaciones de errores
Un criterio objetivo de definir cuándo un método numérico debe
terminar, es estimar el error de forma tal que no se necesite el
conocimiento previo de la raíz. Como se estudió previamente, se
puede calcular el error relativo porcentual εa de la siguiente manera
Cuando εa es menor que un valor previamente fijado εs, termina el
cálculo.
nuevo
r
anterior
r
nuevo
r
a
x
xx −
=ε

Ejemplo Estimación del error en la bisección
Planteamiento del problema. Continuar con el ejemplo
anterior hasta que el error aproximado sea menor que el
criterio de terminación εs = 0.5%.
Solución. Tomando las dos primeras iteraciones,
15; 14
|εa| = | (15-14) / 15 | = 0.0667 ≡ 6.667%
=nuevo
rx =anterior
rx
Iteración xl xu xr εa (%) εt (%)
1 12 16 14 5.279
2 14 16 15 6.667 1.487
3 14 15 14.5 3.448 1.896
4 14.5 15 14.75 1.695 0.204
5 14.75 15 14.875 0.840 0.641
6 14.75 14.875 14.8125 0.422 0.219

FUNCTION Bisect(xl, xu, es, imax, xr, iter, ea)
iter = 0
Do
xrold = xr
xr = (xl + xu) / 2
iter = iter + 1
IF xr ≠ 0 THEN
ea = ABS((xr – xrold)/ xr)*100
END IF
test = f(x1)*f(xr)
IF test < 0 THEN
xu = xr
ELSE IF test > 0 THEN
xl = xr
ELSE
ea = 0
END IF
IF ea < es OR iter ≥ imax EXIT
END DO
Bisect = xr
END Bisect

5.1.3 Método de la falsa posición
Una técnica alternativa al método de bisección, consiste en unir f(xl) y
f(xu) con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje de las
x representa una mejor aproximación de la raíz. El hecho de que se
remplace la curva por una línea recta da una falsa posición de la raíz;
de aquí el nombre de método de la falsa posición, o en latín regula
falsi. También se la conoce como método de interpolación lineal.

f(x)
x
f(xl)
f(xu)
xl xu
xr
Usando triángulos semejantes:
en la cual se despeja xr
Ésta es la ecuación de la falsa
posición. El valor de xr calculado
reemplazará, después, a
cualquiera de los dos valores
iniciales xl o xu
ur
u
lr
l
xx
xf
xx
xf
−
=
−
)()(
)()(
))((
ul
ulu
ur
xfxf
xxxf
xx
−
−
−=

Ejemplo Falsa posición
Planteamiento del problema. Con el método de la falsa
posición determine la raíz de la ecuación f(x)=(667.38/x)*(1-
exp(- 0.146843 x))-40
Solución
Primera iteración: xl=12 f(xl)=6.0699
xu=16 f(xu)=-2.2688
xr=16-(-2.2688(12-16) / …
… (6.0669-(-2.2688)) = 14.9113
Segunda iteración: f(xl) f(xr) = -1.5426 < 0
xl=12 f(xl)= 6.0699
xu=14.9113 f(xu)= -0.2543
xr=14.9113-(-0.2543(12-14.9113) / …
… (6.0669-(-0.2543)) = 14.7942

Ejemplo Un caso en el que la bisección es preferible a la falsa
posición
Planteamiento del problema. Con los métodos de bisección
y falsa posición, localice la raíz de f(x) = x10-1
Solución.
Usando bisección,
Iteración xl xu xr εa(%) εr(%)
1 0 1.3 0.65 100.0 35
2 0.65 1.3 0.975 33.3 2.5
3 0.975 1.3 1.1375 14.3 13.8
4 0.975 1.375 1.05625 7.7 5.6
5 0.975 1.05625 1.015625 4.0 1.6

Con el método de falsa posición
Iteración xl xu xr εa(%) εt(%)
1 0 1.3 0.09430 90.6
2 0.0943 1.3 0.18176 48.1 81.8
3 0.18176 1.3 0.26287 30.9 73.7
4 0.26287 1.3 0.33811 22.3 66.2
5 0.33811 1.3 0.40788 17.1 59.2

f(x)
5
10
15
1
0
x

Falsa posición modificada
Una forma de disminuir la naturaleza unilateral de la falsa posición
consiste en obtener un algoritmo que detecte cuando se estanca uno
de los límites del intervalo. Si ocurre esto, se divide a la mitad el valor
de la función en el punto de estancamiento. A éste método se le llama
método de la falsa posición modificado.

FUNCTION ModFalsePos(xl, xu, es, imax, xr)
iter = 0
fl = f(xl)
fu = f(xu)
DO
xrold = xr
xr = xu-fu*(xl - xu)/(fl - fu)
fr = f(xr)
iter = iter+1
IF xr<>0 THEN
ea = Abs((xr-xrold)/xr)*100
END IF
test = fl * fr
IF test < 0 THEN
xu = xr
fu = f(xu)
iu = 0
il = il+1
IF il ≥ 2 THEN fl = fl / 2
ELSE IF test > 0 THEN
xl = xr
fl = f(xl)
il = 0
iu = iu+1
IF iu ≥ 2 THEN fu = fu/2
ELSE
ea = 0
END IF
IF ea < es OR iter ≥ imax THEN EXIT
END DO
ModFalsePos = xr
END ModFalsePos

Ejercicios
Ejercicio 5.1 Determine las raíces reales de f(x) = -0.4x2 + 2.2x + 4.7:
a. Gráficamente
b. Usando el método de bisección para determinar la raíz más grande.
Emplee como valores iniciales xl=5 y xu=10. Calcule el error
estimado εa y el error verdadero εt para cada iteración.
Ejercicio 5.2 Calcule la raíz real positiva de f(x)=x4-8x3-36x2+462x
1010 utilizando el método de la falsa posición. Use una gráfica para
escoger el valor inicial y realice el cálculo con εs = 1.0 %

Ejercicio 5.3 La concentración de saturación de oxígeno disuelto en agua se
calcula con la ecuación
donde Osf = concentración de saturación de oxígeno disuelto en agua a 1 atm
(mg/L) y Ta = Temperatura absoluta (K). Recuerde que Ta = T + 273.15, donde
T = temperatura (ºC). De acuerdo con ésta ecuación, la saturación disminuye
con el incremento de la temperatura. Para aguas naturales típicas en climas
templados, la ecuación sirve para determinar rangos de concentración de
oxígeno desde 14.621 mg/L a 0ºC hasta 6.949 mg/L a 35ºC. Dado un valor
de concentración de oxígeno, ésta fórmula y el método de bisección son útiles
para resolver la temperatura en ºC.
Si los valores iniciales se fijan en 0 y 35ºC, desarrolle y pruebe un programa de
bisección para determinar T como una función de una concentración de
oxígeno dada. Pruebe el programa para Osf=8, 10 y 14 mg/L. Compruebe sus
resultados
4
11
3
10
2
75
10621949.810243800.110642308.610575701.1
34411.139ln
aaaa
sf
TTTT
O
×
−
×
+
×
−
×
+−=

5.2 Métodos abiertos

5.2.1 Iteración simple de punto fijo
Los métodos abiertos utilizan una fórmula para predecir la raíz. Esta
fórmula puede desarrollarse como una iteración simple de punto fijo
(También llamada iteración de un punto o sustitución sucesiva o
método de punto fijo), al reordenar la ecuación f(x)=0 de tal modo que
x esté del lado izquierdo de la ecuación:
x=g(x)
Por ejemplo, x2-2x+3 = 0, se reordena para obtener
Mientras que sen(x)=0, puede transformarse sumando x a ambos lados
para obtener
x=sen(x)+x
2
32
+
=
x
x

De ésta manera, dado un valor inicial para la raíz xi , la ecuación
anterior puede usarse para obtener una nueva aproximación xi+1,
expresada por la fórmula iterativa
xi+1=g(xi)
El error aproximado se calcula usando el error normalizado:
%100
1
1
+
+ −
=
i
ii
a
x
xx
ε

Ejemplo Iteración simple de punto fijo
Planteamiento del problema. Use una iteración simple de
punto fijo para localizar la raíz de f(x) = e-x - x
Solución.
xi+1=e-xi
i xi εa % ετ %
1 1 100.0 76.3
2 0.367879 171.8 35.1
3 0.692201 46.9 22.1
4 0.500473 38.3 11.8
5 0.606244 17.4 6.89
6 0.545396 11.2 3.83
7 0.579612 5.90 2.20
8 0.560115 3.48 1.24
9 0.571143 1.93 0.705
10 0.564479 1.11 0.399

Convergencia
El error relativo porcentual verdadero en cada iteración del ejemplo
anterior, es proporcional (por un factor de 0.5 a 0.6) al error de la
iteración anterior. Esta propiedad se conoce como convergencia lineal.

f(x)
f(x)
Raíz
Raíz
f(x) = e--xx - x
f1(x) = xf2(x) = e--xx
Un método gráfico alternativo
consiste en separar la ecuación en
dos partes, de esta manera
f1(x)=f2(x)
Entonces las dos ecuaciones
y1 = f1(x) y y2 = f2(x)
se grafican por separado. Así, los
valores de x correspondientes a
Las intersecciones de estas dos
funciones representan las raíces
de f(x)=0

y1 = x
y2= g(x)
x0x1x2
yy
xx
y1 = x
y2= g(x)
x0
yy
xx
y1 = xy2= g(x)
x0
yy
xx
y1 = x
y2= g(x)
x0
yy
xx

FUNCTION Fixpt(x0, es, imax)
xr = x0
iter = 0
DO
xrold = xr
xr = g(xrold)
iter = iter+1
IF xr ≠ 0 THEN
END IF
IF ea < es OR iter ≥ imax EXIT
END DO
Fixpt = xr
END fixpt
100
xr
xroldxr
ea ⋅
−
=

5.2.2 Método de Newton-Raphson
A partir de la expansión en series
de Taylor, se tiene:
que se reordena para obtener
la cual se conoce como fórmula
De Newton Raphson
1
0)(
)('
+−
−
=
ii
i
i
xx
xf
xf
)('
)(
1
i
i
ii
xf
xf
xx −=+
f(x)f(x)
xx
00
f(xf(xii))
xxiixxii+1+1
Pendiente = fPendiente = f ’’(x(xii))

Ejemplo Método de Newton-Raphson
Planteamiento del problema. Utilice el método de Newton
Raphson para calcular la raíz de f(x)=e-x – x empleando
como valor inicial x0 = 0
Solución. La primer derivada de la función es
f ’(x)=-e-x -1
que se sustituye para obtener
1
1
−−
−
−= −
−
+ i
i
x
i
x
ii
e
xe
xx
i xi εt (%)
0 0 100
1 0.500000000 11.8
2 0.566311003 0.147
3 0.567143165 0.0000220
4 0.567143290 < 10-8

Algoritmo
1. Se debe incluir una rutina de graficación en el programa
2. Al final de los cálculos, se necesitará sustituir siempre la raíz final
calculada en la función original, para determinar si el resultado se
acerca a cero. Esta prueba protege el desarrollo del programa
contra aquellos casos en los que se presenta convergencia lenta
u oscilatoria, la cual puede llevar a valores pequeños de εa,
mientras que la solución aún está muy lejos de una raíz.
3. El programa deberá incluir siempre un límite máximo permitido
del número de iteraciones para estar prevenidos contra
soluciones oscilantes, de lenta convergencia o divergentes que
podrían persistir en forma interminable.
4. El programa deberá alertar al usuario para que tome en cuenta la
posibilidad de que f ‘(x) sea igual a cero en cualquier momento
durante el cálculo.

5.2.3 El método de la secante
Un problema potencial en la implementación del método de Newton
Raphson es la evaluación de la derivada. En casos complejos, la
derivada se puede aproximar mediante una diferencia finita dividida
hacia atrás
Sustituyendo en la ecuación
de Newton - Raphson
ii
ii
i
xx
xfxf
xf
−
−
≡
−
−
1
1 )()(
)('
xix i-1
f(x i)
f(x i-1)
)()(
))((
1
1
1
ii
iii
ii
xfxf
xxxf
xx
−
−
−=
−
−
+

Ejemplo El método de la secante
Planteamiento del problema. Con el método de la secante,
calcule la raíz de f(x)=e-x –x. Comience los cálculos iniciales
con los valores x-1=0 y x0 = 1.0.
Solución.
Primera iteración:
x-1=0 f(x-1)=1
x0 =1 f(x0)=-0.63212
x1=1-((-0.63212)(0-1)/(1-(-0.63212)))=0.61270
Segunda iteración
x0=1 f(x0)=-0.63212
x1 =0.61270 f(x1)=-0.07081
x2=0.61270-((-0.0708)(1-0.61270)/(-0.63212- …
… (0.07081))) = 0.56384

Método de la secante modificada
En lugar de considerar dos valores arbitrarios para aproximar la
derivada, un método alternativo considera un cambio
fraccionario de la variable independiente para estimar f’(x),
donde d es un pequeño cambio fraccionario. Ésta aproximación
se sustituya en la ecuación de la secante para obtener la
siguiente expresión iterativa:
i
iii
x
xfxxf
xf
δ
δ )()(
)('
−+
≅
)()(
)(
1
iii
ii
ii
xfxxf
xfx
xx
−+
−=+
δ
δ

Ejercicios
Ejercicio 5.4 Evaluar las raíces de las siguientes ecuaciones
trascendentes
a. sin x - 2exp(-x2) = 0
b. ax - ax = 0 para a = 2, e, or 3
c. ln(1 + x2) – x1/2= 0
d. e-x/(1 + cos x) - 1 = 0

Ejercicio 5.5 Para el flujo turbulento de un fluido a través de un tubo
liso, es posible establecer la siguiente relación entre el factor de
fricción cf y el número de Reynolds Re:
Calcular cf para Re = 104, 105 y 106.

Ejercicio 5.6 Desarrolle una función para calcular el volumen
específico de un gas puro, dada la temperatura y la presión
usando la ecuación de estado de Soave-Redlich-Kwong
Las constantes a y b son obtenidas de las ecuaciones

donde Pc y Tc son la presión crítica y temperatura crítica
respectivamente. La variable α es una función empírica de la
Temperatura
El valor de S es una función del factor acéntrico ω
Las propiedades físicas del n-butano son

y la constante de los gases R es
Calcule el volumen específico del vapor de n-butano a 500 K y en un
rango de presiones de 1 a 40 atm. Compare los resultados
gráficamente con aquellos que se obtienen de la ley de los gases
ideales. ¿Qué conclusión obtiene de ésta comparación gráfica?

Ejercicio 5.7 Repita el ejercicio 5.6 usando las ecuaciones de estado
de Benedict-Webb-Rubin (BWR) y Patel-Teja (PT). Compare
gráficamente los resultados con los obtenidos en el ejercicio 3.
La ecuación de estado de Benedict-Webb-Rubin (BWR) es
donde A0, B0, C0, a, b, c, α, y γ son constante. Donde P está en
atmósferas, V está en litros por mol, y T está en kelvin, Los valores de
las constantes para el n-butano son:

La ecuación de estado de Patel-Teja es
Donde a es función de la temperatura, y, b y c son constantes
donde

y Ωb es la más pequeña de las raíces positivas del polinomio cúbico
F y ζc son funciones del factor acéntrico

Ejercicio 5.8 La ecuación de Underwood para destilación
multicomponente está dada por
donde F = tasa de flujo molar de la alimentación
n = numero de componentes en la alimentación
zjF = fracción molar de cada componente en la alimentación
q = calidad de la alimentación
αj = volatilidad relativa de cada componente en condiciones
promedio de la columna
φ = raíz de la ecuación

Underwood ha demostrado que (n-1) de la raíces de la ecuación se
encuentran entre los valores de las volatilidades relativas como se
Muestra
Evalúe las n-1 raíces de ésta ecuación para el caso mostrado en la
Tabla
F=100 mol/h
q=1 (líquido saturado)

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