2. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam
pemecahan masalah
Standar Kompetensi
Kompetensi
dasar
Indikator
Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan
turunan fungsi
1. Menghitung fungsi yang mengarah ke konsep turunan
2. Menjelaskan arti fisis (sebagai laju perubahan) dan arti
geometri turunan di satu titik.
3. Menghitung turunan fungsi yang sederhana dengan menggu
nakan defenisi turunan.
4. Menentukan sifat-sifat turunan fungsi
5. Menentukan turunan fungsi aljabar dan trigonometri dengan
menggunakan sifat-sifat turunan
6. Menentukan turunan fungsi komposisi dengan aturan rantai
3. h
xfhxf
mPQ
)()( −+
=
h
f(x)h)f(x
m
h
−+
=
→0
lim
Turunan di satu titik
Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema )
a. Garis Singgung
Kemiringan tali busur PQ adalah :
x
f(x) P
X+h
f(x+h)
Q
h
f(x+h)-f(x)
Jika x+h x , maka tali busur PQ
akan berubah menjadi garis singgung
di ttk P dgn kemiringan
4. • b. Kecepatan Sesaat
Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga
posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda
berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h).
h
cfhcf
v ratarata
)()( −+
=−
c
c+h
Perubahan waktu Perubahan
posisi
s
f(c)
f(c+h)
•Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah
5. Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :
Untuk kecepatan sesaat di sembarang tempat dapat
Dituliskan sebagai berikut
Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan
sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu
tema, yaitu turunan :
Definisi :Turunan pertama fungsi f(x) dinotasikan dengan
lambang f’(x) dan didefinisikan sebagai berikut :
h
cfhcf
vv
h
ratarata
h
)()(
limlim
00
−+
==
→
−
→
h
f(x)h)f(x
xf
h
−+
=
→0
lim)('
h
xfhxf
vv
h
ratarata
h
)()(
limlim
00
−+
==
→
−
→
6. Notasi dari turunan fungsi f(x) :
)(),(',
)(
Leibnitzasidisebutnot
dx
dy
bentuk
dx
dy
xy
dx
xdf
0)(lim
)()(
lim
00
=
−
=
−+
→→ h
cc
h
xfhxf
hh
1)(lim
)()(
lim
00
=
−+
=
−+
→→ h
xhx
h
xfhxf
hh
)
)(
(lim
)()(
lim
22
00 h
xhx
h
xfhxf
hh
−+
=
−+
→→
x
h
hxh
h
xhxhx
hh
2
)2(
lim
)2(
lim
0
222
0
=
+
=
−++
=
→→
-. f(x) = x2
Jawab : f’(x) =
Contoh :
Diketahui f(x) tentukan f’(x) jika :
-. f(x) = x
Jawab : f’(x) =
-. f(x) = C
Jawab : f’(x) =
7. -. f(x) = x3
Jawab : f’(x) = h
xhx
it
h
xfhxf
it
hh
))(
lim
)()(
lim
33
00
−+
=
−+
→→
2
22
0
33223
0
3
33(
lim
33
lim x
h
hxhxh
it
h
xhxhhxx
it
hh
=
++
=
−+++
=
−→
-. f(x) = xn
Jawab : f’(x) = h
xhx
it
h
xfhxf
it
nn
hh
))(
lim
)()(
lim
00
−+
=
−+
→→
h
xhhhnxx
it
nnnn
h
−++++
=
−
→
...(...)
lim
21
0
1
11
0
)...(...)(
lim −
−−
→
=
+++
= n
nn
h
nx
h
hhnxh
it
14. Tentukan fungsi turunan pertama dari
)12()1()( 3
+++= xxxxf
1
1
)(
−
+
=
x
x
xf
1
)( 2
−
=
x
x
xf
1
1
)( 2
2
+
−
=
x
x
xf
1)( 3 22/1
++= xxxf1.
2.
3.
4.
5.
15. AO
B
C
D
θ OC= cos θ ; CB= sin θ
Perhatikan gambar di samping.
Misalkan θ=∠AOB adalah sudut pusat lingkaran
dengan jari jari =1.
Sektor COD ≤▲COB ≤ sektor AOB
Sehingga ½ θ cos2
θ ≤ ½ sin θ cos θ ≤ ½ θ .1
Bagi dengan ½ θ cos θ > 0 diperoleh;
θθ
θ
θ
cos
1sin
cos ≤≤
Jika θ→0 maka cos θ→1 sehingga : 1
sin
lim1
0
≤≤
→ θ
θ
θ
it
Sehingga : 1
sin
lim
0
=
→ θ
θ
θ
it
16. xxfxxfa cos)('sin)(. =→=
xxfxxfb sin)('cos)(. −=→=
h
xhx
xf
h
sin)sin(
lim)('
0
−+
=
→
h
hh
x
h
)
2
sin().
2
cos(2
lim
0
+
=
→
.cos
1.cos
x
x
=
=
Bukti:
a. Misal f(x) = sin x maka
)
2
)
2
sin(
).(
2
cos(lim
0 h
h
h
x
h
+=
→
17. b. Misal f(x) = cos x maka
h
xhx
xf
h
cos)cos(
lim)('
0
−+
=
→ h
xhxhx
h
cossin.sincoscos
lim
0
−−
=
→
h
hxhx
h
sinsin)1(coscos
lim
0
−−
=
→ h
h
x
h
h
x
h
sin
sin
)
2
sin(cos
lim
2
0
−
−
=
→
)
sin
sin
4)2/(
)
2
sin(cos
(lim 2
2
0 h
h
x
h
h
h
x
h
−
−
=
→
h
h
x
h
h
h
x
hh
sin
limsin
42/
)2/sin(
limcos
0
2
0)2/( →→
−
−=
x
xx
sin
1.sin0.cos
−=
−=
18. Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh Dengan
menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk
u/v
( ) ( )
dx
d
dx
xd
c
x
x
cos
sin
tan
. = x
xx
2
22
cos
sincos +
=
x2
cos
1
= x2
sec=
( ) ( )
dx
d
dx
xd
d
x
x
sin
cos
cot
. =
x
xx
2
22
sin
cossin −−
=
x2
sin
1−
= x2
csc−=
( ) ( )
dx
d
dx
xd
e
xcos
1
sec
. =
x
x
2
cos
sin
=
xx
x
cos
1
cos
sin
= xx sectan=
( ) ( )
dx
d
dx
xd
f
xsin
1
csc
. = x
x
2
sin
cos−
=
xx
x
sin
1
sin
cos
−= xxcotcsc−=
19. Soal Latihan
Tentukan turunan dari fungsi f(x) berikut ini :
a. f(x) = sin 3x + cos 2x
b. f(x) = x2
sin 2x
c. f(x) = sin2
x
d. f(x) = 3 cos2
x
e. f(x) = tgn x
f. f(x) = tgn2
x
g. f(x) = ½ tan x sin 2x
20. Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika
dx
du
du
dy
dx
dy
=
du
dy
dx
du
dx
dy
)1sin( 2
+= xy
12
+= xu
x
dx
du
2=
uy sin=
u
du
dy
cos=
)1cos(2 2
+= xxxx
dx
dy
2)1cos( 2
+=
Karena
dan ada ,
Contoh 1: Tentukan dari
Jawab :
Misal : sehingga bentuk diatas menjadi
dan
maka
21. Contoh 2 :
Tentukan turunan dari : y = (3x2
+4)4
Jawab :
Misal u=(3x2
+4) maka
Dan y= u4
maka
x
dx
du
6=
3
4u
du
dy
=
sehingga :
dx
du
du
dy
dx
dy
.= = 6x.4u3
= 6x.4(3x2
+4)3
= 24x.(3x2
+4)3
adalah y’= 24x.(3x2
+4)3
Turunan dari y = (3x2+4)4
Jika f(x)= un
maka f’(x)=nu’un-1
22. dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
=
→
→
Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dan
dx
dv
dv
du
du
dy
,, Ada, maka
Contoh 3: Tentukan
dx
dy
)5( 34
+= xSinydari
53
+= xv
2
3x
dx
dv
=
Jawab :
Misal →
u = Sin v )5cos(cos 3
+== xv
dv
du
4
uy = )5(44 333
+== xSinu
du
dy
sehingga
)5()5(12.. 3332
++== xCosxSinx
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
23. ( )y x= −2 3 10
y x= sin3
( )xxy −= 24
4cos
2
1
1
−
+
=
x
x
y
A. Tentukan fungsi turunan pertama dari
y = sin x tan [ x2 + 1 ]
y
x x
x x
=
− +
+ −
2
2
2 5
2 3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
( )y x= −sin 2 1
( )y x= −2 3 4
y
x
x
=
+ 1
( )y x= cos2 π
B. Tentukan turunan kedua dari
1.
2.
3.
4.
24. Untuk menentukan persamaan garis singgung pada kurva.
Telah disinggung didepan bahwa gradien garis singgung pada suatu
Kurva f(x) adalah turunan pertama dari fungsi terebut :
m = f’(x) =
dx
dy
π
3
1
Contoh Soal:
Tentukan nilai gradien garis singgung pada kurva :
a. y = x2
-3x +4 di titik A. ( 2,2 )
b. y = sin x untuk x =
Jawab :
a. y = x2
-3x +4 gradien m = y’ = 2x – 3 di titik ( 2,2 )
m = y’ = 2.2 – 3 = 1
a. y = sin x gradien m = y’ = cos x untuk x =
m = cos = ½
π
3
1
π
3
1
25. Pemakaian Gradien untuk menentukan persamaan garis singgung
Terhadap suatu kurva di titik tertentu .
Misalkan titik P(x1,y1) terletak pada kurfa f(x), maka persamaan
Garis singgung yang melalui titik P pada kurva f(x) dituliskan sbb:
Y – y1 = f’(x) ( x – x1)
Contoh soal :
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3
– 2x + 3
Dititik P(2,7).
Jawab :
Gradien garis singgung = m = f’(x) = 3x2
– 2 di titik ( 2,7) maka
m = f’(x) = 10
Persamaan garis singgungnya ,
Y – y1 = f’(x)(x-x1) yaitu y – 7 = 10 ( x – 2 )
y – 7 = 10 x – 20
y = 20 x - 13
26. Jika l1 garis yang memiliki gradien m1; dan l2 garis yang memiliki
Gradien m2, maka hubungan antara m1 dan m2 terhadap kedudukan
Garis l1 dan l2 adalah sebagai berikut :
Jika l1 sejajar l2 maka nilai m1 = m2 dan
Jika l1 tegak lurus l2 maka nilai m1.m2 = -1
Contoh soal :
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2
– 3x + 2
Yang sejajar terhadap garis y= 3x + 4
Jawab :
Gradien garis singgung = m = f’(x) = 2x – 3 sejajar garis y = 3x + 4
m1 = m2 = 3 maka 2x – 3 = 3 ; x = 3
untuk x = 3 nilai y = 32
– 3.3 + 2 = 2 maka titik singgungnya di ( 3,2)
Persamaan garis singgung yang ditanyakan adalah :
Y – 2 = 3 ( x – 3 )
Y = 3x – 11
27. Selain digunakan untuk menentukan gradien garis singgung,
turunan Juga digunakan untuk menentukan kelajuan. Jika suau
variabel x ada lah fungsi dari waktu laju perubahan x terhadap
waktu dinyatakan Dalam dx/dt.
Contoh soal :
Mobil meluncur dengan membentuk fungsi S = 50 – 3t – 2t2
,
tentukan Kecepatan mobil saat t=3.
Jawab.
Kecepatan = v = dS/dt = -3 – 4t saat t = 3
Maka v = -3 -4.3
= - 15
28. Contoh soal :
Air mengalir keluar dari corong kerucut dengan kelajuan 5 cm3
s-1
Jari-jari dasar corong adalah 10 cm dan tingginya 20 cm. hitung
kelajuan air saat ketinggian air turun berjarak 5 cm dari puncak.
10
20
r
h
O
A B
C D
Segitiga OAB sebangun dengan segitiga OCD
maka r/10 = h/20 sehingga r = ½ h
hrv 2
3
1
π= Karena r = ½ h maka
3
12
1
hv π=
Diketahui dv/dt = 5 cm3
s-1
dt
dh
h
dt
dv 2
4
1
π=
dt
dh
h2
4
1
5 π=
2
20
hdt
dh
π
=
Air berjarak 5 cm dari puncak
Maka air telah turun sejauh
h = 20 – 5 = 15 cm
Maka kelajuan air yang ditanyakan adalah :
πππ .45
4
15.15.
5.4
15
20
2
===
dt
dh
cm3
s-1
29. SOAL LATIHAN
1.Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x)= x4
+ 12x – 5
Di titik ( 1, 11)
2.Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) = 2x3
- 23x – 2
Yang sejajar dengan garis y = x - 7
3.Tentukan pesamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2
– 6x + 4
Yang tegak lurus dengan garis y= ½ x - 5
4.Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berpusat di (0,0)
yang berjari jari 5 dan melalui titik P(3,4).
5.Sebuah beban w diikatkan pada tali sepanjang 15m, yang melewati
Katrol di p berjarak 6m di atas tanah,ujung lain diikatkan pada truk
Dengan jarak 0.5 m dari atas tanah, jika truk bergerak dengan kela
Juan 3ms-s, berapa cepat beban naik jika beban berada 2m diatas
Tanah? Perhatikan gambar dibawah ini. 9-x
y
6-x
x 0.5
