Dokumen tersebut membahas tentang penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar dengan menjelaskan tiga metode yaitu metode cakram, metode cincin, dan metode kulit tabung beserta contoh soalnya.

1. Penggunaan Integral
Volume Benda Putar

2. Pendahuluan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Bola lampu di samping dapat
dipandang sebagai benda
putar jika kurva di atasnya
diputar menurut garis
horisontal. Pada pokok
bahasan ini akan dipelajari
juga penggunaan integral
untuk menghitung volume
benda putar.

3. Pendahuluan Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Suatu daerah jika di putar
mengelilingi garis tertentu sejauh
360º, maka akan terbentuk suatu
benda putar.
Gb. 4
Home NextBack

4. Pendahuluan Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah
bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi
tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda
putar dibagi menjadi :
1. Metode cakram
2. Metode cincin
3. Metode kulit tabung
y
0 x
y
x
0
x
1 2-
2
-
1
y
1
2
3
4
NextBackHome

5. Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Metode cakram yang digunakan dalam
menentukan volume benda putar dapat
dianalogikan seperti menentukan volume
mentimun dengan memotong-motongnya
sehingga tiap potongan berbentuk cakram.
NextBackHome

6. Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Perhatikan daerah di samping
diputar terhadap sumbu-x akan menjadi
gambar yang di bawahnya. Untuk
menghitung volume benda putar yang
terbentuk diambil sebuah partisi yang
tegak lurus terhadap sumbu putar.
Partisi yang diambil berbentuk cakram.
Bentuk cakram di samping dapat
dianggap sebagai tabung dengan jari-jari
R = f(x), tinggi h = ∆x. Sehingga
volumenya dapat diaproksimasi sebagai
∆V ≈ πR2
h atau ∆V ≈ π f(x)2
∆x.
∆x
h=∆x
x
x
y
0 x
y
x
a
)(xf
)(xfR =
NextBackHome

7. Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Dengan cara jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan dalam integral
diperoleh:
V ≈ ∑ π f(x)2
∆x
V = lim ∑ π f(x)2
∆x
dxxf
a
∫=
0
2
)]([v π
∆x
h=∆x
x
x
y
0 x
y
x
a
)(xf
)(xfR =
NextBackHome
dxR
b
a
∫= 2
v π

8. Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2
+ 1,
sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
ContohContoh
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya.
2. Tentukan bentuk
irisannya.
3. Masukkan dalam rumusnya
y
2x
12
+x
∆x
12
+= xy
1
y
h=∆x
x
x
12
+= xR
x
JawabJawab
NextBackHome

9. Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
y
h=∆x
x
x
12
+= xR
dxxV ∫ +=
2
0
22
)1(π
dxxxV ∫ ++=
2
0
24
)12(π
[ ]2
0
3
3
25
5
1 xxxV ++=π
ππ 15
11
3
16
5
32 13)02( =−++=V
NextBackHome
dxxfV ∫=
2
0
2
))((π
dxRV ∫=
2
0
2
π

10. Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2
,
sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
ContohContoh
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Tentukan bentuk irisannya.
3. Masukkan dalam rumusnya
2
y
∆y
2
xy =
x
y
y
x
y
h=∆y
y
yR =
JawabJawab
NextBackHome

11. Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
dyyV ∫=
2
0
π
[ ]2
0
2
2
1
yV π=
)04(2
1
−×= πV
x
y
h=∆y
y
yR =
2
dyyV ∫=
2
0
π
π2=V
NextBackHome
dyyfV ∫=
2
0
2
))((π
Karena diputar terhadap sumbu-y maka integralnya dalam fungsi x=f(y)

12. Metode Cincin Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Metode cincin yang digunakan dalam
menentukan volume benda putar
dapat dianalogikan seperti
menentukan volume bawang bombay
dengan memotong-motongnya yang
potongannya berbentuk cincin.
NextBackHome

13. Metode Cincin Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Menghitung volume benda putar
dengan menggunakan metode
cincin dilakukan dengan
memanfaatkan rumus volume
cincin seperti gambar di samping,
yaitu V= π(R2
– r2
)h
h
r
R
Gb. 5
NextBackHome

14. Metode Cincin Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2
dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
ContohContoh
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Tentukan bentuk
irisannya.
3. Masukkan dalam rumusnya
4
y
y = 2x
2
2
xy =
x
∆x
x
x2
2x
y
x
JawabJawab
NextBackHome

15. Metode Cincin Volume Benda PutarVolume Benda Putar
y
x
4
y
y = 2x
2
2
xy =
x
∆x
x
r=x2
R=2x
dxxxV ∫ −=
2
0
42
)4(π
[ ]2
0
5
5
13
3
4 xxV −=π
)(
5
32
3
32 −=πV
)(
15
96160−= πV
π15
64=V
NextBackHome
dxrRV
b
a
∫ −= )( 22
π
dxxxV ∫ −=
2
0
422
))()2((π

16. Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Metode kulit tabung yang digunakan
untuk menentukan volume benda putar
dapat dianalogikan seperti menentukan
volume roti pada gambar disamping.
NextBackHome

17. Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar
∆r
r
h
h
2πr
Δr
V = 2πrhΔr
NextBackHome

18. Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2
, garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
ContohContoh
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Tentukan bentuk irisannya.
3. Masukkan dalam rumusnya
0
x
1 2
x
∆x
2
xy =
x2
y
1
2
3
4
JawabJawab
NextBackHome

19. Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar
0
x
1 2
x
∆x
2
xy =
x2
y
1
2
3
4
r = x
∆x
h = x2
0
x
1 21 2
y
1
2
3
4
dxxV ∫=
2
0
3
2π
[ ]
2
0
4
4
12 xV π=
π8=V
NextBackHome
dxhrV
b
a
∫= .2π
dxxxV ∫=
2
0
2
.2π

20. Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Jika daerah pada contoh sebelumnya dipartisi secara horisontal dan
sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut
membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode
cincin adalah sebagai berikut.
0
x
1 2-2 -1
y
1
2
3
4
( ) dxyV ∫ −=
4
0
4π
[ ]
4
0
2
2
14 yyV −=π
π)816( −=V
π8=V
0
x
1 2
x
2
xy =
y
1
2
3
4
∆y
r=x
R = 2
Home Back Next
dxrRV
b
a
∫ −= )( 22
π

21. Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
sebesar 360°. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang
menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
sebesar 360°. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang
menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....
A
B
C
D
E
SoalSoal 55..
∫=
4
0
dxxv π
∫=
4
0
2
dxxv π
∫=
4
0
2 dxxxv π
∫ −=
2
0
)16(2 dyyv π
∫=
2
0
dyyv π
0 X
Y
Xy =
4
2
Home Back Next

22. Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebesar 360°. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebesar 360°. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 6.Soal 6.
4π satuan volum
6π satuan volum
8π satuan volum
12π satuan volum
15π satuan volum
0 X
Y
Xy =
4
2
Home Back Next