2. PD LINIER ORDE N
Bentuk umum persamaan diferensial linier biasa orde ke-n adalah :
Dengan notasi operator diferensial,
persamaan diferensial dapat ditulis menjadi,
)()()()(...)(1)( 12
)1()( xryxayxayxayxayxa o
n
n
n
n
)()]()()(...)(1)(( 1
2
2
1 xryxaDxaDxaDxaDxa o
n
n
n
n
)(
,..., n
n
n
n
y
dx
yd
yDy
dx
dy
Dy
Klasifikasi PD Linier Orde n
(1) PD Linier Orde n Koefisien Konstan Homogen
(2) PD Linier Orde n Koefisien Konstan Non Homogen
(3) PD Euler – Chauchy Orde Dua (Koefisien variabel) Homogen
(4) PD Euler – Chauchy Orde Dua (Koefisien Variabel) Non Homogen
3. PD LINIER ORDE-2 KOEF Konstan Homogen
Bentuk umum PD Linier Orde 2
Koefisien Konstan Homogen
adalah,
ay″ + by′ + cy = 0
Basis solusinya adalah,
Substitusikan,
ke PD semula dihasilkan,
Karena, , maka
diperoleh hasil :
Persamaan ini disebut dengan
persamaan karakteristik
x
ey
xxx
eyeyey 2
,,
0)( 2
x
ecba
,0xe
02 cba
Kasus 1. D=b2 – 4ac > 0,akar-akar
PK, 1 2. solusi PD adalah,
Akar-akar PK adalah,
a
acbb
2
42
12
xx
ececy 21
21
Kasus 2. D=b2 – 4ac = 0,akar-akar
PK, 1= 2=, solusi PD adalah,
xx
xececy
21
Kasus 3. D=b2 – 4ac < 0,akar-akar
PK, 12= i, solusi PD adalah,
xecxecy xx
sincos 21
10. PD Linier Orde-n Koefisien Konstan Homogen
Persamaan diferensial linier orde tingg homogen dengan koefisien konstan
adalah persamaan diferensial yang dapat dinyatakan dalam bentuk,
dimana, koefisien-koefisien an,…, a1, a0, adalah konstan, dengan an ≠ 0.
Dengan menggunakan notasi operator diferensial,
Persamaan diferensial dapat ditulis menjadi,
Dengan mensubstitusikan,
diperoleh persamaan karakterisitik,
0... 012
)1(
1
)(
yayayayaya n
n
n
n
)(
2
2
2
,...,,, n
n
n
n
y
dx
yd
yDy
dx
yd
yDy
dx
dy
Dy
dx
d
D
0)...( 01
2
2
1
1
yaDaDaDaDa n
n
n
n
xnnxx
eyeyey )(
,...,,
0...
0...
01
2
2
1
1
01
2
2
1
1
aDaDaDaDa
aaaaa
n
n
n
n
n
n
n
n
atau
11. Kasus 1. Akar-2 Riil berbeda,
Bila semua akar-2 PK riil berbeda
tidak berulang, yaitu :
maka solusi PD adalah,
Contoh :
Carilah solusi PD
y′′′ – 2 y′′ – 5 y′ + 6y = 0
atau,
(D3 – 2D2 – 5D + 6)y = 0
Jawab
Persamaan karakteristik,
atau
D3 – 2D2 – 5D + 6= 0
x
n
xx necececy
...21
21
,,...,, 2211 nnDDD
0652 23
0652 23
Akar-akar PK
xxx
ecececy 2
3
3
21
321
2
2,3,1
0)2)(3)(1(
0)6)(1(
PDSolusi
20. PD LINIER ORDE N NON HOMOGEN
Persamaan diferensial linier orde tinggi non homogen dengan koefisien
konstan adalah,
atau,
Penyelesaian umum dari persamaan diferensial diatas adalah :
y = yh + yp
dimana,
adalah penyelesaian persamaan homogen, dan,
yp penyelesaian khusus yang berkaitan dengan fungsi r(x).
)(... 012
)1(
1
)( xryayayayaya n
n
n
n
)()(
)()...( 01
2
2
1
1
xryDL
xryaDaDaDaDa n
n
n
n
nn
x
n
xxx
h
ycycycyc
ececececy n
...
...
332211
321
321
21. Metode menentukan solusi yp
Metode Variasi Parameter
Metode Koefisien Tak Tentu
Metode Invers Operator (Cara
integrasi maupun dengan metode
singkat)
Metode Transformasi Laplace
(terkait masalah syarat batas)
22. METODE KOEFISIEN TAK TENTU
Aturan Dasar
Bila r(x) pada kolom pertama bukan solusi yh, pilihlah yp yang sesuai pada
kolom kedua, dan koefisien-koefisien tak tentunya diperoleh dengan
mensubstitusikan yp dan turunan-turunannya kedalam PD diferensial
semula.
Aturan Kedua.
Bilamana yp yang terpilih pada langkah pertama - aturan dasar, merupakan
penyelesaian umum dari yh kalikanlah yp yang semula terpilih dengan x
(atau x2) dan konstanta koefisien taktentunya diperoleh dengan cara seperti
pada langkah pertama.
Aturan Ketiga.
Bilamana r(x) merupakan penjumlahan dari beberapa fungsi pada kolom
pertama, pilihlah yp yang merupakan penjumlahan fungsi-fungsi yang
sesuai pada kolom kedua pada tabel dan konstanta koefisien taktentunya
diperoleh dengan cara seperti pada langkah pertama.
23. Tabel Aturan Dasar
-----------------------------------------------------
r(x) yp
-----------------------------------------------------
-----------------------------------------------------
-----------------------------------------------------
sin bx A cos bx + B sin Bx
cos bx A cos bx + B sin bx
----------------------------------------------------
o
n
n
n
n
n
xx
kxkxkxkx
kee
1
1
1 ...
Langkah-langkah
menentukan yp
1. Langkah pertama.
Tentukanlah penyelesaian
umum persamaan diferensial
homogen.
2. Langkah kedua.
Selidilikah apakah r(x)
merupakan penyelesaian dari
yh, jika tidak gunakan aturan
pertama, dan jika r(x)
merupakan penyelesaian umum
bagi yh, gunakan aturan kedua.
3. Langkah ketiga.
Tentukanlah konstanta-
konstanta dari yp, yang
memenuhi kondisi-kondisi
tersebut.
24. Contoh :
Carilah penyelesaian PD,
y″ + 4y = 12x3 + 16x2 – 6x
Jawab
Solusi PD homogen
PDH, y″ + 4y = 0
PK, λ2 + 4 = 0,
APK, λ12 = 2i
Maka,
yh = c1 cos 2x + c2 sin 2x
Solusi yp
r(x) = 12x3 + 16x2 – 6x
r(x) yh
Maka yp terpilih adalah,
yp= ax3 + bx2 + cx + d
Mengingat,
Jika yp dan turunannya disubstitusikan
ke PD, dihasilkan :
Dengan menyamakan koefisien
diperoleh a=3, b =4, c= –6, d= –2
Jadi,
yp= 3x3 + 4x2 – 6x – 2
Solusi PD
y = c1 cos 2x + c2 sin 2x
+ 3x3 + 4x2 – 6x – 2
baxy
cbxaxy
dcxbxaxy
p
p
p
26
23 2
23
xxx
dbxcabxax
xxxyy pp
61612
)42()46(44
616124
23
23
23
25. Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
y″ – 4y′ + 5y = 65 cos 2x
Jawab
Solusi yh
PD H, y″ – 4y′ + 5y = 0
PK λ2 – 4 + 5 = 0
APK,
xecxecy
i
xx
h sincos
2
)1(2
2016)4(
2
2
2
1
PDHSolusi
Solusi yp
r(x) = 65 cos 2x, r(x) yh
Maka yp terpilih adalah,
yp = a cos 2x + b sin 2x
Mengingat,
Jika yp dan turunannya disubstitusikan
ke PD, dihasilkan :
Dengan menyamakan koefisien
diperoleh a=1, b = –8,
Jadi,
yp= cos 2x – 8 sin 2x
Solusi PD
xbxay
xbxay
xbxay
p
p
p
2sin42cos4
2cos22sin2
2sin2cos
xxbaxba
xyyy ppp
2cos652sin)8(2cos)2(
2cos6554
xx
xecxecy xx
2sin82cos
sincos 2
2
2
1
26. Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
y′′′ – 2y′′ – 5y′ + 6y = 12e2x – 8ex
Jawab
Solusi yh
PD H, y′′′ – 2y′′ – 5y′ + 6y = 0
PK, λ3 – 2λ2 – 5 + 6 = 0
APK, (λ – 1)( λ – 3)(λ + 2) = 0
λ =1, λ = 3, dan λ = –2
Solusi yh
xxx
h ecececy 2
3
3
21
Solusi yp
r(x) = 12e2x – 8ex
Terdapat, r(x) = yh
Maka yp terpilih adalah,
yp = ae2x + kxex
Mengingat,
Jika yp dan turunannya disubstitusikan
ke PD semula, dihasilkan :
Dengan menyamakan koefisien
diperoleh a= –3, k=8/6 = 4/3
Jadi,
xx
p
xx
p
xx
p
xx
p
ekxkaey
ekxkaey
ekxkaey
kxeaey
)3(8
)2(4
)(2
2
2
2
2
xxxx
xx
pppp
eebeae
eeyyyy
81264
812652
22
2
xxxxx
xx
p
exeecececy
exey
22
3
3
21
2
3
3
4
3
3
4
27. Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
y′′′ – 5y′′+ 8y′– 4y = 18e2x+12xe2x
Jawab
Solusi yh
PD H, y′′′ – 5y′′ + 8y′ – 4y = 0
PK, λ3 – 5λ2 + 8 – 4 = 0
APK, (λ – 1)( λ – 2)(λ – 2) = 0
λ1 =1, λ2=λ3 = 2
Solusi yh
xxx
h xecececy 2
3
2
21
Solusi yp
r(x) = 18 e2x + 12xe2x, r(x) = yh
Maka yp terpilih adalah,
yp = ax2e2x + bx3e2x
Mengingat,
Jika yp dan turunannya disubstitusikan
ke PD semula, dihasilkan :
Dengan menyamakan koefisien
diperoleh a=3, b=2
Jadi,
yp = 3x2e2x + 2x3e2x
x
x
p
x
x
p
x
p
x
p
ebxxba
exbabay
ebx
exbaxbaay
ebxxbaaxy
ebxaxy
232
2
23
22
232
232
]8)368[(
])3624(612[
]4
])124()68(2[
]2)32(2[
)(
xxxx
xx
pppp
xeebxeeba
xeeyyyy
2222
22
12186)62(
1218485
28. Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
y′′′ – 4y′′+ 4y′– 4y = 80 cos 2x
Jawab
Solusi yh
PD H, y′′′ – 4y′′ + 4y′ – 4y = 0
PK, λ3 – 4λ2 + 4 – 4 = 0
APK, (λ – 1)( λ2 + 4) = 0
λ1 =1, λ23 = 2i
Solusi yh
xcxcecy x
h 2sin2cos 321
Solusi yp
r(x) = 80 cos 2x, r(x) = yh
Maka yp terpilih adalah,
yp = x(a cos 2x + b sin 2x)
Mengingat,
Jika yp dan turunannya disubstitusikan
ke PD semula, dihasilkan :
Dengan menyamakan koefisien
diperoleh a= –2, b = – 4
Jadi,
xbaxxbxay
xbxaxbaxy
xbaxxbxay
xbxxaxy
p
p
p
p
2sin)128(2cos)812(
2sin)44(2cos)44(
2sin)2(2cos)2(
2sin2cos
x
xbaxba
xyyyy pppp
2cos80
2sin)816(2cos)168(
2cos80444
xxcxxcecy x 2sin)4(2cos)2( 321
PDSolusi
xxxxyp 2sin42cos2
30. METODE VARIASI PARAMETER
Persamaan diferensial linier non homogen orde tinggi non homogen
dengan koefisien fungsi dari x diberikan oleh :
Penyelesaian umum persamaan diferensial non homogen adalah :
y = yh + yp
dimana,
adalah penyelesaian umum persamaan homogen, dan
yp, penyelesaian khusus yang berkaitan dengan r(x).
Menurut metode variasi parameter penyelesaian khusus, yp, diberikan
dimana, y1, y2, y3,…, dan yn merupakan basis-basis penyelesaian
persamaan homogen, dan u1, u2,…, dan un adalah fungsi-fungsi dari x,
yang diperoleh dari,
)()()()(...)()( 012
)1(
1
)( xryxayxayxayxayxa n
n
n
n
nnh ycycycycy ...332211
nnp yuyuyuyuy ...332211
32. Contoh :
Carilah penyelesaian umum PD,
y″ – 3y’ + 2y = e3x
Jawab
Solusi PDH
PDH : y″ – 3y’ + 2y= 0
PK : λ2 – 3λ+ 2 = 0,
(λ – 1)(λ – 2) = 0
APK : : λ = 1, λ = 2
Solusi yh = c1ex+c2e2x
xx
p
eueu
yuyuy
2
21
2211
pySolusi
Fungsi u1, u2 diperoleh dari :
xxx
xx
eu
u
ee
ee
3
2
1
2
2 0
2
x
xxxx
p
xx
xx
x
xx
x
x
xx
x
x
xx
xx
e
eeeey
eeu
edxeu
e
ee
e
W
e
ee
e
W
e
ee
ee
W
3
22
2
22
1
4
32
5
23
2
1
3
2
2
2
1
))((
2
1
2
1
Jadi,
0
2
0
2
Mengingat,
33. Contoh :
Carilah penyelesaian umum PD,
y″ + 4y = sin 2x
Jawab
Solusi PDH
PDH : y″ + 4y = 0
PK : λ2 + 4 = 0,
APK : : λ = 2i
xcxcyh 2sin2cos 21
hySolusi
xuxu
yuyuyp
2sin2cos
ySolusi
21
2211
p
Fungsi u1, u2 diperoleh dari :
xxxx
xxxxy
xdxxxu
xxxdxxu
xx
xx
x
W
x
xx
x
W
xx
xx
W
p
2cos
8
1
2sin2cos
8
1
2cos
8
1
2sin2cos
8
1
2cos
8
1
2sin2cos
2
1
8
1
2sin2cos
8
1
2sin
2
1
Jadi,
2sin2cos
2sin2sin2
02cos
2sin
2cos22sin
2sin0
2
2cos22sin2
2sin2cos
Mengingat,
2
2
2
2
1
2
2
1
xu
u
xx
xx
2sin
0
2cos22sin2
2sin2cos
2
1
34. Contoh :
Carilah penyelesaian umum PD,
y″ – 4y’ + 4y = e2x lnx
Jawab
Solusi PDH
PDH : y″ – 4y + 4y = 0
PK : λ2 – 4λ + 4 = 0,
APK : : λ12 = 2
xx
p
xx
h
xeueuy
xececy
2
2
2
1
2
2
2
1
p
h
ySolusi
ySolusi
Fungsi u1, u2 diperoleh dari :
xeu
u
exe
xee
xxx
xx
ln
0
)21(2
2
2
1
22
22
xx
x
x
p
x
xx
x
x
xx
x
x
xx
xx
exxex
xexxx
exxxy
xxxdxxu
xxxdxxxu
xe
xee
e
W
xxe
exxe
xe
W
e
exe
xee
W
2222
2
222
2
22
1
4
22
2
2
4
22
2
1
4
22
22
4
3
ln
2
1
)ln(
4
1
ln
2
1
lnln
4
1
ln
2
1
ln
ln
ln2
0
ln
)21(ln
0
)21(2
Jadi,
Mengingat,
35. Contoh :
Carilah penyelesaian umum PD,
x2y″ – 4xy + 6y = x3 lnx
Jawab
Solusi PDH
PDH : x2y″ – 4xy + 6y = 0
PK : m2 – 5m + 6 = 0,
APK : m1=2, m2=3
Solusi
yh = c1x2 + c2x3
Solusi yp
yp= u1x2 + u2x3
dimana u1 dan u2 diperoleh dari
2
3
2
1
2
32
ln
0
32
x
xx
u
u
xx
xx
2333
322
2
4
3
2
4
4
1
3
2
2
4
2
3
1
4
2
32
)(ln
2
1
ln
)(ln
2
1
)ln(
)(ln
2
1ln
lnln
ln
Jadi,
ln
ln2
0
ln
3ln
0
32
Mengingat,
xxxxx
xxxxxxy
xdx
x
xx
u
xxxxdxdx
x
xx
u
xx
xxx
x
W
xx
xxx
x
W
x
xx
xx
W
p
36. Contoh :
Carilah penyelesaian umum PD,
x2y″ –5xy + 9y = x3 lnx
Jawab
Solusi PDH
PDH : x2y″ – 5xy + 9y = 0
PK : m2 – 6m + 9 = 0,
APK : m1=m2=3
Solusi
yh = c1x3 + c2x3 ln x
Solusi yp
yp= u1x3 + u2x3 ln x
dimana u1 dan u2 diperoleh dari
2
3
2
1
222
33
ln
0
ln33
ln
x
xx
u
u
xxxx
xxx
33
3233
2
5
4
2
3
2
1
4
2
3
2
24
22
3
1
5
222
33
)(ln
6
1
ln)(ln
2
1
)(ln
3
1
)(ln
2
1ln
)(ln
3
1)(ln
Jadi,
ln
ln3
0
)(ln
ln3ln
ln0
ln33
ln
Mengingat,
xx
xxxxxy
xdx
x
xx
u
xdx
x
x
u
xx
xxx
x
W
xx
xxxxx
xx
W
x
xxxx
xxx
W
p
37. Soal-soal latihan
1. y′′ – 2y′ + y = xexln x
2. y′′ – 4y′ + 4y = (1/x)e2x
3. y′′ + y = sec x tan x
4. y′′ + 2y′ + y = x2e−xln x
5. y′′ – 4y′ + 5y = e2x sec x
6. y′′ – 2y′ + y = (1 + 2x)ex
7. y′′ – 2y′ + 2y = ex sec x
8. y′′ + 4y = 10 cos 2x
9. y′′ + y = sec3x
10.y′′ + 4y = sin22x
11.x2y′′ – xy′ – 3y = x3ln x
12.2x2y′′ – 5xy′ + 4y = x4
13.x2y′′ + 4xy′ – 4y = x4
14.x2y′′ – xy′ + y = (x2 + x) ln x
15.4x2y′′ – 8xy′ + 9y = x3/2 ln x
16.4x2y′′ + y = x1/2 ln x
17.2x2y′′ + xy′ – 3y = x–3
18.x2y′′ + 2xy′ – 6y = x3 + x2
19.x2y′′ – 3xy′ + 4y = x2 lnx
20.x2y′′ + 5xy′ + 4y = x–2 ln x
38. METODE INVERS OPERATOR
Persamaan diferensial linier orde
tinggi non homogen dengan
koefisien konstan adalah,
Penyelesaian umum dari
persamaan diferensial diatas
adalah
y = yh + yp.
Dengan metode invers operator
solusi yp diberiken oleh :
)()(
)()...( 01
xryDL
xryaDaDa n
n
)(
)(
1
xr
DL
yp
Kasus n=1
Untuk n = 1, penyelesaian khusus PD
(D – )y = r(x),
diberikan oleh :
dxxreexr
D
y xx
p )()(
1
Kasus n=2
Untuk n = 2, penyelesaian khusus PD
(D – 2)(D – 1)y = r(x),
diberikan oleh :
dxdxxreeee
dxxree
D
xr
DD
y
xxxx
xx
p
)(
)(
1
)(
))((
1
1122
11
2
12
39. Secara umum penyelesaian khusus dari PD berbentuk,
adalah,
dxdxxreeee
DDD
dxxree
DDD
xr
DDDD
y
xryDL
xryDDDD
xxx
nn
xx
nn
nn
p
nn
x
)(
))...(1)((
1
)(
))...(1)((
1
)(
))()...(1)((
1
)()(
)()])()...(1)([(
1
1
22
11
3
2
12
12
Dengan mengintegralkan sebagian demi sebagian, fungsi penyelesaian
khusus yp diberikan oleh,
dxdxdxxreeeeeey xxxxxx
p
nn ...)(... 1122
41. Contoh :
Carilah penyelesaian umum PD,
(D2 – 3D + 2)y = e2x cos 2x
Jawab
Solusi homogen
PDH : (D2 – 4D + 4)y = 0
PK : D2 – 3D + 2 = 0
(D – 1)(D – 2) = 0
APK : D1 = 1, D2 = 2
xe
DD
xe
DD
y
ececy
x
x
p
xx
h
2cos
)2)(1(
1
2cos
)23(
1
2
2
2
2
21
ypSolusi
ySolusi h
)2cos22(sin
10
1
)2sin2cos2(
5
1
2
1
2sin
2
1
)2sin(
2
1
2sin
2
1
1
1
2cos
1
1
2cos
1
1
22
21
2
2
2
222
xxeececy
xxee
dxxee
dxxeee
xe
D
dxxe
D
dxxeee
D
y
xxx
xx
xx
xxx
x
x
xxx
p
PDsolusiJadi,
42. Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
(D3 – 5D2 + 8D – 4)y= (18+12x)e2x
Jawab
Solusi yh
PD H, (D3 – 5D2 + 8D – 4)y= 0
PK D3 – 5D2 + 8D – 4 = 0
APK, (D – 1)(D – 2)(D – 2) = 0
D1 =1, D2=D2 = 2
Solusi yh
dxexee
D
ex
DD
y
xecececy
xxx
x
p
xxx
h
2
2
2
2
2
3
2
21
)1218(
)2(
1
)1218(
)1()2(
1
ypSolusi
xx
x
xxx
x
xxx
xx
xx
p
exxxccecy
xxe
dxxxeee
xxe
D
dxxeee
D
exe
D
dxxee
D
y
232
321
322
2222
22
222
2
2
)23(
)23(
)66(
)66(
)2(
1
)126(
)2(
1
])126[(
)2(
1
)1218(
)2(
1
PDumumSolusi
ypSolusi
43. METODE SINGKAT INVERS OPERATOR
Rumus 1. r(x) = eax dan L(a) ≠ 0
Andaikan diberikan PD
L(D)y = eax
Untuk menentukan solusi yp,
tulis PD menjadi
ax
p
ax
e
aL
y
aL
e
DL
y
)(
1
,0)(
)(
1
:makaJika
xxx
xx
x
p
xx
h
eececy
ee
e
DD
y
ececy
32
21
33
2
3
2
2
21
2
1
2
1
2)3(3)3(
1
)23(
1
PDumumSolusi
ypSolusi
ySolusi h
Contoh :
Carilah penyelesaian umum PD,
(D2 – 3D + 2)y = e3x
Jawab :
44. Rumus 2.a. r(x) = eax
L(a)=0, L(a)0
Andaikan diberikan PD
L(D)y = eax
Untuk menentukan yh tulis PD
menjadi,
ax
p
ax
e
aL
xy
aL
aL
e
DL
y
)(
1
,0)(
,0)(
)(
1
:maka
danJika
Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
(D3 – 5D2 + 8D – 4)y = 18 ex
Jawab
Solusi yh
xxxx
xx
x
x
p
xxx
h
xexecececy
xeex
e
DD
x
Le
DDD
y
xecececy
18
18
8)1(10)1(3
1
18
8103
1
18
0)1(,18
485(
1
2
3
2
21
2
2
23
2
3
2
21
PDumumSolusi
ypSolusi
45. Rumus 2.b. r(x) = eax,
L(a)=L(a)=0, dan L(a)0
Andaikan diberikan PD
L(D)y = eax
Untuk menentukan yp, tulis
PD menjadi,
ax
p
ax
e
aL
xy
aL
aLaL
e
DL
y
)(
1
0)(
,0)(,0)(
)(
1
2
:maka
danJika
Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
(D3 – 5D2 + 8D – 4)y = 18 e2x
Jawab
Solusi yh
xxxx
xx
x
x
p
xxx
h
exxecececy
exe
D
x
Le
DD
x
Le
DDD
y
xecececy
222
3
2
21
222
2
2
2
23
2
3
2
21
36
10)2(6
1
18
106
1
18
0)2(,
8103
1
18
0)2(,18
485(
1
PDumumSolusi
ypSolusi
46. Rumus 2.c. r(x) = eax,
L(a)=L(a)=...=L(m–1)=0,
dan Lm(a)0
Andaikan diberikan PD
L(D)y = eax
Untuk menentukan yp, tulis
PD menjadi,
ax
m
m
p
m
ax
e
aL
xy
aL
aLaLaL
e
DL
y
)(
1
,0)(
,0)(...)()(
)(
1
)(
)1(
:maka
dan
Jika
Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
(D – 1)(D – 2)3 y = e2x
Jawab
Solusi yh
xx
xx
x
x
x
p
xx
h
exxcxccecy
exe
D
x
Le
DD
x
Le
DD
x
Le
DD
y
excxccecy
232
4321
2323
22
2
2
2
3
22
4321
6
1
6
1
)4224
1
0)2(,
)96)(2(2
1
0)2(,
)54()2(
1
0)2(,
)2)(1(
1
)(
PDumumSolusi
ypSolusi
47. Rumus 3.a. r(x) = cos bx,
r(x) = sin bx
L(-b2)0
Andaikan diberikan PD
Untuk menentukan yp, tulis
PD menjadi,
bx
bx
yDL
sin
cos
)(
bx
bx
bL
y
bL
bx
bx
DL
y
p
sin
cos
)(
1
,0)(
sin
cos
)(
1
2
2
makaJika,
Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
(D2 – 4D + 5)y = 65 cos 2x
Jawab
xx
xx
xD
D
x
D
D
D
x
D
bx
DD
y
excxcy
p
x
h
2sin82cos
)2cos2sin8(
)1)4(16
65
2cos)14(
)116(
65
2cos
)14(
14
)14(
65
2cos
544
65
4,2cos
54
65
)sincos(
2
2
2
2
21
ypSolusi
Solusi
48. Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
(D3 – D2 – 4D + 4)y = sin 2x
Jawab
Solusi homogen
PDH : (D3 – D2 – 4D + 4)y = 0
PK : D3 – D2 – 4D + 4 = 0
APK : D1=1, D2 = –2, D3=2
x
D
x
DD
bx
DDD
y
ecececy
p
xxx
h
2sin
88
1
2sin
44)4()4(
1
4,2sin
44
1 2
23
2
3
2
21
ypSolusi
yhSolusi
)2sin2cos2(
40
1
)2sin2cos2(
40
1
)2sin2sin(
)14(8
1
2sin)1(
)1(8
1
2sin
)1(
1
)1(8
1
2
3
2
21
2
xx
ecececy
xx
xxD
xD
D
x
D
D
D
y
xxx
p
PD,umumSolusi
49. Rumus 3.b. r(x) = cos bx,
r(x) = sin bx
L(-b2)=0
Andaikan diberikan PD
Untuk menentukan yp, tulis
PD menjadi,
bx
bx
yDL
sin
cos
)(
ibx
ibx
p
e
DL
e
DL
y
bL
bx
bx
DL
y
)(
1
Im
)(
1
Re
,0)(
sin
cos
)(
1
2 makaJika,
Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
y′′+ 4y = sin 2x
Jawab
xxy
xixi
xe
i
i
i
x
e
i
xe
D
x
biLe
D
Lx
D
y
xcxcy
p
ix
ixix
ix
p
h
2cos
4
1
4
)2sin2(cos
Im
4
1
Im
)2(2
1
Im
2
1
Im
0)(,
4
1
Im
0)2(,2sin
4
1
2sin2cos
2
22
2
2
2
2
21
ypSolusi
Solusi
50. Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
(D3 – 4D2 + 4D– 4)y = 80 cos 2x
Jawab
Solusi yh
PDH : (D3 – 4D2 + 4D– 4)y = 0
PK, D3 – 4D2 + 4D– 4 = 0
APK, (D – 1)(D2 + 4) = 0
D1 =1, D23 = 2i
:makaKarena,
ypSolusi
yhSolusi
ix
p
p
x
h
e
DDD
Ray
L
x
DDD
y
xcxcecy
2
23
2
23
321
444
80
,0)2(
,2cos
444
80
2sin2cos
xxc
xxcecy
xxx
xixix
e
i
ii
i
x
e
i
x
e
ii
x
e
DD
x
e
DDD
y
x
ix
ix
ix
ix
ix
p
2sin)4(
2cos)2(
)2sin22(cos2
)2sin2)(cos12(
5
10
Re
)12(
2
)12(8
80
Re
816
80
Re
4)2(8)2(3
80
Re
483
80
Re
444
80
Re
3
21
2
2
2
2
2
2
2
23
PDumumSolusi
51. Rumus 4. r(x) = xn
Andaikan diberikan PD, L(D)y = xn . Untuk menentukan yp, tulis PD
menjadi,
)(
1
)(
!
...
!2
)0()0()0(
)...(
!
...
!2
)0()0()0(
)(
1
)(
)(
1
)(,
)(
1
)(
2
10
)(
2
DL
Df
x
n
D
f
D
fDff
xDaDaay
n
D
f
D
fDff
DL
Df
DL
Dfx
DL
y
n
n
n
n
np
n
n
n
dimana,
adalah,ypSolusi
Laurin,MacderetekspansimenurutMengingat,
ambil
52. Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
(D2 – 3D + 2)y = 3x2 – 6x
Jawab
Solusi yh
PDH : (D2 – 3D + 2)y = 0
PK : D2 – 3D + 2 = 0
APK, (D – 1)(D – 2) = 0
D1 =1, D2 = 2
Solusi yh
23
1
)(
)63(
23
1
2
2
2
2
21
DD
Df
xx
DD
y
ececy xx
h
ypSolusi
2
5
2
3
2
3
)63(
28
14
)63(
4
3
)63(
2
1
)63(
28
14
4
3
2
1
8
14
)0(,
)23(
14186
)(
4
3
)0(,
)23(
)32(
)(
2
1
)0(,
23
1
)(
2
2
2
22
2
2
32
2
22
2
xxy
xx
D
xxDxx
xx
D
Dy
f
DD
DD
Df
f
DD
D
Df
f
DD
Df
p
p
maka,
54. Rumus 5. r(x) = eax F(x)
Andaikan diberikan PD,
L(D)y = eax F(x)
Untuk menentukan yp, tulislah
PD diatas menjadi :
Bila F(x) merupakan fungsi-
fungsi dari sin bx, cos bx, atau
xn, solusi yp diberikan oleh
)(
)(
1
xFe
DL
y ax
)(
)(
1
xF
aDL
ey ax
Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
(D2 – 5D + 6)y = e2x cos 2x
Jawab
xxey
xxD
D
e
DD
xD
ex
D
e
Lx
DD
e
x
DD
ey
xe
DD
y
ececy
x
p
x
xx
x
x
p
x
xx
h
2cos42sin2(
20
1
)2cos42cos(
)16(
1
)4)(4(
2cos)4(
2cos
4
1
0)2(,2cos
1
2cos
6)2(5)2(
1
2cos
65
1
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
1
ypSolusi
Solusi,
55. Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
(D2 – 5D + 6)y = (6 – 4x2)e2x
Jawab
1
1
)(
)46(
)1(
1
)46(
1
6)2(5)2(
)46(
)46(
65
1
22
2
2
2
2
2
2
22
2
3
2
2
1
D
Df
x
DD
e
x
DD
e
DD
x
ey
ex
DD
y
ececy
x
x
x
p
x
xx
h
Ambil,
ypSolusi
homogen,Solusi
xxxey
dxxxe
xx
D
e
x
D
D
D
ey
f
D
Df
f
D
Df
f
D
Df
x
p
x
x
x
p
24
3
4
)284(
)284(
1
)46(
2
21
1
1
2
)0(,
)1(
2
)(
1
1
)0(,
)1(
1
)(
1
1
)0(,
1
1
)(
232
22
22
2
2
2
3
2
maka,
Mengingat,
56. Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
(D3 – 5D2 + 12D–8)y=e2xcos 2x
Jawab
ixix
ixx
x
x
p
x
xx
h
e
DD
xe
e
DDD
e
Lx
DDD
e
x
DDD
ey
xe
DDD
y
ecxcecy
2
2
2
2
23
2
2
23
2
23
2
2
23
2
321
423
1
Re
44
1
Re
0)2(,2cos
44
1
2cos
8)2(12)2(5)2(
1
2cos
8125
1
ypSolusi
)2sin2cos(
homogen,Solusi
)2sin2cos2(
20
)2sin2)(cos2(
20
Re
)2(
2
)2(4
1
Re
4)2(2)2(3
1
Re
2
2
22
2
2
2
xxe
x
y
xixi
x
e
e
i
i
i
xe
e
ii
xey
x
p
x
ixx
ixx
p
)2cos22(sin
20
)2sin2cos(
2
2
321
xxe
x
ecxcecy
x
xx
p
PDumumSolusi
57. Rumus 6. r(x) = x F(x)
Andaikan diberikan PD,
L(D)y = x F(x)
Untuk menentukan yp, tulislah
PD diatas menjadi :
Bila F(x) merupakan fungsi-
fungsi dari sin bx, atau cos bx,
solusi yp diberikan oleh
)(
)(
1
xxF
DL
y
)(
)]([
)(
)(
)(
1
2
xF
DL
DL
xF
DL
xy
Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
(D2 + 4)y = x e2x
Jawab
x
xx
xx
xx
p
x
h
exxcxcy
exe
e
D
ex
e
D
D
e
D
xy
xe
D
y
xcxcy
2
21
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
2
2
2
21
16
1
8
1
2sin2cos
)8(
4
8
1
)4(
4
4)2(
1
)4(
2
4
1
4
1
2sin2cos
PD,umumSolusi
ypSolusi
yh,Solusi
58. Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
(D2 – 4D + 8)y = x cos 2x
Jawab
x
excxcy 2
21 )2sin2cos(
homogenSolusi
)2sin72(cos
100
1
)2sin22(cos
20
1
)2cos2(sin
)94(4
)32(
)2sin22(cos
20
1
)2cos2(sin
)32(
)32(
)32(4
1
2cos
)1(4
1
)2cos2(sin
)12(16
4
2cos
)1(
1
)1(4
1
2cos
)84(
)42(
2cos
84
1
2cos
84
1
2
2
2
222
2
xxxxxy
xx
D
D
xxx
xx
D
D
D
x
D
D
x
xx
DD
x
D
D
D
x
x
DD
D
x
DD
xy
xx
DD
y
p
p
ypSolusi
59. Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
(D2 + 4)y = x sin 2x
Jawab
xcxcy 2sin2cos 21
homogenSolusi
ypSolusi
ixix
ixix
ixix
p
e
D
xDe
D
xx
e
DD
xDe
D
xx
e
DD
De
D
x
x
D
D
x
D
x
xx
D
y
2
2
2
2
3
2
2
24
2
2
222
2
1612
1
Im2
2
1
Im
164
1
Im2
2
1
Im
168
1
Im2
4
1
Im
2sin
)4(
2
2sin
4
1
2sin
4
1