1. La importancia de las caras para una
MV-asignaci´no
Fco. Javier Cobos Gavala
Resumen
En [1] T. Hull desarrolla un algoritmo lineal que permite contar
el n´mero de MV-asignaciones v´lidas para un mapa de pliegues que
u a
contiene un unico v´rtice en su interior. Para ello es necesario conocer
´ e
la medida de los ´ngulos alrededor de dicho v´rtice. En caso de existir
a e
m´s de un v´rtice en el interior del mapa de pliegues el problema
a e
se complica y, en el mismo art´ ıculo, T. Hull presenta los ejemplos
del torcido del cuadrado y del torcido del oct´gono para mostrar su
o
dificultad.
En este trabajo se muestra que para contar el n´mero de MV-
u
asignaciones de un mapa de pliegues con m´s de un v´rtice en su
a e
interior no s´lo es necesario conocer la medida de los ´ngulos alrededor
o a
de cada v´rtice sino que tambi´n es fundamental conocer las caras del
e e
grafo del mapa.
1 Introducci´n
o
El estudio del origami o papiroflexia (el arte y el proceso del doblado del
papel) incluye muchos e interesantes problemas geom´tricos y combinatorios
e
(v´anse [2, 6]). En las matem´ticas del origami un modelo indica cualquier ob-
e a
jeto de papel doblado, independientemente del n´mero de pliegues necesarios
u
para su realizaci´n. El mapa de pliegues de un modelo es una representaci´n
o o
plana de un grafo que representa los pliegues necesarios para la realizaci´no
del modelo.
1

2. Al realizar un pliegue en una hoja de papel, ´ste puede realizarse de dos
e
formas diferentes, de forma convexa o en montana y de forma c´ncava o en
o
˜
valle. Es general el uso de la notaci´n
o
− · · − · · − · ·− para los pliegues en monta˜a
n
−−−−−−− para los pliegues en valle
Figura 1: Un pliegue en monta˜a (izquierda) y otro en valle (derecha)
n
Si deshacemos los pliegues realizados para obtener un modelo de papiro-
flexia, nos quedan en la hoja de partida las marcas de los pliegues que se han
realizado. As´ por ejemplo, si desplegamos la grulla tradicional nos queda el
ı,
mapa que aparece en la Figura 2.
Figura 2: El mapa de los pliegues de la grulla tradicional
Definici´n 1 Un origami plano es un par (C, f ), donde C es el conjunto de
o
pliegues y f : C → {M,V} es tal que la representaci´n de (C, f ) inducida de
o
3
[0, 1] × [0, 1] en R es biyectiva.
2

3. Obs´rvese que para que el origami sea plano (pueda ser guardado entre
e
las hojas de un libro) los pliegues han de ser, necesariamente de ±180 grados,
por lo que les asignaremos los valores M si el pliegue es en monta˜a o V si
n
es en valle.
Como vamos a tratar de los origamis planos, la funci´n f : C → {M,V}
o
la llamaremos MV-asignaci´n y diremos que es una asignaci´n v´lida si el
o oa
mapa C con dicha asignaci´n permite la construcci´n de un modelo plano sin
o o
romper el papel. En caso contrario diremos que se trata de una asignaci´n
o
no v´lida. Un mapa C para el que ninguna MV-asignaci´n sea v´lida diremos
a o a
que corresponde a un origami irrealizable.
1.1 Propiedades locales del origami plano
Diremos que un v´rtice v es un v´rtice interior plano si corresponde a un
e e
v´rtice del interior del mapa en el que confluyen pliegues, de tal forma que
e
un disco centrado en v y que no contenga a ning´n otro v´rtice del mapa
u e
admita un plegado plano. Para ello es necesario que se verifiquen una serie
de condiciones b´sicas sin las cuales no ser´ posible su plegado.
a a
Teorema 1 [Maekawa-Justin [5, 7]] Sea M el n´mero de pliegues en
u
monta˜a y V el de pliegues en valle que confluyen en un v´rtice interior
n e
plano. Se verifica entonces que M − V = ±2.
El resultado obtenido para doblar una hoja de papel tambi´n es v´lido
e a
para doblar un cono (la suma de los ´ngulos alrededor del v´rtice es menor
a e
de 360 grados). En este caso, el v´rtice al que nos referimos es el v´rtice del
e e
cono. En otras palabras, si en vez de partir de una hoja plana de papel con
un v´rtice en su interior, partimos de un cono en el que se han marcado varias
e
generatrices (l´ıneas de pliegue), no admitir´ un plegado plano si no verifica
a
la condici´n anterior, es decir, que M − V = ±2. Si M − V = 2 diremos que
o
el v´rtice est´ orientado hacia arriba, mientras que si M − V = −2 lo est´
e a a
hacia abajo.
Corolario 1 El grado de un v´rtice interior plano (o de un cono que admita
e
plegado plano) es siempre par.
3

4. Teorema 2 [Kawasaki-Justin [4, 5, 8]] La suma de los ´ngulos alternos
a
en un v´rtice interior plano de C es 180 grados.
e
Si en vez de partir de un v´rtice interior plano partimos de un cono,
e
la suma de los ´ngulos que definen las l´
a ıneas de pliegue (cortemos por una
generatriz y despleguemos el cono) no es de 360 grados, por lo que lo unico
´
que nos asegura el teorema de Kawasaki-Justin en el caso de un cono es que
los ´ngulos de sub´
a ındice par suman lo mismo que los de sub´ ındice impar.
α1 + α3 + · · · + α2n−1 = α2 + α4 + · · · + α2n (1)
El rec´
ıproco del teorema de Kawasaki-Justin tambi´n es cierto, es decir,
e
si la suma de los 2n ´ngulos alternos de un v´rtice interior es 180 grados (o
a e
en el caso de un cono se da la condici´n (1)), admite un plegado plano.
o
Sin embargo, el hecho de que todos los v´rtices interiores existentes en
e
el mapa de un modelo verifiquen la condici´n de Kawasaki-Justin no quiere
o
decir que globalmente se pueda realizar un plegado plano del modelo. Veamos,
para ello, el siguiente teorema.
Teorema 3 Sea v un v´rtice interior plano (o un cono) y denotemos por
e
α1 , . . . , α2n los ´ngulos definidos por las l´neas de pliegue. Si αi < αi−1 y
a ı
αi < αi+1 entonces las aristas li y li+1 han de tener diferente asignaci´n, es
o
decir si una es en valle la otra ha de ser, necesariamente, en monta˜a. n
Teniendo en cuenta el teorema anterior podemos ver que el origami re-
presentado en la Figura 3 no admite ninguna MV-asignaci´n v´lida a pesar
oa
de cumplir los requisitos de teorema de Kawasaki-Justin. Se trata de lo que
llamamos un origami irrealizable.
En efecto, si nos fijamos en uno de los v´rtices del tri´ngulo equil´tero
e a a
central (60 grados) podremos observar que los pliegues que lo definen tienen
a
´ngulos adyacentes de 90 grados, por lo que ambos pliegues tienen que tener
diferente asignaci´n, es decir, si uno se realiza en monta˜a el otro hay que
o n
realizarlo en valle. Al darse la misma circunstancia en los tres v´rtices del
e
4

5. Figura 3: Un origami irrealizable
tri´ngulo central llegamos a una incompatibilidad, pues si hemos asignado a
a
dos de sus lados los valores M y V (monta˜a y valle) no podemos asignar al
n
tercero ninguno de los dos valores.
Buscar condiciones globales para determinar si un origami es plano es
un problema demasiado complejo, por lo que nos limitamos, de momento,
a estudiar condiciones locales. Si nos centramos en contar el n´mero de
u
MV-asignaciones v´lidas para un mapa de pliegues, el problema, al igual
a
que el anterior demasiado complejo, T. Hull en [1] se limita a estudiar casos
concretos, en particular aquel en el que el mapa de pliegues contiene a un
unico v´rtice.
´ e
Para ver la dificultad del problema en el caso general con varios v´rtices
e
podemos da el siguiente ejemplo. La figura 4 nos muestra el mapa de pliegues
del denominado torcido de un cuadrado, una MV-asignaci´n v´lida para dicho
oa
mapa y el modelo resultante. De las 212 posibles MV-asignaciones, s´lo 16
o
son v´lidas.
a
Figura 4: El torcido de un cuadrado
5

6. Se presentan, a continuaci´n las 16 MV-asignaciones v´lidas.
o a
Figura 5: Las 16 MV-asignaciones v´lidas del torcido del cuadrado
a
Estudiemos, en primer lugar, c´mo se obtienen las 16 MV-asignaciones
o
v´lidas para el torcido del cuadrado. En la figura 6 hemos numerado los
a
v´rtices y las aristas de su mapa de pliegues.
e
Evidentemente se verifican las condiciones de Kawasaki. En caso contra-
rio no ser´ posible un plegado plano.
ıa
Si comenzamos por el v´rtice v1 y lo orientamos hacia arriba (M-V=2),
e
por cada MV-asignaci´n que obtengamos tenemos tambi´n la correspondiente
o e
6

7. Figura 6: Mapa de pliegues del torcido del cuadrado
a cambiar todas las asignaciones realizadas, con lo que el v´rtice v1 se volver´
e ıa
hacia abajo. As´ pues, podemos buscar todas aquellas en que v1 es hacia
ı
arriba y obtener el resto invirtiendo las asignaciones.
El ´ngulo que forman las aristas 1 y 2 es menor que sus dos adyacentes,
a
por lo que dichas aristas han de tener asignaciones diferentes. Supongamos
que f (1) =M y f (2) =V (casos 1, 2, 3 y 4). Como la arista 2 tiene asignaci´n
o
V y v1 es hacia arriba, necesariamente 3 y 4 tienen que tener asignaci´n M.
o
Como el ´ngulo formado por las aristas 4 y 5 es menor que sus adyacentes,
a
dichas aristas deben tener asignaciones diferentes, por lo que f (5) =V. Nos
planteamos ahora si hacer del v´rtice v2 un v´rtice hacia arriba o uno hacia
e e
abajo. Si optamos por hacerlo hacia arriba (casos 1 y 2), las aristas 6 y 7
han de tener asignaci´n M. Si lo orientamos hacia abajo (casos 3 y 4), 6 y 7
o
deben tener asignaci´n V.
o
Las aristas 7 y 8 forman un ´ngulo menor que sus adyacentes, por lo que
a
8 ha de tener asignaci´n V. Disponemos ahora de la posibilidad de orientar a
o
v3 hacia arriba (caso 1) o hacia abajo (caso 2). Supongamos que se opta por
orientarla hacia arriba (caso 1), las aristas 9 y 10 tienen que tener asignaci´n
o
M. La arista 11 esta forzada a tener asignaci´n V porque el ´ngulo que forma
o a
con la 10 es menor que sus adyacentes y la 12 asignaci´n M porque v4 ya
o
tiene dos aristas M y una V, con lo que la cuarta no puede ser otra V (en ese
caso ser´ M-V=0 y no ser´ v´lida la asignaci´n). Es decir, para el cuarto
ıa ıa a o
v´rtice no tenemos opciones posibles.
e
7

8. En resumen disponemos de 2 posibilidades para elegir (siempre con v1
hacia arriba) si f (1, 2) = (M, V ) o f (1, 2) = (V, M ). Dos posibilidades para
optar porque v2 se oriente hacia arriba o hacia abajo y otras dos para orientar
a v3. En total 8 asignaciones posibles con v1 hacia arriba.
Cambiando todas las asignaciones obtenemos otras 8 (casos 9 a 16) en
que v1 est´ orientado hacia abajo. Hemos conseguido as´ las 16 asignaciones
a ı
v´lidas.
a
Hay que tener en cuenta que lo que hemos hecho es obligar, a cada uno
de los v´rtices, a que cumpla las condiciones de Maekawa y las impuestas
e
por el teorema 3 para que por s´ solos cada uno de ellos pueda ser doblado
ı
en plano. No hemos tenido en cuenta si globalmente son v´lidas todas las
a
opciones. En este caso no existe ninguna incompatibilidad y las 16 asignacio-
nes realizadas permiten un doblado en plano. Sin embargo, no disponemos
de ninguna herramienta que nos permita saber, sin realizar los plegados, qu´e
MV-asignaciones son globalmente v´lidas y cu´les no.
a a
Examinemos ahora el caso del torcido del oct´gono cuyo mapa se tiene en
o
la figura 7.
Figura 7: El mapa del torcido de un oct´gono
o
Podemos observar que de cada uno de los v´rtices del oct´gono parten
e o
dos aristas que forman un ´ngulo menor que sus adyacentes, por lo que
a
ambas deben tener diferente asignaci´n. Si fijamos la asignaci´n de una de
o o
8

9. las parejas y orientamos su v´rtice hacia arriba, los dos lados del oct´gono
e o
(las otras dos aristas que inciden en el v´rtice) deben tener asignaci´n M,
e o
lo que junto al hecho de que las aristas hacia afuera del siguiente v´rtice
e
tambi´n deben tener asignaci´n diferente nos dice que el siguiente lado del
e o
oct´gono tambi´n debe tener asignaci´n M. Podemos observar, por tanto
o e o
que los ocho lados del oct´gono deben tener asignaci´n M y cada pareja de
o o
aristas que sale hacia afuera orientaci´n diferente, es decir, (M,V) o (V,M).
o
Disponemos, por tanto de 28 posibilidades de elecci´n una vez orientado uno
o
de los v´rtices hacia arriba. Si ese mismo v´rtice lo hubi´semos orientado
e e e
hacia abajo hubi´semos obtenido otras 28 posibilidades todas ellas con los
e
lados del oct´gonos asignados a un pliegue en valle.
o
Existen, por tanto 29 MV-asignaciones localmente v´lidas. Sin embargo, y
a
a diferencia del caso del torcido del cuadrado s´lo dos de ellas son globalmente
o
v´lidas. La figura 8 nos muestra esas dos posibilidades. Evidentemente una
a
resulta de cambiar todas las asignaciones de la otra.
Figura 8: El torcido de un oct´gono
o
Se hace evidente la necesidad de buscar herramientas que nos permitan
distinguir cu´les son las MV-asignaciones globalmente v´lidas.
a a
2 La importancia del tama˜ o
n
Supongamos que recortamos nuestro papel y nos quedamos con al mapa
de la figura 9. Es evidente que volveremos a obtener 29 MV-asignaciones
9

10. localmente v´lidas. La diferencia estriba en que ahora todas lo son tambi´n
a e
globalmente.
Figura 9: El mapa recortado del torcido de un oct´gono
o
T. Hull en [1] establece un algoritmo lineal para contar el n´mero de
u
MV-asignaciones v´lidas para un v´rtice de plegado plano o, lo que es lo
a e
mismo, para un mapa que s´lo contiene un v´rtice en su interior. Para ello
o e
es fundamental conocer la amplitud de los ´ngulos que forman las aristas
a
que inciden en ´l, por lo que define el v´rtice de la forma v = (α1 , . . . , α2n )
e e
verific´ndose, evidentemente, la condici´n de que los v´rtices de sub´
a o e ındice par
han de sumar lo mismo que los de v´rtice par (Kawasaki) y que confluyen en
e
´l un n´mero par de aristas (y, por tanto, un n´mero par de ´ngulos) para
e u u a
que se pueda verificar el corolario 1 del teorema de Maekawa.
Es evidente que si queremos buscar un algoritmo que nos diga si una
MV-asignaci´n, localmente v´lida, lo es tambi´n globalmente en un mapa
o a e
que contenga a m´s de un v´rtice, no ser´ suficiente con definir los v´rtices a
a e a e
trav´s de los ´ngulos que inciden en ´l, sino que deberemos conocer las caras
e a e
del grafo que representa el mapa de pliegues.
Podemos entonces generalizar el teorema 3 en el siguiente sentido:
Teorema 4 Sean C el grafo que define un mapa de pliegues y c una de sus
caras. Consideremos dos caras c1 y c2 adyacentes a c y sean l1 y l2 las aristas
que las separan de c, respectivamente. Si la reflexi´n de c1 con eje l1 sobre c
o
10

11. interseca a l2 y la de c2 , con eje l2 sobre c interseca a l1 , las aristas l1 y l2
han de tener diferente asignaci´n.
o
Demostracion: La demostraci´n es similar a la del teorema 3.
o
´
La figura 10 representa un origami irrealizable [3] con dos v´rtices.
e
Figura 10: Un origami irrealizable con dos v´rtices
e
Si observamos la figura 11 vemos que al reflejar, con eje la arista A-2, la
cara C-1 sobre C-2, la arista A-1 interseca a la A-3 y si reflejamos, con eje
A-3, la cara C-3 sobre C-2, la arista A-4 corta a la arista A-2. Por teorema 4
sabemos que A-2 y A-3 han de tener diferente asignaci´n. o
An´logamente, reflejando C-4 y C-6 sobre C-5 observamos que A-5 y A-6
a
deben tener asignaciones diferentes.
As´ pues, si comenzamos a hacer una MV-asignaci´n desde el v´rtice
ı o e
de 45 grados, los pliegues A-4 y A-5 deben tener diferente asignaci´n, por
o
ejemplo M y V (ver Fig. 11). La siguiente arista A-6 debe tener asignaci´n
o
M por el teorema 4. La asignaci´n de A-1 debe ser V por formar con A-6
o
un ´ngulo menor que sus adyacentes. Si decidimos ahora que el v´rtice de
a e
o
45 est´ orientado hacia arriba, A-3 y A-7 han de tener asignaci´n M, no
a o
qued´ndonos opci´n alguna para A-2, ya que el teorema 4 nos dice que debe
a o
ser V (puesto que f (A-3)=M) pero entonces falla la condici´n de Maekawa,
o
11

12. Figura 11: Prueba de la imposibilidad
por lo que resulta ser un origami irrealizable.
Volvamos ahora al ejemplo del torcido del oct´gono (Fig.7).
o
Si aplicamos el teorema 4 vemos que la asignaci´n de las aristas exteriores
o
del oct´gono debe ser alternativa (ver Fig. 12), por lo que s´lo disponemos
o o
de la posibilidad de que la primera que asignemos sea M o V. Las aristas
del oct´gono pueden ser ahora todas M o todas V, seg´n sea la orientaci´n
o u o
de sus v´rtices, por lo que de 29 MV-asignaciones localmente v´lidas hemos
e a
pasado a s´lo 4 que puedan serlo globalmente.
o
Figura 12: Aplicaci´n del teorema 4 al torcido del oct´gono
o o
12

13. Sin embargo, sabemos que s´lo dos son globalmente v´lidas, por lo que
o a
el teorema 4 a´n resulta insuficiente.
u
Referencias
[1] Hull, T. Counting Mountain-Valley Assignments for Flat Folds To appear
in Ars Combinatoria, 2002.
[2] Hull, T. On the mathematics of flat origamis Congressus Numerantium,
100 (1994) 215-224.
[3] Hull, T. The Combinatorics of Flat Folds: a Survey In: AK Peters
ed., Proceedings of the Third International Meeting of Origami Science,
Mathematics and Education (2002).
[4] Justin, J. Aspects mathematiques du pliage de papier In: H. Huzita ed.,
Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and
Technology (Ferrara, 1989) 263-277.
[5] Justin, J. Mathematics of origami Part 9, British Origami (June 1986)
[6] Justin, J. Toward a mathematical theory of origami In: K. Miura ed.,
Origami Science and Art: Proceedings of the Second International Mee-
ting of Origami Science and Scientific Origami, (Seian University of Art
and Design, Otsu, 1997) 15-29.
[7] Kasahara, K. and Takahama, T. Origami for the Connoisseur Japan
Publications, New York, 1987
[8] Kawasaki, T. On the relation between mountain-creases and valley-
creases of a flat origami (abridged English translation) In: H. Huzita
ed., Proceedings of the First International Meeting of Origami Science
and Technology (Ferrara,1989) 229-237.
13